নতুনদের জন্য সহজ ভাষায় ত্রিকোণমিতি শুরু করা। স্ক্র্যাচ থেকে ত্রিকোণমিতি: মৌলিক ধারণা, ইতিহাস। অতিরিক্ত ত্রিকোণমিতিক সূত্র

ত্রিকোণমিতিক রূপান্তর সম্পাদন করার সময়, এই টিপস অনুসরণ করুন:

1. শুরু থেকে শেষ পর্যন্ত উদাহরণ সমাধানের জন্য অবিলম্বে একটি স্কিম নিয়ে আসার চেষ্টা করবেন না।
2. একবারে পুরো উদাহরণটি রূপান্তর করার চেষ্টা করবেন না। ছোট ছোট পদক্ষেপ এগিয়ে নিন।
3. মনে রাখবেন যে ত্রিকোণমিতিতে ত্রিকোণমিতিক সূত্রগুলি ছাড়াও, আপনি এখনও সমস্ত ন্যায্য বীজগাণিতিক রূপান্তর ব্যবহার করতে পারেন (বন্ধনী, সংক্ষিপ্ত ভগ্নাংশ, সংক্ষিপ্ত গুণন সূত্র এবং আরও অনেক কিছু)।
4. বিশ্বাস করুন সব ঠিক হয়ে যাবে।

মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সূত্র

ত্রিকোণমিতির বেশিরভাগ সূত্র প্রায়শই ডান থেকে বাম এবং বাম থেকে ডান উভয় ক্ষেত্রেই ব্যবহৃত হয়, তাই আপনাকে এই সূত্রগুলি এত ভালভাবে শিখতে হবে যাতে আপনি সহজেই উভয় দিকে একটি নির্দিষ্ট সূত্র প্রয়োগ করতে পারেন। প্রথমে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সংজ্ঞা লিখি। একটি সমকোণী ত্রিভুজ হতে দিন:

তারপর, সাইনের সংজ্ঞা:

কোসাইনের সংজ্ঞা:

স্পর্শক সংজ্ঞা:

কোট্যাঞ্জেন্টের সংজ্ঞা:

মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচয়:

মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচয় থেকে সরলতম সমষ্টি:

দ্বৈত কোণ সূত্র।দ্বৈত কোণের সাইন:

দ্বিকোণের কোসাইন:

দ্বৈত কোণের স্পর্শক:

দ্বিকোণের কোট্যাঞ্জেন্ট:

অতিরিক্ত ত্রিকোণমিতিক সূত্র

ত্রিকোণমিতিক সংযোজন সূত্র।যোগফলের সাইন:

পার্থক্যের সাইন:

যোগফলের কোসাইন:

পার্থক্যের কোসাইন:

যোগফলের স্পর্শক:

পার্থক্যের স্পর্শক:

পরিমাণের কোট্যানজেন্ট:

পার্থক্যের কোট্যাঞ্জেন্ট:

একটি যোগফলকে একটি পণ্যে রূপান্তর করার জন্য ত্রিকোণমিতিক সূত্র।সাইনের সমষ্টি:

সাইন পার্থক্য:

কোসাইনের সমষ্টি:

কোসাইনের পার্থক্য:

স্পর্শকগুলির সমষ্টি:

স্পর্শক পার্থক্য:

কোটনজেন্টের সমষ্টি:

কোট্যাঞ্জেন্ট পার্থক্য:

ত্রিকোণমিতিক সূত্র একটি যোগফল একটি পণ্য রূপান্তর জন্য.সাইনের পণ্য:

সাইন এবং কোসাইন এর পণ্য:

কোসাইনের পণ্য:

ডিগ্রি কমানোর সূত্র।

অর্ধকোণ সূত্র।

ত্রিকোণমিতিক হ্রাস সূত্র

কোসাইন ফাংশন বলা হয় সংঘবদ্ধতাসাইন ফাংশন এবং তদ্বিপরীত। একইভাবে, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্ট ফাংশনগুলি সহ-ফাংশন। হ্রাস সূত্র নিম্নলিখিত নিয়ম হিসাবে প্রণয়ন করা যেতে পারে:

• যদি হ্রাস সূত্রে একটি কোণ 90 ডিগ্রী বা 270 ডিগ্রী থেকে বিয়োগ করা হয় (যোগ করা হয়), তাহলে হ্রাসকৃত ফাংশনটি একটি কোফাংশনে পরিবর্তিত হয়;
• যদি হ্রাস সূত্রে কোণটি 180 ডিগ্রি বা 360 ডিগ্রি থেকে বিয়োগ (যোগ) করা হয়, তবে হ্রাসকৃত ফাংশনের নামটি ধরে রাখা হয়;
• এই ক্ষেত্রে, কমানো (অর্থাৎ, আসল) ফাংশনটি সংশ্লিষ্ট চতুর্ভুজটিতে যে চিহ্নটি রয়েছে তা হ্রাসকৃত ফাংশনের সামনে স্থাপন করা হয়, যদি আমরা বিয়োগ করা (সংযুক্ত) কোণটিকে তীব্র হিসাবে বিবেচনা করি।

কমানোর সূত্রটেবিল আকারে দেওয়া হয়:

দ্বারা ত্রিকোণমিতিক বৃত্তত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ট্যাবুলার মান নির্ধারণ করা সহজ:

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ

একটি নির্দিষ্ট ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করতে, এটিকে একটি সহজ ত্রিকোণমিতিক সমীকরণে নামিয়ে আনতে হবে, যা নীচে আলোচনা করা হবে। এই জন্য:

• আপনি উপরে দেওয়া ত্রিকোণমিতিক সূত্র ব্যবহার করতে পারেন। একই সময়ে, আপনাকে পুরো উদাহরণটি একবারে রূপান্তর করার চেষ্টা করার দরকার নেই, তবে আপনাকে ছোট পদক্ষেপে এগিয়ে যেতে হবে।
• বীজগাণিতিক পদ্ধতি ব্যবহার করে কিছু অভিব্যক্তি রূপান্তরিত করার সম্ভাবনা সম্পর্কে আমাদের ভুলে যাওয়া উচিত নয়, যেমন উদাহরণস্বরূপ, বন্ধনী থেকে কিছু নিন বা, বিপরীতভাবে, বন্ধনী খুলুন, একটি ভগ্নাংশ হ্রাস করুন, একটি সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র প্রয়োগ করুন, ভগ্নাংশগুলিকে একটি সাধারণ হর-এ নিয়ে আসুন ইত্যাদি।
• ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করার সময় আপনি ব্যবহার করতে পারেন গ্রুপিং পদ্ধতি. এটি অবশ্যই মনে রাখতে হবে যে বেশ কয়েকটি কারণের গুণফল শূন্যের সমান হওয়ার জন্য, তাদের মধ্যে যেকোনো একটি শূন্যের সমান হওয়াই যথেষ্ট এবং বাকি ছিল.
• আবেদন করা হচ্ছে পরিবর্তনশীল প্রতিস্থাপন পদ্ধতি, যথারীতি, প্রতিস্থাপন প্রবর্তনের পরে সমীকরণটি সহজ হওয়া উচিত এবং মূল পরিবর্তনশীল ধারণ করা উচিত নয়। আপনি একটি বিপরীত প্রতিস্থাপন সঞ্চালন মনে রাখা প্রয়োজন.
• মনে রাখবেন যে সমজাতীয় সমীকরণগুলি প্রায়শই ত্রিকোণমিতিতে উপস্থিত হয়।
• মডিউল খোলার সময় বা ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির সাথে অযৌক্তিক সমীকরণগুলি সমাধান করার সময়, আপনাকে সাধারণ ফাংশনগুলির সাথে সংশ্লিষ্ট সমীকরণগুলি সমাধান করার সমস্ত সূক্ষ্মতাগুলি মনে রাখতে হবে এবং বিবেচনা করতে হবে।
• ODZ সম্পর্কে মনে রাখবেন (ত্রিকোণমিতিক সমীকরণে, ODZ-এর সীমাবদ্ধতাগুলি মূলত এই সত্যে নেমে আসে যে আপনি শূন্য দিয়ে ভাগ করতে পারবেন না, তবে অন্যান্য বিধিনিষেধগুলি সম্পর্কে ভুলবেন না, বিশেষত যৌক্তিক শক্তিতে এবং জোড় শক্তির মূলের নীচে অভিব্যক্তির ইতিবাচকতা সম্পর্কে)। এছাড়াও মনে রাখবেন যে সাইন এবং কোসাইনের মানগুলি শুধুমাত্র বিয়োগ এক থেকে প্লাস ওয়ান পর্যন্ত অন্তর্ভুক্ত থাকতে পারে।

মূল জিনিসটি হল, আপনি যদি জানেন না কি করতে হবে, অন্তত কিছু করুন, এবং প্রধান জিনিসটি হল ত্রিকোণমিতিক সূত্রগুলি সঠিকভাবে ব্যবহার করা। আপনি যা পান তা যদি আরও ভাল হয়, তবে সমাধানটি চালিয়ে যান এবং যদি এটি আরও খারাপ হয়, তবে শুরুতে ফিরে যান এবং অন্যান্য সূত্র প্রয়োগ করার চেষ্টা করুন, যতক্ষণ না আপনি সঠিক সমাধানটি না পান ততক্ষণ এটি করুন।

সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধানের সূত্র।সাইনের জন্য সমাধান লেখার দুটি সমতুল্য রূপ রয়েছে:

অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের জন্য, স্বরলিপিটি দ্ব্যর্থহীন। কোসাইনের জন্য:

স্পর্শকের জন্য:

কোট্যাঞ্জেন্টের জন্য:

কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করা:

এই তিনটি পয়েন্টের সফল, পরিশ্রমী এবং দায়িত্বশীল বাস্তবায়ন আপনাকে CT-এ একটি চমৎকার ফলাফল দেখাতে দেবে, আপনি যা করতে সক্ষম তার সর্বোচ্চ।

একটি ভুল পাওয়া গেছে?

আপনি যদি মনে করেন যে আপনি প্রশিক্ষণের উপকরণগুলিতে একটি ত্রুটি খুঁজে পেয়েছেন, দয়া করে ইমেলের মাধ্যমে এটি সম্পর্কে লিখুন। আপনি সামাজিক নেটওয়ার্ক () এ একটি ত্রুটি রিপোর্ট করতে পারেন। চিঠিতে, বিষয় (পদার্থবিদ্যা বা গণিত), বিষয় বা পরীক্ষার নাম বা নম্বর, সমস্যার নম্বর বা পাঠ্যের স্থান (পৃষ্ঠা) যেখানে, আপনার মতে, একটি ত্রুটি রয়েছে নির্দেশ করুন। সন্দেহজনক ত্রুটি কী তাও বর্ণনা করুন। আপনার চিঠিটি অলক্ষিত হবে না, ত্রুটিটি হয় সংশোধন করা হবে, অথবা আপনাকে ব্যাখ্যা করা হবে কেন এটি একটি ত্রুটি নয়।

এই পাঠে আমরা কীভাবে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি প্রবর্তনের প্রয়োজনীয়তা দেখা দেয় এবং কেন সেগুলি অধ্যয়ন করা হয়, এই বিষয়ে আপনাকে কী বুঝতে হবে এবং যেখানে আপনাকে কেবল এটিতে আরও ভাল করতে হবে (একটি কৌশল কী) সে সম্পর্কে কথা বলব। মনে রাখবেন যে কৌশল এবং বোঝা দুটি ভিন্ন জিনিস। সম্মত হন, একটি পার্থক্য আছে: সাইকেল চালানো শেখা, অর্থাৎ কীভাবে এটি করতে হয় তা বোঝা, বা পেশাদার সাইকেল চালক হওয়া। আমরা বোঝার বিষয়ে বিশেষভাবে কথা বলব, কেন ত্রিকোণমিতিক ফাংশন প্রয়োজন সে সম্পর্কে।

চারটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন রয়েছে, তবে সেগুলিকে একটি পরিচয় ব্যবহার করে প্রকাশ করা যেতে পারে (সমতা যা তাদের সাথে সম্পর্কিত)।

সমকোণী ত্রিভুজের তীব্র কোণের জন্য ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা (চিত্র 1)।

সাইনাসসমকোণী ত্রিভুজের তীক্ষ্ণ কোণ হল কর্ণের বিপরীত বাহুর অনুপাত।

কোসাইনএকটি সমকোণী ত্রিভুজের তীক্ষ্ণ কোণ হল কর্ণের সংলগ্ন পায়ের অনুপাত।

স্পর্শকসমকোণী ত্রিভুজের তীক্ষ্ণ কোণ হল সন্নিহিত বাহুর বিপরীত বাহুর অনুপাত।

কোট্যাঞ্জেন্টএকটি সমকোণী ত্রিভুজের তীক্ষ্ণ কোণ হল সন্নিহিত বাহুর বিপরীত বাহুর অনুপাত।

ভাত। 1. সমকোণী ত্রিভুজের একটি তীব্র কোণের ত্রিকোণমিতিক ফাংশন নির্ধারণ

এই সংজ্ঞাগুলি আনুষ্ঠানিক। এটা বলা আরও সঠিক যে শুধুমাত্র একটি ফাংশন আছে, উদাহরণস্বরূপ, সাইন। প্রযুক্তিতে যদি তাদের এতটা প্রয়োজন না হত (এতবার ব্যবহার করা হয় না), তাহলে এতগুলি ভিন্ন ত্রিকোণমিতিক ফাংশন চালু করা হত না।

উদাহরণস্বরূপ, একটি কোণের কোসাইন একই কোণের সাইনের সমান () যোগ করে। উপরন্তু, মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচয় () ব্যবহার করে একটি কোণের কোসাইন সর্বদা একই কোণের সাইনের মাধ্যমে প্রকাশ করা যেতে পারে। একটি কোণের স্পর্শক হল সাইন থেকে কোসাইন বা একটি উল্টানো কোট্যাঞ্জেন্টের অনুপাত (চিত্র 2)। কিছু কিছু কোট্যাঞ্জেন্ট ব্যবহার করে না, এটি দিয়ে প্রতিস্থাপন করে। অতএব, একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন বোঝা এবং কাজ করতে সক্ষম হওয়া গুরুত্বপূর্ণ।

ভাত। 2. বিভিন্ন ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মধ্যে সম্পর্ক

কিন্তু কেন এই ধরনের ফাংশন আদৌ প্রয়োজন ছিল? তারা কোন ব্যবহারিক সমস্যা সমাধান করতে ব্যবহৃত হয়? আসুন কয়েকটি উদাহরণ দেখি।

দুইজন মানুষ ( কএবং ভিতরে) পুশ থেকে গাড়ি বের করুন (চিত্র 3)। মানব ভিতরেগাড়িটিকে পাশে ঠেলে দিতে পারে, যখন এটি সাহায্য করার সম্ভাবনা কম ক. অন্যদিকে, তার প্রচেষ্টার দিক ধীরে ধীরে পরিবর্তন হতে পারে (চিত্র 4)।

ভাত। 3. ভিতরেপাশ দিয়ে গাড়ি ঠেলে দেয়

ভাত। 4. ভিতরেতার প্রচেষ্টার দিক পরিবর্তন করতে শুরু করে

এটা স্পষ্ট যে তাদের প্রচেষ্টা সবচেয়ে কার্যকর হবে যখন তারা গাড়িটিকে এক দিকে ঠেলে দেবে (চিত্র 5)।

ভাত। 5. প্রচেষ্টার সবচেয়ে কার্যকর যৌথ দিক

কত ভিতরেযন্ত্রটিকে এমন পরিমাণে ধাক্কা দিতে সাহায্য করে যে এর শক্তির দিকটি যে শক্তি দিয়ে কাজ করে তার দিকটির কাছাকাছি ক, কোণের একটি ফাংশন এবং এটির কোসাইন দিয়ে প্রকাশ করা হয় (চিত্র 6)।

ভাত। 6. প্রচেষ্টা দক্ষতার একটি বৈশিষ্ট্য হিসাবে কোসাইন ভিতরে

যদি আমরা শক্তির মাত্রাকে গুণ করি যা দিয়ে ভিতরে, কোণের কোসাইন দ্বারা, আমরা তার বলের অভিক্ষেপ পাই যে বল দিয়ে এটি কাজ করে তার দিকে ক. বাহিনীর দিকনির্দেশের মধ্যে কোণ যত কাছাকাছি হবে, যৌথ কর্মের ফলাফল তত বেশি কার্যকর হবে। কএবং ভিতরে(চিত্র 7)। যদি তারা একই শক্তি দিয়ে গাড়িটিকে বিপরীত দিকে ঠেলে দেয়, তাহলে গাড়িটি জায়গায় থাকবে (চিত্র 8)।

ভাত। 7. যৌথ প্রচেষ্টার কার্যকারিতা কএবং ভিতরে

ভাত। 8. বাহিনীর বিপরীত দিক কএবং ভিতরে

এটা বোঝা গুরুত্বপূর্ণ যে কেন আমরা একটি কোসাইন (বা একটি কোণের অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক ফাংশন) দিয়ে একটি কোণ (চূড়ান্ত ফলাফলে এর অবদান) প্রতিস্থাপন করতে পারি। আসলে, এটি অনুরূপ ত্রিভুজগুলির এই সম্পত্তি থেকে অনুসরণ করে। যেহেতু প্রকৃতপক্ষে আমরা নিম্নলিখিতটি বলছি: কোণটি দুটি সংখ্যার অনুপাত (পার্শ্ব-হাইপোটেনাস বা পার্শ্ব-পার্শ্ব) দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে। এটি অসম্ভব হবে যদি, উদাহরণস্বরূপ, বিভিন্ন সমকোণী ত্রিভুজের একই কোণের জন্য এই অনুপাতগুলি ভিন্ন হয় (চিত্র 9)।

ভাত। 9. অনুরূপ ত্রিভুজের সমান পার্শ্ব অনুপাত

উদাহরণস্বরূপ, যদি অনুপাত এবং অনুপাত ভিন্ন হয়, তাহলে আমরা স্পর্শক ফাংশনটি প্রবর্তন করতে সক্ষম হতাম না, যেহেতু বিভিন্ন সমকোণী ত্রিভুজের একই কোণের জন্য স্পর্শক ভিন্ন হবে। কিন্তু অনুরূপ সমকোণী ত্রিভুজের পায়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত একই হওয়ার কারণে, ফাংশনের মান ত্রিভুজের উপর নির্ভর করবে না, যার অর্থ হল তীব্র কোণ এবং এর ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মানগুলি একের পর এক.

ধরুন আমরা একটি নির্দিষ্ট গাছের উচ্চতা জানি (চিত্র 10)। কিভাবে একটি কাছাকাছি বিল্ডিং উচ্চতা পরিমাপ?

ভাত। 10. উদাহরণ 2 এর অবস্থার চিত্র

আমরা এমন একটি বিন্দু খুঁজে পাই যে এই বিন্দুর মধ্য দিয়ে আঁকা একটি রেখা এবং বাড়ির উপরের অংশটি গাছের শীর্ষ দিয়ে যাবে (চিত্র 11)।

ভাত। 11. উদাহরণ 2 এর সমস্যার সমাধানের চিত্র

আমরা এই বিন্দু থেকে গাছের দূরত্ব পরিমাপ করতে পারি, এটি থেকে বাড়ির দূরত্ব এবং গাছের উচ্চতা আমরা জানি। অনুপাত থেকে আপনি বাড়ির উচ্চতা খুঁজে পেতে পারেন: .

অনুপাতদুটি সংখ্যার অনুপাতের সমতা। এই ক্ষেত্রে, অনুরূপ সমকোণী ত্রিভুজের পায়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাতের সমতা। অধিকন্তু, এই অনুপাতগুলি কোণের একটি নির্দিষ্ট পরিমাপের সমান, যা একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয় (সংজ্ঞা অনুসারে, এটি একটি স্পর্শক)। আমরা দেখতে পাই যে প্রতিটি তীব্র কোণের জন্য এর ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মান অনন্য। অর্থাৎ, সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট, কোট্যাঞ্জেন্ট আসলেই ফাংশন, যেহেতু প্রতিটি তীব্র কোণ তাদের প্রতিটির একটি মানের সাথে মিলে যায়। ফলস্বরূপ, তাদের আরও অন্বেষণ করা যেতে পারে এবং তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করা যেতে পারে। সমস্ত কোণের জন্য ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির মানগুলি ইতিমধ্যে গণনা করা হয়েছে এবং ব্যবহার করা যেতে পারে (সেগুলি ব্রাডিস টেবিল থেকে বা যে কোনও ইঞ্জিনিয়ারিং ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে পাওয়া যেতে পারে)। কিন্তু আমরা সবসময় বিপরীত সমস্যার সমাধান করতে পারি না (উদাহরণস্বরূপ, সাইনের মান ব্যবহার করে এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ কোণের পরিমাপ পুনরুদ্ধার করতে)।

কিছু কোণের সাইন সমান বা আনুমানিক (চিত্র 12) হতে দিন। এই সাইন মানের সাথে কোন কোণ মিলবে? অবশ্যই, আমরা আবার Bradis টেবিল ব্যবহার করতে পারেন এবং কিছু মান খুঁজে পেতে পারেন, কিন্তু এটি সক্রিয় যে এটি শুধুমাত্র এক হবে না (চিত্র 13)।

ভাত। 12. সাইনের মান দ্বারা একটি কোণ খুঁজে বের করা

ভাত। 13. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের পলিসেমি

ফলস্বরূপ, একটি কোণের ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মান পুনর্গঠন করার সময়, বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের বহুমূল্য প্রকৃতির উদ্ভব হয়। এটা কঠিন মনে হতে পারে, কিন্তু বাস্তবে আমরা প্রতিদিন একই রকম পরিস্থিতির মুখোমুখি হই।

আপনি যদি জানালার পর্দা ঢেকে রাখেন এবং জানেন না যে এটি বাইরে আলো না অন্ধকার, অথবা আপনি যদি নিজেকে একটি গুহায় খুঁজে পান, তবে আপনি যখন জেগে ওঠেন, তখন বলা মুশকিল যে এটি দুপুর একটা বাজে বা রাত। পরের দিন (চিত্র 14)। প্রকৃতপক্ষে, আপনি যদি আমাদের জিজ্ঞাসা করেন "কতটা বাজে?", আমাদের অবশ্যই সততার সাথে উত্তর দিতে হবে: "ঘন্টা প্লাস কোথা দিয়ে গুণ করে"

ভাত। 14. একটি ঘড়ির উদাহরণ ব্যবহার করে পলিসেমির চিত্র

আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে এটি একটি সময়কাল (ব্যবধান যার পরে ঘড়িটি এখনকার মতো একই সময় দেখাবে)। ত্রিকোণমিতিক ফাংশনেরও পিরিয়ড আছে: সাইন, কোসাইন ইত্যাদি। অর্থাৎ, যুক্তিতে কিছু পরিবর্তনের পরে তাদের মানগুলি পুনরাবৃত্তি হয়।

যদি গ্রহে দিন-রাত্রির কোনো পরিবর্তন বা ঋতু পরিবর্তন না হতো, তাহলে আমরা পর্যায়ক্রমিক সময় ব্যবহার করতে পারতাম না। সর্বোপরি, আমরা কেবল ঊর্ধ্বক্রম অনুসারে বছরগুলিকে গণনা করি, তবে দিনগুলির ঘন্টা রয়েছে এবং প্রতি নতুন দিন গণনা নতুনভাবে শুরু হয়। মাসগুলির ক্ষেত্রেও একই অবস্থা: এখন যদি জানুয়ারি হয়, তবে কয়েক মাসের মধ্যে আবার জানুয়ারি আসবে ইত্যাদি। বাহ্যিক রেফারেন্স পয়েন্টগুলি আমাদের পর্যায়ক্রমিক সময়ের গণনা (ঘন্টা, মাস) ব্যবহার করতে সাহায্য করে, উদাহরণস্বরূপ, তার অক্ষের চারপাশে পৃথিবীর ঘূর্ণন এবং আকাশে সূর্য ও চাঁদের অবস্থানের পরিবর্তন। যদি সূর্য সবসময় একই অবস্থানে ঝুলে থাকে, তবে সময় গণনা করতে আমরা এই গণনা শুরু হওয়ার মুহুর্ত থেকে সেকেন্ডের (মিনিট) সংখ্যা গণনা করব। তারিখ এবং সময় এভাবে পড়তে পারে: এক বিলিয়ন সেকেন্ড।

উপসংহার: বিপরীত ফাংশনের পলিসেমির ক্ষেত্রে কোন অসুবিধা নেই। প্রকৃতপক্ষে, একই সাইনের জন্য বিভিন্ন কোণের মান থাকলে বিকল্প থাকতে পারে (চিত্র 15)।

ভাত। 15. সাইনের মান থেকে একটি কোণ পুনরুদ্ধার করা

সাধারণত, ব্যবহারিক সমস্যা সমাধান করার সময়, আমরা সর্বদা স্ট্যান্ডার্ড পরিসর থেকে থেকে পর্যন্ত কাজ করি। এই পরিসরে, ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের প্রতিটি মানের জন্য কোণ পরিমাপের শুধুমাত্র দুটি অনুরূপ মান রয়েছে।

একটি চলন্ত বেল্ট এবং একটি বালতি আকারে একটি গর্ত সহ একটি পেন্ডুলাম বিবেচনা করুন যা থেকে বালি ঢেলে যায়। পেন্ডুলাম দুলছে, টেপ নড়েছে (চিত্র 16)। ফলস্বরূপ, বালি সাইন (বা কোসাইন) ফাংশনের একটি গ্রাফ আকারে একটি ট্রেস ছেড়ে যাবে, যাকে সাইন ওয়েভ বলা হয়।

প্রকৃতপক্ষে, সাইন এবং কোসাইনের গ্রাফগুলি একে অপরের থেকে শুধুমাত্র রেফারেন্স বিন্দুতে পৃথক হয় (যদি আপনি তাদের মধ্যে একটি আঁকেন এবং তারপর স্থানাঙ্ক অক্ষগুলি মুছে ফেলেন, আপনি কোন গ্রাফটি আঁকা হয়েছে তা নির্ধারণ করতে সক্ষম হবেন না)। অতএব, কোসাইন গ্রাফকে একটি গ্রাফ বলার কোন অর্থ নেই (কেন একই গ্রাফের জন্য একটি পৃথক নাম নিয়ে আসা)?

ভাত। 16. উদাহরণ 4-এ সমস্যা বিবৃতিটির চিত্রণ

একটি ফাংশনের গ্রাফ আপনাকে বুঝতে সাহায্য করতে পারে কেন বিপরীত ফাংশনের অনেকগুলি মান থাকবে। সাইনের মান যদি স্থির থাকে, i.e. অ্যাবসিসা অক্ষের সমান্তরাল একটি সরল রেখা আঁকুন, তারপর ছেদ-এ আমরা সমস্ত বিন্দু পাব যেখানে কোণের সাইন প্রদত্ত একের সমান। এটা স্পষ্ট যে এই ধরনের পয়েন্ট অসীম সংখ্যক হবে। ঘড়ির উদাহরণের মতো, যেখানে সময়ের মান % দ্বারা পৃথক, শুধুমাত্র এখানে কোণের মান পরিমাণ দ্বারা পৃথক হবে (চিত্র 17)।

ভাত। 17. সাইনের জন্য পলিসেমির উদাহরণ

যদি আমরা একটি ঘড়ির উদাহরণ বিবেচনা করি, তাহলে বিন্দুটি (ঘড়ির কাঁটার প্রান্ত) বৃত্তের চারপাশে ঘোরে। ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলিকে একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে - একটি সমকোণী ত্রিভুজের কোণগুলি নয়, বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং অক্ষের ধনাত্মক দিকের মধ্যে কোণ বিবেচনা করুন। বিন্দুটি যে বৃত্তের মধ্য দিয়ে যাবে (আমরা একটি বিয়োগ চিহ্ন দিয়ে ঘড়ির কাঁটার দিকে এবং একটি প্লাস চিহ্নের সাথে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে গণনা করতে রাজি হয়েছি), এটি একটি সময়কাল (চিত্র 18)।

ভাত। 18. একটি বৃত্তে সাইনের মান

সুতরাং, বিপরীত ফাংশন একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে স্বতন্ত্রভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই ব্যবধানের জন্য, আমরা এর মানগুলি গণনা করতে পারি, এবং ফাংশনের সময়কাল যোগ এবং বিয়োগ করে পাওয়া মানগুলি থেকে বাকিগুলি পেতে পারি।

একটি সময়ের আরেকটি উদাহরণ দেখা যাক। রাস্তা দিয়ে গাড়ি চলছে। এর কল্পনা করা যাক যে তার চাকা পেইন্ট বা একটি পুডলে চালিত হয়েছে। রাস্তার উপর রং বা পুকুর থেকে মাঝে মাঝে চিহ্ন দেখা যেতে পারে (চিত্র 19)।

ভাত। 19. পিরিয়ড ইলাস্ট্রেশন

স্কুলের কোর্সে ত্রিকোণমিতিক সূত্রের অনেকগুলি আছে, কিন্তু সাধারণভাবে শুধুমাত্র একটি মনে রাখাই যথেষ্ট (চিত্র 20)।

ভাত। 20. ত্রিকোণমিতিক সূত্র

দ্বৈত কোণ সূত্রটি সহজেই যোগফলের সাইন থেকে প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে পাওয়া যেতে পারে (একইভাবে কোসাইনের জন্য)। আপনি পণ্য সূত্র আহরণ করতে পারেন.

আসলে, আপনাকে খুব কম মনে রাখতে হবে, যেহেতু সমস্যাগুলি সমাধান করার সাথে এই সূত্রগুলি নিজেরাই মনে থাকবে। অবশ্যই, কেউ অনেক সিদ্ধান্ত নিতে খুব অলস হবে, কিন্তু তারপর তার এই কৌশল প্রয়োজন হবে না, এবং তাই সূত্র নিজেদের।

আর যেহেতু সূত্রের প্রয়োজন নেই, তাই মুখস্থ করার দরকার নেই। আপনাকে কেবল এই ধারণাটি বুঝতে হবে যে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি এমন ফাংশন যা গণনা করতে ব্যবহৃত হয়, উদাহরণস্বরূপ, সেতু। তাদের ব্যবহার এবং গণনা ছাড়া প্রায় কোনও প্রক্রিয়াই করতে পারে না।

1. প্রায়শই প্রশ্ন ওঠে যে তারগুলি মাটির সাথে একেবারে সমান্তরাল হতে পারে কিনা। উত্তর: না, তারা পারে না, যেহেতু একটি শক্তি নীচের দিকে কাজ করে এবং অন্যগুলি সমান্তরালভাবে কাজ করে - তারা কখনই ভারসাম্য বজায় রাখবে না (চিত্র 21)।

2. একটি রাজহাঁস, একটি ক্রেফিশ এবং একটি পাইক একই সমতলে একটি কার্ট টানছে। রাজহাঁস একদিকে উড়ে যায়, ক্রেফিশ অন্য দিকে টানে এবং পাইক তৃতীয় দিকে (চিত্র 22)। তাদের ক্ষমতা ভারসাম্যপূর্ণ হতে পারে। এই ভারসাম্য ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে।

3. ক্যাবল-স্টেড ব্রিজ (চিত্র 23)। ত্রিকোণমিতিক ফাংশন তারের সংখ্যা গণনা করতে সাহায্য করে, কিভাবে তাদের নির্দেশিত এবং টান করা উচিত।

ভাত। 23. ক্যাবল-স্টেড ব্রিজ

ভাত। 24. "স্ট্রিং ব্রিজ"

ভাত। 25. বলশোই ওবুখভস্কি সেতু

মা-তে-রি-আ-লি সাইটের লিঙ্কইন্টারনেট ইউরোক

গণিত ৬ষ্ঠ শ্রেণী:

জ্যামিতি 8ম শ্রেণী:

ভিডিও কোর্স "একটি A পান" 60-65 পয়েন্ট সহ গণিতে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষা সফলভাবে পাস করার জন্য প্রয়োজনীয় সমস্ত বিষয় অন্তর্ভুক্ত করে৷ সম্পূর্ণরূপে সমস্ত কাজ 1-13 প্রোফাইল ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার গণিতে। গণিতে বেসিক ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষা পাস করার জন্যও উপযুক্ত। আপনি যদি 90-100 পয়েন্ট নিয়ে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হতে চান, তাহলে আপনাকে 30 মিনিটের মধ্যে এবং ভুল ছাড়াই পার্ট 1 সমাধান করতে হবে!

10-11 গ্রেডের জন্য ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার প্রস্তুতির কোর্স, সেইসাথে শিক্ষকদের জন্য। গণিতে (প্রথম 12টি সমস্যা) এবং 13 (ত্রিকোণমিতি) সমস্যায় ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার পার্ট 1 সমাধান করার জন্য আপনার যা কিছু দরকার। এবং এটি ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় 70 পয়েন্টের বেশি, এবং 100-পয়েন্টের ছাত্র বা মানবিকের ছাত্র কেউই এগুলি ছাড়া করতে পারে না।

সমস্ত প্রয়োজনীয় তত্ত্ব। ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার দ্রুত সমাধান, সমস্যা এবং গোপনীয়তা। FIPI টাস্ক ব্যাংক থেকে পার্ট 1 এর সমস্ত বর্তমান কাজ বিশ্লেষণ করা হয়েছে। কোর্সটি সম্পূর্ণরূপে ইউনিফাইড স্টেট এক্সাম 2018 এর প্রয়োজনীয়তা মেনে চলে।

কোর্সটিতে 5টি বড় বিষয় রয়েছে, প্রতিটিতে 2.5 ঘন্টা। প্রতিটি বিষয় স্ক্র্যাচ থেকে, সহজ এবং স্পষ্টভাবে দেওয়া হয়.

শত শত ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার কাজ। শব্দ সমস্যা এবং সম্ভাব্যতা তত্ত্ব। সমস্যা সমাধানের জন্য সহজ এবং মনে রাখা সহজ অ্যালগরিদম। জ্যামিতি. তত্ত্ব, রেফারেন্স উপাদান, সমস্ত ধরণের ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার কাজগুলির বিশ্লেষণ। স্টেরিওমেট্রি। কৌশলী সমাধান, দরকারী চিট শীট, স্থানিক কল্পনার বিকাশ। ত্রিকোণমিতি স্ক্র্যাচ থেকে সমস্যা পর্যন্ত 13. ক্র্যামিংয়ের পরিবর্তে বোঝা। জটিল ধারণার স্পষ্ট ব্যাখ্যা। বীজগণিত। মূল, ক্ষমতা এবং লগারিদম, ফাংশন এবং ডেরিভেটিভ। ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার পার্ট 2 এর জটিল সমস্যা সমাধানের একটি ভিত্তি।

পিছনে এগিয়ে

মনোযোগ! স্লাইড প্রিভিউ শুধুমাত্র তথ্যগত উদ্দেশ্যে এবং উপস্থাপনার সমস্ত বৈশিষ্ট্য উপস্থাপন নাও করতে পারে। আপনি যদি এই কাজটিতে আগ্রহী হন তবে দয়া করে সম্পূর্ণ সংস্করণটি ডাউনলোড করুন।

1। পরিচিতি.

স্কুলের কাছে এসে, আমি জিম থেকে ছেলেদের কণ্ঠস্বর শুনতে পাই, আমি এগিয়ে যাই - তারা গান গায়, আঁকে... আবেগ এবং অনুভূতি সর্বত্র রয়েছে। আমার অফিস, বীজগণিত পাঠ, দশম গ্রেডার্স। এখানে আমাদের পাঠ্যপুস্তক, যেখানে ত্রিকোণমিতি কোর্সটি তার আয়তনের অর্ধেক তৈরি করে এবং এতে দুটি বুকমার্ক রয়েছে - এইগুলি এমন জায়গা যেখানে আমি এমন শব্দ খুঁজে পেয়েছি যা ত্রিকোণমিতির তত্ত্বের সাথে সম্পর্কিত নয়।

অল্প কয়েকজনের মধ্যে এমন ছাত্র রয়েছে যারা গণিত ভালোবাসে, এর সৌন্দর্য অনুভব করে এবং জিজ্ঞাসা করে না কেন ত্রিকোণমিতি অধ্যয়ন করা প্রয়োজন, শেখা উপাদান কোথায় প্রয়োগ করা হয়? সংখ্যাগরিষ্ঠ তারা যারা কেবল অ্যাসাইনমেন্টগুলি সম্পূর্ণ করে যাতে খারাপ গ্রেড না পাওয়া যায়। এবং আমরা দৃঢ়ভাবে বিশ্বাস করি যে গণিতের ফলিত মূল্য হল ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষা সফলভাবে পাস করার এবং একটি বিশ্ববিদ্যালয়ে প্রবেশ করার জন্য যথেষ্ট জ্ঞান অর্জন করা (নথিভুক্ত করা এবং ভুলে যাওয়া)।

উপস্থাপিত পাঠের মূল লক্ষ্য হ'ল মানব ক্রিয়াকলাপের বিভিন্ন ক্ষেত্রে ত্রিকোণমিতির প্রয়োগযোগ্য মান দেখানো। প্রদত্ত উদাহরণগুলি শিক্ষার্থীদের গণিতের এই বিভাগ এবং স্কুলে অধ্যয়ন করা অন্যান্য বিষয়ের মধ্যে সংযোগ দেখতে সাহায্য করবে। এই পাঠের বিষয়বস্তু শিক্ষার্থীদের জন্য পেশাদার প্রশিক্ষণের একটি উপাদান।

একটি আপাতদৃষ্টিতে দীর্ঘ পরিচিত ঘটনা সম্পর্কে নতুন কিছু বলুন. আমরা ইতিমধ্যে যা জানি এবং যা শেখা বাকি রয়েছে তার মধ্যে একটি যৌক্তিক সংযোগ দেখান। দরজাটা একটু খুলে স্কুলের পাঠ্যক্রমের বাইরে তাকাও। অস্বাভাবিক কাজ, আজকের ইভেন্টের সাথে সংযোগ - এই কৌশল যা আমি আমার লক্ষ্য অর্জন করতে ব্যবহার করি। সর্বোপরি, একটি বিষয় হিসাবে স্কুলের গণিত ব্যক্তি, তার চিন্তাভাবনা এবং সংস্কৃতির বিকাশে শেখার ক্ষেত্রে এতটা অবদান রাখে না।

2. বীজগণিত এবং বিশ্লেষণের নীতির উপর পাঠের সারাংশ (গ্রেড 10)।

আয়োজনের সময়:একটি অর্ধবৃত্তে ছয়টি টেবিল সাজান (প্রোটেক্টর মডেল), টেবিলে শিক্ষার্থীদের জন্য ওয়ার্কশীট (অ্যানেক্স 1).

পাঠের বিষয় ঘোষণা করা: "ত্রিকোণমিতি সহজ এবং স্পষ্ট।"

বীজগণিত এবং প্রাথমিক বিশ্লেষণের সময়, আমরা ত্রিকোণমিতি অধ্যয়ন শুরু করি, আমি গণিতের এই বিভাগের প্রয়োগিক তাত্পর্য সম্পর্কে কথা বলতে চাই।

পাঠ থিসিস:

"প্রকৃতির মহান বইটি কেবল তারাই পড়তে পারে যারা এটি যে ভাষায় লেখা হয়েছে তা জানে এবং সেই ভাষাটি গণিত।"
(জি. গ্যালিলিও)।

পাঠের শেষে, আমরা একসাথে চিন্তা করব যে আমরা এই বইটি দেখতে এবং এটি যে ভাষায় লেখা হয়েছিল তা বুঝতে পেরেছি কিনা।

একটি তীব্র কোণের ত্রিকোণমিতি।

ত্রিকোণমিতি একটি গ্রীক শব্দ এবং অনুবাদের অর্থ হল "ত্রিভুজের পরিমাপ।" ত্রিকোণমিতির উত্থান পৃথিবীর পরিমাপ, নির্মাণ এবং জ্যোতির্বিদ্যার সাথে সম্পর্কিত। এবং এটির সাথে আপনার প্রথম পরিচয় ঘটেছিল যখন আপনি একটি প্রটেক্টর তুলেছিলেন। টেবিলগুলো কেমন আছে খেয়াল করেছেন? আপনার মনে এটি সম্পর্কে চিন্তা করুন: আমরা যদি একটি টেবিলকে একটি জ্যা হিসাবে গ্রহণ করি, তাহলে চাপের মাত্রার পরিমাপ কত?

আসুন কোণের পরিমাপ মনে রাখা যাক: 1 ° = 1/360একটি বৃত্তের অংশ ("ডিগ্রী" - ল্যাটিন গ্রেড থেকে - ধাপ)। আপনি কি জানেন কেন বৃত্তটিকে 360 ভাগে ভাগ করা হয়েছিল, কেন 10, 100 বা 1000 ভাগে ভাগ করা হয়নি, যেমনটি ঘটে, উদাহরণস্বরূপ, দৈর্ঘ্য পরিমাপ করার সময়? আমি আপনাকে সংস্করণগুলির একটি বলব।

পূর্বে, লোকেরা বিশ্বাস করত যে পৃথিবী মহাবিশ্বের কেন্দ্র এবং এটি গতিহীন, এবং সূর্য প্রতিদিন পৃথিবীর চারপাশে একটি বিপ্লব ঘটায়, পৃথিবীর ভূকেন্দ্রিক ব্যবস্থা, "জিও" - পৃথিবী ( চিত্র নং- 1) ব্যাবিলনীয় পুরোহিতরা যারা জ্যোতির্বিদ্যা পর্যবেক্ষণ করেছিলেন তারা আবিষ্কার করেছিলেন যে বিষুব দিবসে সূর্য, সূর্যোদয় থেকে সূর্যাস্ত পর্যন্ত, স্বর্গের ভল্টে একটি অর্ধবৃত্ত বর্ণনা করে, যেখানে সূর্যের দৃশ্যমান ব্যাস (ব্যাস) ঠিক 180 বার ফিট করে, 1 ° - সূর্যের ট্রেস। ( চিত্র নং 2).

দীর্ঘকাল ধরে, ত্রিকোণমিতি ছিল সম্পূর্ণরূপে জ্যামিতিক প্রকৃতির। আপনি সমকোণী ত্রিভুজ সমাধান করে ত্রিকোণমিতির সাথে আপনার পরিচয় চালিয়ে যান। আপনি শিখেছেন যে একটি সমকোণী ত্রিভুজের তীক্ষ্ণ কোণের সাইন হল কর্ণের বিপরীত বাহুর অনুপাত, কোসাইন হল কর্ণের সন্নিহিত বাহুর অনুপাত, স্পর্শক হল বিপরীত বাহুর সন্নিহিত বাহুর অনুপাত এবং কোট্যানজেন্ট বিপরীত দিকের পাশের অনুপাত। এবং মনে রাখবেন যে একটি প্রদত্ত কোণ বিশিষ্ট সমকোণী ত্রিভুজে, বাহুগুলির অনুপাত ত্রিভুজের আকারের উপর নির্ভর করে না। নির্বিচারে ত্রিভুজ সমাধানের জন্য সাইন এবং কোসাইন উপপাদ্য শিখুন।

2010 সালে, মস্কো মেট্রো 75 বছর বয়সে পরিণত হয়েছিল। প্রতিদিন আমরা পাতাল রেলে যাই এবং খেয়াল করি না যে...

টাস্ক নং 1।মস্কো মেট্রোর সমস্ত এসকেলেটরের প্রবণতা কোণ 30 ডিগ্রি। এটি জেনে, এসকেলেটরে আলোর সংখ্যা এবং ল্যাম্পগুলির মধ্যে আনুমানিক দূরত্ব, আপনি স্টেশনটির আনুমানিক গভীরতা গণনা করতে পারেন। Tsvetnoy বুলেভার্ড স্টেশনে এসকেলেটরে 15টি বাতি এবং প্রাজস্কায়া স্টেশনে 2টি বাতি রয়েছে৷ এই স্টেশনগুলির গভীরতা গণনা করুন যদি বাতিগুলির মধ্যে দূরত্ব, এসকেলেটরের প্রবেশদ্বার থেকে প্রথম বাতি পর্যন্ত এবং শেষ বাতি থেকে এসকেলেটর প্রস্থান পর্যন্ত, 6 মিটার ( চিত্র নং 3) উত্তর: 48 মি এবং 9 মি

বাড়ির কাজ. মস্কো মেট্রোর গভীরতম স্টেশন হল ভিক্টোরি পার্ক। এর গভীরতা কত? আপনার হোমওয়ার্ক সমস্যা সমাধানের জন্য আমি আপনাকে স্বাধীনভাবে অনুপস্থিত ডেটা খুঁজে বের করার পরামর্শ দিই।

আমার হাতে একটি লেজার পয়েন্টার আছে, এটি একটি রেঞ্জ ফাইন্ডারও। এর পরিমাপ করা যাক, উদাহরণস্বরূপ, বোর্ডের দূরত্ব।

চীনা ডিজাইনার হুয়ান কিয়াওকুন দুটি লেজার রেঞ্জফাইন্ডার এবং একটি প্রটেক্টরকে একটি ডিভাইসে একত্রিত করার অনুমান করেছিলেন এবং একটি সরঞ্জাম পেয়েছেন যা আপনাকে একটি সমতলের দুটি পয়েন্টের মধ্যে দূরত্ব নির্ধারণ করতে দেয় ( চিত্র নং 4) আপনি কি মনে করেন এই সমস্যার সমাধান? কোসাইন উপপাদ্যের গঠন মনে রাখবেন। আপনি কি আমার সাথে একমত যে আপনার জ্ঞান ইতিমধ্যে এই ধরনের একটি আবিষ্কার করতে যথেষ্ট? জ্যামিতি সমস্যার সমাধান করুন এবং প্রতিদিন ছোট ছোট আবিষ্কার করুন!

গোলাকার ত্রিকোণমিতি।

ইউক্লিডের সমতল জ্যামিতি (প্লানিমেট্রি) ছাড়াও, অন্যান্য জ্যামিতিও থাকতে পারে যেখানে পরিসংখ্যানের বৈশিষ্ট্যগুলি সমতলে নয়, অন্যান্য পৃষ্ঠে, উদাহরণস্বরূপ, একটি বলের পৃষ্ঠে ( চিত্র নং 5) প্রথম গণিতবিদ যিনি অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতির বিকাশের ভিত্তি স্থাপন করেছিলেন তিনি ছিলেন N.I. লোবাচেভস্কি - "জ্যামিতির কোপার্নিকাস"। 1827 থেকে 19 বছর তিনি কাজান বিশ্ববিদ্যালয়ের রেক্টর ছিলেন।

গোলাকার ত্রিকোণমিতি, যা গোলাকার জ্যামিতির অংশ, একটি গোলকের উপর বৃহৎ বৃত্তের চাপ দ্বারা গঠিত একটি গোলকের বাহু এবং কোণের মধ্যে সম্পর্ক বিবেচনা করে ( চিত্র নং 6).

ঐতিহাসিকভাবে, গোলাকার ত্রিকোণমিতি এবং জ্যামিতি জ্যোতির্বিদ্যা, জিওডেসি, নেভিগেশন এবং কার্টোগ্রাফির প্রয়োজন থেকে উদ্ভূত হয়েছিল। সাম্প্রতিক বছরগুলিতে এই অঞ্চলগুলির মধ্যে কোনটি এত দ্রুত বিকাশ লাভ করেছে তা নিয়ে ভাবুন যে এর ফলাফলগুলি ইতিমধ্যে আধুনিক যোগাযোগকারীগুলিতে ব্যবহৃত হচ্ছে। ... নেভিগেশনের একটি আধুনিক প্রয়োগ হল একটি স্যাটেলাইট নেভিগেশন সিস্টেম, যা আপনাকে রিসিভার থেকে একটি সংকেত থেকে একটি বস্তুর অবস্থান এবং গতি নির্ধারণ করতে দেয়।

গ্লোবাল নেভিগেশন সিস্টেম (জিপিএস)। রিসিভারের অক্ষাংশ এবং দ্রাঘিমাংশ নির্ধারণ করতে, কমপক্ষে তিনটি উপগ্রহ থেকে সংকেত গ্রহণ করা প্রয়োজন। চতুর্থ উপগ্রহ থেকে একটি সংকেত প্রাপ্ত করা পৃষ্ঠের উপরে বস্তুর উচ্চতা নির্ধারণ করা সম্ভব করে তোলে ( চিত্র নং 7).

রিসিভার কম্পিউটার চারটি অজানাতে চারটি সমীকরণ সমাধান করে যতক্ষণ না একটি সমাধান পাওয়া যায় যা একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে সমস্ত বৃত্ত আঁকে ( চিত্র নং 8).

তীব্র কোণ ত্রিকোণমিতির জ্ঞান আরও জটিল ব্যবহারিক সমস্যা সমাধানের জন্য অপর্যাপ্ত বলে প্রমাণিত হয়েছে। ঘূর্ণন এবং বৃত্তাকার আন্দোলন অধ্যয়ন করার সময়, কোণ এবং বৃত্তাকার চাপের মান সীমাবদ্ধ নয়। একটি সাধারণীকৃত যুক্তির ত্রিকোণমিতিতে যাওয়ার প্রয়োজন দেখা দিয়েছে।

একটি সাধারণীকৃত যুক্তির ত্রিকোণমিতি।

চক্র ( চিত্র নং 9) ধনাত্মক কোণগুলি ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে প্লট করা হয়, ঋণাত্মক কোণগুলি ঘড়ির কাঁটার দিকে প্লট করা হয়। আপনি কি এই ধরনের চুক্তির ইতিহাসের সাথে পরিচিত?

আপনি জানেন যে, যান্ত্রিক এবং সূর্য ঘড়ি এমনভাবে ডিজাইন করা হয়েছে যে তাদের হাত "সূর্য বরাবর" ঘোরে, অর্থাৎ। যে দিকে আমরা পৃথিবীর চারপাশে সূর্যের আপাত গতিবিধি দেখতে পাই। (পাঠের শুরু মনে রাখবেন - বিশ্বের ভূকেন্দ্রিক সিস্টেম)। কিন্তু সূর্যের চারপাশে পৃথিবীর সত্য (ধনাত্মক) গতির কোপার্নিকাস আবিষ্কারের সাথে সাথে, পৃথিবীর চারপাশে সূর্যের গতি আমরা দেখতে পাই (অর্থাৎ, আপাত) কাল্পনিক (নেতিবাচক)। পৃথিবীর সূর্যকেন্দ্রিক সিস্টেম (হেলিও - সূর্য) ( চিত্র নং 10).

গা গরম করা.

1. আপনার ডান হাতটি আপনার সামনে প্রসারিত করুন, টেবিলের পৃষ্ঠের সমান্তরাল, এবং 720 ডিগ্রীর একটি বৃত্তাকার ঘূর্ণন সঞ্চালন করুন।
2. আপনার বাম হাতটি আপনার সামনে প্রসারিত করুন, টেবিলের পৃষ্ঠের সমান্তরালে, এবং (–1080) ডিগ্রী একটি বৃত্তাকার ঘূর্ণন সঞ্চালন করুন।
3. আপনার কাঁধে আপনার হাত রাখুন এবং পিছনে এবং পিছনে 4 বৃত্তাকার আন্দোলন করুন। ঘূর্ণন কোণের সমষ্টি কত?

2010 সালে, ভ্যাঙ্কুভারে শীতকালীন অলিম্পিক গেমস অনুষ্ঠিত হয়েছিল; আমরা সমস্যার সমাধান করে স্কেটারের অনুশীলনের মানদণ্ড শিখি।

টাস্ক নং 2।যদি একজন স্কেটার 12 সেকেন্ডের মধ্যে "স্ক্রু" ব্যায়াম করার সময় 10,800-ডিগ্রী বাঁক নেয়, তাহলে সে একটি "চমৎকার" রেটিং পায়। এই সময়ে স্কেটার কতগুলি বিপ্লব ঘটাবে এবং তার ঘূর্ণনের গতি (প্রতি সেকেন্ডে বিপ্লব) নির্ধারণ করুন। উত্তর: 2.5 বিপ্লব/সেকেন্ড।

বাড়ির কাজ. স্কেটার কোন কোণে ঘুরবে, যিনি একটি "অসন্তোষজনক" রেটিং পেয়েছেন, যদি একই ঘূর্ণন সময়ে তার গতি প্রতি সেকেন্ডে 2টি ঘূর্ণন হয়।

একটি কোণ বা চাপ পরিমাপের একটি বৃহত্তর একক হিসাবে ঘূর্ণনশীল আন্দোলনের সাথে যুক্ত আর্কস এবং কোণের সবচেয়ে সুবিধাজনক পরিমাপ রেডিয়ান (ব্যাসার্ধ) পরিমাপ হিসাবে পরিণত হয়েছে ( চিত্র নং 11) কোণের এই পরিমাপ লিওনহার্ড অয়লারের অসাধারণ কাজের মাধ্যমে বিজ্ঞানে প্রবেশ করেছে। জন্মসূত্রে সুইস, তিনি 30 বছর ধরে রাশিয়ায় ছিলেন এবং সেন্ট পিটার্সবার্গ একাডেমি অফ সায়েন্সেসের সদস্য ছিলেন। এটি তাঁর কাছেই যে আমরা সমস্ত ত্রিকোণমিতির "বিশ্লেষণমূলক" ব্যাখ্যার জন্য ঋণী, তিনি সেই সূত্রগুলি বের করেছেন যা আপনি এখন অধ্যয়ন করছেন, অভিন্ন লক্ষণগুলি প্রবর্তন করেছেন: পাপ এক্স, কারণ এক্স, tg এক্স, ctg এক্স.

যদি 17 শতক পর্যন্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মতবাদের বিকাশ একটি জ্যামিতিক ভিত্তিতে তৈরি করা হয়, তাহলে, 17 শতক থেকে শুরু করে, ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি মেকানিক্স, অপটিক্স, বিদ্যুতের সমস্যা সমাধানের জন্য প্রয়োগ করা শুরু হয়, দোলনীয় প্রক্রিয়া এবং তরঙ্গ বর্ণনা করতে। প্রচার যেখানেই আমাদের পর্যায়ক্রমিক প্রক্রিয়া এবং দোলনের সাথে মোকাবিলা করতে হবে, ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি প্রয়োগ পেয়েছে। পর্যায়ক্রমিক প্রক্রিয়ার আইনগুলিকে প্রকাশ করে এমন ফাংশনগুলির একটি বিশেষ সম্পত্তি রয়েছে যা শুধুমাত্র তাদের অন্তর্নিহিত রয়েছে: তারা যুক্তিতে পরিবর্তনের একই ব্যবধানের মাধ্যমে তাদের মানগুলি পুনরাবৃত্তি করে। যেকোন ফাংশনের পরিবর্তনগুলি তার গ্রাফে সবচেয়ে স্পষ্টভাবে জানানো হয় ( চিত্র নং 12).

ঘূর্ণন জড়িত সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় আমরা ইতিমধ্যে সাহায্যের জন্য আমাদের শরীরের দিকে ফিরে এসেছি। আসুন আমাদের হার্টবিট শুনি। হৃদয় একটি স্বাধীন অঙ্গ। হৃৎপিণ্ড ছাড়া আমাদের যেকোনো পেশি নিয়ন্ত্রণ করে মস্তিষ্ক। এটির নিজস্ব নিয়ন্ত্রণ কেন্দ্র রয়েছে - সাইনাস নোড। হৃৎপিণ্ডের প্রতিটি সংকোচনের সাথে, একটি বৈদ্যুতিক প্রবাহ সারা শরীরে ছড়িয়ে পড়ে - সাইনাস নোড থেকে শুরু করে (একটি বাজরের দানার আকার)। এটি একটি ইলেক্ট্রোকার্ডিওগ্রাফ ব্যবহার করে রেকর্ড করা যেতে পারে। তিনি একটি ইলেক্ট্রোকার্ডিওগ্রাম (sinusoid) আঁকেন ( চিত্র নং 13).

এবার আসা যাক মিউজিক নিয়ে। গণিত হল সঙ্গীত, এটি বুদ্ধিমত্তা এবং সৌন্দর্যের মিলন।
গণিতে গণিত, বিমূর্ততায় বীজগণিত, সৌন্দর্যে ত্রিকোণমিতি। হারমোনিক দোলন (হারমোনিক) একটি সাইনোসয়েডাল দোলন। গ্রাফটি দেখায় কিভাবে শ্রোতার কানের পর্দায় বায়ুর চাপ পরিবর্তিত হয়: একটি চাপে উপরে এবং নিচে, পর্যায়ক্রমে। বায়ু চাপ, এখন শক্তিশালী, এখন দুর্বল. প্রভাবের শক্তি খুবই ছোট এবং কম্পন খুব দ্রুত ঘটে: প্রতি সেকেন্ডে শত শত এবং হাজার হাজার ধাক্কা। আমরা শব্দ হিসাবে যেমন পর্যায়ক্রমিক কম্পন উপলব্ধি. দুটি ভিন্ন সুরের সংযোজন আরও জটিল আকারের একটি কম্পন দেয়। তিনটি হারমোনিক্সের যোগফল আরও জটিল, এবং প্রাকৃতিক শব্দ এবং বাদ্যযন্ত্রের শব্দগুলি প্রচুর হারমোনিক্স দ্বারা গঠিত। ( চিত্র নং 14.)

প্রতিটি সুরেলা তিনটি পরামিতি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়: প্রশস্ততা, ফ্রিকোয়েন্সি এবং ফেজ। দোলন ফ্রিকোয়েন্সি দেখায় যে এক সেকেন্ডে বায়ুচাপের কতগুলি শক ঘটে। উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সি "উচ্চ", "পাতলা" শব্দ হিসাবে অনুভূত হয়। 10 KHz-এর উপরে - চিৎকার, বাঁশি। ছোট ফ্রিকোয়েন্সিগুলিকে "নিম্ন", "খাদ" শব্দ, গর্জন হিসাবে ধরা হয়। প্রশস্ততা হল কম্পনের পরিসীমা। ব্যাপ্তি যত বড়, কানের পর্দার উপর প্রভাব তত বেশি এবং আমরা যত জোরে শব্দ শুনতে পাই ( চিত্র নং 15) পর্যায় হল সময়ের মধ্যে দোলনের স্থানচ্যুতি। পর্যায় ডিগ্রী বা রেডিয়ানে পরিমাপ করা যেতে পারে। ধাপের উপর নির্ভর করে, গ্রাফের শূন্য বিন্দু স্থানান্তরিত হয়। একটি সুরেলা সেট করার জন্য, -180 থেকে +180 ডিগ্রি পর্যন্ত ফেজটি নির্দিষ্ট করা যথেষ্ট, যেহেতু বড় মানগুলিতে দোলন পুনরাবৃত্তি হয়। একই প্রশস্ততা এবং ফ্রিকোয়েন্সি সহ দুটি সাইনোসয়েডাল সংকেত, কিন্তু বিভিন্ন পর্যায়, বীজগণিতভাবে যুক্ত করা হয় ( চিত্র নং 16).

পাঠের সারাংশ।আপনি কি মনে করেন যে আমরা প্রকৃতির মহান বই থেকে কয়েকটি পৃষ্ঠা পড়তে পেরেছি? ত্রিকোণমিতির ফলিত তাত্পর্য সম্পর্কে জানার পরে, মানব ক্রিয়াকলাপের বিভিন্ন ক্ষেত্রে এর ভূমিকা কি আপনার কাছে স্পষ্ট হয়ে উঠেছে, আপনি কি উপস্থাপিত উপাদানটি বুঝতে পেরেছেন? তারপর মনে রাখবেন এবং ত্রিকোণমিতির প্রয়োগের ক্ষেত্রগুলি তালিকাভুক্ত করুন যা আপনি আজকে দেখা করেছেন বা আগে জানতেন। আমি আশা করি আপনারা প্রত্যেকেই আজকের পাঠে নতুন এবং আকর্ষণীয় কিছু খুঁজে পেয়েছেন। সম্ভবত এই নতুন জিনিসটি আপনাকে ভবিষ্যতের পেশা বেছে নেওয়ার উপায় বলে দেবে, কিন্তু আপনি যেই হোন না কেন, আপনার গাণিতিক শিক্ষা আপনাকে একজন পেশাদার এবং একজন বুদ্ধিবৃত্তিকভাবে উন্নত ব্যক্তি হতে সাহায্য করবে।

বাড়ির কাজ. পাঠের সারাংশ পড়ুন ( পরিশিষ্ট নং 2), সমস্যা সমাধান ( পরিশিষ্ট নং- 1).

সাইন, কোসাইন, স্পর্শক - উচ্চ বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের উপস্থিতিতে এই শব্দগুলি উচ্চারণ করার সময়, আপনি নিশ্চিত হতে পারেন যে তাদের দুই তৃতীয়াংশ আরও কথোপকথনে আগ্রহ হারাবে। কারণটি এই সত্যের মধ্যে রয়েছে যে স্কুলে ত্রিকোণমিতির মূল বিষয়গুলি বাস্তবতা থেকে সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্নভাবে শেখানো হয়, এবং সেইজন্য শিক্ষার্থীরা সূত্র এবং উপপাদ্যগুলি অধ্যয়নের বিষয়টি দেখতে পায় না।

প্রকৃতপক্ষে, ঘনিষ্ঠভাবে পরীক্ষা করার পরে, জ্ঞানের এই ক্ষেত্রটি খুব আকর্ষণীয় বলে প্রমাণিত হয়, পাশাপাশি প্রয়োগ করা হয় - ত্রিকোণমিতি জ্যোতির্বিদ্যা, নির্মাণ, পদার্থবিদ্যা, সঙ্গীত এবং অন্যান্য অনেক ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়।

আসুন মৌলিক ধারণাগুলির সাথে পরিচিত হই এবং গাণিতিক বিজ্ঞানের এই শাখাটি অধ্যয়নের জন্য কয়েকটি কারণের নাম বলি।

গল্প

কোন সময়ে মানবতা স্ক্র্যাচ থেকে ভবিষ্যতের ত্রিকোণমিতি তৈরি করতে শুরু করেছিল তা অজানা। যাইহোক, এটি নথিভুক্ত করা হয়েছে যে ইতিমধ্যেই খ্রিস্টপূর্ব দ্বিতীয় সহস্রাব্দে, মিশরীয়রা এই বিজ্ঞানের মূল বিষয়গুলির সাথে পরিচিত ছিল: প্রত্নতাত্ত্বিকরা একটি কাজ সহ একটি প্যাপিরাস খুঁজে পেয়েছিলেন যেখানে এটি দুটি পরিচিত দিকে পিরামিডের প্রবণতার কোণ খুঁজে বের করার প্রয়োজন ছিল।

প্রাচীন ব্যাবিলনের বিজ্ঞানীরা আরও গুরুতর সাফল্য অর্জন করেছিলেন। কয়েক শতাব্দী ধরে, জ্যোতির্বিদ্যা অধ্যয়ন করে, তারা বেশ কয়েকটি উপপাদ্য আয়ত্ত করেছে, কোণ পরিমাপের জন্য বিশেষ পদ্ধতি চালু করেছে, যা আমরা আজ ব্যবহার করি: ডিগ্রি, মিনিট এবং সেকেন্ড গ্রিকো-রোমান সংস্কৃতিতে ইউরোপীয় বিজ্ঞান দ্বারা ধার করা হয়েছিল, যার মধ্যে এই ইউনিটগুলি ব্যাবিলনীয়দের থেকে এসেছে।

ধারণা করা হয় যে বিখ্যাত পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য, ত্রিকোণমিতির মূল বিষয়গুলির সাথে সম্পর্কিত, প্রায় চার হাজার বছর আগে ব্যাবিলনীয়দের কাছে পরিচিত ছিল।

নাম

আক্ষরিক অর্থে, "ত্রিকোণমিতি" শব্দটিকে "ত্রিভুজের পরিমাপ" হিসাবে অনুবাদ করা যেতে পারে। বহু শতাব্দী ধরে বিজ্ঞানের এই বিভাগে অধ্যয়নের প্রধান উদ্দেশ্য ছিল সমকোণী ত্রিভুজ, বা আরও স্পষ্ট করে বলতে গেলে, কোণের মাত্রা এবং এর বাহুর দৈর্ঘ্যের মধ্যে সম্পর্ক (আজ, এই বিভাগটি দিয়ে ত্রিকোণমিতির অধ্যয়ন শুরু হয়) . জীবনে প্রায়শই এমন পরিস্থিতি আসে যখন কোনও বস্তুর সমস্ত প্রয়োজনীয় প্যারামিটার (বা বস্তুর দূরত্ব) পরিমাপ করা কার্যত অসম্ভব এবং তারপরে গণনার মাধ্যমে অনুপস্থিত ডেটা প্রাপ্ত করা প্রয়োজন হয়ে পড়ে।

উদাহরণস্বরূপ, অতীতে, মানুষ মহাকাশ বস্তুর দূরত্ব পরিমাপ করতে পারেনি, কিন্তু এই দূরত্বগুলি গণনা করার প্রচেষ্টা আমাদের যুগের আবির্ভাবের অনেক আগে ঘটেছে। ত্রিকোণমিতিও নেভিগেশনে একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করেছিল: কিছু জ্ঞানের সাথে, ক্যাপ্টেন সবসময় রাতে তারার দ্বারা নেভিগেট করতে পারে এবং কোর্সটি সামঞ্জস্য করতে পারে।

মৌলিক ধারণা

প্রথম থেকে ত্রিকোণমিতি আয়ত্ত করার জন্য বেশ কয়েকটি মৌলিক পদ বোঝা এবং মনে রাখা প্রয়োজন।

একটি নির্দিষ্ট কোণের সাইন হল কর্ণের বিপরীত বাহুর অনুপাত। আসুন আমরা স্পষ্ট করি যে বিপরীত পা হল সেই দিকটি যে কোণটি আমরা বিবেচনা করছি তার বিপরীতে অবস্থিত। এইভাবে, যদি একটি কোণ 30 ডিগ্রি হয়, এই কোণের সাইন সর্বদা, ত্রিভুজের যেকোনো আকারের জন্য, ½ এর সমান হবে। একটি কোণের কোসাইন হল কর্ণের সংলগ্ন পায়ের অনুপাত।

স্পর্শক হল পার্শ্ববর্তী বাহুর বিপরীত বাহুর অনুপাত (অথবা, যা একই, সাইন থেকে কোসাইনের অনুপাত)। কোট্যাঞ্জেন্ট হল স্পর্শক দ্বারা বিভক্ত একক।

এটি বিখ্যাত সংখ্যা Pi (3.14...) উল্লেখ করার মতো, যা একটি একক ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের অর্ধেক দৈর্ঘ্য।

জনপ্রিয় ভুল

স্ক্র্যাচ থেকে ত্রিকোণমিতি শেখার লোকেরা অনেকগুলি ভুল করে - বেশিরভাগই অসাবধানতার কারণে।

প্রথমত, জ্যামিতি সমস্যার সমাধান করার সময়, আপনাকে অবশ্যই মনে রাখতে হবে যে সাইন এবং কোসাইন ব্যবহার শুধুমাত্র সমকোণী ত্রিভুজেই সম্ভব। এটি ঘটে যে একজন ছাত্র "স্বয়ংক্রিয়ভাবে" একটি ত্রিভুজের দীর্ঘতম দিকটি কর্ণ হিসাবে গ্রহণ করে এবং ভুল গণনার ফলাফল পায়।

দ্বিতীয়ত, প্রথমে নির্বাচিত কোণের জন্য সাইন এবং কোসাইনের মানগুলিকে বিভ্রান্ত করা সহজ: মনে রাখবেন যে 30 ডিগ্রির সাইন সংখ্যাগতভাবে 60 এর কোসাইনের সমান, এবং তদ্বিপরীত। আপনি যদি একটি ভুল সংখ্যা প্রতিস্থাপন করেন, তাহলে পরবর্তী সমস্ত গণনা ভুল হবে।

তৃতীয়ত, সমস্যাটি সম্পূর্ণরূপে সমাধান না হওয়া পর্যন্ত, আপনার কোনো মানকে বৃত্তাকার করা, মূল বের করা বা দশমিক হিসাবে একটি সাধারণ ভগ্নাংশ লেখা উচিত নয়। প্রায়শই শিক্ষার্থীরা ত্রিকোণমিতির সমস্যায় একটি "সুন্দর" সংখ্যা পেতে এবং অবিলম্বে তিনটির মূল বের করার চেষ্টা করে, যদিও ঠিক একটি ক্রিয়াকলাপের পরে এই মূলটি হ্রাস করা যেতে পারে।

"সাইন" শব্দের ব্যুৎপত্তি

"সাইন" শব্দের ইতিহাস সত্যিই অস্বাভাবিক। আসল বিষয়টি হ'ল ল্যাটিন থেকে এই শব্দের আক্ষরিক অনুবাদের অর্থ "ফাঁপা"। এর কারণ হল এক ভাষা থেকে অন্য ভাষাতে অনুবাদের সময় শব্দের সঠিক বোধগম্যতা হারিয়ে গেছে।

মৌলিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির নামগুলি ভারত থেকে উদ্ভূত হয়েছে, যেখানে সাইনের ধারণাটি সংস্কৃতে "স্ট্রিং" শব্দ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছিল - সত্যটি হল যে অংশটি, বৃত্তের চাপের সাথে একত্রে এটি একটি ধনুকের মতো দেখায়। . আরব সভ্যতার উর্ধ্বগতির সময়ে, ত্রিকোণমিতির ক্ষেত্রে ভারতীয় অর্জনগুলি ধার করা হয়েছিল এবং শব্দটি আরবি ভাষায় ট্রান্সক্রিপশন হিসাবে পাস হয়েছিল। এটি তাই ঘটেছে যে এই ভাষার ইতিমধ্যেই একটি বিষণ্নতা বোঝানো একটি অনুরূপ শব্দ ছিল, এবং যদি আরবরা স্থানীয় এবং ধার করা শব্দের মধ্যে ধ্বনিগত পার্থক্য বুঝতে পারে, তবে ইউরোপীয়রা, বৈজ্ঞানিক গ্রন্থগুলি ল্যাটিনে অনুবাদ করে, ভুলভাবে আরবি শব্দটিকে আক্ষরিকভাবে অনুবাদ করেছিল, যার কিছুই ছিল না। সাইন ধারণার সাথে কি করতে হবে। আমরা আজও এটি ব্যবহার করি।

মান সারণী

সমস্ত সম্ভাব্য কোণের সাইন, কোসাইন এবং স্পর্শকগুলির জন্য সাংখ্যিক মান ধারণ করে এমন টেবিল রয়েছে। নীচে আমরা 0, 30, 45, 60 এবং 90 ডিগ্রীর কোণগুলির জন্য ডেটা উপস্থাপন করছি, যা অবশ্যই "ডামি" এর জন্য ত্রিকোণমিতির একটি বাধ্যতামূলক বিভাগ হিসাবে শিখতে হবে, সেগুলি মনে রাখা বেশ সহজ।

যদি এমন হয় যে একটি কোণের সাইন বা কোসাইনের সাংখ্যিক মান "আপনার মাথা থেকে বেরিয়ে গেছে" তবে এটি নিজেই বের করার একটি উপায় রয়েছে।

জ্যামিতিক উপস্থাপনা

আসুন একটি বৃত্ত আঁকি এবং এর কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে অ্যাবসিসা এবং অর্ডিনেট অক্ষগুলি আঁকি। অ্যাবসিসা অক্ষটি অনুভূমিক, অর্ডিনেট অক্ষটি উল্লম্ব। এগুলি সাধারণত যথাক্রমে "X" এবং "Y" হিসাবে স্বাক্ষরিত হয়। এখন আমরা বৃত্তের কেন্দ্র থেকে একটি সরল রেখা আঁকব যাতে এটি এবং X অক্ষের মধ্যে আমাদের প্রয়োজনীয় কোণটি পাওয়া যায়। অবশেষে, সরলরেখাটি বৃত্তটিকে ছেদ করে এমন বিন্দু থেকে, আমরা X অক্ষে একটি লম্ব ড্রপ করি যার ফলে রেখার দৈর্ঘ্য আমাদের কোণের সাইনের সংখ্যাসূচক মানের সমান হবে।

এই পদ্ধতিটি খুবই প্রাসঙ্গিক যদি আপনি প্রয়োজনীয় মান ভুলে যান, উদাহরণস্বরূপ, একটি পরীক্ষার সময়, এবং আপনার হাতে ত্রিকোণমিতির পাঠ্যপুস্তক না থাকে। আপনি এইভাবে একটি সঠিক সংখ্যা পাবেন না, তবে আপনি অবশ্যই ½ এবং 1.73/2 (30 ডিগ্রি কোণের সাইন এবং কোসাইন) এর মধ্যে পার্থক্য দেখতে পাবেন।

আবেদন

ত্রিকোণমিতি ব্যবহার করা প্রথম বিশেষজ্ঞদের মধ্যে কয়েকজন নাবিক ছিলেন যাদের মাথার উপরে আকাশ ছাড়া উচ্চ সমুদ্রে অন্য কোন রেফারেন্স পয়েন্ট ছিল না। আজ, জাহাজের ক্যাপ্টেনরা (বিমান এবং পরিবহনের অন্যান্য উপায়) তারা ব্যবহার করে সংক্ষিপ্ততম পথের সন্ধান করে না, তবে সক্রিয়ভাবে জিপিএস নেভিগেশন অবলম্বন করে, যা ত্রিকোণমিতির ব্যবহার ছাড়া অসম্ভব হবে।

পদার্থবিজ্ঞানের প্রায় প্রতিটি বিভাগে আপনি সাইন এবং কোসাইন ব্যবহার করে গণনা পাবেন: বলবিদ্যায় বল প্রয়োগ, গতিবিদ্যায় বস্তুর পথের গণনা, কম্পন, তরঙ্গ প্রচার, আলোর প্রতিসরণ - আপনি মৌলিক ত্রিকোণমিতি ছাড়া করতে পারবেন না। সূত্র

আরেকটি পেশা যা ত্রিকোণমিতি ছাড়া কল্পনা করা যায় না তা হল সার্ভেয়ার। একটি থিওডোলাইট এবং একটি স্তর বা আরও জটিল ডিভাইস - একটি টেকোমিটার ব্যবহার করে, এই লোকেরা পৃথিবীর পৃষ্ঠের বিভিন্ন বিন্দুর মধ্যে উচ্চতার পার্থক্য পরিমাপ করে।

পুনরাবৃত্তিযোগ্যতা

ত্রিকোণমিতি শুধুমাত্র একটি ত্রিভুজের কোণ এবং বাহু নিয়েই কাজ করে না, যদিও এখান থেকেই এর অস্তিত্ব শুরু হয়েছিল। যে সমস্ত ক্ষেত্রে সাইক্লিসিটি উপস্থিত রয়েছে (জীববিজ্ঞান, ওষুধ, পদার্থবিদ্যা, সঙ্গীত, ইত্যাদি) আপনি একটি গ্রাফের মুখোমুখি হবেন যার নাম সম্ভবত আপনার পরিচিত - এটি একটি সাইন ওয়েভ।

এই ধরনের একটি গ্রাফ হল একটি বৃত্ত যা সময় অক্ষ বরাবর উন্মোচিত হয় এবং একটি তরঙ্গের মতো দেখায়। আপনি যদি কখনও পদার্থবিজ্ঞানের ক্লাসে অসিলোস্কোপ নিয়ে কাজ করে থাকেন তবে আপনি জানেন যে আমরা কী সম্পর্কে কথা বলছি। মিউজিক ইকুয়ালাইজার এবং হার্ট রেট মনিটর উভয়ই তাদের কাজে ত্রিকোণমিতি সূত্র ব্যবহার করে।

অবশেষে

ত্রিকোণমিতি কীভাবে শিখতে হয় তা নিয়ে চিন্তা করার সময়, বেশিরভাগ মাধ্যমিক এবং উচ্চ বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীরা এটিকে একটি কঠিন এবং অবাস্তব বিজ্ঞান হিসাবে বিবেচনা করতে শুরু করে, কারণ তারা কেবল পাঠ্যপুস্তক থেকে বিরক্তিকর তথ্যের সাথে পরিচিত হয়।

অব্যবহারিকতার জন্য, আমরা ইতিমধ্যেই দেখেছি যে, প্রায় কোনও ক্রিয়াকলাপের ক্ষেত্রে সাইন এবং ট্যানজেন্টগুলি পরিচালনা করার ক্ষমতা এক ডিগ্রি বা অন্যভাবে প্রয়োজন। জটিলতার জন্য... চিন্তা করুন: যদি মানুষ এই জ্ঞান ব্যবহার করত দুই হাজার বছরেরও বেশি সময় আগে, যখন একজন প্রাপ্তবয়স্কের জ্ঞান আজকের উচ্চ বিদ্যালয়ের ছাত্রদের তুলনায় কম ছিল, তাহলে কি আপনার ব্যক্তিগতভাবে বিজ্ঞানের এই ক্ষেত্রটিকে মৌলিক স্তরে অধ্যয়ন করা বাস্তবসম্মত? সমস্যা সমাধানের কয়েক ঘন্টা চিন্তাশীল অনুশীলন - এবং আপনি মৌলিক কোর্স, ডামিদের জন্য তথাকথিত ত্রিকোণমিতি অধ্যয়ন করে আপনার লক্ষ্য অর্জন করবেন।