חוקי קפלר: ראשון, שני ושלישי. החוק הראשון של קפלר החוק הראשון של קפלר בניסוח של ניוטון

I. קפלר בילה את כל חייו בניסיון להוכיח שמערכת השמש שלנו היא סוג של אמנות מיסטית. בתחילה, הוא ניסה להוכיח שמבנה המערכת דומה לפוליהדרות רגילות מהגיאומטריה היוונית העתיקה. בתקופתו של קפלר, ידוע על קיומם של שישה כוכבי לכת. האמינו שהם ממוקמים בכדורי קריסטל. לדברי המדען, כדורים אלה היו ממוקמים בצורה כזו שהפוליהדרות בצורתן הנכונה מתאימות בדיוק בין השכנות. בין יופיטר לשבתאי הוצבה קובייה, שנכתבה בסביבה החיצונית אליה נרשם הכדור. בין מאדים לצדק יש טטרהדרון וכו'. לאחר שנים רבות של התבוננות בעצמים שמימיים, הופיעו חוקי קפלר, והוא הפריך את התיאוריה שלו על הפוליהדרה.

חוקים

המערכת התלמית הגיאוצנטרית של העולם הוחלפה במערכת הליוצנטרית שנוצרה על ידי קופרניקוס. עדיין מאוחר יותר, קפלר זיהה סביב השמש.

לאחר שנים רבות של התבוננות בכוכבי הלכת, הופיעו שלושת החוקים של קפלר. בואו נסתכל עליהם במאמר.

ראשון

לפי החוק הראשון של קפלר, כל כוכבי הלכת במערכת שלנו נעים לאורך עקומה סגורה הנקראת אליפסה. גוף התאורה שלנו ממוקם באחד ממוקדי האליפסה. יש שניים מהם: אלו שתי נקודות בתוך העקומה, סכום המרחקים שמהם לכל נקודה של האליפסה הוא קבוע. לאחר תצפיות ארוכות, המדען הצליח לגלות שהמסלולים של כל כוכבי הלכת של המערכת שלנו ממוקמים כמעט באותו מישור. חלק מגרמי השמיים נעים במסלולים אליפטיים קרוב למעגל. ורק פלוטו ומאדים נעים במסלולים מוארכים יותר. על סמך זה, החוק הראשון של קפלר נקרא חוק האליפסים.

חוק שני

חקר תנועת הגופים מאפשר למדען לקבוע שהיא גדולה יותר בתקופה בה היא קרובה יותר לשמש, ופחות כאשר היא נמצאת במרחק המקסימלי מהשמש (אלה נקודות הפריהליון והאפליון).

החוק השני של קפלר קובע את הדברים הבאים: כל כוכב לכת נע במישור העובר במרכז הכוכב שלנו. במקביל, וקטור הרדיוס המחבר בין השמש לכוכב הלכת הנחקר מתאר שטחים שווים.

לפיכך, ברור שגופים נעים בצורה לא אחידה סביב הגמד הצהוב, עם מהירות מקסימלית בפריהליון ומינימום באפליון. בפועל, ניתן לראות זאת בתנועת כדור הארץ. בכל שנה בתחילת ינואר, כוכב הלכת שלנו נע מהר יותר במהלך מעברו בפריהליון. בגלל זה, תנועת השמש לאורך האקליפטיקה מתרחשת מהר יותר מאשר בתקופות אחרות של השנה. בתחילת יולי, כדור הארץ נע דרך האפליון, מה שגורם לשמש לנוע לאט יותר לאורך האקליפטיקה.

חוק שלישי

לפי החוק השלישי של קפלר, נוצר קשר בין תקופת הסיבוב של כוכב לכת סביב כוכב לבין המרחק הממוצע שלו ממנו. המדען יישם את החוק הזה על כל כוכבי הלכת של המערכת שלנו.

הסבר חוקים

ניתן היה להסביר את חוקי קפלר רק לאחר גילוי חוק הכבידה של ניוטון. לפיו, עצמים פיזיקליים לוקחים חלק באינטראקציה כבידה. יש לו אוניברסליות אוניברסלית, שכל האובייקטים מהסוג החומרי והשדות הפיזיים כפופים לה. לפי ניוטון, שני גופים חסרי תנועה פועלים זה על זה בכוח פרופורציונלי למכפלת משקלם וביחס הפוך לריבוע המרווחים ביניהם.

תנועה ממורמרת

תנועת הגופים במערכת השמש שלנו נשלטת על ידי כוח הכבידה של הגמד הצהוב. אם גופים היו נמשכים רק מכוח השמש, אז כוכבי הלכת היו נעים סביבה בדיוק לפי חוקי התנועה של קפלר. סוג זה של תנועה נקרא unperturbed או קפלריאני.

במציאות, כל העצמים במערכת שלנו נמשכים לא רק על ידי הכוכב שלנו, אלא גם על ידי זה. לכן, אף אחד מהגופים לא יכול לנוע בדיוק באליפסה, היפרבולה או עיגול. אם גוף סוטה בזמן תנועה מחוקי קפלר, אז זה נקרא הפרעה, והתנועה עצמה נקראת הפרעה. זה מה שנחשב אמיתי.

המסלולים של גרמי השמיים אינם אליפסות קבועות. במהלך משיכה על ידי גופים אחרים, האליפסה המסלולית משתנה.

תרומתו של I. Newton

אייזק ניוטון הצליח לגזור את חוק הכבידה האוניברסלית מחוקי התנועה הפלנטרית של קפלר. כדי לפתור בעיות קוסמיות-מכניות, ניוטון השתמש בכוח הכבידה האוניברסלי.

אחרי אייזק, ההתקדמות בתחום המכניקה השמיימית הייתה מורכבת מפיתוח של מדע מתמטי המיושם לפתרון משוואות המבטאות את חוקי ניוטון. מדען זה הצליח לקבוע שכוח המשיכה של כוכב לכת נקבע לפי המרחק והמסה שלו, אבל לאינדיקטורים כמו טמפרטורה והרכב אין כל השפעה.

בעבודתו המדעית, ניוטון הראה שהחוק השלישי של קפלר לא היה מדויק לחלוטין. הוא הראה כי בעת ביצוע חישובים חשוב לקחת בחשבון את המסה של כוכב הלכת, שכן התנועה והמשקל של כוכבי הלכת קשורים זה לזה. שילוב הרמוני זה מראה את הקשר בין חוקי קפלריאן לחוק הכבידה שזיהה ניוטון.

אסטרודינמיקה

היישום של חוקי ניוטון וקפלר הפך לבסיס להופעתה של האסטרודינמיקה. זהו קטע של מכניקה שמימית החוקר את תנועתם של גופים קוסמיים שנוצרו באופן מלאכותי, כלומר: לוויינים, תחנות בין-כוכביות וספינות שונות.

אסטרודינמיקה עוסקת בחישובים של מסלולי חלליות, וגם קובעת אילו פרמטרים לשגר, איזה מסלול לשגר, אילו תמרונים יש לבצע ותכנון השפעת הכבידה על ספינות. ואלה לא כל המשימות המעשיות המוטלות על האסטרודינמיקה. כל התוצאות המתקבלות משמשות לביצוע מגוון רחב של משימות חלל.

מכניקה שמימית, החוקרת את תנועתם של גופים קוסמיים טבעיים בהשפעת כוח הכבידה, קשורה קשר הדוק לאסטרודינמיקה.

מסלולים

מסלול מובן כמסלול של נקודה במרחב נתון. במכניקה השמימית מקובל בדרך כלל שלמסלול של גוף בשדה הכבידה של גוף אחר יש מסה גדולה משמעותית. במערכת קואורדינטות מלבנית, המסלול יכול לקבל צורה של חתך חרוטי, כלומר. להיות מיוצג על ידי פרבולה, אליפסה, עיגול, היפרבולה. במקרה זה, המיקוד יתאים למרכז המערכת.

במשך זמן רב האמינו שהמסלולים צריכים להיות מעגליים. במשך זמן רב למדי, מדענים ניסו לבחור בדיוק את האופציה המעגלית של תנועה, אך הם לא הצליחו. ורק קפלר הצליח להסביר שכוכבי הלכת אינם נעים במסלול מעגלי, אלא במסלול מוארך. זה איפשר לגלות שלושה חוקים שיכולים לתאר את תנועתם של גרמי השמיים במסלול. קפלר גילה את המרכיבים הבאים של המסלול: צורת המסלול, נטייתו, מיקום מישור מסלול הגוף במרחב, גודל המסלול והתייחסות לזמן. כל האלמנטים הללו קובעים את המסלול, ללא קשר לצורתו. בעת ביצוע חישובים, מישור הקואורדינטות הראשי יכול להיות מישור האקליפטיקה, הגלקסיה, קו המשווה הפלנטרי וכו'.

מחקרים רבים מראים שהצורה הגיאומטרית של המסלולים יכולה להיות אליפטית ועגולה. יש חלוקה לסגור ולפתוח. לפי זווית הנטייה של המסלול למישור קו המשווה של כדור הארץ, מסלולים יכולים להיות קוטביים, נטויים ומשווניים.

בהתאם לתקופת המהפכה סביב הגוף, מסלולים יכולים להיות סינכרוניים או סינכרוניים לשמש, סינכרוני-יומי, מעין סינכרוני.

כפי שאמר קפלר, לכל הגופים יש מהירות תנועה מסוימת, כלומר. מהירות מסלול. זה יכול להיות קבוע לאורך כל המהפכה סביב הגוף או להשתנות.

במיקרוקוסמוס, במהלך האינטראקציה של חלקיקים אלמנטריים - אטומים, מולקולות - דומיננטיות אינטראקציות גרעיניות ואלקטרומגנטיות. כמעט בלתי אפשרי לצפות באינטראקציה הכבידה של חלקיקים יסודיים. מדענים צריכים לנקוט בתחבולות גדולות מאוד כדי למדוד את אינטראקציית הכבידה של גופים שהמסה שלהם היא מאות, אלפי קילוגרמים. עם זאת, בקנה מידה קוסמי, כל שאר האינטראקציות, למעט כבידה, כמעט בלתי מורגשות. התנועה של כוכבי לכת, לוויינים, אסטרואידים, שביטים, כוכבים בגלקסיה מתוארת לחלוטין על ידי אינטראקציה גרביטציונית.

הוא הציע למקם את כדור הארץ במרכז היקום, ותנועות כוכבי הלכת תוארו על ידי עיגולים גדולים וקטנים, אשר נקראו אפיציקלים תלמיים.

רק במאה ה-16 הציע קופרניקוס להחליף את המודל הגיאוצנטרי של תלמי של העולם במודל הליוצנטרי. כלומר, הצב את השמש במרכז היקום והנח שכל כוכבי הלכת וכדור הארץ יחד איתם נעים סביב השמש (איור 2).

אורז. 2. מודל הליוצנטרי של נ. קופרניקוס ()

בתחילת המאה ה-17, האסטרונום הגרמני יוהנס קפלר, לאחר שעיבד כמות עצומה של מידע אסטרונומי שהגיע לידי האסטרונום הדני Tycho Brahe, הציע חוקים אמפיריים משלו, שנקראו מאז חוקי קפלר.

כל כוכבי הלכת של מערכת השמש נעים לאורך כמה עקומות הנקראות אליפסה.אליפסה היא אחת העקומות המתמטיות הפשוטות ביותר, מה שנקרא עקומה מסדר שני. בימי הביניים הם נקראו צמתים חרוטיים - אם חותכים חרוט או גליל עם מישור מסוים, תקבל את אותה עקומה שלאורכה נעים כוכבי הלכת של מערכת השמש.

אורז. 3. עקומת תנועה פלנטרית ()

לעקומה זו (איור 3) יש שתי נקודות מודגשות, הנקראות מוקדים. עבור כל נקודה של האליפסה, סכום המרחקים ממנה למוקדים זהה. מרכז השמש (F) ממוקם באחד מהמוקדים הללו; נקודת העקומה הקרובה לשמש (P) נקראת פריהליון, והנקודה הרחוקה ביותר (A) נקראת אפליון. המרחק מהפריהליון למרכז האליפסה נקרא ציר חצי-עיקרי, והמרחק האנכי ממרכז האליפסה לאליפסה הוא הציר המיני-מיני של האליפסה.

כאשר כוכב לכת נע לאורך אליפסה, וקטור הרדיוס המחבר את מרכז השמש עם כוכב לכת זה מתאר אזור מסוים. לדוגמה, במהלך הזמן ∆t שכוכב הלכת נע מנקודה אחת לאחרת, וקטור הרדיוס תיאר אזור מסוים ∆S.

אורז. 4. החוק השני של קפלר ()

החוק השני של קפלר קובע: על פני פרקי זמן שווים, וקטורי הרדיוס של כוכבי הלכת מתארים שטחים שווים.

איור 4 מציג את הזווית ∆Θ, זוהי זווית הסיבוב של וקטור הרדיוס לאורך זמן מה ∆t והדחף של כוכב הלכת (), מכוון משיק למסלול, מפורק לשני מרכיבים - רכיב הדחף לאורך וקטור הרדיוס () ומרכיב הדחף בכיוון , בניצב לווקטור הרדיוס (⊥).

הבה נבצע חישובים הקשורים לחוק השני של קפלר. האמירה של קפלר ששטחים שווים עוברים במרווחים שווים פירושה שהיחס בין הכמויות הללו הוא קבוע. היחס בין הכמויות הללו נקרא לעתים קרובות מהירות מגזרית; זהו קצב השינוי במיקום וקטור הרדיוס. מהו השטח ∆S שווקטור הרדיוס גורף לאורך זמן ∆t? זהו השטח של משולש, שגובהו שווה בערך לווקטור הרדיוס, והבסיס שווה בערך ל-r ∆ω, באמצעות משפט זה, אנו כותבים את הערך ∆S בצורה של ½ הגובה לכל בסיס ומחלקים ב-∆t, נקבל את הביטוי:

, זהו קצב השינוי של הזווית, כלומר מהירות זוויתית.

תוצאה סופית:

,

ריבוע המרחק למרכז השמש, כפול מהירות התנועה הזוויתית ברגע נתון, הוא ערך קבוע.

אבל אם נכפיל את הביטוי r 2 ω במסת הגוף m, נקבל ערך שניתן לייצג כמכפלה של אורך וקטור הרדיוס והתנע בכיוון הרוחב לווקטור הרדיוס:

כמות זו, השווה למכפלת וקטור הרדיוס והרכיב הניצב של הדחף, נקראת "תנע זוויתי".

החוק השני של קפלר הוא הצהרה שתנע זוויתי בשדה כבידה הוא גודל נשמר. זה מוביל לאמירה פשוטה אך חשובה מאוד: בנקודות של המרחק הקטן והגדול ביותר למרכז השמש, כלומר, אפליון ופריהליון, המהירות מכוונת בניצב לווקטור הרדיוס, ולכן מכפלת וקטור הרדיוס. והמהירות בנקודה אחת שווה למוצר זה בנקודה אחרת.

החוק השלישי של קפלר קובע שהיחס בין ריבוע תקופת המהפכה של כוכב לכת סביב השמש לקוביית הציר החצי-עיקרי זהה עבור כל כוכבי הלכת במערכת השמש.

אורז. 5. מסלולים שרירותיים של כוכבי לכת ()

איור 5 מציג שני מסלולים שרירותיים של כוכבי הלכת. לאחד יש צורה מפורשת של אליפסה עם אורך חצי הציר (a), לשני יש צורה של מעגל עם רדיוס (R), זמן המהפכה לאורך כל אחד מהמסלולים הללו, כלומר התקופה של מהפכה, קשור לאורך של חצי הציר או עם הרדיוס. ואם האליפסה הופכת למעגל, אז הציר החצי-עיקרי הופך לרדיוס של המעגל הזה. החוק השלישי של קפלר קובע שבמקרה שבו אורך הציר החצי-עיקרי שווה לרדיוס המעגל, תקופות הסיבוב של כוכבי הלכת סביב השמש יהיו זהות.

במקרה של מעגל, ניתן לחשב יחס זה באמצעות החוק השני של ניוטון וחוק התנועה של גוף במעגל, קבוע זה הוא 4π 2 חלקי הקבוע של הכבידה האוניברסלית (G) ומסת השמש ( M).

לפיכך, ברור שאם נכליל אינטראקציות כבידה, כפי שעשה ניוטון, ונניח שכל הגופים משתתפים באינטראקציות כבידה, ניתן להרחיב את חוקי קפלר לתנועת לוויינים סביב כדור הארץ, לתנועת לוויינים סביב כל כוכב לכת אחר, ואפילו לתנועת לוויינים ירחים סביב מרכז הירח. רק בצד ימין של נוסחה זו האות M תכוונה למסת הגוף המושך את הלוויינים. לכל הלוויינים של עצם חלל נתון יהיה יחס זהה בין ריבוע תקופת המסלול (T 2) לקוביית הציר החצי-עיקרי (a 3). ניתן להרחיב את החוק הזה לכל הגופים ביקום ואפילו לכוכבים המרכיבים את הגלקסיה שלנו.

במחצית השנייה של המאה העשרים, הבחינו שכמה כוכבים שנמצאים די רחוק ממרכז הגלקסיה שלנו אינם מצייתים לחוק קפלר זה. זה אומר שאנחנו לא יודעים הכל על האופן שבו כוח הכבידה פועל על פני גודל הגלקסיה שלנו. אחד ההסברים האפשריים מדוע כוכבים רחוקים נעים מהר יותר מהנדרש בחוק השלישי של קפלר הוא הבא: איננו רואים את כל המסה של הגלקסיה. חלק ניכר ממנו עשוי להיות מורכב מחומר שאינו ניתן לצפייה על ידי המכשירים שלנו, אינו מקיים אינטראקציה אלקטרומגנטית, אינו פולט או סופג אור ומשתתף רק באינטראקציה כבידתית. חומר זה נקרא מסה נסתרת או חומר אפל. בעיות חומר אפל הן אחת הבעיות העיקריות של הפיזיקה של המאה ה-21.

נושא השיעור הבא: מערכות נקודות חומר, מרכז מסה, חוק התנועה של מרכז המסה.

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה

1. Tikhomirova S.A., Yavorsky B.M. פיזיקה (רמה בסיסית) - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Kabardin O.F., Orlov V.A., Evenchik E.E Physics-10. מ': חינוך, 2010.
3. פתח פיזיקה ()

1. Elementy.ru ().
2. Physics.ru ().
3. Ency.info().

שיעורי בית

1. הגדר את החוק הראשון של קפלר.
2. הגדר את החוק השני של קפלר.
3. הגדר את החוק השלישי של קפלר.

היו לו יכולות מתמטיות יוצאות דופן. בתחילת המאה ה-17, כתוצאה משנים רבות של תצפיות על תנועות כוכבי הלכת, וכן על סמך ניתוח התצפיות האסטרונומיות של טיכו ברהה, גילה קפלר שלושה חוקים שנקראו מאוחר יותר על שמו.

החוק הראשון של קפלר(חוק אליפסות). כל כוכב לכת נע באליפסה, כשהשמש נמצאת במוקד אחד.

החוק השני של קפלר(חוק השטחים השווים). כל כוכב לכת נע במישור העובר דרך מרכז השמש, ולאורך פרקי זמן שווים, וקטור הרדיוס המחבר בין השמש לכוכב הלכת גורף החוצה שטחים שווים.

החוק השלישי של קפלר(חוק הרמוני). הריבועים של תקופות המסלול של כוכבי לכת מסביב לשמש הם פרופורציונליים לקוביות של הצירים למחצה מרכזיים של מסלוליהם האליפטיים.

בואו נסתכל מקרוב על כל אחד מהחוקים.

החוק הראשון של קפלר (חוק האליפסות)

כל כוכב לכת במערכת השמש מסתובב באליפסה, כשהשמש נמצאת באחד המוקדים.

החוק הראשון מתאר את הגיאומטריה של המסלולים של מסלולים פלנטריים. דמיינו קטע של משטח הצד של חרוט על ידי מישור בזווית לבסיסו, לא עובר דרך הבסיס. הדמות שתתקבל תהיה אליפסה. צורת האליפסה ומידת הדמיון שלה למעגל מאופיינת ביחס e = c/a, כאשר c הוא המרחק ממרכז האליפסה למוקד שלה (מרחק המוקד), a הוא הציר החצי-עיקרי. הכמות e נקראת האקסצנטריות של האליפסה. ב-c = 0, ולכן e = 0, האליפסה הופכת למעגל.

הנקודה P של המסלול הקרובה ביותר לשמש נקראת פריהליון. נקודה A, הכי רחוקה מהשמש, היא אפליון. המרחק בין האפליון לפריהליון הוא הציר העיקרי של המסלול האליפטי. המרחק בין האפליון A לפריהליון P מהווה את הציר הראשי של המסלול האליפטי. מחצית מאורך הציר הראשי, ציר a, הוא המרחק הממוצע מכוכב הלכת לשמש. המרחק הממוצע מכדור הארץ לשמש נקרא יחידה אסטרונומית (AU) והוא שווה ל-150 מיליון ק"מ.

החוק השני של קפלר (חוק התחומים)

כל כוכב לכת נע במישור העובר במרכז השמש, ולאורך פרקי זמן שווים, וקטור הרדיוס המחבר בין השמש לכוכב הלכת תופס שטחים שווים.

החוק השני מתאר את השינוי במהירות התנועה של כוכבי לכת סביב השמש. שני מושגים קשורים לחוק זה: פריהליון - נקודת המסלול הקרובה ביותר לשמש, ואפליון - הנקודה הרחוקה ביותר של המסלול. כוכב הלכת נע סביב השמש בצורה לא אחידה, עם מהירות לינארית גדולה יותר בפריהליון מאשר באפליון. באיור, שטחי המגזרים המודגשים בכחול שווים ובהתאם לכך, הזמן שלוקח לכוכב הלכת לעבור בכל מגזר שווה גם הוא. כדור הארץ עובר פריהליון בתחילת ינואר ואפליון בתחילת יולי. החוק השני של קפלר, חוק השטחים, מציין שהכוח השולט בתנועת המסלול של כוכבי הלכת מופנה לכיוון השמש.

החוק השלישי של קפלר (חוק הרמוני)

הריבועים של תקופות המסלול של כוכבי לכת מסביב לשמש הם פרופורציונליים לקוביות של הצירים למחצה מרכזיים של מסלוליהם האליפטיים. זה נכון לא רק לכוכבי לכת, אלא גם ללוויינים שלהם.

החוק השלישי של קפלר מאפשר לנו להשוות את מסלולי כוכבי לכת זה עם זה. ככל שכוכב לכת רחוק יותר מהשמש, היקף מסלולו ארוך יותר וכאשר נע לאורך מסלולו, הסיבוב המלא שלו נמשך זמן רב יותר. כמו כן, עם הגדלת המרחק מהשמש, המהירות הליניארית של תנועת כוכב הלכת פוחתת.

כאשר T 1, T 2 הם תקופות המהפכה של כוכב הלכת 1 ו-2 סביב השמש; a 1 > a 2 הם אורכי הצירים החצי-עיקריים של מסלולי כוכבי הלכת 1 ו-2. חצי הציר הוא המרחק הממוצע מכוכב הלכת לשמש.

מאוחר יותר גילה ניוטון שהחוק השלישי של קפלר לא היה מדויק לחלוטין; למעשה, הוא כלל את המסה של כוכב הלכת:

כאשר M היא מסת השמש, ו-m 1 ו-m 2 הם המסה של כוכבי הלכת 1 ו-2.

מאחר שנמצא קשר בין תנועה ומסה, נעשה שימוש בשילוב זה של החוק ההרמוני של קפלר וחוק הכבידה של ניוטון לקביעת המסה של כוכבי לכת ולוויינים אם מסלולם ותקופות המסלול שלהם ידועים. גם לדעת את המרחק של כוכב הלכת לשמש, אתה יכול לחשב את אורך השנה (הזמן של מהפכה שלמה סביב השמש). לעומת זאת, לדעת את אורך השנה, אתה יכול לחשב את המרחק של כוכב הלכת לשמש.

שלושה חוקים של תנועה פלנטריתשהתגלה על ידי קפלר סיפק הסבר מדויק לתנועה הלא אחידה של כוכבי הלכת. החוק הראשון מתאר את הגיאומטריה של המסלולים של מסלולים פלנטריים. החוק השני מתאר את השינוי במהירות התנועה של כוכבי לכת סביב השמש. החוק השלישי של קפלר מאפשר לנו להשוות את מסלולי כוכבי לכת זה עם זה. החוקים שגילה קפלר שימשו מאוחר יותר כבסיס לניוטון ליצור את תורת הכבידה. ניוטון הוכיח מתמטית שכל חוקי קפלר הם תוצאות של חוק הכבידה.

שני המדענים הגדולים ביותר, הקדימו בהרבה את זמנם, יצרו מדע שנקרא מכניקה שמימית, כלומר, הם גילו את חוקי התנועה של גופים שמימיים בהשפעת כוח הכבידה, וגם אם הישגיהם היו מוגבלים לכך, הם עדיין היו צריכים נכנס לפנתיאון של גדולי העולם הזה. כך קרה שהם לא הצטלבו בזמן. רק שלוש עשרה שנים לאחר מותו של קפלר נולד ניוטון. שניהם היו תומכים של המערכת הקופרניקנית ההליוצנטרית. לאחר שחקר את תנועתו של מאדים במשך שנים רבות, קפלר גילה בניסוי שלושה חוקים של תנועה פלנטרית, יותר מחמישים שנה לפני שניוטון גילה את חוק הכבידה האוניברסלית. עדיין לא מבינים מדוע כוכבי הלכת זזים כפי שהם נעים. זו הייתה עבודת פרך וראיית הנולד מבריקה. אבל ניוטון השתמש בחוקי קפלר כדי לבדוק את חוק הכבידה שלו. כל שלושת חוקי קפלר הם תוצאות של חוק הכבידה. וניוטון גילה את זה בגיל 23. בזמן הזה, 1664 - 1667, השתוללה המגפה בלונדון. טריניטי קולג', שבו לימד ניוטון, התמוסס ללא הגבלת זמן כדי לא להחמיר את המגיפה. ניוטון חוזר למולדתו ובתוך שנתיים עושה מהפכה במדע, ומגלה שלוש תגליות חשובות: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, הסבר על טבע האור וחוק הכבידה האוניברסלית. אייזק ניוטון נקבר חגיגית במנזר וסטמינסטר. מעל קברו ניצבת אנדרטה עם פסל חזה והכתובת "הנה שוכב סר אייזיק ניוטון, האציל אשר עם לפיד המתמטיקה בידו, היה הראשון שהוכיח, עם לפיד המתמטיקה בידו, את תנועותיו של כוכבי הלכת, שבילי השביטים והגאות והשפל של האוקיינוסים... תן לבני התמותה לשמוח שקישוט כזה של המין האנושי קיים."

הכשרון של גילוי חוקי התנועה הפלנטרית שייך למדען הגרמני, האסטרונום והמתמטיקאי המצטיין, יוהנס קפלר(1571 – 1630) – איש בעל אומץ רב ואהבה יוצאת דופן למדע.

הוא הראה את עצמו כתומך נלהב של המערכת הקופרניקאית של העולם ויצא להבהיר את מבנה מערכת השמש. אז זה אומר: להכיר את חוקי התנועה הפלנטרית, או, כפי שהוא ניסח זאת, "לעקוב אחר תוכניתו של אלוהים במהלך בריאת העולם". בתחילת המאה ה-17. קפלר, שחקר את המהפכה של מאדים סביב השמש, קבע שלושה חוקים של תנועה פלנטרית.

החוק הראשון של קפלר:כל כוכב לכת סובב סביב השמש באליפסה, כשהשמש במוקד אחד.

בהשפעת כוח המשיכה, גוף שמימי אחד נע בשדה הכבידה של גוף שמימי אחר לאורך אחד החתכים החרוטיים - עיגול, אליפסה, פרבולה או היפרבולה.

אליפסה היא עקומה שטוחה סגורה בעלת התכונה שסכום המרחקים של כל נקודה משתי נקודות, הנקראות מוקדים, נשאר קבוע. סכום המרחקים הזה שווה לאורכו של הציר הראשי של האליפסה. נקודה O היא מרכז האליפסה, F1 ו-F2 הם המוקדים. השמש נמצאת במקרה זה במוקד F1.

נקודת המסלול הקרובה ביותר לשמש נקראת פריהליון, הנקודה הרחוקה ביותר נקראת אפליון. הקו המחבר כל נקודה של האליפסה עם המוקד נקרא וקטור הרדיוס. היחס בין המרחק בין המוקדים לציר הראשי (לקוטר הגדול ביותר) נקרא אקסצנטריות e. ככל שהאקסצנטריות גדולה יותר, כך האליפסה מוארכת יותר. הציר החצי-עיקרי של אליפסה a הוא המרחק הממוצע של כוכב הלכת מהשמש.

גם שביטים ואסטרואידים נעים במסלולים אליפטיים. עבור מעגל e = 0, עבור אליפסה 0< е < 1, у параболы е = 1, у гиперболы е > 1.

מסלולי כוכבי הלכת הם אליפסות, שונות מעט ממעגלים; האקסצנטריות שלהם קטנות. לדוגמה, האקסצנטריות של מסלול כדור הארץ היא e = 0.017.

החוק השני של קפלר: וקטור הרדיוס של כוכב הלכת מתאר אזורים שווים בפרקי זמן שווים (קובע את מהירות מסלולו של כוכב הלכת). ככל שכוכב לכת קרוב יותר לשמש, כך הוא מהיר יותר.

כוכב הלכת נע מנקודה A ל-A1 ומ-B ל-B1 באותו זמן. במילים אחרות, כוכב הלכת נע הכי מהר בפריהליון, והכי איטי כשהוא נמצא במרחק הגדול ביותר שלו (באפליון). לפיכך, מהירותו של השביט האלי בפריהליון היא 55 ק"מ לשנייה, ובאפליון 0.9 ק"מ לשנייה.

מרקורי, שהוא הקרוב ביותר לשמש, מקיף את השמש ב-88 ימים. ונוס נע מאחוריו, ושנה עליו נמשכת 225 ימי כדור הארץ. כדור הארץ סובב סביב השמש ב-365 ימים, כלומר שנה אחת בדיוק. שנת המאדים ארוכה כמעט פי שניים מזו של כדור הארץ. שנת צדק שווה לכמעט 12 שנות כדור הארץ, ושבתאי הרחוק מקיף את מסלולו ב-29.5 שנים! בקיצור, ככל שכוכב הלכת רחוק יותר מהשמש, כך אורך השנה על כדור הארץ. וקפלר ניסה למצוא קשר בין גדלי המסלולים של כוכבי לכת שונים לבין זמן מהפכתם סביב השמש.

ב-15 במאי 1618, לאחר ניסיונות רבים כושלים, קפלר הקים סוף סוף קשר חשוב מאוד הידוע בשם

החוק השלישי של קפלר:הריבועים של תקופות המהפכה של כוכבי הלכת סביב השמש הם פרופורציונליים לקוביות של המרחקים הממוצעים שלהם מהשמש.

אם תקופות ההקפה של שני כוכבי לכת כלשהם, למשל כדור הארץ ומאדים, מסומנות ב-Tz ו-Tm, והמרחקים הממוצעים שלהם מהשמש הם a z ו-m, אז ניתן לכתוב את החוק השלישי של קפלר כשוויון:

T 2 m / T 2 z = a 3 m / a 3 z.

אבל תקופת הסיבוב של כדור הארץ סביב השמש שווה לשנה אחת (Тз = 1), והמרחק הממוצע בין כדור הארץ לשמש נלקח כיחידה אסטרונומית אחת (аз = 1 AU). אז השוויון הזה יקבל צורה פשוטה יותר:

T 2 m = a 3 מ'

ניתן לקבוע את תקופת ההקפה של כוכב לכת (בדוגמה שלנו, מאדים) מתצפיות. מדובר ב-687 ימי כדור הארץ, או 1.881 שנים. בידיעה זו, לא קשה לחשב את המרחק הממוצע של כוכב הלכת מהשמש ביחידות אסטרונומיות:

הָהֵן. מאדים מרוחק בממוצע פי 1,524 מהשמש מכדור הארץ שלנו. כתוצאה מכך, אם ידוע זמן ההקפה של כוכב לכת, אזי ניתן למצוא ממנו את המרחק הממוצע שלו מהשמש. בדרך זו, קפלר הצליח לקבוע את המרחקים של כל כוכבי הלכת הידועים באותה תקופה:

כספית – 0.39,

ונוס - 0.72,

כדור הארץ – 1.00

מאדים – 1.52,

יופיטר - 5.20,

שבתאי - 9.54.

רק אלו היו מרחקים יחסיים - מספרים שמראים כמה פעמים כוכב לכת מסוים רחוק מהשמש או קרוב יותר לשמש מכדור הארץ. הערכים האמיתיים של מרחקים אלה, המתבטאים במידות ארציות (בק"מ), נותרו לא ידועים, מכיוון שאורך היחידה האסטרונומית - המרחק הממוצע של כדור הארץ מהשמש - עדיין לא היה ידוע.

החוק השלישי של קפלר חיבר את כל משפחת השמש למערכת הרמונית אחת. החיפוש ארך תשע שנים קשות. ההתמדה של המדען ניצחה!

מסקנה: חוקי קפלר פיתחו באופן תיאורטי את הדוקטרינה ההליוצנטרית ובכך חיזקו את מעמדה של אסטרונומיה חדשה. האסטרונומיה הקופרניקאית היא החכמה מכל היצירות של המוח האנושי.

תצפיות שלאחר מכן הראו כי חוקי קפלר חלים לא רק על כוכבי הלכת של מערכת השמש והלוויינים שלהם, אלא גם על כוכבים המחוברים פיזית זה לזה ומסתובבים סביב מרכז מסה משותף. הם היוו את הבסיס לאסטרונאוטיקה המעשית, שכן כל גרמי השמים המלאכותיים נעים על פי חוקי קפלר, החל מהלוויין הסובייטי הראשון וכלה בחללית מודרנית. לא במקרה בהיסטוריה של האסטרונומיה נקרא יוהנס קפלר "המחוקק של השמים".

בתחילת המאה ה-16, האסטרונום הפולני נ' קופרניקוס (1473–1543) ביסס את המערכת ההליוצנטרית, לפיה תנועות גרמי השמיים מוסברות על ידי תנועת כדור הארץ (כמו גם כוכבי לכת אחרים) סביב השמש. והסיבוב היומי של כדור הארץ. תורת ההתבוננות של קופרניקוס נתפסה כפנטזיה מבדרת. במאה ה-16 הצהרה זו נחשבה על ידי הכנסייה לכפירה. ידוע שג'י ברונו, שתמך בגלוי במערכת ההליוצנטרית של קופרניקוס, הוקע על ידי האינקוויזיציה ונשרף על המוקד.

החוק הראשון של קפלר. כל כוכבי הלכת נעים באליפסות, כשהשמש נמצאת באחד המוקדים (איור 7.6).

אורז. 7.6

ניוטון פתר את הבעיה ההפוכה של המכניקה ומחוקי התנועה הפלנטרית השיג ביטוי לכוח הכבידה:

כפי שאנו כבר יודעים, כוחות כבידה הם כוחות שמרניים. כאשר גוף נע בשדה כבידה של כוחות שמרניים לאורך מסלול סגור, העבודה היא אפס.
תכונת השמרנות של כוחות הכבידה אפשרה לנו להציג את המושג של אנרגיה פוטנציאלית.

אנרגיה פוטנציאליתמסת גוף M, ממוקם במרחק רמגוף גדול של מסה M, יש

כך, בהתאם לחוק שימור האנרגיה האנרגיה הכוללת של גוף בשדה כבידה נשארת ללא שינוי.

האנרגיה הכוללת יכולה להיות חיובית או שלילית, או שווה לאפס. סימן האנרגיה הכוללת קובע את אופי התנועה של הגוף השמימי.

בְּ ה < 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние ר 0 < רמקסימום במקרה זה, הגוף השמימי נע מסלול אליפטי(כוכבי לכת של מערכת השמש, שביטים) (איור 7.8)

אורז. 7.8

תקופת המהפכה של גוף שמי במסלול אליפטי שווה לתקופת המהפכה במסלול מעגלי ברדיוס ר, איפה ר– ציר חצי מרכזי של המסלול.

בְּ ה= 0 הגוף נע לאורך מסלול פרבולי. מהירותו של גוף באינסוף היא אפס.

בְּ ה< 0 движение происходит по гиперболической траектории. Тело удаляется на бесконечность, имея запас кинетической энергии.

מהירות קוסמית ראשונההיא מהירות התנועה של גוף במסלול מעגלי ליד פני כדור הארץ. לשם כך, כדלקמן מהחוק השני של ניוטון, יש לאזן את הכוח הצנטריפוגלי על ידי כוח הכבידה:

מכאן

מכאן
מהירות מילוט שלישית- מהירות התנועה שבה גוף יכול לעזוב את מערכת השמש, להתגבר על כוח המשיכה של השמש:

υ 3 = 16.7·10 3 m/s.

איור 7.8 מציג את המסלולים של גופים בעלי מהירויות קוסמיות שונות.