Përkufizimi
Lavjerrësi i matematikës- ky është një rast i veçantë i një lavjerrësi fizik, masa e të cilit ndodhet në një pikë.
Në mënyrë tipike, një lavjerrës matematikor konsiderohet të jetë një top i vogël (pika materiale) që ka një masë të madhe, të pezulluar në një fije të gjatë të pazgjatur (pezullim). Ky është një sistem i idealizuar që lëkundet nën ndikimin e gravitetit. Vetëm për këndet e rendit 50-100, një lavjerrës matematik është një oshilator harmonik, domethënë ai kryen lëkundje harmonike.
Duke studiuar lëkundjen e një llambadari në një zinxhir të gjatë, Galileo studioi vetitë e një lavjerrës matematikor. Ai kuptoi se periudha e lëkundjes së një sistemi të caktuar nuk varet nga amplituda në kënde të vogla devijimi.
Formula për periudhën e lëkundjes së lavjerrësit matematik
Le të jetë e palëvizshme pika e pezullimit të lavjerrësit. Një ngarkesë e varur nga një fije lavjerrës lëviz përgjatë një harku rrethor (Fig. 1(a)) me nxitim dhe vepron mbi të nga një forcë e caktuar rivendosëse ($\overline(F)$). Kjo forcë ndryshon ndërsa ngarkesa lëviz. Si rezultat, llogaritja e lëvizjes bëhet komplekse. Le të prezantojmë disa thjeshtëzime. Lëreni lavjerrësin të mos lëkundet në një rrafsh, por të përshkruajë një kon (Fig. 1 (b)). Në këtë rast, ngarkesa lëviz në një rreth. Periudha e lëkundjeve që na interesojnë do të përkojë me periudhën e lëvizjes konike të ngarkesës. Periudha e rrotullimit të një lavjerrës konik rreth një rrethi është e barabartë me kohën e kaluar nga ngarkesa në një rrotullim rreth rrethit:
ku $L$ është perimetri; $v$ është shpejtësia e lëvizjes së ngarkesës. Nëse këndet e devijimit të fillit nga vertikalja janë të vogla (amplituda të vogla vibrimi), atëherë supozohet se forca rivendosëse ($F_1$) drejtohet përgjatë rrezes së rrethit që përshkruan ngarkesa. Atëherë kjo forcë është e barabartë me forcën centripetale:
Konsideroni trekëndësha të ngjashëm: AOB dhe DBC (Fig. 1 (b)).
Barazojmë anët e djathta të shprehjeve (2) dhe (3) dhe shprehim shpejtësinë e lëvizjes së ngarkesës:
\[\frac(mv^2)(R)=mg\frac(R)(l)\ \në v=R\sqrt(\frac(g)(l))\majtas(4\djathtas).\]
Ne e zëvendësojmë shpejtësinë që rezulton në formulën (1), kemi:
\ \
Nga formula (5) shohim se periudha e lavjerrësit matematik varet vetëm nga gjatësia e pezullimit të tij (distanca nga pika e pezullimit deri në qendrën e gravitetit të ngarkesës) dhe nga nxitimi i rënies së lirë. Formula (5) për periudhën e një lavjerrësi matematik quhet formula e Huygens; ajo plotësohet kur pika e pezullimit të lavjerrësit nuk lëviz.
Duke përdorur varësinë e periudhës së lëkundjes së lavjerrësit matematik nga nxitimi i gravitetit, përcaktohet madhësia e këtij nxitimi. Për ta bërë këtë, matni gjatësinë e lavjerrësit, duke marrë parasysh një numër të madh lëkundjesh, gjeni periudhën $T$, pastaj llogarisni nxitimin e gravitetit.
Shembuj të problemeve me zgjidhje
Shembulli 1
Ushtrimi. Siç dihet, madhësia e nxitimit për shkak të gravitetit varet nga gjerësia gjeografike. Sa është nxitimi i gravitetit në gjerësinë gjeografike të Moskës nëse periudha e lëkundjes së një lavjerrës matematik me gjatësi $l=2,485\cdot (10)^(-1)$m është e barabartë me T=1 s?\textit()
Zgjidhje. Si bazë për zgjidhjen e problemit, marrim formulën për periudhën e një lavjerrës matematikor:
Le të shprehim nga (1.1) nxitimi i rënies së lirë:
Le të llogarisim nxitimin e kërkuar:
Përgjigju.$g=9,81\frac(m)(s^2)$
Shembulli 2
Ushtrimi. Sa do të jetë periudha e lëkundjes së lavjerrësit matematik nëse pika e pezullimit të tij lëviz vertikalisht poshtë 1) me një shpejtësi konstante? 2) me nxitim $a$? Gjatësia e fillit të këtij lavjerrësi është $l.$
Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim.
1) Periudha e një lavjerrësi matematik, pika e pezullimit të të cilit lëviz në mënyrë uniforme është e barabartë me periudhën e një lavjerrësi me një pikë pezullimi fikse:
2) Nxitimi i pikës së pezullimit të lavjerrësit mund të konsiderohet si shfaqja e një force shtesë të barabartë me $F=ma$, e cila drejtohet kundër nxitimit. Kjo do të thotë, nëse nxitimi drejtohet lart, atëherë forca shtesë drejtohet poshtë, që do të thotë se i shtohet forcës së gravitetit ($mg$). Nëse pika e pezullimit lëviz me një nxitim në rënie, atëherë forca shtesë zbritet nga forca e gravitetit.
Ne gjejmë periudhën e një lavjerrës matematikor që lëkundet dhe pika e pezullimit të të cilit lëviz me nxitim si:
Përgjigju. 1) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g))$; 2) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g-a))$
Periudha e lëkundjes së lavjerrësit fizik varet nga shumë rrethana: nga madhësia dhe forma e trupit, nga distanca midis qendrës së gravitetit dhe pikës së pezullimit dhe nga shpërndarja e masës trupore në lidhje me këtë pikë; Prandaj, llogaritja e periudhës së një organi të pezulluar është një detyrë mjaft e vështirë. Situata është më e thjeshtë për një lavjerrës matematikor. Nga vëzhgimet e lavjerrësve të tillë, mund të përcaktohen ligjet e mëposhtme të thjeshta.
1. Nëse, duke ruajtur të njëjtën gjatësi të lavjerrësit (distanca nga pika e pezullimit deri në qendrën e gravitetit të ngarkesës), ju varni ngarkesa të ndryshme, atëherë periudha e lëkundjes do të jetë e njëjtë, megjithëse masat e ngarkesat janë shumë të ndryshme. Periudha e një lavjerrës matematikor nuk varet nga masa e ngarkesës.
2. Nëse, kur nisim një lavjerrës, e devijojmë atë në kënde të ndryshme (por jo shumë të mëdha), atëherë ai do të lëkundet me të njëjtën periudhë, megjithëse me amplituda të ndryshme. Për sa kohë që amplituda nuk është shumë e madhe, lëkundjet janë mjaft afër në formën e tyre harmonike (§ 5) dhe periudha e një lavjerrës matematikor nuk varet nga amplituda e lëkundjeve. Kjo pronë quhet izokronizëm (nga fjalët greke "isos" - e barabartë, "chronos" - kohë).
Ky fakt u vërtetua për herë të parë në 1655 nga Galileo, gjoja në rrethanat e mëposhtme. Galileo vuri re në Katedralen e Pizës lëkundjen e një llambadari në një zinxhir të gjatë, i cili shtyhej kur ndizej. Gjatë shërbimit, lëkundjet gradualisht u zbehën (§ 11), domethënë, amplituda e dridhjeve u ul, por periudha mbeti e njëjtë. Galileo përdori pulsin e tij si tregues të kohës.
Le të nxjerrim tani një formulë për periudhën e lëkundjes së lavjerrësit matematik.
Oriz. 16. Lëkundjet e lavjerrësit në rrafshin (a) dhe lëvizja përgjatë një koni (b)
Kur lavjerrësi lëkundet, ngarkesa lëviz e përshpejtuar përgjatë një harku (Fig. 16, a) nën ndikimin e një force rivendosëse, e cila ndryshon gjatë lëvizjes. Llogaritja e lëvizjes së një trupi nën veprimin e një force të ndryshueshme është mjaft e ndërlikuar. Prandaj, për thjeshtësi, do të vazhdojmë si më poshtë.
Le ta bëjmë lavjerrësin të mos lëkundet në një plan, por të përshkruajmë një kon në mënyrë që ngarkesa të lëvizë në një rreth (Fig. 16, b). Kjo lëvizje mund të merret si rezultat i shtimit të dy dridhjeve të pavarura: njëra - ende në rrafshin e vizatimit dhe tjetra - në një plan pingul. Natyrisht, periudhat e të dyja këtyre lëkundjeve të rrafshët janë të njëjta, pasi çdo plan lëkundjeje nuk është i ndryshëm nga asnjë tjetër. Rrjedhimisht, periudha e lëvizjes komplekse - rrotullimi i lavjerrësit përgjatë konit - do të jetë i njëjtë me periudhën e lëkundjes së rrafshit të ujit. Ky përfundim mund të ilustrohet lehtësisht nga përvoja e drejtpërdrejtë duke marrë dy lavjerrës identikë dhe duke i dhënë njërit prej tyre një lëkundje në një aeroplan dhe tjetrit një rrotullim përgjatë një koni.
Por periudha e rrotullimit të lavjerrësit "konik" është e barabartë me gjatësinë e rrethit të përshkruar nga ngarkesa, e ndarë me shpejtësinë:
Nëse këndi i devijimit nga vertikali është i vogël (amplituda të vogla), atëherë mund të supozojmë se forca rivendosëse drejtohet përgjatë rrezes së rrethit, d.m.th., e barabartë me forcën centripetale:
Nga ana tjetër, nga ngjashmëria e trekëndëshave del se . Që atëherë nga këtu
Duke barazuar të dyja shprehjet me njëra-tjetrën, marrim për normën e qarkullimit
Më në fund, duke e zëvendësuar këtë në shprehjen e periudhës, gjejmë
Pra, periudha e një lavjerrësi matematikor varet vetëm nga nxitimi i gravitetit dhe nga gjatësia e lavjerrësit, d.m.th., distanca nga pika e pezullimit në qendrën e gravitetit të ngarkesës. Nga formula që rezulton rrjedh se periudha e lavjerrësit nuk varet nga masa dhe amplituda e tij (me kusht që të jetë mjaft i vogël). Me fjalë të tjera, ne kemi marrë përmes llogaritjes ato ligje bazë që janë vendosur më parë nga vëzhgimet.
Por përfundimi ynë teorik na jep më shumë: na lejon të vendosim një marrëdhënie sasiore midis periudhës së lavjerrësit, gjatësisë së tij dhe nxitimit të gravitetit. Periudha e një lavjerrësi matematikor është proporcionale me rrënjën katrore të raportit të gjatësisë së lavjerrësit me nxitimin e gravitetit. Koeficienti i proporcionalitetit është .
Një metodë shumë e saktë për përcaktimin e këtij nxitimi bazohet në varësinë e periudhës së lavjerrësit nga nxitimi i gravitetit. Pasi të kemi matur gjatësinë e lavjerrësit dhe të kemi përcaktuar periudhën nga një numër i madh lëkundjesh, mund të llogarisim duke përdorur formulën që rezulton. Kjo metodë përdoret gjerësisht në praktikë.
Dihet (shih Vëllimin I, §53) se nxitimi i gravitetit varet nga gjerësia gjeografike e vendit (në pol dhe në ekuator). Vëzhgimet e periudhës së lëkundjes së një lavjerrës të caktuar standard bëjnë të mundur studimin e shpërndarjes së nxitimit gravitacional mbi gjerësinë gjeografike. Kjo metodë është aq e saktë sa mund të përdoret për të zbuluar dallime më delikate në vlerë në sipërfaqen e tokës. Rezulton se edhe në të njëjtën paralele, vlerat në pika të ndryshme në sipërfaqen e tokës janë të ndryshme. Këto anomali në shpërndarjen e nxitimit të gravitetit shoqërohen me dendësinë e pabarabartë të kores së tokës. Ato përdoren për të studiuar shpërndarjen e densitetit, në veçanti për të zbuluar shfaqjen e ndonjë minerali në koren e tokës. Ndryshime të gjera gravimetrike, të cilat bënë të mundur gjykimin e shfaqjes së masave të dendura, u kryen në BRSS në rajonin e të ashtuquajturës anomali magnetike Kursk (shih Vëllimi II, § 130) nën udhëheqjen e fizikanit sovjetik Pyotr Petrovich. Lazarev. Në kombinim me të dhënat mbi anomalinë e fushës magnetike të tokës, këto të dhëna gravimetrike bënë të mundur vendosjen e shpërndarjes së shfaqjes së masave të hekurit që përcaktojnë anomalitë magnetike dhe gravitacionale të Kurskut.
Një sistem mekanik që përbëhet nga një pikë (trup) materiale e varur në një fije pa peshë të pazgjatur (masa e saj është e papërfillshme në krahasim me peshën e trupit) në një fushë gravitacionale uniforme quhet lavjerrësi matematikor (një emër tjetër është një oshilator). Ka lloje të tjera të kësaj pajisjeje. Në vend të një fije, mund të përdoret një shufër pa peshë. Një lavjerrës matematikor mund të zbulojë qartë thelbin e shumë fenomeneve interesante. Kur amplituda e vibrimit është e vogël, lëvizja e saj quhet harmonike.
Pasqyrë e Sistemit Mekanik
Formula për periudhën e lëkundjes së këtij lavjerrësi është nxjerrë nga shkencëtari holandez Huygens (1629-1695). Ky bashkëkohës i I. Njutonit ishte shumë i interesuar për këtë sistem mekanik. Në vitin 1656 ai krijoi orën e parë me një mekanizëm lavjerrës. Ata matën kohën me saktësi të jashtëzakonshme për ato kohë. Kjo shpikje u bë një fazë kryesore në zhvillimin e eksperimenteve fizike dhe aktiviteteve praktike.
Nëse lavjerrësi është në pozicionin e ekuilibrit (i varur vertikalisht), ai do të balancohet nga forca e tensionit të fillit. Një lavjerrës i sheshtë në një fije të pazgjatshme është një sistem me dy shkallë lirie me bashkim. Kur ndryshoni vetëm një komponent, karakteristikat e të gjitha pjesëve të tij ndryshojnë. Pra, nëse filli zëvendësohet me një shufër, atëherë ky sistem mekanik do të ketë vetëm 1 shkallë lirie. Çfarë veti ka një lavjerrës matematikor? Në këtë sistem më të thjeshtë, kaosi lind nën ndikimin e shqetësimeve periodike. Në rastin kur pika e pezullimit nuk lëviz, por lëkundet, lavjerrësi ka një pozicion të ri ekuilibri. Me lëkundjet e shpejta lart e poshtë, ky sistem mekanik fiton një pozicion të qëndrueshëm "përmbys". Ka edhe emrin e vet. Quhet lavjerrësi i Kapitzës.
Vetitë e lavjerrësit
Lavjerrësi matematikor ka veti shumë interesante. Të gjitha ato konfirmohen nga ligjet e njohura fizike. Periudha e lëkundjes së çdo lavjerrës tjetër varet nga rrethana të ndryshme, të tilla si madhësia dhe forma e trupit, distanca midis pikës së pezullimit dhe qendrës së gravitetit dhe shpërndarja e masës në lidhje me këtë pikë. Kjo është arsyeja pse përcaktimi i periudhës së varjes së një trupi është një detyrë mjaft e vështirë. Është shumë më e lehtë të llogaritet periudha e një lavjerrës matematikor, formula e të cilit do të jepet më poshtë. Si rezultat i vëzhgimeve të sistemeve të ngjashme mekanike, mund të përcaktohen modelet e mëposhtme:
Nëse, duke ruajtur të njëjtën gjatësi të lavjerrësit, ne pezullojmë pesha të ndryshme, atëherë periudha e lëkundjeve të tyre do të jetë e njëjtë, megjithëse masat e tyre do të ndryshojnë shumë. Rrjedhimisht, periudha e një lavjerrës të tillë nuk varet nga masa e ngarkesës.
Nëse, gjatë fillimit të sistemit, lavjerrësi devijohet në kënde jo shumë të mëdha, por të ndryshme, atëherë ai do të fillojë të lëkundet me të njëjtën periudhë, por me amplituda të ndryshme. Për sa kohë që devijimet nga qendra e ekuilibrit nuk janë shumë të mëdha, dridhjet në formën e tyre do të jenë mjaft afër atyre harmonike. Periudha e një lavjerrësi të tillë nuk varet në asnjë mënyrë nga amplituda osciluese. Kjo pronë e një sistemi mekanik të caktuar quhet izokronizëm (përkthyer nga greqishtja "chronos" - kohë, "isos" - e barabartë).
Periudha e një lavjerrësi matematik
Ky tregues paraqet periudhën e lëkundjeve natyrore. Pavarësisht formulimit kompleks, vetë procesi është shumë i thjeshtë. Nëse gjatësia e fillit të një lavjerrësi matematikor është L, dhe nxitimi i rënies së lirë është g, atëherë kjo vlerë është e barabartë me:
Periudha e të voglave nuk varet në asnjë mënyrë nga masa e lavjerrësit dhe amplituda e lëkundjeve. Në këtë rast, lavjerrësi lëviz si matematik me një gjatësi të caktuar.
Lëkundjet e një lavjerrësi matematik
Një lavjerrës matematikor lëkundet, i cili mund të përshkruhet nga një ekuacion i thjeshtë diferencial:
x + ω2 sin x = 0,
ku x (t) është një funksion i panjohur (ky është këndi i devijimit nga pozicioni i ekuilibrit më të ulët në momentin t, i shprehur në radianë); ω është një konstante pozitive, e cila përcaktohet nga parametrat e lavjerrësit (ω = √g/L, ku g është nxitimi i gravitetit dhe L është gjatësia e lavjerrësit matematikor (pezullimi).
Ekuacioni për dridhjet e vogla pranë pozicionit të ekuilibrit (ekuacioni harmonik) duket si ky:
x + ω2 sin x = 0
Lëvizjet osciluese të lavjerrësit
Një lavjerrës matematik, i cili bën lëkundje të vogla, lëviz përgjatë një sinusoidi. Ekuacioni diferencial i rendit të dytë plotëson të gjitha kërkesat dhe parametrat e një lëvizjeje të tillë. Për të përcaktuar trajektoren, është e nevojshme të vendosni shpejtësinë dhe koordinatat, nga të cilat më pas përcaktohen konstantet e pavarura:
x = Një mëkat (θ 0 + ωt),
ku θ 0 është faza fillestare, A është amplituda e lëkundjes, ω është frekuenca ciklike e përcaktuar nga ekuacioni i lëvizjes.
Lavjerrësi matematikor (formula për amplituda të mëdha)
Ky sistem mekanik, i cili lëkundet me një amplitudë të konsiderueshme, i nënshtrohet ligjeve më komplekse të lëvizjes. Për një lavjerrës të tillë ato llogariten sipas formulës:
sin x/2 = u * sn(ωt/u),
ku sn është sinusi Jacobi, i cili për u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:
u = (ε + ω2)/2ω2,
ku ε = E/mL2 (mL2 është energjia e lavjerrësit).
Periudha e lëkundjes së një lavjerrës jolinear përcaktohet duke përdorur formulën:
ku Ω = π/2 * ω/2K(u), K është integrali eliptik, π - 3,14.
Lëvizja e një lavjerrës përgjatë një separatriksi
Një separatrix është trajektorja e një sistemi dinamik që ka një hapësirë fazore dydimensionale. Një lavjerrës matematikor lëviz përgjatë tij jo periodikisht. Në një moment pafundësisht të largët në kohë, ai bie nga pozicioni i tij më i lartë në anën me shpejtësi zero, pastaj gradualisht e fiton atë. Ai përfundimisht ndalon, duke u kthyer në pozicionin e tij origjinal.
Nëse amplituda e lëkundjeve të lavjerrësit i afrohet numrit π , kjo tregon se lëvizja në planin fazor po i afrohet ndarjes. Në këtë rast, nën ndikimin e një force të vogël periodike lëvizëse, sistemi mekanik shfaq sjellje kaotike.
Kur një lavjerrës matematik devijon nga pozicioni i ekuilibrit me një kënd të caktuar φ, lind një forcë tangjenciale e gravitetit Fτ = -mg sin φ. Shenja minus do të thotë që ky komponent tangjencial është i drejtuar në drejtim të kundërt me devijimin e lavjerrësit. Kur shënojmë me x zhvendosjen e lavjerrësit përgjatë një harku rrethor me rreze L, zhvendosja këndore e tij është e barabartë me φ = x/L. Ligji i dytë, i destinuar për projeksione dhe forcë, do të japë vlerën e dëshiruar:
mg τ = Fτ = -mg sin x/L
Bazuar në këtë marrëdhënie, është e qartë se ky lavjerrës është një sistem jolinear, pasi forca që tenton ta kthejë atë në pozicionin e ekuilibrit është gjithmonë proporcionale jo me zhvendosjen x, por me sin x/L.
Vetëm kur një lavjerrës matematikor kryen lëkundje të vogla është një oshilator harmonik. Me fjalë të tjera, ai bëhet një sistem mekanik i aftë për të kryer lëkundje harmonike. Ky përafrim është praktikisht i vlefshëm për këndet 15-20°. Lëkundjet e një lavjerrës me amplituda të mëdha nuk janë harmonike.
Ligji i Njutonit për lëkundjet e vogla të lavjerrësit
Nëse një sistem i caktuar mekanik kryen lëkundje të vogla, ligji i 2-të i Njutonit do të duket kështu:
mg τ = Fτ = -m* g/L* x.
Bazuar në këtë, mund të konkludojmë se një lavjerrës matematik është proporcional me zhvendosjen e tij me një shenjë minus. Kjo është gjendja për shkak të së cilës sistemi bëhet një oshilator harmonik. Moduli i koeficientit të proporcionalitetit ndërmjet zhvendosjes dhe nxitimit është i barabartë me katrorin e frekuencës rrethore:
ω02 = g/L; ω0 = √ g/L.
Kjo formulë pasqyron frekuencën natyrore të lëkundjeve të vogla të këtij lloji të lavjerrësit. Nisur nga kjo,
T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.
Llogaritjet e bazuara në ligjin e ruajtjes së energjisë
Vetitë e një lavjerrës mund të përshkruhen gjithashtu duke përdorur ligjin e ruajtjes së energjisë. Duhet të kihet parasysh se lavjerrësi në fushën gravitacionale është i barabartë me:
E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2
Totali është i barabartë me potencialin kinetik ose maksimal: Epmax = Ekmsx = E
Pasi të shkruhet ligji i ruajtjes së energjisë, merrni derivatin e anës së djathtë dhe të majtë të ekuacionit:
Meqenëse derivati i sasive konstante është i barabartë me 0, atëherë (Ep + Ek)" = 0. Derivati i shumës është i barabartë me shumën e derivateve:
Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" = mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,
prandaj:
Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.
Bazuar në formulën e fundit gjejmë: α = - g/L*x.
Zbatimi praktik i lavjerrësit matematik
Përshpejtimi ndryshon me gjerësinë gjeografike, sepse dendësia e kores së Tokës nuk është e njëjtë në të gjithë planetin. Aty ku ndodhin shkëmbinj me densitet më të lartë, do të jetë pak më i lartë. Përshpejtimi i një lavjerrës matematikor përdoret shpesh për eksplorimin gjeologjik. Përdoret për të kërkuar minerale të ndryshme. Thjesht duke numëruar numrin e lëkundjeve të një lavjerrës, mund të zbuloni qymyr ose xehe në zorrët e Tokës. Kjo për faktin se fosile të tilla kanë një densitet dhe masë më të madhe se shkëmbinjtë e lirshëm themelorë.
Lavjerrësi matematikor u përdor nga shkencëtarë të tillë të shquar si Sokrati, Aristoteli, Platoni, Plutarku, Arkimedi. Shumë prej tyre besonin se ky sistem mekanik mund të ndikonte në fatin dhe jetën e një personi. Arkimedi përdori një lavjerrës matematikor në llogaritjet e tij. Në ditët e sotme, shumë okultistë dhe psikikë përdorin këtë sistem mekanik për të përmbushur profecitë e tyre ose për të kërkuar njerëz të zhdukur.
Astronomi dhe natyralisti i famshëm francez K. Flammarion përdori gjithashtu një lavjerrës matematikor për kërkimin e tij. Ai pretendoi se me ndihmën e tij ishte në gjendje të parashikonte zbulimin e një planeti të ri, shfaqjen e meteorit Tunguska dhe ngjarje të tjera të rëndësishme. Gjatë Luftës së Dytë Botërore, në Gjermani (Berlin) veproi një Instituti i specializuar Pendulum. Në ditët e sotme, Instituti i Parapsikologjisë së Mynihut është i angazhuar në kërkime të ngjashme. Punonjësit e këtij institucioni e quajnë punën e tyre me lavjerrësin "radiesthesia".
Lavjerrësi matematikor quaj një pikë materiale të varur në një fije pa peshë dhe të pazgjatur të lidhur me pezullimin dhe e vendosur në fushën e gravitetit (ose forcës tjetër).
Le të studiojmë lëkundjet e një lavjerrës matematikor në një kornizë inerciale referimi, në lidhje me të cilën pika e pezullimit të tij është në prehje ose lëviz në mënyrë të njëtrajtshme në një vijë të drejtë. Ne do të neglizhojmë forcën e rezistencës së ajrit (lavjerrësi ideal matematikor). Fillimisht, lavjerrësi është në qetësi në pozicionin e ekuilibrit C. Në këtë rast, forca e rëndesës dhe forca elastike F?ynp e fillit që vepron mbi të kompensohen reciprokisht.
Le ta heqim lavjerrësin nga pozicioni i ekuilibrit (duke e devijuar, për shembull, në pozicionin A) dhe ta lëshojmë pa një shpejtësi fillestare (Fig. 1). Në këtë rast, forcat nuk balancojnë njëra-tjetrën. Komponenti tangjencial i gravitetit, duke vepruar në lavjerrës, i jep nxitim tangjencial a?? (komponent i nxitimit total të drejtuar përgjatë tangjentes në trajektoren e lavjerrësit matematik), dhe lavjerrësi fillon të lëvizë drejt pozicionit të ekuilibrit me një shpejtësi që rritet në vlerë absolute. Përbërësi tangjencial i gravitetit është kështu një forcë rikuperuese. Komponenti normal i gravitetit drejtohet përgjatë fillit kundër forcës elastike. Rezultantja e forcave i jep lavjerrës nxitim normal, i cili ndryshon drejtimin e vektorit të shpejtësisë dhe lavjerrësi lëviz përgjatë harkut ABCD.
Sa më shumë që lavjerrësi t'i afrohet pozicionit të ekuilibrit C, aq më e vogël bëhet vlera e komponentit tangjencial. Në pozicionin e ekuilibrit, është e barabartë me zero, dhe shpejtësia arrin vlerën e saj maksimale, dhe lavjerrësi lëviz më tej nga inercia, duke u ngritur në një hark lart. Në këtë rast, komponenti drejtohet kundër shpejtësisë. Ndërsa këndi i devijimit a rritet, madhësia e forcës rritet, dhe madhësia e shpejtësisë zvogëlohet, dhe në pikën D shpejtësia e lavjerrësit bëhet zero. Lavjerrësi ndalon për një moment dhe më pas fillon të lëvizë në drejtim të kundërt me pozicionin e ekuilibrit. Pasi e ka kaluar përsëri me inerci, lavjerrësi, duke ngadalësuar lëvizjen e tij, do të arrijë në pikën A (nuk ka fërkim), d.m.th. do të përfundojë një lëkundje të plotë. Pas kësaj, lëvizja e lavjerrësit do të përsëritet në sekuencën e përshkruar tashmë.
Le të marrim një ekuacion që përshkruan lëkundjet e lira të një lavjerrës matematikor.
Le të jetë lavjerrësi në një moment të caktuar kohor në pikën B. Zhvendosja e tij S nga pozicioni i ekuilibrit në këtë moment është i barabartë me gjatësinë e harkut SV (d.m.th. S = |SV|). Le të shënojmë gjatësinë e fillit të pezullimit si l dhe masën e lavjerrësit si m.
Nga Figura 1 është e qartë se ku . Prandaj, në kënde të vogla () lavjerrësi devijohet
Shenja minus vendoset në këtë formulë sepse komponenti tangjencial i gravitetit është i drejtuar drejt pozicionit të ekuilibrit, dhe zhvendosja llogaritet nga pozicioni i ekuilibrit.
Sipas ligjit të dytë të Njutonit. Le të projektojmë sasitë vektoriale të këtij ekuacioni në drejtimin e tangjentes me trajektoren e lavjerrësit matematik
Nga këto ekuacione marrim
Ekuacioni dinamik i lëvizjes së lavjerrësit matematik. Nxitimi tangjencial i një lavjerrësi matematik është proporcional me zhvendosjen e tij dhe drejtohet drejt pozicionit të ekuilibrit. Ky ekuacion mund të shkruhet si
Krahasimi i tij me ekuacionin e vibrimit harmonik 
, mund të konkludojmë se lavjerrësi matematik kryen lëkundje harmonike. Dhe meqenëse lëkundjet e konsideruara të lavjerrës ndodhën vetëm nën ndikimin e forcave të brendshme, këto ishin lëkundje të lira të lavjerrësit. Rrjedhimisht, lëkundjet e lira të një lavjerrës matematikor me devijime të vogla janë harmonike.
Le të shënojmë
Frekuenca ciklike e lëkundjeve të lavjerrësit.
Periudha e lëkundjes së një lavjerrës. Prandaj,
Kjo shprehje quhet formula e Huygens-it. Ai përcakton periudhën e lëkundjeve të lira të një lavjerrësi matematikor. Nga formula rrjedh se në kënde të vogla të devijimit nga pozicioni i ekuilibrit, periudha e lëkundjes së një lavjerrës matematik është:
- nuk varet nga masa e saj dhe amplituda e vibrimit;
- është proporcionale me rrënjën katrore të gjatësisë së lavjerrësit dhe në përpjesëtim të zhdrejtë me rrënjën katrore të nxitimit të gravitetit.
Kjo është në përputhje me ligjet eksperimentale të lëkundjeve të vogla të një lavjerrës matematikor, të cilat u zbuluan nga G. Galileo.
Theksojmë se kjo formulë mund të përdoret për të llogaritur periudhën nëse dy kushte plotësohen njëkohësisht:
- lëkundjet e lavjerrësit duhet të jenë të vogla;
- pika e pezullimit të lavjerrësit duhet të jetë në qetësi ose të lëvizë në mënyrë të njëtrajtshme në një vijë të drejtë në lidhje me kornizën e referencës inerciale në të cilën ndodhet.
Nëse pika e pezullimit të një lavjerrësi matematikor lëviz me nxitim, atëherë forca e tensionit të fillit ndryshon, gjë që çon në një ndryshim në forcën e rivendosjes dhe, rrjedhimisht, në frekuencën dhe periudhën e lëkundjeve. Siç tregojnë llogaritjet, periudha e lëkundjes së lavjerrësit në këtë rast mund të llogaritet duke përdorur formulën
ku është nxitimi “efektiv” i lavjerrësit në një kornizë referimi joinerciale. Është e barabartë me shumën gjeometrike të nxitimit të rënies së lirë dhe vektorit të kundërt me vektorin, d.m.th. mund të llogaritet duke përdorur formulën
Përkufizimi
Lavjerrësi i matematikës- ky është një sistem oscilues, i cili është një rast i veçantë i një lavjerrësi fizik, e gjithë masa e të cilit është e përqendruar në një pikë, qendra e masës së lavjerrësit.
Zakonisht një lavjerrës matematikor përfaqësohet si një top i varur në një fije të gjatë pa peshë dhe të pazgjatur. Ky është një sistem i idealizuar që kryen lëkundje harmonike nën ndikimin e gravitetit. Një përafrim i mirë me një lavjerrës matematikor është një top i vogël masiv që lëkundet në një fije të hollë të gjatë.
Galileo ishte i pari që studioi vetitë e një lavjerrës matematikor duke ekzaminuar lëkundjen e një llambadari në një zinxhir të gjatë. Ai zbuloi se periudha e lëkundjes së një lavjerrës matematikor nuk varet nga amplituda. Nëse, gjatë lëshimit të lavjerrësit, ai devijohet në kënde të ndryshme të vogla, atëherë lëkundjet e tij do të ndodhin me të njëjtën periudhë, por amplituda të ndryshme. Kjo veti quhet izokronizëm.
Ekuacioni i lëvizjes së lavjerrësit matematik
Një lavjerrës matematik është një shembull klasik i një oshilatori harmonik. Ai kryen lëkundje harmonike, të cilat përshkruhen nga ekuacioni diferencial:
\[\ddot(\varphi)+(\omega)^2_0\varphi =0\ \majtas(1\djathtas),\]
ku $\varphi $ është këndi i devijimit të fillit (suspensionit) nga pozicioni i ekuilibrit.
Zgjidhja e ekuacionit (1) është funksioni $\varphi (t):$
\[\varphi (t)=(\varphi )_0(\cos \left((\omega)_0t+\alfa \djathtas)\left(2\djathtas),\ )\]
ku $\alfa $ është faza fillestare e lëkundjeve; $(\varphi )_0$ - amplituda e lëkundjeve; $(\omega )_0$ - frekuencë ciklike.
Lëkundjet e një oshilatori harmonik janë një shembull i rëndësishëm i lëvizjes periodike. Oscilatori shërben si model në shumë probleme të mekanikës klasike dhe kuantike.
Frekuenca ciklike dhe periudha e lëkundjes së lavjerrësit matematik
Frekuenca ciklike e një lavjerrës matematik varet vetëm nga gjatësia e pezullimit të tij:
\[\ (\omega )_0=\sqrt(\frac(g)(l))\majtas(3\djathtas).\]
Periudha e lëkundjes së një lavjerrës matematikor ($T$) në këtë rast është e barabartë me:
Shprehja (4) tregon se periudha e një lavjerrës matematikor varet vetëm nga gjatësia e pezullimit të tij (distanca nga pika e pezullimit deri në qendrën e gravitetit të ngarkesës) dhe nga nxitimi i gravitetit.
Ekuacioni i energjisë për një lavjerrës matematikor
Kur shqyrtojmë lëkundjet e sistemeve mekanike me një shkallë lirie, ato shpesh marrin si pikënisje jo ekuacionet e lëvizjes së Njutonit, por ekuacionin e energjisë. Meqenëse është më e lehtë të kompozohet, dhe është një ekuacion i rendit të parë në kohë. Le të supozojmë se nuk ka fërkime në sistem. Ne shkruajmë ligjin e ruajtjes së energjisë për një lavjerrës matematikor që kryen lëkundje të lira (lëkundje të vogla) si:
ku $E_k$ është energjia kinetike e lavjerrësit; $E_p$ është energjia potenciale e lavjerrësit; $v$ është shpejtësia e lavjerrësit; $x$ është zhvendosja lineare e peshës së lavjerrësit nga pozicioni i ekuilibrit përgjatë një harku rrethor me rreze $l$, ndërsa këndi - zhvendosja lidhet me $x$ si:
\[\varphi =\frac(x)(l)\majtas(6\djathtas).\]
Vlera maksimale e energjisë potenciale të një lavjerrës matematik është:
Vlera maksimale e energjisë kinetike:
ku $h_m$ është lartësia maksimale e lavjerrësit; $x_m$ është devijimi maksimal i lavjerrësit nga pozicioni i ekuilibrit; $v_m=(\omega )_0x_m$ - shpejtësia maksimale.
Shembuj të problemeve me zgjidhje
Shembulli 1
Ushtrimi. Sa është lartësia maksimale e ngritjes së topit të një lavjerrësi matematik nëse shpejtësia e lëvizjes së tij kur kalon në pozicionin e ekuilibrit ishte $v$?
Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim.
Le të jetë energjia potenciale e topit zero në pozicionin e tij të ekuilibrit (pika 0) Në këtë pikë, shpejtësia e topit është maksimale dhe e barabartë me $v$ sipas kushteve të problemit. Në pikën e ngritjes maksimale të topit mbi pozicionin e ekuilibrit (pika A), shpejtësia e topit është zero, energjia potenciale është maksimale. Le të shkruajmë ligjin e ruajtjes së energjisë për dy pozicionet e konsideruara të topit:
\[\frac(mv^2)(2)=mgh\ \majtas(1.1\djathtas).\]
Nga ekuacioni (1.1) gjejmë lartësinë e kërkuar:
Përgjigju.$h=\frac(v^2)(2g)$
Shembulli 2
Ushtrimi. Sa është nxitimi i gravitetit nëse një lavjerrës matematik me gjatësi $l=1\ m$ lëkundet me një periodë të barabartë me $T=2\ s$? Konsideroni që lëkundjet e një lavjerrës matematikor të jenë të vogla.\textit()
Zgjidhje. Si bazë për zgjidhjen e problemit, marrim formulën për llogaritjen e periudhës së lëkundjeve të vogla:
Le të shprehim përshpejtimin prej tij:
Le të llogarisim nxitimin për shkak të gravitetit:
Përgjigju.$g=9,87\ \frac(m)(s^2)$