Bukuria dhe kompleksiteti: modelet fraktale të Tokës. Vizatimi fraktal si mjet për diagnostikimin dhe korrigjimin e gjendjeve psiko-emocionale. Një person me imagjinatë hapësinore

Zbulimet më të zgjuara në shkencë mund të ndryshojnë rrënjësisht jeta njerëzore. Vaksina e shpikur mund të shpëtojë miliona njerëz; krijimi i armëve, përkundrazi, i merr këto jetë. Kohët e fundit (në shkallën e evolucionit njerëzor) ne kemi mësuar të "zbusim" energjinë elektrike - dhe tani nuk mund ta imagjinojmë jetën pa të gjitha këto pajisje të përshtatshme që përdorin energji elektrike. Por ka edhe zbulime që pak njerëz u kushtojnë rëndësi, megjithëse ato gjithashtu ndikojnë shumë në jetën tonë.

Një nga këto zbulime "të paqarta" janë fraktale. Me siguri e keni dëgjuar më parë këtë fjalë tërheqëse, por a e dini se çfarë do të thotë dhe sa informacione interesante fshihen në këtë term?

Çdo person ka një kuriozitet të natyrshëm, një dëshirë për të kuptuar botën përreth tij. Dhe në këtë përpjekje, një person përpiqet t'i përmbahet logjikës në gjykime. Duke analizuar proceset që ndodhin rreth tij, ai përpiqet të gjejë logjikën e asaj që po ndodh dhe të nxjerrë një model. Mendjet më të mëdha në planet janë të zënë me këtë detyrë. Përafërsisht, shkencëtarët po kërkojnë një model ku nuk duhet të ketë një të tillë. Megjithatë, edhe në kaos është e mundur të gjesh lidhje midis ngjarjeve. Dhe kjo lidhje është një fraktal.

Vajza jonë e vogël, katër vjeç e gjysmë, tani është brenda mosha e madhe, kur numri i pyetjeve "Pse?" shumë herë e kalon numrin e përgjigjeve që arrijnë të japin të rriturit. Jo shumë kohë më parë, duke ekzaminuar një degë të ngritur nga toka, vajza ime papritmas vuri re se kjo degë, me degët dhe degët e saj, vetë dukej si një pemë. Dhe, sigurisht, ajo që pasoi ishte pyetja e zakonshme “Pse?”, për të cilën prindërit duhej të kërkonin një shpjegim të thjeshtë që fëmija të kuptonte.

Ngjashmëria e një dege të vetme me një pemë të tërë të zbuluar nga një fëmijë është një vëzhgim shumë i saktë, i cili dëshmon edhe një herë parimin e vetë-ngjashmërisë rekursive në natyrë. Shumë forma organike dhe inorganike në natyrë formohen në mënyrë të ngjashme. Retë, predha deti, "shtëpia" e një kërmilli, lëvorja dhe kurora e pemëve, sistemi i qarkullimit të gjakut, e kështu me radhë - format e rastësishme të të gjitha këtyre objekteve mund të përshkruhen me një algoritëm fraktal.

⇡ Benoit Mandelbrot: babai i gjeometrisë fraktal

Vetë fjala "fraktal" u shfaq falë shkencëtarit të shkëlqyer Benoit B. Mandelbrot.

Ai vetë e shpiku termin në vitet 1970, duke huazuar fjalën fractus nga latinishtja, ku fjalë për fjalë do të thotë "i thyer" ose "i grimcuar". Çfarë është ajo? Sot, fjala "fraktal" më së shpeshti nënkupton një paraqitje grafike të një strukture që, në një shkallë më të madhe, është e ngjashme me vetveten.

Baza matematikore për shfaqjen e teorisë së fraktaleve u vendos shumë vite përpara lindjes së Benoit Mandelbrot, por ajo mund të zhvillohej vetëm me ardhjen e pajisjeve kompjuterike. Në fillim të saj veprimtaria shkencore Benoit ka punuar në qendrën kërkimore IBM. Në atë kohë, punonjësit e qendrës punonin për transmetimin e të dhënave në distancë. Gjatë hulumtimit, shkencëtarët u përballën me problemin e humbjeve të mëdha që lindin nga ndërhyrja e zhurmës. Benoit u përball me një detyrë të vështirë dhe shumë të rëndësishme - të kuptonte se si të parashikohej shfaqja e ndërhyrjes së zhurmës në qarqet elektronike kur metodë statistikore rezulton të jetë joefektive.

Duke parë rezultatet e matjeve të zhurmës, Mandelbrot vuri re një model të çuditshëm - grafikët e zhurmës në shkallë të ndryshme dukeshin të njëjta. Një model identik u vërejt pavarësisht nëse ishte një grafik zhurme për një ditë, një javë ose një orë. Ishte e nevojshme të ndryshohej shkalla e grafikut dhe fotografia përsëritej çdo herë.

Gjatë jetës së tij, Benoit Mandelbrot tha vazhdimisht se ai nuk studionte formula, por thjesht luante me fotografi. Ky njeri mendoi shumë figurativisht dhe çdo problem algjebrik e përktheu në fushën e gjeometrisë, ku, sipas tij, përgjigja e saktë është gjithmonë e dukshme.

Nuk është për t'u habitur që ishte një njeri me një imagjinatë kaq të pasur hapësinore që u bë babai i gjeometrisë fraktal. Në fund të fundit, vetëdija për thelbin e fraktaleve vjen pikërisht kur filloni të studioni vizatimet dhe të mendoni për kuptimin e modeleve të çuditshme të rrotullimit.

Një model fraktal nuk ka elementë identikë, por është i ngjashëm në çdo shkallë. Më parë ishte thjesht e pamundur të ndërtohej një imazh i tillë me një shkallë të lartë detajesh me dorë; kjo kërkonte një sasi të madhe llogaritjesh. Për shembull, matematikani francez Pierre Joseph Louis Fatou e përshkroi këtë grup më shumë se shtatëdhjetë vjet përpara zbulimit të Benoit Mandelbrot. Nëse flasim për parimet e vetëngjashmërisë, ato u përmendën në veprat e Leibniz dhe Georg Cantor.

Një nga vizatimet e para fraktal ishte një interpretim grafik i grupit Mandelbrot, i cili lindi falë hulumtimit të Gaston Maurice Julia.

Gaston Julia (gjithmonë i veshur me maskë - lëndim nga Lufta e Parë Botërore)

Ky matematikan francez pyeti veten se si do të dukej një grup nëse do të ndërtohej nga një formulë e thjeshtë e përsëritur përmes një cikli reagimi. Nëse e shpjegojmë "në gishta", kjo do të thotë që për një numër specifik gjejmë një vlerë të re duke përdorur formulën, pas së cilës e zëvendësojmë përsëri në formulë dhe marrim një vlerë tjetër. Rezultati është një sekuencë e madhe numrash.

Për të marrë pamje e plotë për një turmë të tillë, ju duhet të bëni një numër të madh llogaritjesh - qindra, mijëra, miliona. Ishte thjesht e pamundur ta bësh këtë me dorë. Por kur pajisjet e fuqishme kompjuterike u bënë të disponueshme për matematikanët, ata ishin në gjendje të hidhnin një vështrim të ri mbi formulat dhe shprehjet që kishin qenë prej kohësh me interes. Mandelbrot ishte i pari që përdori një kompjuter për të llogaritur një fraktal klasik. Pas përpunimit të një sekuence të përbërë nga një numër i madh vlerash, Benoit i vizatoi rezultatet në një grafik. Kjo është ajo që ai mori.

Më pas, ky imazh u ngjyros (për shembull, një nga metodat e ngjyrosjes është nga numri i përsëritjeve) dhe u bë një nga imazhet më të njohura të krijuara ndonjëherë nga njeriu.

Siç thotë thënia e lashtë që i atribuohet Heraklitit të Efesit, "Nuk mund të hysh dy herë në të njëjtin lumë". Është i përshtatshëm për interpretimin e gjeometrisë së fraktaleve. Pavarësisht se sa e detajuar e shikojmë një imazh fraktal, gjithmonë do të shohim një model të ngjashëm.

Ata që dëshirojnë të shohin se si do të dukej një imazh i hapësirës Mandelbrot kur zmadhohet shumë herë, mund ta bëjnë këtë duke shkarkuar GIF-in e animuar.

⇡ Lauren Carpenter: art i krijuar nga natyra

Teoria fraktale u gjet shpejt përdorim praktik. Meqenëse është e lidhur ngushtë me vizualizimin e imazheve të ngjashme, nuk është për t'u habitur që të parët që miratuan algoritme dhe parime për ndërtimin e formave të pazakonta ishin artistët.

Bashkëthemeluesi i ardhshëm i studios legjendar Pixar, Loren C. Carpenter, filloi të punojë në vitin 1967 në Boeing Computer Services, e cila ishte një nga divizionet e korporatës së famshme që zhvillonte avionë të rinj.

Në vitin 1977, ai krijoi prezantime me modele prototip fluturues. Përgjegjësitë e Loren përfshinin zhvillimin e imazheve të avionit që po projektohej. Ai duhej të krijonte fotografi të modeleve të reja, duke treguar avionët e ardhshëm nga këndvështrime të ndryshme. Në një moment, themeluesi i ardhshëm i Pixar Animation Studios doli me idenë kreative për të përdorur një imazh të maleve si sfond. Sot, çdo nxënës i shkollës mund të zgjidhë një problem të tillë, por në fund të viteve shtatëdhjetë të shekullit të kaluar, kompjuterët nuk mund të përballonin llogaritjet e tilla komplekse - redaktorët grafikë nuk kishte asnjë, e lëre më aplikacione grafike 3D. Në vitin 1978, Lauren pa aksidentalisht librin e Benoit Mandelbrot Fractals: Form, Chance and Dimension në një dyqan. Në këtë libër, vëmendjen e tij e tërhoqi fakti se Benoit dha shumë shembuj të formave fraktal në jeta reale dhe argumentoi se ato mund të përshkruhen me një shprehje matematikore.

Kjo analogji nuk u zgjodh rastësisht nga matematikani. Fakti është se sapo publikoi kërkimin e tij, iu desh të përballej me një breshëri të tërë kritikash. Gjëja kryesore për të cilën kolegët e tij e qortuan ishte padobishmëria e teorisë që po zhvillohej. "Po," thanë ata, "këto janë fotografi të bukura, por asgjë më shumë. Teoria e fraktaleve nuk ka vlerë praktike.” Kishte gjithashtu nga ata që përgjithësisht besonin se modelet e fraktalit ishin thjesht një nënprodukt i punës së "makinave djallëzore", të cilat në fund të viteve shtatëdhjetë për shumë njerëz dukeshin si diçka shumë komplekse dhe e paeksploruar për t'u besuar plotësisht. Mandelbrot u përpoq të gjente një aplikim të qartë për teorinë e fraktaleve, por, sipas në përgjithësi, ai nuk duhej ta bënte këtë. Gjatë 25 viteve të ardhshme, ndjekësit e Benoit Mandelbrot vërtetuan përfitimet e mëdha të një "kurioziteti matematikor" të tillë dhe Lauren Carpenter ishte një nga të parët që provoi metodën fraktal në praktikë.

Pas studimit të librit, animatori i ardhshëm studioi seriozisht parimet e gjeometrisë fraktal dhe filloi të kërkonte një mënyrë për ta zbatuar atë në grafikë kompjuterike. Në vetëm tre ditë punë, Lauren ishte në gjendje të vizualizonte imazh realist sistemi malor në kompjuterin tuaj. Me fjalë të tjera, ai përdori formula për të pikturuar një peizazh malor plotësisht të njohur.

Parimi që Lauren përdori për të arritur qëllimin e saj ishte shumë i thjeshtë. Ai konsistonte në ndarjen e një figure më të madhe gjeometrike në elemente të vogla, dhe ato, nga ana tjetër, ndahen në figura të ngjashme më të vogla.

Duke përdorur trekëndësha më të mëdhenj, Carpenter i ndau ato në katër më të vegjël dhe më pas e përsëriti këtë proces pa pushim derisa të kishte një peizazh malor realist. Kështu, ai arriti të bëhej artisti i parë që përdor një algoritëm fraktal për ndërtimin e imazheve në grafikë kompjuterike. Sapo fjala e punës u bë e njohur, entuziastët në mbarë botën morën idenë dhe filluan të përdorin algoritmin fraktal për të imituar forma realiste natyrore.

Një nga vizualizimet e para 3D duke përdorur një algoritëm fraktal

Vetëm pak vite më vonë, Lauren Carpenter ishte në gjendje të zbatonte zhvillimet e tij në një projekt shumë më të madh. Animatori krijoi një demo dy minutëshe të Vol Libre prej tyre, e cila u shfaq në Siggraph në 1980. Kjo video tronditi të gjithë ata që e panë dhe Lauren mori një ftesë nga Lucasfilm.

Animacioni u rendizua në një kompjuter VAX-11/780 nga Digital Equipment Corporation me një shpejtësi orë prej pesë megahertz, dhe secila kornizë mori rreth gjysmë ore për t'u dhënë.

Duke punuar për Lucasfilm Limited, animatori krijoi peizazhe tre-dimensionale duke përdorur të njëjtën skemë për të dytën film me gjatësi të plotë Sagat e Star Trek. Në The Wrath of Khan, Carpenter ishte në gjendje të krijonte një planet të tërë duke përdorur të njëjtin parim të modelimit të sipërfaqes fraktal.

Aktualisht gjithçka aplikacione të njohura Për të krijuar peizazhe tre-dimensionale, përdoret një parim i ngjashëm i gjenerimit të objekteve natyrore. Terragen, Bryce, Vue dhe redaktorë të tjerë 3D mbështeten në një algoritëm fraktal për modelimin e sipërfaqeve dhe teksturave.

⇡ Antenat fraktale: më pak është më shumë

Gjatë gjysmë shekullit të kaluar, jeta ka filluar të ndryshojë me shpejtësi. Shumica prej nesh i marrin si të mirëqenë përparimet e teknologjisë moderne. Mësoheni shumë shpejt me gjithçka që e bën jetën më të rehatshme. Rrallëherë dikush bën pyetjet "Nga erdhi kjo?" dhe "Si funksionon?" Një mikrovalë ngroh mëngjesin - shkëlqyeshëm, një smartphone ju jep mundësinë të flisni me një person tjetër - shkëlqyeshëm. Kjo na duket si një mundësi e qartë.

Por jeta mund të ishte krejtësisht ndryshe nëse një person nuk do të kishte kërkuar një shpjegim për ngjarjet që po ndodhin. Merrni, për shembull, Telefonat celularë. I mbani mend antenat e anuluara në modelet e para? Ata ndërhynë, rritën madhësinë e pajisjes dhe në fund, shpesh prisheshin. Besojmë se janë zhytur në harresë përgjithmonë, dhe një pjesë e arsyes për këtë janë... fraktale.

Modelet fraktale magjepsin me modelet e tyre. Ato padyshim ngjajnë me imazhet e objekteve kozmike - mjegullnajat, grupimet e galaktikave, etj. Prandaj është krejt e natyrshme që kur Mandelbrot shprehu teorinë e tij të fraktaleve, kërkimi i tij ngjalli interes në rritje tek ata që studionin astronominë. Një nga këta amatorë i quajtur Nathan Cohen, pasi mori pjesë në një leksion të Benoit Mandelbrot në Budapest, u frymëzua nga ideja e zbatimit praktik të njohurive të marra. Vërtetë, ai e bëri këtë në mënyrë intuitive, dhe rastësia luajti një rol të rëndësishëm në zbulimin e tij. Si radio amator, Nathan u përpoq të krijonte një antenë me ndjeshmërinë më të lartë të mundshme.

E vetmja mënyrë për të përmirësuar parametrat e antenës, e cila dihej në atë kohë, ishte rritja e dimensioneve të saj gjeometrike. Megjithatë, pronari i pronës në qendër të Bostonit që Nathan kishte marrë me qira ishte kategorikisht kundër instalimit të pajisjeve të mëdha në çati. Pastaj Nathan filloi të eksperimentonte forma të ndryshme antenave, duke u përpjekur për të marrë rezultatin maksimal me madhësive minimale. I frymëzuar nga ideja e formave fraktal, Cohen, siç thonë ata, bëri rastësisht një nga fraktalet më të famshme nga tela - "flokë dëbore Koch". Matematikani suedez Helge von Koch doli me këtë kurbë në vitin 1904. Përftohet duke ndarë një segment në tre pjesë dhe duke zëvendësuar segmentin e mesëm me një trekëndësh barabrinjës pa një anë që përkon me këtë segment. Përkufizimi është pak i vështirë për t'u kuptuar, por në figurë gjithçka është e qartë dhe e thjeshtë.

Ka edhe variacione të tjera të kurbës Koch, por forma e përafërt e kurbës mbetet e ngjashme

Kur Nathan lidhi antenën me marrësin e radios, ai u befasua shumë - ndjeshmëria u rrit në mënyrë dramatike. Pas një sërë eksperimentesh, profesori i ardhshëm në Universitetin e Bostonit kuptoi se një antenë e bërë sipas një modeli fraktal ka efikasitet të lartë dhe mbulon një gamë shumë më të gjerë frekuencash në krahasim me zgjidhje klasike. Përveç kësaj, forma e antenës në formën e një lakore fraktal bën të mundur uljen e ndjeshme të dimensioneve gjeometrike. Madje, Nathan Cohen doli me një teoremë që vërteton se për të krijuar një antenë me brez të gjerë, mjafton t'i japësh formën e një kurbë fraktal të ngjashëm.

Autori patentoi zbulimin e tij dhe themeloi një kompani për zhvillimin dhe dizajnimin e antenave fractal Sistemet e antenave Fractal, duke besuar me të drejtë se në të ardhmen, falë zbulimit të tij, telefonat celularë do të jenë në gjendje të heqin qafe antenat e mëdha dhe të bëhen më kompakte.

Në parim, kjo është ajo që ndodhi. Vërtetë, deri më sot Nathan udhëheq proces gjyqësor me korporata të mëdha që përdorin në mënyrë të paligjshme zbulimin e tij për të prodhuar pajisje kompakte komunikimi. Disa prodhues të famshëm pajisje celulare, si Motorola, tashmë kanë arritur një marrëveshje paqeje me shpikësin e antenës fraktal.

⇡ Dimensionet fraktale: nuk mund ta kuptoni me mendjen tuaj

Benoit e huazoi këtë pyetje nga shkencëtari i famshëm amerikan Edward Kasner.

Këtij të fundit, si shumë matematikan të tjerë të famshëm, i pëlqente të komunikonte me fëmijët, duke u bërë pyetje dhe duke marrë përgjigje të papritura. Ndonjëherë kjo çonte në pasoja befasuese. Për shembull, nipi nëntë vjeçar i Eduard Kasnerit doli me fjalën tashmë të njohur "googol", që do të thotë një i ndjekur nga njëqind zero. Por le të kthehemi te fraktale. Matematikanit amerikan i pëlqente të bënte pyetjen se sa e gjatë është vija bregdetare e SHBA. Pasi dëgjoi mendimin e bashkëbiseduesit të tij, vetë Eduardi foli përgjigjen e saktë. Nëse matni gjatësinë në një hartë duke përdorur segmente të thyera, rezultati do të jetë i pasaktë, sepse vija bregdetare ka një numër të madh parregullsish. Çfarë ndodh nëse matim sa më saktë që të jetë e mundur? Ju do të duhet të merrni parasysh gjatësinë e çdo pabarazie - do t'ju duhet të matni çdo pelerinë, çdo gji, shkëmb, gjatësinë e një parvaze shkëmbore, një gur mbi të, një kokërr rërë, një atom, etj. Meqenëse numri i parregullsive priret në pafundësi, gjatësia e matur e vijës bregdetare do të rritet në pafundësi kur matet çdo parregullsi e re.

Sa më e vogël të jetë masa gjatë matjes, aq më e gjatë është gjatësia e matur

Interesant është fakti se pas nxitjeve të Eduardit, fëmijët ishin shumë më të shpejtë se të rriturit në thënien e zgjidhjes së saktë, ndërsa këta të fundit e kishin të vështirë të pranonin një përgjigje kaq të pabesueshme.

Duke përdorur këtë problem si shembull, Mandelbrot sugjeroi përdorimin qasje e re ndaj matjeve. Meqenëse vija bregdetare është afër një kurbë fraktal, kjo do të thotë se mund të zbatohet një parametër karakterizues - i ashtuquajturi dimension fraktal.

Se çfarë është një dimension i rregullt është e qartë për këdo. Nëse dimensioni është i barabartë me një, marrim një vijë të drejtë, nëse dy - një figurë e sheshtë, tre - një vëllim. Megjithatë, ky kuptim i dimensionit në matematikë nuk funksionon me kurbat fraktal, ku ky parametër ka një vlerë thyesore. Dimensioni fraktal në matematikë mund të konsiderohet në mënyrë konvencionale si një "vrazhdësi". Sa më e lartë të jetë vrazhdësia e kurbës, aq më i madh është dimensioni i saj fraktal. Një kurbë që, sipas Mandelbrot, ka një dimension fraktal më të lartë se dimensioni i saj topologjik, ka një gjatësi të përafërt që nuk varet nga numri i dimensioneve.

Aktualisht, shkencëtarët po gjejnë gjithnjë e më shumë fusha për të zbatuar teorinë e fraktaleve. Duke përdorur fraktale, ju mund të analizoni luhatjet në çmimet e bursës, të studioni të gjitha llojet e proceseve natyrore, siç janë luhatjet në numrin e specieve, ose të simuloni dinamikën e flukseve. Algoritmet fraktale mund të përdoren për kompresimin e të dhënave, siç është kompresimi i imazhit. Dhe nga rruga, për të marrë një fraktal të bukur në ekranin e kompjuterit tuaj, nuk duhet të keni një doktoraturë.

⇡ Fraktal në shfletues

Ndoshta një nga më mënyra të thjeshta merrni një model fraktal - përdorni redaktorin e vektorit në internet nga programuesi i ri i talentuar Toby Schachman. Mjetet e këtij redaktuesi të thjeshtë grafik bazohen në të njëjtin parim të vetëngjashmërisë.

Në dispozicionin tuaj ka vetëm dy forma më të thjeshta - një katërkëndësh dhe një rreth. Mund t'i shtoni në kanavacë, t'i shkallëzoni (për t'u shkallëzuar përgjatë njërit prej boshteve, mbani të shtypur tastin Shift) dhe t'i rrotulloni. Duke u mbivendosur sipas parimit të operacioneve të mbledhjes Boolean, këta elementë më të thjeshtë formojnë forma të reja, më pak të parëndësishme. Këto forma të reja më pas mund të shtohen në projekt dhe programi do të përsërisë gjenerimin e këtyre imazheve pafundësisht. Në çdo fazë të punës në një fraktal, mund të ktheheni në çdo komponent të një forme komplekse dhe të modifikoni pozicionin dhe gjeometrinë e tij. Një aktivitet argëtues, veçanërisht kur mendoni se i vetmi mjet që duhet të krijoni është një shfletues. Nëse nuk e kuptoni parimin e punës me këtë redaktues vektorial rekurziv, ju këshillojmë të shikoni videon në faqen zyrtare të projektit, e cila tregon në detaje të gjithë procesin e krijimit të një fraktal.

⇡ XaoS: fraktale për çdo shije

Shumë redaktorë grafikë kanë mjete të integruara për krijimin e modeleve fraktale. Megjithatë, këto mjete janë zakonisht dytësore dhe nuk lejojnë akordim të imët të modelit fraktal të krijuar. Në rastet kur është e nevojshme të ndërtohet një fraktal i saktë matematikisht, redaktori ndër-platformë XaoS do të vijë në shpëtim. Ky program bën të mundur jo vetëm ndërtimin e një imazhi të ngjashëm, por edhe kryerjen e manipulimeve të ndryshme me të. Për shembull, në kohë reale mund të bëni një "shëtitje" përgjatë një fraktal duke ndryshuar shkallën e tij. Lëvizja e animuar përgjatë një fraktal mund të ruhet si një skedar XAF dhe më pas të riprodhohet në vetë programin.

XaoS mund të shkarkohet grup i rastësishëm parametrat, si dhe përdorni filtra të ndryshëm pas përpunimit të imazhit - shtoni një efekt lëvizjeje të paqartë, zbutni tranzicionet e mprehta midis pikave fraktal, simuloni një foto 3D, etj.

⇡ Zoomer Fractal: gjenerator kompakt fraktal

Krahasuar me gjeneratorët e tjerë të imazhit fraktal, ai ka disa përparësi. Së pari, është shumë i vogël në madhësi dhe nuk kërkon instalim. Së dyti, ai zbaton aftësinë për të përcaktuar paleta e ngjyrave vizatim. Ju mund të zgjidhni nuancat në modele me ngjyra RGB, CMYK, HVS dhe HSL.

Është gjithashtu shumë i përshtatshëm për të përdorur opsionin e zgjedhjes së rastësishme të nuancave të ngjyrave dhe funksionin e përmbysjes së të gjitha ngjyrave në figurë. Për të rregulluar ngjyrën, ekziston një funksion i zgjedhjes ciklike të hijeve - kur aktivizoni modalitetin përkatës, programi animon imazhin, duke ndryshuar ciklikisht ngjyrat në të.

Fractal Zoomer mund të vizualizojë 85 funksione të ndryshme fraktale dhe formulat tregohen qartë në menynë e programit. Në program ka filtra për përpunimin pas imazhit, edhe pse në sasi të vogla. Çdo filtër i caktuar mund të anulohet në çdo kohë.

⇡ Mandelbulb3D: Redaktues fraktal 3D

Kur përdoret termi "fraktal", më së shpeshti i referohet një imazhi të sheshtë, dy-dimensionale. Sidoqoftë, gjeometria fraktale shkon përtej dimensionit 2D. Në natyrë mund të gjeni të dy shembujt e formave të sheshta fraktal, të themi, gjeometrinë e rrufesë dhe tredimensionale. figura vëllimore. Sipërfaqet fraktale mund të jenë tre-dimensionale, dhe një ilustrim shumë i qartë i fraktaleve 3D në jetën e përditshme është një kokë lakër. Ndoshta mënyra më e mirë për të parë fraktale është në varietetin Romanesco, një hibrid i lulelakrës dhe brokolit.

Ju gjithashtu mund ta hani këtë fraktal

Programi Mandelbulb3D mund të krijojë objekte tredimensionale me një formë të ngjashme. Për të marrë një sipërfaqe 3D duke përdorur një algoritëm fraktal, autorët këtë aplikacion, Daniel White dhe Paul Nylander, konvertuan grupin Mandelbrot në koordinata sferike. Programi Mandelbulb3D që ata krijuan është një redaktues i vërtetë tredimensional që modelon sipërfaqet fraktale forma të ndryshme. Meqenëse ne shpesh vëzhgojmë modele fraktale në natyrë, një objekt tredimensional fraktal i krijuar artificialisht duket tepër realist dhe madje "i gjallë".

Mund t'i ngjajë një bime, mund t'i ngjajë një kafshe të çuditshme, një planeti ose diçkaje tjetër. Ky efekt përmirësohet nga një algoritëm i avancuar i interpretimit, i cili bën të mundur marrjen e reflektimeve realiste, llogaritjen e transparencës dhe hijeve, simulimin e efektit të thellësisë së fushës, etj. Mandelbulb3D ka një numër të madh cilësimesh dhe opsionesh interpretimi. Mund të kontrolloni nuancat e burimeve të dritës, të zgjidhni sfondin dhe nivelin e detajeve të objektit të simuluar.

Redaktori fraktal i Incendia mbështet zbutjen e dyfishtë të imazhit, përmban një bibliotekë me pesëdhjetë fraktale të ndryshme tredimensionale dhe ka një modul të veçantë për redaktimin e formave bazë.

Aplikacioni përdor skriptim fraktal, me të cilin mund të përshkruani në mënyrë të pavarur lloje të reja të modeleve fraktal. Incendia ka redaktues teksture dhe materiali, dhe motori i interpretimit ju lejon të përdorni efekte vëllimore të mjegullës dhe hije të ndryshme. Programi zbaton opsionin e ruajtjes së një buferi gjatë renderimit afatgjatë dhe mbështet krijimin e animacionit.

Incendia ju lejon të eksportoni një model fraktal në formate të njohura grafika tredimensionale - OBJ dhe STL. Incendia përfshin një mjet të vogël të quajtur Geometrica - mjet i veçantë për të konfiguruar eksportin e një sipërfaqeje fraktal në një model 3D. Duke përdorur këtë mjet, mund të përcaktoni rezolucionin e një sipërfaqeje 3D dhe të specifikoni numrin e përsëritjeve fraktal. Modelet e eksportuara mund të përdoren në projekte 3D kur punoni me redaktues 3D si Blender, 3ds max dhe të tjerë.

Kohët e fundit, puna në projektin Incendia është ngadalësuar disi. Aktiv ky moment autori është në kërkim të sponsorëve për ta ndihmuar në zhvillimin e programit.

Nëse nuk keni imagjinatë të mjaftueshme për të vizatuar një fraktal të bukur tre-dimensional në këtë program, nuk ka rëndësi. Përdorni bibliotekën e parametrave, e cila ndodhet në dosjen INCENDIA_EX\parameters. Duke përdorur skedarët PAR, mund të gjeni shpejt format më të pazakonta fraktale, duke përfshirë ato të animuara.

⇡ Aural: si këndojnë fraktalët

Zakonisht nuk flasim për projekte që sapo po punohen, por në këtë rast duhet të bëjmë një përjashtim, pasi ky është një aplikim shumë i pazakontë. Projekti, i quajtur Aural, u shpik nga i njëjti person që krijoi Incendia. Megjithatë, këtë herë programi nuk e vizualizon grupin fraktal, por e tingëllon atë, duke e kthyer në muzikë elektronike. Ideja është shumë interesante, veçanërisht duke marrë parasysh vetitë e pazakonta të fraktaleve. Aural është një redaktues audio që gjeneron melodi duke përdorur algoritme fraktal, domethënë, në thelb, është një sintetizues audio-sekuencues.

Sekuenca e tingujve të prodhuar nga ky program është e pazakontë dhe... e bukur. Mund të jetë i dobishëm për të shkruar ritme moderne dhe, na duket, është veçanërisht i përshtatshëm për krijimin e kolonave zanore për ruajtësit e ekranit të programeve televizive dhe radiofonike, si dhe "qarqe" të muzikës në sfond për Lojra kompjuterike. Ramiro nuk ka dhënë ende një demo të programit të tij, por premton se kur ta bëjë këtë, për të punuar me Aural, nuk do t'ju duhet të studioni teorinë fractal - thjesht do t'ju duhet të luani me parametrat e algoritmit për gjenerimin e një sekuence të shënimeve. Dëgjoni se si tingëllojnë fraktale, dhe.

Fraktale: pushim muzikor

Në fakt, fraktalet mund t'ju ndihmojnë të shkruani muzikë edhe pa softuer. Por kjo mund të bëhet vetëm nga dikush që është me të vërtetë i mbushur me idenë e harmonisë natyrore dhe që nuk është kthyer në një "njerëz" fatkeq. Ka kuptim të marrim një shembull nga një muzikant i quajtur Jonathan Coulton, i cili, ndër të tjera, shkruan kompozime për revistën Popular Science. Dhe ndryshe nga interpretuesit e tjerë, Colton i publikon të gjitha veprat e tij nën një licencë Creative Commons Attribution-Jocommercial, e cila (kur përdoret për qëllime jokomerciale) parashikon kopjimin, shpërndarjen, transferimin falas të veprës tek të tjerët, si dhe modifikimin e saj ( krijimi i veprave derivative) në mënyrë që ta përshtatni me detyrat tuaja.

Jonathan Colton, sigurisht, ka një këngë për fraktale.

⇡ Përfundim

Në çdo gjë që na rrethon, ne shohim shpesh kaos, por në fakt ky nuk është një aksident, por një formë ideale, të cilën fraktalet na ndihmojnë ta dallojmë. Natyra është arkitekti, ndërtuesi dhe inxhinieri ideal. Është strukturuar shumë logjikisht, dhe nëse nuk shohim një model diku, kjo do të thotë që ne duhet ta kërkojmë atë në një shkallë tjetër. Njerëzit e kuptojnë këtë gjithnjë e më mirë, duke u përpjekur të imitojnë format natyrore në shumë mënyra. Inxhinierët projektojnë sisteme altoparlantësh në formë guaska, krijojnë antena në formë flok dëbore etj. Jemi të sigurt se fraktalet ende përmbajnë shumë sekrete dhe shumë prej tyre ende nuk janë zbuluar nga njerëzit.

Sot njerëzit jetojnë në një botë ku informacioni ka një rëndësi të madhe. Është shumë e rëndësishme të mësoni se si të punoni me të saktë dhe të përdorni mjete të ndryshme për këtë punë. Një nga këto mjete është kompjuteri, i cili është bërë një asistent universal për njerëzit në fusha të ndryshme aktivitetet. Modelet moderne matematikore janë aq të bukura dhe misterioze sa mund të çmendin lehtësisht një student dhe shkencëtar mbresëlënës. Imazhet me shumë ngjyra të fraktaleve mahniten me harmoninë e tyre moderne. Prandaj, mund të varni me siguri një pikturë fraktal në mur në shtëpi dhe të mashtroni familjen tuaj duke thënë se kjo është vepër e një artisti të famshëm dhe e keni blerë atë për para të çmendura në një ekspozitë super-mode të artit modern avangardë.

Fraktale të shquar në atë që shumë prej tyre janë çuditërisht të ngjashme me atë që gjejmë në natyrë. Flokë bore, kali i detit, degë pemësh, vetëtima dhe vargjet malore mund të vizatohen duke përdorur fraktale. Prandaj, shumë shkencëtarë modernë thonë se natyra ka vetinë e fraktalitetit. Pa ekzagjerim, mund të themi se bashkautori i zbulimit të Mandelbrot është një kompjuter. Për të vizatuar një fraktal, duhet të bëni një numër të madh llogaritjesh dhe të shfaqni pikat e gjetura në një grafik. Bërja e kësaj me dorë është jashtëzakonisht e lodhshme, por kompjuteri e përballon këtë detyrë në mënyrë të përsosur. Me ardhjen e grafikës kompjuterike, vetë qasja ndaj kërkimit në shkencat ekzakte ka ndryshuar. Nëse më parë shkencëtarët duhej të merreshin kryesisht me numra dhe formula, tani puna e tyre është bërë shumë më interesante. Duke përdorur kompjuterë, ata mund të vizatojnë figura të mëdha e të bukura të dukurive që po studiojnë. Disa nga shkencëtarët u interesuan aq shumë për këtë saqë u bënë artistë, dhe sot ekspozitat e pikturës fraktal mbahen në të gjithë botën.

Pra, çfarë është një fraktal?

Fraktalet janë objekte gjeometrike me veti të mahnitshme: çdo pjesë e fraktalit përmban imazhin e tij të reduktuar. Kjo do të thotë, sado që ta zmadhoni fraktalin, një kopje më e vogël e tij do t'ju shikojë nga çdo pjesë e tij.

Idetë e para të gjeometrisë fraktal lindën në shekullin e 19-të. Çfarë është grafika fraktal? Nga të gjitha fotografitë që mund të krijojë një kompjuter, pak mund të rivalizojnë imazhet fraktale kur bëhet fjalë për bukurinë e vërtetë. Për shumicën prej nesh, fjala "fraktal" sjell në mendje rrotullime ngjyrash që formojnë një model kompleks, delikate dhe të përbërë. Por në fakt, ky term ka një kuptim shumë më të gjerë. Një fraktal është një objekt me kompleksitet të pafund, që ju lejon të shihni sa më shumë detaje të tij nga afër, sa nga larg.

Toka është një shembull klasik i një objekti fraktal. Nga hapësira duket si një top. Nëse i afrohemi, do të gjejmë oqeane, kontinente, vija bregdetare dhe vargmalet malore. Le t'i shikojmë malet më afër - ato do të bëhen edhe më të dukshme pjesë të vogla: Një copë tokë në sipërfaqen e një mali është, në shkallë, po aq komplekse dhe e pabarabartë sa vetë mali. Dhe zmadhimi edhe më i madh do të zbulojë grimca të vogla të tokës, secila prej të cilave është në vetvete një objekt fraktal. Kompjuterët bëjnë të mundur ndërtimin e modeleve të strukturave të tilla pafundësisht të detajuara.

Ka shumë metoda për krijimin e imazheve fraktal në një kompjuter. Dy profesorë matematike në Georgia Tech kanë zhvilluar një metodë të përdorur gjerësisht të njohur si Sistemet e Funksionit Përsëritës (IIF). Kjo metodë krijon imazhe realiste të objekteve natyrore, të tilla si gjethet dhe pemët e fierit, duke aplikuar në mënyrë të përsëritur transformime që lëvizin, ndryshojnë madhësinë dhe rrotullojnë pjesë të imazhit. SIF përfiton nga vetëngjashmëria që gjendet në krijimet e natyrës dhe modelon një objekt si një përbërje e shumë kopjeve të vogla të tij.

Imazhe fraktale me kaçurrela me shumë ngjyra zakonisht i përkasin kategorisë së të ashtuquajturave fraktale me një prag kohor, të cilat përshkruhen si pika në planin kompleks me ngjyra që pasqyrojnë kohën e nevojshme për kalimin e orbitës së një pike të caktuar ("përmbysur") një kufi të caktuar. Rrafshi kompleks është si një plan koordinativ me boshte x dhe y. Duke përdorur një palë koordinata, një pikë ndërtohet në planin kompleks në të njëjtën mënyrë si një pikë në planin Oxy, por numrat janë të ndryshëm, kuptim i pazakontë: Ata kanë një komponent imagjinar të quajtur i, i cili është i barabartë me rrenja katrore nga -1. (Kjo është arsyeja pse i është një njësi imagjinare; në realitet, rrënja e -1 nuk ekziston.) Kjo shtrembëron rregulla normale Matematikanë, kështu që operacionet e zakonshme si shumëzimi i dy numrave prodhojnë rezultate të pazakonta.

Fraktali më i famshëm Kompleti Mandelbrot- një fraktal me një prag kohor. Për çdo pikë në ekran, kompjuteri llogarit koordinatat e një sërë pikash që përcaktojnë një shteg imagjinar të quajtur orbitë. Pikat, orbitat e të cilave nuk shtrihen kurrë përtej cilindrit imagjinar të vendosur në origjinën e rrafshit kompleks konsiderohen elementë të grupit Mandelbrot dhe zakonisht lyhen me ngjyrë të zezë. Pikat orbitat e të cilave shtrihen përtej cilindrit janë të ngjyrosura në përputhje me shpejtësinë e "ikjes": një piksel orbita e të cilit largohet nga cilindri, për shembull, në përsëritjen e gjashtë, mund të jetë me ngjyrë blu dhe një orbita e të cilit kërkon shtatë përsëritje për ta bërë këtë. mund të jetë me ngjyrë të kuqe. Si rezultat, imazhi do të tregojë grupin Mandelbrot dhe mjedisin e tij me rajone fraktale "të paqëndrueshme" - rajone për të cilat ndryshime të vogla në formulë çojnë në një ndryshim të madh në sjelljen orbitale. Kjo karakterizohet nga dendësia e hijezimit të vizatimit. Duke ndryshuar formulën për llogaritjen e orbitave, marrim fraktale të tjera, po aq ekzotike, me një prag kohor.

Struktura pafundësisht e detajuar e grupit Mandelbrot bëhet "e qartë" ndërsa zmadhoni një rajon arbitrar. Nuk ka rëndësi se sa e vogël është zona që po shikoni: modeli që shihni do të jetë po aq kompleks. Pse? Sepse në rrafshin dydimensional në të cilin është ndërtuar grupi Mandelbrot, çdo rajon përmban një numër të pafund pikash. Kur zgjidhni një zonë për të shfaqur, kompjuteri lidh pikat në zonë me pikat në ekran. Dhe çdo pikë, e zgjedhur sa më afër që të jetë e mundur me një tjetër, ka orbitën e saj karakteristike, duke gjeneruar një model ngjyrash përkatëse.

Fraktalet nuk janë vetëm një çështje kurioziteti matematikor, ato kanë aplikime të dobishme. Peizazhet fraktale, për shembull, janë përdorur si mjedise në filmat fantastiko-shkencor si " Star Trek" Fraktalet CIF përdoren për kompresimin e imazhit dhe metoda fraktal shpesh prodhon rezultate më të mira kur kompresohen disa herë sesa JPEG dhe metodat e tjera të kompresimit, me pak humbje në cilësinë e imazhit. Fraktalet e pragut kohor përdoren për të modeluar sjelljen e sistemeve dinamike kaotike (sisteme në të cilat ndryshimet e vogla në hyrje çojnë në ndryshime të mëdha në dalje), siç është sjellja e motit.

Më lejoni t'ju prezantoj pak me modelet fraktale:

Pajtohem që duket mbresëlënëse!

Por peizazhet fraktale të bëra në 3D duken edhe më të pabesueshme:

Klasa master për nxënës të shkollave të vogla"Copa me shumë ngjyra" (model fraktal).

Modeli fraktal.

Autorët e metodës janë T. 3. Poluyakhtova dhe A. E. Komov. Metoda e tyre e modelit fraktal është mbi 20 vjeç. Gjatë kësaj kohe, mijëra njerëz u njohën me metodën.
Sipas librit të autorit:
"Dita e 14 korrikut 1991 ishte veçanërisht e rëndësishme. Në këtë kohë, teknologjia e modeleve fraktal si test ishte zhvilluar tashmë.
Për ta përfunduar atë, të gjithë dëgjuesve iu kërkua të merrnin fletë identike të letrës Whatman (format A4).
Për të përjashtuar ndikimin e vetëdijes në vizatim, të gjithë subjekteve të testimit iu kërkua të mbyllnin sytë në kohën e ekzekutimit. Dhe, pa e hequr dorën nga fleta, lëvizni stilolapsin mbi fletë për 45-60 sekonda, duke u përpjekur të mbushni pjesën më të madhe të tij.
Dyzet e nëntë persona morën pjesë në mësim - të rritur dhe fëmijë. Pjesëmarrësi më i vjetër në seminar ishte 56 vjeç, më i vogli 6 vjeç.
Procesi i vizatimit me sytë e mbyllur dukej si një sakrament i mahnitshëm. Ishte interesante të shikoje gjithçka që ndodhte.
Më në fund 60 sekondat e caktuara kanë përfunduar. Të gjithë hapën sytë, shikuan vizatimet e tyre dhe në sallë kumbuan të qeshura miqësore. Që atëherë, ky reagim i subjekteve të testimit është përsëritur për dhjetë vjet.
Ajo që përshkruhej në çdo fletë letre shkaktoi vërtet të qeshura. Modelet e të gjithëve ishin të ndryshme: disa kishin qeliza drejtkëndëshe, të tjera trekëndore, disa kishin vija të lëmuara, disa kishin këndore, ndonjëherë sythe dhe rrathë të fortë.
Pastaj dëgjuesve iu kërkua të ngjyrosnin vizatimin që rezulton. Për të përjashtuar ndikimin e vetëdijshëm në zgjedhjen e ngjyrës, ne ramë dakord: merrni lapsa dhe stilolapsa me majë vetëm me sy të mbyllur.
Kur të gjitha vizatimet përfunduan, pjesëmarrësit e seminarit panë një galeri të tërë të kushteve njerëzore.”
Baza e metodës është parimi i fraktaleve dhe fraktalitetit si të tillë. Vizatimi këtu konsiderohet një vazhdim i një personi, një pjesë e vogël e tij, një projeksion. Dhe kjo pjesë e vogël pasqyron tërësinë e madhe - personin. Duke parë vizatimin, mund të diagnostikoni gjendjen e autorit të tij.

Për të punuar ju duhet:

një grup lapsash me ngjyra, stilolapsa me majë dhe stilolapsa në sa më shumë nuanca ngjyrash; Fletë A4 e letrës Whatman; stilolaps në ngjyrë të zezë ose blu të errët.

Shëmbëlltyra "Laps"

Përpara se ta vendosni lapsin në kuti, krijuesi i lapsit e vendosi mënjanë.
"Ka pesë gjëra që duhet të dini," i tha ai lapsit, "para se të të dërgoj në botë." Mbajini gjithmonë ato dhe mos harroni kurrë, dhe atëherë do të bëheni lapsi më i mirë kushdo qe te jesh.
Së pari, ju mund të bëni shumë gjëra të mëdha, por vetëm nëse lejoni Dikë t'ju mbajë në dorën e Tij.
Së dyti, herë pas here do të përjetoni mprehje të dhimbshme, por do të jetë e nevojshme të bëheni një lapsues më i mirë.
Së treti: do të jeni në gjendje të korrigjoni gabimet që bëni.
Së katërti: pjesa juaj më e rëndësishme do të jetë gjithmonë brenda jush.
Dhe së pesti: pa marrë parasysh se në cilën sipërfaqe jeni përdorur, duhet të lini gjithmonë shenjën tuaj. Pavarësisht nga gjendja juaj, ju duhet të vazhdoni të shkruani.
Lapsi e kuptoi dhe premtoi se do ta kujtonte këtë. Ai u vendos në një kuti me një thirrje në zemër.

Procesi i punës hap pas hapi:

1. Ne mbledhim materialet e nevojshme për punë.

ANEKSI 1.

DEKODIMI I MODELIT FRAKTAL
1. ANALIZA DHE DEKODIMI I INFORMACIONIT TË PËRMBAJTUR NË NJË MOBIL FRAKTAL FILLON ME RREZA.
Një vijë e tërhequr qartë - karakter i sigurt, i fortë, qëllimshmëri dhe pavarësi, saktësi, zell, përkushtim.
Presioni kur vizatoni një vijë nuk është i njëjtë kudo - më shpesh është person krijues me një karakter fleksibël, një ëndërrimtar, emocione jo gjithmonë të qëndrueshme, ndonjëherë shfaqet vetë-dyshimi.
Linjat e vizatuara dobët tregojnë një gjendje të dhimbshme, komplekse, dyshim të dukshëm në vetvete.
Linjat e mprehta, të vizatuara këndore tregojnë tension emocional, një gjendje stresuese.
Linjat me tranzicion të qetë - një gjendje harmonike, e qëndrueshme.
Rregullimi i linjave në një rreth koncentrik, përsëritja rrethore në vizatim - një tendencë për gjendje obsesive, neuroza.

2. MADHËSIA DHE KONFIGURIMI I MOBILIT
Një vizatim i vogël (jo më shumë se 1/3 e sipërfaqes së fletës) - nga njëra anë, komplekset dhe vetëvlerësimi i ulët, nga ana tjetër, një tendencë drejt egocentrizmit.
Madhësia mesatare (rreth 2/3 e sipërfaqes së fletës) dhe perimetri ovale i modelit janë më shpesh një tregues i një karakteri të ekuilibruar.
Një vizatim i madh (dukshëm më shumë se 2/3 e sipërfaqes së fletës) me vija që shtrihen përtej fletës është i paqëndrueshëm gjendje emocionale, në disa raste, pamundësia për t'u përqëndruar. Forma drejtkëndore e perimetrit të dizajnit është drejtvizore, shpesh e ndërlikuar në natyrë.
Konfigurimi i vizatimit me "bishte" të shprehura në mënyrë të çuditshme përgjatë perimetrit të tij është një individualitet i ndritshëm, origjinalitet dhe, në disa raste, paqëndrueshmëri e karakterit.

3. QELIZAT. KONFIGURIMI DHE DIMENSIONET.
Një kombinim harmonik i madhësive të qelizave në të gjithë zonën e modelit (1/3 e madhe, 1/3 e mesme, 1/3 e vogël) flet për vetëbesim, vendosmëri dhe stabilitet.
Një numër i madh i qelizave të mëdha - një natyrë e mirë, e hapur.
Një numër i madh i qelizave të mesme - zell, saktësi, pedanteri, prania e aftësive analitike, një prirje për shkencat e sakta.
Një numër i madh i qelizave të vogla - kompleksitet, një dëshirë për detaje, në disa raste vetë-dyshim, por gjithmonë saktësi dhe zell.
Qeliza të lëmuara, të rrumbullakosura me një numër të vogël formash gjeometrike - një karakter i arsyeshëm, i qetë, një prirje për kreativitet.
Një numër i madh i formave gjeometrike - një tendencë e theksuar për analizë, skepticizëm në vlerësime, një karakter i drejtpërdrejtë autoritar.
Qeliza të tërhequra ashpër, këndore, të pabarabarta - paqëndrueshmëri emocionale, acarim, stres.

4. NJOLLA
Qeliza të vogla të zeza (njolla me pika) - prania e cilësisë së një "ish" ngjarjesh (ndodh atë që mendon një person).
Çdo njollë e vogël e zezë është dëshmi e fillimit të një ndryshimi të ngjarjeve në kohën e tanishme.
Një numër i dukshëm i njollave të mesme ose një njollë e zezë e madhe është uria e energjisë (punë e padëshiruar, punë boshe).
Një pikë e madhe e errët lokale është një problem akut personal.

5. THEKSET KARAKTERISTIKE TË NGJYRAVE
Qeliza të mëdha të kuqe - predispozicion ndaj gjendjeve obsesive, ankth.
Një numër i dukshëm i njollave të kuqe të mesme - tension, emocione të paqëndrueshme.
Një ose më shumë qeliza të mëdha Kafe- problemet e marrëdhënieve ndërpersonale që nuk janë zgjidhur për një kohë të gjatë.
Një numër i madh i hijeve të gjelbër - aftësi natyrore trupi drejt vetërregullimit.
Një ose më shumë qeliza të mëdha vjollce - ankthi, agresioni, stresi akut.

6. NGJYRA
Një sfond i pastër i bardhë pa njolla ose njolla do të thotë përqendrim i lartë, zell dhe përpikmëri.
Qelizat e bardha të palyera rastësisht ose qëllimisht tregojnë një mungesë të konsiderueshme të kërkesës për veçori natyrore.
- E verdha e limonit është ngjyra e një edukatori, një mësuesi.
- E verdha e pulës është ngjyra e "përsëritësit", transmetuesit të informacionit, komentuesit.
- Ngjyra e gjelbër e të gjitha nuancave është ngjyra e energjisë së shëndetshme, aftësia optimale e trupit për të rezistuar dhe vetë-shëruar dhe aftësia për t'u shëruar.
Blu është ngjyra e energjisë së qetë.
Blu dhe blu e errët janë ngjyra e energjisë së ftohtë, indiferente.
Lilac është ngjyra e energjisë së fortë.
Vjollca është ngjyra e energjisë që rrjedh.
Lilac është ngjyra e energjisë së fuqishme dhe të pakontrollueshme.
Roza është ngjyra e energjisë së ngrohtë.
Scarlet, crimson - një ngjyrë që sinjalizon praninë e rrezikut, një ngjyrë alarmi.
Një nuancë e trashë e kuqe, burgundy, qershi - ngjyra e forcës, energjia agresive.
- ngjyrë portokalli- ngjyra e energjisë jetike, seksuale.
- Nuancat e lehta (të artë, bezhë, okër, rërë) të kafesë janë ngjyra e energjisë së pastër, energjisë së shenjtë.
- Kafe është një ngjyrë që përcakton praninë e telasheve, ndjenjave të thella, depresionit (në kombinim me ngjyra dhe nuanca të tjera të errëta).
- Kafe e errët është një ngjyrë që përcakton praninë e telasheve, emocioneve të thella, depresionit (në kombinim me ngjyra dhe nuanca të tjera të errëta).
- Ngjyra gri është një ngjyrë që përcakton praninë e energjive të paqëndrueshme, në kombinim me ngjyra të tjera të errëta - shtet kufitar. Në sasi të vogla, kjo ngjyrë nënkupton një ndryshim të shpejtë në ngjarjet aktuale.
- Ngjyra e zezë është ngjyra e një vrime energjie, vakum, zbrazëti, privim energjie.

Shpesh, zbulimet e shkëlqyera të bëra në shkencë mund të ndryshojnë rrënjësisht jetën tonë. Për shembull, shpikja e një vaksine mund të shpëtojë shumë njerëz, por krijimi i armëve të reja çon në vrasje. Fjalë për fjalë dje (në shkallën e historisë) njeriu "zbuti" energjinë elektrike, dhe sot ai nuk mund ta imagjinojë më jetën e tij pa të. Megjithatë, ka edhe zbulime që, siç thonë ata, mbeten në hije, pavarësisht se edhe ato kanë një ose një tjetër ndikim në jetën tonë. Një nga këto zbulime ishte fraktali. Shumica e njerëzve as që kanë dëgjuar kurrë për këtë koncept dhe nuk do të jenë në gjendje të shpjegojnë kuptimin e tij. Në këtë artikull do të përpiqemi të kuptojmë pyetjen se çfarë është një fraktal dhe të shqyrtojmë kuptimin e këtij termi nga këndvështrimi i shkencës dhe natyrës.

Rendi në kaos

Për të kuptuar se çfarë është një fraktal, duhet të fillojmë debrifingun nga pozicioni i matematikës, por para se të thellohemi në të, do të filozofojmë pak. Çdo person ka një kuriozitet të natyrshëm, falë të cilit ai mëson për botën përreth tij. Shpesh, në kërkimin e dijes, ai përpiqet të përdorë logjikën në gjykimet e tij. Kështu, duke analizuar proceset që ndodhin rreth tij, ai përpiqet të llogarisë marrëdhëniet dhe të nxjerrë modele të caktuara. Mendjet më të mëdha në planet janë të zënë me zgjidhjen e këtyre problemeve. Përafërsisht, shkencëtarët tanë po kërkojnë modele ku nuk ka asnjë dhe nuk duhet të ketë. E megjithatë, edhe në kaos ka një lidhje midis ngjarjeve të caktuara. Kjo lidhje është ajo që është fraktali. Si shembull, merrni parasysh një degë të thyer të shtrirë në rrugë. Nëse e shikojmë me vëmendje, do të shohim se me të gjitha degët dhe degët e saj ajo vetë duket si një pemë. Kjo ngjashmëri e një pjese të veçantë me një tërësi të vetme tregon të ashtuquajturin parim të vetëngjashmërisë rekursive. Fraktalet mund të gjenden kudo në natyrë, sepse shumë forma inorganike dhe organike formohen në mënyrë të ngjashme. Këto janë retë, predha deti, guaska kërmilli, kurorat e pemëve, madje edhe sistemi i qarkullimit të gjakut. Kjo listë mund të vazhdojë pafundësisht. Të gjitha këto forma të rastësishme përshkruhen lehtësisht nga një algoritëm fraktal. Tani kemi ardhur të shqyrtojmë se çfarë është një fraktal nga këndvështrimi i shkencave ekzakte.

Disa fakte të thata

Vetë fjala "fraktal" përkthehet nga latinishtja si "i pjesshëm", "i ndarë", "i fragmentuar" dhe për sa i përket përmbajtjes së këtij termi, nuk ka asnjë formulim si i tillë. Zakonisht interpretohet si një grup i vetë-ngjashëm, një pjesë e së tërës, e cila përsërit strukturën e saj në nivel mikro. Ky term u krijua në vitet shtatëdhjetë të shekullit të njëzetë nga Benoit Mandelbrot, i cili njihet si babai. Sot, koncepti i fraktalit nënkupton një imazh grafik të një strukture të caktuar, e cila, kur të zmadhohet, do të jetë e ngjashme me vetveten. Sidoqoftë, baza matematikore për krijimin e kësaj teorie u hodh edhe para lindjes së vetë Mandelbrot, por ajo nuk mund të zhvillohej derisa u shfaqën kompjuterët elektronikë.

Sfondi historik, ose si filloi gjithçka

Në fund të shekujve 19 dhe 20, studimi i natyrës së fraktaleve ishte sporadik. Kjo shpjegohet me faktin se matematikanët preferonin të studionin objekte që mund të studiohen bazuar në teoritë e përgjithshme dhe metodat. Në 1872, matematikani gjerman K. Weierstrass ndërtoi një shembull funksion të vazhdueshëm, nuk diferencohet askund. Megjithatë, ky ndërtim doli të ishte krejtësisht abstrakt dhe i vështirë për t'u perceptuar. Më pas erdhi suedezi Helge von Koch, i cili në vitin 1904 ndërtoi një kurbë të vazhdueshme që nuk kishte tangjente askund. Është mjaft e lehtë për t'u vizatuar dhe rezulton të ketë veti fraktale. Një nga variantet e kësaj kurbë u emërua pas autorit të saj - "Floko dëbore Koch". Më tej, ideja e vetë-ngjashmërisë së figurave u zhvillua nga mentori i ardhshëm i B. Mandelbrot, francezi Paul Levy. Në vitin 1938, ai botoi artikullin "Kurbat dhe sipërfaqet planore dhe hapësinore të përbëra nga pjesë të ngjashme me të tërën". Në të ai përshkroi lloji i ri- Kurba C e Levit. Të gjitha figurat e mësipërme klasifikohen në mënyrë konvencionale si fraktale gjeometrike.

Fraktale dinamike ose algjebrike

Kompleti Mandelbrot i përket kësaj klase. Studiuesit e parë në këtë drejtim ishin matematikanët francezë Pierre Fatou dhe Gaston Julia. Në vitin 1918, Julia botoi një punim të bazuar në studimin e përsëritjeve të funksioneve komplekse racionale. Këtu ai përshkroi një familje fraktalesh që janë të lidhura ngushtë me grupin Mandelbrot. Pavarësisht se kjo pune lavdëroi autorin midis matematikanëve, ajo u harrua shpejt. Dhe vetëm gjysmë shekulli më vonë, falë kompjuterëve, puna e Julia mori një jetë të dytë. Kompjuterët bënë të mundur të bënin të dukshme për çdo person bukurinë dhe pasurinë e botës së fraktaleve që matematikanët mund t'i "shikonin" duke i shfaqur ato përmes funksioneve. Mandelbrot ishte i pari që përdori një kompjuter për të kryer llogaritjet (një vëllim i tillë nuk mund të bëhet me dorë) që bëri të mundur ndërtimin e një imazhi të këtyre figurave.

Një person me imagjinatë hapësinore

Mandelbrot filloi karrierën e tij shkencore në IBM Research Center. Gjatë studimit të mundësive të transmetimit të të dhënave në distanca të gjata, shkencëtarët u përballën me faktin e humbjeve të mëdha që lindën për shkak të ndërhyrjes së zhurmës. Benoit po kërkonte mënyra për ta zgjidhur këtë problem. Duke parë rezultatet e matjes, ai vuri re një model të çuditshëm, domethënë: grafikët e zhurmës dukeshin të njëjta në shkallë të ndryshme kohore.

Një pamje e ngjashme u vërejt si për një periudhë një ditore ashtu edhe për shtatë ditë ose për një orë. Vetë Benoit Mandelbrot përsëriste shpesh se nuk punon me formula, por luan me fotografi. Ky shkencëtar ishte ndryshe të menduarit imagjinativ, ai përktheu çdo problem algjebrik në rajonin gjeometrik, ku përgjigja e saktë është e dukshme. Pra, nuk është për t'u habitur që ai dallohet për nga pasuria e tij dhe u bë babai i gjeometrisë fraktal. Në fund të fundit, ndërgjegjësimi për këtë figurë mund të vijë vetëm kur studioni vizatimet dhe mendoni për kuptimin e këtyre rrotullimeve të çuditshme që formojnë modelin. Modelet fraktale nuk kanë elemente identike, por ato janë të ngjashme në çdo shkallë.

Julia - Mandelbrot

Një nga vizatimet e para të kësaj figure ishte një interpretim grafik i grupit, i cili lindi nga puna e Gaston Julia dhe u zhvillua më tej nga Mandelbrot. Gaston u përpoq të imagjinonte se si do të dukej një grup bazuar në një formulë të thjeshtë që përsëritej përmes një cikli reagimi. Le të përpiqemi të shpjegojmë atë që është thënë në gjuhën njerëzore, si të thuash, në gishta. Për një vlerë numerike specifike, gjejmë një vlerë të re duke përdorur një formulë. Ne e zëvendësojmë atë në formulë dhe gjejmë sa vijon. Rezultati është i madh.Për të përfaqësuar një grup të tillë është e nevojshme të kryhet ky operacion një numër të madh herë: qindra, mijëra, miliona. Kjo është ajo që bëri Benoit. Ai përpunoi sekuencën dhe i transferoi rezultatet në formë grafike. Më pas, ai ngjyrosi figurën që rezulton (secila ngjyrë korrespondon me një numër të caktuar përsëritjesh). Ky imazh grafik u emërua "Mandelbrot fractal".

L. Carpenter: art i krijuar nga natyra

Teoria e fraktaleve gjeti shpejt zbatim praktik. Meqenëse është shumë e lidhur me vizualizimin e imazheve të ngjashme, artistët ishin të parët që adoptuan parimet dhe algoritmet për ndërtimin e këtyre formave të pazakonta. E para prej tyre ishte themeluesi i ardhshëm i Pixar, Lauren Carpenter. Ndërsa punonte për një prezantim të prototipave të avionëve, ai lindi me idenë e përdorimit të një imazhi të maleve si sfond. Sot, pothuajse çdo përdorues i kompjuterit mund të përballojë një detyrë të tillë, por në vitet shtatëdhjetë të shekullit të kaluar kompjuterët nuk ishin në gjendje të kryenin procese të tilla, sepse në atë kohë nuk kishte redaktorë grafikë apo aplikacione për grafikë tredimensionale. Dhe më pas Loren hasi në librin e Mandelbrot "Fractals: Form, Randomness and Dimension". Në të, Benoit dha shumë shembuj, duke treguar se fraktalet ekzistojnë në natyrë (fyva), ai përshkroi format e tyre të ndryshme dhe vërtetoi se ato përshkruhen lehtësisht me shprehje matematikore. Matematicieni e përmendi këtë analogji si një argument për dobinë e teorisë që po zhvillonte si përgjigje ndaj një breshëri kritikash nga kolegët e tij. Ata argumentuan se një fraktal është i drejtë Pikture e bukur, i cili nuk ka vlerë dhe është nënprodukt i funksionimit të makinave elektronike. Carpenter vendosi ta provonte këtë metodë në praktikë. Pasi studioi me kujdes librin, animatori i ardhshëm filloi të kërkonte një mënyrë për të zbatuar gjeometrinë fraktal në grafikën kompjuterike. Atij iu deshën vetëm tre ditë për të bërë një imazh plotësisht realist të peizazhit malor në kompjuterin e tij. Dhe sot ky parim përdoret gjerësisht. Siç rezulton, krijimi i fraktaleve nuk kërkon shumë kohë dhe përpjekje.

Zgjidhja e marangozit

Parimi që përdori Lauren ishte i thjeshtë. Ai konsiston në ndarjen e më të mëdhenjve në elementë të vegjël, dhe atyre në të ngjashëm më të vegjël, e kështu me radhë. Carpenter, duke përdorur trekëndësha të mëdhenj, i ndau në 4 të vegjël e kështu me radhë, derisa pati një peizazh malor realist. Kështu, ai u bë artisti i parë që përdori një algoritëm fraktal në grafikën kompjuterike për të ndërtuar imazhin e kërkuar. Sot ky parim përdoret për të imituar forma të ndryshme realiste natyrore.

Vizualizimi i parë 3D duke përdorur një algoritëm fraktal

Disa vjet më vonë, Lauren zbatoi zhvillimet e tij në një projekt në shkallë të gjerë - videon e animuar Vol Libre, e shfaqur në Siggraph në 1980. Kjo video tronditi shumë dhe krijuesi i saj u ftua të punonte në Lucasfilm. Këtu animatori ishte në gjendje të realizonte potencialin e tij të plotë; ai krijoi peizazhe tredimensionale (një planet i tërë) për filmin artistik "Star Trek". Çdo program modern("Fractals") ose një aplikacion grafike 3D (Terragen, Vue, Bryce) përdor të njëjtin algoritëm për të modeluar teksturat dhe sipërfaqet.

Tom Beddard

Dikur një fizikant lazer dhe tani një artist dhe artist dixhital, Beddard krijoi një numër formash gjeometrike shumë intriguese, të cilat ai i quajti fraktale Fabergé. Nga pamja e jashtme, ato ngjajnë me vezë dekorative nga një argjendari rus; ata kanë të njëjtin model të shkëlqyeshëm dhe të ndërlikuar. Beddard përdori një metodë shabllon për të krijuar interpretimet e tij dixhitale të modeleve. Produktet që rezultojnë mahniten me bukurinë e tyre. Edhe pse shumë refuzojnë të krahasojnë një produkt të punuar me dorë me program kompjuterik, megjithatë, duhet pranuar se format që rezultojnë janë jashtëzakonisht të bukura. Pika kryesore është se çdokush mund të ndërtojë një fraktal të tillë duke përdorur bibliotekën e softuerit WebGL. Kjo ju lejon të eksploroni struktura të ndryshme fraktale në kohë reale.

Fraktale në natyrë

Pak njerëz i kushtojnë vëmendje, por këto figura mahnitëse janë të pranishme kudo. Natyra është krijuar nga figura të ngjashme, ne thjesht nuk e vërejmë atë. Mjafton të shikojmë lëkurën tonë ose një gjethe peme përmes një xham zmadhues dhe do të shohim fraktale. Ose merrni, për shembull, një ananas apo edhe bishtin e një palloi - ato përbëhen nga figura të ngjashme. Dhe varieteti i brokolit Romanescu është përgjithësisht i mrekullueshëm në pamjen e tij, sepse me të vërtetë mund të quhet një mrekulli e natyrës.

Pauzë muzikore

Rezulton se fraktalet nuk janë vetëm forma gjeometrike, ato mund të jenë edhe tinguj. Kështu, muzikanti Jonathan Colton shkruan muzikë duke përdorur algoritme fraktale. Ai pretendon se korrespondon me harmoninë natyrore. Kompozitori publikon të gjitha veprat e tij nën një licencë CreativeCommons Attribution-Noncommercial, e cila parashikon shpërndarjen, kopjimin dhe transferimin falas të veprave te të tjerët.

Treguesi fraktal

Kjo teknikë ka gjetur një aplikim shumë të papritur. Mbi bazën e tij, u krijua një mjet për analizimin e tregut të bursës, dhe, si rezultat, ai filloi të përdoret në tregun Forex. Në ditët e sotme, treguesi fraktal gjendet në të gjitha platformat e tregtimit dhe përdoret në një teknikë tregtare të quajtur breakout çmimi. Kjo teknikë u zhvillua nga Bill Williams. Siç komenton autori shpikjen e tij, ky algoritëm është një kombinim i disa "qirinjve", në të cilët ai qendror pasqyron pikën ekstreme maksimale ose, anasjelltas, minimale.

Së fundi

Pra, ne shikuam se çfarë është një fraktal. Rezulton se në kaosin që na rrethon, në të vërtetë ekzistojnë forma ideale. Natyra është arkitekti, ndërtuesi dhe inxhinieri ideal. Është rregulluar shumë logjikisht, dhe nëse nuk mund të gjejmë një model, kjo nuk do të thotë se nuk ekziston. Ndoshta duhet të shikojmë në një shkallë tjetër. Mund të themi me besim se fraktalet ende mbajnë shumë sekrete që nuk duhet t'i zbulojmë ende.