Si të merrni shpejt rrënjën e një numri të madh. Çfarë është një rrënjë katrore

Shumë shpesh, kur zgjidhim probleme, përballemi me numra të mëdhenj nga të cilët duhet të nxjerrim Rrenja katrore. Shumë studentë vendosin se ky është një gabim dhe fillojnë të zgjidhin të gjithë shembullin. Në asnjë rrethanë nuk duhet bërë kjo! Ka dy arsye për këtë:

1. Rrënjët e numrave të mëdhenj ndodhin në probleme. Sidomos në tekst;
2. Ekziston një algoritëm me të cilin këto rrënjë konsiderohen pothuajse verbalisht.

Ne do ta shqyrtojmë këtë algoritëm sot. Ndoshta disa gjëra do t'ju duken të pakuptueshme. Por nëse i kushtoni vëmendje këtij mësimi, do të merrni armën më të fuqishme kundër rrënjë katrore.

Pra, algoritmi:

1. Kufizoni rrënjën e dëshiruar sipër dhe poshtë në shumëfishat e 10. Kështu, ne do ta zvogëlojmë gamën e kërkimit në 10 numra;
2. Nga këta 10 numra, hiqni ato që definitivisht nuk mund të jenë rrënjë. Si rezultat, 1-2 numra do të mbeten;
3. Sheshi i këtyre 1-2 numrave. Ai prej tyre, katrori i të cilit është i barabartë me numrin origjinal, do të jetë rrënja.

Përpara se të zbatohet ky algoritëm të funksionojë në praktikë, le të shohim çdo hap individual.

Kufizimi i rrënjëve

Para së gjithash, ne duhet të zbulojmë se midis cilit numra ndodhet rrënja jonë. Është shumë e dëshirueshme që numrat të jenë shumëfish i dhjetës:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Ne marrim një seri numrash:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Çfarë na japin këto shifra? Është e thjeshtë: ne kemi kufij. Merrni, për shembull, numrin 1296. Ai shtrihet midis 900 dhe 1600. Prandaj, rrënja e tij nuk mund të jetë më e vogël se 30 dhe më e madhe se 40:

[Titulli i figurës]

E njëjta gjë është me çdo numër tjetër nga i cili mund të gjeni rrënjën katrore. Për shembull, 3364:

Kështu, në vend të një numri të pakuptueshëm, marrim një gamë shumë specifike në të cilën qëndron rrënja origjinale. Për të ngushtuar më tej fushën e kërkimit, shkoni në hapin e dytë.

Eliminimi i numrave dukshëm të tepërt

Pra, kemi 10 numra - kandidatë për rrënjë. I morëm shumë shpejt, pa menduar komplekse dhe shumëzuar në një kolonë. Është koha për të ecur përpara.

Besoni apo jo, tani do ta zvogëlojmë numrin e kandidatëve në dy - dhe përsëri pa ndonjë llogaritje të komplikuar! Mjafton të njohësh rregullin e veçantë. Ja ku eshte:

Shifra e fundit e katrorit varet vetëm nga shifra e fundit numri origjinal.

Me fjalë të tjera, mjafton të shikojmë shifrën e fundit të katrorit - dhe menjëherë do të kuptojmë se ku përfundon numri origjinal.

Ka vetëm 10 shifra që mund të jenë në vendin e fundit. Le të përpiqemi të zbulojmë se në çfarë shndërrohen kur janë në katror. Hidhini një sy tabelës:

Kjo tabelë është një hap tjetër drejt llogaritjes së rrënjës. Siç mund ta shihni, numrat në rreshtin e dytë doli të ishin simetrik në lidhje me pesë. Për shembull:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Siç mund ta shihni, shifra e fundit është e njëjtë në të dyja rastet. Dhe kjo do të thotë që, për shembull, rrënja e 3364 përfundon domosdoshmërisht në 2 ose 8. Nga ana tjetër, ne kujtojmë kufizimin nga paragrafi i mëparshëm. Ne marrim:

Sheshat e kuq tregojnë se ne ende nuk e dimë këtë shifër. Por në fund të fundit, rrënja qëndron midis 50 dhe 60, në të cilën ka vetëm dy numra që përfundojnë me 2 dhe 8:

Kjo eshte e gjitha! Nga të gjitha rrënjët e mundshme, ne lamë vetëm dy opsione! Dhe kjo është në rastin më të vështirë, sepse shifra e fundit mund të jetë 5 ose 0. Dhe atëherë kandidati i vetëm për rrënjët do të mbetet!

Llogaritjet përfundimtare

Pra, na kanë mbetur 2 numra kandidatësh. Si e dini se cila është rrënja? Përgjigja është e qartë: katrore të dy numrat. Ai që ka në katror do të japë numrin origjinal dhe do të jetë rrënja.

Për shembull, për numrin 3364, gjetëm dy numra kandidatë: 52 dhe 58. Le t'i vendosim në katror:

52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364.

Kjo eshte e gjitha! Doli që rrënja është 58! Në të njëjtën kohë, për të thjeshtuar llogaritjet, përdora formulën e katrorëve të shumës dhe diferencës. Falë kësaj, nuk ju është dashur as të shumëzoni numrat në një kolonë! Ky është një nivel tjetër i optimizimit të llogaritjeve, por, natyrisht, është plotësisht opsional :)

Shembuj të llogaritjes rrënjësore

Teoria është e mirë, sigurisht. Por le ta testojmë në praktikë.

[Titulli i figurës]

Së pari, le të zbulojmë se në cilat numra qëndron numri 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Tani le të shohim numrin e fundit. Është e barabartë me 6. Kur ndodh kjo? Vetëm nëse rrënja përfundon me 4 ose 6. Marrim dy numra:

Mbetet për të vendosur në katror çdo numër dhe për të krahasuar me origjinalin:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

E shkëlqyeshme! Sheshi i parë doli të ishte i barabartë me numrin origjinal. Pra, kjo është rrënja.

Detyrë. Llogaritni rrënjën katrore:

[Titulli i figurës]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Le të shohim numrin e fundit:

1369 → 9;
33; 37.

Le ta vendosim në katror:

33 2 \u003d (30 + 3) 2 \u003d 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369.

Këtu është përgjigja: 37.

Detyrë. Llogaritni rrënjën katrore:

[Titulli i figurës]

Ne kufizojmë numrin:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Le të shohim numrin e fundit:

2704 → 4;
52; 58.

Le ta vendosim në katror:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Morëm përgjigjen: 52. Numri i dytë nuk do të ketë më nevojë të jetë katror.

Detyrë. Llogaritni rrënjën katrore:

[Titulli i figurës]

Ne kufizojmë numrin:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Le të shohim numrin e fundit:

4225 → 5;
65.

Siç mund ta shihni, pas hapit të dytë, mbetet vetëm një opsion: 65. Kjo është rrënja e dëshiruar. Por le ta rrafshojmë dhe të kontrollojmë:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Gjithçka është e saktë. Ne e shkruajmë përgjigjen.

konkluzioni

Mjerisht, jo më mirë. Le të hedhim një vështrim në arsyet. Janë dy prej tyre:

• Ndalohet përdorimi i makinave llogaritëse në çdo provim normal të matematikës, qoftë GIA ose Provimi i Unifikuar i Shtetit. Dhe për të mbajtur një makinë llogaritëse në klasë, ata lehtë mund të përjashtohen nga provimi.
• Mos u bëni si amerikanët budallenj. Që nuk janë si rrënjët - nuk mund të shtojnë dy numra të thjeshtë. Dhe në shikimin e fraksioneve, ata në përgjithësi bëhen histerikë.

Llogaritja (ose nxjerrja) e rrënjës katrore mund të bëhet në disa mënyra, por të gjitha nuk janë shumë të thjeshta. Është më e lehtë, natyrisht, të përdorësh ndihmën e një kalkulatori. Por nëse kjo nuk është e mundur (ose dëshironi të kuptoni thelbin e rrënjës katrore), unë mund t'ju këshilloj të shkoni në mënyrën e mëposhtme, algoritmi i tij është si më poshtë:

Nëse nuk keni forcë, dëshirë ose durim për llogaritje të tilla të gjata, mund të drejtoheni në përzgjedhje të përafërt, plusi i tij është se është tepër i shpejtë dhe, me zgjuarsinë e duhur, i saktë. Shembull:

Kur isha në shkollë (në fillim të viteve '60), na mësuan të merrnim rrënjën katrore të çdo numri. Teknika është e thjeshtë, nga jashtë e ngjashme me ndarjen me një kolonë, por për ta thënë këtu, do të duhet gjysmë ore kohë dhe 4-5 mijë karaktere teksti. Por pse ju duhet? A keni një telefon apo vegël tjetër, ka një kalkulator në nm. Ka një kalkulator në çdo kompjuter. Personalisht, unë preferoj ta bëj këtë lloj llogaritje në Excel.

Shpesh në shkollë kërkohet gjetja e rrënjëve katrore të numrave të ndryshëm. Por nëse jemi mësuar të përdorim një kalkulator gjatë gjithë kohës për këtë, atëherë nuk do të ketë një mundësi të tillë në provime, kështu që duhet të mësoni se si të kërkoni rrënjën pa ndihmën e një kalkulatori. Dhe në parim është e mundur të bëhet kjo.

Algoritmi është:

Shikoni së pari shifrën e fundit të numrit tuaj:

Për shembull,

Tani duhet të përcaktoni afërsisht vlerën për rrënjën nga grupi më i majtë

Në rastin kur numri ka më shumë se dy grupe, atëherë duhet të gjeni rrënjën si kjo:

Por numri tjetër duhet të jetë saktësisht më i madhi, duhet ta zgjidhni kështu:

Tani duhet të formojmë një numër të ri A duke shtuar në pjesën e mbetur që është marrë më sipër, grupin tjetër.

Në shembujt tanë:

Një kolonë najna, dhe kur nevojiten më shumë se pesëmbëdhjetë karaktere, atëherë kompjuterët dhe telefonat me kalkulator më shpesh pushojnë. Mbetet për të kontrolluar nëse përshkrimi i metodologjisë do të marrë 4-5 mijë karaktere.

Merr çdo numër, nga një presje numërojmë çifte shifrash djathtas dhe majtas

Për shembull, 1234567890.098765432100

Një çift shifrash është si një numër dyshifror. Rrënja e një numri dyshifror është një me një. Ne zgjedhim një me vlerë të vetme, katrori i të cilit është më i vogël se çifti i parë i shifrave. Në rastin tonë është 3.

Ashtu si kur pjesëtojmë me një kolonë, nën çiftin e parë shkruajmë këtë katror dhe zbresim nga çifti i parë. Rezultati është nënvizuar. 12 - 9 = 3. Shtoni një çift të dytë shifrash në këtë ndryshim (do të jetë 334). Në të majtë të numrit të bermave, vlera e dyfishuar e pjesës së rezultatit që tashmë është gjetur plotësohet me një shifër (kemi 2 * 6 = 6), e tillë që kur shumëzohet me numrin e pa marrë, të mos e kalojë numrin me çiftin e dytë të shifrave. Marrim se shifra e gjetur është pesë. Përsëri gjejmë ndryshimin (9), prishim çiftin tjetër të shifrave, duke marrë 956, përsëri shkruajmë pjesën e dyfishuar të rezultatit (70), përsëri shtojmë shifrën e nevojshme dhe kështu me radhë derisa të ndalojë. Ose në saktësinë e kërkuar të llogaritjeve.

Së pari, për të llogaritur rrënjën katrore, duhet të njihni mirë tabelën e shumëzimit. Shembujt më të thjeshtë janë 25 (5 me 5 = 25) e kështu me radhë. Nëse marrim numra më të ndërlikuar, atëherë mund të përdorim këtë tabelë, ku ka njësi horizontalisht dhe dhjetëshe vertikalisht.



Ekziston një mënyrë e mirë për të gjetur rrënjën e një numri pa ndihmën e kalkulatorëve. Për ta bërë këtë, do t'ju duhet një sundimtar dhe një busull. Në fund të fundit, ju gjeni në vizore vlerën që keni nën rrënjë. Për shembull, vendosni një shenjë afër 9. Detyra juaj është ta ndani këtë numër në një numër të barabartë segmentesh, domethënë në dy rreshta me nga 4,5 cm secila dhe në një segment të barabartë. Është e lehtë të merret me mend se në fund do të merrni 3 segmente prej 3 centimetrash.

Metoda nuk është e lehtë dhe nuk do të funksionojë për numra të mëdhenj, por konsiderohet pa një kalkulator.

pa ndihmën e një kalkulatori, metoda e nxjerrjes së rrënjës katrore mësohej në kohën sovjetike në shkollë në klasën e 8-të.

Për ta bërë këtë, ju duhet të ndani një numër shumëshifror nga e djathta në të majtë në fytyrat me 2 shifra :

Shifra e parë e rrënjës është e gjithë rrënja e anës së majtë, në këtë rast 5.

Zbrisni 5 në katror nga 31, 31-25=6 dhe shtoni faqen tjetër në gjashtë, kemi 678.

Shifra tjetër x zgjidhet për të dyfishuar pesë në mënyrë që

10x*x ishte maksimumi, por më pak se 678.

x=6 sepse 106*6=636,

tani llogarisim 678 - 636 = 42 dhe shtojmë fytyrën tjetër 92, kemi 4292.

Përsëri ne kërkojmë për x maksimale, të tillë që 112x*x lt; 4292.

Përgjigje: rrënja është 563

Kështu që ju mund të vazhdoni për aq kohë sa dëshironi.

Në disa raste, mund të përpiqeni të zgjeroni numrin rrënjë në dy ose më shumë faktorë katrorë.

Është gjithashtu e dobishme të mbani mend tabelën (ose të paktën një pjesë të saj) - katrorët e numrave natyrorë nga 10 në 99.



Unë propozoj një variant të nxjerrjes së rrënjës katrore në një kolonë që kam shpikur. Ai ndryshon nga të njohurit, përveç zgjedhjes së numrave. Por siç kuptova më vonë, kjo metodë ekzistonte shumë vite para lindjes sime. I madhi Isak Njutoni e përshkroi atë në librin e tij Aritmetika e Përgjithshme ose një libër mbi sintezën dhe analizën aritmetike. Pra, këtu unë paraqes vizionin tim dhe arsyetimin për algoritmin e metodës së Njutonit. Nuk keni nevojë të mësoni përmendësh algoritmin. Ju thjesht mund të përdorni diagramin në figurë si një ndihmë vizuale nëse është e nevojshme.







Me ndihmën e tabelave, nuk mund të llogaritni, por të gjeni, rrënjët katrore vetëm nga numrat që janë në tabela. Mënyra më e lehtë për të llogaritur rrënjët nuk është vetëm katror, ​​por edhe shkallë të tjera, me metodën e përafrimeve të njëpasnjëshme. Për shembull, ne llogarisim rrënjën katrore të 10739, zëvendësojmë tre shifrat e fundit me zero dhe nxjerrim rrënjën e 10000, marrim 100 me një disavantazh, kështu që marrim numrin 102 dhe e katrorojmë atë, marrim 10404, që është gjithashtu më pak se ai i specifikuar, marrim 103*103=10609 përsëri me një disavantazh, marrim 103.5 * 103.5 \u003d 10712.25, marrim edhe më shumë 103.6 * 103.6 \u003d .7.7 \u003d 10703. 9, e cila tashmë është në teprica. Ju mund të merrni rrënjën katrore të 10739 të jetë afërsisht e barabartë me 103.6. Më saktë 10739=103.629... . . Në mënyrë të ngjashme, ne llogarisim rrënjën e kubit, së pari nga 10000 marrim afërsisht 25 * 25 * 25 = 15625, e cila është e tepërt, marrim 22 * ​​22 * ​​22 = 10.648, marrim pak më shumë se 22.06 * 22.06 * 22.06 = 10735, që është shumë afër asaj të dhënë.

Formulat e rrënjës. vetitë e rrënjëve katrore.

Kujdes!
Ka shtesë
materiali në Seksionin Special 555.
Për ata që fort "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë...")

Në mësimin e mëparshëm, ne kuptuam se çfarë është rrënja katrore. Është koha për të kuptuar se çfarë janë formula për rrënjët, cfare jane vetitë e rrënjës dhe çfarë mund të bëhet për të gjitha.

Formulat e rrënjëve, vetitë e rrënjës dhe rregullat për veprimet me rrënjët- në thelb është e njëjta gjë. Ka çuditërisht pak formula për rrënjët katrore. E cila, natyrisht, kënaq! Përkundrazi, ju mund të shkruani shumë nga të gjitha llojet e formulave, por vetëm tre janë të mjaftueshme për punë praktike dhe të sigurt me rrënjët. Gjithçka tjetër rrjedh nga këto të treja. Edhe pse shumë humbasin në tre formulat e rrënjëve, po...

Le të fillojmë me më të thjeshtat. Këtu është ajo:

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Mësimi - me interes!)

mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Nxënësit gjithmonë pyesin: “Pse nuk mund të përdor një makinë llogaritëse në një provim matematike? Si të nxjerrim rrënjën katrore të një numri pa kalkulator? Le të përpiqemi t'i përgjigjemi kësaj pyetjeje.

Si të nxjerrim rrënjën katrore të një numri pa ndihmën e një kalkulatori?

Veprimi nxjerrja e rrënjës katrore e kundërta e katrorit.

√81= 9 9 2 =81

Nëse marrim rrënjën katrore të një numri pozitiv dhe katrorin e rezultatit, marrim të njëjtin numër.

Nga numrat e vegjël që janë katrorë të saktë të numrave natyrorë, për shembull 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, rrënjët katrore mund të nxirren verbalisht. Zakonisht në shkollë ata mësojnë një tabelë me katrorë të numrave natyrorë deri në njëzet. Duke ditur këtë tabelë, është e lehtë të nxirren rrënjët katrore nga numrat 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Nga numrat më të mëdhenj se 400, mund të nxirrni duke përdorur metodën e përzgjedhjes duke përdorur disa këshilla. Le të provojmë një shembull për të shqyrtuar këtë metodë.

Shembull: Nxjerr rrënjën e numrit 676.

Vëmë re se 20 2 \u003d 400, dhe 30 2 \u003d 900, që do të thotë 20< √676 < 900.

katrorët e saktë të numrave natyrorë përfundojnë me 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Numri 6 jepet nga 4 2 dhe 6 2 .
Pra, nëse rrënja merret nga 676, atëherë është ose 24 ose 26.

Mbetet për të kontrolluar: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Përgjigje: √676 = 26 .

Më shumë shembull: √6889 .

Që nga 80 2 \u003d 6400, dhe 90 2 \u003d 8100, pastaj 80< √6889 < 90.
Numri 9 jepet nga 3 2 dhe 7 2, atëherë √6889 është ose 83 ose 87.

Kontrolloni: 83 2 = 6889.

Përgjigje: √6889 = 83 .

Nëse e keni të vështirë ta zgjidhni me metodën e përzgjedhjes, atëherë mund të faktorizoni shprehjen rrënjësore.

Për shembull, gjeni √893025.

Le të faktorizojmë numrin 893025, kujto, e ke bërë në klasën e gjashtë.

Ne marrim: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Më shumë shembull: √20736. Le të faktorizojmë numrin 20736:

Ne marrim √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Natyrisht, faktorizimi kërkon njohuri për kriteret e pjesëtueshmërisë dhe aftësitë e faktorizimit.

Dhe së fundi, ka rregulli i rrënjës katrore. Le ta shohim këtë rregull me një shembull.

Llogarit √279841.

Për të nxjerrë rrënjën e një numri të plotë shumëshifror, ne e ndajmë atë nga e djathta në të majtë në fytyra që përmbajnë nga 2 shifra secila (mund të ketë një shifër në faqen ekstreme të majtë). Shkruani kështu 27'98'41

Për të marrë shifrën e parë të rrënjës (5), nxjerrim rrënjën katrore të katrorit më të madh të saktë që gjendet në faqen e parë të majtë (27).
Pastaj katrori i shifrës së parë të rrënjës (25) zbritet nga faqja e parë dhe faqja tjetër (98) i atribuohet (rrënohet) ndryshimit.
Në të majtë të numrit që rezulton 298, ata shkruajnë dyshifrorin e rrënjës (10), ndajnë me të numrin e të gjitha dhjetërave të numrit të marrë më parë (29/2 ≈ 2), provojnë herësin (102 ∙ 2 = 204 nuk duhet të jetë më shumë se 298) dhe shkruani (2) pas shifrës së parë të rrënjës.
Pastaj herësi rezultues 204 zbritet nga 298, dhe aspekti tjetër (41) i atribuohet (rrënohet) diferencës (94).
Në të majtë të numrit që rezulton 9441, ata shkruajnë prodhimin e dyfishtë të shifrave të rrënjës (52 ∙ 2 = 104), pjesëtojnë me këtë produkt numrin e të gjitha dhjetësheve të numrit 9441 (944/104 ≈ 9), përvojën herësi (1049 ∙ 9 = 9441) duhet të jetë 9441 dhe shënojeni atë (9) pas shifrës së dytë të rrënjës.

Morëm përgjigjen √279841 = 529.

Ngjashëm ekstrakt rrënjët e numrave dhjetorë. Vetëm numri radikal duhet të ndahet në fytyra në mënyrë që presja të jetë midis fytyrave.

Shembull. Gjeni vlerën √0.00956484.

Vetëm mos harroni se nëse thyesa dhjetore ka një numër tek i numrave dhjetorë, rrënja e saktë katrore nuk nxirret prej saj.

Pra, tani keni parë tre mënyra për të nxjerrë rrënjën. Zgjidhni atë që ju përshtatet më shumë dhe praktikoni. Për të mësuar se si t'i zgjidhni problemet, duhet t'i zgjidhni ato. Dhe nëse keni ndonjë pyetje,.

blog.site, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.

Është koha për të çmontuar Metodat e nxjerrjes së rrënjëve. Ato bazohen në vetitë e rrënjëve, në veçanti, në barazinë, e cila është e vërtetë për çdo numër jo negativ b.

Më poshtë do të shqyrtojmë nga ana tjetër metodat kryesore të nxjerrjes së rrënjëve.

Le të fillojmë me rastin më të thjeshtë - nxjerrjen e rrënjëve nga numrat natyrorë duke përdorur një tabelë katrorësh, një tabelë me kube, etj.

Nëse tabelat e katrorëve, kubeve etj. nuk është afër, është logjike të përdoret metoda e nxjerrjes së rrënjës, e cila përfshin zbërthimin e numrit të rrënjës në faktorë të thjeshtë.

Më vete, ia vlen të ndalemi, gjë që është e mundur për rrënjët me eksponentë të çuditshëm.

Më në fund, merrni parasysh një metodë që ju lejon të gjeni në mënyrë sekuenciale shifrat e vlerës së rrënjës.

Le të fillojmë.

Përdorimi i një tabele me katrorë, një tabelë me kube, etj.

Në rastet më të thjeshta, tabelat e katrorëve, kubeve etj. lejojnë nxjerrjen e rrënjëve. Cilat janë këto tabela?

Tabela e katrorëve të numrave të plotë nga 0 në 99 përfshirëse (treguar më poshtë) përbëhet nga dy zona. Zona e parë e tabelës është e vendosur në një sfond gri; duke zgjedhur një rresht të caktuar dhe një kolonë të caktuar, ju lejon të bëni një numër nga 0 në 99. Për shembull, le të zgjedhim një rresht me 8 dhjetëshe dhe një kolonë me 3 njësi, me këtë ne fiksuam numrin 83. Zona e dytë zë pjesën tjetër të tabelës. Secila prej qelizave të saj ndodhet në kryqëzimin e një rreshti të caktuar dhe një kolone të caktuar dhe përmban katrorin e numrit përkatës nga 0 në 99. Në kryqëzimin e rreshtit tonë të zgjedhur prej 8 dhjetëshe dhe kolonës 3 të një, ka një qelizë me numrin 6889, që është katrori i numrit 83.

Tabelat e kubeve, tabelat e fuqive të katërta të numrave nga 0 deri në 99 e kështu me radhë janë të ngjashme me tabelën e katrorëve, vetëm ato përmbajnë kube, fuqi të katërt etj. në zonën e dytë. numrat përkatës.

Tabelat e katrorëve, kubeve, fuqive të katërta etj. ju lejon të nxirrni rrënjë katrore, rrënjë kubike, rrënjë të katërta, etj. përkatësisht nga numrat në këto tabela. Le të shpjegojmë parimin e zbatimit të tyre në nxjerrjen e rrënjëve.

Le të themi se duhet të nxjerrim rrënjën e shkallës së n-të nga numri a, ndërsa numri a gjendet në tabelën e shkallëve të n-të. Sipas kësaj tabele, e gjejmë numrin b të tillë që a=b n . Pastaj , pra, numri b do të jetë rrënja e dëshiruar e shkallës së n-të.

Si shembull, le të tregojmë se si nxirret rrënja e kubit e vitit 19683 duke përdorur tabelën e kubit. Ne gjejmë numrin 19 683 në tabelën e kubeve, prej saj gjejmë se ky numër është një kub i numrit 27, pra, .

Është e qartë se tabelat e shkallëve n-të janë shumë të përshtatshme kur nxjerrin rrënjët. Sidoqoftë, ato shpesh nuk janë afër, dhe përpilimi i tyre kërkon një kohë të caktuar. Për më tepër, shpesh është e nevojshme të nxirren rrënjë nga numrat që nuk përmbahen në tabelat përkatëse. Në këto raste, duhet përdorur metoda të tjera për nxjerrjen e rrënjëve.

Zbërthimi i numrit të rrënjës në faktorë të thjeshtë

Një mënyrë mjaft e përshtatshme për të nxjerrë rrënjën nga një numër natyror (nëse, natyrisht, rrënja nxirret) është zbërthimi i numrit të rrënjës në faktorët kryesorë. E tij thelbi është si më poshtë: pasi është mjaft e lehtë ta përfaqësosh atë si një shkallë me treguesin e dëshiruar, i cili ju lejon të merrni vlerën e rrënjës. Le ta shpjegojmë këtë pikë.

Le të nxirret rrënja e shkallës së n-të nga një numër natyror a dhe vlera e tij është e barabartë me b. Në këtë rast, barazia a=b n është e vërtetë. Numri b si çdo numër natyror mund të përfaqësohet si prodhim i të gjithë faktorëve të tij të thjeshtë p 1 , p 2 , ..., p m në formën p 1 p 2 ... p m , dhe numri rrënjë a në këtë rast paraqitet si (p 1 p 2 ... p m) n . Meqenëse zbërthimi i numrit në faktorët kryesorë është unik, zbërthimi i numrit të rrënjës a në faktorë të thjeshtë do të duket si (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, gjë që bën të mundur llogaritjen e vlerës së rrënjës si .

Vini re se nëse faktorizimi i numrit të rrënjës a nuk mund të paraqitet në formën (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, atëherë rrënja e shkallës së n-të nga një numër i tillë a nuk është nxjerrë plotësisht.

Le të merremi me këtë kur zgjidhim shembuj.

Shembull.

Merrni rrënjën katrore të 144 .

Zgjidhje.

Nëse i drejtohemi tabelës së katrorëve të dhënë në paragrafin e mëparshëm, shihet qartë se 144=12 2 , nga e cila shihet qartë se rrënja katrore e 144 është 12 .

Por në dritën e kësaj pike, ne jemi të interesuar se si nxirret rrënja duke zbërthyer numrin e rrënjës 144 në faktorët kryesorë. Le të hedhim një vështrim në këtë zgjidhje.

Le të shpërbëhemi 144 tek faktorët kryesorë:

Domethënë 144=2 2 2 2 3 3 . Bazuar në dekompozimin që rezulton, mund të kryhen transformimet e mëposhtme: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Prandaj, .

Duke përdorur vetitë e shkallës dhe vetitë e rrënjëve, zgjidhja mund të formulohet pak më ndryshe: .

Përgjigje:

Për të konsoliduar materialin, merrni parasysh zgjidhjet e dy shembujve të tjerë.

Shembull.

Llogaritni vlerën e rrënjës.

Zgjidhje.

Faktorizimi i thjeshtë i numrit rrënjë 243 është 243=3 5 . Kështu, .

Përgjigje:

Shembull.

A është vlera e rrënjës një numër i plotë?

Zgjidhje.

Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, le të zbërthejmë numrin rrënjë në faktorët kryesorë dhe të shohim nëse ai mund të përfaqësohet si një kub i një numri të plotë.

Kemi 285 768=2 3 3 6 7 2 . Zbërthimi që rezulton nuk përfaqësohet si një kub i një numri të plotë, pasi shkalla e faktorit kryesor 7 nuk është shumëfish i tre. Prandaj, rrënja e kubit e 285,768 nuk merret plotësisht.

Përgjigje:

Nr.

Nxjerrja e rrënjëve nga numrat thyesorë

Është koha për të kuptuar se si rrënja nxirret nga një numër thyesor. Le të shkruhet numri i rrënjës thyesore si p/q. Sipas vetive të rrënjës së herësit, barazia e mëposhtme është e vërtetë. Nga kjo barazi rrjedh rregulli i rrënjës së thyesës: Rrënja e një thyese është e barabartë me herësin e pjesëtimit të rrënjës së numëruesit me rrënjën e emëruesit.

Le të shohim një shembull të nxjerrjes së një rrënjë nga një fraksion.

Shembull.

Sa është rrënja katrore e thyesës së përbashkët 25/169.

Zgjidhje.

Sipas tabelës së katrorëve, gjejmë se rrënja katrore e numëruesit të thyesës origjinale është 5, dhe rrënja katrore e emëruesit është 13. Pastaj . Kjo përfundon nxjerrjen e rrënjës nga fraksioni i zakonshëm 25/169.

Përgjigje:

Rrënja e një thyese dhjetore ose e një numri të përzier nxirret pas zëvendësimit të numrave rrënjë me thyesa të zakonshme.

Shembull.

Merrni rrënjën kubike të dhjetorit 474.552.

Zgjidhje.

Le të paraqesim dhjetorin origjinal si një thyesë e zakonshme: 474.552=474552/1000 . Pastaj . Mbetet për të nxjerrë rrënjët e kubit që janë në numëruesin dhe emëruesin e fraksionit që rezulton. Sepse 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 dhe 1 000=10 3 , atëherë Dhe . Mbetet vetëm për të përfunduar llogaritjet .

Përgjigje:

.

Nxjerrja e rrënjës së një numri negativ

Më vete, ia vlen të ndalemi në nxjerrjen e rrënjëve nga numrat negativë. Gjatë studimit të rrënjëve, thamë se kur eksponenti i rrënjës është një numër tek, atëherë një numër negativ mund të jetë nën shenjën e rrënjës. Ne u dhamë shënimeve të tilla kuptimin e mëposhtëm: për një numër negativ −a dhe një eksponent tek i rrënjës 2 n−1, kemi . Kjo barazi jep rregull për nxjerrjen e rrënjëve tek nga numrat negativë: për të nxjerrë rrënjën e një numri negativ, duhet të nxirrni rrënjën e numrit pozitiv të kundërt dhe të vendosni një shenjë minus përpara rezultatit.

Le të shqyrtojmë një shembull zgjidhjeje.

Shembull.

Gjeni vlerën e rrënjës.

Zgjidhje.

Le të transformojmë shprehjen origjinale në mënyrë që një numër pozitiv të shfaqet nën shenjën e rrënjës: . Tani ne zëvendësojmë numrin e përzier me një fraksion të zakonshëm: . Ne zbatojmë rregullin e nxjerrjes së rrënjës nga një fraksion i zakonshëm: . Mbetet për të llogaritur rrënjët në numëruesin dhe emëruesin e fraksionit që rezulton: .

Këtu është një përmbledhje e zgjidhjes: .

Përgjigje:

.

Gjetja bitwise e vlerës rrënjësore

Në rastin e përgjithshëm, nën rrënjë ka një numër që, duke përdorur teknikat e diskutuara më sipër, nuk mund të përfaqësohet si fuqia e n-të e çdo numri. Por në të njëjtën kohë, ekziston nevoja për të ditur vlerën e një rrënjë të caktuar, të paktën deri në një shenjë të caktuar. Në këtë rast, për të nxjerrë rrënjën, mund të përdorni një algoritëm që ju lejon të merrni vazhdimisht një numër të mjaftueshëm vlerash të shifrave të numrit të dëshiruar.

Hapi i parë i këtij algoritmi është të zbuloni se cili është pjesa më e rëndësishme e vlerës së rrënjës. Për ta bërë këtë, numrat 0, 10, 100, ... ngrihen në mënyrë të njëpasnjëshme në fuqinë n derisa të merret një numër që tejkalon numrin rrënjë. Pastaj numri që kemi ngritur në fuqinë e n në hapin e mëparshëm do të tregojë rendin e lartë përkatës.

Për shembull, merrni parasysh këtë hap të algoritmit kur nxjerrni rrënjën katrore të pesë. Marrim numrat 0, 10, 100, ... dhe i vendosim në katror derisa të marrim një numër më të madh se 5. Kemi 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, që do të thotë se shifra më domethënëse do të jetë shifra e njësive. Vlera e këtij biti, si dhe e atyre më të ulëta, do të gjendet në hapat e ardhshëm të algoritmit të nxjerrjes së rrënjës.

Të gjithë hapat e mëposhtëm të algoritmit synojnë përsosjen e njëpasnjëshme të vlerës së rrënjës për faktin se gjenden vlerat e shifrave të ardhshme të vlerës së dëshiruar të rrënjës, duke filluar nga më e larta dhe duke lëvizur në më të ulëtën. . Për shembull, vlera e rrënjës në hapin e parë është 2, në të dytin - 2.2, në të tretën - 2.23, dhe kështu me radhë 2.236067977 .... Le të përshkruajmë se si gjenden vlerat e biteve.

Gjetja e biteve kryhet duke numëruar vlerat e tyre të mundshme 0, 1, 2, ..., 9. Në këtë rast, fuqitë e n-të të numrave përkatës llogariten paralelisht dhe ato krahasohen me numrin rrënjë. Nëse në një fazë vlera e shkallës tejkalon numrin radikal, atëherë vlera e shifrës që korrespondon me vlerën e mëparshme konsiderohet e gjetur dhe bëhet kalimi në hapin tjetër të algoritmit të nxjerrjes së rrënjës, nëse kjo nuk ndodh, atëherë vlera e kësaj shifre është 9 .

Le t'i shpjegojmë të gjitha këto pika duke përdorur të njëjtin shembull të nxjerrjes së rrënjës katrore të pesë.

Së pari, gjeni vlerën e shifrës së njësive. Do të përsërisim mbi vlerat 0, 1, 2, …, 9, duke llogaritur përkatësisht 0 2, 1 2, …, 9 2 derisa të marrim një vlerë më të madhe se numri radikal 5. Të gjitha këto llogaritje janë paraqitur me lehtësi në formën e një tabele:

Pra, vlera e shifrës së njësive është 2 (sepse 2 2<5 , а 2 3 >5). Le të kalojmë në gjetjen e vlerës së vendit të dhjetë. Në këtë rast, ne do të vendosim në katror numrat 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, duke krahasuar vlerat e marra me numrin rrënjë 5:

Që nga 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , atëherë vlera e vendit të dhjetë është 2 . Mund të vazhdoni të gjeni vlerën e vendit të qindtave:

Pra, gjendet vlera tjetër e rrënjës së pesë, është e barabartë me 2.23. Dhe kështu mund të vazhdoni të gjeni vlerat më tej: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Për të konsoliduar materialin, ne do të analizojmë nxjerrjen e rrënjës me një saktësi prej të qindtave duke përdorur algoritmin e konsideruar.

Së pari, ne përcaktojmë shifrën e vjetër. Për ta bërë këtë, ne kubojmë numrat 0, 10, 100, etj. derisa të marrim një numër më të madh se 2151.186 . Kemi 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, pra shifra më domethënëse është shifra e dhjetësheve.

Le të përcaktojmë vlerën e tij.

Që nga 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2,151.186, atëherë vlera e shifrës së dhjetësheve është 1. Le të kalojmë te njësitë.

Kështu, vlera e një vendi është 2 . Le të kalojmë në dhjetë.

Meqenëse edhe 12.9 3 është më pak se numri radikal 2 151.186, vlera e vendit të dhjetë është 9. Mbetet për të kryer hapin e fundit të algoritmit, ai do të na japë vlerën e rrënjës me saktësinë e kërkuar.

Në këtë fazë, vlera e rrënjës gjendet deri në të qindtat: .

Në përfundim të këtij artikulli, dua të them se ka shumë mënyra të tjera për të nxjerrë rrënjët. Por për shumicën e detyrave, ato që kemi studiuar më lart janë të mjaftueshme.

Bibliografi.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algjebra: tekst shkollor për 8 qeliza. institucionet arsimore.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dhe të tjera.Algjebra dhe fillimet e analizës: Libër mësuesi për klasat 10-11 të institucioneve të arsimit të përgjithshëm.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (një manual për aplikantët në shkollat ​​teknike).