ஒருங்கிணைந்த சைன் க்யூப். முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைப்பதற்கான முறைகள்

R(sin x, cos x) படிவத்தின் பகுத்தறிவு செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைக்க, ஒரு மாற்று பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்று என்று அழைக்கப்படுகிறது. பிறகு . உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்றீடு பெரும்பாலும் பெரிய கணக்கீடுகளில் விளைகிறது. எனவே, முடிந்தவரை, பின்வரும் மாற்றீடுகளைப் பயன்படுத்தவும்.

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை பகுத்தறிவுடன் சார்ந்து செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்பு

1. வடிவத்தின் ஒருங்கிணைப்புகள் ∫ sin n xdx , ∫ cos n xdx , n>0
a) n ஒற்றைப்படை என்றால், வேறுபாட்டின் அடையாளத்தின் கீழ் sinx (அல்லது cosx) இன் ஒரு சக்தியை உள்ளிட வேண்டும், மீதமுள்ள சம சக்தியிலிருந்து எதிர் செயல்பாட்டிற்கு அனுப்பப்பட வேண்டும்.
b) n சமமாக இருந்தால், பட்டத்தைக் குறைப்பதற்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம்
2. வடிவத்தின் ஒருங்கிணைப்புகள் ∫ tg n xdx , ∫ ctg n xdx , இதில் n ஒரு முழு எண்.
சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும்

3. வடிவத்தின் ஒருங்கிணைப்புகள் ∫ sin n x cos m x dx
a) m மற்றும் n வெவ்வேறு சமநிலையில் இருக்கட்டும். n ஒற்றைப்படை என்றால் t=sin x அல்லது m ஒற்றைப்படை என்றால் t=cos x என்ற பதிலைப் பயன்படுத்துகிறோம்.
b) m மற்றும் n சமமாக இருந்தால், பட்டத்தைக் குறைப்பதற்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம்
2sin 2 x=1-cos2x, 2cos 2 x=1+cos2x.
4. படிவத்தின் ஒருங்கிணைப்புகள்
m மற்றும் n ஆகிய எண்கள் ஒரே சமநிலையில் இருந்தால், நாம் t=tg x என்ற பதிலைப் பயன்படுத்துகிறோம். முக்கோணவியல் அலகு நுட்பத்தைப் பயன்படுத்துவது பெரும்பாலும் வசதியானது.
5. ∫ sin(nx) cos(mx)dx , ∫ cos(mx) cos(nx)dx , ∫ sin(mx) sin(nx)dx
முக்கோணவியல் சார்புகளின் பெருக்கத்தை அவற்றின் கூட்டுத்தொகையாக மாற்றுவதற்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவோம்


எடுத்துக்காட்டுகள்
1. ஒருங்கிணைந்த ∫ cos 4 x·sin 3 xdx ஐக் கணக்கிடவும்.
மாற்று cos(x)=t ஐ உருவாக்குகிறோம். பிறகு ∫ cos 4 x sin 3 xdx =
2. ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள்.
மாற்றாக பாவம் x=t , நாம் பெறுகிறோம்


3. ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.
tg(x)=t ஐ மாற்றுகிறோம். மாற்றாக, நாம் பெறுகிறோம்


ctg(x)=t என்ற மாற்றீடு இங்கே மிகவும் வசதியானது, அன்றிலிருந்து , எனவே

R(sinx, cosx) வடிவத்தின் வெளிப்பாடுகளை ஒருங்கிணைத்தல்

எடுத்துக்காட்டு எண். 1. ஒருங்கிணைப்புகளை கணக்கிடுங்கள்:

தீர்வு.
a) வடிவத்தின் வெளிப்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்பு R(sinx, cosx), இதில் R என்பது sin x மற்றும் cos x ஆகியவற்றின் பகுத்தறிவுச் செயல்பாடாகும், இது உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்றீடு tg(x/2) = t ஐப் பயன்படுத்தி பகுத்தறிவு செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகளாக மாற்றப்படுகிறது.
பின்னர் நாம்

ஒரு உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்றீடு, ∫ R(sinx, cosx) dx வடிவத்தின் ஒருங்கிணைந்த பகுதியிலிருந்து ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவுச் செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்புக்குச் செல்வதை சாத்தியமாக்குகிறது, ஆனால் பெரும்பாலும் அத்தகைய மாற்றீடு சிக்கலான வெளிப்பாடுகளுக்கு வழிவகுக்கிறது. சில நிபந்தனைகளின் கீழ், எளிமையான மாற்றீடுகள் பயனுள்ளதாக இருக்கும்:

  • R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)dx என்ற சமத்துவம் திருப்தி அடைந்தால், cos x = t என்ற மாற்று பயன்படுத்தப்படும்.
  • சமத்துவம் R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx இருந்தால், மாற்று பாவம் x = t.
  • R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx என்ற சமத்துவம் இருந்தால், மாற்று tgx = t அல்லது ctg x = t.
IN இந்த வழக்கில்ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிய
உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்று tg(x/2) = t ஐப் பயன்படுத்துவோம்.
பிறகு
பின்னம் முறையற்றது என்பதால், முழு பகுதியையும் தனிமைப்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்
நாம் இருக்கும் அசல் மாறிக்கு திரும்புவோம்

b) இரண்டாவது எடுத்துக்காட்டில், பொது வெளிப்பாடு ∫ R(sinx, cosx) dx ஆனது ∫ sin m x cos n xdx வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும் போது ஒரு முக்கியமான சிறப்பு நிகழ்வைக் கவனியுங்கள். இந்த குறிப்பிட்ட வழக்கில், m ஒற்றைப்படை என்றால், மாற்று cos x = t பயன்படுத்தப்பட வேண்டும். n ஒற்றைப்படை என்றால், மாற்று பாவம் x = t பயன்படுத்தப்பட வேண்டும். இரண்டு வகை குறிகாட்டிகளும் கூட எதிர்மறை எண்களாக இருந்தால் (குறிப்பாக, அவற்றில் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கலாம்), பின்னர் நன்கு அறியப்பட்ட முக்கோணவியல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி மாற்றீடு செய்யப்படுகிறது:
இந்த வழக்கில்


பதில்:

சைன் சின் (x) இன் ஒருங்கிணைப்பு கோசைனுக்கு சமம் மற்றும் கழித்தல் குறியுடன் இருக்கும். ஒரு சைனின் வழித்தோன்றல் மைனஸ் கோசைனுக்குச் சமம் என்பதையும், கோசைன் என்பது கூட்டல் குறி கொண்ட சைனுக்குச் சமம் என்பதையும் நினைவில் கொள்ள முடியாததால் பலர் அடிக்கடி தவறு செய்கிறார்கள்.
மூலத்தைப் படிப்பவர்கள், மாறிலியை வலது பக்கமாகச் சேர்க்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்
இந்த மாறிலி கூடுதல் நிபந்தனையுடன் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.
சைன் வரைபடம் போல் தெரிகிறது


சைன் என்பது ஒற்றைப்படை செயல்பாடு, மற்றும் கொசைன் ஒரு சமமான செயல்பாடு, எனவே ஒருங்கிணைக்கும்போது, ​​ஒரு கழித்தல் குறி தோன்றும். ஆரம்பத்தில், அனைவருக்கும் எளிமையாகவும் தெளிவாகவும் தெரிகிறது. ஆனால் விரைவில் அல்லது பின்னர் ஒருங்கிணைப்பை சிக்கலாக்கும் நேரம் வருகிறது, அதாவது இரட்டை கோணம், மூன்று வாதம் போன்றவற்றின் சைனை ஒருங்கிணைக்க. மேலும் பலருக்கு ஒருங்கிணைப்பதில் சிரமங்கள் உள்ளன. பாவத்திற்கான (k*x) ஒருங்கிணைந்த சூத்திரத்தைப் பெற, ஆரம்பத்திலிருந்தே அனைத்து கணக்கீடுகளையும் மேற்கொள்வோம். ஒரு அட்டவணை சூத்திரத்திற்கு ஒருங்கிணைப்பைக் குறைக்க, நீங்கள் வேறுபாட்டின் கீழ் ஒரு குணகத்தை உள்ளிட வேண்டும், ஆனால் இது ஒருங்கிணைப்பையே மாற்றிவிடும். எனவே, நாம் ஒரே நேரத்தில் குணகத்தால் வகுக்கிறோம்

இந்த சூத்திரத்தை அறிந்து, ஒரு வரியில் இரட்டைக் கோணத்தின் சைனின் ஒருங்கிணைப்பை எழுதுகிறோம்
அடுத்து நாம் மூன்று கோணத்தின் சைனை ஒருங்கிணைக்கலாம்
முதலியன
int(sin(k*x)=-1/k*cos(k*x).
அதே சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, அரை கோணத்தின் சைனின் ஒருங்கிணைப்பு பெறப்படுகிறது, இது அரை கோணத்தின் மைனஸ் 2 கோசைனுக்கு சமம்.
மூன்றில் ஒரு பங்கு x இன் சைனின் ஒருங்கிணைப்பு சமம்

சைன் ஒருங்கிணைப்பின் பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1. பாவத்தின் ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்(4*x).
தீர்வு: ஒருங்கிணைப்பு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்

எடுத்துக்காட்டு 2. பாவத்தின் ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுக(5*x).
தீர்வு: ஒருங்கிணைப்புகளைச் செய்யுங்கள்

எடுத்துக்காட்டு 3. பாவம்(7*x) என்ற சொல்லை ஒருங்கிணைக்கவும்.

எடுத்துக்காட்டு 4. y=sin(x/5) செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.
தீர்வு: காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிதல்

சைனின் எளிய ஒருங்கிணைப்புகளை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பதை நீங்கள் கற்றுக்கொண்டவுடன், நீங்கள் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புக்கு செல்லலாம்

எடுத்துக்காட்டு 5. பூஜ்ஜியத்தில் 2க்கு சமமான sin(x) இன் ஆரம்ப மதிப்பைக் கண்டறியவும்.
தீர்வு: ஆரம்பத்தை கணக்கிடுங்கள்

ஆரம்ப நிலையிலிருந்து நாம் மாறிலியைக் காண்கிறோம்
-cos(0)+C=2;
C=2+cos(0)=3.
நாங்கள் அசல் நிலைக்குத் திரும்பி, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மாறிலியை மாற்றுகிறோம்

இதுதான் பிரச்சினைக்கான பதில்.

எடுத்துக்காட்டு 7. y=sin(2*x) என்ற இரட்டைக் கோணத்தின் சைனை 0 முதல் 45 டிகிரி வரை ஒருங்கிணைக்கவும்.
தீர்வு: சைனின் ஒருங்கிணைப்பை எழுதவும் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை மாற்றவும்

அதன் இயற்பியல் உள்ளடக்கத்தின்படி, திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பானது பாவம் (x) மற்றும் அப்சிஸ்ஸா அச்சு ஆகியவற்றால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட உருவத்தின் பகுதிக்கு சமம்.

ஆனால் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பும் பகுதியும் ஒன்றல்ல. ஒருங்கிணைந்த எதிர்மறையாக இருக்கலாம், ஆனால் பகுதி முடியாது. ஒரு சார்பு x-அச்சின் கீழ் ஒரு பெரிய பகுதியைக் கொண்டிருந்தால், அதன் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு எதிர்மறையாக இருக்கும்.

வளைந்த ட்ரெப்சாய்டின் பரப்பளவு மேல் வளைவு மற்றும் கீழ் சமன்பாடுகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டின் ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம்.

இந்த வழக்கில், மேல் வளைவு x-அச்சு அல்லது y = 0. கீழ் ஒன்று சைன் வரைபடம். எனவே, சைன் செயல்பாட்டின் பகுதிக்கான சூத்திரம் 1 அல்லது ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த தொகுதிக்கு சமம்.

அப்சிஸ்ஸா அச்சைப் பொறுத்தமட்டில் ஒரு சார்பு சமச்சீரற்றதாக இருந்தால், அதன் ஒருங்கிணைப்பானது பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருக்கும், மேலும் பகுதியானது அப்சிஸ்ஸா அச்சுக்கு மேலே உள்ள வரைபடத்தின் இரட்டை ஒருங்கிணைப்புக்குச் சமமாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, -45 முதல் 45 டிகிரி வரையிலான இரட்டைக் கோணத்தின் சைனின் ஒருங்கிணைப்பு பூஜ்ஜியமாகும்.


அதே நேரத்தில், நிழலாடிய உருவத்தின் பரப்பளவு ஒன்றுக்கு சமம்.

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகள்.
தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

இந்தப் பாடத்தில் முக்கோணவியல் சார்புகளின் ஒருங்கிணைப்புகளைப் பார்ப்போம், அதாவது, ஒருங்கிணைப்புகளை நிரப்புவது சைன்கள், கோசைன்கள், டேன்ஜென்ட்கள் மற்றும் பல்வேறு சேர்க்கைகளில் இருக்கும். அனைத்து எடுத்துக்காட்டுகளும் விரிவாக பகுப்பாய்வு செய்யப்படும், அணுகக்கூடிய மற்றும் ஒரு தேநீர் தொட்டிக்கு கூட புரிந்துகொள்ளக்கூடியதாக இருக்கும்.

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகளை வெற்றிகரமாகப் படிக்க, நீங்கள் எளிமையான ஒருங்கிணைப்புகளைப் பற்றி நன்கு புரிந்து கொள்ள வேண்டும், அதே போல் சில ஒருங்கிணைப்பு நுட்பங்களில் தேர்ச்சி பெற்றிருக்க வேண்டும். விரிவுரைகளில் இந்த பொருட்களை நீங்கள் அறிந்து கொள்ளலாம் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு. தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்மற்றும் .

இப்போது நமக்குத் தேவை: ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை, வழித்தோன்றல்கள் அட்டவணைமற்றும் முக்கோணவியல் சூத்திரங்களின் அடைவு. அனைத்து கற்பித்தல் உதவிகளையும் பக்கத்தில் காணலாம் கணித சூத்திரங்கள் மற்றும் அட்டவணைகள். எல்லாவற்றையும் அச்சிட பரிந்துரைக்கிறேன். நான் குறிப்பாக முக்கோணவியல் சூத்திரங்களில் கவனம் செலுத்துகிறேன், அவை உங்கள் கண்களுக்கு முன்னால் இருக்க வேண்டும்- இது இல்லாமல், வேலை திறன் குறிப்பிடத்தக்க அளவில் குறையும்.

ஆனால் முதலில், இந்த கட்டுரையில் என்ன ஒருங்கிணைப்புகள் உள்ளன என்பது பற்றி இல்லை. படிவத்தின் ஒருங்கிணைப்புகள் எதுவும் இல்லை, - கொசைன், சைன், சில பல்லுறுப்புக்கோவையால் பெருக்கப்படுகிறது (குறைவாக அடிக்கடி ஒரு தொடு அல்லது கோடேன்ஜென்ட் கொண்ட ஒன்று). இத்தகைய ஒருங்கிணைப்புகள் பகுதிகளால் ஒருங்கிணைக்கப்படுகின்றன, மேலும் முறையை அறிய, பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு பாடத்தைப் பார்வையிடவும். தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் இங்கே “வளைவுகள்” - ஆர்க்டேன்ஜென்ட், ஆர்க்சைன் போன்றவற்றுடன் எந்த ஒருங்கிணைப்பும் இல்லை, அவை பெரும்பாலும் பகுதிகளால் ஒருங்கிணைக்கப்படுகின்றன.

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறியும் போது, ​​பல முறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:

(4) நாங்கள் அட்டவணை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் , ஒரே வித்தியாசம் என்னவென்றால், "X" க்கு பதிலாக ஒரு சிக்கலான வெளிப்பாடு உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 2

எடுத்துக்காட்டு 3

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

போட்டியில் மூழ்கியவர்களுக்கான வகையின் ஒரு கிளாசிக். நீங்கள் கவனித்தபடி, ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் தொடுகோடு மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் ஒருங்கிணைப்பு இல்லை, இருப்பினும், அத்தகைய ஒருங்கிணைப்புகளைக் காணலாம்.

(1) நாங்கள் முக்கோணவியல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்

(2) நாங்கள் செயல்பாட்டை வேறுபாட்டுக் குறியின் கீழ் கொண்டு வருகிறோம்.

(3) டேபிள் இன்டெகிராலைப் பயன்படுத்துகிறோம் .

எடுத்துக்காட்டு 4

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

இது ஒரு சுயாதீன தீர்வுக்கான ஒரு எடுத்துக்காட்டு, முழு தீர்வு மற்றும் பதில் பாடத்தின் முடிவில் உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 5

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

எங்கள் பட்டங்கள் படிப்படியாக அதிகரிக்கும் =).
முதலில் தீர்வு:

(1) நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்

(2) முக்கிய முக்கோணவியல் அடையாளத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் , அதில் இருந்து அது பின்வருமாறு .

(3) எண்ணை வகுக்க காலத்தால் வகுக்கவும்.

(4) காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் நேரியல் பண்புகளைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

(5) நாங்கள் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைக்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 6

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

இது ஒரு சுயாதீன தீர்வுக்கான ஒரு எடுத்துக்காட்டு, முழு தீர்வு மற்றும் பதில் பாடத்தின் முடிவில் உள்ளது.

தொடுகோடுகள் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட்களின் ஒருங்கிணைப்புகளும் உள்ளன, அவை உயர் சக்திகளில் உள்ளன. தொடுகோடு கனசதுரத்தின் ஒருங்கிணைப்பு பாடத்தில் விவாதிக்கப்படுகிறது ஒரு தட்டையான உருவத்தின் பகுதியை எவ்வாறு கணக்கிடுவது?நான்காவது மற்றும் ஐந்தாவது அதிகாரங்களுக்கு தொடுகோடு (கோட்டான்ஜென்ட்) ஒருங்கிணைப்புகளை பக்கத்தில் பெறலாம் சிக்கலான ஒருங்கிணைப்புகள்.

ஒருங்கிணைப்பின் அளவைக் குறைத்தல்

ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுகள் சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களால் நிரப்பப்படும் போது இந்த நுட்பம் வேலை செய்கிறது கூடடிகிரி. அளவைக் குறைக்க, முக்கோணவியல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தவும் , மற்றும் , மற்றும் கடைசி சூத்திரம் பெரும்பாலும் எதிர் திசையில் பயன்படுத்தப்படுகிறது: .

எடுத்துக்காட்டு 7

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு:

கொள்கையளவில், நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தியதைத் தவிர, இங்கு புதிதாக எதுவும் இல்லை (ஒருங்கிணைந்த அளவைக் குறைத்தல்). நான் தீர்வை சுருக்கிவிட்டேன் என்பதை நினைவில் கொள்க. நீங்கள் அனுபவத்தைப் பெறும்போது, ​​​​இதன் ஒருங்கிணைப்பை வாய்வழியாகக் காணலாம், இது நேரத்தை மிச்சப்படுத்துகிறது மற்றும் பணிகளை முடிக்கும்போது மிகவும் ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கது. இந்த வழக்கில், விதியை விவரிக்காமல் இருப்பது நல்லது , முதலில் 1 இன் ஒருங்கிணைப்பை வாய்மொழியாக எடுத்துக்கொள்வோம், பின்னர் இன் .

எடுத்துக்காட்டு 8

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

இது ஒரு சுயாதீன தீர்வுக்கான ஒரு எடுத்துக்காட்டு, முழு தீர்வு மற்றும் பதில் பாடத்தின் முடிவில் உள்ளது.

இது வாக்குறுதியளிக்கப்பட்ட அளவு அதிகரிப்பு:

எடுத்துக்காட்டு 9

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

முதலில் தீர்வு, பின்னர் கருத்துகள்:

(1) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கு ஒருங்கிணைப்பைத் தயாரிக்கவும் .

(2) நாங்கள் உண்மையில் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

(3) வகுப்பினைச் சதுரமாக்குகிறோம் மற்றும் ஒருங்கிணைந்த குறியிலிருந்து மாறிலியை எடுக்கிறோம். இதை கொஞ்சம் வித்தியாசமாக செய்திருக்கலாம், ஆனால், என் கருத்துப்படி, இது மிகவும் வசதியானது.

(4) நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்

(5) மூன்றாவது டெர்மில் மீண்டும் பட்டத்தை குறைக்கிறோம், ஆனால் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் .

(6) நாங்கள் ஒரே மாதிரியான விதிமுறைகளை முன்வைக்கிறோம் (இங்கே நான் காலத்தை காலத்தால் வகுத்துள்ளேன் மற்றும் சேர்த்தல் செய்தார்).

(7) உண்மையில், நாம் ஒருங்கிணைந்த, நேரியல் விதியை எடுத்துக்கொள்கிறோம் மற்றும் வேறுபட்ட அடையாளத்தின் கீழ் ஒரு செயல்பாட்டை உட்படுத்தும் முறை வாய்வழியாக செய்யப்படுகிறது.

(8) விடையை இணைத்தல்.

! ஒரு காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பில், பதில் பெரும்பாலும் பல வழிகளில் எழுதப்படலாம்

இப்போது கருதப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், இறுதிப் பதிலை வேறுவிதமாக எழுதியிருக்கலாம் - அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, வெளிப்பாட்டை ஒருங்கிணைக்கும் முன் இதைச் செய்வது கூட, அதாவது எடுத்துக்காட்டுக்கு பின்வரும் முடிவு மிகவும் ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கது:

இந்த விருப்பம் இன்னும் வசதியானது என்பது மிகவும் சாத்தியம், நான் அதை நானே தீர்க்கப் பழகிய விதத்தை விளக்கினேன்). ஒரு சுயாதீன தீர்வுக்கான மற்றொரு பொதுவான எடுத்துக்காட்டு இங்கே:

எடுத்துக்காட்டு 10

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

இந்த உதாரணத்தை இரண்டு வழிகளில் தீர்க்கலாம், நீங்கள் வெற்றியடையலாம் இரண்டு முற்றிலும் மாறுபட்ட பதில்கள்(இன்னும் துல்லியமாக, அவை முற்றிலும் வேறுபட்டதாக இருக்கும், ஆனால் கணிதக் கண்ணோட்டத்தில் அவை சமமானதாக இருக்கும்). பெரும்பாலும், நீங்கள் மிகவும் பகுத்தறிவு முறையைப் பார்க்க மாட்டீர்கள் மற்றும் அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து மற்ற முக்கோணவியல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தினால் பாதிக்கப்படுவீர்கள். மிகவும் பயனுள்ள தீர்வு பாடத்தின் முடிவில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

பத்தியை சுருக்கமாக, நாங்கள் முடிக்கிறோம்: படிவத்தின் எந்த ஒருங்கிணைப்பும் , எங்கே மற்றும் - கூடஎண்கள், ஒருங்கிணைப்பின் அளவைக் குறைக்கும் முறையால் தீர்க்கப்படுகிறது.
நடைமுறையில், நான் 8 மற்றும் 10 டிகிரி கொண்ட ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டேன், மேலும் பட்டத்தை பல முறை குறைப்பதன் மூலம் அவர்களின் பயங்கரமான குழப்பத்தை நான் தீர்க்க வேண்டியிருந்தது, இதன் விளைவாக நீண்ட, நீண்ட பதில்கள் கிடைத்தன.

மாறி மாற்று முறை

என கட்டுரையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பில் மாறி மாற்றும் முறை, மாற்று முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கான முக்கிய முன்நிபந்தனை என்னவென்றால், ஒருங்கிணைப்பில் ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல் உள்ளது:
(செயல்பாடுகள் தயாரிப்பில் அவசியம் இல்லை)

எடுத்துக்காட்டு 11

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையைப் பார்க்கிறோம் மற்றும் சூத்திரங்களைக் கவனிக்கிறோம், , அதாவது, நமது ஒருங்கிணைப்பில் ஒரு செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல் உள்ளது. இருப்பினும், வேறுபாட்டின் போது, ​​கோசைனும் சைனும் ஒன்றுக்கொன்று மாறுவதைக் காண்கிறோம், மேலும் கேள்வி எழுகிறது: மாறியின் மாற்றத்தை எவ்வாறு செய்வது மற்றும் சைன் அல்லது கொசைன் என்றால் என்ன?! விஞ்ஞான குத்துதல் மூலம் கேள்வியை தீர்க்க முடியும்: மாற்றீட்டை நாம் தவறாக செய்தால், அதில் நல்லது எதுவும் வராது.

பொதுவான வழிகாட்டுதல்: இதே போன்ற சந்தர்ப்பங்களில், வகுப்பில் உள்ள செயல்பாட்டை நீங்கள் குறிப்பிட வேண்டும்.

நாங்கள் தீர்வை குறுக்கிட்டு, மாற்றீடு செய்கிறோம்


வகுப்பில் எல்லாம் நன்றாக இருக்கிறது, எல்லாவற்றையும் மட்டுமே சார்ந்துள்ளது, இப்போது அது என்னவாக மாறும் என்பதைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
இதைச் செய்ய, வேறுபாட்டைக் காண்கிறோம்:

அல்லது, சுருக்கமாக:
விளைந்த சமத்துவத்திலிருந்து, விகிதாச்சார விதியைப் பயன்படுத்தி, நமக்குத் தேவையான வெளிப்பாட்டை வெளிப்படுத்துகிறோம்:

அதனால்:

இப்போது எங்கள் முழு ஒருங்கிணைப்பும் மட்டுமே சார்ந்துள்ளது மற்றும் நாம் தொடர்ந்து தீர்க்க முடியும்

தயார். மாற்றீட்டின் நோக்கம் இந்த விஷயத்தில் ஒருங்கிணைப்பை எளிதாக்குவதாகும் என்பதை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன், அட்டவணையின்படி சக்தி செயல்பாட்டை ஒருங்கிணைக்க எல்லாம் வந்தது.

இந்த உதாரணத்தை நான் இவ்வளவு விரிவாக விவரித்தது தற்செயல் நிகழ்வு அல்ல காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பில் மாறி மாற்றும் முறை.

இப்போது உங்கள் சொந்த தீர்வுக்கான இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகள்:

எடுத்துக்காட்டு 12

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

எடுத்துக்காட்டு 13

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

பாடத்தின் முடிவில் முழுமையான தீர்வுகள் மற்றும் பதில்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 14

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

இங்கே மீண்டும், ஒருங்கிணைப்பில், சைன் மற்றும் கொசைன் (ஒரு வழித்தோன்றலுடன் கூடிய செயல்பாடு) உள்ளன, ஆனால் ஒரு தயாரிப்பில், ஒரு குழப்பம் ஏற்படுகிறது - சைன் அல்லது கொசைன் என்றால் என்ன?

விஞ்ஞான முறையைப் பயன்படுத்தி மாற்றீட்டைச் செய்ய நீங்கள் முயற்சி செய்யலாம், எதுவும் செயல்படவில்லை என்றால், அதை மற்றொரு செயல்பாடாக நியமிக்கவும், ஆனால் உள்ளது:

பொதுவான வழிகாட்டுதல்: அடையாளப்பூர்வமாகச் சொன்னால், "சங்கடமான நிலையில்" உள்ள செயல்பாட்டை நீங்கள் குறிப்பிட வேண்டும்..

இந்த எடுத்துக்காட்டில், மாணவர் கொசைன் பட்டப்படிப்பில் "பாதிக்கப்படுவதை" நாம் பார்க்கிறோம், மேலும் சைன் சுதந்திரமாக அமர்ந்திருக்கிறது.

எனவே, மாற்றீடு செய்வோம்:

ஒரு மாறியை மாற்றுவதற்கும் வேறுபாட்டைக் கண்டறிவதற்குமான வழிமுறையில் எவருக்கும் இன்னும் சிக்கல்கள் இருந்தால், நீங்கள் பாடத்திற்குத் திரும்ப வேண்டும். காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பில் மாறி மாற்றும் முறை.

எடுத்துக்காட்டு 15

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

ஒருங்கிணைப்பை பகுப்பாய்வு செய்வோம், எதைக் குறிக்க வேண்டும்?
எங்கள் வழிகாட்டுதல்களை நினைவில் கொள்வோம்:
1) செயல்பாடு பெரும்பாலும் வகுப்பில் உள்ளது;
2) செயல்பாடு "சங்கடமான நிலையில்" உள்ளது.

மூலம், இந்த வழிகாட்டுதல்கள் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுக்கு மட்டும் செல்லுபடியாகும்.

சைன் இரண்டு அளவுகோல்களுக்கும் பொருந்துகிறது (குறிப்பாக இரண்டாவது), எனவே ஒரு மாற்று தன்னை பரிந்துரைக்கிறது. கொள்கையளவில், மாற்றீடு ஏற்கனவே மேற்கொள்ளப்படலாம், ஆனால் முதலில் என்ன செய்வது என்று கண்டுபிடிப்பது நன்றாக இருக்கும்? முதலில், ஒரு கொசைனை "கிள்ளுகிறோம்":

எங்கள் "எதிர்கால" வேறுபாட்டிற்காக நாங்கள் ஒதுக்குகிறோம்

அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளத்தைப் பயன்படுத்தி சைன் மூலம் அதை வெளிப்படுத்துகிறோம்:

இப்போது இங்கே மாற்று:

பொது விதி: ஒருங்கிணைந்த முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளில் ஒன்று (சைன் அல்லது கொசைன்) இருந்தால் ஒற்றைப்படைபட்டம், பின்னர் நீங்கள் ஒற்றைப் பட்டத்தில் இருந்து ஒரு செயல்பாட்டை "கடிக்க" வேண்டும், அதன் பின்னால் மற்றொரு செயல்பாட்டை நியமிக்க வேண்டும்.கொசைன்கள் மற்றும் சைன்கள் உள்ள ஒருங்கிணைப்புகளைப் பற்றி மட்டுமே நாங்கள் பேசுகிறோம்.

கருத்தில் கொள்ளப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், எங்களிடம் ஒற்றைப்படை சக்தியில் ஒரு கொசைன் இருந்தது, எனவே சக்தியிலிருந்து ஒரு கொசைனைப் பறித்து, அதை ஒரு சைன் என்று நியமித்தோம்.

எடுத்துக்காட்டு 16

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

பட்டங்கள் எடுக்கப்படுகின்றன =).
நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. பாடத்தின் முடிவில் முழு தீர்வு மற்றும் பதில்.

உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்று

உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்று என்பது மாறி மாற்று முறையின் பொதுவான வழக்கு. நீங்கள் "என்ன செய்வது என்று தெரியாதபோது" அதைப் பயன்படுத்த முயற்சி செய்யலாம். ஆனால் உண்மையில் அதன் பயன்பாட்டிற்கு சில வழிகாட்டுதல்கள் உள்ளன. உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்றீடு பயன்படுத்தப்பட வேண்டிய பொதுவான ஒருங்கிணைப்புகள் பின்வரும் ஒருங்கிணைப்புகளாகும்: , , , முதலியன

எடுத்துக்காட்டு 17

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

இந்த வழக்கில் உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்றீடு பின்வரும் வழியில் செயல்படுத்தப்படுகிறது. மாற்றீடு செய்வோம்: . நான் கடிதத்தைப் பயன்படுத்துவதில்லை , ஆனால் கடிதம் , இது ஒருவித விதி அல்ல, அது தான், மீண்டும், நான் இந்த வழியில் விஷயங்களைத் தீர்க்கப் பழகிவிட்டேன்.

இதற்கான வேறுபாட்டைக் கண்டுபிடிப்பது இங்கே மிகவும் வசதியானது, சமத்துவத்திலிருந்து, நான் வெளிப்படுத்துகிறேன்:
நான் இரண்டு பகுதிகளுக்கும் ஒரு ஆர்க்டேன்ஜெண்டை இணைக்கிறேன்:

ஆர்க்டேன்ஜென்ட் மற்றும் டேன்ஜென்ட் ஒன்றையொன்று ரத்து செய்கின்றன:

இதனால்:

நடைமுறையில், நீங்கள் அதை விரிவாக விவரிக்க வேண்டியதில்லை, ஆனால் முடிக்கப்பட்ட முடிவைப் பயன்படுத்தவும்:

! சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களின் கீழ் நாம் "X'கள் இருந்தால் மட்டுமே இந்த வெளிப்பாடு செல்லுபடியாகும். (அதைப் பற்றி பின்னர் பேசுவோம்) எல்லாம் கொஞ்சம் வித்தியாசமாக இருக்கும்!

மாற்றும் போது, ​​சைன்கள் மற்றும் கொசைன்கள் பின்வரும் பின்னங்களாக மாறும்:
, இந்த சமத்துவங்கள் நன்கு அறியப்பட்ட முக்கோணவியல் சூத்திரங்களை அடிப்படையாகக் கொண்டவை: ,

எனவே, இறுதி வடிவமைப்பு இப்படி இருக்கலாம்:

உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்றீட்டை மேற்கொள்வோம்:

பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்புகளின் தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் விரிவாகக் கருதப்படுகின்றன, இதன் ஒருங்கிணைப்பு ஒரு அதிவேக (e to the x சக்தி) அல்லது ஒரு சைன் (sin x) அல்லது ஒரு cosine (cos x) மூலம் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் தயாரிப்பு ஆகும்.

பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பதற்கான சூத்திரம்

இந்த பிரிவில் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​பாகங்கள் சூத்திரத்தின் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு பயன்படுத்தப்படுகிறது:
;
.

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை மற்றும் sin x, cos x அல்லது e x ஆகியவற்றின் பெருக்கத்தைக் கொண்ட ஒருங்கிணைப்புகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

அத்தகைய ஒருங்கிணைப்புகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் இங்கே:
, , .

அத்தகைய ஒருங்கிணைப்புகளை ஒருங்கிணைக்க, பல்லுறுப்புக்கோவை u ஆல் குறிக்கப்படுகிறது, மீதமுள்ள பகுதி v dx ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. அடுத்து, பாகங்கள் சூத்திரத்தின் மூலம் ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தவும்.

இந்த எடுத்துக்காட்டுகளுக்கான விரிவான தீர்வு கீழே உள்ளது.

ஒருங்கிணைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

எக்ஸ்போனெண்டுடன் உதாரணம், e க்கு x இன் சக்தி

ஒருங்கிணைப்பை தீர்மானிக்கவும்:
.

தீர்வு

வேறுபட்ட அடையாளத்தின் கீழ் அடுக்குகளை அறிமுகப்படுத்துவோம்:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).

பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்போம்.

இங்கே
.
மீதமுள்ள ஒருங்கிணைப்பை பகுதிகளாகவும் ஒருங்கிணைக்கிறோம்.
.
.
.
இறுதியாக எங்களிடம் உள்ளது:
.

பதில்

சைனுடன் ஒரு ஒருங்கிணைப்பை வரையறுப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு

ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள்:
.

தீர்வு

வேறுபாடு அடையாளத்தின் கீழ் சைனை அறிமுகப்படுத்துவோம்:

பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்போம்.

இங்கே u = x 2, v = cos(2 x+3), du = ( x 2 )′ dx

மீதமுள்ள ஒருங்கிணைப்பை பகுதிகளாகவும் ஒருங்கிணைக்கிறோம். இதைச் செய்ய, வேறுபட்ட அடையாளத்தின் கீழ் கொசைனை அறிமுகப்படுத்தவும்.


இங்கே u = x, v = பாவம்(2 x+3), du = dx

இறுதியாக எங்களிடம் உள்ளது:

பதில்

பல்லுறுப்புக்கோவை மற்றும் கொசைன் தயாரிப்புக்கான எடுத்துக்காட்டு

ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள்:
.

தீர்வு

வேறுபட்ட அடையாளத்தின் கீழ் கொசைனை அறிமுகப்படுத்துவோம்:

பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்போம்.

இங்கே u = x 2 + 3 x + 5, v = பாவம் 2 x, du = ( x 2 + 3 x + 5 )′ dx

முன்னதாக, பல்வேறு சூத்திரங்கள் மற்றும் விதிகளால் வழிநடத்தப்படும் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்டதால், அதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிந்தோம். வழித்தோன்றல் பல பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது: இது இயக்கத்தின் வேகம் (அல்லது, பொதுவாக, எந்த செயல்முறையின் வேகம்); செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடுகளின் கோண குணகம்; வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி, மோனோடோனிசிட்டி மற்றும் எக்ஸ்ட்ரீமாவுக்கான செயல்பாட்டை நீங்கள் ஆராயலாம்; இது தேர்வுமுறை சிக்கல்களை தீர்க்க உதவுகிறது.

ஆனால் அறியப்பட்ட இயக்க விதியின்படி வேகத்தைக் கண்டறிவதில் சிக்கலுடன், ஒரு தலைகீழ் சிக்கலும் உள்ளது - அறியப்பட்ட வேகத்தின்படி இயக்க விதியை மீட்டெடுப்பதில் சிக்கல் உள்ளது. இந்த சிக்கல்களில் ஒன்றைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1.ஒரு பொருள் புள்ளி ஒரு நேர் கோட்டில் நகரும், t நேரத்தில் அதன் வேகம் v=gt சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது. இயக்க விதியைக் கண்டறியவும்.
தீர்வு. s = s(t) என்பது இயக்கத்தின் விரும்பிய விதியாக இருக்கட்டும். s"(t) = v(t) என்று அறியப்படுகிறது. இதன் பொருள் சிக்கலைத் தீர்க்க நீங்கள் s = s(t) செயல்பாட்டைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும், இதன் வழித்தோன்றல் gt க்கு சமம். யூகிப்பது கடினம் அல்ல. என்று \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
பதில்: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

உதாரணம் சரியாக தீர்க்கப்பட்டது, ஆனால் முழுமையடையாது என்பதை உடனடியாக கவனிக்கலாம். எங்களுக்கு \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \) கிடைத்தது. உண்மையில், சிக்கலுக்கு எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\) படிவத்தின் எந்தச் செயல்பாடும், C என்பது தன்னிச்சையான மாறிலி, சட்டமாக செயல்படும் இயக்கம், \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

சிக்கலை இன்னும் குறிப்பிட்டதாக மாற்ற, ஆரம்ப சூழ்நிலையை நாங்கள் சரிசெய்ய வேண்டியிருந்தது: ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்தில் நகரும் புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்பைக் குறிக்கவும், எடுத்துக்காட்டாக t = 0. என்றால், s(0) = s 0, பின்னர் சமத்துவம் s(t) = (gt 2)/2 + C நாம் பெறுகிறோம்: s(0) = 0 + C, அதாவது C = s 0. இப்போது இயக்க விதி தனித்துவமாக வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

கணிதத்தில், பரஸ்பர தலைகீழ் செயல்பாடுகளுக்கு வெவ்வேறு பெயர்கள் வழங்கப்படுகின்றன, சிறப்புக் குறியீடுகள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டன, எடுத்துக்காட்டாக: சதுரம் (x 2) மற்றும் சதுர வேர் (\(\sqrt(x) \)), சைன் (sin x) மற்றும் ஆர்க்சின் (arcsin x) மற்றும் பல. கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் செயல்முறை அழைக்கப்படுகிறது வேறுபாடு, மற்றும் தலைகீழ் செயல்பாடு, அதாவது கொடுக்கப்பட்ட வழித்தோன்றலில் இருந்து ஒரு செயல்பாட்டைக் கண்டறியும் செயல்முறை ஒருங்கிணைப்பு.

"வழித்தோன்றல்" என்ற வார்த்தையே "அன்றாட விதிமுறைகளில்" நியாயப்படுத்தப்படலாம்: y = f(x) செயல்பாடு "பிறக்கிறது" ஒரு புதிய செயல்பாட்டிற்கு y" = f"(x). y = f(x) செயல்பாடு "பெற்றோர்" ஆக செயல்படுகிறது, ஆனால் கணிதவியலாளர்கள், இயற்கையாகவே, அதை "பெற்றோர்" அல்லது "தயாரிப்பாளர்" என்று அழைக்க மாட்டார்கள், இது y" = f"( x) , முதன்மை படம் அல்லது பழமையானது.

வரையறை.\(x \in X\)க்கு F"(x) = f(x) சமத்துவம் இருந்தால் X இடைவெளியில் y = F(x) சார்பு y = f(x) செயல்பாட்டிற்கு எதிர்வழி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

நடைமுறையில், இடைவெளி X பொதுவாகக் குறிப்பிடப்படவில்லை, ஆனால் அது (செயல்பாட்டின் வரையறையின் இயல்பான களமாக) குறிக்கப்படுகிறது.

உதாரணங்கள் தருவோம்.
1) y = x 2 சார்பு y = 2x செயல்பாட்டிற்கு எதிர் வழிவகை ஆகும், ஏனெனில் எந்த x க்கும் சமத்துவம் (x 2)" = 2x உண்மை
2) y = x 3 சார்பு y = 3x 2 செயல்பாட்டிற்கு எதிர்வழியாகும், ஏனெனில் எந்த x க்கும் சமத்துவம் (x 3)" = 3x 2 உண்மை
3) y = sin(x) சார்பு y = cos(x) செயல்பாட்டிற்கு எதிர்வழியாகும், ஏனெனில் எந்த x க்கும் சமத்துவம் (sin(x))" = cos(x) உண்மை

ஆண்டிடெரிவேடிவ்கள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியும்போது, ​​​​சூத்திரங்கள் மட்டுமல்ல, சில விதிகளும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுவதற்கான தொடர்புடைய விதிகளுடன் அவை நேரடியாக தொடர்புடையவை.

ஒரு தொகையின் வழித்தோன்றல் அதன் வழித்தோன்றல்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் என்பதை நாம் அறிவோம். இந்த விதி ஆன்டிடெரிவேடிவ்களைக் கண்டறிவதற்கான தொடர்புடைய விதியை உருவாக்குகிறது.

விதி 1.ஒரு தொகையின் ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் என்பது, ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

நிலையான காரணி வழித்தோன்றலின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம் என்பதை நாம் அறிவோம். இந்த விதி ஆன்டிடெரிவேடிவ்களைக் கண்டறிவதற்கான தொடர்புடைய விதியை உருவாக்குகிறது.

விதி 2. F(x) என்பது f(x) க்கு ஒரு எதிர்ப்பொருள் எனில், kF(x) என்பது kf(x)க்கான ஒரு எதிர்ப்பொருள்.

தேற்றம் 1. y = F(x) என்பது y = f(x) செயல்பாட்டிற்கு ஒரு எதிர்ப்பொருள் எனில், y = f(kx + m) செயல்பாட்டிற்கான ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் \(y=\frac(1)(k)F சார்பு ஆகும். (kx+m) \)

தேற்றம் 2. y = F(x) என்பது X இடைவெளியில் y = f(x) செயல்பாட்டிற்கு ஒரு எதிர்ப்பொருள் என்றால், y = f(x) சார்பு எண்ணற்ற பல ஆண்டிடெரிவேட்டிவ்களைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் அவை அனைத்தும் y = F(x) வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன. + சி.

ஒருங்கிணைப்பு முறைகள்

மாறி மாற்று முறை (மாற்று முறை)

மாற்றீடு மூலம் ஒருங்கிணைக்கும் முறையானது ஒரு புதிய ஒருங்கிணைப்பு மாறியை (அதாவது, மாற்றீடு) அறிமுகப்படுத்துகிறது. இந்த வழக்கில், கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பானது ஒரு புதிய ஒருங்கிணைப்பாகக் குறைக்கப்படுகிறது, இது அட்டவணை அல்லது அதற்குக் குறைக்கப்படுகிறது. மாற்றுகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான பொதுவான முறைகள் எதுவும் இல்லை. மாற்றீட்டை சரியாக தீர்மானிக்கும் திறன் பயிற்சி மூலம் பெறப்படுகிறது.
ஒருங்கிணைந்த \(\textstyle \int F(x)dx \) கணக்கிடுவது அவசியமாக இருக்கட்டும். \(x= \varphi(t) \) என்பதை மாற்றுவோம், இங்கு \(\varphi(t) \) என்பது தொடர்ச்சியான வழித்தோன்றலைக் கொண்ட ஒரு சார்பு ஆகும்.
பின்னர் \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) மற்றும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புக்கான ஒருங்கிணைப்பு சூத்திரத்தின் மாறாத பண்புகளின் அடிப்படையில், மாற்றீடு மூலம் ஒருங்கிணைப்பு சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi "(t) dt \)

\(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \) வடிவத்தின் வெளிப்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்பு

m என்பது ஒற்றைப்படை, m > 0 எனில், மாற்று பாவத்தை x = t ஆக்குவது மிகவும் வசதியானது.
n ஒற்றைப்படை என்றால், n > 0, பின்னர் cos x = t ஐ மாற்றுவது மிகவும் வசதியானது.
n மற்றும் m சமமாக இருந்தால், tg x = t ஐ மாற்றுவது மிகவும் வசதியானது.

பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு

பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு - ஒருங்கிணைப்புக்கு பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துதல்:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
அல்லது:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

சில செயல்பாடுகளின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் (ஆண்டிடெரிவேடிவ்கள்) அட்டவணை

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$