ஆய அச்சுகளின் மீது திசையன்களின் முன்கணிப்பு எவ்வாறு தீர்மானிக்கப்படுகிறது? ஒரு திசையன் ஒரு அச்சில் ப்ராஜெக்ஷன். ஒரு திசையன் திட்டத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது

பல உடல் அளவுகள் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணைக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் முழுமையாக தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. இவை, எடுத்துக்காட்டாக, தொகுதி, நிறை, அடர்த்தி, உடல் வெப்பநிலை போன்றவை. இத்தகைய அளவுகள் ஸ்கேலர் எனப்படும். இதன் காரணமாக, எண்கள் சில நேரங்களில் ஸ்கேலர்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஆனால் ஒரு எண்ணை மட்டுமல்ல, ஒரு குறிப்பிட்ட திசையையும் குறிப்பிடுவதன் மூலம் தீர்மானிக்கப்படும் அளவுகளும் உள்ளன. உதாரணமாக, ஒரு உடல் நகரும் போது, ​​உடல் நகரும் வேகத்தை மட்டுமல்ல, இயக்கத்தின் திசையையும் குறிக்க வேண்டும். அதே வழியில், எந்தவொரு சக்தியின் செயலையும் படிக்கும் போது, ​​இந்த சக்தியின் மதிப்பை மட்டுமல்ல, அதன் செயல்பாட்டின் திசையையும் குறிப்பிடுவது அவசியம். அத்தகைய அளவுகள் அழைக்கப்படுகின்றன திசையன்.அவற்றை விவரிக்க, ஒரு திசையன் என்ற கருத்து அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, இது கணிதத்திற்கு பயனுள்ளதாக மாறியது.

திசையன் வரையறை

விண்வெளியில் A முதல் B வரை எந்த வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடி புள்ளிகளையும் வரையறுக்கிறது இயக்கிய பிரிவு, அதாவது அதில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள திசையுடன் ஒரு பிரிவு. புள்ளி A முதலாவதாக இருந்தால், அது இயக்கப்பட்ட பிரிவின் ஆரம்பம் என்றும், புள்ளி B அதன் முடிவு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு பிரிவின் திசையானது தொடக்கத்திலிருந்து இறுதி வரையிலான திசையாகக் கருதப்படுகிறது.

வரையறை
இயக்கிய பிரிவு வெக்டர் எனப்படும்.

ஒரு திசையனை நாம் \(\overrightarrow(AB) \) குறியீட்டின் மூலம் குறிப்போம், முதல் எழுத்து திசையனின் தொடக்கத்தையும், இரண்டாவது - அதன் முடிவையும் குறிக்கும்.

தொடக்கமும் முடிவும் இணையும் திசையன் என்று அழைக்கப்படுகிறது பூஜ்யம்மற்றும் \(\vec(0)\) அல்லது வெறுமனே 0 ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

ஒரு வெக்டரின் தொடக்கத்திற்கும் முடிவிற்கும் இடையிலான தூரம் அதன் எனப்படும் நீளம்மற்றும் \(|\overrightarrow(AB)| \) அல்லது \(|\vec(a)| \) மூலம் குறிக்கப்படுகிறது.

திசையன்கள் \(\vec(a) \) மற்றும் \(\vec(b) \) என்று அழைக்கப்படுகின்றன கோலினியர், அவை ஒரே கோட்டில் அல்லது இணையான கோடுகளில் இருந்தால். கோலினியர் திசையன்கள் ஒரே அல்லது எதிர் திசைகளைக் கொண்டிருக்கலாம்.

இப்போது நாம் இரண்டு திசையன்களின் சமத்துவத்தின் முக்கியமான கருத்தை உருவாக்கலாம்.

வரையறை
திசையன்கள் \(\vec(a) \) மற்றும் \(\vec(b) \) சமம் எனக் கூறப்படுகிறது (\(\vec(a) = \vec(b) \)) அவை கோலினியர் என்றால், ஒரே திசை மற்றும் அவற்றின் நீளம் சமம்.

படத்தில். 1 இடதுபுறத்தில் சமமற்ற திசையன்களையும், வலதுபுறத்தில் \(\vec(a) \) மற்றும் \(\vec(b) \) சம திசையன்களையும் காட்டுகிறது. திசையன்களின் சமத்துவத்தின் வரையறையிலிருந்து, கொடுக்கப்பட்ட திசையன் தனக்கு இணையாக நகர்த்தப்பட்டால், அதன் விளைவாக கொடுக்கப்பட்ட ஒரு திசையன் சமமாக இருக்கும். இது சம்பந்தமாக, பகுப்பாய்வு வடிவவியலில் திசையன்கள் அழைக்கப்படுகின்றன இலவசம்.

ஒரு திசையன் ஒரு அச்சில் ப்ராஜெக்ஷன்

அச்சு \(u\) மற்றும் சில திசையன் \(\overrightarrow(AB)\) விண்வெளியில் கொடுக்கப்பட வேண்டும். A மற்றும் B புள்ளிகள் மூலம் \(u\) அச்சுக்கு செங்குத்தாக விமானங்களை வரைவோம். இந்த விமானங்களை அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளிகளை A" மற்றும் B" மூலம் குறிப்போம் (படம் 2 ஐப் பார்க்கவும்).

திசையன் \(\overrightarrow(AB) \) அச்சில் \(u\) என்பது அச்சில் \(u\) இயக்கப்பட்ட A"B" பிரிவின் A"B" மதிப்பாகும். என்பதை நினைவு கூர்வோம்
\(A"B" = |\overrightarrow(A"B")| \) , திசை \(\overrightarrow(A"B") \) அச்சின் திசையுடன் \(u\) இணைந்தால்
\(A"B" = -|\overrightarrow(A"B")| \) , திசை \(\overrightarrow(A"B") \) அச்சின் திசைக்கு எதிராக இருந்தால் \(u\),
திசையன் \(\overrightarrow(AB)\) அச்சில் \(u\) பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது: \(Pr_u \overrightarrow(AB)\).

தேற்றம்
திசையன் \(\overrightarrow(AB) \) அச்சில் \(u\) திசையன் \(\overrightarrow(AB) \) க்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைன் மூலம் பெருக்கப்படும் திசையன் நீளத்திற்கு சமம். (\overrightarrow(AB) \) மற்றும் அச்சு \( u\) , i.e.

கருத்து
\(\overrightarrow(A_1B_1)=\overrightarrow(A_2B_2) \) மற்றும் சில அச்சை \(u\) குறிப்பிடலாம். இந்த ஒவ்வொரு திசையன்களுக்கும் தேற்றத்தின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்

ஆய அச்சுகளில் திசையன் கணிப்புகள்

ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு Oxyz மற்றும் ஒரு தன்னிச்சையான திசையன் \(\overrightarrow(AB)\) விண்வெளியில் கொடுக்கப்பட வேண்டும். மேலும், \(X = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Y = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Pr_u \overrightarrow(AB) \). ஆய அச்சுகளில் X, Y, Z திசையன் \(\overrightarrow(AB)\) கணிப்புகள் அழைக்கப்படுகின்றன ஒருங்கிணைப்புகள்.அதே சமயம் எழுதுகிறார்கள்
\(\overrightarrow(AB) = (X;Y;Z) \)

தேற்றம்
A(x 1; y 1; z 1) மற்றும் B(x 2; y 2; z 2) ஆகிய இரண்டு புள்ளிகள் எதுவாக இருந்தாலும், திசையன் \(\overrightarrow(AB) \) ஆயத்தொகுப்புகள் பின்வரும் சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன :

X = x 2 -x 1 , Y = y 2 -y 1 , Z = z 2 -z 1

கருத்து
திசையன் \(\overrightarrow(AB) \) தோற்றத்திலிருந்து வெளியேறினால், அதாவது. x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, பின்னர் திசையன் \(\overrightarrow(AB) \) ஆயத்தொகுதிகள் X, Y, Z அதன் முடிவின் ஆயங்களுக்குச் சமம்:
X = x, Y = y, Z = z.

வெக்டரின் திசை கோசைன்கள்

அடிப்படை வடிவவியலில் இருந்து, ஒரு செவ்வக இணையான பைப்பின் மூலைவிட்டத்தின் நீளத்தின் சதுரம் அதன் முப்பரிமாணங்களின் நீளங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் என்று அறியப்படுகிறது. எனவே,
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 \)
ஆனால் \(|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| \); இதனால் நாம் பெறுகிறோம்
\(|\vec(a)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \)
அல்லது
\(|\vec(a)| = \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) \)
இந்த சூத்திரம் ஒரு தன்னிச்சையான திசையன் நீளத்தை அதன் ஆயத்தொலைவுகள் மூலம் வெளிப்படுத்துகிறது.

\(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) திசையன் \(\vec(a) \) மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணங்களைக் குறிப்போம். வெக்டரை அச்சில் கொண்டு வருவதற்கான சூத்திரங்கள் மற்றும் திசையன் நீளம் ஆகியவற்றிலிருந்து நாம் பெறுகிறோம்
\(\cos \alpha = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \beta = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \gamma = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma \) எனப்படும் திசையன் திசை கோசைன்கள் \(\vec(a) \).

முந்தைய சமத்துவங்கள் ஒவ்வொன்றின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை ஸ்கொயர் செய்து, பெறப்பட்ட முடிவுகளை சுருக்கமாகக் கூறுகிறோம்
\(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \)
அந்த. எந்த வெக்டரின் திசை கோசைன்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுக்கு சமம்.

திசையன்கள் மற்றும் அவற்றின் அடிப்படை பண்புகள் மீதான நேரியல் செயல்பாடுகள்

இரண்டு திசையன்கள் சேர்த்தல்

கருத்து
திசையன்களைக் கழிக்கும் செயல் கூட்டல் செயலுக்கு நேர்மாறானது, அதாவது. வேறுபாடு \(\vec(b) - \vec(a) \) திசையன்கள் \(\vec(b) \) மற்றும் \(\vec(a) \) என்பது ஒரு திசையன் ஆகும், இது திசையன் உடன் மொத்தமாக \(\ vec(a ) \) திசையன் \(\vec(b) \) கொடுக்கிறது (படம் பார்க்கவும்).

கருத்து
இரண்டு திசையன்களின் கூட்டுத்தொகையைத் தீர்மானிப்பதன் மூலம், கொடுக்கப்பட்ட திசையன்களின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறியலாம். எடுத்துக்காட்டாக, மூன்று திசையன்களை கொடுக்கலாம் \(\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) \). \(\vec(a) \) மற்றும் \(\vec(b) \) ஆகியவற்றைச் சேர்ப்பதன் மூலம், \(\vec(a) + \vec(b) \) வெக்டரைப் பெறுகிறோம். இப்போது அதனுடன் திசையன் \(\vec(c) \), நாம் திசையன் \(\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) \)

ஒரு திசையன் மற்றும் எண்ணின் தயாரிப்பு

\(\lambda =0 \) அல்லது \(\vec(a) = \vec(0) \) எனில், \(\lambda \vec(a) \) ஆனது பூஜ்ஜிய வெக்டருக்கு சமமாக கருதப்படுகிறது.

கருத்து
வெக்டரை எண்ணால் பெருக்குவதற்கான வரையறையைப் பயன்படுத்தி, திசையன்கள் \(\vec(a) \) மற்றும் \(\vec(b) \) கோலினியர் மற்றும் \(\vec(a) \) என்பதை நிரூபிப்பது எளிது neq \vec(0) \), பின்னர் உள்ளது (மற்றும் ஒரே ஒரு) எண் \(\லாம்ப்டா \) அதாவது \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \)

நேரியல் செயல்பாடுகளின் அடிப்படை பண்புகள்

1. கூட்டல் பரிமாற்ற சொத்து
\(\vec(a) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(a) \)

2. கூட்டுச் சொத்து
\((\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) \)

3. பெருக்கத்தின் கூட்டுப் பண்பு
\(\lambda (\mu \vec(a)) = (\lambda \mu) \vec(a) \)

4. எண்களின் கூட்டுத்தொகையைப் பற்றிய பகிர்ந்தளிக்கும் சொத்து
\((\lambda +\mu) \vec(a) = \lambda \vec(a) + \mu \vec(a) \)

5. திசையன்களின் கூட்டுத்தொகையைப் பொறுத்து பகிர்ந்தளிக்கும் சொத்து
\(\lambda (\vec(a)+\vec(b)) = \lambda \vec(a) + \lambda \vec(b) \)

கருத்து
நேரியல் செயல்பாடுகளின் இந்த பண்புகள் அடிப்படை முக்கியத்துவம் வாய்ந்தவை, ஏனெனில் அவை திசையன்களில் சாதாரண இயற்கணித செயல்பாடுகளைச் செய்வதை சாத்தியமாக்குகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, பண்புகள் 4 மற்றும் 5 காரணமாக, நீங்கள் ஒரு ஸ்கேலார் பல்லுறுப்புக்கோவையை ஒரு திசையன் பல்லுறுப்புக்கோவை "காலத்தின் அடிப்படையில்" பெருக்கலாம்.

வெக்டர் ப்ரொஜெக்ஷன் தேற்றங்கள்

தேற்றம்
ஒரு அச்சில் இரண்டு திசையன்களின் கூட்டுத்தொகை இந்த அச்சில் அவற்றின் கணிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், அதாவது.
\(Pr_u (\vec(a) + \vec(b)) = Pr_u \vec(a) + Pr_u \vec(b) \)

தேற்றத்தை எத்தனை சொற்களின் வழக்குக்கும் பொதுமைப்படுத்தலாம்.

தேற்றம்
திசையன் \(\vec(a) \) எண்ணை \(\lambda \) பெருக்கினால், அச்சில் அதன் திட்டமும் இந்த எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது, அதாவது. \(Pr_u \lambda \vec(a) = \lambda Pr_u \vec(a) \)

விளைவு
\(\vec(a) = (x_1;y_1;z_1) \) மற்றும் \(\vec(b) = (x_2;y_2;z_2) \), பிறகு
\(\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \)

விளைவு
\(\vec(a) = (x;y;z) \), பிறகு \(\lambda \vec(a) = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) \) எந்த எண் \(\லாம்ப்டா \)

இங்கிருந்து அனுமானிப்பது எளிது ஆயத்தொலைவுகளில் இரண்டு திசையன்களின் இணைநிலையின் நிலை.
உண்மையில், சமத்துவம் \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \) சமத்துவங்கள் \(x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 \ ) அல்லது
\(\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) \) அதாவது. திசையன்கள் \(\vec(a) \) மற்றும் \(\vec(b) \) ஆகியவை அவற்றின் ஆயத்தொலைவுகள் விகிதாசாரமாக இருந்தால் மட்டுமே கோலினியர் ஆகும்.

ஒரு திசையன் ஒரு அடிப்படையாக சிதைவு

திசையன்கள் \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளின் அலகு திசையன்களாக இருக்கட்டும், அதாவது. \(|\vec(i)| = |\vec(j)| = |\vec(k)| = 1\), மேலும் அவை ஒவ்வொன்றும் தொடர்புடைய ஆய அச்சுடன் சமமாக இயக்கப்படுகின்றன (படத்தைப் பார்க்கவும்). திசையன்களின் மூன்று மடங்கு \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) எனப்படும். அடிப்படையில்.
பின்வரும் தேற்றம் உள்ளது.

தேற்றம்
எந்த திசையன் \(\vec(a) \) அடிப்படையில் \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k)\; \), i.e. என வழங்கப்பட்டது
\(\vec(a) = \lambda \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) \)
இங்கு \(\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) சில எண்கள்.

அச்சு என்பது திசை. இதன் பொருள் ஒரு அச்சில் அல்லது ஒரு இயக்கப்பட்ட கோட்டின் மீது ப்ரொஜெக்ஷன் ஒரே மாதிரியாக கருதப்படுகிறது. கணிப்பு இயற்கணிதம் அல்லது வடிவியல் இருக்க முடியும். வடிவியல் அடிப்படையில், ஒரு திசையனை அச்சில் செலுத்துவது ஒரு திசையன் என்றும், இயற்கணித அடிப்படையில் இது ஒரு எண் என்றும் புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது. அதாவது, ஒரு திசையன் ஒரு அச்சில் ப்ரொஜெக்ஷன் மற்றும் ஒரு திசையன் ஒரு அச்சில் எண் ப்ரொஜெக்ஷன் என்ற கருத்துக்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

Yandex.RTB R-A-339285-1

எங்களிடம் எல் அச்சு மற்றும் பூஜ்ஜியமற்ற திசையன் A B → இருந்தால், அதன் புள்ளிகள் A 1 மற்றும் B 1 ஆகியவற்றின் கணிப்புகளைக் குறிக்கும் ஒரு திசையன் A 1 B 1 ⇀ ஐ உருவாக்கலாம்.

A 1 B → 1 என்பது திசையன் A B → L இல் ப்ரொஜெக்ஷன் ஆகும்.

வரையறை 1

திசையன் அச்சில் ப்ராஜெக்ஷன்கொடுக்கப்பட்ட வெக்டரின் ஆரம்பம் மற்றும் முடிவின் கணிப்புகளாக இருக்கும் ஒரு திசையன். n p L A B → → ப்ரோஜெக்ஷன் A B → L மீது குறிப்பது வழக்கம். L இல் ஒரு ப்ராஜெக்ஷனை உருவாக்க, செங்குத்துகள் L மீது கைவிடப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 1

ஒரு அச்சில் திசையன் முன்கணிப்புக்கான எடுத்துக்காட்டு.

O x y ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில், ஒரு புள்ளி M 1 (x 1, y 1) குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. புள்ளி M 1 இன் ஆரம் வெக்டரைப் படம்பிடிக்க O x மற்றும் O y இல் கணிப்புகளை உருவாக்குவது அவசியம். திசையன்களின் (x 1, 0) மற்றும் (0, y 1) ஆயத்தொலைவுகளைப் பெறுகிறோம்.

பூஜ்ஜியம் அல்லாத b → மீது a → இன் ப்ரொஜெக்ஷன் அல்லது b → திசையில் a → இன் ப்ராஜெக்ஷன் பற்றி பேசுகிறோம் என்றால், b → திசையில் இணைந்திருக்கும் அச்சில் a → இன் ப்ராஜெக்ஷன் என்று அர்த்தம். b → ஆல் வரையறுக்கப்பட்ட கோட்டின் மீது a → இன் ப்ராஜெக்ஷன் n p b → a → → என குறிப்பிடப்படுகிறது. a → மற்றும் b → , n p b → a → → மற்றும் b → க்கு இடையே உள்ள கோணம் ஒரு திசையாகக் கருதப்படும் போது அது அறியப்படுகிறது. கோணம் மழுங்கிய நிலையில், n p b → a → → மற்றும் b → ஆகியவை எதிர் திசையில் இருக்கும். செங்குத்தாக இருக்கும் சூழ்நிலையில் a → மற்றும் b →, மற்றும் a → பூஜ்ஜியமாகும், b → திசையில் a → இன் ப்ராஜெக்ஷன் பூஜ்ஜிய திசையன் ஆகும்.

ஒரு திசையன் ஒரு அச்சில் ப்ரொஜெக்ஷன் செய்வதன் எண்ணியல் பண்பு, கொடுக்கப்பட்ட அச்சில் ஒரு திசையன் எண்ணியல் திட்டமாகும்.

வரையறை 2

திசையன் அச்சில் எண்ணியல் முன்கணிப்புகொடுக்கப்பட்ட வெக்டரின் நீளம் மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட திசையன் மற்றும் அச்சு திசையை தீர்மானிக்கும் திசையன் இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைன் ஆகியவற்றின் பெருக்கத்திற்கு சமமான எண்.

எல் மீது A B → இன் எண் கணிப்பு n p L A B → என்றும், a → onto b → - n p b → a → என்றும் குறிக்கப்படுகிறது.

சூத்திரத்தின் அடிப்படையில், நாம் n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ ஐப் பெறுகிறோம், இதில் இருந்து a → என்பது திசையன் நீளம் a → , a ⇀ , b → ^ என்பது திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் a → மற்றும் b → .

எண் புரொஜெக்ஷனைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . அறியப்பட்ட நீளம் a → மற்றும் b → மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்திற்கு இது பொருந்தும். அறியப்பட்ட ஆய a → மற்றும் b → க்கு சூத்திரம் பொருந்தும், ஆனால் எளிமையான படிவம் உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 2

b → திசையில் ஒரு நேர் கோட்டில் → இன் எண் ப்ரொஜெக்ஷனைக் கண்டறியவும், நீளம் a → 8 க்கு சமமாகவும் அவற்றுக்கிடையே 60 டிகிரி கோணமாகவும் இருக்கும். நிபந்தனையின்படி நாம் ஒரு ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. இதன் பொருள் எண் மதிப்புகளை n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம்.

பதில்: 4.

அறியப்பட்ட cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , நாம் a → மற்றும் b → இன் அளவிடல் பலனாக → , b → ஐக் கொண்டுள்ளோம். n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ சூத்திரத்தைப் பின்பற்றி, a → திசையன் b → வழியாக இயக்கப்பட்ட எண் கணிப்பைக் கண்டறிந்து n p b → a → = a → , b → ஐப் பெறலாம். சூத்திரம் பத்தியின் தொடக்கத்தில் கொடுக்கப்பட்ட வரையறைக்கு சமமானது.

வரையறை 3

திசையன் a → ஒரு அச்சில் b → உடன் திசையில் ஒத்துப்போகும் எண்ணியல் திட்டமானது திசையன்களின் a → மற்றும் b → நீளம் b → வின் அளவிடல் உற்பத்தியின் விகிதமாகும். n p b → a → = a → , b → b → என்ற சூத்திரம், a → மற்றும் b → ஆயத்தொகுப்புகளுடன், b → உடன் திசையில் இணைந்திருக்கும் ஒரு கோட்டில் ஒரு → இன் எண் ப்ரொஜெக்ஷனைக் கண்டறியப் பொருந்தும்.

எடுத்துக்காட்டு 3

கொடுக்கப்பட்ட b → = (- 3 , 4) . L இல் எண்ணியல் கணிப்பு a → = (1, 7) ஐக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் n p b → a → = a → , b → b → ஆனது n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + a , a () உடன் (a) b → = b x, b y. எல் அச்சில் திசையன் a → இன் எண் ப்ரொஜெக்ஷனைக் கண்டறிய, உங்களுக்குத் தேவை: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 = + 1 y (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

பதில்: 5.

எடுத்துக்காட்டு 4

→ = - 2, 3, 1 மற்றும் b → = (3, - 2, 6) இருக்கும் b → திசையுடன் ஒத்துப்போகும் L இல் → இன் ப்ராஜெக்ஷனைக் கண்டறியவும். முப்பரிமாண இடம் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது.

தீர்வு

a → = a x , a y , a z மற்றும் b → = b x , b y , b z கொடுக்கப்பட்டால், நாம் அளவிடும் உற்பத்தியைக் கணக்கிடுகிறோம்: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி b → நீளத்தைக் காண்கிறோம். எண்ணியல் ப்ராஜெக்ஷன் a → நிர்ணயிப்பதற்கான சூத்திரம் பின்வருமாறு: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 2 + z.

எண் மதிப்புகளை மாற்றவும்: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

பதில்: - 6 7.

L இல் a → மற்றும் L இல் a → ப்ரொஜெக்ஷனின் நீளம் ஆகியவற்றுக்கு இடையே உள்ள தொடர்பைப் பார்ப்போம். L இல் ஒரு புள்ளியில் இருந்து a → மற்றும் b → ஐ சேர்த்து, L என்ற அச்சை வரைவோம், அதன் பிறகு a → இலிருந்து L வரை செங்குத்தாக ஒரு கோடு வரைந்து L மீது ஒரு ப்ராஜெக்ஷனை வரைவோம். படத்தில் 5 வேறுபாடுகள் உள்ளன:

முதலில் a → = n p b → a → → என்பது a → = n p b → a → → , எனவே n p b → a → = a → · cos (a , → b → = a → ° ^ a → n p b → a → → .

இரண்டாவதுவழக்கு n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , அதாவது n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p→ →

மூன்றாவதுவழக்கு விளக்குகிறது n p b → a → → = 0 → நாம் n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , பின்னர் n p → → மற்றும் n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

நான்காவதுவழக்கு n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , தொடர்ந்து n p b → a → = a a → , b → ^) = - n p b → a → → .

ஐந்தாவதுவழக்கு a → = n p b → a → → காட்டுகிறது, அதாவது a → = n p b → a → →, எனவே நாம் n p b → a → = a → · cos a → , b →° → ° → = a a → = - n p b → a → .

வரையறை 4

திசையன் a → L அச்சில் உள்ள எண்ணியல் கணிப்பு, இது b → ஐப் போலவே இயக்கப்படுகிறது, பின்வரும் மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது:

• a → மற்றும் b → க்கு இடையே உள்ள கோணம் 90 டிகிரிக்கும் குறைவாகவோ அல்லது 0: n p b → a → = n p b → a → → நிபந்தனையுடன் 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• பூஜ்ஜியம் a → மற்றும் b → செங்குத்தாக உள்ளது: n p b → a → = 0, எப்போது (a → , b → ^) = 90 °;
• 90 ° நிபந்தனையுடன் a → L இல் இருக்கும் திட்ட நீளம், a → மற்றும் b → திசையன்களின் மழுங்கிய அல்லது நேரான கோணம் இருக்கும்போது -1 ஆல் பெருக்கப்படுகிறது< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

எடுத்துக்காட்டு 5

ப்ரொஜெக்ஷனின் நீளம் ஒரு → மீது L, 2க்கு சமம். கோணம் 5 π 6 ரேடியன்கள் என்று வழங்கப்பட்டுள்ள எண்ணியல் முன்கணிப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

நிபந்தனையிலிருந்து இந்த கோணம் மழுங்கியது என்பது தெளிவாகிறது: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

பதில்:- 2.

எடுத்துக்காட்டு 6

30 டிகிரி கோணத்துடன் 6 3, b → (- 2, 1, 2) க்கு சமமான திசையன் நீளம் கொண்ட விமானம் O x y z. எல் அச்சில் ஒரு → ப்ரொஜெக்ஷனின் ஆயங்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

முதலில், திசையன் a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 என்ற எண் கணிப்பைக் கணக்கிடுகிறோம். .

நிபந்தனையின்படி, கோணம் கடுமையானது, பின்னர் எண்ணியல் முன்கணிப்பு a → = திசையன் a →: n p L a → = n p L a → → = 9. இந்த வழக்கு n p L a → → மற்றும் b → ஆகிய திசையன்கள் இணை இயக்கப்பட்டவை என்பதைக் காட்டுகிறது, அதாவது சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும் t எண் உள்ளது: n p L a → → = t · b → . இங்கிருந்து n p L a → → = t · b → , அதாவது t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 என்ற அளவுருவின் மதிப்பைக் காணலாம் = 9 9 = 3 .

பின்னர் n p L a → → = 3 · b → திசையன் a → இன் ப்ராஜெக்ஷனின் ஆயத்தொலைவுகளுடன் b → = (- 2 , 1 , 2) க்கு சமமான L அச்சில் , மதிப்புகளை பெருக்க வேண்டியது அவசியம் 3. எங்களிடம் n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . பதில்: (- 6, 3, 6).

திசையன்களின் கோலினரிட்டியின் நிலை பற்றி முன்னர் கற்றுக்கொண்ட தகவலை மீண்டும் செய்வது அவசியம்.

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

அறிமுகம் …………………………………………………………………………………………………… 3

1. வெக்டார் மற்றும் ஸ்கேலாரின் மதிப்பு………………………………………….4

2. ஒரு புள்ளியின் ப்ராஜெக்ஷன், அச்சு மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு ஆகியவற்றின் வரையறை

3. திசையன் அச்சில் ப்ராஜெக்ஷன் …………………………………………… 6

4. திசையன் இயற்கணிதத்தின் அடிப்படை சூத்திரம்……………………………….8

5. வெக்டரின் மாடுலஸை அதன் கணிப்புகளிலிருந்து கணக்கிடுதல் …………………….9

முடிவு ………………………………………………………………………………… 11

இலக்கியம் ………………………………………………………………………………… 12

அறிமுகம்:

இயற்பியல் கணிதத்துடன் பிரிக்கமுடியாத வகையில் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. சோதனை அல்லது தத்துவார்த்த ஆராய்ச்சியின் விளைவாக கண்டுபிடிக்கப்பட்ட இயற்பியல் அளவுகளுக்கு இடையிலான உறவின் பொதுவான மற்றும் துல்லியமான வெளிப்பாட்டிற்கான வழிமுறைகளையும் நுட்பங்களையும் கணிதம் வழங்குகிறது. இதன் பொருள் ஒரு விஞ்ஞானி அளவீடுகளைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடுகளை வெளிப்படுத்துகிறார். பல்வேறு உடல் அளவுகளுக்கு இடையிலான உறவைக் குறிக்கிறது. பின்னர், அனைத்தும் கணித மொழியில் மொழிபெயர்க்கப்படுகின்றன. ஒரு கணித மாதிரி உருவாகிறது. இயற்பியல் என்பது எளிமையான மற்றும் அதே நேரத்தில் மிகவும் பொதுவான சட்டங்களைப் படிக்கும் ஒரு அறிவியல். இயற்பியலின் பணி, இயற்பியல் உலகின் ஒரு படத்தை நம் மனதில் உருவாக்குவதாகும், இது அதன் பண்புகளை முழுமையாக பிரதிபலிக்கிறது மற்றும் உறுப்புகளுக்கு இடையில் இருக்கும் மாதிரியின் கூறுகளுக்கு இடையில் அத்தகைய உறவுகளை உறுதி செய்கிறது.

எனவே, இயற்பியல் நம்மைச் சுற்றியுள்ள உலகின் மாதிரியை உருவாக்கி அதன் பண்புகளை ஆய்வு செய்கிறது. ஆனால் எந்த மாதிரியும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்வின் மாதிரிகளை உருவாக்கும் போது, ​​குறிப்பிட்ட அளவிலான நிகழ்வுகளுக்கு அவசியமான பண்புகள் மற்றும் இணைப்புகள் மட்டுமே கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன. இது ஒரு விஞ்ஞானியின் கலை - அனைத்து பன்முகத்தன்மையிலிருந்தும் முக்கிய விஷயத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பது.

இயற்பியல் மாதிரிகள் கணிதம், ஆனால் கணிதம் அவற்றின் அடிப்படை அல்ல. அளவீடுகள், அவதானிப்புகள் மற்றும் சோதனை ஆய்வுகள் ஆகியவற்றின் விளைவாக உடல் அளவுகளுக்கு இடையிலான அளவு உறவுகள் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன மற்றும் அவை கணிதத்தின் மொழியில் மட்டுமே வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன. இருப்பினும், இயற்பியல் கோட்பாடுகளை உருவாக்குவதற்கு வேறு எந்த மொழியும் இல்லை.

1. வெக்டார் மற்றும் ஸ்கேலரின் பொருள்.

இயற்பியல் மற்றும் கணிதத்தில், திசையன் என்பது அதன் எண் மதிப்பு மற்றும் திசையால் வகைப்படுத்தப்படும் அளவு. இயற்பியலில், பல முக்கியமான அளவுகள் திசையன்கள் உள்ளன, எடுத்துக்காட்டாக, விசை, நிலை, வேகம், முடுக்கம், முறுக்கு, உந்தம், மின்சாரம் மற்றும் காந்தப்புல வலிமை. அவை நிறை, அளவு, அழுத்தம், வெப்பநிலை மற்றும் அடர்த்தி போன்ற பிற அளவுகளுடன் வேறுபடலாம், அவை சாதாரண எண்ணால் விவரிக்கப்படலாம், மேலும் அவை " அளவுகோல்கள்" .

அவை வழக்கமான எழுத்துருக்களில் அல்லது எண்களில் (a, b, t, G, 5, −7....) எழுதப்படுகின்றன. அளவிடல் அளவுகள் நேர்மறை அல்லது எதிர்மறையாக இருக்கலாம். அதே நேரத்தில், சில ஆய்வுப் பொருள்கள் அத்தகைய பண்புகளைக் கொண்டிருக்கலாம், ஒரு எண் அளவைப் பற்றிய அறிவு போதுமானதாக இல்லை என்பதற்கான முழுமையான விளக்கத்திற்கு, இந்த பண்புகளை விண்வெளியில் திசையில் வகைப்படுத்துவதும் அவசியம். இத்தகைய பண்புகள் திசையன் அளவுகளால் (வெக்டர்கள்) வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. திசையன்கள், ஸ்கேலர்களைப் போலன்றி, தடிமனான எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகின்றன: a, b, g, F, C....
பெரும்பாலும் ஒரு திசையன் வழக்கமான (தடித்தமற்ற) எழுத்துருவில் ஒரு கடிதத்தால் குறிக்கப்படுகிறது, ஆனால் அதற்கு மேலே ஒரு அம்புக்குறியுடன்:

ஒரு திசையன் மாடுலஸ், அதாவது, ஒரு இயக்கப்பட்ட நேர்கோட்டுப் பிரிவின் நீளம், திசையன் போலவே அதே எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகிறது, ஆனால் சாதாரண (தடித்த அல்ல) எழுத்து மற்றும் அவற்றின் மேல் அம்பு இல்லாமல், அல்லது சரியாக அதே வழியில். ஒரு திசையனாக (அதாவது, தடித்த அல்லது வழக்கமான, ஆனால் அம்புக்குறி), ஆனால் பின்னர் திசையன் பதவி செங்குத்து கோடுகளில் இணைக்கப்பட்டுள்ளது.
திசையன் என்பது ஒரு சிக்கலான பொருளாகும், இது ஒரே நேரத்தில் அளவு மற்றும் திசையால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது.

நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை திசையன்களும் இல்லை. ஆனால் திசையன்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கலாம். உதாரணமாக, a மற்றும் b ஒரே தொகுதிக்கூறுகள் மற்றும் ஒரே திசையில் இயக்கப்படும் போது இது. இந்த வழக்கில், குறிப்பு உண்மை அ= ஆ. திசையன் சின்னம் ஒரு கழித்தல் குறிக்கு முன்னதாக இருக்கலாம் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும், எடுத்துக்காட்டாக - c, இருப்பினும், இந்த அடையாளம் திசையன் -c திசையன் சியின் அதே தொகுதியைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் எதிர் திசையில் இயக்கப்படுகிறது என்பதைக் குறிக்கிறது. திசையில்.

திசையன் -c திசையன் c இன் எதிர் (அல்லது தலைகீழ்) என்று அழைக்கப்படுகிறது.
இயற்பியலில், ஒவ்வொரு திசையனும் குறிப்பிட்ட உள்ளடக்கத்தால் நிரப்பப்பட்டிருக்கும், அதே வகையின் திசையன்களை ஒப்பிடும்போது (உதாரணமாக, சக்திகள்), அவற்றின் பயன்பாட்டின் புள்ளிகளும் குறிப்பிடத்தக்கதாக இருக்கலாம்.

2. புள்ளியின் ப்ராஜெக்ஷன், அச்சு மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு ஆகியவற்றை தீர்மானித்தல்.

அச்சு- இது ஒரு நேர் கோடு, இது சில திசைகளைக் கொண்டுள்ளது.
ஒரு அச்சு சில எழுத்துகளால் குறிக்கப்படுகிறது: X, Y, Z, s, t... வழக்கமாக அச்சில் ஒரு புள்ளி (தன்னிச்சையாக) தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது, இது தோற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் ஒரு விதியாக, O என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது. இந்த புள்ளியிலிருந்து நமக்கு ஆர்வமுள்ள மற்ற இடங்களுக்கான தூரம் அளவிடப்படுகிறது.

ஒரு புள்ளியின் கணிப்புஒரு அச்சில் இந்த புள்ளியில் இருந்து கொடுக்கப்பட்ட அச்சில் வரையப்பட்ட செங்குத்தாக அடிப்பாகம் உள்ளது. அதாவது, அச்சில் ஒரு புள்ளியின் முன்கணிப்பு ஒரு புள்ளியாகும்.

புள்ளி ஒருங்கிணைப்புகொடுக்கப்பட்ட அச்சில் என்பது அச்சின் தோற்றம் மற்றும் இந்த அச்சில் புள்ளியின் முன்கணிப்பு ஆகியவற்றுக்கு இடையே உள்ள அச்சுப் பிரிவின் (தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அளவில்) நீளத்திற்கு சமமாக இருக்கும் ஒரு எண்ணாகும். புள்ளியின் முன்கணிப்பு அதன் தோற்றத்திலிருந்து அச்சின் திசையில் அமைந்திருந்தால் இந்த எண் கூட்டல் குறியுடனும், எதிர் திசையில் இருந்தால் கழித்தல் குறியுடனும் எடுக்கப்படும்.

3. அச்சில் திசையன் ப்ரொஜெக்ஷன்.

ஒரு அச்சில் ஒரு திசையன் ப்ரொஜெக்ஷன் என்பது ஒரு திசையன் ஆகும், இது ஒரு திசையனின் ஸ்கேலார் ப்ரொஜெக்ஷனை இந்த அச்சில் மற்றும் இந்த அச்சின் அலகு வெக்டரைப் பெருக்குவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, x என்பது X அச்சில் திசையன் a இன் ஸ்கேலார் ப்ராஜெக்ஷன் எனில், x ·i என்பது இந்த அச்சில் அதன் திசையன் ப்ரொஜெக்ஷன் ஆகும்.

திசையன் ப்ரொஜெக்ஷனை வெக்டரைப் போலவே குறிப்போம், ஆனால் திசையன் திட்டமிடப்பட்ட அச்சின் குறியீட்டுடன். எனவே, X அச்சில் திசையன் a இன் திசையன் ப்ரொஜெக்ஷனை ஒரு x (வெக்டரைக் குறிக்கும் ஒரு தடித்த எழுத்து மற்றும் அச்சின் பெயரின் சப்ஸ்கிரிப்ட்) அல்லது

ஸ்கேலார் ப்ராஜெக்ஷன்ஒரு அச்சுக்கு திசையன் என்று அழைக்கப்படுகிறது எண், இதன் முழுமையான மதிப்பு, தொடக்கப் புள்ளியின் கணிப்புகளுக்கும் திசையன் இறுதிப் புள்ளிக்கும் இடையில் இணைக்கப்பட்டுள்ள அச்சுப் பிரிவின் நீளத்திற்கு (தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அளவில்) சமமாக இருக்கும். பொதுவாக வெளிப்பாட்டிற்கு பதிலாக அளவிடல் முன்கணிப்புஅவர்கள் வெறுமனே சொல்கிறார்கள் - கணிப்பு. ப்ரொஜெக்ஷன், இந்த திசையன் திட்டமிடப்பட்ட அச்சின் பெயரின் குறைந்த குறியீட்டுடன் (ஒரு விதியாக) திட்டமிடப்பட்ட திசையன் (சாதாரண, தைரியமற்ற எழுத்து) அதே எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு திசையன் X அச்சில் திட்டமிடப்பட்டால் ஏ,அதன் ப்ரொஜெக்ஷன் ஒரு x ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. அதே திசையனை மற்றொரு அச்சில் செலுத்தும் போது, ​​அச்சு Y ஆக இருந்தால், அதன் ப்ராஜெக்ஷன் ஒரு y எனக் குறிக்கப்படும்.

கணிப்பு கணக்கிட திசையன்ஒரு அச்சில் (உதாரணமாக, X அச்சு), தொடக்கப் புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்பை அதன் இறுதிப் புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்பிலிருந்து கழிப்பது அவசியம், அதாவது

a x = x k - x n.

ஒரு திசையன் ஒரு அச்சின் மீது செலுத்துவது ஒரு எண்.மேலும், x k மதிப்பு x n மதிப்பை விட அதிகமாக இருந்தால் கணிப்பு நேர்மறையாக இருக்கும்,

x k மதிப்பு x n மதிப்பை விட குறைவாக இருந்தால் எதிர்மறை

மற்றும் x k என்பது x nக்கு சமம் என்றால் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

திசையன் ஒரு அச்சின் மீது ப்ராஜெக்ஷன் செய்வது திசையன் மாடுலஸ் மற்றும் இந்த அச்சைக் கொண்டு அது உருவாக்கும் கோணத்தை அறிவதன் மூலமும் கண்டறிய முடியும்.

படத்தில் இருந்து a x = a Cos α என்பது தெளிவாகிறது

அதாவது, திசையன் அச்சின் மீது செலுத்துவது திசையன் மாடுலஸின் பெருக்கத்திற்கும் அச்சின் திசைக்கும் இடையே உள்ள கோணத்தின் கொசைனுக்கும் சமம். திசையன் திசை. கோணம் கடுமையானதாக இருந்தால், பின்னர்
Cos α > 0 மற்றும் a x > 0, மற்றும், மழுங்கியதாக இருந்தால், மழுங்கிய கோணத்தின் கோசைன் எதிர்மறையாக இருக்கும், மேலும் திசையன் அச்சில் இருக்கும் திட்டமும் எதிர்மறையாக இருக்கும்.

அச்சிலிருந்து எதிரெதிர் திசையில் அளவிடப்படும் கோணங்கள் நேர்மறையாகவும், அச்சில் அளவிடப்படும் கோணங்கள் எதிர்மறையாகவும் இருக்கும். இருப்பினும், கோசைன் ஒரு சமமான செயல்பாடாக இருப்பதால், அதாவது, Cos α = Cos (− α), கணிப்புகளைக் கணக்கிடும் போது, ​​கோணங்களை கடிகார திசையிலும் எதிரெதிர் திசையிலும் கணக்கிடலாம்.

ஒரு அச்சில் ஒரு திசையன் ப்ரொஜெக்ஷன் கண்டுபிடிக்க, இந்த திசையன் மாடுலஸ் அச்சின் திசைக்கும் திசையன் திசைக்கும் இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைன் மூலம் பெருக்கப்பட வேண்டும்.

4. திசையன் இயற்கணிதத்தின் அடிப்படை சூத்திரம்.

செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் X மற்றும் Y அச்சுகளில் திசையன் a ஐத் திட்டமிடுவோம். இந்த அச்சுகளில் திசையன் a இன் திசையன் கணிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

a x = a x ·i, மற்றும் y = a y ·j.

ஆனால் திசையன் கூட்டல் விதிக்கு இணங்க

a = a x + a y.

a = a x i + a y j.

இவ்வாறு, ஒரு திசையனை அதன் கணிப்புகள் மற்றும் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் திசையன்களின் அடிப்படையில் (அல்லது அதன் திசையன் கணிப்புகளின் அடிப்படையில்) வெளிப்படுத்தினோம்.

திசையன் கணிப்புகள் a x மற்றும் a y ஆகியவை திசையன் a இன் கூறுகள் அல்லது கூறுகள் எனப்படும். நாங்கள் செய்த செயல்பாடு ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் அச்சில் ஒரு திசையன் சிதைவு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

திசையன் விண்வெளியில் கொடுக்கப்பட்டால், பின்னர்

a = a x i + a y j + a z k.

இந்த சூத்திரம் திசையன் இயற்கணிதத்தின் அடிப்படை சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. நிச்சயமாக இப்படி எழுதலாம்.

மற்றும் ஒரு அச்சில் அல்லது வேறு சில திசையன்களில் அதன் வடிவியல் முன்கணிப்பு மற்றும் எண்ணியல் (அல்லது இயற்கணிதம்) கணிப்பு பற்றிய கருத்துக்கள் உள்ளன. ஒரு வடிவியல் ப்ரொஜெக்ஷனின் முடிவு ஒரு திசையனாக இருக்கும், மேலும் இயற்கணிதத் திட்டத்தின் விளைவாக எதிர்மறையான உண்மையான எண்ணாக இருக்கும். ஆனால் இந்த கருத்துகளுக்குச் செல்வதற்கு முன், தேவையான தகவலை நினைவில் கொள்வோம்.

முதற்கட்ட தகவல்

முக்கிய கருத்து ஒரு திசையன் தன்னை கருத்து ஆகும். வடிவியல் திசையன் வரையறையை அறிமுகப்படுத்த, ஒரு பிரிவு என்றால் என்ன என்பதை நினைவில் கொள்வோம். பின்வரும் வரையறையை அறிமுகப்படுத்துவோம்.

வரையறை 1

ஒரு பிரிவு என்பது ஒரு நேர் கோட்டின் ஒரு பகுதியாகும், இது புள்ளிகளின் வடிவத்தில் இரண்டு எல்லைகளைக் கொண்டுள்ளது.

ஒரு பிரிவில் 2 திசைகள் இருக்கலாம். திசையைக் குறிக்க, பிரிவின் எல்லைகளில் ஒன்றை அதன் ஆரம்பம் என்றும், மற்ற எல்லையை அதன் முடிவு என்றும் அழைப்போம். திசை அதன் தொடக்கத்திலிருந்து பிரிவின் இறுதி வரை குறிக்கப்படுகிறது.

வரையறை 2

ஒரு திசையன் அல்லது இயக்கப்பட்ட பிரிவு என்று அழைக்கிறோம், அந்த பிரிவின் எல்லைகளில் எது தொடக்கமாக கருதப்படுகிறது மற்றும் அதன் முடிவு எது என்பதை அறியலாம்.

பதவி: இரண்டு எழுத்துக்களில்: $\overline(AB)$ – (இங்கு $A$ அதன் ஆரம்பம் மற்றும் $B$ அதன் முடிவு).

ஒரு சிறிய எழுத்தில்: $\overline(a)$ (படம் 1).

திசையன் கருத்துடன் தொடர்புடைய இன்னும் சில கருத்துக்களை அறிமுகப்படுத்துவோம்.

வரையறை 3

இரண்டு பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்கள் ஒரே கோட்டில் அல்லது ஒன்றோடொன்று இணையாக அமைந்தால் கோலினியர் என்று அழைப்போம் (படம் 2).

வரையறை 4

பூஜ்ஜியம் அல்லாத இரண்டு திசையன்கள் இரண்டு நிபந்தனைகளைப் பூர்த்தி செய்தால், அவற்றை இணைதிசை என்று அழைப்போம்:

1. இந்த திசையன்கள் கோலினியர்.
2. அவர்கள் ஒரு திசையில் இயக்கப்பட்டிருந்தால் (படம் 3).

குறிப்பு: $\overline(a)\overline(b)$

வரையறை 5

பூஜ்ஜியமற்ற இரண்டு திசையன்கள் இரண்டு நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்தால் எதிர் திசையில் இயக்கப்படும்.

1. இந்த திசையன்கள் கோலினியர்.
2. அவர்கள் வெவ்வேறு திசைகளில் இயக்கப்பட்டிருந்தால் (படம் 4).

குறிப்பு: $\overline(a)↓\overline(d)$

வரையறை 6

திசையன் $\overline(a)$ இன் நீளம் $a$ பிரிவின் நீளமாக இருக்கும்.

குறிப்பு: $|\overline(a)|$

இரண்டு திசையன்களின் சமத்துவத்தை தீர்மானிக்க செல்லலாம்

வரையறை 7

இரண்டு நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்தால் இரண்டு திசையன்களை சமமாக அழைப்போம்:

1. அவர்கள் இணை திசைகள்;
2. அவற்றின் நீளம் சமம் (படம் 5).

வடிவியல் கணிப்பு

நாம் முன்பு கூறியது போல், ஒரு வடிவியல் திட்டத்தின் விளைவாக ஒரு திசையன் இருக்கும்.

வரையறை 8

திசையன் $\overline(AB)$ ஒரு அச்சில் உள்ள வடிவியல் திட்டமானது பின்வருமாறு பெறப்படும் ஒரு திசையன் ஆகும்: $A$ திசையன் மூலப் புள்ளி இந்த அச்சில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது. நாங்கள் $A"$ புள்ளியைப் பெறுகிறோம் - விரும்பிய திசையனின் ஆரம்பம். திசையன் $B$ இன் இறுதிப் புள்ளி இந்த அச்சில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது. நாங்கள் $B"$ புள்ளியைப் பெறுகிறோம் - விரும்பிய வெக்டரின் முடிவு. திசையன் $\overline(A"B")$ விரும்பிய வெக்டராக இருக்கும்.

சிக்கலைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

எடுத்துக்காட்டு 1

படம் 6 இல் காட்டப்பட்டுள்ள $l$ அச்சில் $\overline(AB)$ வடிவியல் ப்ரொஜெக்ஷனை உருவாக்கவும்.

$A$ இலிருந்து அச்சுக்கு $l$ வரை செங்குத்தாக வரைவோம், அதில் $A"$ என்ற புள்ளியைப் பெறுவோம். அடுத்து, $B$ இலிருந்து அச்சுக்கு $l$ வரை செங்குத்தாக வரையவும், $B புள்ளியைப் பெறுகிறோம். "$ அதில் (படம் 7).