Definicja
Wahadło matematyczne- jest to szczególny przypadek wahadła fizycznego, którego masa znajduje się w jednym punkcie.
Zwykle za wahadło matematyczne uważa się małą kulkę (punkt materialny) o dużej masie, zawieszoną na długiej nierozciągliwej nici (zawieszenie). Jest to wyidealizowany układ, który oscyluje pod wpływem grawitacji. Tylko dla kątów rzędu 50-100 wahadło matematyczne jest oscylatorem harmonicznym, to znaczy wykonuje oscylacje harmoniczne.
Badając wahania żyrandola na długim łańcuszku, Galileusz badał właściwości wahadła matematycznego. Zdał sobie sprawę, że okres drgań danego układu nie zależy od amplitudy przy małych kątach odchylenia.
Wzór na okres drgań wahadła matematycznego
Niech punkt zawieszenia wahadła będzie nieruchomy. Obciążenie zawieszone na nitce wahadła porusza się po łuku kołowym (rys. 1(a)) z przyspieszeniem i działa na niego pewna siła przywracająca ($\overline(F)$). Siła ta zmienia się w miarę przemieszczania się ładunku. W rezultacie obliczenia ruchu stają się złożone. Wprowadźmy pewne uproszczenia. Niech wahadło nie oscyluje w płaszczyźnie, ale opisuje stożek (ryc. 1 (b)). W tym przypadku ładunek porusza się po okręgu. Interesujący nas okres oscylacji będzie pokrywał się z okresem stożkowego ruchu ładunku. Okres obrotu wahadła stożkowego po okręgu jest równy czasowi, jaki przebywa ładunek podczas jednego obrotu po okręgu:
gdzie $L$ jest obwodem; $v$ to prędkość ruchu ładunku. Jeżeli kąty odchylenia gwintu od pionu są małe (małe amplitudy drgań), to przyjmuje się, że siła przywracająca ($F_1$) skierowana jest wzdłuż promienia okręgu opisanego przez obciążenie. Wtedy siła ta jest równa sile dośrodkowej:
Rozważmy podobne trójkąty: AOB i DBC (ryc. 1 (b)).
Przyrównujemy prawe strony wyrażeń (2) i (3) i wyrażamy prędkość ruchu ładunku:
\[\frac(mv^2)(R)=mg\frac(R)(l)\ \to v=R\sqrt(\frac(g)(l))\left(4\right).\]
Uzyskaną prędkość podstawiamy do wzoru (1) i mamy:
\ \
Ze wzoru (5) wynika, że okres wahadła matematycznego zależy wyłącznie od długości jego zawieszenia (odległości punktu zawieszenia od środka ciężkości ładunku) oraz przyspieszenia swobodnego spadania. Wzór (5) na okres wahadła matematycznego nazywa się wzorem Huygensa i jest spełniony, gdy punkt zawieszenia wahadła nie porusza się.
Korzystając z zależności okresu drgań wahadła matematycznego od przyspieszenia ziemskiego, określa się wielkość tego przyspieszenia. Aby to zrobić, zmierz długość wahadła, biorąc pod uwagę dużą liczbę drgań, znajdź okres $T$, a następnie oblicz przyspieszenie ziemskie.
Przykłady problemów z rozwiązaniami
Przykład 1
Ćwiczenia. Jak wiadomo, wielkość przyspieszenia ziemskiego zależy od szerokości geograficznej. Jakie jest przyspieszenie ziemskie na szerokości geograficznej Moskwy, jeśli okres drgań wahadła matematycznego o długości $l=2,485\cdot (10)^(-1)$m jest równy T=1 s?\textit()
Rozwiązanie. Za podstawę rozwiązania zadania przyjmujemy wzór na okres wahadła matematycznego:
Wyraźmy z (1.1) przyspieszenie swobodnego spadania:
Obliczmy wymagane przyspieszenie:
Odpowiedź.$g=9,81\frac(m)(s^2)$
Przykład 2
Ćwiczenia. Jaki będzie okres drgań wahadła matematycznego, jeśli punkt jego zawieszenia porusza się pionowo w dół 1) ze stałą prędkością? 2) z przyspieszeniem $a$? Długość gwintu tego wahadła wynosi 1 $
Rozwiązanie. Zróbmy rysunek.
1) Okres wahadła matematycznego, którego punkt zawieszenia porusza się ruchem jednostajnym, jest równy okresowi wahadła o stałym punkcie zawieszenia:
2) Przyspieszenie punktu zawieszenia wahadła można uznać za pojawienie się dodatkowej siły równej $F=ma$, która jest skierowana przeciwnie do przyspieszenia. Oznacza to, że jeśli przyspieszenie jest skierowane w górę, to dodatkowa siła jest skierowana w dół, co oznacza, że sumuje się ona z siłą grawitacji ($mg$). Jeżeli punkt zawieszenia porusza się z przyspieszeniem w dół, wówczas dodatkowa siła jest odejmowana od siły ciężkości.
Okres wahadła matematycznego, które drga i którego punkt zawieszenia porusza się z przyspieszeniem, wyznaczamy jako:
Odpowiedź. 1) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g))$; 2) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g-a))$
Okres drgań wahadła fizycznego zależy od wielu czynników: od wielkości i kształtu ciała, od odległości środka ciężkości od punktu zawieszenia oraz od rozkładu masy ciała względem tego punktu; Dlatego obliczenie okresu zawieszonego ciała jest zadaniem dość trudnym. Sytuacja jest prostsza w przypadku wahadła matematycznego. Z obserwacji takich wahadeł można ustalić następujące proste prawa.
1. Jeżeli przy zachowaniu tej samej długości wahadła (odległości od punktu zawieszenia do środka ciężkości ładunku) zawiesimy różne obciążenia, to okres drgań będzie taki sam, chociaż masy wahadła obciążenia są bardzo różne. Okres wahadła matematycznego nie zależy od masy ładunku.
2. Jeżeli uruchamiając wahadło odchylimy je pod różnymi (ale nie za dużymi) kątami, to będzie ono oscylować z tym samym okresem, choć z różną amplitudą. O ile amplitudy nie są zbyt duże, oscylacje mają postać dość zbliżoną do harmonicznej (§ 5), a okres wahadła matematycznego nie zależy od amplitudy oscylacji. Ta właściwość nazywa się izochronizmem (od greckich słów „isos” - równy, „chronos” - czas).
Fakt ten został po raz pierwszy stwierdzony w 1655 roku przez Galileusza, rzekomo w następujących okolicznościach. Galileusz zaobserwował w katedrze w Pizie kołysanie się żyrandola na długim łańcuszku, który podczas zapalania był popychany. Podczas nabożeństwa wahania stopniowo zanikały (§ 11), to znaczy amplituda wibracji malała, ale okres pozostał ten sam. Galileusz używał własnego pulsu jako wskaźnika czasu.
Wyprowadźmy teraz wzór na okres drgań wahadła matematycznego.
Ryż. 16. Drgania wahadła w płaszczyźnie (a) i ruch po stożku (b)
Kiedy wahadło się waha, ładunek porusza się z przyspieszeniem po łuku (ryc. 16, a) pod wpływem siły przywracającej, która zmienia się podczas ruchu. Obliczanie ruchu ciała pod działaniem zmiennej siły jest dość skomplikowane. Dlatego dla uproszczenia będziemy postępować w następujący sposób.
Sprawmy, aby wahadło nie oscylowało w jednej płaszczyźnie, ale opisz stożek tak, aby ładunek poruszał się po okręgu (ryc. 16, b). Ruch ten można uzyskać w wyniku dodania dwóch niezależnych drgań: jednego – wciąż w płaszczyźnie rysunku i drugiego – w płaszczyźnie prostopadłej. Oczywiście okresy obu tych oscylacji płaszczyzny są takie same, ponieważ żadna płaszczyzna oscylacji nie różni się od żadnej innej. W konsekwencji okres ruchu złożonego - obrót wahadła wzdłuż stożka - będzie taki sam, jak okres wahań płaszczyzny wody. Wniosek ten można łatwo zilustrować na podstawie bezpośredniego doświadczenia, biorąc dwa identyczne wahadła i nadając jednemu z nich obrót w płaszczyźnie, a drugiemu obrót wzdłuż stożka.
Ale okres obrotu wahadła „stożkowego” jest równy długości okręgu opisanego przez obciążenie podzielonej przez prędkość:
Jeżeli kąt odchylenia od pionu jest mały (małe amplitudy), to możemy założyć, że siła przywracająca skierowana jest wzdłuż promienia okręgu, tj. równa sile dośrodkowej:
Natomiast z podobieństwa trójkątów wynika, że . Odtąd stąd
Przyrównując oba wyrażenia do siebie, otrzymujemy dla współczynnika cyrkulacji
Na koniec, zastępując to wyrażeniem okresowym, znajdujemy
Zatem okres wahadła matematycznego zależy tylko od przyspieszenia ziemskiego i od długości wahadła, czyli odległości od punktu zawieszenia do środka ciężkości ładunku. Z otrzymanego wzoru wynika, że okres wahadła nie zależy od jego masy i amplitudy (pod warunkiem, że jest on odpowiednio mały). Innymi słowy, uzyskaliśmy poprzez obliczenia te podstawowe prawa, które zostały wcześniej ustalone na podstawie obserwacji.
Ale nasz teoretyczny wniosek daje nam więcej: pozwala nam ustalić ilościową zależność pomiędzy okresem wahadła, jego długością i przyspieszeniem ziemskim. Okres wahadła matematycznego jest proporcjonalny do pierwiastka kwadratowego ze stosunku długości wahadła do przyspieszenia ziemskiego. Współczynnik proporcjonalności wynosi .
Bardzo dokładna metoda wyznaczania tego przyspieszenia opiera się na zależności okresu wahadła od przyspieszenia ziemskiego. Po zmierzeniu długości wahadła i określeniu okresu na podstawie dużej liczby oscylacji możemy obliczyć, korzystając z otrzymanego wzoru. Metoda ta jest szeroko stosowana w praktyce.
Wiadomo (patrz tom I, §53), że przyspieszenie ziemskie zależy od szerokości geograficznej miejsca (na biegunie i na równiku). Obserwacje okresu wahań pewnego wahadła standardowego pozwalają na badanie rozkładu przyspieszenia grawitacyjnego na szerokości geograficznej. Metoda ta jest na tyle dokładna, że można jej używać do wykrywania bardziej subtelnych różnic wartości na powierzchni Ziemi. Okazuje się, że nawet na tym samym równoleżniku wartości w różnych punktach powierzchni ziemi są różne. Te anomalie w rozkładzie przyspieszenia grawitacyjnego są związane z nierównomierną gęstością skorupy ziemskiej. Służą do badania rozkładu gęstości, w szczególności do wykrywania występowania jakichkolwiek minerałów w skorupie ziemskiej. Zakrojone na szeroką skalę zmiany grawimetryczne, które umożliwiły ocenę występowania gęstych mas, przeprowadzono w ZSRR w rejonie tzw. anomalii magnetycznej Kurska (patrz tom II, § 130) pod przewodnictwem radzieckiego fizyka Piotra Pietrowicza Łazariew. W połączeniu z danymi dotyczącymi anomalii pola magnetycznego Ziemi, te dane grawimetryczne umożliwiły ustalenie rozkładu występowania mas żelaza, które determinują anomalie magnetyczne i grawitacyjne Kurska.
Układ mechaniczny składający się z punktu materialnego (ciała) zawieszonego na nierozciągliwej, nieważkiej nici (jego masa jest znikoma w porównaniu z ciężarem ciała) w jednolitym polu grawitacyjnym nazywa się wahadłem matematycznym (inna nazwa to oscylator). Istnieją inne typy tego urządzenia. Zamiast nici można zastosować nieważki pręt. Wahadło matematyczne może wyraźnie ujawnić istotę wielu interesujących zjawisk. Gdy amplituda drgań jest mała, ich ruch nazywa się harmonicznym.
Przegląd układu mechanicznego
Wzór na okres drgań tego wahadła wyprowadził holenderski naukowiec Huygens (1629-1695). Ten współczesny I. Newtonowi był bardzo zainteresowany tym układem mechanicznym. W 1656 roku stworzył pierwszy zegar z mechanizmem wahadłowym. Odmierzali czas z wyjątkową jak na owe czasy precyzją. Wynalazek ten stał się głównym etapem w rozwoju eksperymentów fizycznych i działań praktycznych.
Jeśli wahadło znajduje się w położeniu równowagi (wisi pionowo), będzie równoważone siłą naciągu nici. Wahadło płaskie na nierozciągliwej gwincie to układ o dwóch stopniach swobody ze sprzężeniem. Kiedy zmieniasz tylko jeden komponent, zmieniają się właściwości wszystkich jego części. Jeśli więc gwint zostanie zastąpiony prętem, wówczas ten układ mechaniczny będzie miał tylko 1 stopień swobody. Jakie właściwości ma wahadło matematyczne? W tym najprostszym systemie chaos powstaje pod wpływem okresowych zakłóceń. W przypadku, gdy punkt zawieszenia nie porusza się, lecz oscyluje, wahadło przyjmuje nowe położenie równowagi. Dzięki szybkim oscylacjom w górę i w dół ten układ mechaniczny przyjmuje stabilną pozycję „do góry nogami”. Ma również swoją nazwę. Nazywa się to wahadłem Kapitsa.
Właściwości wahadła
Wahadło matematyczne ma bardzo ciekawe właściwości. Wszystkie one znajdują potwierdzenie w znanych prawach fizycznych. Okres drgań każdego innego wahadła zależy od różnych okoliczności, takich jak wielkość i kształt ciała, odległość punktu zawieszenia od środka ciężkości oraz rozkład masy względem tego punktu. Dlatego określenie okresu zawieszenia ciała jest zadaniem dość trudnym. Znacznie łatwiej jest obliczyć okres wahadła matematycznego, którego wzór zostanie podany poniżej. W wyniku obserwacji podobnych układów mechanicznych można ustalić następujące wzorce:
Jeśli zachowując tę samą długość wahadła, zawiesimy różne ciężarki, to okres ich drgań będzie taki sam, chociaż ich masy będą znacznie się różnić. W konsekwencji okres takiego wahadła nie zależy od masy ładunku.
Jeśli podczas uruchamiania systemu wahadło zostanie odchylone pod niezbyt dużymi, ale różnymi kątami, wówczas zacznie oscylować z tym samym okresem, ale z różnymi amplitudami. Dopóki odchylenia od środka równowagi nie będą zbyt duże, drgania w swojej postaci będą dość zbliżone do harmonicznych. Okres takiego wahadła nie zależy w żaden sposób od amplitudy oscylacji. Ta właściwość danego układu mechanicznego nazywa się izochronizmem (w tłumaczeniu z greckiego „chronos” – czas, „isos” – równy).
Okres wahadła matematycznego
Wskaźnik ten reprezentuje okres naturalnych oscylacji. Pomimo złożonej receptury sam proces jest bardzo prosty. Jeżeli długość nici wahadła matematycznego wynosi L, a przyspieszenie swobodnego spadania wynosi g, to wartość ta jest równa:
Okres małych nie zależy w żaden sposób od masy wahadła i amplitudy oscylacji. W tym przypadku wahadło porusza się jak matematyczne o zadanej długości.
Drgania wahadła matematycznego
Wahadło matematyczne drga, co można opisać prostym równaniem różniczkowym:
x + ω2 grzech x = 0,
gdzie x (t) jest nieznaną funkcją (jest to kąt odchylenia od dolnego położenia równowagi w chwili t, wyrażony w radianach); ω jest stałą dodatnią, którą wyznacza się z parametrów wahadła (ω = √g/L, gdzie g jest przyspieszeniem swobodnego spadania, a L jest długością wahadła matematycznego (zawieszenia).
Równanie dla małych drgań w pobliżu położenia równowagi (równanie harmoniczne) wygląda następująco:
x + ω2 grzech x = 0
Ruchy oscylacyjne wahadła
Wahadło matematyczne wykonujące niewielkie oscylacje porusza się po sinusoidzie. Równanie różniczkowe drugiego rzędu spełnia wszystkie wymagania i parametry takiego ruchu. Aby wyznaczyć trajektorię należy ustalić prędkość i współrzędne, z których następnie wyznaczane są niezależne stałe:
x = grzech (θ 0 + ωt),
gdzie θ 0 to faza początkowa, A to amplituda oscylacji, ω to częstotliwość cykliczna wyznaczona z równania ruchu.
Wahadło matematyczne (wzory na duże amplitudy)
Ten układ mechaniczny, który oscyluje ze znaczną amplitudą, podlega bardziej złożonym prawom ruchu. Dla takiego wahadła oblicza się je według wzoru:
grzech x/2 = u * sn(ωt/u),
gdzie sn jest sinusem Jacobiego, co dla ciebie< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:
u = (ε + ω2)/2ω2,
gdzie ε = E/mL2 (mL2 to energia wahadła).
Okres drgań wahadła nieliniowego wyznacza się ze wzoru:
gdzie Ω = π/2 * ω/2K(u), K jest całką eliptyczną, π - 3,14.
Ruch wahadła po separatorze
Separator to trajektoria układu dynamicznego, który ma dwuwymiarową przestrzeń fazową. Wahadło matematyczne porusza się po nim nieokresowo. W nieskończenie odległym momencie spada z najwyższej pozycji na bok z zerową prędkością, po czym stopniowo ją zwiększa. W końcu zatrzymuje się, powracając do pierwotnej pozycji.
Jeśli amplituda drgań wahadła zbliża się do liczby π oznacza to, że ruch w płaszczyźnie fazowej zbliża się do separatrix. W tym przypadku pod wpływem małej okresowej siły napędowej układ mechaniczny wykazuje chaotyczne zachowanie.
Kiedy wahadło matematyczne odchyli się od położenia równowagi o pewien kąt φ, powstaje styczna siła ciężkości Fτ = -mg sin φ. Znak minus oznacza, że ta składowa styczna jest skierowana w kierunku przeciwnym do wychylenia wahadła. Oznaczając przez x przemieszczenie wahadła po łuku kołowym o promieniu L, jego przemieszczenie kątowe jest równe φ = x/L. Drugie prawo, przeznaczone dla rzutów i siły, da pożądaną wartość:
mg τ = Fτ = -mg sin x/L
Z tej zależności jasno wynika, że wahadło to jest układem nieliniowym, ponieważ siła przywracająca je do położenia równowagi jest zawsze proporcjonalna nie do przemieszczenia x, ale do sin x/L.
Tylko wtedy, gdy wahadło matematyczne wykonuje małe oscylacje, jest oscylatorem harmonicznym. Innymi słowy staje się układem mechanicznym zdolnym do wykonywania oscylacji harmonicznych. Przybliżenie to obowiązuje praktycznie dla kątów 15-20°. Oscylacje wahadła o dużych amplitudach nie są harmoniczne.
Prawo Newtona dla małych drgań wahadła
Jeżeli dany układ mechaniczny wykonuje niewielkie oscylacje, II zasada Newtona będzie wyglądać następująco:
mg τ = Fτ = -m* g/L* x.
Na tej podstawie możemy stwierdzić, że wahadło matematyczne jest proporcjonalne do jego przemieszczenia ze znakiem minus. Jest to warunek, w wyniku którego układ staje się oscylatorem harmonicznym. Moduł współczynnika proporcjonalności między przemieszczeniem a przyspieszeniem jest równy kwadratowi częstotliwości kołowej:
ω02 = g/l; ω0 = √ g/l.
Wzór ten odzwierciedla naturalną częstotliwość małych oscylacji tego typu wahadła. Oparte na tym,
T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.
Obliczenia w oparciu o zasadę zachowania energii
Właściwości wahadła można również opisać korzystając z prawa zachowania energii. Należy wziąć pod uwagę, że wahadło w polu grawitacyjnym jest równe:
E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2
Suma równa się potencjałowi kinetycznemu lub maksymalnemu: Epmax = Ekmsx = E
Po zapisaniu prawa zachowania energii oblicz pochodną prawej i lewej strony równania:
Ponieważ pochodna wielkości stałych jest równa 0, to (Ep + Ek)" = 0. Pochodna sumy jest równa sumie pochodnych:
Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" = mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,
stąd:
Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.
Bazując na ostatnim wzorze znajdujemy: α = - g/L*x.
Praktyczne zastosowanie wahadła matematycznego
Przyspieszenie zmienia się w zależności od szerokości geograficznej, ponieważ gęstość skorupy ziemskiej nie jest taka sama na całej planecie. Tam, gdzie występują skały o większej gęstości, będzie ona nieco większa. Przyspieszenie wahadła matematycznego jest często wykorzystywane w badaniach geologicznych. Służy do poszukiwania różnych minerałów. Po prostu licząc liczbę drgań wahadła, możesz wykryć węgiel lub rudę w wnętrznościach Ziemi. Wynika to z faktu, że takie skamieniałości mają gęstość i masę większą niż leżące pod nimi luźne skały.
Z wahadła matematycznego korzystali tak wybitni naukowcy jak Sokrates, Arystoteles, Platon, Plutarch, Archimedes. Wielu z nich wierzyło, że ten mechaniczny system może wpływać na losy i życie człowieka. Archimedes w swoich obliczeniach posługiwał się wahadłem matematycznym. Obecnie wielu okultystów i jasnowidzów używa tego mechanicznego systemu do wypełniania swoich przepowiedni lub poszukiwania zaginionych osób.
Wahadło matematyczne wykorzystywał także w swoich badaniach słynny francuski astronom i przyrodnik K. Flammarion. Twierdził, że za jego pomocą był w stanie przewidzieć odkrycie nowej planety, pojawienie się meteorytu Tunguska i inne ważne wydarzenia. W czasie II wojny światowej w Niemczech (Berlin) działał wyspecjalizowany Instytut Wahadeł. Obecnie podobnymi badaniami zajmuje się monachijski Instytut Parapsychologii. Pracownicy tego zakładu nazywają swoją pracę z wahadłem „radiestezją”.
Wahadło matematyczne nazywamy punkt materialny zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici przymocowanej do zawieszenia i znajdującej się w polu grawitacji (lub innej siły).
Przeanalizujmy drgania wahadła matematycznego w inercjalnym układzie odniesienia, względem którego punkt jego zawieszenia znajduje się w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej. Pominiemy siłę oporu powietrza (idealne wahadło matematyczne). Początkowo wahadło znajduje się w spoczynku w położeniu równowagi C. W tym przypadku działająca na nie siła ciężkości i siła sprężystości F?ynp nici wzajemnie się kompensują.
Wyprowadźmy wahadło z położenia równowagi (wychylając je np. do położenia A) i zwolnijmy bez prędkości początkowej (rys. 1). W tym przypadku siły nie równoważą się. Styczna składowa grawitacji, działająca na wahadło, nadaje mu przyspieszenie styczne a? (składowa całkowitego przyspieszenia skierowana wzdłuż stycznej do trajektorii wahadła matematycznego), a wahadło zaczyna poruszać się w kierunku położenia równowagi z prędkością rosnącą w wartości bezwzględnej. Styczna składowa ciężkości jest zatem siłą przywracającą. Normalna składowa ciężkości jest skierowana wzdłuż nici wbrew sile sprężystości. Wypadkowa sił daje wahadłu przyspieszenie normalne, co powoduje zmianę kierunku wektora prędkości, a wahadło porusza się po łuku ABCD.
Im bliżej wahadło zbliża się do położenia równowagi C, tym mniejsza staje się wartość składowej stycznej. W położeniu równowagi jest równa zeru, a prędkość osiąga wartość maksymalną, a wahadło porusza się dalej na skutek bezwładności, wznosząc się po łuku w górę. W tym przypadku komponent jest skierowany przeciwko prędkości. Wraz ze wzrostem kąta odchylenia a zwiększa się wielkość siły, a wielkość prędkości maleje i w punkcie D prędkość wahadła staje się zerowa. Wahadło zatrzymuje się na chwilę, a następnie zaczyna poruszać się w kierunku przeciwnym do położenia równowagi. Po ponownym przejściu przez bezwładność wahadło, zwalniając swój ruch, osiągnie punkt A (nie ma tarcia), tj. zakończy pełny obrót. Następnie ruch wahadła zostanie powtórzony w kolejności już opisanej.
Otrzymamy równanie opisujące swobodne oscylacje wahadła matematycznego.
Niech wahadło w danym momencie znajdzie się w punkcie B. Jego przemieszczenie S z położenia równowagi w tym momencie jest równe długości łuku SV (tj. S = |SV|). Oznaczmy długość nici zawieszenia jako l, a masę wahadła jako m.
Z rysunku 1 jasno wynika, że , gdzie . Dlatego przy małych kątach () wahadło odchyla się
We wzorze tym umieszczono znak minus, ponieważ styczna składowa ciężkości jest skierowana w stronę położenia równowagi, a przemieszczenie liczy się od położenia równowagi.
Zgodnie z drugim prawem Newtona. Rzutujmy wielkości wektorowe tego równania na kierunek stycznej do trajektorii wahadła matematycznego
Z tych równań otrzymujemy
Dynamiczne równanie ruchu wahadła matematycznego. Przyspieszenie styczne wahadła matematycznego jest proporcjonalne do jego przemieszczenia i jest skierowane w stronę położenia równowagi. Równanie to można zapisać jako
Porównanie z równaniem drgań harmonicznych 
, możemy stwierdzić, że wahadło matematyczne wykonuje oscylacje harmoniczne. A ponieważ rozważane drgania wahadła zachodziły pod wpływem wyłącznie sił wewnętrznych, były to drgania swobodne wahadła. W związku z tym swobodne oscylacje wahadła matematycznego z małymi odchyleniami są harmoniczne.
Oznaczmy
Częstotliwość cykliczna drgań wahadła.
Okres drgań wahadła. Stąd,
Wyrażenie to nazywa się wzorem Huygensa. Wyznacza okres swobodnych oscylacji wahadła matematycznego. Z wzoru wynika, że przy małych kątach odchylenia od położenia równowagi okres drgań wahadła matematycznego wynosi:
- nie zależy od jego masy i amplitudy drgań;
- jest proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego długości wahadła i odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego przyspieszenia ziemskiego.
Jest to zgodne z eksperymentalnymi prawami małych oscylacji wahadła matematycznego, które odkrył G. Galileo.
Podkreślamy, że za pomocą tego wzoru można obliczyć okres, jeśli spełnione są jednocześnie dwa warunki:
- oscylacje wahadła powinny być małe;
- punkt zawieszenia wahadła musi znajdować się w spoczynku lub poruszać się równomiernie po linii prostej względem inercyjnego układu odniesienia, w którym się znajduje.
Jeśli punkt zawieszenia wahadła matematycznego porusza się z przyspieszeniem, wówczas zmienia się siła naciągu nici, co prowadzi do zmiany siły przywracającej, a co za tym idzie, częstotliwości i okresu drgań. Jak pokazują obliczenia, okres drgań wahadła w tym przypadku można obliczyć za pomocą wzoru
gdzie jest „efektywnym” przyspieszeniem wahadła w nieinercjalnym układzie odniesienia. Jest równa sumie geometrycznej przyspieszenia swobodnego spadania i wektora przeciwnego do wektora, tj. można to obliczyć za pomocą wzoru
Definicja
Wahadło matematyczne- jest to układ oscylacyjny, będący szczególnym przypadkiem wahadła fizycznego, którego cała masa jest skupiona w jednym punkcie, czyli w środku masy wahadła.
Zwykle wahadło matematyczne jest przedstawiane jako kula zawieszona na długiej, nieważkiej i nierozciągliwej nici. Jest to wyidealizowany układ, który wykonuje oscylacje harmoniczne pod wpływem grawitacji. Dobrym przybliżeniem wahadła matematycznego jest masywna mała kulka oscylująca na cienkiej, długiej nici.
Galileusz jako pierwszy zbadał właściwości wahadła matematycznego, badając wahanie żyrandola na długim łańcuchu. Odkrył, że okres drgań wahadła matematycznego nie zależy od amplitudy. Jeżeli podczas uruchamiania wahadła odchyli się ono pod różnymi małymi kątami, wówczas jego oscylacje będą występować z tym samym okresem, ale z różnymi amplitudami. Ta właściwość nazywa się izochronizmem.
Równanie ruchu wahadła matematycznego
Wahadło matematyczne jest klasycznym przykładem oscylatora harmonicznego. Wykonuje oscylacje harmoniczne, które opisuje równanie różniczkowe:
\[\ddot(\varphi )+(\omega )^2_0\varphi =0\ \left(1\right),\]
gdzie $\varphi $ jest kątem odchylenia gwintu (zawieszenia) od położenia równowagi.
Rozwiązaniem równania (1) jest funkcja $\varphi (t):$
\[\varphi (t)=(\varphi )_0(\cos \left((\omega)_0t+\alpha \right)\left(2\right),\ )\]
gdzie $\alpha $ jest początkową fazą oscylacji; $(\varphi )_0$ - amplituda oscylacji; $(\omega )_0$ - częstotliwość cykliczna.
Oscylacje oscylatora harmonicznego są ważnym przykładem ruchu okresowego. Oscylator służy jako model w wielu zagadnieniach mechaniki klasycznej i kwantowej.
Częstotliwość cykliczna i okres drgań wahadła matematycznego
Częstotliwość cykliczna wahadła matematycznego zależy tylko od długości jego zawieszenia:
\[\ (\omega )_0=\sqrt(\frac(g)(l))\left(3\right).\]
Okres drgań wahadła matematycznego ($T$) w tym przypadku jest równy:
Z wyrażenia (4) wynika, że okres wahadła matematycznego zależy wyłącznie od długości jego zawieszenia (odległości punktu zawieszenia od środka ciężkości ładunku) oraz przyspieszenia ziemskiego.
Równanie energii dla wahadła matematycznego
Rozważając oscylacje układów mechanicznych o jednym stopniu swobody, często za punkt wyjścia przyjmują nie równania ruchu Newtona, ale równanie energii. Ponieważ łatwiej jest to ułożyć i jest to równanie pierwszego rzędu w czasie. Załóżmy, że w układzie nie ma tarcia. Zasadę zachowania energii dla wahadła matematycznego wykonującego swobodne oscylacje (małe oscylacje) zapisujemy jako:
gdzie $E_k$ jest energią kinetyczną wahadła; $E_p$ jest energią potencjalną wahadła; $v$ to prędkość wahadła; $x$ to liniowe przemieszczenie ciężarka wahadła z położenia równowagi po łuku kołowym o promieniu $l$, natomiast kąt - przemieszczenie jest odniesiony do $x$ jako:
\[\varphi =\frac(x)(l)\lewo(6\prawo).\]
Maksymalna wartość energii potencjalnej wahadła matematycznego wynosi:
Maksymalna wartość energii kinetycznej:
gdzie $h_m$ jest maksymalną wysokością wahadła; $x_m$ to maksymalne odchylenie wahadła od położenia równowagi; $v_m=(\omega )_0x_m$ - maksymalna prędkość.
Przykłady problemów z rozwiązaniami
Przykład 1
Ćwiczenia. Jaka jest maksymalna wysokość uniesienia kuli wahadła matematycznego, jeśli jej prędkość ruchu przy przejściu przez położenie równowagi wynosiła $v$?
Rozwiązanie. Zróbmy rysunek.
Niech energia potencjalna piłki w położeniu równowagi (punkt 0) będzie wynosić zero.W tym momencie prędkość piłki jest maksymalna i równa $v$ zgodnie z warunkami zadania. W punkcie maksymalnego wzniesienia piłki powyżej położenia równowagi (punkt A) prędkość piłki wynosi zero, a energia potencjalna jest maksymalna. Zapiszmy prawo zachowania energii dla rozważanych dwóch położeń kuli:
\[\frac(mv^2)(2)=mgh\ \left(1.1\right).\]
Z równania (1.1) znajdujemy wymaganą wysokość:
Odpowiedź.$h=\frac(v^2)(2g)$
Przykład 2
Ćwiczenia. Jakie jest przyspieszenie ziemskie, jeśli wahadło matematyczne o długości $l=1\ m$ oscyluje w okresie równym $T=2\ s$? Rozważ oscylacje wahadła matematycznego za małe.\textit()
Rozwiązanie. Jako podstawę do rozwiązania problemu przyjmujemy wzór na obliczenie okresu małych oscylacji:
Wyraźmy z niego przyspieszenie:
Obliczmy przyspieszenie ziemskie:
Odpowiedź.$g=9,87\\frac(m)(s^2)$