„Wypadki nie są przypadkowe”… Brzmi to jak powiedzenie filozofa, ale tak naprawdę badanie przypadkowości jest przeznaczeniem wielkiej nauki, jaką jest matematyka. W matematyce przypadek zajmuje się teorią prawdopodobieństwa. W artykule zostaną zaprezentowane wzory i przykłady zadań, a także podstawowe definicje tej nauki.

Co to jest teoria prawdopodobieństwa?

Teoria prawdopodobieństwa jest jedną z dyscyplin matematycznych badającą zdarzenia losowe.

Aby było to trochę jaśniejsze, podamy mały przykład: jeśli rzucisz monetę w górę, może wypaść orzeł lub reszka. Gdy moneta jest w powietrzu, możliwe są oba prawdopodobieństwa. Oznacza to, że prawdopodobieństwo możliwych konsekwencji wynosi 1:1. Jeśli zostanie wylosowany z talii 36 kart, prawdopodobieństwo zostanie wskazane jako 1:36. Wydawać by się mogło, że nie ma tu co badać i przewidywać, zwłaszcza za pomocą wzorów matematycznych. Jeśli jednak powtarzasz daną czynność wiele razy, możesz zidentyfikować pewien wzorzec i na jego podstawie przewidzieć wynik zdarzeń w innych warunkach.

Podsumowując wszystko powyższe, teoria prawdopodobieństwa w klasycznym sensie bada możliwość wystąpienia jednego z możliwych zdarzeń w wartości liczbowej.

Z kart historii

Teoria prawdopodobieństwa, wzory i przykłady pierwszych zadań pojawiły się w odległym średniowieczu, kiedy pojawiły się pierwsze próby przewidywania wyniku gier karcianych.

Początkowo teoria prawdopodobieństwa nie miała nic wspólnego z matematyką. Uzasadniano to faktami empirycznymi lub właściwościami zdarzenia dającymi się odtworzyć w praktyce. Pierwsze prace z tego zakresu jako dyscypliny matematycznej pojawiły się w XVII wieku. Założycielami byli Blaise Pascal i Pierre Fermat. Długo studiowali hazard i dostrzegli pewne prawidłowości, o których postanowili powiedzieć opinii publicznej.

Tę samą technikę wynalazł Christiaan Huygens, choć nie znał wyników badań Pascala i Fermata. Wprowadził on pojęcie „teorii prawdopodobieństwa”, wzory i przykłady, które uważane są za pierwsze w historii dyscypliny.

Niemałe znaczenie mają także prace Jacoba Bernoulliego, twierdzenia Laplace'a i Poissona. Sprawili, że teoria prawdopodobieństwa bardziej przypominała dyscyplinę matematyczną. Teoria prawdopodobieństwa, wzory i przykłady podstawowych zadań otrzymały swoją obecną formę dzięki aksjomatom Kołmogorowa. W wyniku tych wszystkich zmian teoria prawdopodobieństwa stała się jedną z gałęzi matematyki.

Podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa. Wydarzenia

Główną koncepcją tej dyscypliny jest „wydarzenie”. Istnieją trzy typy wydarzeń:

• Niezawodny. Te, które i tak się wydarzą (moneta spadnie).
• Niemożliwe. Wydarzenia, które w żadnym wypadku nie będą miały miejsca (moneta pozostanie w powietrzu).
• Losowy. Te, które się wydarzą lub nie. Wpływ na nie mogą mieć różne czynniki, które są bardzo trudne do przewidzenia. Jeśli mówimy o monecie, na wynik mogą mieć wpływ czynniki losowe: cechy fizyczne monety, jej kształt, pierwotne położenie, siła rzutu itp.

Wszystkie zdarzenia w przykładach oznaczono wielkimi literami łacińskimi, z wyjątkiem P, które pełni inną rolę. Na przykład:

• A = „studenci przyszli na wykład”.
• Ā = „studenci nie przyszli na wykład”.

W zadaniach praktycznych zdarzenia są zwykle zapisywane słownie.

Jedną z najważniejszych cech zdarzeń jest ich równość możliwości. Oznacza to, że jeśli rzucisz monetą, możliwe są wszystkie warianty początkowego upadku, dopóki nie spadnie. Ale zdarzenia również nie są równie możliwe. Dzieje się tak, gdy ktoś celowo wpływa na wynik. Na przykład „oznaczone” karty do gry lub kości, w których środek ciężkości jest przesunięty.

Zdarzenia mogą być również kompatybilne i niekompatybilne. Zdarzenia zgodne nie wykluczają wzajemnego wystąpienia. Na przykład:

• A = „uczeń przyszedł na wykład”.
• B = „uczeń przyszedł na wykład”.

Zdarzenia te są od siebie niezależne i wystąpienie jednego z nich nie ma wpływu na wystąpienie drugiego. Zdarzenia niezgodne definiuje się przez fakt, że wystąpienie jednego wyklucza wystąpienie drugiego. Jeśli mówimy o tej samej monecie, to utrata „resztek” uniemożliwia pojawienie się „resztek” w tym samym eksperymencie.

Działania na zdarzeniach

Zdarzenia można mnożyć i dodawać, dlatego w dyscyplinie wprowadza się spójniki logiczne „AND” i „OR”.

Kwota jest ustalana na podstawie faktu, że zdarzenie A, B lub dwa mogą wystąpić jednocześnie. Jeśli są one niezgodne, ostatnia opcja jest niemożliwa; zostanie wyrzucony albo A, albo B.

Mnożenie zdarzeń polega na jednoczesnym pojawieniu się A i B.

Teraz możemy podać kilka przykładów, aby lepiej zapamiętać podstawy, teorię prawdopodobieństwa i wzory. Poniżej przykłady rozwiązań problemów.

Ćwiczenie 1: Firma bierze udział w konkursie na kontrakty na trzy rodzaje prac. Możliwe zdarzenia, które mogą wystąpić:

• A = „firma otrzyma pierwszy kontrakt”.
• A 1 = „firma nie otrzyma pierwszego kontraktu”.
• B = „firma otrzyma drugi kontrakt”.
• B 1 = „firma nie otrzyma drugiego zamówienia”
• C = „firma otrzyma trzeci kontrakt”.
• C 1 = „firma nie otrzyma trzeciego kontraktu”.

Używając akcji na zdarzeniach, spróbujemy wyrazić następujące sytuacje:

• K = „firma otrzyma wszystkie kontrakty”.

W formie matematycznej równanie będzie miało następującą postać: K = ABC.

• M = „firma nie otrzyma ani jednego kontraktu.”

M = ZA 1 B 1 do 1.

Skomplikujmy zadanie: H = „firma otrzyma jeden kontrakt”. Ponieważ nie wiadomo, jaki kontrakt otrzyma firma (pierwszy, drugi czy trzeci), konieczne jest odnotowanie całego ciągu możliwych zdarzeń:

H = ZA 1 BC 1 υ AB 1 do 1 υ ZA 1 B 1 C.

A 1 p.n.e. 1 to seria wydarzeń, w których firma nie otrzymuje pierwszego i trzeciego kontraktu, ale otrzymuje drugi. Inne możliwe zdarzenia rejestrowano przy użyciu odpowiedniej metody. Symbol υ w dyscyplinie oznacza łącznik „OR”. Jeśli przełożymy powyższy przykład na ludzki język, firma otrzyma albo trzeci kontrakt, albo drugi, albo pierwszy. W podobny sposób możesz zapisać inne warunki w dyscyplinie „Teoria prawdopodobieństwa”. Przedstawione powyżej formuły i przykłady rozwiązywania problemów pomogą Ci to zrobić samodzielnie.

Właściwie prawdopodobieństwo

Być może w tej dyscyplinie matematycznej prawdopodobieństwo zdarzenia jest pojęciem centralnym. Istnieją 3 definicje prawdopodobieństwa:

• klasyczny;
• statystyczny;
• geometryczny.

Każdy ma swoje miejsce w badaniu prawdopodobieństwa. Teoria prawdopodobieństwa, wzory i przykłady (9. klasa) korzystają głównie z klasycznej definicji, która brzmi następująco:

• Prawdopodobieństwo sytuacji A jest równe stosunkowi liczby wyników sprzyjających jej wystąpieniu do liczby wszystkich możliwych wyników.

Wzór wygląda następująco: P(A)=m/n.

A jest właściwie wydarzeniem. Jeśli pojawi się przypadek przeciwny do A, można go zapisać jako Ā lub A 1 .

m to liczba możliwych korzystnych przypadków.

n - wszystkie zdarzenia, które mogą się wydarzyć.

Na przykład A = „dobierz kartę w kolorze kier”. W standardowej talii znajduje się 36 kart, z czego 9 to kier. W związku z tym formuła rozwiązania problemu będzie wyglądać następująco:

P(A)=9/36=0,25.

W rezultacie prawdopodobieństwo, że z talii zostanie wylosowana karta w kolorze kier, wyniesie 0,25.

W stronę wyższej matematyki

Teraz mało wiadomo, czym jest teoria prawdopodobieństwa, wzory i przykłady rozwiązywania problemów, które pojawiają się w szkolnym programie nauczania. Jednak teorię prawdopodobieństwa można znaleźć także w wyższej matematyce, której wykłada się na uniwersytetach. Najczęściej operują geometrycznymi i statystycznymi definicjami teorii oraz złożonymi wzorami.

Teoria prawdopodobieństwa jest bardzo interesująca. Lepiej zacząć uczyć się wzorów i przykładów (wyższa matematyka) od małych - ze statystyczną (lub częstotliwościową) definicją prawdopodobieństwa.

Podejście statystyczne nie jest sprzeczne z podejściem klasycznym, lecz nieznacznie je rozszerza. Jeśli w pierwszym przypadku konieczne było określenie, z jakim prawdopodobieństwem wystąpi zdarzenie, to w tej metodzie konieczne jest wskazanie, jak często będzie ono występować. Wprowadzono tutaj nową koncepcję „częstotliwości względnej”, którą można oznaczyć jako Wn (A). Formuła nie różni się od klasycznej:

Jeżeli do predykcji obliczany jest klasyczny wzór, to statystyczny jest obliczany na podstawie wyników eksperymentu. Weźmy na przykład małe zadanie.

Dział kontroli technologicznej sprawdza jakość wyrobów. Spośród 100 produktów 3 uznano za złej jakości. Jak znaleźć prawdopodobieństwo częstotliwości produktu wysokiej jakości?

A = „wygląd produktu wysokiej jakości”.

W n (A) = 97/100 = 0,97

Zatem częstotliwość produktu wysokiej jakości wynosi 0,97. Skąd wziąłeś 97? Na 100 skontrolowanych produktów 3 okazały się złej jakości. Odejmujemy 3 od 100 i otrzymujemy 97, to jest ilość towarów wysokiej jakości.

Trochę o kombinatoryce

Inną metodą teorii prawdopodobieństwa jest kombinatoryka. Jej podstawowa zasada jest taka, że ​​jeśli określonego wyboru A można dokonać na m różnych sposobów i wyboru B można dokonać na n różnych sposobów, to wyboru A i B można dokonać przez pomnożenie.

Na przykład istnieje 5 dróg prowadzących z miasta A do miasta B. Z miasta B do miasta C prowadzą 4 ścieżki. Na ile sposobów można dostać się z miasta A do miasta C?

To proste: 5x4=20, czyli na dwadzieścia różnych sposobów można dostać się z punktu A do punktu C.

Skomplikujmy zadanie. Na ile sposobów można ułożyć karty w pasjansie? W talii znajduje się 36 kart – to jest punkt wyjścia. Aby poznać liczbę sposobów, należy „odejmować” po jednej karcie od punktu początkowego i pomnożyć.

Oznacza to, że 36x35x34x33x32...x2x1= wynik nie mieści się na ekranie kalkulatora, więc można go po prostu oznaczyć jako 36!. Podpisać "!" obok liczby wskazuje, że cały ciąg liczb jest mnożony przez siebie.

W kombinatoryce istnieją takie pojęcia jak permutacja, rozmieszczenie i kombinacja. Każdy z nich ma swoją własną formułę.

Uporządkowany zbiór elementów zbioru nazywa się układem. Miejsca docelowe można powtarzać, czyli jeden element można wykorzystać kilkukrotnie. I bez powtórzeń, gdy elementy się nie powtarzają. n to wszystkie elementy, m to elementy biorące udział w rozmieszczeniu. Wzór na umieszczenie bez powtórzeń będzie wyglądał następująco:

A n m = n!/(n-m)!

Połączenia n elementów różniących się jedynie kolejnością umieszczenia nazywane są permutacjami. W matematyce wygląda to tak: P n = n!

Kombinacje n elementów m to takie związki, w których ważne jest jakie to były pierwiastki i jaka jest ich całkowita liczba. Formuła będzie wyglądać następująco:

A n m = n!/m! (n-m)!

Wzór Bernoulliego

W teorii prawdopodobieństwa, jak w każdej dyscyplinie, znajdują się dzieła wybitnych badaczy w swojej dziedzinie, którzy wynieśli ją na nowy poziom. Jedną z takich prac jest wzór Bernoulliego, który pozwala określić prawdopodobieństwo wystąpienia określonego zdarzenia w niezależnych warunkach. Sugeruje to, że wystąpienie A w eksperymencie nie zależy od wystąpienia lub niewystąpienia tego samego zdarzenia we wcześniejszych lub kolejnych próbach.

Równanie Bernoulliego:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Prawdopodobieństwo (p) wystąpienia zdarzenia (A) jest stałe dla każdej próby. Prawdopodobieństwo, że sytuacja wystąpi dokładnie m razy w n liczbie eksperymentów, zostanie obliczone ze wzoru przedstawionego powyżej. W związku z tym pojawia się pytanie, jak znaleźć liczbę q.

Jeśli zdarzenie A wystąpi p razy, odpowiednio, może nie wystąpić. Jednostka to liczba używana do określenia wszystkich wyników sytuacji w danej dyscyplinie. Zatem q jest liczbą oznaczającą możliwość nie wystąpienia zdarzenia.

Teraz znasz już wzór Bernoulliego (teorię prawdopodobieństwa). Poniżej rozważymy przykłady rozwiązywania problemów (pierwszy poziom).

Zadanie 2: Osoba odwiedzająca sklep dokona zakupu z prawdopodobieństwem 0,2. Do sklepu samodzielnie weszło 6 osób. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odwiedzający dokona zakupu?

Rozwiązanie: Ponieważ nie wiadomo, ilu odwiedzających powinno dokonać zakupu, jednego czy wszystkich sześciu, konieczne jest obliczenie wszystkich możliwych prawdopodobieństw za pomocą wzoru Bernoulliego.

A = „odwiedzający dokona zakupu”.

W tym przypadku: p = 0,2 (jak wskazano w zadaniu). Odpowiednio q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (ponieważ w sklepie jest 6 klientów). Liczba m będzie się wahać od 0 (żaden klient nie dokona zakupu) do 6 (wszyscy odwiedzający sklep coś kupią). W rezultacie otrzymujemy rozwiązanie:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Żaden z kupujących nie dokona zakupu z prawdopodobieństwem 0,2621.

Jak inaczej wykorzystuje się wzór Bernoulliego (teorię prawdopodobieństwa)? Przykłady rozwiązania problemu (drugi poziom) poniżej.

Po powyższym przykładzie pojawiają się pytania, dokąd poszły C i r. Względem p liczba do potęgi 0 będzie równa jeden. Jeśli chodzi o C, można je znaleźć za pomocą wzoru:

Do n m = n! /m!(n-m)!

Ponieważ w pierwszym przykładzie odpowiednio m = 0, C = 1, co w zasadzie nie ma wpływu na wynik. Korzystając z nowego wzoru, spróbujmy dowiedzieć się, jakie jest prawdopodobieństwo, że dwóch odwiedzających dokona zakupu towaru.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teoria prawdopodobieństwa nie jest aż tak skomplikowana. Bezpośrednim dowodem na to jest wzór Bernoulliego, którego przykłady przedstawiono powyżej.

Wzór Poissona

Równanie Poissona służy do obliczania sytuacji losowych o niskim prawdopodobieństwie.

Podstawowa formuła:

P n (m) = λ m /m! × e (-λ) .

W tym przypadku λ = n x p. Oto prosty wzór Poissona (teoria prawdopodobieństwa). Poniżej rozważymy przykłady rozwiązywania problemów.

Zadanie 3: Fabryka wyprodukowała 100 000 części. Wystąpienie wadliwej części = 0,0001. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w partii będzie 5 wadliwych części?

Jak widać małżeństwo jest wydarzeniem mało prawdopodobnym, dlatego do obliczeń używana jest formuła Poissona (teoria prawdopodobieństwa). Przykłady rozwiązywania tego typu problemów nie różnią się od innych zadań z dyscypliny, niezbędne dane podstawiamy do podanego wzoru:

A = „losowo wybrana część będzie wadliwa”.

p = 0,0001 (wg warunków zadania).

n = 100000 (liczba części).

m = 5 (części wadliwe). Podstawiamy dane do wzoru i otrzymujemy:

R 100000 (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0,0375.

Podobnie jak wzór Bernoulliego (teoria prawdopodobieństwa), którego przykłady rozwiązań opisano powyżej, równanie Poissona ma niewiadomą e. W rzeczywistości można je znaleźć za pomocą wzoru:

mi -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Istnieją jednak specjalne tabele, które zawierają prawie wszystkie wartości e.

Twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a

Jeżeli w schemacie Bernoulliego liczba prób jest dostatecznie duża, a prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A we wszystkich schematach jest takie samo, to prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A określoną liczbę razy w serii testów można znaleźć wzorem Wzór Laplace'a:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Aby lepiej zapamiętać wzór Laplace’a (teorię prawdopodobieństwa), poniżej znajdują się przykłady problemów.

Najpierw znajdźmy X m, podstawmy dane (wszystkie są wymienione powyżej) do wzoru i otrzymamy 0,025. Korzystając z tabel, znajdujemy liczbę ϕ(0,025), której wartość wynosi 0,3988. Teraz możesz podstawić wszystkie dane do wzoru:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Zatem prawdopodobieństwo, że ulotka wykona dokładnie 267 razy, wynosi 0,03.

Formuła Bayesa

Wzór Bayesa (teoria prawdopodobieństwa), którego przykłady rozwiązywania problemów zostaną podane poniżej, jest równaniem opisującym prawdopodobieństwo zdarzenia na podstawie okoliczności, które mogą być z nim powiązane. Podstawowa formuła jest następująca:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A i B to zdarzenia określone.

P(A|B) jest prawdopodobieństwem warunkowym, co oznacza, że ​​zdarzenie A może zaistnieć pod warunkiem, że zdarzenie B jest prawdziwe.

P (B|A) - prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia B.

Tak więc ostatnią częścią krótkiego kursu „Teoria prawdopodobieństwa” jest formuła Bayesa, przykłady rozwiązań problemów, które znajdują się poniżej.

Zadanie 5: Na magazyn przywieziono telefony z trzech firm. Jednocześnie udział telefonów produkowanych w pierwszym zakładzie wynosi 25%, w drugim – 60%, w trzecim – 15%. Wiadomo też, że średni odsetek wadliwych produktów w pierwszej fabryce wynosi 2%, w drugiej – 4%, a w trzeciej – 1%. Musisz znaleźć prawdopodobieństwo, że losowo wybrany telefon będzie uszkodzony.

A = „losowo wybrany telefon”.

B 1 - telefon wyprodukowany przez pierwszą fabrykę. Odpowiednio pojawią się wprowadzające B 2 i B 3 (dla drugiej i trzeciej fabryki).

W rezultacie otrzymujemy:

P (B 1) = 25%/100% = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - w ten sposób wyznaczyliśmy prawdopodobieństwo każdej opcji.

Teraz musisz znaleźć prawdopodobieństwa warunkowe pożądanego zdarzenia, czyli prawdopodobieństwo wadliwych produktów w firmach:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Podstawmy teraz dane do wzoru Bayesa i otrzymamy:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

W artykule przedstawiono teorię prawdopodobieństwa, wzory i przykłady rozwiązywania problemów, ale to tylko wierzchołek góry lodowej ogromnej dyscypliny. A po tym wszystkim, co zostało napisane, logiczne będzie zadanie pytania, czy teoria prawdopodobieństwa jest potrzebna w życiu. Zwykłemu człowiekowi trudno odpowiedzieć, lepiej zapytać kogoś, kto skorzystał z tego, aby wygrać jackpot więcej niż raz.

Zdarzenia dziejące się w rzeczywistości lub w naszej wyobraźni można podzielić na 3 grupy. Są to pewne zdarzenia, które na pewno będą miały miejsce, zdarzenia niemożliwe i zdarzenia losowe. Teoria prawdopodobieństwa bada zdarzenia losowe, tj. zdarzenia, które mogą, ale nie muszą, nastąpić. W artykule pokrótce przedstawiona zostanie teoria wzorów prawdopodobieństwa oraz przykłady rozwiązywania problemów z teorii prawdopodobieństwa, które znajdą się w zadaniu 4 Unified State Exam z matematyki (poziom profilu).

Po co nam teoria prawdopodobieństwa?

Historycznie rzecz biorąc, potrzeba zbadania tych problemów pojawiła się w XVII wieku w związku z rozwojem i profesjonalizacją gier hazardowych oraz pojawieniem się kasyn. Było to zjawisko realne, wymagające własnych studiów i badań.

Gra w karty, kości i ruletka stwarzała sytuacje, w których mogło nastąpić dowolne ze skończonej liczby równie możliwych zdarzeń. Zaistniała potrzeba podania liczbowych szacunków możliwości wystąpienia określonego zdarzenia.

W XX wieku stało się jasne, że ta pozornie niepoważna nauka odgrywa ważną rolę w zrozumieniu podstawowych procesów zachodzących w mikrokosmosie. Powstała nowoczesna teoria prawdopodobieństwa.

Podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa

Przedmiotem badań teorii prawdopodobieństwa są zdarzenia i ich prawdopodobieństwa. Jeśli zdarzenie jest złożone, można je rozłożyć na proste elementy, których prawdopodobieństwa można łatwo znaleźć.

Suma zdarzeń A i B nazywana jest zdarzeniem C, co polega na tym, że albo zdarzenie A, albo zdarzenie B, albo zdarzenia A i B wystąpiły jednocześnie.

Iloczynem zdarzeń A i B jest zdarzenie C, co oznacza, że ​​wystąpiło zarówno zdarzenie A, jak i zdarzenie B.

Zdarzenia A i B nazywane są niezgodnymi, jeśli nie mogą wystąpić jednocześnie.

Zdarzenie A nazywamy niemożliwym, jeżeli nie może nastąpić. Zdarzenie takie oznaczone jest symbolem.

Zdarzenie A nazywamy pewnym, jeśli wystąpi z pewnością. Zdarzenie takie oznaczone jest symbolem.

Niech każde zdarzenie A będzie powiązane z liczbą P(A). Ta liczba P(A) nazywana jest prawdopodobieństwem zdarzenia A, jeśli z tą korespondencją spełnione są następujące warunki.

Ważnym przypadkiem szczególnym jest sytuacja, gdy istnieją równie prawdopodobne wyniki elementarne i dowolne ze zdarzeń A. W tym przypadku prawdopodobieństwo można wpisać za pomocą wzoru. Prawdopodobieństwo wprowadzone w ten sposób nazywa się prawdopodobieństwem klasycznym. Można wykazać, że w tym przypadku spełnione są właściwości 1-4.

Problemy z teorii prawdopodobieństwa pojawiające się na egzaminie Unified State Examination z matematyki dotyczą głównie prawdopodobieństwa klasycznego. Takie zadania mogą być bardzo proste. Szczególnie proste są problemy teorii prawdopodobieństwa w wersjach demonstracyjnych. Łatwo jest obliczyć liczbę korzystnych wyników; liczba wszystkich wyników jest zapisana bezpośrednio w warunku.

Odpowiedź otrzymujemy korzystając ze wzoru.

Przykład zadania z Jednolitego Egzaminu Państwowego z matematyki dotyczącego wyznaczania prawdopodobieństwa

Na stole leży 20 placków - 5 z kapustą, 7 z jabłkami i 8 z ryżem. Marina chce wziąć ciasto. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zje ciastko ryżowe?

Rozwiązanie.

Istnieje 20 równie prawdopodobnych wyników elementarnych, co oznacza, że ​​Marina może wziąć dowolny z 20 ciast. Musimy jednak oszacować prawdopodobieństwo, że Marina zje ciasto ryżowe, czyli gdzie A jest wyborem ciasta ryżowego. Oznacza to, że liczba korzystnych wyników (wybór placków z ryżem) wynosi tylko 8. Wtedy prawdopodobieństwo będzie określone według wzoru:

Niezależne, przeciwne i arbitralne zdarzenia

Jednak w otwartym banku zadań zaczęto znajdować bardziej złożone zadania. Dlatego zwróćmy uwagę czytelnika na inne zagadnienia badane w teorii prawdopodobieństwa.

Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeśli prawdopodobieństwo każdego z nich nie zależy od tego, czy zajdzie drugie zdarzenie.

Zdarzenie B to zdarzenie A, które nie miało miejsca, tj. zdarzenie B jest przeciwne do zdarzenia A. Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego jest równe jeden minus prawdopodobieństwo zdarzenia bezpośredniego, tj. .

Twierdzenia o dodawaniu i mnożeniu prawdopodobieństwa, wzory

Dla dowolnych zdarzeń A i B prawdopodobieństwo sumy tych zdarzeń jest równe sumie ich prawdopodobieństw bez prawdopodobieństwa ich wspólnego zdarzenia, tj. .

Dla niezależnych zdarzeń A i B prawdopodobieństwo wystąpienia tych zdarzeń jest równe iloczynowi ich prawdopodobieństw, tj. w tym przypadku .

Ostatnie 2 stwierdzenia nazywane są twierdzeniami o dodawaniu i mnożeniu prawdopodobieństw.

Liczenie liczby wyników nie zawsze jest takie proste. W niektórych przypadkach konieczne jest zastosowanie wzorów kombinatoryki. Najważniejsze jest policzenie liczby zdarzeń spełniających określone warunki. Czasami tego rodzaju obliczenia mogą stać się niezależnymi zadaniami.

Na ile sposobów można posadzić 6 uczniów na 6 wolnych miejscach? Pierwszy uczeń zajmie dowolne z 6 miejsc. Każda z tych opcji odpowiada 5 sposobom zajęcia miejsca przez drugiego ucznia. Zostały 4 wolne miejsca dla trzeciego ucznia, 3 dla czwartego, 2 dla piątego, a jedyne wolne miejsce zajmie szósty. Aby znaleźć liczbę wszystkich opcji, musisz znaleźć produkt, który jest oznaczony symbolem 6! i brzmi „sześć silni”.

W ogólnym przypadku odpowiedź na to pytanie daje wzór na liczbę permutacji n elementów. W naszym przypadku.

Rozważmy teraz inny przypadek z naszymi uczniami. Na ile sposobów można posadzić 2 uczniów na 6 wolnych miejscach? Pierwszy uczeń zajmie dowolne z 6 miejsc. Każda z tych opcji odpowiada 5 sposobom zajęcia miejsca przez drugiego ucznia. Aby znaleźć liczbę wszystkich opcji, musisz znaleźć produkt.

Generalnie odpowiedź na to pytanie daje wzór na liczbę umieszczenia n elementów na k elementach

W naszym przypadku .

I ostatni przypadek z tej serii. Na ile sposobów możesz wybrać trzech uczniów spośród sześciu? Pierwszego ucznia można wybrać na 6 sposobów, drugiego na 5, trzeciego na cztery sposoby. Ale wśród tych opcji ci sami trzej uczniowie pojawiają się 6 razy. Aby znaleźć liczbę wszystkich opcji, musisz obliczyć wartość: . Ogólnie odpowiedź na to pytanie daje wzór na liczbę kombinacji elementów po elemencie:

W naszym przypadku .

Przykłady rozwiązywania problemów z egzaminu państwowego Unified State Exam z matematyki w celu określenia prawdopodobieństwa

Zadanie 1. Ze zbioru pod redakcją. Jaszczenko.

Na talerzu znajduje się 30 placków: 3 z mięsem, 18 z kapustą i 9 z wiśniami. Sasha wybiera losowo jedno ciasto. Znajdź prawdopodobieństwo, że skończy z wiśnią.

.

Odpowiedź: 0,3.

Zadanie 2. Ze zbioru pod redakcją. Jaszczenko.

W każdej partii liczącej 1000 żarówek średnio 20 jest uszkodzonych. Znajdź prawdopodobieństwo, że żarówka wybrana losowo z partii będzie działać.

Rozwiązanie: Liczba działających żarówek wynosi 1000-20=980. Wtedy prawdopodobieństwo, że losowo wybrana z partii żarówka będzie działać:

Odpowiedź: 0,98.

Prawdopodobieństwo, że uczeń U rozwiąże poprawnie więcej niż 9 zadań podczas testu z matematyki, wynosi 0,67. Prawdopodobieństwo, że U. poprawnie rozwiąże więcej niż 8 zadań, wynosi 0,73. Znajdź prawdopodobieństwo, że U rozwiąże poprawnie dokładnie 9 problemów.

Jeśli wyobrazimy sobie oś liczbową i zaznaczymy na niej punkty 8 i 9, to zobaczymy, że warunek „U. rozwiąże poprawnie dokładnie 9 problemów” jest zawarte w warunku „U. rozwiąże poprawnie więcej niż 8 zadań”, ale nie dotyczy warunku „U. rozwiąże poprawnie więcej niż 9 problemów.”

Jednakże warunek „U. rozwiąże poprawnie więcej niż 9 zadań” zawiera się w warunku „U. rozwiąże poprawnie więcej niż 8 problemów.” Jeśli więc wyznaczymy zdarzenia: „U. rozwiąże poprawnie dokładnie 9 problemów” – poprzez A, „U. rozwiąże poprawnie więcej niż 8 problemów” – poprzez B, „U. poprawnie rozwiąże więcej niż 9 problemów” do C. To rozwiązanie będzie wyglądać następująco:

Odpowiedź: 0,06.

Na egzaminie z geometrii student odpowiada na jedno pytanie z listy pytań egzaminacyjnych. Prawdopodobieństwo, że jest to pytanie z trygonometrii, wynosi 0,2. Prawdopodobieństwo, że jest to pytanie dotyczące kątów zewnętrznych, wynosi 0,15. Nie ma pytań, które dotyczą jednocześnie tych dwóch tematów. Znajdź prawdopodobieństwo, że student otrzyma na egzaminie pytanie dotyczące jednego z tych dwóch tematów.

Zastanówmy się, jakie mamy wydarzenia. Mamy do czynienia z dwoma niezgodnymi zdarzeniami. Oznacza to, że albo pytanie będzie dotyczyć tematu „Trygonometria”, albo tematu „Kąty zewnętrzne”. Zgodnie z twierdzeniem o prawdopodobieństwie prawdopodobieństwo niezgodnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw każdego zdarzenia, musimy znaleźć sumę prawdopodobieństw tych zdarzeń, czyli:

Odpowiedź: 0,35.

Pomieszczenie oświetla latarnia z trzema lampami. Prawdopodobieństwo przepalenia się jednej lampy w ciągu roku wynosi 0,29. Znajdź prawdopodobieństwo, że w ciągu roku co najmniej jedna lampa nie przepali się.

Rozważmy możliwe zdarzenia. Mamy trzy żarówki, z których każda może, ale nie musi, przepalić się niezależnie od innej żarówki. To są niezależne wydarzenia.

Następnie wskażemy opcje takich wydarzeń. Stosujmy następujące oznaczenia: - żarówka jest zapalona, ​​- żarówka jest przepalona. I zaraz potem obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia. Przykładowo, prawdopodobieństwo zdarzenia, w którym wystąpiły trzy niezależne zdarzenia „przepaliła się żarówka”, „zapaliła się żarówka”, „zapaliła się żarówka”: , gdzie prawdopodobieństwo zdarzenia „zapaliła się żarówka” świeci” oblicza się jako prawdopodobieństwo zdarzenia odwrotnego do zdarzenia „żarówka nie świeci”, czyli: .

Należy pamiętać, że korzystnych dla nas zdarzeń niezgodnych jest tylko 7. Prawdopodobieństwo takich zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw każdego ze zdarzeń: .

Odpowiedź: 0,975608.

Na rysunku widać kolejny problem:

W ten sposób zrozumieliśmy, czym jest teoria prawdopodobieństwa, wzory i przykłady rozwiązywania problemów, które możesz napotkać w wersji Unified State Exam.

W ekonomii, podobnie jak w innych obszarach działalności człowieka czy w przyrodzie, nieustannie mamy do czynienia ze zdarzeniami, których nie da się dokładnie przewidzieć. Zatem wielkość sprzedaży produktu zależy od popytu, który może się znacznie różnić, a także od wielu innych czynników, których prawie nie można wziąć pod uwagę. Dlatego organizując produkcję i prowadząc sprzedaż, trzeba przewidzieć wynik takich działań na podstawie albo własnych, wcześniejszych doświadczeń, albo podobnych doświadczeń innych osób, albo intuicji, która w dużej mierze opiera się także na danych eksperymentalnych.

Aby w jakiś sposób ocenić dane wydarzenie, należy wziąć pod uwagę lub specjalnie zorganizować warunki, w jakich to wydarzenie jest rejestrowane.

Nazywa się wdrożeniem określonych warunków lub działań mających na celu identyfikację danego zdarzenia doświadczenie Lub eksperyment.

Wydarzenie nazywa się losowy, jeśli w wyniku doświadczenia może to nastąpić lub nie.

Wydarzenie nazywa się niezawodny, jeśli koniecznie pojawia się w wyniku danego doświadczenia, oraz niemożliwe, jeśli nie może pojawić się w tym doświadczeniu.

Na przykład opady śniegu w Moskwie 30 listopada są zdarzeniem losowym. Codzienny wschód słońca można uznać za wydarzenie wiarygodne. Opady śniegu na równiku można uznać za wydarzenie niemożliwe.

Jednym z głównych zadań teorii prawdopodobieństwa jest określenie ilościowej miary możliwości wystąpienia zdarzenia.

Algebra zdarzeń

Zdarzenia nazywane są niezgodnymi, jeśli nie można ich obserwować razem w tym samym doświadczeniu. Zatem obecność dwóch i trzech samochodów w jednym sklepie na sprzedaż w tym samym czasie to dwa zdarzenia niezgodne.

Kwota zdarzeniami jest zdarzenie polegające na wystąpieniu co najmniej jednego z tych zdarzeń

Przykładem sumy zdarzeń jest obecność w sklepie przynajmniej jednego z dwóch produktów.

Praca zdarzeniem jest zdarzenie polegające na jednoczesnym wystąpieniu wszystkich tych zdarzeń

Zdarzenie polegające na pojawieniu się w sklepie jednocześnie dwóch towarów jest wypadkową zdarzeń: - pojawienia się jednego produktu, - pojawienia się innego produktu.

Zdarzenia tworzą kompletną grupę zdarzeń, jeśli przynajmniej jedno z nich ma pewność wystąpienia w doświadczeniu.

Przykład. Port posiada dwa stanowiska do przyjmowania statków. Można uwzględnić trzy zdarzenia: - brak statków przy nabrzeżach, - obecność jednego statku przy jednym z nabrzeży, - obecność dwóch statków przy dwóch nabrzeżach. Te trzy wydarzenia tworzą kompletną grupę wydarzeń.

Naprzeciwko nazywane są dwa unikalne możliwe zdarzenia, które tworzą kompletną grupę.

Jeśli jedno ze zdarzeń przeciwnych jest oznaczone przez , wówczas zdarzenie przeciwne jest zwykle oznaczane przez .

Klasyczne i statystyczne definicje prawdopodobieństwa zdarzenia

Każdy z równie możliwych wyników testów (eksperymentów) nazywany jest wynikiem elementarnym. Zazwyczaj są one oznaczone literami. Na przykład rzuca się kostką. W sumie może być sześć podstawowych wyników w zależności od liczby punktów po bokach.

Z elementarnych wyników możesz stworzyć bardziej złożone wydarzenie. Zatem o przypadku parzystej liczby punktów decydują trzy wyniki: 2, 4, 6.

Ilościową miarą możliwości wystąpienia danego zdarzenia jest prawdopodobieństwo.

Najczęściej używane definicje prawdopodobieństwa zdarzenia to: klasyczny I statystyczny.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa wiąże się z koncepcją korzystnego wyniku.

Wynik nazywa się korzystny do danego zdarzenia, jeżeli jego wystąpienie pociąga za sobą zajście tego zdarzenia.

W powyższym przykładzie dane wydarzenie – parzysta liczba punktów na wyrzuconej stronie – ma trzy korzystne wyniki. W tym wypadku generał
liczbę możliwych wyników. Oznacza to, że można tu zastosować klasyczną definicję prawdopodobieństwa zdarzenia.

Klasyczna definicja równa się stosunkowi liczby korzystnych wyników do całkowitej liczby możliwych wyników

gdzie jest prawdopodobieństwem zdarzenia, jest liczbą wyników korzystnych dla zdarzenia, jest całkowitą liczbą możliwych wyników.

W rozważanym przykładzie

Statystyczna definicja prawdopodobieństwa związana jest z koncepcją względnej częstotliwości występowania zdarzenia w eksperymentach.

Względną częstotliwość występowania zdarzenia oblicza się ze wzoru

gdzie jest liczbą wystąpień zdarzenia w serii eksperymentów (testów).

Definicja statystyczna. Prawdopodobieństwo zdarzenia to liczba, wokół której stabilizuje się (ustala) częstotliwość względna przy nieograniczonym wzroście liczby eksperymentów.

W problemach praktycznych prawdopodobieństwo zdarzenia przyjmuje się jako względną częstotliwość dla wystarczająco dużej liczby prób.

Z tych definicji prawdopodobieństwa zdarzenia wynika, że ​​nierówność jest zawsze spełniona

Aby określić prawdopodobieństwo zdarzenia na podstawie wzoru (1.1), często stosuje się wzory kombinatoryczne, które służą do znalezienia liczby korzystnych wyników i całkowitej liczby możliwych wyników.

Początkowo będąc jedynie zbiorem informacji i obserwacji empirycznych na temat gry w kości, teoria prawdopodobieństwa stała się nauką ścisłą. Pierwszymi, którzy nadali mu ramy matematyczne, byli Fermat i Pascal.

Od myślenia o wieczności do teorii prawdopodobieństwa

Dwie osoby, którym teoria prawdopodobieństwa zawdzięcza wiele swoich podstawowych formuł, Blaise Pascal i Thomas Bayes, są znani jako ludzie głęboko religijni, przy czym ten ostatni jest pastorem prezbiteriańskim. Najwyraźniej chęć udowodnienia przez tych dwóch naukowców błędności opinii o pewnej Fortunie przynoszącej szczęście swoim ulubieńcom dała impuls do badań w tym obszarze. W końcu każda gra hazardowa z jej wygranymi i przegranymi jest po prostu symfonią zasad matematycznych.

Dzięki pasji Kawalera de Mere, który był zarówno hazardzistą, jak i człowiekiem nieobojętnym na naukę, Pascal zmuszony był znaleźć sposób na obliczenie prawdopodobieństwa. De Mere’a zainteresowało następujące pytanie: „Ile razy trzeba rzucić dwiema kostkami parami, aby prawdopodobieństwo zdobycia 12 punktów przekroczyło 50%?” Drugie pytanie, które bardzo zainteresowało pana: „Jak podzielić zakład pomiędzy uczestników niedokończonej gry?” Oczywiście Pascal z powodzeniem odpowiedział na oba pytania de Mere, który stał się mimowolnym inicjatorem rozwoju teorii prawdopodobieństwa. Co ciekawe, postać de Mere’a pozostała znana w tym obszarze, a nie w literaturze.

Wcześniej żaden matematyk nie próbował obliczać prawdopodobieństwa zdarzeń, ponieważ uważano, że jest to jedynie rozwiązanie oparte na domysłach. Blaise Pascal podał pierwszą definicję prawdopodobieństwa zdarzenia i pokazał, że jest to konkretna wielkość, którą można uzasadnić matematycznie. Teoria prawdopodobieństwa stała się podstawą statystyki i jest szeroko stosowana we współczesnej nauce.

Co to jest losowość

Jeśli weźmiemy pod uwagę test, który można powtórzyć nieskończoną liczbę razy, wówczas możemy zdefiniować zdarzenie losowe. To jeden z prawdopodobnych wyników eksperymentu.

Doświadczenie to realizacja konkretnych działań w stałych warunkach.

Aby móc pracować z wynikami eksperymentu, zdarzenia są zwykle oznaczone literami A, B, C, D, E...

Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego

Aby rozpocząć matematyczną część prawdopodobieństwa, należy zdefiniować wszystkie jego składowe.

Prawdopodobieństwo zdarzenia jest liczbową miarą możliwości wystąpienia jakiegoś zdarzenia (A lub B) w wyniku doświadczenia. Prawdopodobieństwo oznacza się jako P(A) lub P(B).

W teorii prawdopodobieństwa rozróżnia się:

• niezawodny zdarzenie ma miejsce w wyniku doświadczenia P(Ω) = 1;
• niemożliwe zdarzenie nie może nigdy nastąpić P(Ř) = 0;
• losowy zdarzenie leży pomiędzy pewnym a niemożliwym, to znaczy prawdopodobieństwo jego wystąpienia jest możliwe, ale nie gwarantowane (prawdopodobieństwo zdarzenia losowego zawsze mieści się w przedziale 0≤Р(А)≤ 1).

Relacje między zdarzeniami

Pod uwagę bierze się zarówno jedno, jak i sumę zdarzeń A+B, gdy zdarzenie jest liczone, gdy spełniony jest co najmniej jeden ze składników A lub B, lub oba, A i B.

W stosunku do siebie zdarzeniami mogą być:

• Równie możliwe.
• Zgodny.
• Niekompatybilny.
• Przeciwieństwo (wzajemnie się wykluczające).
• Zależny.

Jeśli dwa zdarzenia mogą się wydarzyć z równym prawdopodobieństwem, to tak równie możliwe.

Jeżeli wystąpienie zdarzenia A nie zmniejsza do zera prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia B, to tak zgodny.

Jeśli zdarzenia A i B nigdy nie występują jednocześnie w tym samym doświadczeniu, wówczas nazywa się je niekompatybilny. Dobrym przykładem jest rzucanie monetą: pojawienie się głów jest automatycznie równoznaczne z ich brakiem.

Prawdopodobieństwo sumy takich niezgodnych zdarzeń składa się z sumy prawdopodobieństw każdego ze zdarzeń:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Jeśli wystąpienie jednego zdarzenia uniemożliwia wystąpienie innego, wówczas nazywa się je przeciwstawnymi. Wtedy jeden z nich jest oznaczony jako A, a drugi - Ā (czytaj: „nie A”). Wystąpienie zdarzenia A oznacza, że ​​Ā nie miało miejsca. Te dwa zdarzenia tworzą kompletną grupę o sumie prawdopodobieństw równej 1.

Zdarzenia zależne wywierają na siebie wzajemny wpływ, zmniejszając lub zwiększając wzajemne prawdopodobieństwo.

Relacje między zdarzeniami. Przykłady

Na przykładach znacznie łatwiej jest zrozumieć zasady teorii prawdopodobieństwa i kombinacji zdarzeń.

Eksperyment, który zostanie przeprowadzony, polega na wyjęciu kulek z pudełka, a wynik każdego doświadczenia jest wynikiem elementarnym.

Zdarzenie to jeden z możliwych wyników eksperymentu - czerwona kula, niebieska kula, kula z numerem sześć itp.

Próba nr 1. W grze bierze udział 6 kul, z których trzy są niebieskie z liczbami nieparzystymi, a pozostałe trzy czerwone z liczbami parzystymi.

Próba nr 2. Jest 6 niebieskich kul z liczbami od jednego do sześciu.

Na podstawie tego przykładu możemy nazwać kombinacje:

• Niezawodne wydarzenie. Po hiszpańsku Nr 2 zdarzenie „zdobądź niebieską kulę” jest niezawodne, ponieważ prawdopodobieństwo jego wystąpienia jest równe 1, ponieważ wszystkie kule są niebieskie i nie można przegapić. Natomiast zdarzenie „zdobądź piłkę z numerem 1” jest losowe.
• Niemożliwe wydarzenie. Po hiszpańsku Nr 1 w przypadku kul niebieskich i czerwonych zdarzenie „zdobycia fioletowej kuli” jest niemożliwe, ponieważ prawdopodobieństwo jego wystąpienia wynosi 0.
• Równie możliwe zdarzenia. Po hiszpańsku nr 1, zdarzenia „zdobądź piłkę z numerem 2” i „zdobądź piłkę z numerem 3” są równie możliwe, a zdarzenia „zdobądź piłkę z numerem parzystym” i „zdobądź piłkę z numerem 2” ” mają różne prawdopodobieństwa.
• Zgodne wydarzenia. Zdobycie szóstki dwa razy z rzędu podczas rzucania kostką jest wydarzeniem zgodnym.
• Niezgodne zdarzenia. W tym samym hiszpańskim Nr 1, wydarzeń „zdobądź czerwoną kulę” i „zdobądź piłkę o nieparzystej liczbie” nie można łączyć w tym samym doświadczeniu.
• Zdarzenia przeciwne. Najbardziej uderzającym tego przykładem jest rzut monetą, w którym wylosowanie orła jest równoznaczne z niewyciągnięciem reszki, a suma ich prawdopodobieństw wynosi zawsze 1 (pełna grupa).
• Zdarzenia zależne. A więc po hiszpańsku Nr 1, możesz ustawić cel polegający na losowaniu czerwonej kuli dwa razy z rzędu. To, czy zostanie on odzyskany za pierwszym razem, czy nie, wpływa na prawdopodobieństwo odzyskania go za drugim razem.

Można zauważyć, że pierwsze zdarzenie znacząco wpływa na prawdopodobieństwo drugiego (40% i 60%).

Wzór na prawdopodobieństwo zdarzenia

Przejście od wróżenia do precyzyjnych danych następuje poprzez przełożenie tematu na płaszczyznę matematyczną. Oznacza to, że oceny dotyczące zdarzenia losowego, takie jak „wysokie prawdopodobieństwo” lub „minimalne prawdopodobieństwo”, można przełożyć na określone dane liczbowe. Dopuszczalna jest już ocena, porównywanie i wprowadzanie takiego materiału do bardziej złożonych obliczeń.

Z kalkulacyjnego punktu widzenia określenie prawdopodobieństwa zdarzenia jest stosunkiem liczby elementarnych pozytywnych wyników do liczby wszystkich możliwych wyników doświadczenia dotyczących konkretnego zdarzenia. Prawdopodobieństwo jest oznaczane przez P(A), gdzie P oznacza słowo „probabilite”, które z francuskiego jest tłumaczone jako „prawdopodobieństwo”.

Zatem wzór na prawdopodobieństwo zdarzenia wygląda następująco:

Gdzie m jest liczbą korzystnych wyników zdarzenia A, n jest sumą wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia. W tym przypadku prawdopodobieństwo zdarzenia zawsze mieści się w przedziale od 0 do 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzenia. Przykład

Weźmy hiszpański. Nr 1 z kulkami, co zostało opisane wcześniej: 3 kule niebieskie z numerami 1/3/5 i 3 kule czerwone z numerami 2/4/6.

Na podstawie tego testu można rozważyć kilka różnych problemów:

• A - wypadająca czerwona kula. Są 3 czerwone kule i łącznie jest 6 opcji.To najprostszy przykład, w którym prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi P(A)=3/6=0,5.
• B - wyrzucenie liczby parzystej. Istnieją 3 liczby parzyste (2,4,6), a łączna liczba możliwych opcji numerycznych wynosi 6. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi P(B)=3/6=0,5.
• C - wystąpienie liczby większej niż 2. Są 4 takie opcje (3,4,5,6) z ogólnej liczby możliwych wyników 6. Prawdopodobieństwo zdarzenia C jest równe P(C)=4 /6=0,67.

Jak widać z obliczeń, zdarzenie C ma większe prawdopodobieństwo, gdyż liczba prawdopodobnych pozytywnych wyników jest większa niż w przypadku A i B.

Niezgodne zdarzenia

Takie zdarzenia nie mogą pojawiać się jednocześnie w tym samym doświadczeniu. Jak w języku hiszpańskim Nr 1. Nie da się jednocześnie zdobyć niebieskiej i czerwonej piłki. Oznacza to, że możesz zdobyć niebieską lub czerwoną piłkę. Podobnie liczba parzysta i nieparzysta nie mogą pojawić się jednocześnie na kostce.

Prawdopodobieństwo dwóch zdarzeń uważa się za prawdopodobieństwo ich sumy lub iloczynu. Sumę takich zdarzeń A+B uważa się za zdarzenie, na które składa się zajście zdarzenia A lub B, a iloczynem tych zdarzeń AB jest zajście obu. Na przykład pojawienie się dwóch szóstek naraz na ściankach dwóch kości w jednym rzucie.

Suma kilku zdarzeń to zdarzenie, które zakłada zajście przynajmniej jednego z nich. Produkcja kilku wydarzeń jest ich wspólnym występowaniem.

W teorii prawdopodobieństwa z reguły użycie spójnika „i” oznacza sumę, a spójnika „lub” - mnożenie. Wzory z przykładami pomogą Ci zrozumieć logikę dodawania i mnożenia w teorii prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń niezgodnych

Jeśli weźmiemy pod uwagę prawdopodobieństwo zdarzeń niezgodnych, to prawdopodobieństwo sumy zdarzeń jest równe dodaniu ich prawdopodobieństw:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Na przykład: obliczmy prawdopodobieństwo, że w języku hiszpańskim. Nr 1 z kulkami niebieskimi i czerwonymi pojawi się liczba od 1 do 4. Obliczymy nie w jednym działaniu, ale na podstawie sumy prawdopodobieństw składowych elementarnych. Zatem w takim eksperymencie jest tylko 6 kul, czyli 6 wszystkich możliwych wyników. Liczby spełniające warunek to 2 i 3. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby 2 wynosi 1/6, prawdopodobieństwo wylosowania liczby 3 również wynosi 1/6. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby od 1 do 4 wynosi:

Prawdopodobieństwo sumy niezgodnych zdarzeń w całej grupie wynosi 1.

Jeśli więc w eksperymencie z sześcianem dodamy prawdopodobieństwa pojawienia się wszystkich liczb, wynik będzie jeden.

Dotyczy to również zdarzeń przeciwnych, na przykład w eksperymencie z monetą, gdzie jedna strona to zdarzenie A, a druga zdarzenie przeciwne Ā, jak wiadomo,

P(A) + P(Ā) = 1

Prawdopodobieństwo wystąpienia niezgodnych zdarzeń

Mnożenie prawdopodobieństwa stosuje się, gdy rozważa się wystąpienie dwóch lub więcej niezgodnych zdarzeń w jednej obserwacji. Prawdopodobieństwo, że zdarzenia A i B wystąpią w nim jednocześnie, jest równe iloczynowi ich prawdopodobieństw, czyli:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Na przykład prawdopodobieństwo, że w języku hiszpańskim Nr 1, w wyniku dwóch prób, niebieska kula pojawi się dwukrotnie, jednakowo

Oznacza to, że prawdopodobieństwo zdarzenia, w którym w wyniku dwóch prób wydobycia kulek zostaną wydobyte tylko kule niebieskie, wynosi 25%. Bardzo łatwo jest przeprowadzić praktyczne eksperymenty dotyczące tego problemu i sprawdzić, czy rzeczywiście tak jest.

Wspólne wydarzenia

Zdarzenia uważa się za wspólne, jeżeli wystąpienie jednego z nich może zbiegać się z wystąpieniem drugiego. Pomimo tego, że są one wspólne, uwzględnia się prawdopodobieństwo wystąpienia niezależnych zdarzeń. Przykładowo rzut dwiema kostkami może dać wynik, gdy na obu pojawi się liczba 6. Mimo, że zdarzenia zbiegły się i wystąpiły w tym samym czasie, są od siebie niezależne – mogła wypaść tylko jedna szóstka, na drugiej kostce nie ma na to wpływ.

Prawdopodobieństwo wspólnych zdarzeń uważa się za prawdopodobieństwo ich sumy.

Prawdopodobieństwo sumy wspólnych zdarzeń. Przykład

Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń A i B, które są ze sobą powiązane, jest równe sumie prawdopodobieństw zdarzenia minus prawdopodobieństwo ich wystąpienia (czyli ich wspólnego wystąpienia):

Złącze R (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Załóżmy, że prawdopodobieństwo trafienia w cel jednym strzałem wynosi 0,4. Wtedy zdarzenie A trafia w cel w pierwszej próbie, B – w drugiej. Zdarzenia te są wspólne, ponieważ możliwe jest trafienie w cel zarówno pierwszym, jak i drugim strzałem. Ale zdarzenia nie są od siebie zależne. Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia w cel dwoma strzałami (przynajmniej jednym)? Zgodnie ze wzorem:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Odpowiedź na pytanie brzmi: „Prawdopodobieństwo trafienia w cel dwoma strzałami wynosi 64%.

Ten wzór na prawdopodobieństwo zdarzenia można zastosować także do zdarzeń niezgodnych, gdzie prawdopodobieństwo wspólnego wystąpienia zdarzenia P(AB) = 0. Oznacza to, że prawdopodobieństwo sumy zdarzeń niezgodnych można uznać za przypadek szczególny proponowanej formuły.

Geometria prawdopodobieństwa dla jasności

Co ciekawe, prawdopodobieństwo sumy wspólnych zdarzeń można przedstawić jako dwa obszary A i B, które się ze sobą przecinają. Jak widać na zdjęciu, obszar ich związku jest równy całkowitemu obszarowi minus obszar ich przecięcia. Dzięki temu geometrycznemu wyjaśnieniu pozornie nielogiczna formuła staje się bardziej zrozumiała. Należy zauważyć, że rozwiązania geometryczne nie są rzadkością w teorii prawdopodobieństwa.

Określenie prawdopodobieństwa sumy wielu (więcej niż dwóch) wspólnych zdarzeń jest dość kłopotliwe. Aby to obliczyć, należy skorzystać ze wzorów podanych dla tych przypadków.

Zdarzenia zależne

Zdarzenia nazywamy zależnymi, jeśli wystąpienie jednego z nich (A) wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia drugiego (B). Uwzględnia się ponadto wpływ zarówno wystąpienia zdarzenia A, jak i jego niezaistnienia. Chociaż zdarzenia z definicji nazywane są zależnymi, tylko jedno z nich jest zależne (B). Prawdopodobieństwo zwyczajne oznaczono jako P(B) lub prawdopodobieństwo zdarzeń niezależnych. W przypadku zdarzeń zależnych wprowadza się nowe pojęcie – prawdopodobieństwo warunkowe P A (B), które jest prawdopodobieństwem zdarzenia zależnego B, pod warunkiem wystąpienia zdarzenia A (hipoteza), od którego to zależy.

Ale zdarzenie A jest również losowe, więc również ma prawdopodobieństwo, które wymaga i może być brane pod uwagę w przeprowadzanych obliczeniach. Poniższy przykład pokaże, jak pracować ze zdarzeniami zależnymi i hipotezą.

Przykład obliczenia prawdopodobieństwa zdarzeń zależnych

Dobrym przykładem obliczania zdarzeń zależnych może być standardowa talia kart.

Na przykładzie talii 36 kart przyjrzyjmy się zdarzeniom zależnym. Musimy określić prawdopodobieństwo, że druga karta wylosowana z talii będzie karo, jeśli pierwszą wylosowaną kartą będzie:

1. Bubnowaja.
2. Inny kolor.

Oczywiście prawdopodobieństwo drugiego zdarzenia B zależy od pierwszego A. Jeśli więc prawdą jest pierwsza opcja, że ​​w talii jest o 1 kartę (35) i 1 karo (8) mniej, prawdopodobieństwo zdarzenia B:

RA (B) = 8/35 = 0,23

Jeśli druga opcja jest prawdziwa, wówczas talia liczy 35 kart, a pełna liczba karo (9) jest nadal zachowywana, wówczas prawdopodobieństwo wystąpienia następującego zdarzenia B:

RA (B) = 9/35 = 0,26.

Można zauważyć, że jeśli zdarzenie A jest uwarunkowane tym, że pierwszą kartą jest karo, to prawdopodobieństwo zdarzenia B maleje i odwrotnie.

Mnożenie zdarzeń zależnych

Kierując się poprzednim rozdziałem, pierwsze zdarzenie (A) przyjmujemy za fakt, jednak w istocie ma ono charakter losowy. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia, czyli wylosowania diamentu z talii kart, jest równe:

P(A) = 9/36=1/4

Ponieważ teoria nie istnieje sama w sobie, lecz ma służyć celom praktycznym, należy zauważyć, że najczęściej potrzebne jest prawdopodobieństwo wytworzenia zależnych zdarzeń.

Zgodnie z twierdzeniem o iloczynie prawdopodobieństw zdarzeń zależnych, prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeń wspólnie zależnych A i B jest równe prawdopodobieństwu jednego zdarzenia A pomnożonemu przez prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia B (zależne od A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Następnie, w przykładzie talii, prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kart w kolorze karo wynosi:

9/36*8/35=0,0571, czyli 5,7%

A prawdopodobieństwo wydobycia najpierw nie diamentów, a potem diamentów, jest równe:

27/36*9/35=0,19, czyli 19%

Można zauważyć, że prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia B jest większe pod warunkiem, że pierwsza wylosowana karta jest innego koloru niż karo. Wynik ten jest dość logiczny i zrozumiały.

Całkowite prawdopodobieństwo zdarzenia

Kiedy problem prawdopodobieństw warunkowych staje się wieloaspektowy, nie można go obliczyć za pomocą konwencjonalnych metod. Gdy istnieją więcej niż dwie hipotezy, a mianowicie A1, A2,…, An, ..tworzy się kompletna grupa zdarzeń pod warunkiem:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A ja ∩ A jot =Ř,i≠j.
• Σ k ZA k = Ω.

Zatem wzór na prawdopodobieństwo całkowite zdarzenia B przy pełnej grupie zdarzeń losowych A1, A2,..., An jest równy:

Spojrzenie w przyszłość

Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego jest niezwykle potrzebne w wielu dziedzinach nauki: ekonometrii, statystyce, fizyce itp. Ponieważ niektórych procesów nie da się opisać deterministycznie, gdyż same mają charakter probabilistyczny, wymagane są specjalne metody pracy. Teorię prawdopodobieństwa zdarzenia można zastosować w dowolnej dziedzinie technologicznej jako sposób na określenie możliwości wystąpienia błędu lub nieprawidłowego działania.

Można powiedzieć, że rozpoznając prawdopodobieństwo, w pewnym sensie robimy teoretyczny krok w przyszłość, patrząc na nią przez pryzmat formuł.

1. Wzory obliczania prawdopodobieństwa zdarzeń

1.3.1. Sekwencja niezależnych testów (obwód Bernoulliego)

Załóżmy, że pewne doświadczenie można przeprowadzić wielokrotnie w tych samych warunkach. Niech to doświadczenie się dokona N razy, tj. sekwencję N testy.

Definicja. Podciąg N nazywają się testy wzajemnie niezależne , jeżeli jakiekolwiek zdarzenie dotyczące danego testu jest niezależne od jakichkolwiek zdarzeń związanych z innymi testami.

Załóżmy, że jakieś wydarzenie A może się zdarzyć P w wyniku jednego testu lub prawdopodobnie nie nastąpi Q= 1- P.

Definicja . Sekwencja N testy tworzą schemat Bernoulliego, jeśli spełnione są następujące warunki:

podsekwencja N testy są od siebie niezależne,

2) prawdopodobieństwo zdarzenia A nie zmienia się z próby na próbę i nie zależy od wyniku w innych próbach.

Wydarzenie A nazywa się „sukcesem” testu, a zdarzenie odwrotne nazywa się „porażką”. Rozważ wydarzenie

=(w N testy odbyły się dokładnie M"powodzenie").

Aby obliczyć prawdopodobieństwo tego zdarzenia, obowiązuje wzór Bernoulliego

P() =
, M = 1, 2, …, N , (1.6)

Gdzie - liczba kombinacji N elementy wg M :

=
=
.

Przykład 1.16. Kością rzucamy trzy razy. Znajdować:

a) prawdopodobieństwo, że 6 punktów pojawi się dwukrotnie;

b) prawdopodobieństwo, że liczba szóstek nie pojawi się więcej niż dwukrotnie.

Rozwiązanie . Za „sukces” testu uznamy pojawienie się na kostce strony z obrazem 6 punktów.

a) Łączna liczba testów – N=3, liczba „sukcesów” – M = 2. Prawdopodobieństwo „sukcesu” - P=, a prawdopodobieństwo „porażki” wynosi Q= 1 - =. Wówczas, zgodnie ze wzorem Bernoulliego, prawdopodobieństwo, że w wyniku trzykrotnego rzutu kostką wypadnie dwukrotnie strona z sześcioma punktami, będzie równe

.

b) Oznaczmy przez A wydarzenie, które oznacza, że ​​strona z wynikiem 6 pojawi się nie więcej niż dwa razy. Następnie wydarzenie można przedstawić jako suma trzech niekompatybilna wydarzenia A=
,

Gdzie W 3 0 – zdarzenie, w którym granica zainteresowania nigdy się nie pojawia,

W 3 1 - zdarzenie, gdy krawędź zainteresowania pojawi się jednokrotnie,

W 3 2 - zdarzenie, gdy krawędź zainteresowania pojawi się dwukrotnie.

Korzystając ze wzoru Bernoulliego (1.6) znajdujemy

P(A) = p (
) = P(
)=
+
+
=

=
.

1.3.2. Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia

Prawdopodobieństwo warunkowe odzwierciedla wpływ jednego zdarzenia na prawdopodobieństwo innego. Wpływ ma również zmiana warunków, w jakich przeprowadzany jest eksperyment

od prawdopodobieństwa wystąpienia interesującego Cię zdarzenia.

Definicja. Pozwalać A I B– niektóre zdarzenia i prawdopodobieństwo P(B)> 0.

Warunkowe prawdopodobieństwo wydarzenia A pod warunkiem, że „wydarzenie Bjuż się wydarzyło” to stosunek prawdopodobieństwa wystąpienia tych zdarzeń do prawdopodobieństwa zdarzenia, które nastąpiło wcześniej niż zdarzenie, którego prawdopodobieństwo należy znaleźć. Prawdopodobieństwo warunkowe oznacza się jako P(A B). Wtedy z definicji

P (A  B) =
. (1.7)

Przykład 1.17. Rzucamy dwiema kostkami. Przestrzeń zdarzeń elementarnych składa się z uporządkowanych par liczb

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).

W przykładzie 1.16 ustalono, że zdarzenie A=(liczba punktów na pierwszej kości > 4) i zdarzenie C=(suma punktów wynosi 8) zależna. Stwórzmy relację

.

Zależność tę można interpretować w następujący sposób. Załóżmy, że wiadomo, że wynikiem pierwszego rzutu jest liczba punktów na pierwszej kości > 4. Wynika z tego, że rzut drugą kostką może prowadzić do jednego z 12 wyników składających się na wydarzenie A:

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .

Na tym wydarzeniu C tylko dwa z nich mogą pasować do (5,3) (6,2). W tym przypadku prawdopodobieństwo zdarzenia C będzie równe
. Zatem informacja o wystąpieniu zdarzenia A wpływa na prawdopodobieństwo zdarzenia C.

Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeń

Twierdzenie o mnożeniu

Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeńA 1 A 2  A N określa się na podstawie wzoru

P(A 1 A 2  A N)= str(A 1)P(A 2  A 1)) P(A N  A 1 A 2  A N- 1). (1.8)

Wynika z tego, że jest to iloczyn dwóch zdarzeń

P(AB)= str(A B)str{B)= str(B A)P{A). (1.9)

Przykład 1.18. W partii 25 produktów 5 produktów jest wadliwych. Wybierane są kolejno 3 pozycje. Określ prawdopodobieństwo, że wszystkie wybrane produkty są wadliwe.

Rozwiązanie. Oznaczmy zdarzenia:

A 1 = (pierwszy produkt jest wadliwy),

A 2 = (drugi produkt jest uszkodzony),

A 3 = (trzeci produkt jest uszkodzony),

A = (wszystkie produkty są wadliwe).

Wydarzenie A jest wypadkową trzech zdarzeń A = A 1 A 2 A 3 .

Z twierdzenia o mnożeniu (1.6) dostajemy

P(A)= p( A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1) P(A 2  A 1))P(A 3  A 1 A 2).

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa pozwala nam znaleźć P(A 1) stanowi stosunek liczby produktów wadliwych do całkowitej liczby produktów:

P(A 1)= ;

P(A 2) – Ten stosunek liczby wadliwych produktów pozostałych po usunięciu jednego do całkowitej liczby pozostałych produktów:

P(A 2  A 1))= ;

P(A 3) – to jest stosunek liczby produktów wadliwych pozostałych po usunięciu dwóch wadliwych do całkowitej liczby pozostałych produktów:

P(A 3  A 1 A 2)=.

Następnie prawdopodobieństwo zdarzenia A będzie równe

P(A) ==
.