Instruction
Pour trouver les coordonnées d'un point qui appartient à une ligne, sélectionnez-le sur la ligne et déposez des lignes perpendiculaires sur l'axe des coordonnées. Déterminez à quel numéro correspond le point d'intersection, l'intersection avec l'axe des x est la valeur de l'abscisse, c'est-à-dire x1, l'intersection avec l'axe des y est l'ordonnée, y1.
Essayez de choisir un point dont les coordonnées peuvent être déterminées sans valeurs fractionnaires, pour la commodité et la précision des calculs. Pour construire une équation, il faut au moins deux points. Trouver les coordonnées d'un autre point appartenant à cette droite (x2, y2).
Remplacez les valeurs des coordonnées dans l'équation d'une ligne droite, qui a la forme générale y=kx+b. Vous obtiendrez un système de deux équations y1=kx1+b et y2=kx2+b. Résolvez ce système, par exemple, de la manière suivante.
Exprimer b à partir de la première équation et brancher sur la seconde, trouver k, brancher sur n'importe quelle équation et trouver b. Par exemple, la solution du système 1=2k+b et 3=5k+b ressemblera à ceci : b=1-2k, 3=5k+(1-2k) ; 3k=2, k=1,5, b=1-2*1,5=-2. Ainsi, l'équation d'une droite a la forme y=1,5x-2.
Connaissant deux points appartenant à la ligne, essayez d'utiliser l'équation canonique de la ligne, cela ressemble à ceci: (x - x1) / (x2 - x1) \u003d (y - y1) / (y2 - y1). Remplacez les valeurs (x1; y1) et (x2; y2), simplifiez. Par exemple, les points (2;3) et (-1;5) appartiennent à la droite (x-2)/(-1-2)=(y-3)/(5-3); -3(x-2)=2(y-3); -3x+6=2a-6 ; 2y=12-3x ou y=6-1,5x.
Pour trouver l'équation d'une fonction qui a un graphique non linéaire, procédez comme suit. Afficher tous les tracés standard y=x^2, y=x^3, y=√x, y=sinx, y=cosx, y=tgx, etc. Si l'un d'eux vous rappelle votre emploi du temps, prenez-le comme base.
Dessinez un tracé de fonction de base standard sur le même axe de coordonnées et trouvez-le à partir de votre tracé. Si le graphique est déplacé vers le haut ou vers le bas de plusieurs unités, alors ce nombre a été ajouté à la fonction (par exemple, y=sinx+4). Si le graphique est déplacé vers la droite ou la gauche, le nombre est ajouté à l'argument (par exemple, y \u003d sin (x + P / 2).
Un graphique allongé en hauteur indique que la fonction argument est multipliée par un certain nombre (par exemple, y=2sinx). Si le graphe, au contraire, est réduit en hauteur, alors le nombre devant la fonction est inférieur à 1.
Comparez le graphique de la fonction de base et votre fonction en largeur. S'il est plus étroit, alors x est précédé d'un nombre supérieur à 1, large - un nombre inférieur à 1 (par exemple, y=sin0.5x).
note
Peut-être que le graphique correspond à l'équation trouvée uniquement sur un certain segment. Dans ce cas, indiquez pour quelles valeurs de x l'égalité résultante est valable.
Une droite est une droite algébrique du premier ordre. Dans un repère cartésien sur un plan, l'équation d'une droite est donnée par une équation du premier degré.
Tu auras besoin de
- Connaissance de la géométrie analytique. Connaissances de base en algèbre.
Instruction
L'équation est donnée par deux sur , que cette ligne doit passer. Composez le rapport des coordonnées de ces points. Soit le premier point de coordonnées (x1,y1), et le second (x2,y2), alors l'équation de la droite s'écrira comme suit : (x-x1)/(x2-x1) = (y-y1) (y2-y1).
Nous transformons l'équation obtenue d'une ligne droite et exprimons explicitement y en termes de x. Après cette opération, l'équation de la droite prendra la forme finale : y=(x-x1)/((x2-x1)*(y2-y1))+y1.
Vidéos connexes
note
Si l'un des nombres du dénominateur est zéro, la ligne est parallèle à l'un des axes de coordonnées.
Conseil utile
Après avoir fait l'équation d'une droite, vérifiez son exactitude. Pour ce faire, substituez les coordonnées des points à la place des coordonnées correspondantes et assurez-vous que l'égalité est respectée.
On sait souvent que y dépend linéairement de x, et un graphique de cette dépendance est donné. Dans ce cas, il est possible de trouver l'équation d'une droite. Vous devez d'abord sélectionner deux points sur la ligne.
Instruction
Localisez les points sélectionnés. Pour ce faire, abaissez les perpendiculaires à partir des points sur l'axe des coordonnées et notez les nombres de l'échelle. Ainsi, pour le point B de notre exemple, la coordonnée x est -2 et la coordonnée y est 0. De même, pour le point A, les coordonnées seront (2; 3).
On sait que la droite a la forme y = kx + b. Nous substituons les coordonnées des points sélectionnés dans l'équation sous forme générale, puis pour le point A nous obtenons l'équation suivante : 3 = 2k + b. Pour le point B, on obtient une autre équation : 0 = -2k + b. Évidemment, nous avons un système de deux équations à deux inconnues : k et b.
Ensuite, nous résolvons le système de n'importe quelle manière pratique. Dans notre cas, on peut additionner les équations du système, puisque l'inconnue k entre dans les deux équations avec des coefficients identiques en valeur absolue, mais opposés en signe. On obtient alors 3 + 0 = 2k - 2k + b + b, soit, ce qui revient au même : 3 = 2b. Donc b = 3/2. Nous substituons la valeur trouvée de b dans l'une des équations pour trouver k. Alors 0 = -2k + 3/2, k = 3/4.
Nous substituons les k et b trouvés dans l'équation générale et obtenons l'équation requise de la ligne droite : y = 3x/4 + 3/2.
Vidéos connexes
note
Le coefficient k est appelé la pente de la droite et est égal à la tangente de l'angle entre la droite et l'axe des abscisses.
Une ligne droite peut être tracée à partir de deux points. Les coordonnées de ces points sont "cachées" dans l'équation d'une droite. L'équation dira tous les secrets de la ligne: comment elle est tournée, de quel côté du plan de coordonnées elle se trouve, etc.
Instruction
Le plus souvent, il est nécessaire de construire dans un avion. Chaque point aura deux coordonnées : x, y. Faites attention à l'équation, elle obéit à la forme générale: y \u003d k * x ± b, où k, b sont des nombres libres et y, x sont les coordonnées mêmes de tous les points de la ligne. D'après l'équation générale, cela pour trouver la coordonnée y, vous devez connaître la coordonnée x. La chose la plus intéressante est que vous pouvez choisir n'importe quelle valeur de la coordonnée x : parmi l'infinité entière de nombres connus. Branchez x dans l'équation et résolvez-la pour trouver y. Exemple. Donnons l'équation : y=4x-3. Pensez à deux valeurs quelconques pour les coordonnées de deux points. Par exemple, x1 = 1, x2 = 5. Remplacez ces valeurs dans les équations pour trouver les coordonnées y. y1 \u003d 4 * 1 - 3 \u003d 1. y2 \u003d 4 * 5 - 3 \u003d 17. Nous avons deux points A et B, A (1; 1) et B (5; 17).
Vous devez construire les points trouvés dans l'axe des coordonnées, les connecter et voir la ligne très droite décrite par l'équation. Pour construire une ligne droite, vous devez travailler dans un système de coordonnées cartésiennes. Dessinez les axes X et Y. Réglez le point d'intersection sur zéro. Mettez des nombres sur les axes.
Dans le système construit, marquer les deux points trouvés à la 1ère étape. Le principe de la définition des points spécifiés : le point A a pour coordonnées x1 = 1, y1 = 1 ; sélectionnez le nombre 1 sur l'axe des x, le nombre 1 sur l'axe des y. Le point A est situé à ce point. Le point B est défini par x2 = 5, y2 = 17. Par analogie, trouvez le point B sur le graphique. Connectez A et B pour former une ligne droite.
Vidéos connexes
Le terme solution d'une fonction en tant que telle n'est pas utilisé en mathématiques. Cette formulation doit être comprise comme l'exécution de certaines actions sur une fonction donnée afin de trouver une caractéristique spécifique, ainsi que de trouver les données nécessaires pour tracer un graphique de fonction.
Instruction
Vous pouvez considérer un schéma approximatif selon lequel le comportement de la fonction est opportun et construire son graphique.
Trouvez la portée de la fonction. Déterminer si une fonction est paire ou impaire. Si vous trouvez la bonne réponse, continuez uniquement sur le demi-axe souhaité. Déterminez si la fonction est périodique. En cas de réponse positive, poursuivre l'étude sur une seule période. Trouvez des points et déterminez son comportement au voisinage de ces points.
Trouvez les points d'intersection du graphique de la fonction avec les axes de coordonnées. Trouvez s'ils le sont. Utilisez la première dérivée pour explorer la fonction des extrema et des intervalles de monotonie. Testez également la dérivée seconde pour les points de convexité, de concavité et d'inflexion. Sélectionnez des points pour affiner la fonction et calculer les valeurs de la fonction à eux. Construisez un graphique de la fonction en tenant compte des résultats obtenus pour toutes les études.
Il faut distinguer sur l'axe 0X des points caractéristiques : points de discontinuité, x=0, zéros de la fonction, points d'extremum, points d'inflexion. Dans ces asymptotes, et donneront une esquisse du graphe de la fonction.
Ainsi, sur un exemple précis de la fonction y=((x^2)+1)/(x-1) faites une étude en utilisant la dérivée première. Réécrivez la fonction sous la forme y=x+1+2/(x-1). La dérivée première sera égale à y’=1-2/((x-1)^2).
Trouvez les points critiques du premier type : y'=0, (x-1)^2=2, vous obtiendrez ainsi deux points : x1=1-sqrt2, x2=1+sqrt2. Marquez les valeurs obtenues sur la zone de définition de la fonction (Fig. 1).
Déterminer le signe de la dérivée sur chacun des intervalles. Sur la base de la règle des signes alternés de "+" à "-" et de "-" à "+", obtenez que le point maximum de la fonction est x1=1-sqrt2, et le point minimum est x2=1+sqrt2 . La même conclusion peut être tirée du signe de la dérivée seconde.
Votre vie privée est importante pour nous. Pour cette raison, nous avons développé une politique de confidentialité qui décrit comment nous utilisons et stockons vos informations. Veuillez lire notre politique de confidentialité et faites-nous savoir si vous avez des questions.
Collecte et utilisation des informations personnelles
Les informations personnelles font référence aux données qui peuvent être utilisées pour identifier ou contacter une personne spécifique.
Vous pouvez être invité à fournir vos informations personnelles à tout moment lorsque vous nous contactez.
Voici quelques exemples des types d'informations personnelles que nous pouvons collecter et de la manière dont nous pouvons utiliser ces informations.
Quelles informations personnelles nous collectons :
- Lorsque vous soumettez une candidature sur le site, nous pouvons collecter diverses informations, notamment votre nom, votre numéro de téléphone, votre adresse e-mail, etc.
Comment utilisons-nous vos informations personnelles:
- Les informations personnelles que nous collectons nous permettent de vous contacter et de vous informer des offres uniques, promotions et autres événements et événements à venir.
- De temps à autre, nous pouvons utiliser vos informations personnelles pour vous envoyer des avis et des communications importants.
- Nous pouvons également utiliser des informations personnelles à des fins internes, telles que la réalisation d'audits, l'analyse de données et diverses recherches afin d'améliorer les services que nous fournissons et de vous fournir des recommandations concernant nos services.
- Si vous participez à un tirage au sort, à un concours ou à une incitation similaire, nous pouvons utiliser les informations que vous fournissez pour administrer ces programmes.
Divulgation à des tiers
Nous ne divulguons pas les informations reçues de votre part à des tiers.
Des exceptions:
- Dans le cas où il est nécessaire - conformément à la loi, à l'ordre judiciaire, dans le cadre de procédures judiciaires et / ou sur la base de demandes publiques ou de demandes d'organismes publics sur le territoire de la Fédération de Russie - de divulguer vos informations personnelles. Nous pouvons également divulguer des informations vous concernant si nous déterminons qu'une telle divulgation est nécessaire ou appropriée pour des raisons de sécurité, d'application de la loi ou d'autres raisons d'intérêt public.
- En cas de réorganisation, de fusion ou de vente, nous pouvons transférer les informations personnelles que nous collectons au tiers successeur concerné.
Protection des informations personnelles
Nous prenons des précautions - y compris administratives, techniques et physiques - pour protéger vos informations personnelles contre la perte, le vol et l'utilisation abusive, ainsi que contre l'accès, la divulgation, l'altération et la destruction non autorisés.
Maintenir votre vie privée au niveau de l'entreprise
Pour garantir la sécurité de vos informations personnelles, nous communiquons les pratiques de confidentialité et de sécurité à nos employés et appliquons strictement les pratiques de confidentialité.
Maslova Angelina
Travail de recherche en mathématiques. Angelina a compilé un modèle informatique d'une fonction linéaire, à l'aide duquel elle a mené l'étude.
Télécharger:
Aperçu:
Établissement d'enseignement municipal autonome École secondaire n ° 8 du district municipal de Bor, région de Nizhny Novgorod
Travail de recherche en informatique et mathématiques
Rempli par une élève de 7e année, Maslova Angelina
Superviseur: professeur d'informatique, Voronina Anna Alekseevna.
Quartier de la ville de Bor - 2015
Introduction
- Examen d'une fonction linéaire dans des feuilles de calcul
Conclusion
Bibliographie
Introduction
Cette année, en cours d'algèbre, nous nous sommes familiarisés avec une fonction linéaire. Nous avons appris à représenter graphiquement une fonction linéaire, déterminé comment la fonction graphique doit se comporter en fonction de ses coefficients. Un peu plus tard, dans un cours d'informatique, nous avons appris que ces actions peuvent être considérées comme de la modélisation mathématique. J'ai décidé de voir s'il était possible d'explorer une fonction linéaire à l'aide de feuilles de calcul.
Objectif du travail : explorer la fonction linéaire dans les feuilles de calcul
Objectifs de recherche:
- trouver et étudier des informations sur une fonction linéaire ;
- construire un modèle mathématique d'une fonction linéaire dans un tableur ;
- explorer une fonction linéaire à l'aide du modèle construit.
Objet d'étude :modélisation mathématique.
Sujet d'étude:modèle mathématique d'une fonction linéaire.
La modélisation comme méthode de connaissance
L'homme connaît le monde presque depuis sa naissance. Pour ce faire, une personne utilise des modèles qui peuvent être très divers.
Modèle est un nouvel objet qui reflète certaines propriétés essentielles d'un objet réel.
Les modèles d'objets réels sont utilisés dans diverses situations :
- Lorsqu'un objet est très grand (par exemple, la Terre - un modèle : un globe ou une carte) ou, à l'inverse, trop petit (une cellule biologique).
- Lorsque l'objet est très complexe dans sa structure (voiture - modèle : voiture d'enfant).
- Quand un objet est dangereux à étudier (volcan).
- Lorsque l'objet est très éloigné.
La modélisation est le processus de création et d'étude d'un modèle.
Nous créons et utilisons nous-mêmes des modèles, parfois sans même y penser. Par exemple, nous prenons des photos d'un événement de notre vie et les montrons ensuite à nos amis.
Selon le type d'information, tous les modèles peuvent être divisés en plusieurs groupes :
- modèles verbaux. Ces modèles peuvent exister oralement ou par écrit. Il peut s'agir simplement d'une description verbale d'un sujet ou d'un poème, ou peut-être d'un article de journal ou d'un essai - tous ces éléments sont des modèles verbaux.
- Modèles graphiques. Ce sont nos dessins, photographies, schémas et graphiques.
- modèles emblématiques. Ce sont des modèles écrits dans une certaine langue des signes : notes, formules mathématiques, physiques ou chimiques.
Fonction linéaire et ses propriétés
Fonction linéaireest appelée une fonction de la forme
Le graphique d'une fonction linéaire est une droite.
1 . Pour tracer une fonction, nous avons besoin des coordonnées de deux points appartenant au graphe de la fonction. Pour les trouver, vous devez prendre deux valeurs x, les substituer dans l'équation de la fonction et calculer les valeurs y correspondantes à partir d'elles.
Par exemple, pour représenter graphiquement la fonction, pratique à prendre et , alors les ordonnées de ces points seront égales Et .
On obtient les points A(0;2) et B(3;3). Connectez-les et obtenez le graphique de la fonction:
2 . Dans l'équation de la fonction y=kx+b, le coefficient k est responsable de la pente du graphe de la fonction :
Le coefficient b est responsable du déplacement du graphique le long de l'axe OY :
La figure ci-dessous montre les graphiques des fonctions; ;
Notez que dans toutes ces fonctions, le coefficient supérieur à zéro vers la droite . De plus, plus la valeur est grande, plus la droite est raide.
Dans toutes les fonctions- et on voit que tous les graphes coupent l'axe OY au point (0; 3)
Considérons maintenant les graphiques des fonctions; ;
Cette fois dans toutes les fonctions le coefficient moins que zéro , et tous les graphiques de fonctions sont biaisésÀ gauche . Le coefficient b est le même, b=3, et les graphiques, comme dans le cas précédent, croisent l'axe OY au point (0;3)
Considérez les graphiques de fonction; ;
Maintenant, dans toutes les équations de fonctions, les coefficientssont égaux. Et nous avons trois lignes parallèles.
Mais les coefficients b sont différents, et ces graphiques coupent l'axe OY en différents points :
Graphique de fonction (b=3) coupe l'axe OY au point (0;3)
Graphique de fonction (b=0) croise l'axe OY au point (0;0) - l'origine.
Graphique de fonction (b=-2) coupe l'axe OY au point (0;-2)
Donc, si nous connaissons les signes des coefficients k et b, nous pouvons immédiatement imaginer à quoi ressemble le graphique de la fonction.
Si k 0 , puis le graphique de la fonction ressemble à:
Si k>0 et b>0 , puis le graphique de la fonction ressemble à:
Si k>0 et b , puis le graphique de la fonction ressemble à:
Si k, puis le graphique de la fonction ressemble à:
Si k=0 , alors la fonction devient une fonctionet son graphique ressemble à :
Ordonnées de tous les points du graphique de la fonctionégal
Si b=0 , puis le graphe de la fonctionpasse par l'origine :
4. Condition de parallélisme de deux droites :
Graphique de fonction parallèle au graphe de la fonction, Si
5. La condition de perpendicularité de deux droites :
Graphique de fonction perpendiculaire au graphe de la fonction si ou
6 . Points d'intersection du graphique de la fonctionavec axes de coordonnées.
avec axe OY. L'abscisse de tout point appartenant à l'axe OY est égale à zéro. Par conséquent, pour trouver le point d'intersection avec l'axe OY, vous devez remplacer zéro au lieu de x dans l'équation de la fonction. On obtient y=b. C'est-à-dire que le point d'intersection avec l'axe OY a pour coordonnées (0;b).
Avec axe OX : L'ordonnée de tout point appartenant à l'axe OX est zéro. Par conséquent, pour trouver le point d'intersection avec l'axe OX, vous devez substituer zéro au lieu de y dans l'équation de la fonction. On obtient 0=kx+b. D'ici. Autrement dit, le point d'intersection avec l'axe OX a pour coordonnées (;0):
Examen d'une fonction linéaire dans des feuilles de calcul
Pour explorer une fonction linéaire dans un environnement de feuille de calcul, j'ai compilé l'algorithme suivant :
- Construisez un modèle mathématique de la fonction linéaire dans une feuille de calcul.
- Remplissez la table de trace des valeurs des arguments et des fonctions.
- Tracez une fonction linéaire à l'aide de l'assistant graphique.
- Explorez la fonction Linéaire en fonction des valeurs des coefficients.
Pour étudier la fonction linéaire, j'ai utilisé le programme Microsoft Office Excel 2007. Pour compiler des tableaux de valeurs d'arguments et de fonctions, j'ai utilisé des formules. J'ai obtenu le tableau de valeurs suivant :
Sur un tel modèle mathématique, on peut facilement suivre les évolutions du graphique d'une fonction linéaire en modifiant les valeurs des coefficients dans le tableau.
De plus, à l'aide de feuilles de calcul, j'ai décidé de suivre l'évolution de la position relative des graphiques de deux fonctions linéaires. En construisant un nouveau modèle mathématique dans le tableur, j'ai obtenu le résultat suivant :
En changeant les coefficients de deux fonctions linéaires, j'étais clairement convaincu de la validité des informations étudiées sur les propriétés des fonctions linéaires.
Conclusion
La fonction linéaire en algèbre est considérée comme la plus simple. Mais en même temps, il possède de nombreuses propriétés qui ne sont pas immédiatement claires. Après avoir construit un modèle mathématique d'une fonction linéaire dans des feuilles de calcul et l'avoir étudié, les propriétés d'une fonction linéaire sont devenues plus claires pour moi. J'ai pu voir clairement comment le graphique change lorsque les coefficients de la fonction changent.
Je pense que le modèle mathématique que j'ai construit aidera les élèves de septième année à explorer de manière indépendante la fonction linéaire et à mieux la comprendre.
Bibliographie
- Manuel d'algèbre pour la 7e année.
- Manuel d'informatique pour la 7e année
- wikipedia.org
Aperçu:
Pour utiliser l'aperçu des présentations, créez un compte Google (account) et connectez-vous : https://accounts.google.com
Légendes des diapositives :
Objet de recherche : fonction linéaire. Sujet d'étude : modèle mathématique d'une fonction linéaire.
Objectif du travail : explorer une fonction linéaire dans des tableurs Objectifs de recherche : trouver et étudier des informations sur une fonction linéaire ; construire un modèle mathématique d'une fonction linéaire dans un tableur ; explorer une fonction linéaire à l'aide du modèle construit.
Une fonction linéaire est une fonction de la forme y=k x+ b, où x est un argument, et k et b sont des nombres (coefficients).Le graphique d'une fonction linéaire est une ligne droite.
Considérons une fonction y=kx+b telle que k 0 , b=0 . Vue : y=kx Dans un système de coordonnées, nous construisons des graphiques de ces fonctions : y=3x y=x y=-7x Nous construisons chaque graphique avec la couleur correspondante x 0 1 y 0 3 x 0 1 y 0 1 x 0 1 y 0 7
Le graphique d'une fonction linéaire de la forme y \u003d k x passe par l'origine. y=x y=3x y=-7x y x
Conclusion : Le graphe d'une fonction linéaire de la forme y = kx + b coupe l'axe O Y au point (0 ; b).
Considérons la fonction y=kx+b , où k=0. Vue : y=b Dans un système de coordonnées, construisez des graphiques de fonctions : y=4 y=-3 y=0 Nous construisons chaque graphique avec la couleur appropriée
Le graphique d'une fonction linéaire de la forme y = b est parallèle à l'axe OX et coupe l'axe O Y au point (0; b). y=4 y=-3 y=0 y x
Dans un système de coordonnées, construisez des graphes de fonctions : Y=2x Y=2x+ 3 Y=2x-4 Nous construisons chaque graphe avec la couleur appropriée x 0 1 y 0 2 x 0 1 y 3 5 x 0 1 y -4 -2
Les graphiques de fonctions linéaires de la forme y=kx+b sont parallèles si les coefficients en x sont les mêmes. y \u003d 2x + 3 y \u003d 2x y \u003d 2x-4 y x
Dans un système de coordonnées, on construit des graphes de fonctions : y=3x+4 Y= - 2x+4 On construit des graphes avec la couleur appropriée x 0 1 y 4 7 x 0 1 y 4 2
Les graphiques de deux fonctions linéaires de la forme y=kx+b se croisent si les coefficients en x sont différents. y x
Dans un système de coordonnées, nous construisons des graphes de fonctions : y=0, 5x-2 y=-2x-4 y= 4 x-1 y=- 0, 2 5 x- 3 x 0 4 y x 0 -2 y -4 0 x 0 4 ans -2 0 x 0 1 ans -1 3 x 0 - 4 ans -3 -2
y=0, 5x-2 y=-2x-4 y= 4 x-1 y=- 0, 2 5 x- 1" .
Par conséquent, le coefficient k est appelé la pente de la droite - le graphique de la fonction y \u003d kx + b. Si k 0 , alors l'angle d'inclinaison du graphe par rapport à l'axe O X est aigu. La fonction est croissante. y x y x
Tableur
Tableur
Équations linéaires Condition algébrique Dérivation géométrique 1 * à 2 = -1 Les droites sont parallèles Les droites coïncident Les droites sont perpendiculaires Les droites se coupent
Le modèle mathématique que j'ai construit aidera les élèves de septième année à explorer de manière indépendante la fonction linéaire et à mieux la comprendre.
Classe: 7
La fonction occupe une des premières places dans le cours d'algèbre scolaire et trouve de nombreuses applications dans d'autres sciences. Au début de l'étude, afin de motiver, d'actualiser la question, je vous informe qu'aucun phénomène, aucun processus dans la nature ne peut être étudié, aucune machine ne peut être conçue, puis fonctionner sans une description mathématique complète. Un outil pour cela est une fonction. Son étude commence en 7e année, en règle générale, les enfants ne se plongent pas dans la définition. Les concepts particulièrement difficiles à atteindre sont tels que le domaine de définition et le domaine de valeur. En utilisant les relations connues entre les quantités dans les problèmes de mouvement, les coûts les déplacent dans le langage de la fonction, en gardant le lien avec sa définition. Ainsi, chez les étudiants, le concept de fonction est formé à un niveau conscient. Au même stade, un travail minutieux est mené sur de nouveaux concepts : domaine de définition, domaine de valeur, argument, valeur d'une fonction. J'utilise l'apprentissage avancé : j'introduis la notation D(y), E(y), j'introduis la notion de zéro d'une fonction (analytiquement et graphiquement), lors de la résolution d'exercices avec des aires de signe constant. Plus les élèves rencontrent tôt et souvent des concepts difficiles, mieux ils se réalisent au niveau de la mémoire à long terme. Lors de l'étude d'une fonction linéaire, il est conseillé de montrer le lien avec la solution d'équations et de systèmes linéaires, et plus tard avec la solution d'inégalités linéaires et de leurs systèmes. Lors de la conférence, les étudiants reçoivent un grand bloc (module) de nouvelles informations, donc à la fin de la conférence, le matériel est "essoré" et un résumé est rédigé que les étudiants doivent connaître. Les compétences pratiques sont développées dans le processus d'exécution d'exercices utilisant diverses méthodes basées sur un travail individuel et indépendant.
1. Quelques informations sur la fonction linéaire.
La fonction linéaire est très courante dans la pratique. La longueur de la tige est une fonction linéaire de la température. La longueur des rails, des ponts est également une fonction linéaire de la température. La distance parcourue par un piéton, un train, une voiture à vitesse constante est une fonction linéaire du temps de déplacement.
Une fonction linéaire décrit un certain nombre de dépendances physiques et de lois. Considérons certains d'entre eux.
1) l \u003d l o (1 + at) - expansion linéaire des solides.
2) v \u003d v o (1 + bt) - expansion volumétrique des solides.
3) p=p o (1+at) - la dépendance de la résistivité des conducteurs solides à la température.
4) v \u003d v o + at - la vitesse de mouvement uniformément accéléré.
5) x= x o + vt est la coordonnée du mouvement uniforme.
Tâche 1. Définir une fonction linéaire à partir de données tabulaires :
| X | 1 | 3 |
| à | -1 | 3 |
Solution. y \u003d kx + b, le problème se réduit à résoudre le système d'équations : 1 \u003d k 1 + b et 3 \u003d k 3 + b
Réponse : y \u003d 2x - 3.
Problème 2. Se déplaçant de manière uniforme et rectiligne, le corps a parcouru 14 m dans les 8 premières secondes et 12 m dans les autres 4. Composez une équation de mouvement basée sur ces données.
Solution. Selon la condition du problème, nous avons deux équations: 14 \u003d x o +8 v o et 26 \u003d x o +12 v o, en résolvant le système d'équations, nous obtenons v \u003d 3, x o \u003d -10.
Réponse : x = -10 + 3t.
Problème 3. Une voiture quittant la ville se déplaçant à une vitesse de 80 km/h. Au bout d'une heure et demie, une moto a roulé après lui, dont la vitesse était de 100 km/h. Combien de temps faudra-t-il à la moto pour le dépasser ? À quelle distance de la ville cela se produira-t-il ?
Réponse : 7,5 heures, 600 km.
Tâche 4. La distance entre deux points à l'instant initial est de 300m. Les points se déplacent l'un vers l'autre à des vitesses de 1,5 m/s et 3,5 m/s. Quand vont-ils se rencontrer ? Où cela se passera-t-il ?
Réponse : 60 s, 90 m.
Tâche 5. Une règle en cuivre à 0°C a une longueur de 1 m. Trouvez l'augmentation de sa longueur avec une augmentation de sa température de 35 o, de 1000 o C (le point de fusion du cuivre est de 1083 o C)
Réponse : 0,6 mm.
2. Proportionnalité directe.
De nombreuses lois de la physique sont exprimées par la proportionnalité directe. Dans la plupart des cas, un modèle est utilisé pour écrire ces lois.
dans certains cas -
Prenons quelques exemples.
1. S \u003d v t (v - const)
2. v = a t (a - const, a - accélération).
3. F \u003d kx (loi de Hooke: F - force, k - rigidité (const), x - allongement).
4. E = F/q (E est l'intensité en un point donné du champ électrique, E est const, F est la force agissant sur la charge, q est l'amplitude de la charge).
Comme modèle mathématique de proportionnalité directe, on peut utiliser la similarité des triangles ou la proportionnalité des segments (théorème de Thales).
Tâche 1. Le train a passé un feu de signalisation en 5 secondes et un quai de 150 m de long en 15 secondes. Quelle est la longueur du train et sa vitesse ?
Solution. Soit x la longueur du train, x+150 la longueur totale du train et du quai. Dans ce problème, la vitesse est constante et le temps est proportionnel à la longueur.
Nous avons une proportion : (x + 150) : 15 = x : 5.
Où x = 75, v = 15.
Répondre. 75 m, 15 m/s.
Problème 2. Le bateau a dévalé 90 km en un certain temps. Dans le même temps, il aurait parcouru 70 km à contre-courant. Quelle distance le radeau parcourra-t-il pendant ce temps ?
Répondre. 10 kilomètres.
Tâche 3. Quelle était la température initiale de l'air si, lorsqu'il était chauffé de 3 degrés, son volume augmentait de 1% par rapport à l'original.
Répondre. 300 K (Kelvin) ou 27 0 C.
Conférence sur le thème "Fonction linéaire".
Algèbre, 7e année
1. Considérez des exemples de tâches utilisant des formules bien connues :
S = v t (formule du chemin), (1)
C \u003d c c (formule de coût). (2)
Problème 1. La voiture, s'étant éloignée du point A à une distance de 20 km, a poursuivi sa route à une vitesse de 62 km/h. À quelle distance du point A la voiture se trouvera-t-elle après t heures ? Composez une expression pour le problème, indiquant la distance S, trouvez-la à t = 1h, 2,5h, 4h.
1) En utilisant la formule (1), on trouve le chemin parcouru par une voiture à une vitesse de 62 km/h en un temps t, S 1 = 62t ;
2) Puis du point A dans t heures la voiture sera à une distance S = S 1 + 20 ou S = 62t + 20, trouver la valeur de S :
à t = 1, S = 62*1 + 20, S = 82 ;
à t = 2,5, S = 62 * 2,5 + 20, S = 175 ;
à t = 4, S = 62*4+ 20, S = 268.
Nous notons que lors de la recherche de S, seule la valeur de t et S change, c'est-à-dire t et S sont des variables, et S dépend de t, chaque valeur de t correspond à une seule valeur de S. En notant la variable S pour Y, et t pour x, on obtient une formule pour résoudre ce problème :
Y= 62x + 20. (3)
Problème 2. Un manuel a été acheté dans un magasin pour 150 roubles et 15 cahiers pour n roubles chacun. Combien avez-vous payé pour l'achat? Faites une expression du problème, indiquant le coût C, trouvez-la pour n = 5,8,16.
1) En utilisant la formule (2), nous trouvons le coût des cahiers С 1 = 15n;
2) Alors le coût de l'achat total est С= С1 +150 ou С= 15n+150, on trouve la valeur de C :
à n = 5, C = 15 5 + 150, C = 225 ;
à n = 8, C = 15 8 + 150, C = 270 ;
à n = 16, C = 15 16+ 150, C = 390.
De même, on remarque que C et n sont des variables, à chaque valeur de n correspond une seule valeur de C. En notant la variable C pour Y, et n pour x, on obtient la formule de résolution du problème 2 :
Y= 15x + 150. (4)
En comparant les formules (3) et (4), nous nous assurons que la variable Y est trouvée à travers la variable x selon un algorithme. Nous n'avons considéré que deux problèmes différents qui décrivent les phénomènes qui nous entourent chaque jour. En fait, il existe de nombreux processus qui changent selon les lois obtenues, donc une telle relation entre variables mérite d'être étudiée.
Les solutions aux problèmes montrent que les valeurs de la variable x sont choisies arbitrairement, satisfaisant les conditions des problèmes (positives dans le problème 1 et naturelles dans le problème 2), c'est-à-dire que x est une variable indépendante (on l'appelle un argument), et Y est une variable dépendante et il existe une correspondance bijective entre elles , et par définition une telle dépendance est une fonction. Par conséquent, en désignant le coefficient en x par la lettre k, et le terme libre par la lettre b, on obtient la formule
Y= kx + b.
Fonction Definition.View y= kx + b, où k, b sont des nombres, x est un argument, y est la valeur de la fonction, est appelée une fonction linéaire.
Pour étudier les propriétés d'une fonction linéaire, nous introduisons des définitions.
Définition 1. L'ensemble des valeurs admissibles d'une variable indépendante est appelé le domaine de définition de la fonction (admissible - cela signifie les valeurs numériques x pour lesquelles y est calculé) et est noté D (y).
Définition 2. L'ensemble des valeurs de la variable dépendante est appelé la plage de la fonction (ce sont les valeurs numériques que prend y) et est noté E(y).
Définition 3. Le graphe d'une fonction est un ensemble de points du plan de coordonnées dont les coordonnées transforment la formule en une égalité vraie.
Définition 4. Le coefficient k en x est appelé la pente.
Considérez les propriétés d'une fonction linéaire.
1. D(y) - tous les nombres (la multiplication est définie sur l'ensemble de tous les nombres).
2. E(y) - tous les nombres.
3. Si y \u003d 0, alors x \u003d -b / k, le point (-b / k; 0) - le point d'intersection avec l'axe Ox, est appelé le zéro de la fonction.
4. Si x= 0, alors y= b, le point (0 ; b) est le point d'intersection avec l'axe Oy.
5. Découvrez dans quelle ligne la fonction linéaire alignera les points sur le plan de coordonnées, c'est-à-dire qui est le graphe de la fonction. Pour ce faire, considérons les fonctions
1) y= 2x + 3, 2) y= -3x - 2.
Pour chaque fonction, nous allons créer un tableau de valeurs. Fixons des valeurs arbitraires pour la variable x et calculons les valeurs correspondantes pour la variable Y.
| X | -1,5 | -2 | 0 | 1 | 2 |
| Oui | 0 | -1 | 3 | 5 | 7 |
Après avoir construit les paires résultantes (x; y) sur le plan de coordonnées et les reliant séparément pour chaque fonction (nous avons pris les valeurs de x avec un pas de 1, si vous réduisez le pas, les points s'aligneront plus souvent , et si le pas est proche de zéro, alors les points fusionneront en une ligne continue ), on remarque que les points s'alignent en ligne droite dans le cas 1) et dans le cas 2). Du fait que les fonctions sont choisies arbitrairement (construisez vos propres graphiques y= 0,5x - 4, y= x + 5), nous concluons que que le graphique d'une fonction linéaire est une droite. En utilisant la propriété d'une droite : une seule droite passe par deux points, il suffit de prendre deux points pour construire une droite.
6. Il est connu de la géométrie que les lignes peuvent soit se croiser soit être parallèles. Nous étudions la position relative des graphiques de plusieurs fonctions.
1) y= -x + 5, y= -x + 3, y= -x - 4 ; 2) y= 2x + 2, y= x + 2, y= -0,5x + 2.
Construisons des groupes de graphiques 1) et 2) et tirons des conclusions.
|
 |
Les graphiques des fonctions 1) sont situés en parallèle, en examinant les formules, on remarque que toutes les fonctions ont les mêmes coefficients en x.
Les graphes de fonction 2) se coupent en un point (0;2). En examinant les formules, on remarque que les coefficients sont différents, et le nombre b = 2.
De plus, il est facile de voir que les droites données par les fonctions linéaires avec k › 0 forment un angle aigu avec la direction positive de l'axe Ox, et un angle obtus avec k ‹ 0. Par conséquent, le coefficient k est appelé coefficient de pente.
7. Considérons des cas particuliers d'une fonction linéaire, selon les coefficients.
1) Si b=0, alors la fonction prend la forme y= kx, alors k = y/x (le rapport montre combien de fois elle diffère ou quelle partie y est de x).
Une fonction de la forme Y= kx est appelée proportionnalité directe. Cette fonction a toutes les propriétés d'une fonction linéaire, sa particularité est que lorsque x=0 y=0. Le graphique de proportionnalité directe passe par le point d'origine (0 ; 0).
2) Si k = 0, alors la fonction prend la forme y = b, ce qui signifie que pour toutes les valeurs de x, la fonction prend la même valeur.
Une fonction de la forme y = b est appelée une constante. Le graphique de la fonction est une droite passant par le point (0;b) parallèle à l'axe Ox, avec b=0 le graphique de la fonction constante coïncide avec l'axe des abscisses.
Abstrait
1. Définition Une fonction de la forme Y= kx + b, où k, b sont des nombres, x est un argument, Y est la valeur de la fonction, est appelée une fonction linéaire.
D(y) - tous les nombres.
E(y) - tous les nombres.
Le graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par le point (0;b).
2. Si b=0, alors la fonction prend la forme y= kx, appelée proportionnalité directe. Le graphe de proportionnalité directe passe par l'origine.
3. Si k = 0, alors la fonction prend la forme y= b, est appelée une constante. Le graphique de la fonction constante passe par le point (0;b), parallèle à l'axe des abscisses.
4. Arrangement mutuel de graphiques de fonctions linéaires.
Les fonctions y= k 1 x + b 1 et y= k 2 x + b 2 sont données.
Si k 1 = k 2, alors les graphes sont parallèles ;
Si k 1 et k 2 ne sont pas égaux, alors les graphiques se croisent.
5. Voir des exemples de graphiques de fonctions linéaires ci-dessus.
Littérature.
- Manuel Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov et d'autres. "Algèbre, 8".
- Matériel didactique sur l'algèbre pour la 8e année / V.I. Jokhov, Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk. - M. : Education, 2006. - 144 p.
- Supplément au journal du 1er septembre "Mathématiques", 2001, n°2, n°4.
Résumer et systématiser les connaissances sur le thème « Fonction linéaire » :
- consolider la capacité de lire et de construire des graphiques de fonctions données par les formules y = kx + b, y = kx ;
- consolider la capacité de déterminer la position relative des graphiques de fonctions linéaires ;
- développer des compétences dans le travail avec des graphiques de fonctions linéaires.
Développer capacité à analyser, comparer, tirer des conclusions. Développement de l'intérêt cognitif pour les mathématiques, discours mathématique oral compétent, exactitude et précision dans la construction.
Éducationécoute, autonomie dans le travail, capacité à travailler en binôme.
Matériel : règle, crayon, cartes à tâches, crayons de couleur.
Type de leçon : une leçon pour consolider la matière étudiée.
Plan de cours:
- Organisation du temps.
- travail oral. Dictée mathématique avec auto-examen et auto-évaluation. Excursion historique.
- Exercices d'entraînement.
- Travail indépendant.
- Résumé de la leçon.
- Devoirs.
Pendant les cours
1. Communication du but de la leçon.
Le but de la leçon est de généraliser et de systématiser les connaissances sur le thème "Fonction linéaire".
2. Commençons par tester vos connaissances théoriques.
- Définir la fonction. Qu'est-ce qu'une variable indépendante ? Variable dépendante?
- Définir le graphe d'une fonction.
– Formuler la définition d'une fonction linéaire.
Qu'est-ce que le graphique d'une fonction linéaire ?
Comment tracer une fonction linéaire ?
- Formuler la définition de la proportionnalité directe. Qu'est-ce qu'un graphique ? Comment construire un graphique ? Comment le graphique de la fonction y = kx est-il situé dans le plan de coordonnées pour k > 0 et pour k< 0?
Dictée mathématique avec auto-examen et auto-évaluation.
Regardez les images et répondez aux questions.
1) Le graphe de quelle fonction est superflu ?
2) Quelle figure montre un graphique de proportionnalité directe ?
3) Dans quelle figure le graphique d'une fonction linéaire a-t-il une pente négative ?
4) Déterminer le signe du nombre b. (Écrivez la réponse sous forme d'inéquation)
Vérification des travaux. Évaluation.
Travailler en équipe de deux.
Déchiffrez le nom du mathématicien qui a utilisé pour la première fois le terme fonction. Pour cela, dans les cases, saisissez la lettre correspondant au graphe de la fonction donnée. Dans le carré restant, inscrivez la lettre C. Complétez le dessin avec un graphique de la fonction correspondant à cette lettre.
Image 1
Figure 2
figure 3
Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716, philosophe, mathématicien, physicien et linguiste allemand. Lui et le scientifique anglais I. Newton ont créé (indépendamment l'un de l'autre) les fondations d'une branche importante des mathématiques - l'analyse mathématique. Leibniz a introduit de nombreux concepts et symboles utilisés en mathématiques aujourd'hui.
3. 1. Étant donné les fonctions données par les formules : y = x-5 ; y = 0,5x ; y = – 2x ; y=4.
Nommez les fonctions. Indiquez les graphes de laquelle de ces fonctions passera par le point M (8; 4). Montrez schématiquement à quoi ressemblera le dessin s'il représente des graphiques de fonctions passant par le point M.
2. Le graphique de proportionnalité directe passe par le point C (2 ; 1). Écrivez une formule de proportionnalité directe. A quelle valeur de m le graphe passera-t-il par le point B (-4 ; m).
3. Tracez la fonction donnée par la formule y=1/2X. Comment pouvez-vous obtenir un graphique de la fonction donnée par la formule y=1/2X – 4 et y = 1/2X+3 à partir du graphique de cette fonction. Analysez les graphiques obtenus.
4. Les fonctions sont données par des formules :
1) y \u003d 4x + 9 et y \u003d 6x-5;
2) y=1/2x-3 et y=0,5x+2 ;
3) y \u003d x et y \u003d -5x + 2,4;
4) y= 3x+6 et y= -2,5x+6.
Quelle est la position relative des graphiques de fonctions ? Sans construire, trouver les coordonnées du point d'intersection de la première paire de graphiques. (Auto-test)
4. Travail indépendant en binôme. (effectuer sur ml. papier). Communication inter-sujet.
Il est nécessaire de construire des graphiques de fonctions et d'en sélectionner la partie, pour les points dont l'inégalité correspondante est vraie :
y \u003d x + 6, 4 < X < 6; y \u003d -x + 6, -6 < X < -4; y \u003d - 1/3 x + 10, -6 < X < -3; y \u003d 1/3 x +10, 3 < X < 6; y \u003d -x + 14, 0 < X < 3; y \u003d x + 14, -3 < X < 0; y \u003d 9x - 18, 2 < X < 4; y \u003d - 9x - 18 -4 < X < -2; y = 0, -2 < X < 2.
Quel dessin as-tu reçu ? ( Tulipe.)
Un peu sur les tulipes :
Environ 120 espèces de tulipes sont connues, réparties principalement en Asie centrale, orientale et méridionale et en Europe méridionale. Les botanistes pensent que la culture de la tulipe est née en Turquie au 12ème siècle, la plante a acquis une renommée mondiale loin de sa patrie, en Hollande, appelée à juste titre le Pays des Tulipes.
Voici la légende de la tulipe. Le bonheur était contenu dans le bourgeon doré d'une tulipe jaune. Personne ne pouvait atteindre ce bonheur, car il n'y avait pas une telle force qui pouvait ouvrir son bourgeon. Mais un jour, une femme avec un enfant se promenait dans le pré. Le garçon s'échappa des bras de sa mère, courut vers la fleur avec un rire sonore, et le bouton d'or s'ouvrit. Le rire enfantin insouciant faisait ce qu'aucun pouvoir ne pouvait faire. Depuis lors, il est devenu habituel de ne donner des tulipes qu'à ceux qui éprouvent du bonheur.
Devoirs créatifs. Créez un dessin dans un système de coordonnées rectangulaire, composé de segments et créez son modèle analytique.
6. Travail indépendant. Tâche différenciée (en deux versions)
J'option :
Dessinez des schémas de fonctions :
Option II :
Dessinez schématiquement les graphes des fonctions pour lesquelles les conditions sont remplies :
7. Résumé de la leçon
Analyse du travail effectué. Classement.