Čo je analytický model lineárnej funkcie. Lineárna funkcia. Podrobná teória s príkladmi (2019). Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Inštrukcia

Ak chcete nájsť súradnice bodu, ktorý patrí k čiare, vyberte ho na čiare a umiestnite kolmé čiary na súradnicovú os. Určte, ktorému číslu zodpovedá priesečník, priesečník s osou x je hodnota úsečky, teda x1, priesečník s osou y je y1.

Pre pohodlie a presnosť výpočtov sa pokúste vybrať bod, ktorého súradnice možno určiť bez zlomkových hodnôt. Na zostavenie rovnice potrebujete aspoň dva body. Nájdite súradnice ďalšieho bodu prislúchajúceho tejto priamke (x2, y2).

Dosaďte hodnoty súradníc do rovnice priamky, ktorá má všeobecný tvar y=kx+b. Dostanete sústavu dvoch rovníc y1=kx1+b a y2=kx2+b. Vyriešte tento systém napríklad nasledujúcim spôsobom.

Vyjadrite b z prvej rovnice a zapojte do druhej, nájdite k, zapojte do ľubovoľnej rovnice a nájdite b. Napríklad riešenie sústavy 1=2k+b a 3=5k+b bude vyzerať takto: b=1-2k, 3=5k+(1-2k); 3k = 2, k = 1,5, b = 1-2 x 1,5 = -2. Rovnica priamky má teda tvar y=1,5x-2.

Keď poznáte dva body patriace k čiare, skúste použiť kanonickú rovnicu čiary, vyzerá to takto: (x - x1) / (x2 - x1) \u003d (y - y1) / (y2 - y1). Nahraďte hodnoty (x1; y1) a (x2; y2), zjednodušte. Napríklad body (2;3) a (-1;5) patria do riadku (x-2)/(-1-2)=(y-3)/(5-3); -3(x-2)=2(y-3); -3x+6=2y-6; 2y=12-3x alebo y=6-1,5x.

Ak chcete nájsť rovnicu funkcie, ktorá má nelineárny graf, postupujte takto. Zobraziť všetky štandardné grafy y=x^2, y=x^3, y=√x, y=sinx, y=cosx, y=tgx atď. Ak vám niektorý z nich pripomína váš rozvrh, berte ho ako základ.

Nakreslite štandardný graf základnej funkcie na rovnakej súradnicovej osi a nájdite ho zo svojho grafu. Ak sa graf posunie nahor alebo nadol o niekoľko jednotiek, potom sa do funkcie pridalo toto číslo (napríklad y=sinx+4). Ak sa graf presunie doprava alebo doľava, číslo sa pridá do argumentu (napríklad y \u003d sin (x + P / 2).

Podlhovastý graf na výšku naznačuje, že funkcia argumentu je vynásobená nejakým číslom (napríklad y=2sinx). Ak je graf naopak zmenšený na výšku, potom je číslo pred funkciou menšie ako 1.

Porovnajte graf základnej funkcie a svoju funkciu na šírku. Ak je užšia, potom pred x bude číslo väčšie ako 1, wide - číslo menšie ako 1 (napríklad y=sin0,5x).

Poznámka

Možno, že graf zodpovedá nájdenej rovnici iba na určitom segmente. V tomto prípade uveďte, pre ktoré hodnoty x platí výsledná rovnosť.

Priamka je algebraická čiara prvého rádu. V kartézskom súradnicovom systéme v rovine je rovnica priamky daná rovnicou prvého stupňa.

Budete potrebovať

• Znalosť analytickej geometrie. Základné znalosti algebry.

Inštrukcia

Rovnica je daná dvoma na , ktorým musí tento riadok prejsť. Zostavte pomer súradníc týchto bodov. Nech má prvý bod súradnice (x1,y1) a druhý (x2,y2), potom rovnica priamky bude napísaná takto: (x-x1)/(x2-x1) = (y-y1) (y2-y1).

Získanú rovnicu priamky transformujeme a y explicitne vyjadríme pomocou x. Po tejto operácii nadobudne priama rovnica konečný tvar: y=(x-x1)/((x2-x1)*(y2-y1))+y1.

Podobné videá

Poznámka

Ak je jedno z čísel v menovateli nula, potom je čiara rovnobežná s jednou zo súradnicových osí.

Užitočné rady

Po vytvorení rovnice priamky skontrolujte jej správnosť. Za týmto účelom nahraďte súradnice bodov na miesto zodpovedajúcich súradníc a uistite sa, že platí rovnosť.

Často je známe, že y závisí lineárne od x a je uvedený graf tejto závislosti. V tomto prípade je možné zistiť rovnicu priamky. Najprv musíte vybrať dva body na čiare.

Inštrukcia

Nájdite vybrané body. Za týmto účelom spustite kolmice z bodov na súradnicovej osi a zapíšte čísla zo stupnice. Takže pre bod B z nášho príkladu je súradnica x -2 a súradnica y 0. Podobne pre bod A budú súradnice (2; 3).

Je známe, že čiara má tvar y = kx + b. Súradnice vybraných bodov dosadíme do rovnice vo všeobecnom tvare, potom pre bod A dostaneme nasledujúcu rovnicu: 3 = 2k + b. Pre bod B dostaneme ďalšiu rovnicu: 0 = -2k + b. Je zrejmé, že máme systém dvoch rovníc s dvoma neznámymi: k a b.

Potom systém vyriešime akýmkoľvek pohodlným spôsobom. V našom prípade môžeme rovnice sústavy sčítať, keďže neznáma k vstupuje do oboch rovníc s koeficientmi, ktoré sú rovnaké v absolútnej hodnote, ale opačné v znamienku. Potom dostaneme 3 + 0 = 2k - 2k + b + b, alebo, čo je rovnaké: 3 = 2b. Takže b = 3/2. Nájdenú hodnotu b dosadíme do ktorejkoľvek z rovníc, aby sme našli k. Potom 0 = -2k + 3/2, k = 3/4.

Nájdené k a b dosadíme do všeobecnej rovnice a získame požadovanú rovnicu priamky: y = 3x/4 + 3/2.

Podobné videá

Poznámka

Koeficient k sa nazýva sklon priamky a rovná sa dotyčnici uhla medzi priamkou a osou x.

Rovnú čiaru možno nakresliť z dvoch bodov. Súradnice týchto bodov sú „skryté“ v rovnici priamky. Rovnica prezradí všetky tajomstvá o priamke: ako sa otáča, na ktorej strane súradnicovej roviny sa nachádza atď.

Inštrukcia

Častejšie sa vyžaduje stavať v rovine. Každý bod bude mať dve súradnice: x, y. Venujte pozornosť rovnici, dodržiava všeobecný tvar: y \u003d k * x ±b, kde k, b sú voľné čísla a y, x sú samotné súradnice všetkých bodov čiary. Zo všeobecnej rovnice vyplýva, že na nájdenie súradnice y potrebujete poznať súradnicu x. Najzaujímavejšie je, že si môžete vybrať ľubovoľnú hodnotu x-ovej súradnice: z celého nekonečna známych čísel. Vložte x do rovnice a vyriešte ju, aby ste našli y. Príklad. Nech je daná rovnica: y=4x-3. Myslite na akékoľvek dve hodnoty pre súradnice dvoch bodov. Napríklad x1 = 1, x2 = 5. Nahraďte tieto hodnoty do rovníc, aby ste našli súradnice y. y1 \u003d 4 * 1 - 3 \u003d 1. y2 \u003d 4 * 5 - 3 \u003d 17. Získali sme dva body A a B, A (1; 1) a B (5; 17).

Nájdené body by ste mali postaviť na súradnicovej osi, spojiť ich a vidieť priamku, ktorá bola opísaná rovnicou. Ak chcete postaviť priamku, musíte pracovať v karteziánskom súradnicovom systéme. Nakreslite osi X a Y. Nastavte priesečník na nulu. Umiestnite čísla na osi.

V zostrojenej sústave označte dva body nájdené v 1. kroku. Princíp nastavenia určených bodov: bod A má súradnice x1 = 1, y1 = 1; na osi x vyberte číslo 1, na osi y číslo 1. V tomto bode sa nachádza bod A. Bod B je daný x2 = 5, y2 = 17. Analogicky nájdite bod B na grafe. Spojte A a B, aby ste vytvorili priamku.

Podobné videá

Pojem riešenie funkcie ako taký sa v matematike nepoužíva. Táto formulácia by sa mala chápať ako vykonávanie niektorých akcií na danej funkcii s cieľom nájsť nejakú špecifickú charakteristiku, ako aj zistiť potrebné údaje na vykreslenie grafu funkcie.

Inštrukcia

Môžete zvážiť približnú schému, podľa ktorej je správanie funkcie účelné a zostaviť jej graf.
Nájdite rozsah funkcie. Zistite, či je funkcia párna alebo nepárna. Ak nájdete správnu odpoveď, pokračujte len po želanej poloosi. Zistite, či je funkcia periodická. V prípade kladnej odpovede pokračujte v štúdiu len na jedno obdobie. Nájdite body a určte jeho správanie v blízkosti týchto bodov.

Nájdite priesečníky grafu funkcie so súradnicovými osami. Zistite, či sú. Použite prvú deriváciu na preskúmanie funkcie pre extrémy a intervaly monotónnosti. Otestujte aj druhú deriváciu na konvexnosť, konkávnosť a inflexné body. Vyberte body na spresnenie funkcie a vypočítajte v nich hodnoty funkcie. Zostavte graf funkcie, berúc do úvahy výsledky získané pre všetky štúdie.

Na osi 0X by mali byť rozlíšené charakteristické body: body nespojitosti, x=0, nuly funkcie, extrémne body, inflexné body. V týchto asymptotách a poskytne náčrt grafu funkcie.

Takže na konkrétnom príklade funkcie y=((x^2)+1)/(x-1) vykonajte štúdiu s použitím prvej derivácie. Prepíšte funkciu ako y=x+1+2/(x-1). Prvá derivácia sa bude rovnať y’=1-2/((x-1)^2).
Nájdite kritické body prvého druhu: y'=0, (x-1)^2=2, výsledkom čoho budú dva body: x1=1-sqrt2, x2=1+sqrt2. Získané hodnoty označte v oblasti definície funkcie (obr. 1).
Určte znamienko derivácie na každom z intervalov. Na základe pravidla o striedaní znamienok od „+“ po „-“ a od „-“ po „+“ zistíte, že maximálny bod funkcie je x1=1-sqrt2 a minimálny bod je x2=1+sqrt2. . Rovnaký záver možno vyvodiť zo znamienka druhej derivácie.

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje, aby sme vám posielali dôležité upozornenia a komunikáciu.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Maslova Angelina

Výskumná práca v matematike. Angelina zostavila počítačový model lineárnej funkcie, pomocou ktorého uskutočnila štúdiu.

Stiahnuť ▼:

Náhľad:

Mestská autonómna vzdelávacia inštitúcia Stredná škola č.8 Mestskej časti Bor, Región Nižný Novgorod

Výskumná práca v oblasti informatiky a matematiky

Vyplnila žiačka 7.A triedy Maslova Angelina

Vedúci: učiteľ informatiky, Voronina Anna Alekseevna.

Mestská časť Bor - 2015

Úvod

1. Skúmanie lineárnej funkcie v tabuľkových procesoroch

Záver

Bibliografia

Úvod

Tento rok sme sa na hodinách algebry zoznámili s lineárnou funkciou. Naučili sme sa graf lineárnej funkcie, určili sme, ako sa má graf funkcie správať v závislosti od jej koeficientov. O niečo neskôr sme sa na hodine informatiky dozvedeli, že tieto akcie možno považovať za matematické modelovanie. Rozhodol som sa zistiť, či je možné preskúmať lineárnu funkciu pomocou tabuliek.

Cieľ práce: preskúmať lineárne funkcie v tabuľkových procesoroch

Ciele výskumu:

• nájsť a študovať informácie o lineárnej funkcii;
• zostaviť matematický model lineárnej funkcie v tabuľkovom procesore;
• preskúmať lineárnu funkciu pomocou skonštruovaného modelu.

Predmet štúdia:matematické modelovanie.

Predmet štúdia:matematický model lineárnej funkcie.

Modelovanie ako metóda poznania

Človek pozná svet takmer od svojho narodenia. Na to človek používa modely, ktoré môžu byť veľmi rôznorodé.

Model je nový objekt, ktorý odráža niektoré podstatné vlastnosti skutočného objektu.

Modely skutočných objektov sa používajú v rôznych situáciách:

1. Keď je objekt veľmi veľký (napríklad Zem - model: zemeguľa alebo mapa) alebo naopak príliš malý (biologická bunka).
2. Keď je objekt svojou štruktúrou veľmi zložitý (auto - model: detské auto).
3. Keď je objekt nebezpečný na štúdium (sopka).
4. Keď je objekt veľmi ďaleko.

Modelovanie je proces vytvárania a štúdia modelu.

Modely si vytvárame a používame sami, niekedy bez toho, aby sme o tom premýšľali. Napríklad odfotíme nejakú udalosť v našom živote a potom ju ukážeme našim priateľom.

Podľa typu informácií možno všetky modely rozdeliť do niekoľkých skupín:

1. verbálne modely. Tieto modely môžu existovať ústne alebo písomne. Môže to byť len slovný opis nejakého predmetu alebo básne, alebo to môže byť článok v novinách či esej – to všetko sú verbálne modely.
2. Grafické modely. Toto sú naše kresby, fotografie, schémy a grafy.
3. ikonické modely. Sú to modely napísané nejakým posunkovým jazykom: poznámky, matematické, fyzikálne alebo chemické vzorce.

Lineárna funkcia a jej vlastnosti

Lineárna funkciasa nazýva funkcia formy

Graf lineárnej funkcie je priamka.

1 . Na vykreslenie funkcie, potrebujeme súradnice dvoch bodov patriacich do grafu funkcie. Aby ste ich našli, musíte vziať dve hodnoty x, nahradiť ich do rovnice funkcie a vypočítať z nich zodpovedajúce hodnoty y.

Napríklad na zobrazenie grafu funkcie, pohodlné brať a , potom sú ordináty týchto bodov rovnaké A .

Získame body A(0;2) a B(3;3). Spojte ich a získajte graf funkcie:

2 . Vo funkčnej rovnici y=kx+b je koeficient k zodpovedný za sklon grafu funkcie:

Koeficient b je zodpovedný za posun grafu pozdĺž osi OY:

Na obrázku nižšie sú zobrazené grafy funkcií; ;

Všimnite si, že vo všetkých týchto funkciách koeficient väčšia ako nula doprava . Navyše, čím väčšia hodnota, čím strmšia je priamka.

Vo všetkých funkciách- a vidíme, že všetky grafy pretínajú os OY v bode (0; 3)

Teraz zvážte grafy funkcií; ;

Tentoraz vo všetkých funkciách koeficient menej ako nula a všetky grafy funkcií sú skreslené doľava . Koeficient b je rovnaký, b=3 a grafy ako v predchádzajúcom prípade pretínajú os OY v bode (0;3)

Zvážte funkčné grafy; ;

Teraz vo všetkých rovniciach funkcií koeficientysú si rovní. A dostali sme tri paralelné čiary.

Koeficienty b sú však odlišné a tieto grafy pretínajú os OY v rôznych bodoch:

Graf funkcií (b=3) pretína os OY v bode (0;3)

Graf funkcií (b=0) pretína os OY v bode (0;0) - počiatok.

Graf funkcií (b=-2) pretína os OY v bode (0;-2)

Ak teda poznáme znamienka koeficientov k a b, môžeme si hneď predstaviť, ako vyzerá graf funkcie.

Ak k 0, potom graf funkcie vyzerá ako:

Ak k>0 a b>0 , potom graf funkcie vyzerá ako:

Ak k>0 a b , potom graf funkcie vyzerá ako:

Ak k, potom graf funkcie vyzerá ako:

Ak k=0, potom funkcia zmení na funkciua jeho graf vyzerá takto:

Súradnice všetkých bodov grafu funkcie rovný

Ak b = 0 , potom graf funkcieprechádza cez pôvod:

4. Podmienka pre rovnobežnosť dvoch čiar:

Graf funkcií rovnobežne s grafom funkcie, Ak

5. Podmienka kolmosti dvoch čiar:

Graf funkcií kolmo na graf funkcie ak alebo

6 . Priesečníky grafu funkcieso súradnicovými osami.

s osou OY. Abscisa ľubovoľného bodu, ktorý patrí k osi OY, sa rovná nule. Preto, aby ste našli priesečník s osou OY, musíte v rovnici funkcie nahradiť x namiesto x nulu. Dostaneme y=b. To znamená, že priesečník s osou OY má súradnice (0;b).

S osou OX: Ordináta ktoréhokoľvek bodu prislúchajúceho k osi OX je nula. Preto, aby ste našli priesečník s osou OX, musíte v rovnici funkcie nahradiť nulu namiesto y. Dostaneme 0=kx+b. Odtiaľ. To znamená, že priesečník s osou OX má súradnice (;0):

Skúmanie lineárnej funkcie v tabuľkových procesoroch

Na preskúmanie lineárnej funkcie v prostredí tabuľkového procesora som zostavil nasledujúci algoritmus:

1. Zostavte matematický model lineárnej funkcie v tabuľke.
2. Vyplňte tabuľku sledovania hodnôt argumentov a funkcií.
3. Nakreslite lineárnu funkciu pomocou Sprievodcu grafom.
4. Preskúmajte lineárnu funkciu v závislosti od hodnôt koeficientov.

Na štúdium lineárnej funkcie som použil program Microsoft Office Excel 2007. Na zostavenie tabuliek hodnôt argumentov a funkcií som použil vzorce. Dostal som nasledovnú tabuľku hodnôt:

Na takomto matematickom modeli je možné ľahko sledovať zmeny v grafe lineárnej funkcie zmenou hodnôt koeficientov v tabuľke.

Tiež som sa pomocou tabuliek rozhodol sledovať, ako sa mení relatívna poloha grafov dvoch lineárnych funkcií. Vytvorením nového matematického modelu v tabuľke som získal nasledujúci výsledok:

Zmenou koeficientov dvoch lineárnych funkcií som sa jednoznačne presvedčil o platnosti študovaných informácií o vlastnostiach lineárnych funkcií.

Záver

Lineárna funkcia v algebre sa považuje za najjednoduchšiu. Ale zároveň má veľa vlastností, ktoré nie sú hneď jasné. Po zostavení matematického modelu lineárnej funkcie v tabuľkových procesoroch a jeho štúdiu sa mi vlastnosti lineárnej funkcie stali jasnejšie. Jasne som videl, ako sa mení graf, keď sa menia koeficienty funkcie.

Myslím si, že matematický model, ktorý som vytvoril, pomôže žiakom siedmeho ročníka samostatne preskúmať lineárnu funkciu a lepšie jej porozumieť.

Bibliografia

1. Učebnica algebry pre 7. ročník.
2. Učebnica informatiky pre 7. ročník
3. wikipedia.org

Náhľad:

Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si Google účet (účet) a prihláste sa: https://accounts.google.com

Popisy snímok:

Predmet výskumu: lineárna funkcia. Predmet štúdia: matematický model lineárnej funkcie.

Účel práce: preskúmať lineárnu funkciu v tabuľkových procesoroch Ciele výskumu: nájsť a študovať informácie o lineárnej funkcii; zostaviť matematický model lineárnej funkcie v tabuľkovom procesore; preskúmať lineárnu funkciu pomocou skonštruovaného modelu.

Lineárna funkcia je funkciou tvaru y= k x+ b, kde x je argument a kab sú nejaké čísla (koeficienty) Graf lineárnej funkcie je priamka.

Uvažujme funkciu y=kx+b takú, že k 0, b=0. Zobrazenie: y=kx V jednom súradnicovom systéme zostrojíme grafy týchto funkcií: y=3x y=x y=-7x Každý graf zostavíme so zodpovedajúcou farbou x ​​0 1 y 0 3 x 0 1 y 0 1 x 0 1 y 0 7

Graf lineárnej funkcie tvaru y \u003d k x prechádza počiatkom. y=x y=3x y=-7x yx

Záver: Graf lineárnej funkcie tvaru y = kx + b pretína os O Y v bode (0; b).

Uvažujme funkciu y=kx+b , kde k=0. Zobrazenie: y=b V jednom súradnicovom systéme vytvorte grafy funkcií: y=4 y=-3 y=0 Každý graf vytvoríme s príslušnou farbou

Graf lineárnej funkcie tvaru y = b prebieha rovnobežne s osou OX a pretína os O Y v bode (0; b). y=4 y=-3 y=0 y x

V jednom súradnicovom systéme zostavte grafy funkcií: Y=2x Y=2x+ 3 Y=2x-4 Každý graf zostavíme s príslušnou farbou x ​​0 1 y 0 2 x 0 1 y 3 5 x 0 1 y -4 -2

Grafy lineárnych funkcií v tvare y=kx+b sú rovnobežné, ak sú koeficienty v x rovnaké. y \u003d 2x + 3 roky \u003d 2x y \u003d 2x-4 y x

V jednom súradnicovom systéme zostrojíme grafy funkcií: y=3x+4 Y= - 2x+4 Zostrojíme grafy s príslušnou farbou x ​​0 1 y 4 7 x 0 1 y 4 2

Grafy dvoch lineárnych funkcií tvaru y=kx+b sa pretínajú, ak sú koeficienty v x rôzne. y x

V jednom súradnicovom systéme zostrojíme grafy funkcií: y=0, 5x-2 y=-2x-4 y= 4 x-1 y=- 0, 2 5 x- 3 x 0 4 y x 0 -2 y -4 0 x 0 4 r. -2 0 x 0 1 r. -1 3 x 0 - 4 r. -3 -2

y=0, 5x-2 y=-2x-4 y= 4x-1 y=- 0,25x-1" .

Preto sa koeficient k nazýva sklon priamky - graf funkcie y \u003d kx + b. Ak k 0, potom je uhol sklonu grafu k osi O X ostrý. Funkcia sa zvyšuje. y x y x

Tabuľkový hárok

Tabuľkový hárok

Lineárne rovnice Algebraická podmienka Geometrická derivácia 1 * až 2 = -1 Priamky sú rovnobežné Priamky sa zhodujú Priamky sú kolmé Priamky sa pretínajú

Matematický model, ktorý som vytvoril, pomôže žiakom siedmeho ročníka samostatne preskúmať lineárnu funkciu a lepšie jej porozumieť.

Trieda: 7

Funkcia zaujíma jedno z popredných miest v kurze školskej algebry a má množstvo aplikácií v iných vedách. Na začiatku štúdie, aby som motivoval, aktualizoval problematiku, informujem, že ani jeden jav, ani jeden proces v prírode nemožno študovať, žiaden stroj nie je možné skonštruovať a potom fungovať bez úplného matematického popisu. Jedným z nástrojov na to je funkcia. Jeho štúdium sa začína v 7. ročníku, spravidla sa deti do definície neponárajú. Obzvlášť ťažko dostupné pojmy sú doména definície a doména hodnoty. Pomocou známych súvislostí medzi veličinami v problémoch pohybu ich náklady presúvajú do jazyka funkcie, pričom zachovávajú súvislosť s jej definíciou. U študentov sa teda pojem funkcie formuje na vedomej úrovni. V rovnakej fáze sa usilovne pracuje na nových pojmoch: doména definície, doména hodnoty, argument, hodnota funkcie. Používam pokročilé vzdelávanie: zavádzam zápis D(y), E(y), zavádzam pojem nuly funkcie (analyticky a graficky), pri riešení úloh s oblasťami konštantného znamienka. Čím skôr a častejšie sa žiaci stretávajú s ťažkými pojmami, tým lepšie sa realizujú na úrovni dlhodobej pamäti. Pri štúdiu lineárnej funkcie je vhodné ukázať súvislosť s riešením lineárnych rovníc a sústav, neskôr s riešením lineárnych nerovníc a ich sústav. Na prednáške dostávajú študenti veľký blok (modul) nových informácií, takže na konci prednášky sa látka „vyžmýka“ a zostaví sa zhrnutie, ktoré by študenti mali vedieť. Praktické zručnosti sa rozvíjajú v procese vykonávania cvičení rôznymi metódami založenými na samostatnej a samostatnej práci.

Lineárna funkcia je v praxi veľmi bežná. Dĺžka tyče je lineárnou funkciou teploty. Dĺžka koľajníc, mostov je tiež lineárnou funkciou teploty. Vzdialenosť, ktorú prejde chodec, vlak, auto konštantnou rýchlosťou, je lineárnou funkciou času pohybu.

Lineárna funkcia popisuje množstvo fyzikálnych závislostí a zákonov. Uvažujme o niektorých z nich.

1) l \u003d l o (1 + at) - lineárna expanzia pevných látok.

2) v \u003d v o (1 + bt) - objemová expanzia pevných látok.

3) p=p o (1+at) - závislosť rezistivity pevných vodičov od teploty.

4) v \u003d v o + pri - rýchlosti rovnomerne zrýchleného pohybu.

5) x= x o + vt je súradnica rovnomerného pohybu.

Úloha 1. Definujte lineárnu funkciu z tabuľkových údajov:

Riešenie. y \u003d kx + b, problém sa redukuje na riešenie systému rovníc: 1 \u003d k 1 + b a 3 \u003d k 3 + b

Odpoveď: y \u003d 2x - 3.

Úloha 2. Pri rovnomernom a priamočiarom pohybe teleso prešlo za prvých 8 s 14 m a za ďalšie 4 s 12 m. Na základe týchto údajov zostavte pohybovú rovnicu.

Riešenie. Podľa stavu problému máme dve rovnice: 14 \u003d x o +8 v o a 26 \u003d x o +12 v o, pri riešení systému rovníc dostaneme v \u003d 3, x o \u003d -10.

Odpoveď: x = -10 + 3t.

Úloha 3. Auto vychádzajúce z mesta pohybujúce sa rýchlosťou 80 km/h. Po 1,5 hodine za ním išiel motocykel, ktorého rýchlosť bola 100 km/h. Ako dlho bude trvať, kým ho motorka predbehne? Ako ďaleko od mesta sa to stane?

Odpoveď: 7,5 hodiny, 600 km.

Úloha 4. Vzdialenosť medzi dvoma bodmi v počiatočnom okamihu je 300 m. Body sa k sebe pohybujú rýchlosťou 1,5 m/s a 3,5 m/s. Kedy sa stretnú? kde sa to stane?

Odpoveď: 60 s, 90 m.

Úloha 5. Medené pravítko pri 0 ° C má dĺžku 1 m. Nájdite zväčšenie jej dĺžky pri zvýšení jej teploty o 35 o, o 1000 o C (teplota topenia medi je 1083 o C)

Odpoveď: 0,6 mm.

Mnohé fyzikálne zákony sú vyjadrené priamou úmernosťou. Vo väčšine prípadov sa na písanie týchto zákonov používa model.

v niektorých prípadoch -

Uveďme si pár príkladov.

1. S \u003d v t (v – const)

2. v = a t (a - konštanta, a - zrýchlenie).

3. F \u003d kx (Hookeov zákon: F - sila, k - tuhosť (konšt.), x - predĺženie).

4. E = F/q (E je sila v danom bode elektrického poľa, E je konštantná, F je sila pôsobiaca na náboj, q je veľkosť náboja).

Ako matematický model priamej úmernosti možno použiť podobnosť trojuholníkov alebo úmernosť úsečiek (Thalesova veta).

Úloha 1. Vlak prešiel okolo semaforu za 5 sekúnd a okolo nástupišťa dlhého 150 m za 15 sekúnd. Aká je dĺžka vlaku a jeho rýchlosť?

Riešenie. Nech x je dĺžka vlaku, x+150 je celková dĺžka vlaku a nástupišťa. V tomto probléme je rýchlosť konštantná a čas je úmerný dĺžke.

Máme pomer: (x + 150): 15 = x: 5.

kde x = 75, v = 15.

Odpoveď. 75 m, 15 m/s.

Úloha 2. Loď išla po prúde 90 km za nejaký čas. Za ten istý čas by prešiel 70 km proti prúdu. Ako ďaleko prejde raft za tento čas?

Odpoveď. 10 km.

Úloha 3. Aká bola počiatočná teplota vzduchu, ak sa pri zahriatí o 3 stupne jeho objem zväčšil o 1 % pôvodného.

Odpoveď. 300 K (Kelvin) alebo 27 0 C.

Prednáška na tému "Lineárna funkcia".

Algebra, 7. ročník

1. Zvážte príklady úloh pomocou známych vzorcov:

S = vt (vzorec cesty), (1)

C \u003d c c (nákladový vzorec). (2)

Úloha 1. Auto, ktoré odišlo z bodu A na vzdialenosť 20 km, pokračovalo v jazde rýchlosťou 62 km/h. Ako ďaleko od bodu A bude auto po t hodinách? Zostavte výraz pre úlohu, označte vzdialenosť S, nájdite ju pri t = 1h, 2,5h, 4h.

1) Pomocou vzorca (1) zistíme dráhu, ktorú prejde auto rýchlosťou 62 km/h za čas t, S 1 = 62t;
2) Potom z bodu A za t hodín bude auto vo vzdialenosti S = S 1 + 20 alebo S = 62t + 20, nájdite hodnotu S:

pri t = 1, S = 62 x 1 + 20, S = 82;
pri t = 2,5, S = 62 x 2,5 + 20, S = 175;
pri t = 4, S = 62 x 4 + 20, S = 268.

Podotýkame, že pri hľadaní S sa mení len hodnota t a S, t.j. t a S sú premenné a S závisí od t, každá hodnota t zodpovedá jedinej hodnote S. Označením premennej S pre Y a t pre x dostaneme vzorec na riešenie tohto problému:

Y= 62x + 20. (3)

Úloha 2. V obchode bola zakúpená učebnica za 150 rubľov a 15 zošitov za n rubľov. Koľko ste zaplatili za nákup? Vytvorte výraz pre úlohu, označte cenu C, nájdite ju pre n = 5,8,16.

1) Pomocou vzorca (2) zistíme náklady na notebooky С 1 = 15n;
2) Potom cena celého nákupu je С= С1 +150 alebo С= 15n+150, nájdeme hodnotu C:

pri n = 5, C = 15 5 + 150, C = 225;
pri n = 8, C = 158 + 150, C = 270;
pri n = 16, C = 15 ± 16+ 150, C = 390.

Podobne si všimneme, že C a n sú premenné, pre každú hodnotu n zodpovedá jedna hodnota C. Označením premennej C pre Y a n pre x dostaneme vzorec na riešenie úlohy 2:

Y= 15x + 150. (4)

Porovnaním vzorcov (3) a (4) sa presvedčíme, že premennú Y nájdeme cez premennú x podľa jedného algoritmu. Uvažovali sme len o dvoch rôznych problémoch, ktoré opisujú javy okolo nás každý deň. V skutočnosti existuje veľa procesov, ktoré sa menia podľa získaných zákonov, takže takýto vzťah medzi premennými si zaslúži byť študovaný.

Riešenia problémov ukazujú, že hodnoty premennej x sú zvolené ľubovoľne, spĺňajúc podmienky problémov (pozitívne v úlohe 1 a prirodzené v úlohe 2), t.j. x je nezávislá premenná (nazýva sa argument) a Y je závislá premenná a existuje medzi nimi korešpondencia jedna ku jednej a podľa definície je takáto závislosť funkciou. Preto, keď koeficient v x označíme písmenom k ​​a voľný člen písmenom b, dostaneme vzorec

Y = kx + b.

Funkcia Definícia.Zobrazenie y = kx + b, kde k, b sú nejaké čísla, x je argument, y je hodnota funkcie, sa nazýva lineárna funkcia.

Na štúdium vlastností lineárnej funkcie uvádzame definície.

Definícia 1. Množina prípustných hodnôt nezávislej premennej sa nazýva doména definície funkcie (prípustná - to znamená tie číselné hodnoty x, pre ktoré sa vypočíta y) a označuje sa D (y).

Definícia 2. Množina hodnôt závislej premennej sa nazýva rozsah funkcie (sú to číselné hodnoty, ktoré y nadobúda) a označuje sa E(y).

Definícia 3. Graf funkcie je množina bodov súradnicovej roviny, ktorých súradnice menia vzorec na skutočnú rovnosť.

Definícia 4. Koeficient k pri x sa nazýva sklon.

Zvážte vlastnosti lineárnej funkcie.

1. D(y) - všetky čísla (násobenie je definované na množine všetkých čísel).
2. E(y) - všetky čísla.
3. Ak y \u003d 0, potom x \u003d -b / k, bod (-b / k; 0) - priesečník s osou Ox, sa nazýva nula funkcie.
4. Ak x= 0, potom y= b, bod (0; b) je priesečník s osou Oy.
5. Zistite, v ktorej priamke bude lineárna funkcia zoraďovať body na súradnicovej rovine, t.j. čo je graf funkcie. Ak to chcete urobiť, zvážte funkcie

1) y= 2x + 3, 2) y= -3x - 2.

Pre každú funkciu vytvoríme tabuľku hodnôt. Nastavme ľubovoľné hodnoty pre premennú x a vypočítajme zodpovedajúce hodnoty pre premennú Y.

Po zostavení výsledných párov (x; y) na súradnicovej rovine a ich spojení pre každú funkciu samostatne (vzali sme hodnoty x s krokom 1, ak znížite krok, body sa budú častejšie zoraďovať , a ak je krok blízky nule, body sa spoja do plnej čiary ), všimneme si, že body sa v prípade 1) a v prípade 2 zoradia do priamky). Vzhľadom na to, že funkcie sú zvolené ľubovoľne (zostavte si vlastné grafy y= 0,5x - 4, y= x + 5), usudzujeme, že že grafom lineárnej funkcie je priamka. Pomocou vlastnosti priamky: jedna priamka prechádza dvoma bodmi, na zostrojenie priamky stačí vziať dva body.

6. Z geometrie je známe, že čiary sa môžu pretínať alebo byť rovnobežné. Skúmame relatívnu polohu grafov niekoľkých funkcií.

1) y = -x + 5, y = -x + 3, y = -x - 4; 2) y = 2 x + 2, y = x + 2, y = -0,5 x + 2.

Zostavme skupiny grafov 1) a 2) a vyvodíme závery.

Grafy funkcií 1) sú umiestnené paralelne, pri skúmaní vzorcov si všimneme, že všetky funkcie majú rovnaké koeficienty pri x.

Grafy funkcií 2) sa pretínajú v jednom bode (0;2). Pri skúmaní vzorcov si všimneme, že koeficienty sú rôzne a číslo b = 2.

Okrem toho je ľahké vidieť, že čiary definované lineárnymi funkciami s k › 0 zvierajú ostrý uhol s kladným smerom osi Ox a tupý uhol s k ‹ 0. Preto sa koeficient k nazýva sklonový koeficient.

7. Zvážte špeciálne prípady lineárnej funkcie v závislosti od koeficientov.

1) Ak b=0, potom má funkcia tvar y= kx, potom k = y/x (pomer ukazuje, koľkokrát sa líši alebo aká časť je y z x).

Funkcia tvaru Y= kx sa nazýva priama úmernosť. Táto funkcia má všetky vlastnosti lineárnej funkcie, jej vlastnosťou je, že keď x=0, y=0. Graf priamej úmernosti prechádza počiatočným bodom (0; 0).

2) Ak k = 0, funkcia má tvar y = b, čo znamená, že pre všetky hodnoty x má funkcia rovnakú hodnotu.

Funkcia tvaru y = b sa nazýva konštanta. Graf funkcie je priamka prechádzajúca bodom (0;b) rovnobežná s osou Ox, pričom b=0 sa graf konštantnej funkcie zhoduje s osou x.

Abstraktné

1. Definícia Funkcia v tvare Y= kx + b, kde k, b sú nejaké čísla, x je argument, Y je hodnota funkcie, sa nazýva lineárna funkcia.

D(y) - všetky čísla.

E(y) - všetky čísla.

Grafom lineárnej funkcie je priamka prechádzajúca bodom (0;b).

2. Ak b=0, potom funkcia nadobudne tvar y= kx, ktorý sa nazýva priama úmernosť. Graf priamej úmernosti prechádza počiatkom.

3. Ak k = 0, potom funkcia nadobúda tvar y= b, nazýva sa konštanta. Graf konštantnej funkcie prechádza bodom (0;b), rovnobežným s osou x.

4. Vzájomné usporiadanie grafov lineárnych funkcií.

Sú dané funkcie y= k 1 x + b 1 a y= k 2 x + b 2.

Ak k 1 = k 2, potom sú grafy rovnobežné;

Ak k 1 a k 2 nie sú rovnaké, potom sa grafy pretínajú.

5. Pozri príklady grafov lineárnych funkcií vyššie.

Literatúra.

1. Učebnica Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov a ďalší. "Algebra, 8".
2. Didaktické materiály o algebre pre ročník 8 / V.I. Zhokhov, Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk. - M .: Vzdelávanie, 2006. - 144 s.
3. Príloha novín 1. september "Matematika", 2001, č.2, č.4.

Zhrnúť a systematizovať vedomosti na tému „Lineárna funkcia“:

• upevniť schopnosť čítať a zostavovať grafy funkcií daných vzorcami y = kx + b, y = kx;
• upevniť schopnosť určiť relatívnu polohu grafov lineárnych funkcií;
• rozvíjať zručnosti v práci s grafmi lineárnych funkcií.

Rozvíjať schopnosť analyzovať, porovnávať, vyvodzovať závery. Rozvoj kognitívneho záujmu o matematiku, kompetentná ústna matematická reč, presnosť a presnosť v konštrukcii.

Výchova pozornosť, samostatnosť v práci, schopnosť pracovať vo dvojici.

Vybavenie: pravítko, ceruzka, kartičky s úlohami, farebné ceruzky.

Typ hodiny: hodina na upevnenie preberanej látky.

Plán lekcie:

1. Organizovanie času.
2. ústna práca. Matematický diktát so sebaskúškou a sebahodnotením. Historická exkurzia.
3. Tréningové cvičenia.
4. Samostatná práca.
5. Zhrnutie lekcie.
6. Domáca úloha.

Počas vyučovania

1. Komunikácia účelu lekcie.

Účelom lekcie je zovšeobecniť a systematizovať poznatky na tému „Lineárna funkcia“.

2. Začnime testovaním vašich teoretických vedomostí.

- Definujte funkciu. Čo je to nezávislá premenná? Závislá premenná?

- Definujte graf funkcie.

– Formulujte definíciu lineárnej funkcie.

Aký je graf lineárnej funkcie?

Ako vykresliť lineárnu funkciu?

- Formulovať definíciu priamej úmernosti. čo je to graf? Ako zostaviť graf? Ako sa nachádza graf funkcie y = kx v rovine súradníc pre k > 0 a pre k< 0?

Matematický diktát so sebaskúškou a sebahodnotením.

Pozrite si obrázky a odpovedzte na otázky.

1) Graf ktorej funkcie je nadbytočný?

2) Ktorý obrázok znázorňuje graf priamej úmernosti?

3) Na ktorom obrázku má graf lineárnej funkcie záporný sklon?

4) Určte znamienko čísla b. (Odpoveď napíšte ako nerovnosť)

Kontrola práce. Hodnotenie.

Pracovať v pároch.

Dešifrujte meno matematika, ktorý ako prvý použil termín funkcia. Za týmto účelom zadajte do polí písmeno zodpovedajúce grafu danej funkcie. Do zvyšného štvorca zadajte písmeno C. Doplňte do výkresu graf funkcie zodpovedajúcej tomuto písmenu.

Obrázok 1

Obrázok 2

Obrázok 3

Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716, nemecký filozof, matematik, fyzik a lingvista. Spolu s anglickým vedcom I. Newtonom vytvorili (nezávisle od seba) základy dôležitého odvetvia matematiky - matematickej analýzy. Leibniz predstavil mnoho pojmov a symbolov používaných v dnešnej matematike.

3. 1. Dané funkcie dané vzorcami: y = x-5; y=0,5x; y = – 2x; y=4.

Pomenujte funkcie. Uveďte grafy, ktorá z týchto funkcií bude prechádzať bodom M (8; 4). Schematicky znázornite, ako bude kresba vyzerať, ak zobrazuje grafy funkcií prechádzajúcich bodom M.

2. Bodom C (2; 1) prechádza graf priamej úmernosti. Napíšte vzorec pre priamu úmernosť. Pri akej hodnote m bude graf prechádzať bodom B (-4; m).

3. Nakreslite funkciu danú vzorcom y=1/2X. Ako možno z grafu tejto funkcie získať graf funkcie danej vzorcom y=1/2X – 4 a y = 1/2X+3. Analyzujte výsledné grafy.

4. Funkcie sú dané vzorcami:

1) y \u003d 4x + 9 a y \u003d 6x-5;
2) y=l/2x-3 a y=0,5x+2;
3) y \u003d x a y \u003d -5x + 2,4;
4) y= 3x+6 a y= -2,5x+6.

Aká je relatívna poloha funkčných grafov? Bez zostrojenia nájdite súradnice priesečníka prvého páru grafov. (Osobný test)

4. Samostatná práca vo dvojiciach. (vykonajte na ml. papieri). Medzipredmetová komunikácia.

Je potrebné zostaviť grafy funkcií a vybrať z nich tú časť, pre ktorej body platí zodpovedajúca nerovnosť:

y \u003d x + 6,	4 < X < 6;
y \u003d -x + 6,	-6 < X < -4;
y \u003d - 1/3 x + 10,	-6 < X < -3;
y \u003d 1/3 x +10,	3 < X < 6;
y \u003d -x + 14,	0 < X < 3;
y \u003d x + 14,	-3 < X < 0;
y \u003d 9x – 18,	2 < X < 4;
y \u003d - 9x - 18	-4 < X < -2;
y = 0,	-2 < X < 2.

Akú kresbu si dostal? ( Tulipán.)

Trochu o tulipánoch:

Je známych asi 120 druhov tulipánov rozšírených najmä v strednej, východnej a južnej Ázii a južnej Európe. Botanici sa domnievajú, že kultúra tulipánov vznikla v Turecku v 12. storočí. Rastlina získala svetovú slávu ďaleko od svojej domoviny, v Holandsku, právom nazývanom Krajina tulipánov.

Tu je legenda o tulipánoch. Šťastie bolo obsiahnuté v zlatom púčiku žltého tulipánu. Nikto nemohol dosiahnuť toto šťastie, pretože neexistovala taká sila, ktorá by mohla otvoriť jeho púčik. Ale jedného dňa sa po lúke prechádzala žena s dieťaťom. Chlapec ušiel matke z náručia, so zvučným smiechom pribehol ku kvetu a zlatý púčik sa otvoril. Bezstarostný detský smiech dokázal to, čo žiadna sila nedokázala. Odvtedy sa stalo zvykom dávať tulipány len tým, ktorí zažívajú šťastie.

Kreatívna domáca úloha. Vytvorte výkres v pravouhlom súradnicovom systéme pozostávajúcom zo segmentov a zostavte jeho analytický model.

6. Samostatná práca. Diferencovaná úloha (v dvoch verziách)

I možnosť:

Nakreslite schematické diagramy funkcií:

Možnosť II:

Nakreslite schematicky grafy funkcií, pre ktoré sú splnené podmienky:

7. Zhrnutie vyučovacej hodiny

Analýza vykonanej práce. Klasifikácia.