அனைத்து தொகுதி சூத்திரங்கள். கன மீட்டரில் அளவை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது

பொது ஆய்வு. ஸ்டீரியோமெட்ரி ஃபார்முலாக்கள்!

வணக்கம் அன்பர்களே! இந்த கட்டுரையில், ஸ்டீரியோமெட்ரியில் இருக்கும் சிக்கல்களின் பொதுவான கண்ணோட்டத்தை உருவாக்க முடிவு செய்தேன் கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுஇ. இந்த குழுவின் பணிகள் மிகவும் மாறுபட்டவை, ஆனால் கடினமானவை அல்ல. இவை வடிவியல் அளவுகளைக் கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கல்கள்: நீளம், கோணங்கள், பகுதிகள், தொகுதிகள்.

கருதப்படுகிறது: கன சதுரம், கனசதுரம், ப்ரிசம், பிரமிடு, கலவை பாலிஹெட்ரான், உருளை, கூம்பு, பந்து. சோகமான உண்மை என்னவென்றால், சில பட்டதாரிகள் பரீட்சையின் போது இதுபோன்ற பிரச்சினைகளை எடுத்துக் கொள்ள மாட்டார்கள், இருப்பினும் அவற்றில் 50% க்கும் அதிகமானவை வெறுமனே, கிட்டத்தட்ட வாய்வழியாக தீர்க்கப்படுகின்றன.

மீதமுள்ளவர்களுக்கு சிறிய முயற்சி, அறிவு மற்றும் சிறப்பு நுட்பங்கள் தேவை. எதிர்கால கட்டுரைகளில் இந்த பணிகளை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம், அதை தவறவிடாதீர்கள், வலைப்பதிவு புதுப்பிப்புகளுக்கு குழுசேரவும்.

தீர்க்க நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் மேற்பரப்பு பகுதிகள் மற்றும் தொகுதிகளுக்கான சூத்திரங்கள்இணை குழாய், பிரமிடு, ப்ரிசம், உருளை, கூம்பு மற்றும் கோளம். கடினமான சிக்கல்கள் எதுவும் இல்லை, அவை அனைத்தும் 2-3 படிகளில் தீர்க்கப்படுகின்றன, என்ன சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும் என்பதை "பார்ப்பது" முக்கியம்.

தேவையான அனைத்து சூத்திரங்களும் கீழே வழங்கப்பட்டுள்ளன:

பந்து அல்லது கோளம். ஒரு கோள அல்லது கோள மேற்பரப்பு (சில நேரங்களில் வெறுமனே ஒரு கோளம்) என்பது ஒரு புள்ளியில் இருந்து சமமான இடத்தில் புள்ளிகளின் வடிவியல் இருப்பிடம் - பந்தின் மையம்.

பந்து அளவுபந்தின் மேற்பரப்புக்கு சமமான பரப்பளவைக் கொண்டிருக்கும் ஒரு பிரமிட்டின் தொகுதிக்கு சமம், உயரம் பந்தின் ஆரம் ஆகும்

கோளத்தின் அளவு, அதைச் சுற்றியுள்ள சிலிண்டரின் அளவை விட ஒன்றரை மடங்கு குறைவாக உள்ளது.

ஒரு வட்டக் கூம்பு அதன் கால்களில் ஒன்றைச் சுற்றி ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை சுழற்றுவதன் மூலம் பெறலாம், அதனால்தான் ஒரு வட்டக் கூம்பு புரட்சியின் கூம்பு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு வட்டக் கூம்பின் மேற்பரப்பு பகுதியையும் பார்க்கவும்

ஒரு வட்டக் கூம்பின் தொகுதிஅடிப்படை பகுதி S மற்றும் உயரம் H இன் உற்பத்தியின் மூன்றில் ஒரு பங்குக்கு சமம்:

(H என்பது கனசதுர விளிம்பின் உயரம்)

ஒரு இணையான குழாய் என்பது ஒரு ப்ரிஸம் ஆகும், அதன் அடிப்படை ஒரு இணையான வரைபடம் ஆகும். Parallelepiped ஆறு முகங்களைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் அவை அனைத்தும் இணையான வரைபடங்கள். நான்கு பக்கவாட்டு முகங்கள் செவ்வகமாக இருக்கும் ஒரு இணைக் குழாய் நேரான இணைக் குழாய் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஆறு முகங்கள் அனைத்து செவ்வகங்களாக இருக்கும் ஒரு வலது இணையான குழாய் செவ்வகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு செவ்வக இணை குழாய் தொகுதிஅடித்தளத்தின் பரப்பளவு மற்றும் உயரத்தின் தயாரிப்புக்கு சமம்:

(S என்பது பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் பரப்பளவு, h என்பது பிரமிட்டின் உயரம்)

ஒரு பிரமிடு என்பது ஒரு பாலிஹெட்ரான் ஆகும், இது ஒரு முகம் - பிரமிட்டின் அடிப்பகுதி - ஒரு தன்னிச்சையான பலகோணம், மற்றும் மீதமுள்ள - பக்க முகங்கள் - ஒரு பொதுவான உச்சியுடன் கூடிய முக்கோணங்கள், பிரமிட்டின் மேல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

பிரமிட்டின் அடிப்பகுதிக்கு இணையான ஒரு பகுதி பிரமிட்டை இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்கிறது. பிரமிட்டின் அடிப்பகுதிக்கும் இந்தப் பகுதிக்கும் இடையே உள்ள பகுதி துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடு ஆகும்.

துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் அளவுஉயரத்தின் உற்பத்தியில் மூன்றில் ஒரு பங்கிற்கு சமம் h(OS)மேல் தளத்தின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை மூலம் S1 (abcde), துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் கீழ் தளம் S2 (ABCDE)மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான சராசரி விகிதாசாரம்.

n - வழக்கமான பலகோணத்தின் பக்கங்களின் எண்ணிக்கை - வழக்கமான பிரமிட்டின் அடிப்பகுதி
வழக்கமான பலகோணத்தின் a - பக்கம் - ஒரு வழக்கமான பிரமிட்டின் அடிப்படை
h - ஒரு வழக்கமான பிரமிட்டின் உயரம்

ஒரு வழக்கமான முக்கோண பிரமிடு ஒரு பாலிஹெட்ரான் ஆகும், இது ஒரு முகம் - பிரமிட்டின் அடிப்பகுதி - ஒரு வழக்கமான முக்கோணம், மற்றும் மீதமுள்ள - பக்க முகங்கள் - ஒரு பொதுவான முனையுடன் சமமான முக்கோணங்கள். உயரம் மேலே இருந்து அடித்தளத்தின் மையத்திற்கு இறங்குகிறது.

வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டின் அளவுஒரு வழக்கமான முக்கோணத்தின் பரப்பளவின் மூன்றில் ஒரு பங்குக்கு சமம், இது அடித்தளமாகும் எஸ் (ஏபிசி)உயரத்திற்கு h(OS)

a - ஒரு வழக்கமான முக்கோணத்தின் பக்கம் - ஒரு வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டின் அடிப்படை
h - வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டின் உயரம்

டெட்ராஹெட்ரானின் தொகுதிக்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

ஒரு டெட்ராஹெட்ரானின் அளவு ஒரு பிரமிட்டின் தொகுதிக்கான உன்னதமான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது. டெட்ராஹெட்ரானின் உயரம் மற்றும் வழக்கமான (சமபக்க) முக்கோணத்தின் பரப்பளவை மாற்றுவது அவசியம்.

ஒரு டெட்ராஹெட்ரானின் அளவு- வகுப்பில் உள்ள இரண்டின் வர்க்கமூலம் பன்னிரண்டாக உள்ள பகுதிக்கு சமம், இது டெட்ராஹெட்ரானின் விளிம்பின் நீளத்தின் கனசதுரத்தால் பெருக்கப்படுகிறது.

(h என்பது ரோம்பஸின் பக்கத்தின் நீளம்)

சுற்றளவு பதோராயமாக மூன்று முழுமையும் வட்டத்தின் விட்டத்தின் நீளத்தில் ஏழில் ஒரு பங்கும் ஆகும். ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவிற்கும் அதன் விட்டத்திற்கும் சரியான விகிதம் கிரேக்க எழுத்து மூலம் குறிக்கப்படுகிறது π

இதன் விளைவாக, வட்டத்தின் சுற்றளவு அல்லது சுற்றளவு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது

(r என்பது வளைவின் ஆரம், n என்பது டிகிரிகளில் வளைவின் மைய கோணம்.)

பண்டைய எகிப்தியர்கள் எங்கள் முறைகளைப் போலவே பல்வேறு உருவங்களின் பகுதிகளைக் கணக்கிடுவதற்கான முறைகளைப் பயன்படுத்தினர்.

என் புத்தகங்களில் "ஆரம்பம்"புகழ்பெற்ற பண்டைய கிரேக்க கணிதவியலாளர் யூக்லிட் பல வடிவியல் உருவங்களின் பகுதிகளை கணக்கிடுவதற்கான ஒரு பெரிய எண்ணிக்கையிலான வழிகளை விவரித்தார். வடிவியல் தகவல்களைக் கொண்ட ரஷ்யாவின் முதல் கையெழுத்துப் பிரதிகள் 16 ஆம் நூற்றாண்டில் எழுதப்பட்டன. பல்வேறு வடிவங்களின் உருவங்களின் பகுதிகளைக் கண்டறிவதற்கான விதிகளை அவை விவரிக்கின்றன.

இன்று, நவீன முறைகளைப் பயன்படுத்தி, எந்தவொரு உருவத்தின் பகுதியையும் மிகத் துல்லியமாக நீங்கள் காணலாம்.

எளிமையான புள்ளிவிவரங்களில் ஒன்றை - ஒரு செவ்வகம் - மற்றும் அதன் பகுதியைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான சூத்திரத்தை கருத்தில் கொள்வோம்.

செவ்வக பகுதி சூத்திரம்

$1$ செமீ பக்கங்களைக் கொண்ட $8$ சதுரங்களைக் கொண்ட ஒரு உருவத்தை (படம் 1) கருத்தில் கொள்வோம். $.

இந்த உருவத்தின் பரப்பளவு (படம் 1) $8\cm^2$க்கு சமமாக இருக்கும்.

$1\ cm$ (உதாரணமாக, $p$) பக்கத்துடன் பல சதுரங்களாகப் பிரிக்கக்கூடிய உருவத்தின் பரப்பளவு $p\ cm^2$க்கு சமமாக இருக்கும்.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், உருவத்தின் பரப்பளவு பல $cm^2$ க்கு சமமாக இருக்கும், $1\ cm$ பக்கத்துடன் எத்தனை சதுரங்கள் இந்த எண்ணிக்கையை பிரிக்கலாம்.

ஒரு செவ்வகத்தை (படம் 2) கருத்தில் கொள்வோம், இதில் $3$ கோடுகள் உள்ளன, ஒவ்வொன்றும் $1\ cm$ பக்கத்துடன் $5$ சதுரங்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளன. முழு செவ்வகமும் $5\cdot 3=15$ போன்ற சதுரங்களைக் கொண்டுள்ளது, அதன் பரப்பளவு $15\cm^2$ ஆகும்.

படம் 1.

படம் 2.

புள்ளிவிவரங்களின் பரப்பளவு பொதுவாக $S$ என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.

ஒரு செவ்வகத்தின் பகுதியைக் கண்டுபிடிக்க, அதன் நீளத்தை அதன் அகலத்தால் பெருக்க வேண்டும்.

அதன் நீளத்தை $a$ என்ற எழுத்திலும், அதன் அகலத்தை $b$ என்ற எழுத்திலும் குறிப்பிட்டால், செவ்வகப் பகுதிக்கான சூத்திரம் இப்படி இருக்கும்:

வரையறை 1

புள்ளிவிவரங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன சமமானஒருவரையொருவர் மிகைப்படுத்தினால், புள்ளிவிவரங்கள் ஒத்துப்போகின்றன. சம உருவங்கள் சம பகுதிகளையும் சம சுற்றளவையும் கொண்டவை.

ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவை அதன் பகுதிகளின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையாகக் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

எடுத்துக்காட்டாக, படம் $3$ இல், செவ்வக $ABCD$ வரி $KLMN$ மூலம் இரண்டு பகுதிகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு பகுதியின் பரப்பளவு $12\ cm^2$, மற்றொன்று $9\ cm^2$. பின்னர் $ABCD$ செவ்வகத்தின் பரப்பளவு $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$ க்கு சமமாக இருக்கும். சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி செவ்வகத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இரண்டு முறைகளிலும் காணப்படும் பகுதிகள் சமம்.

படம் 3.

படம் 4.

$AC$ என்ற வரிப் பிரிவு செவ்வகத்தை இரண்டு சம முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கிறது: $ABC$ மற்றும் $ADC$. இதன் பொருள் ஒவ்வொரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு முழு செவ்வகத்தின் பாதி பகுதிக்கு சமம்.

வரையறை 2

சம பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு செவ்வகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது சதுரம்.

ஒரு சதுரத்தின் பக்கத்தை $a$ என்ற எழுத்தால் குறிக்கிறோம் என்றால், சதுரத்தின் பரப்பளவு சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படும்:

எனவே $a$ என்ற எண்ணின் பெயர் சதுரம்.

எடுத்துக்காட்டு 2

எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சதுரத்தின் பக்கம் $5$ செமீ என்றால், அதன் பரப்பளவு:

தொகுதிகள்

பண்டைய நாகரிகங்களின் நாட்களில் வர்த்தகம் மற்றும் கட்டுமானத்தின் வளர்ச்சியுடன், தொகுதிகளைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய அவசியம் ஏற்பட்டது. கணிதத்தில், ஸ்டெரியோமெட்ரி எனப்படும் இடஞ்சார்ந்த உருவங்களைப் பற்றிய ஆய்வைக் கையாளும் வடிவவியலின் ஒரு கிளை உள்ளது. கணிதத்தின் இந்தத் தனிப் பிரிவு பற்றிய குறிப்புகள் ஏற்கனவே கிமு $IV$ நூற்றாண்டில் காணப்பட்டன.

பண்டைய கணிதவியலாளர்கள் எளிய உருவங்களின் அளவைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு முறையை உருவாக்கினர் - ஒரு கனசதுரம் மற்றும் ஒரு இணை குழாய். அக்கால கட்டிடங்கள் அனைத்தும் இந்த வடிவத்தில் இருந்தன. ஆனால் பின்னர் மிகவும் சிக்கலான வடிவங்களின் உருவங்களின் அளவைக் கணக்கிடுவதற்கான முறைகள் கண்டறியப்பட்டன.

ஒரு செவ்வக இணை குழாய் தொகுதி

நீங்கள் ஈரமான மணலுடன் அச்சுகளை நிரப்பி, அதைத் திருப்பினால், நீங்கள் ஒரு முப்பரிமாண உருவத்தைப் பெறுவீர்கள், அது அளவு வகைப்படுத்தப்படும். ஒரே மாதிரியைப் பயன்படுத்தி இதுபோன்ற பல உருவங்களைச் செய்தால், அதே அளவு கொண்ட உருவங்களைப் பெறுவீர்கள். நீங்கள் அச்சுகளை தண்ணீரில் நிரப்பினால், நீரின் அளவு மற்றும் மணல் உருவத்தின் அளவும் சமமாக இருக்கும்.

படம் 5.

இரண்டு பாத்திரங்களின் அளவை நீங்கள் ஒரு பாத்திரத்தில் தண்ணீரில் நிரப்பி இரண்டாவது பாத்திரத்தில் ஊற்றுவதன் மூலம் ஒப்பிடலாம். இரண்டாவது பாத்திரம் முழுமையாக நிரப்பப்பட்டிருந்தால், பாத்திரங்கள் சம அளவுகளைக் கொண்டிருக்கும். முதல் பாத்திரத்தில் தண்ணீர் இருந்தால், முதல் பாத்திரத்தின் அளவு இரண்டாவது அளவை விட அதிகமாக இருக்கும். முதல் பாத்திரத்தில் இருந்து தண்ணீரை ஊற்றும்போது, ​​இரண்டாவது பாத்திரத்தை முழுமையாக நிரப்ப முடியாது என்றால், முதல் பாத்திரத்தின் அளவு இரண்டாவது பாத்திரத்தின் அளவை விட குறைவாக இருக்கும்.

பின்வரும் அலகுகளைப் பயன்படுத்தி தொகுதி அளவிடப்படுகிறது:

$mm^3$ -- கன மில்லிமீட்டர்,

$cm^3$ -- கன சென்டிமீட்டர்,

$dm^3$ -- கன டெசிமீட்டர்,

$m^3$ -- கன மீட்டர்,

$km^3$ -- கன கிலோமீட்டர்.

"Get an A" என்ற வீடியோ பாடத்தில் 60-65 புள்ளிகளுடன் கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் வெற்றிகரமாக தேர்ச்சி பெற தேவையான அனைத்து தலைப்புகளும் அடங்கும். கணிதத்தில் சுயவிவர ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் 1-13 அனைத்து பணிகளும் முழுமையாக. கணிதத்தில் அடிப்படை ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் தேர்ச்சி பெறவும் ஏற்றது. நீங்கள் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் 90-100 புள்ளிகளுடன் தேர்ச்சி பெற விரும்பினால், நீங்கள் பகுதி 1 ஐ 30 நிமிடங்களில் மற்றும் தவறுகள் இல்லாமல் தீர்க்க வேண்டும்!

10-11 வகுப்புகளுக்கான ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்கான தயாரிப்பு பாடநெறி, அத்துடன் ஆசிரியர்களுக்கும். கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் பகுதி 1 (முதல் 12 சிக்கல்கள்) மற்றும் சிக்கல் 13 (முக்கோணவியல்) ஆகியவற்றில் நீங்கள் தீர்க்க வேண்டிய அனைத்தும். இது ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் 70 புள்ளிகளுக்கு மேல் உள்ளது, மேலும் 100-புள்ளி மாணவரோ அல்லது மனிதநேய மாணவரோ அவர்கள் இல்லாமல் செய்ய முடியாது.

தேவையான அனைத்து கோட்பாடு. ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் விரைவான தீர்வுகள், ஆபத்துகள் மற்றும் ரகசியங்கள். FIPI பணி வங்கியின் பகுதி 1 இன் அனைத்து தற்போதைய பணிகளும் பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்டுள்ளன. ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு 2018 இன் தேவைகளுடன் பாடநெறி முழுமையாக இணங்குகிறது.

பாடநெறியில் 5 பெரிய தலைப்புகள் உள்ளன, ஒவ்வொன்றும் 2.5 மணிநேரம். ஒவ்வொரு தலைப்பும் புதிதாக, எளிமையாகவும் தெளிவாகவும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

நூற்றுக்கணக்கான ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு பணிகள். வார்த்தை சிக்கல்கள் மற்றும் நிகழ்தகவு கோட்பாடு. சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான எளிய மற்றும் எளிதாக நினைவில் கொள்ளக்கூடிய அல்காரிதம்கள். வடிவியல். கோட்பாடு, குறிப்பு பொருள், அனைத்து வகையான ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு பணிகளின் பகுப்பாய்வு. ஸ்டீரியோமெட்ரி. தந்திரமான தீர்வுகள், பயனுள்ள ஏமாற்றுத் தாள்கள், இடஞ்சார்ந்த கற்பனையின் வளர்ச்சி. முக்கோணவியல் முதல் பிரச்சனை வரை 13. நெரிசலுக்கு பதிலாக புரிந்து கொள்ளுதல். சிக்கலான கருத்துகளின் தெளிவான விளக்கங்கள். இயற்கணிதம். வேர்கள், சக்திகள் மற்றும் மடக்கைகள், செயல்பாடு மற்றும் வழித்தோன்றல். ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் பகுதி 2 இன் சிக்கலான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான அடிப்படை.

பண்டைய எகிப்தியர்கள் எங்கள் முறைகளைப் போலவே பல்வேறு உருவங்களின் பகுதிகளைக் கணக்கிடுவதற்கான முறைகளைப் பயன்படுத்தினர்.

என் புத்தகங்களில் "ஆரம்பம்"புகழ்பெற்ற பண்டைய கிரேக்க கணிதவியலாளர் யூக்லிட் பல வடிவியல் உருவங்களின் பகுதிகளை கணக்கிடுவதற்கான ஒரு பெரிய எண்ணிக்கையிலான வழிகளை விவரித்தார். வடிவியல் தகவல்களைக் கொண்ட ரஷ்யாவின் முதல் கையெழுத்துப் பிரதிகள் 16 ஆம் நூற்றாண்டில் எழுதப்பட்டன. பல்வேறு வடிவங்களின் உருவங்களின் பகுதிகளைக் கண்டறிவதற்கான விதிகளை அவை விவரிக்கின்றன.

இன்று, நவீன முறைகளைப் பயன்படுத்தி, எந்தவொரு உருவத்தின் பகுதியையும் மிகத் துல்லியமாக நீங்கள் காணலாம்.

எளிமையான புள்ளிவிவரங்களில் ஒன்றை - ஒரு செவ்வகம் - மற்றும் அதன் பகுதியைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான சூத்திரத்தை கருத்தில் கொள்வோம்.

செவ்வக பகுதி சூத்திரம்

$1$ செமீ பக்கங்களைக் கொண்ட $8$ சதுரங்களைக் கொண்ட ஒரு உருவத்தை (படம் 1) கருத்தில் கொள்வோம். $.

இந்த உருவத்தின் பரப்பளவு (படம் 1) $8\cm^2$க்கு சமமாக இருக்கும்.

$1\ cm$ (உதாரணமாக, $p$) பக்கத்துடன் பல சதுரங்களாகப் பிரிக்கக்கூடிய உருவத்தின் பரப்பளவு $p\ cm^2$க்கு சமமாக இருக்கும்.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், உருவத்தின் பரப்பளவு பல $cm^2$ க்கு சமமாக இருக்கும், $1\ cm$ பக்கத்துடன் எத்தனை சதுரங்கள் இந்த எண்ணிக்கையை பிரிக்கலாம்.

ஒரு செவ்வகத்தை (படம் 2) கருத்தில் கொள்வோம், இதில் $3$ கோடுகள் உள்ளன, ஒவ்வொன்றும் $1\ cm$ பக்கத்துடன் $5$ சதுரங்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளன. முழு செவ்வகமும் $5\cdot 3=15$ போன்ற சதுரங்களைக் கொண்டுள்ளது, அதன் பரப்பளவு $15\cm^2$ ஆகும்.

படம் 1.

படம் 2.

புள்ளிவிவரங்களின் பரப்பளவு பொதுவாக $S$ என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.

ஒரு செவ்வகத்தின் பகுதியைக் கண்டுபிடிக்க, அதன் நீளத்தை அதன் அகலத்தால் பெருக்க வேண்டும்.

அதன் நீளத்தை $a$ என்ற எழுத்திலும், அதன் அகலத்தை $b$ என்ற எழுத்திலும் குறிப்பிட்டால், செவ்வகப் பகுதிக்கான சூத்திரம் இப்படி இருக்கும்:

வரையறை 1

புள்ளிவிவரங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன சமமானஒருவரையொருவர் மிகைப்படுத்தினால், புள்ளிவிவரங்கள் ஒத்துப்போகின்றன. சம உருவங்கள் சம பகுதிகளையும் சம சுற்றளவையும் கொண்டவை.

ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவை அதன் பகுதிகளின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையாகக் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

எடுத்துக்காட்டாக, படம் $3$ இல், செவ்வக $ABCD$ வரி $KLMN$ மூலம் இரண்டு பகுதிகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு பகுதியின் பரப்பளவு $12\ cm^2$, மற்றொன்று $9\ cm^2$. பின்னர் $ABCD$ செவ்வகத்தின் பரப்பளவு $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$ க்கு சமமாக இருக்கும். சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி செவ்வகத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இரண்டு முறைகளிலும் காணப்படும் பகுதிகள் சமம்.

படம் 3.

படம் 4.

$AC$ என்ற வரிப் பிரிவு செவ்வகத்தை இரண்டு சம முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கிறது: $ABC$ மற்றும் $ADC$. இதன் பொருள் ஒவ்வொரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு முழு செவ்வகத்தின் பாதி பகுதிக்கு சமம்.

வரையறை 2

சம பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு செவ்வகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது சதுரம்.

ஒரு சதுரத்தின் பக்கத்தை $a$ என்ற எழுத்தால் குறிக்கிறோம் என்றால், சதுரத்தின் பரப்பளவு சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படும்:

எனவே $a$ என்ற எண்ணின் பெயர் சதுரம்.

எடுத்துக்காட்டு 2

எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சதுரத்தின் பக்கம் $5$ செமீ என்றால், அதன் பரப்பளவு:

தொகுதிகள்

பண்டைய நாகரிகங்களின் நாட்களில் வர்த்தகம் மற்றும் கட்டுமானத்தின் வளர்ச்சியுடன், தொகுதிகளைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய அவசியம் ஏற்பட்டது. கணிதத்தில், ஸ்டெரியோமெட்ரி எனப்படும் இடஞ்சார்ந்த உருவங்களைப் பற்றிய ஆய்வைக் கையாளும் வடிவவியலின் ஒரு கிளை உள்ளது. கணிதத்தின் இந்தத் தனிப் பிரிவு பற்றிய குறிப்புகள் ஏற்கனவே கிமு $IV$ நூற்றாண்டில் காணப்பட்டன.

பண்டைய கணிதவியலாளர்கள் எளிய உருவங்களின் அளவைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு முறையை உருவாக்கினர் - ஒரு கனசதுரம் மற்றும் ஒரு இணை குழாய். அக்கால கட்டிடங்கள் அனைத்தும் இந்த வடிவத்தில் இருந்தன. ஆனால் பின்னர் மிகவும் சிக்கலான வடிவங்களின் உருவங்களின் அளவைக் கணக்கிடுவதற்கான முறைகள் கண்டறியப்பட்டன.

ஒரு செவ்வக இணை குழாய் தொகுதி

நீங்கள் ஈரமான மணலுடன் அச்சுகளை நிரப்பி, அதைத் திருப்பினால், நீங்கள் ஒரு முப்பரிமாண உருவத்தைப் பெறுவீர்கள், அது அளவு வகைப்படுத்தப்படும். ஒரே மாதிரியைப் பயன்படுத்தி இதுபோன்ற பல உருவங்களைச் செய்தால், அதே அளவு கொண்ட உருவங்களைப் பெறுவீர்கள். நீங்கள் அச்சுகளை தண்ணீரில் நிரப்பினால், நீரின் அளவு மற்றும் மணல் உருவத்தின் அளவும் சமமாக இருக்கும்.

படம் 5.

இரண்டு பாத்திரங்களின் அளவை நீங்கள் ஒரு பாத்திரத்தில் தண்ணீரில் நிரப்பி இரண்டாவது பாத்திரத்தில் ஊற்றுவதன் மூலம் ஒப்பிடலாம். இரண்டாவது பாத்திரம் முழுமையாக நிரப்பப்பட்டிருந்தால், பாத்திரங்கள் சம அளவுகளைக் கொண்டிருக்கும். முதல் பாத்திரத்தில் தண்ணீர் இருந்தால், முதல் பாத்திரத்தின் அளவு இரண்டாவது அளவை விட அதிகமாக இருக்கும். முதல் பாத்திரத்தில் இருந்து தண்ணீரை ஊற்றும்போது, ​​இரண்டாவது பாத்திரத்தை முழுமையாக நிரப்ப முடியாது என்றால், முதல் பாத்திரத்தின் அளவு இரண்டாவது பாத்திரத்தின் அளவை விட குறைவாக இருக்கும்.

பின்வரும் அலகுகளைப் பயன்படுத்தி தொகுதி அளவிடப்படுகிறது:

$mm^3$ -- கன மில்லிமீட்டர்,

$cm^3$ -- கன சென்டிமீட்டர்,

$dm^3$ -- கன டெசிமீட்டர்,

$m^3$ -- கன மீட்டர்,

$km^3$ -- கன கிலோமீட்டர்.

எந்த வடிவியல் உடலையும் மேற்பரப்பு பகுதி (S) மற்றும் தொகுதி (V) மூலம் வகைப்படுத்தலாம். பரப்பளவும் தொகுதியும் ஒரே மாதிரியானவை அல்ல. ஒரு பொருள் ஒப்பீட்டளவில் சிறிய V மற்றும் ஒரு பெரிய S ஐக் கொண்டிருக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக, மனித மூளை இப்படித்தான் செயல்படுகிறது. எளிமையான வடிவியல் வடிவங்களுக்கு இந்த குறிகாட்டிகளைக் கணக்கிடுவது மிகவும் எளிதானது.

Parallelepiped: வரையறை, வகைகள் மற்றும் பண்புகள்

ஒரு இணையான ப்ரிஸம் என்பது அதன் அடிப்பகுதியில் ஒரு இணையான வரைபடத்துடன் கூடிய ஒரு நாற்கர ப்ரிஸம் ஆகும். ஒரு உருவத்தின் அளவைக் கண்டறிய உங்களுக்கு ஏன் ஒரு சூத்திரம் தேவைப்படலாம்? புத்தகங்கள், பேக்கேஜிங் பெட்டிகள் மற்றும் அன்றாட வாழ்க்கையிலிருந்து பல விஷயங்கள் ஒரே மாதிரியான வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன. குடியிருப்பு மற்றும் அலுவலக கட்டிடங்களில் உள்ள அறைகள் பொதுவாக செவ்வக இணையான குழாய்களாக இருக்கும். காற்றோட்டம், ஏர் கண்டிஷனிங் நிறுவ மற்றும் ஒரு அறையில் வெப்பமூட்டும் கூறுகளின் எண்ணிக்கையை தீர்மானிக்க, அறையின் அளவைக் கணக்கிடுவது அவசியம்.

படத்தில் 6 முகங்கள் உள்ளன - இணையான வரைபடங்கள் மற்றும் 12 விளிம்புகள் தன்னிச்சையாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட முகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஒரு parallelepiped பல வகைகளாக இருக்கலாம். வேறுபாடுகள் அருகிலுள்ள விளிம்புகளுக்கு இடையிலான கோணங்களின் காரணமாகும். வெவ்வேறு பலகோணங்களின் Vsகளைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரங்கள் சற்று வேறுபட்டவை.

ஒரு வடிவியல் உருவத்தின் 6 முகங்களும் செவ்வகமாக இருந்தால், அது செவ்வக வடிவம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு கனசதுரம் என்பது 6 முகங்களும் சம சதுரங்களாக இருக்கும் ஒரு இணைக் குழாய்களின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு. இந்த வழக்கில், V ஐக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் ஒரு பக்கத்தின் நீளத்தைக் கண்டுபிடித்து அதை மூன்றாவது சக்திக்கு உயர்த்த வேண்டும்.

சிக்கல்களைத் தீர்க்க, உங்களுக்கு ஆயத்த சூத்திரங்கள் மட்டுமல்ல, உருவத்தின் பண்புகள் பற்றிய அறிவும் தேவைப்படும். செவ்வக ப்ரிஸத்தின் அடிப்படை பண்புகளின் பட்டியல் சிறியது மற்றும் புரிந்து கொள்ள மிகவும் எளிதானது:

1. உருவத்தின் எதிர் பக்கங்கள் சமமாகவும் இணையாகவும் இருக்கும். இதன் பொருள் எதிரே அமைந்துள்ள விலா எலும்புகள் நீளம் மற்றும் சாய்வின் கோணத்தில் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.
2. வலதுபுற இணைக் குழாய்களின் அனைத்து பக்கவாட்டு முகங்களும் செவ்வகங்களாகும்.
3. ஒரு வடிவியல் உருவத்தின் நான்கு முக்கிய மூலைவிட்டங்கள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன மற்றும் அதன் மூலம் பாதியாக பிரிக்கப்படுகின்றன.
4. ஒரு இணையான பைப்பின் மூலைவிட்டத்தின் சதுரம், உருவத்தின் பரிமாணங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும் (பித்தகோரியன் தேற்றத்திலிருந்து பின்வருமாறு).

பித்தகோரியன் தேற்றம்ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை அதே முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட முக்கோணத்தின் பரப்பளவிற்கு சமம் என்று கூறுகிறது.

கடைசி சொத்தின் ஆதாரத்தை கீழே உள்ள படத்தில் காணலாம். சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான செயல்முறை எளிதானது மற்றும் விரிவான விளக்கங்கள் தேவையில்லை.

ஒரு செவ்வக இணைக் குழாய்களின் தொகுதிக்கான சூத்திரம்

அனைத்து வகையான வடிவியல் உருவங்களையும் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம் ஒன்றுதான்: V=S*h, V என்பது தேவையான அளவு, S என்பது இணைக் குழாய்களின் அடிப்பகுதி, h என்பது எதிர் முனையிலிருந்து குறைக்கப்பட்ட உயரம் மற்றும் அடித்தளத்திற்கு செங்குத்தாக. ஒரு செவ்வகத்தில், h என்பது உருவத்தின் ஒரு பக்கத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, எனவே ஒரு செவ்வக ப்ரிஸத்தின் அளவைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் மூன்று பரிமாணங்களைப் பெருக்க வேண்டும்.

தொகுதி பொதுவாக cm3 இல் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. a, b மற்றும் c ஆகிய மூன்று மதிப்புகளையும் தெரிந்துகொள்வது, ஒரு உருவத்தின் அளவைக் கண்டுபிடிப்பது கடினம் அல்ல. ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் மிகவும் பொதுவான வகை சிக்கல் ஒரு இணையான பைப்பின் தொகுதி அல்லது மூலைவிட்டத்தைக் கண்டறிவதாகும். ஒரு செவ்வகத்தின் அளவிற்கான சூத்திரம் இல்லாமல் பல நிலையான ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு பணிகளை தீர்க்க இயலாது. ஒரு பணியின் எடுத்துக்காட்டு மற்றும் அதன் தீர்வின் வடிவமைப்பு கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.

குறிப்பு 1. உருவத்தின் மூன்று முகங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையை 2 ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் செவ்வக ப்ரிஸத்தின் மேற்பரப்பைக் காணலாம்: அடித்தளம் (ab) மற்றும் இரண்டு அருகிலுள்ள பக்க முகங்கள் (bc + ac).

குறிப்பு 2. பக்க முகங்களின் மேற்பரப்பை அடித்தளத்தின் சுற்றளவை இணையான உயரத்தால் பெருக்குவதன் மூலம் எளிதாக தீர்மானிக்க முடியும்.

parallelepipeds AB = A1B1, மற்றும் முகம் B1D1 = BD இன் முதல் பண்பு அடிப்படையில். பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் இணைவுகளின்படி, ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் உள்ள அனைத்து கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆகும், மேலும் 30° கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள கால் ஹைப்போடென்யூஸுக்கு சமம். இந்த அறிவை ஒரு முக்கோணத்திற்குப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், AB மற்றும் AD பக்கங்களின் நீளத்தை எளிதாகக் கண்டறியலாம். பின்னர் நாம் பெறப்பட்ட மதிப்புகளைப் பெருக்கி, இணையான பைப்பின் அளவைக் கணக்கிடுகிறோம்.

சாய்ந்த இணையான பைப்பின் அளவைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம்

சாய்ந்த இணைக்குழாயின் அளவைக் கண்டுபிடிக்க, உருவத்தின் அடிப்பகுதியின் பகுதியை எதிர் மூலையில் இருந்து கொடுக்கப்பட்ட தளத்திற்கு குறைக்கப்பட்ட உயரத்தால் பெருக்க வேண்டும்.

எனவே, தேவையான V ஐ h வடிவில் குறிப்பிடலாம் - அடிப்படை பகுதி S கொண்ட தாள்களின் எண்ணிக்கை, எனவே டெக்கின் அளவு அனைத்து அட்டைகளின் Vs ஐக் கொண்டுள்ளது.

சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

ஒற்றைத் தேர்வின் பணிகளை குறிப்பிட்ட காலத்திற்குள் முடிக்க வேண்டும். வழக்கமான சிக்கல்கள், ஒரு விதியாக, அதிக எண்ணிக்கையிலான கணக்கீடுகள் மற்றும் சிக்கலான பின்னங்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை. ஒழுங்கற்ற வடிவியல் உருவத்தின் அளவை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்று ஒரு மாணவரிடம் அடிக்கடி கேட்கப்படுகிறது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், மொத்த அளவு V கூறுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் என்ற எளிய விதியை நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

மேலே உள்ள படத்தில் உள்ள எடுத்துக்காட்டில் இருந்து பார்க்க முடியும், இது போன்ற பிரச்சனைகளை தீர்ப்பதில் கடினமான ஒன்றும் இல்லை. மிகவும் சிக்கலான பிரிவுகளின் பணிகளுக்கு பித்தகோரியன் தேற்றம் மற்றும் அதன் விளைவுகள் மற்றும் ஒரு உருவத்தின் மூலைவிட்டத்தின் நீளத்திற்கான சூத்திரம் பற்றிய அறிவு தேவைப்படுகிறது. சோதனை பணிகளை வெற்றிகரமாக தீர்க்க, வழக்கமான சிக்கல்களின் மாதிரிகளை முன்கூட்டியே அறிந்து கொள்வது போதுமானது.