சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குங்கள். சுயாதீன தீர்வுக்கான பணிகள். பெருக்கி அடைப்புக்குறி

இயற்கணித வெளிப்பாடுகளை எளிமைப்படுத்துவது இயற்கணிதத்தைக் கற்றுக்கொள்வதற்கான திறவுகோல்களில் ஒன்றாகும் மற்றும் அனைத்து கணிதவியலாளர்களுக்கும் மிகவும் பயனுள்ள திறமையாகும். எளிமைப்படுத்தல், சிக்கலான அல்லது நீண்ட வெளிப்பாட்டை எளிதாக வேலை செய்யக்கூடிய எளிய வெளிப்பாடாகக் குறைக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது. கணிதத்தில் ஆர்வமில்லாதவர்களுக்கும் அடிப்படை எளிமைப்படுத்தும் திறன்கள் நல்லது. சில எளிய விதிகளைப் பின்பற்றுவதன் மூலம், எந்த சிறப்பு கணித அறிவும் இல்லாமல், மிகவும் பொதுவான வகைகளில் பல இயற்கணித வெளிப்பாடுகளை எளிமைப்படுத்தலாம்.

படிகள்

முக்கியமான வரையறைகள்

1. இதே போன்ற உறுப்பினர்கள்.இவை ஒரே வரிசையின் மாறியைக் கொண்ட உறுப்பினர்கள், அதே மாறிகளைக் கொண்ட உறுப்பினர்கள் அல்லது இலவச உறுப்பினர்கள் (மாறியைக் கொண்டிருக்காத உறுப்பினர்கள்). வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், விதிமுறைகள் ஒரு மாறியை அதே அளவிற்கு உள்ளடக்கியது, பல ஒரே மாதிரியான மாறிகளை உள்ளடக்கியது அல்லது ஒரு மாறியை சேர்க்க வேண்டாம். வெளிப்பாட்டின் விதிமுறைகளின் வரிசை முக்கியமில்லை.

   • எடுத்துக்காட்டாக, 3x 2 மற்றும் 4x 2 ஆகியவை விதிமுறைகளைப் போன்றது, ஏனெனில் அவை இரண்டாவது வரிசையின் (இரண்டாவது சக்தியில்) மாறி "x" ஐக் கொண்டிருக்கின்றன. இருப்பினும், x மற்றும் x 2 ஆகியவை ஒரே மாதிரியான உறுப்பினர்கள் அல்ல, ஏனெனில் அவை வெவ்வேறு ஆர்டர்களின் (முதல் மற்றும் இரண்டாவது) மாறி "x" ஐக் கொண்டிருக்கின்றன. இதேபோல், -3yx மற்றும் 5xz ஆகியவை ஒரே மாதிரியான உறுப்பினர்கள் அல்ல, ஏனெனில் அவை வெவ்வேறு மாறிகளைக் கொண்டுள்ளன.

2. காரணியாக்கம்.இது அத்தகைய எண்களைக் கண்டறிகிறது, இதன் பலன் அசல் எண்ணுக்கு வழிவகுக்கிறது. எந்த அசல் எண்ணும் பல காரணிகளைக் கொண்டிருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, எண் 12 ஐ பின்வரும் காரணிகளின் வரிசையில் சிதைக்க முடியும்: 1 × 12, 2 × 6 மற்றும் 3 × 4, எனவே எண்கள் 1, 2, 3, 4, 6 மற்றும் 12 காரணிகள் என்று கூறலாம். எண் 12. காரணிகள் வகுப்பிகளைப் போலவே இருக்கும், அதாவது அசல் எண் வகுபடும் எண்கள்.

   • எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் 20 என்ற எண்ணைக் கணக்கிட விரும்பினால், அதை இப்படி எழுதவும்: 4×5.
   • காரணியாக்கும்போது, ​​மாறி கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க. உதாரணமாக, 20x = 4(5x).
   • முதன்மை எண்களை காரணியாக்க முடியாது, ஏனெனில் அவை தங்களால் மட்டுமே வகுபடும் மற்றும் 1.

3. தவறுகளைத் தவிர்க்க நடவடிக்கைகளின் வரிசையை நினைவில் வைத்து பின்பற்றவும்.

   • அடைப்புக்குறிகள்
   • பட்டம்
   • பெருக்கல்
   • பிரிவு
   • கூட்டல்
   • கழித்தல்

   உறுப்பினர்களைப் போல் நடிப்பது

   1. வெளிப்பாட்டை எழுதுங்கள்.எளிமையான இயற்கணித வெளிப்பாடுகள் (பின்னங்கள், வேர்கள் மற்றும் பலவற்றைக் கொண்டிருக்கவில்லை) ஒரு சில படிகளில் (எளிமைப்படுத்தப்பட்ட) தீர்க்கப்படும்.

      • எடுத்துக்காட்டாக, வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குங்கள் 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. ஒத்த உறுப்பினர்களை வரையறுக்கவும் (ஒரே வரிசையின் மாறி கொண்ட உறுப்பினர்கள், அதே மாறிகள் கொண்ட உறுப்பினர்கள் அல்லது இலவச உறுப்பினர்கள்).

      • இந்த வெளிப்பாட்டில் ஒத்த சொற்களைக் கண்டறியவும். 2x மற்றும் 4x என்ற சொற்கள் ஒரே வரிசையின் மாறியைக் கொண்டிருக்கின்றன (முதல்). மேலும், 1 மற்றும் -3 இலவச உறுப்பினர்கள் (மாறியைக் கொண்டிருக்க வேண்டாம்). எனவே, இந்த வெளிப்பாட்டில், விதிமுறைகள் 2x மற்றும் 4xஒத்த, மற்றும் உறுப்பினர்கள் 1 மற்றும் -3போன்றும் உள்ளன.

   3. ஒத்த உறுப்பினர்களைக் கொடுங்கள்.இதன் பொருள் அவற்றைக் கூட்டுதல் அல்லது கழித்தல் மற்றும் வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குதல்.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. கொடுக்கப்பட்ட விதிமுறைகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு வெளிப்பாட்டை மீண்டும் எழுதவும்.குறைவான சொற்களைக் கொண்ட எளிய வெளிப்பாட்டைப் பெறுவீர்கள். புதிய வெளிப்பாடு அசலுக்கு சமம்.

      • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில்: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, அதாவது, அசல் வெளிப்பாடு எளிமைப்படுத்தப்பட்டது மற்றும் வேலை செய்ய எளிதானது.

   5. போன்ற விதிமுறைகளை அனுப்பும்போது செயல்பாடுகள் செய்யப்படும் வரிசையைக் கவனிக்கவும்.எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், இதே போன்ற சொற்களைக் கொண்டுவருவது எளிது. இருப்பினும், உறுப்பினர்கள் அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்கப்பட்டு, பின்னங்கள் மற்றும் வேர்கள் இருக்கும் சிக்கலான வெளிப்பாடுகளின் விஷயத்தில், அத்தகைய விதிமுறைகளைக் கொண்டுவருவது அவ்வளவு எளிதானது அல்ல. இந்த சந்தர்ப்பங்களில், செயல்பாடுகளின் வரிசையைப் பின்பற்றவும்.

      • எடுத்துக்காட்டாக, 5(3x - 1) + x(2x)/(2)) + 8 - 3x என்ற வெளிப்பாட்டைக் கவனியுங்கள். இங்கே 3x மற்றும் 2x போன்ற சொற்களை உடனடியாக வரையறுத்து அவற்றை மேற்கோள் காட்டுவது தவறு, ஏனென்றால் முதலில் நீங்கள் அடைப்புக்குறிகளை விரிவாக்க வேண்டும். எனவே, செயல்பாடுகளை அவற்றின் வரிசையில் செய்யுங்கள்.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. இப்போது, வெளிப்பாடு கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் செயல்பாடுகளை மட்டுமே கொண்டிருக்கும் போது, ​​நீங்கள் விதிமுறைகளை அனுப்பலாம்.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   பெருக்கி அடைப்புக்குறி

   1. வெளிப்பாட்டின் அனைத்து குணகங்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பினை (gcd) கண்டறியவும். GCD என்பது வெளிப்பாட்டின் அனைத்து குணகங்களும் வகுபடும் மிகப்பெரிய எண்ணாகும்.

      • எடுத்துக்காட்டாக, 9x 2 + 27x - 3 சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள். இந்த வழக்கில், gcd=3, இந்த வெளிப்பாட்டின் எந்தக் குணகமும் 3 ஆல் வகுபடும்.

   2. வெளிப்பாட்டின் ஒவ்வொரு சொல்லையும் gcd ஆல் வகுக்கவும்.இதன் விளைவாக வரும் சொற்கள் அசல் வெளிப்பாட்டைக் காட்டிலும் சிறிய குணகங்களைக் கொண்டிருக்கும்.

      • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், ஒவ்வொரு வெளிப்பாடு சொல்லையும் 3 ஆல் வகுக்கவும்.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • அது வெளிப்பாடாக மாறியது 3x2 + 9x-1. இது அசல் வெளிப்பாட்டிற்கு சமமாக இல்லை.

   3. அசல் வெளிப்பாட்டை gcd இன் பெருக்கல் விளைவான வெளிப்பாட்டிற்கு சமமாக எழுதவும்.அதாவது, அடைப்புக்குறிக்குள் விளைந்த வெளிப்பாட்டை அடைத்து, GCD ஐ அடைப்புக்குறிக்குள் வைக்கவும்.

      • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில்: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து பெருக்கியை எடுத்து பின்ன வெளிப்பாடுகளை எளிமையாக்குதல்.முன்பு செய்தது போல் பெருக்கியை அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து வெளியே எடுப்பது ஏன்? பின்னர், பகுதி வெளிப்பாடுகள் போன்ற சிக்கலான வெளிப்பாடுகளை எவ்வாறு எளிதாக்குவது என்பதை அறிய. இந்த வழக்கில், அடைப்புக்குறிக்குள் காரணியை வைப்பது பின்னத்தை (வகுப்பிலிருந்து) அகற்ற உதவும்.

      • எடுத்துக்காட்டாக, பகுதி வெளிப்பாடு (9x 2 + 27x - 3)/3 என்பதைக் கவனியுங்கள். இந்த வெளிப்பாட்டை எளிமைப்படுத்த அடைப்புக்குறிகளைப் பயன்படுத்தவும்.
        • காரணி 3 (நீங்கள் முன்பு செய்தது போல்): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • எண் மற்றும் வகு இரண்டும் இப்போது எண் 3 ஐக் கொண்டுள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். இதை குறைக்கலாம், மேலும் நீங்கள் வெளிப்பாட்டைப் பெறுவீர்கள்: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • வகுப்பில் எண் 1ஐக் கொண்டிருக்கும் எந்தப் பின்னமும் எண்கணிதத்திற்குச் சமமாக இருப்பதால், அசல் பின்ன வெளிப்பாடு பின்வருமாறு எளிமைப்படுத்தப்படுகிறது: 3x2 + 9x-1.

   கூடுதல் எளிமைப்படுத்தல் நுட்பங்கள்

4. ஒரு எளிய உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்: √(90). 90 என்ற எண்ணை பின்வரும் காரணிகளாகப் பிரிக்கலாம்: 9 மற்றும் 10, மற்றும் 9 இலிருந்து, வர்க்க மூலத்தை (3) எடுத்து, மூலத்தின் கீழ் இருந்து 3 ஐ எடுக்கவும்.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. சக்திகளுடன் வெளிப்பாடுகளை எளிமைப்படுத்துதல்.சில வெளிப்பாடுகளில், ஒரு பட்டத்துடன் சொற்களின் பெருக்கல் அல்லது வகுத்தல் செயல்பாடுகள் உள்ளன. ஒரு அடிப்படையுடன் சொற்களைப் பெருக்கும் விஷயத்தில், அவற்றின் டிகிரி சேர்க்கப்படும்; ஒரே அடிப்படையுடன் சொற்களைப் பிரிப்பதில், அவற்றின் டிகிரி கழிக்கப்படும்.

   • எடுத்துக்காட்டாக, 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15) என்ற வெளிப்பாட்டைக் கவனியுங்கள். பெருக்கல் விஷயத்தில், அடுக்குகளைச் சேர்க்கவும், வகுத்தால், அவற்றைக் கழிக்கவும்.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • ஒரு பட்டத்துடன் சொற்களைப் பெருக்குவதற்கும் வகுப்பதற்கும் விதியின் விளக்கம் கீழே உள்ளது.
     • அதிகாரங்களுடன் சொற்களைப் பெருக்குவது சொற்களைத் தாங்களாகவே பெருக்குவதற்குச் சமம். எடுத்துக்காட்டாக, x 3 = x × x × x மற்றும் x 5 = x × x x × x × x, பின்னர் x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), அல்லது x 8 .
     • இதேபோல், அதிகாரங்களுடன் விதிமுறைகளைப் பிரிப்பது, விதிமுறைகளைத் தாங்களாகவே பிரிப்பதற்குச் சமம். x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). எண் மற்றும் வகுப்பி இரண்டிலும் உள்ள ஒத்த சொற்களைக் குறைக்க முடியும் என்பதால், இரண்டு "x" அல்லது x 2 இன் பெருக்கல் எண்களில் இருக்கும்.

• பலருக்கு சரியான அடையாளத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பதில் சிரமம் இருப்பதால், ஒரு வெளிப்பாட்டின் விதிமுறைகளுக்கு முன்னால் உள்ள அறிகுறிகளை (பிளஸ் அல்லது மைனஸ்) எப்போதும் அறிந்திருங்கள்.
• தேவைப்பட்டால் உதவி கேளுங்கள்!
• இயற்கணித வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்குவது எளிதானது அல்ல, ஆனால் உங்கள் கைகளில் கிடைத்தால், இந்த திறமையை வாழ்நாள் முழுவதும் பயன்படுத்தலாம்.

இயற்கணிதத்தில் கருதப்படும் பல்வேறு வெளிப்பாடுகளில், மோனோமியல்களின் தொகைகள் ஒரு முக்கிய இடத்தைப் பிடித்துள்ளன. அத்தகைய வெளிப்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் இங்கே:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

மோனோமியல்களின் கூட்டுத்தொகை பல்லுறுப்புக்கோவை எனப்படும். பல்லுறுப்புக்கோவையில் உள்ள சொற்கள் பல்லுறுப்புக்கோவையின் உறுப்பினர்கள் எனப்படும். மோனோமியல்கள் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் என்றும் குறிப்பிடப்படுகின்றன, ஒரு உறுப்பினரைக் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையாகக் கருதுகிறது.

உதாரணமாக, பல்லுறுப்புக்கோவை
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
எளிமைப்படுத்த முடியும்.

அனைத்து விதிமுறைகளையும் நிலையான வடிவத்தின் மோனோமியல்களாக நாங்கள் குறிப்பிடுகிறோம்:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

இதன் விளைவாக வரும் பல்லுறுப்புக்கோவையில் இதே போன்ற சொற்களை நாங்கள் தருகிறோம்:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
இதன் விளைவாக ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை உள்ளது, அதன் அனைத்து உறுப்பினர்களும் நிலையான வடிவத்தின் மோனோமியல்கள், அவற்றில் ஒத்தவை எதுவும் இல்லை. இத்தகைய பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அழைக்கப்படுகின்றன நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவைகள்.

பின்னால் பல்லுறுப்புக்கோவை பட்டம்நிலையான வடிவம் அதன் உறுப்பினர்களின் அதிகாரங்களில் மிகப்பெரியது. எனவே, பைனோமியல் \(12a^2b - 7b \) மூன்றாம் பட்டத்தையும், டிரினோமியல் \(2b^2 -7b + 6 \) இரண்டையும் கொண்டுள்ளது.

வழக்கமாக, ஒரு மாறியைக் கொண்ட நிலையான வடிவ பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் விதிமுறைகள் அதன் அடுக்குகளின் இறங்கு வரிசையில் அமைக்கப்பட்டிருக்கும். உதாரணத்திற்கு:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

பல பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் கூட்டுத்தொகையை (எளிமைப்படுத்தப்பட்ட) நிலையான வடிவ பல்லுறுப்புக்கோவையாக மாற்றலாம்.

சில நேரங்களில் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் உறுப்பினர்கள் குழுக்களாக பிரிக்கப்பட வேண்டும், ஒவ்வொரு குழுவையும் அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்க வேண்டும். அடைப்புக்குறிகளுக்கு நேர்மாறான அடைப்புக்குறிகள் இருப்பதால், அதை உருவாக்குவது எளிது அடைப்புக்குறி திறப்பு விதிகள்:

அடைப்புக்குறிக்குள் + குறி வைக்கப்பட்டால், அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள சொற்கள் அதே அடையாளங்களுடன் எழுதப்படும்.

அடைப்புக்குறிகளுக்கு முன்னால் "-" அடையாளம் வைக்கப்பட்டால், அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்கப்பட்ட சொற்கள் எதிர் குறிகளுடன் எழுதப்படும்.

ஒரு மோனோமியல் மற்றும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் உற்பத்தியின் உருமாற்றம் (எளிமைப்படுத்துதல்).

பெருக்கத்தின் பரவலான பண்பைப் பயன்படுத்தி, ஒரு மோனோமியல் மற்றும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் பெருக்கத்தை ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையாக மாற்றலாம் (எளிமைப்படுத்தலாம்). உதாரணத்திற்கு:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

ஒரு மோனோமியல் மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவையின் பெருக்கல் இந்த மோனோமியலின் தயாரிப்புகள் மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒவ்வொரு சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கும் சமமாக இருக்கும்.

இந்த முடிவு பொதுவாக ஒரு விதியாக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது.

ஒரு மோனோமியலை ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையால் பெருக்க, இந்த மோனோமியலைப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒவ்வொரு சொற்களாலும் பெருக்க வேண்டும்.

ஒரு தொகையால் பெருக்க இந்த விதியை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்தியுள்ளோம்.

பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தயாரிப்பு. இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கத்தின் உருமாற்றம் (எளிமைப்படுத்தல்).

பொதுவாக, இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கமானது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒவ்வொரு காலத்தின் பெருக்கத்தின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் மற்றொன்றின் ஒவ்வொரு காலத்தின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்.

பொதுவாக பின்வரும் விதியைப் பயன்படுத்தவும்.

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையால் பெருக்க, நீங்கள் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒவ்வொரு காலத்தையும் மற்றொன்றின் ஒவ்வொரு சொல்லால் பெருக்கி, அதன் விளைவாக வரும் தயாரிப்புகளைச் சேர்க்க வேண்டும்.

சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்கள். தொகை, வேறுபாடு மற்றும் வேறுபாடு சதுரங்கள்

இயற்கணித மாற்றங்களில் சில வெளிப்பாடுகள் மற்றவற்றை விட அடிக்கடி கையாளப்பட வேண்டும். ஒருவேளை மிகவும் பொதுவான வெளிப்பாடுகள் \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) மற்றும் \(a^2 - b^2 \), அதாவது கூட்டுத்தொகையின் வர்க்கம், வித்தியாசத்தின் சதுரம் மற்றும் சதுர வேறுபாடு. இந்த வெளிப்பாடுகளின் பெயர்கள் முழுமையடையாமல் இருப்பதை நீங்கள் கவனித்தீர்கள், எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, \((a + b)^2 \) என்பது கூட்டுத்தொகையின் வர்க்கம் மட்டுமல்ல, கூட்டுத்தொகையின் வர்க்கமாகும். a மற்றும் b. இருப்பினும், a மற்றும் b இன் கூட்டுத்தொகை மிகவும் பொதுவானதல்ல, ஒரு விதியாக, a மற்றும் b எழுத்துக்களுக்கு பதிலாக, இது பல்வேறு, சில நேரங்களில் மிகவும் சிக்கலான வெளிப்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது.

வெளிப்பாடுகள் \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக மாற்றுவது (எளிமைப்படுத்துவது) எளிதானது, உண்மையில், பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பெருக்கும் போது நீங்கள் ஏற்கனவே அத்தகைய பணியைச் சந்தித்திருக்கிறீர்கள். :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

இதன் விளைவாக வரும் அடையாளங்கள் இடைநிலைக் கணக்கீடுகள் இல்லாமல் நினைவில் வைத்துப் பயன்படுத்துவதற்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும். குறுகிய வாய்மொழி சூத்திரங்கள் இதற்கு உதவுகின்றன.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - கூட்டுத்தொகையின் சதுரம் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கும் இரட்டைப் பெருக்கத்திற்கும் சமம்.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - வேறுபாட்டின் வர்க்கம் என்பது உற்பத்தியை இரட்டிப்பாக்காமல் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையாகும்.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - சதுரங்களின் வேறுபாடு வேறுபாடு மற்றும் கூட்டுத்தொகையின் பெருக்கத்திற்கு சமம்.

இந்த மூன்று அடையாளங்களும் மாற்றங்களில் அவற்றின் இடது பகுதிகளை வலது மற்றும் நேர்மாறாக - வலது பகுதிகளை இடது பகுதிகளுடன் மாற்ற அனுமதிக்கின்றன. இந்த விஷயத்தில் மிகவும் கடினமான விஷயம் என்னவென்றால், தொடர்புடைய வெளிப்பாடுகளைப் பார்ப்பது மற்றும் அவற்றில் a மற்றும் b மாறிகள் என்ன மாற்றப்படுகின்றன என்பதைப் புரிந்துகொள்வது. சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதற்கான சில எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

கணிதத்தில் வெளிப்பாடுகளை எளிமைப்படுத்தாமல் செய்ய முடியாது என்பது அறியப்படுகிறது. பல்வேறு வகையான சிக்கல்கள் மற்றும் பல்வேறு வகையான சமன்பாடுகளின் சரியான மற்றும் விரைவான தீர்வுக்கு இது அவசியம். விவாதிக்கப்பட்ட எளிமைப்படுத்தல் இலக்கை அடைய தேவையான செயல்களின் எண்ணிக்கையைக் குறைப்பதைக் குறிக்கிறது. இதன் விளைவாக, கணக்கீடுகள் குறிப்பிடத்தக்க வகையில் எளிதாக்கப்படுகின்றன, மேலும் நேரம் கணிசமாக சேமிக்கப்படுகிறது. ஆனால் வெளிப்பாட்டை எவ்வாறு எளிதாக்குவது? இதற்காக, நிறுவப்பட்ட கணித உறவுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அவை பெரும்பாலும் சூத்திரங்கள் அல்லது சட்டங்கள் என குறிப்பிடப்படுகின்றன, அவை வெளிப்பாடுகளை மிகக் குறுகியதாக மாற்ற அனுமதிக்கின்றன, இதனால் கணக்கீடுகளை எளிதாக்குகிறது.

இன்று ஆன்லைனில் வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குவது கடினம் அல்ல என்பது இரகசியமல்ல. மிகவும் பிரபலமான சிலவற்றிற்கான இணைப்புகள் இங்கே:

இருப்பினும், ஒவ்வொரு வெளிப்பாட்டிலும் இது சாத்தியமில்லை. எனவே, பாரம்பரிய முறைகளை இன்னும் விரிவாகக் கருதுவோம்.

ஒரு பொதுவான வகுப்பியை எடுப்பது

ஒரு வெளிப்பாட்டில் ஒரே காரணிகளைக் கொண்ட மோனோமியல்கள் இருந்தால், அவற்றுடன் குணகங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியலாம், பின்னர் அவற்றுக்கான பொதுவான காரணியால் பெருக்கலாம். இந்த செயல்பாடு "ஒரு பொதுவான வகுப்பியைக் கழித்தல்" என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. தொடர்ந்து இந்த முறையைப் பயன்படுத்தி, சில நேரங்களில் நீங்கள் வெளிப்பாட்டை கணிசமாக எளிதாக்கலாம். இயற்கணிதம், எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, பொதுவாக, ஒட்டுமொத்தமாக, காரணிகள் மற்றும் வகுப்பாளர்களின் குழு மற்றும் மறுதொகுப்பு ஆகியவற்றின் அடிப்படையில் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது.

சுருக்கமான பெருக்கத்திற்கான எளிய சூத்திரங்கள்

முன்னர் விவரிக்கப்பட்ட முறையின் விளைவுகளில் ஒன்று குறைக்கப்பட்ட பெருக்கல் சூத்திரங்கள் ஆகும். இந்த சூத்திரங்களை இதயத்தால் கூட கற்றுக்கொள்ளாதவர்களுக்கு அவர்களின் உதவியுடன் வெளிப்பாடுகளை எவ்வாறு எளிமைப்படுத்துவது என்பது மிகவும் தெளிவாக உள்ளது, ஆனால் அவை எவ்வாறு பெறப்படுகின்றன, அதாவது அவை எங்கிருந்து வருகின்றன, அதன்படி, அவற்றின் கணித இயல்பு. கொள்கையளவில், முந்தைய அறிக்கை அனைத்து நவீன கணிதத்திலும், முதல் வகுப்பு முதல் இயக்கவியல் மற்றும் கணிதத் துறைகளின் உயர் படிப்புகள் வரை செல்லுபடியாகும். சதுரங்களின் வேறுபாடு, வேறுபாட்டின் வர்க்கம் மற்றும் கூட்டுத்தொகை, க்யூப்ஸின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாடு - இந்த சூத்திரங்கள் அனைத்தும் அடிப்படை மற்றும் உயர் கணிதத்தில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குவது அவசியம். . இயற்கணிதம் குறித்த எந்தப் பள்ளிப் பாடப்புத்தகத்திலும் இத்தகைய மாற்றங்களுக்கான எடுத்துக்காட்டுகளை எளிதாகக் காணலாம், அல்லது இன்னும் எளிமையாக, உலகளாவிய வலையின் பரந்த அளவில் காணலாம்.

பட்டம் வேர்கள்

தொடக்கக் கணிதம், நீங்கள் அதை முழுவதுமாகப் பார்த்தால், நீங்கள் வெளிப்பாட்டை எளிமைப்படுத்தக்கூடிய பல வழிகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை. அவர்களுடனான பட்டங்களும் செயல்களும், ஒரு விதியாக, பெரும்பாலான மாணவர்களுக்கு ஒப்பீட்டளவில் எளிதானது. இப்போதுதான், பல நவீன பள்ளி மாணவர்களுக்கும் மாணவர்களுக்கும் கணிசமான சிரமங்கள் உள்ளன, அது வேர்கள் மூலம் வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குவதற்கு அவசியமாகிறது. மேலும் இது முற்றிலும் ஆதாரமற்றது. வேர்களின் கணித இயல்பு அதே டிகிரிகளின் இயல்பிலிருந்து வேறுபட்டதல்ல என்பதால், ஒரு விதியாக, மிகக் குறைவான சிரமங்கள் உள்ளன. ஒரு எண், மாறி அல்லது வெளிப்பாட்டின் வர்க்க மூலமானது "ஒரு வினாடியின்" சக்திக்கு அதே எண், மாறி அல்லது வெளிப்பாடு தவிர வேறில்லை என்பது அறியப்படுகிறது, கன மூலமானது "மூன்றில் ஒரு பங்கு" சக்திக்கு சமமானது, மேலும் கடிதம் மூலம்.

பின்னங்களுடன் வெளிப்பாடுகளை எளிமையாக்குதல்

பின்னங்களுடன் ஒரு வெளிப்பாட்டை எவ்வாறு எளிதாக்குவது என்பதற்கான பொதுவான உதாரணத்தையும் கவனியுங்கள். வெளிப்பாடுகள் இயற்கையான பின்னங்களாக இருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில், வகுத்தல் மற்றும் எண் ஆகியவற்றிலிருந்து ஒரு பொதுவான காரணி பிரித்தெடுக்கப்பட வேண்டும், பின்னர் அதன் பின்னம் குறைக்கப்பட வேண்டும். மோனோமியல்கள் அதே பெருக்கிகளை அதிகாரங்களாக உயர்த்தும்போது, ​​அவற்றைச் சுருக்கும்போது அதிகாரங்களின் சமத்துவத்தைக் கண்காணிக்க வேண்டியது அவசியம்.

எளிமையான முக்கோணவியல் வெளிப்பாடுகளின் எளிமைப்படுத்தல்

முக்கோணவியல் வெளிப்பாட்டை எவ்வாறு எளிமைப்படுத்துவது என்பது பற்றிய உரையாடல் சில தவிர. முக்கோணவியலின் பரந்த பிரிவு, ஒருவேளை, கணித மாணவர்கள் சற்றே சுருக்கமான கருத்துக்கள், சிக்கல்கள் மற்றும் அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளை எதிர்கொள்ளும் முதல் கட்டமாகும். இங்கே தொடர்புடைய சூத்திரங்கள் உள்ளன, அவற்றில் முதலாவது அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளம். போதுமான கணித மனநிலையைக் கொண்டிருப்பதால், அனைத்து முக்கிய முக்கோணவியல் அடையாளங்கள் மற்றும் சூத்திரங்களின் இந்த அடையாளத்திலிருந்து முறையான வழித்தோன்றலைக் கண்டறிய முடியும், இதில் வாதங்களின் வேறுபாடு மற்றும் தொகைக்கான சூத்திரங்கள், இரட்டை, மூன்று வாதங்கள், குறைப்பு சூத்திரங்கள் மற்றும் பல. நிச்சயமாக, புதிய முறைகள் மற்றும் சூத்திரங்களுடன் முழுமையாகப் பயன்படுத்தப்படும் பொதுவான காரணியை எடுத்துக்கொள்வது போன்ற முதல் முறைகளை இங்கே மறந்துவிடக் கூடாது.

சுருக்கமாக, வாசகர்களுக்கான சில பொதுவான குறிப்புகள் இங்கே:

• பல்லுறுப்புக்கோவைகள் காரணியாக இருக்க வேண்டும், அதாவது, அவை குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான காரணிகளின் தயாரிப்பு வடிவத்தில் குறிப்பிடப்பட வேண்டும் - மோனோமியல்கள் மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவைகள். அத்தகைய சாத்தியம் இருந்தால், அடைப்புக்குறிக்குள் பொதுவான காரணியை எடுக்க வேண்டியது அவசியம்.
• விதிவிலக்கு இல்லாமல் அனைத்து சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களையும் மனப்பாடம் செய்வது நல்லது. அவற்றில் பல இல்லை, ஆனால் அவை கணித வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்குவதற்கான அடிப்படையாகும். சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களில் ஒன்றின் தலைகீழ் செயலான முக்கோணங்களில் சரியான சதுரங்களை முன்னிலைப்படுத்தும் முறையைப் பற்றியும் நீங்கள் மறந்துவிடக் கூடாது.
• வெளிப்பாட்டில் இருக்கும் அனைத்து பின்னங்களும் முடிந்தவரை அடிக்கடி குறைக்கப்பட வேண்டும். அவ்வாறு செய்யும்போது, ​​பெருக்கிகள் மட்டுமே குறைக்கப்படுகின்றன என்பதை மறந்துவிடாதீர்கள். இயற்கணித பின்னங்களின் வகுத்தல் மற்றும் எண் ஆகியவை பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபடும் அதே எண்ணால் பெருக்கப்படும்போது, ​​பின்னங்களின் மதிப்புகள் மாறாது.
• பொதுவாக, அனைத்து வெளிப்பாடுகளும் செயல்களால் அல்லது ஒரு சங்கிலியால் மாற்றப்படலாம். முதல் முறை மிகவும் விரும்பத்தக்கது, ஏனெனில். இடைநிலை செயல்களின் முடிவுகள் மிகவும் எளிதாக சரிபார்க்கப்படுகின்றன.
• பெரும்பாலும், கணித வெளிப்பாடுகளில், நீங்கள் வேர்களை பிரித்தெடுக்க வேண்டும். சம டிகிரிகளின் வேர்களை எதிர்மறை எண் அல்லது வெளிப்பாட்டிலிருந்து மட்டுமே பிரித்தெடுக்க முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும், மேலும் ஒற்றைப்படை டிகிரிகளின் வேர்களை எந்த வெளிப்பாடுகள் அல்லது எண்களிலிருந்தும் முழுமையாக பிரித்தெடுக்க முடியும்.

எதிர்காலத்தில், கணித சூத்திரங்களைப் புரிந்துகொள்வதற்கும் அவற்றை நடைமுறையில் எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதை உங்களுக்குக் கற்பிப்பதற்கும் எங்கள் கட்டுரை உங்களுக்கு உதவும் என்று நம்புகிறோம்.

வெளிப்பாடுகளை சக்திகளுடன் மாற்றுவதற்கான தலைப்பைக் கருத்தில் கொள்வோம், ஆனால் முதலில், சக்திகள் உட்பட எந்தவொரு வெளிப்பாடுகளுடனும் செய்யக்கூடிய பல மாற்றங்களில் நாம் வாழ்வோம். அடைப்புக்குறிகளை எவ்வாறு திறப்பது, போன்ற சொற்களைக் கொடுப்பது, அடிப்படை மற்றும் அடுக்குடன் வேலை செய்வது, அதிகாரங்களின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துவது ஆகியவற்றைக் கற்றுக்கொள்வோம்.

Yandex.RTB R-A-339285-1

சக்தி வெளிப்பாடுகள் என்றால் என்ன?

பள்ளி பாடத்திட்டத்தில், சிலர் "சக்தி வெளிப்பாடுகள்" என்ற சொற்றொடரைப் பயன்படுத்துகின்றனர், ஆனால் இந்த சொல் தேர்வுக்குத் தயாரிப்பதற்கான சேகரிப்பில் தொடர்ந்து காணப்படுகிறது. பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், சொற்றொடர் அவற்றின் உள்ளீடுகளில் டிகிரி கொண்டிருக்கும் வெளிப்பாடுகளைக் குறிக்கிறது. இதைத்தான் நாம் நமது வரையறையில் பிரதிபலிப்போம்.

வரையறை 1

சக்தி வெளிப்பாடுசக்திகளைக் கொண்ட ஒரு வெளிப்பாடு ஆகும்.

ஆற்றல் வெளிப்பாடுகளின் பல எடுத்துக்காட்டுகளை நாங்கள் தருகிறோம், ஒரு இயற்கை அடுக்குடன் ஒரு பட்டத்தில் தொடங்கி ஒரு உண்மையான அடுக்குடன் ஒரு பட்டத்துடன் முடிவடையும்.

எளிமையான சக்தி வெளிப்பாடுகள் இயற்கையான அடுக்குடன் கூடிய எண்ணின் சக்திகளாகக் கருதப்படலாம்: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (- 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . அத்துடன் பூஜ்ஜிய அடுக்கு கொண்ட சக்திகள்: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . மற்றும் எதிர்மறை முழு எண் சக்திகள் கொண்ட சக்திகள்: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

காட்டி மாறி 3 x - 54 - 7 3 x - 58 அல்லது மடக்கையாக இருக்கலாம் x 2 l g x - 5 x l g x.

சக்தி வெளிப்பாடுகள் என்றால் என்ன என்ற கேள்வியை நாங்கள் கையாண்டுள்ளோம். இப்போது அவற்றை மாற்றுவோம்.

சக்தி வெளிப்பாடுகளின் மாற்றங்களின் முக்கிய வகைகள்

முதலில், சக்தி வெளிப்பாடுகளுடன் செய்யக்கூடிய வெளிப்பாடுகளின் அடிப்படை அடையாள மாற்றங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

பவர் எக்ஸ்பிரஷன் மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள் 2 3 (4 2 - 12).

தீர்வு

செயல்களின் வரிசைக்கு இணங்க அனைத்து மாற்றங்களையும் நாங்கள் மேற்கொள்வோம். இந்த வழக்கில், அடைப்புக்குறிக்குள் செயல்களைச் செய்வதன் மூலம் தொடங்குவோம்: பட்டத்தை டிஜிட்டல் மதிப்புடன் மாற்றி இரண்டு எண்களுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டைக் கணக்கிடுவோம். எங்களிடம் உள்ளது 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.

பட்டத்தை மாற்றுவது எங்களுக்கு உள்ளது 2 3 அதன் பொருள் 8 மற்றும் தயாரிப்பு கணக்கிட 8 4 = 32. இதோ எங்கள் பதில்.

பதில்: 2 3 (4 2 - 12) = 32 .

எடுத்துக்காட்டு 2

ஆற்றலுடன் வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குங்கள் 3 a 4 b - 7 - 1 + 2 a 4 b - 7.

தீர்வு

சிக்கலின் நிலையில் எங்களுக்கு வழங்கப்பட்ட வெளிப்பாடு ஒத்த சொற்களைக் கொண்டுள்ளது, அதை நாம் கொண்டு வரலாம்: 3 a 4 b - 7 - 1 + 2 a 4 b - 7 = 5 a 4 b - 7 - 1.

பதில்: 3 a 4 b - 7 - 1 + 2 a 4 b - 7 = 5 a 4 b - 7 - 1 .

எடுத்துக்காட்டு 3

9 - b 3 · π - 1 2 இன் சக்திகளுடன் ஒரு வெளிப்பாட்டை ஒரு தயாரிப்பாக வெளிப்படுத்தவும்.

தீர்வு

எண் 9 ஐ ஒரு சக்தியாகக் குறிப்பிடுவோம் 3 2 மற்றும் சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

பதில்: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

இப்போது சக்தி வெளிப்பாடுகளுக்கு குறிப்பாகப் பயன்படுத்தக்கூடிய ஒரே மாதிரியான மாற்றங்களின் பகுப்பாய்விற்கு செல்லலாம்.

அடிப்படை மற்றும் அடுக்குடன் வேலை செய்தல்

அடிப்படை அல்லது அடுக்குகளில் உள்ள பட்டம் எண்கள், மாறிகள் மற்றும் சில வெளிப்பாடுகளைக் கொண்டிருக்கலாம். உதாரணத்திற்கு, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7மற்றும் . அத்தகைய பதிவுகளுடன் வேலை செய்வது கடினம். பட்டத்தின் அடிப்பாகத்தில் உள்ள வெளிப்பாட்டை அல்லது அதிவேகத்தில் உள்ள வெளிப்பாட்டை ஒரே மாதிரியான சம வெளிப்பாட்டுடன் மாற்றுவது மிகவும் எளிதானது.

பட்டம் மற்றும் குறிகாட்டியின் மாற்றங்கள் ஒருவருக்கொருவர் தனித்தனியாக நமக்குத் தெரிந்த விதிகளின்படி மேற்கொள்ளப்படுகின்றன. மிக முக்கியமான விஷயம் என்னவென்றால், மாற்றங்களின் விளைவாக, அசல் ஒன்றைப் போன்ற ஒரு வெளிப்பாடு பெறப்படுகிறது.

மாற்றங்களின் நோக்கம் அசல் வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குவது அல்லது சிக்கலுக்கு ஒரு தீர்வைப் பெறுவது. எடுத்துக்காட்டாக, நாம் மேலே கொடுத்த எடுத்துக்காட்டில், (2 + 0 , 3 7) 5 - 3 , 7 நீங்கள் டிகிரிக்குச் செல்ல செயல்பாடுகளைச் செய்யலாம். 4 , 1 1 , 3 . அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, பட்டத்தின் அடிப்பகுதியில் ஒத்த சொற்களைக் கொண்டு வரலாம் (a (a + 1) - a 2) 2 (x + 1)மேலும் எளிமையான வடிவத்தின் சக்தி வெளிப்பாட்டைப் பெறவும் a 2 (x + 1).

ஆற்றல் பண்புகளைப் பயன்படுத்துதல்

சமத்துவங்களாக எழுதப்பட்ட டிகிரிகளின் பண்புகள், டிகிரிகளுடன் வெளிப்பாடுகளை மாற்றுவதற்கான முக்கிய கருவிகளில் ஒன்றாகும். அதை கருத்தில் கொண்டு, முக்கியவற்றை இங்கு முன்வைக்கிறோம் அமற்றும் பிஏதேனும் நேர்மறை எண்கள், மற்றும் ஆர்மற்றும் கள்- தன்னிச்சையான உண்மையான எண்கள்:

வரையறை 2

• a r a s = a r + s ;
• a r: a s = a r - s ;
• (a b) r = a r b r;
• (a: b) r = a r: b r;
• (a r) s = a r s.

இயற்கை, முழு எண், நேர்மறை அடுக்குகளை நாம் கையாளும் சந்தர்ப்பங்களில், a மற்றும் b எண்களின் மீதான கட்டுப்பாடுகள் மிகவும் குறைவாகவே இருக்கும். எனவே, உதாரணமாக, நாம் சமத்துவத்தை கருத்தில் கொண்டால் a m a n = a m + n, எங்கே மீமற்றும் nஇயற்கை எண்கள், அது நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை இரண்டின் எந்த மதிப்புகளுக்கும் உண்மையாக இருக்கும் a = 0.

டிகிரிகளின் அடிப்படைகள் நேர்மறையாக இருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில் அல்லது ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் வரம்பில் மாறிகளைக் கொண்டிருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில், டிகிரிகளின் பண்புகளை நீங்கள் கட்டுப்பாடுகள் இல்லாமல் பயன்படுத்தலாம். உண்மையில், கணிதத்தில் பள்ளி பாடத்திட்டத்தின் கட்டமைப்பிற்குள், மாணவரின் பணி பொருத்தமான சொத்தை தேர்ந்தெடுத்து அதை சரியாகப் பயன்படுத்துவதாகும்.

பல்கலைக் கழகங்களில் சேர்க்கைக்குத் தயாராகும் போது, ​​பண்புகளின் தவறான பயன்பாடு, ODZ இன் சுருக்கம் மற்றும் தீர்வுக்கான பிற சிரமங்களுக்கு வழிவகுக்கும் பணிகள் இருக்கலாம். இந்த பிரிவில், இதுபோன்ற இரண்டு நிகழ்வுகளை மட்டுமே நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம். "அதிவேக பண்புகளைப் பயன்படுத்தி வெளிப்பாடுகளை மாற்றுதல்" என்ற தலைப்பில் இந்த விஷயத்தைப் பற்றிய கூடுதல் தகவலைக் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 4

வெளிப்பாட்டைக் குறிக்கவும் a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5ஒரு அடிப்படை கொண்ட பட்டமாக அ.

தீர்வு

தொடங்குவதற்கு, நாம் அதிவேக பண்புகளைப் பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் அதைப் பயன்படுத்தி இரண்டாவது காரணியை மாற்றுகிறோம் (a 2) - 3. பின்னர், பெருக்கல் மற்றும் அதிகாரங்களைப் பிரித்தல் ஆகியவற்றின் பண்புகளை ஒரே அடித்தளத்துடன் பயன்படுத்துகிறோம்:

a 2 , 5 a - 6: a - 5 , 5 = a 2 , 5 - 6: a - 5 , 5 = a - 3 , 5: a - 5 , 5 = a − 3 , 5 - 5 ) = a 2 .

பதில்: a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 = a 2 .

டிகிரிகளின் சொத்துக்கு ஏற்ப சக்தி வெளிப்பாடுகளை மாற்றுவது இடமிருந்து வலமாகவும் எதிர் திசையிலும் செய்யப்படலாம்.

உதாரணம் 5

சக்தி வெளிப்பாடு 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 இன் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

சமத்துவத்தைப் பயன்படுத்தினால் (a b) r = a r b r, வலமிருந்து இடமாக, பிறகு 3 7 1 3 21 2 3 மற்றும் 21 1 3 21 2 3 படிவத்தின் பலனைப் பெறுகிறோம். அதே அடிப்படைகளுடன் சக்திகளைப் பெருக்கும்போது அடுக்குகளைச் சேர்ப்போம்: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

மாற்றங்களைச் செய்ய மற்றொரு வழி உள்ளது:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

பதில்: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

எடுத்துக்காட்டு 6

சக்தி வெளிப்பாடு கொடுக்கப்பட்டது a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6, ஒரு புதிய மாறியை உள்ளிடவும் t = a 0, 5.

தீர்வு

பட்டத்தை கற்பனை செய்து பாருங்கள் ஒரு 1, 5எப்படி a 0, 5 3. ஒரு பட்டத்தில் பட்டம் சொத்தைப் பயன்படுத்துதல் (a r) s = a r sவலமிருந்து இடமாக சென்று (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . இதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாட்டில், நீங்கள் எளிதாக ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்தலாம் t = a 0, 5: பெறு t 3 - t - 6.

பதில்: t 3 - t - 6 .

சக்திகளைக் கொண்ட பின்னங்களை மாற்றுதல்

நாம் வழக்கமாக இரண்டு வகையான சக்தி வெளிப்பாடுகளை பின்னங்களுடன் கையாள்வோம்: வெளிப்பாடு என்பது பட்டம் கொண்ட ஒரு பின்னம் அல்லது அத்தகைய பின்னத்தைக் கொண்டுள்ளது. அனைத்து அடிப்படை பின்னம் மாற்றங்களும் கட்டுப்பாடுகள் இல்லாமல் அத்தகைய வெளிப்பாடுகளுக்கு பொருந்தும். அவை குறைக்கப்படலாம், புதிய வகுப்பிற்கு கொண்டு வரலாம், எண் மற்றும் வகுப்போடு தனித்தனியாக வேலை செய்யலாம். இதை உதாரணங்களுடன் விளக்குவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 7

ஆற்றல் வெளிப்பாடு 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 ஐ எளிதாக்கவும்.

தீர்வு

நாங்கள் ஒரு பகுதியைக் கையாளுகிறோம், எனவே எண் மற்றும் வகுப்பில் மாற்றங்களைச் செய்வோம்:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

பிரிவின் அடையாளத்தை மாற்ற, பின்னத்தின் முன் ஒரு கழித்தல் இடவும்: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

பதில்: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

பகுத்தறிவுப் பின்னங்களைப் போலவே அதிகாரங்களைக் கொண்ட பின்னங்களும் புதிய வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்படுகின்றன. இதைச் செய்ய, நீங்கள் ஒரு கூடுதல் காரணியைக் கண்டுபிடித்து, அதன் மூலம் பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினைப் பெருக்க வேண்டும். அசல் வெளிப்பாட்டிற்கான ODZ மாறிகளிலிருந்து மாறிகளின் எந்த மதிப்புகளுக்கும் மறைந்து போகாத வகையில் கூடுதல் காரணியைத் தேர்ந்தெடுப்பது அவசியம்.

எடுத்துக்காட்டு 8

பின்னங்களை ஒரு புதிய வகுப்பிற்கு கொண்டு வாருங்கள்: a) a + 1 a 0, 7 to denominator அ, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 க்கு x + 8 y 1 2 .

தீர்வு

a) ஒரு புதிய வகுப்பிற்குக் குறைக்க அனுமதிக்கும் ஒரு காரணியைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம். a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a ,எனவே, ஒரு கூடுதல் காரணியாக, நாங்கள் எடுத்துக்கொள்கிறோம் a 0, 3. a மாறியின் ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் வரம்பு அனைத்து நேர்மறை உண்மையான எண்களின் தொகுப்பையும் உள்ளடக்கியது. இந்த பகுதியில், பட்டம் a 0, 3பூஜ்ஜியத்திற்கு செல்லாது.

ஒரு பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினைப் பெருக்குவோம் a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) வகுப்பிற்கு கவனம் செலுத்துங்கள்:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

இந்த வெளிப்பாட்டை x 1 3 + 2 · y 1 6 ஆல் பெருக்கினால், கனசதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை x 1 3 மற்றும் 2 · y 1 6 , அதாவது. x + 8 · y 1 2 . இது எங்கள் புதிய வகுப்பாகும், இதற்கு அசல் பகுதியைக் கொண்டு வர வேண்டும்.

எனவே கூடுதல் காரணி x 1 3 + 2 · y 1 6 ஐக் கண்டறிந்தோம். மாறிகளின் ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் வரம்பில் எக்ஸ்மற்றும் ஒய் x 1 3 + 2 y 1 6 என்ற வெளிப்பாடு மறைந்துவிடாது, எனவே பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை அதன் மூலம் பெருக்கலாம்:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

பதில்: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

எடுத்துக்காட்டு 9

பகுதியைக் குறைக்கவும்: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

தீர்வு

a) எண் மற்றும் வகுப்பினைக் குறைக்கக்கூடிய மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பினை (GCD) பயன்படுத்தவும். 30 மற்றும் 45 எண்களுக்கு, இது 15 ஆகும். நாமும் குறைக்கலாம் x 0, 5 + 1மற்றும் x + 2 x 1 1 3 - 5 3 இல்.

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

b) இங்கே ஒரே மாதிரியான காரணிகள் இருப்பது தெளிவாக இல்லை. எண் மற்றும் வகுப்பில் ஒரே காரணிகளைப் பெற நீங்கள் சில மாற்றங்களைச் செய்ய வேண்டும். இதைச் செய்ய, சதுர சூத்திரத்தின் வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி வகுப்பை விரிவுபடுத்துகிறோம்:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

பதில்: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

பின்னங்களுடனான முக்கிய செயல்பாடுகளில் புதிய வகுப்பிற்குக் குறைத்தல் மற்றும் பின்னங்களைக் குறைத்தல் ஆகியவை அடங்கும். இரண்டு செயல்களும் பல விதிகளுக்கு இணங்க செய்யப்படுகின்றன. பின்னங்களைக் கூட்டி கழிக்கும்போது, ​​பின்னங்கள் முதலில் ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்படுகின்றன, அதன் பிறகு செயல்கள் (கூடுதல் அல்லது கழித்தல்) எண்களுடன் செய்யப்படுகின்றன. வகுத்தல் அப்படியே உள்ளது. நமது செயல்களின் விளைவாக ஒரு புதிய பின்னம் உள்ளது, அதன் எண்ணிக்கையானது எண்களின் விளைபொருளாகும், மற்றும் வகுத்தல் என்பது பிரிவுகளின் விளைபொருளாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 10

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 படிகளைச் செய்யவும்.

தீர்வு

அடைப்புக்குறிக்குள் இருக்கும் பின்னங்களைக் கழிப்பதன் மூலம் ஆரம்பிக்கலாம். அவற்றை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் கொண்டு வருவோம்:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

எண்களைக் கழிப்போம்:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

இப்போது நாம் பின்னங்களை பெருக்குகிறோம்:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

ஒரு டிகிரி குறைப்போம் x 1 2, நாம் 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 ஐப் பெறுகிறோம்.

கூடுதலாக, சதுரங்கள்: சதுரங்கள்: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வகுப்பில் உள்ள சக்தி வெளிப்பாட்டை நீங்கள் எளிதாக்கலாம்.

பதில்: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

எடுத்துக்காட்டு 11

ஆற்றல் வெளிப்பாடு x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 ஐ எளிதாக்கவும்.
தீர்வு

நாம் பின்னத்தை குறைக்கலாம் (x 2, 7 + 1) 2. நாம் ஒரு பின்னம் x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1 ஐப் பெறுகிறோம்.

x சக்திகள் x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 ஆகியவற்றின் மாற்றங்களைத் தொடரலாம். இப்போது நீங்கள் அதே அடிப்படைகளுடன் பவர் டிவிஷன் சொத்தை பயன்படுத்தலாம்: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

கடைசி தயாரிப்பிலிருந்து பின்னம் x 1 3 8 x 2, 7 + 1 க்கு செல்கிறோம்.

பதில்: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1

பெரும்பாலான சமயங்களில், நெகடிவ் எக்ஸ்போனென்ட்களுடன் கூடிய பெருக்கிகளை எண்ணிலிருந்து வகுப்பிற்கு மாற்றுவது மிகவும் வசதியானது. இந்த நடவடிக்கை மேலும் முடிவை எளிதாக்குகிறது. ஒரு உதாரணம் தருவோம்: சக்தி வெளிப்பாடு (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 ஐ x 3 · (x + 1) 0 , 2 ஆல் மாற்றலாம்.

வெளிப்பாடுகளை வேர்கள் மற்றும் சக்திகளுடன் மாற்றுதல்

பணிகளில், பகுதியளவு அடுக்குகளுடன் கூடிய டிகிரிகளை மட்டுமல்ல, வேர்களையும் கொண்டிருக்கும் சக்தி வெளிப்பாடுகள் உள்ளன. இத்தகைய வெளிப்பாடுகளை வேர்கள் அல்லது அதிகாரங்களுக்கு மட்டும் குறைப்பது விரும்பத்தக்கது. டிகிரிக்கு மாறுவது விரும்பத்தக்கது, ஏனெனில் அவை வேலை செய்வது எளிது. அசல் வெளிப்பாட்டிற்கான மாறிகளின் டிபிவி, மாடுலஸை அணுகாமல் அல்லது டிபிவியை பல இடைவெளிகளாகப் பிரிக்காமல் வேர்களை சக்திகளுடன் மாற்ற உங்களை அனுமதிக்கும் போது இத்தகைய மாற்றம் குறிப்பாக சாதகமானது.

எடுத்துக்காட்டு 12

x 1 9 x 3 6 என்ற வெளிப்பாட்டை சக்தியாக வெளிப்படுத்தவும்.

தீர்வு

ஒரு மாறியின் செல்லுபடியாகும் வரம்பு எக்ஸ்இரண்டு ஏற்றத்தாழ்வுகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது x ≥ 0மற்றும் x · x 3 ≥ 0 , இது தொகுப்பை வரையறுக்கிறது [ 0 , + ∞) .

இந்த தொகுப்பில், வேர்களில் இருந்து அதிகாரங்களுக்கு செல்ல எங்களுக்கு உரிமை உள்ளது:

x 1 9 x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

டிகிரிகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, இதன் விளைவாக வரும் சக்தி வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குகிறோம்.

x 1 9 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

பதில்: x 1 9 x 3 6 = x 1 3 .

அதிவேகத்தில் உள்ள மாறிகளுடன் சக்திகளை மாற்றுதல்

நீங்கள் பட்டத்தின் பண்புகளை சரியாகப் பயன்படுத்தினால், இந்த மாற்றங்கள் மிகவும் எளிமையானவை. உதாரணத்திற்கு, 5 2 x + 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.

சில மாறி மற்றும் எண்ணின் கூட்டுத்தொகையின் அடிப்படையில், பட்டத்தின் பெருக்கத்தை நாம் மாற்றலாம். இடது பக்கத்தில், வெளிப்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் உள்ள முதல் மற்றும் கடைசி சொற்களைக் கொண்டு இதைச் செய்யலாம்:

5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0 , 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0 .

இப்போது சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பிரிப்போம் 7 2 x. x மாறியின் ODZ இல் உள்ள இந்த வெளிப்பாடு நேர்மறை மதிப்புகளை மட்டுமே எடுக்கும்:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

சக்திகளுடன் பின்னங்களைக் குறைப்போம், நாம் பெறுகிறோம்: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

இறுதியாக, அதே அடுக்குகளுடன் கூடிய சக்திகளின் விகிதம் விகிதங்களின் சக்திகளால் மாற்றப்படுகிறது, இது 5 5 7 x 2 - 3 5 7 க்கு சமமான சமன்பாடு 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 க்கு வழிவகுக்கிறது. x - 2 = 0 .

புதிய மாறி t = 5 7 x ஐ அறிமுகப்படுத்துகிறோம், இது 5 · t 2 - 3 · t - 2 = 0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் தீர்வுக்கு அசல் அதிவேக சமன்பாட்டின் தீர்வைக் குறைக்கிறது.

சக்திகள் மற்றும் மடக்கைகளுடன் வெளிப்பாடுகளை மாற்றுதல்

சக்திகள் மற்றும் மடக்கைகளைக் கொண்ட வெளிப்பாடுகளும் சிக்கல்களில் காணப்படுகின்றன. அத்தகைய வெளிப்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்: 1 4 1 - 5 பதிவு 2 3 அல்லது பதிவு 3 27 9 + 5 (1 - பதிவு 3 5) பதிவு 5 3 . அத்தகைய வெளிப்பாடுகளின் மாற்றம் மேலே விவாதிக்கப்பட்ட அணுகுமுறைகள் மற்றும் மடக்கைகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்படுகிறது, இது "மடக்கை வெளிப்பாடுகளின் மாற்றம்" என்ற தலைப்பில் விரிவாக பகுப்பாய்வு செய்துள்ளோம்.

உரையில் பிழை இருப்பதைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

ஒரு வகையான சில இயற்கணித எடுத்துக்காட்டுகள் பள்ளி மாணவர்களை பயமுறுத்தும் திறன் கொண்டவை. நீண்ட வெளிப்பாடுகள் மிரட்டுவது மட்டுமல்ல, கணக்கிடுவது மிகவும் கடினம். பின்தொடர்வதையும் பின்தொடர்வதையும் உடனடியாகப் புரிந்துகொள்ள முயற்சிக்கிறேன், நீண்ட நேரம் குழப்பமடைய வேண்டாம். இந்த காரணத்திற்காகவே கணிதவியலாளர்கள் எப்பொழுதும் "பயங்கரமான" பணியை முடிந்தவரை எளிமைப்படுத்த முயற்சி செய்கிறார்கள், பின்னர் அதைத் தீர்க்க தொடரவும். விந்தை போதும், அத்தகைய தந்திரம் செயல்முறையை பெரிதும் துரிதப்படுத்துகிறது.

இயற்கணிதத்தின் அடிப்படை புள்ளிகளில் ஒன்று எளிமைப்படுத்தல். எளிமையான பணிகளில் அது இல்லாமல் செய்ய இன்னும் சாத்தியம் இருந்தால், உதாரணங்களை கணக்கிடுவது மிகவும் கடினம் "மிகவும் கடினமானது". இங்குதான் இந்தத் திறமைகள் கைக்கு வரும்! மேலும், சிக்கலான கணித அறிவு தேவையில்லை: சில அடிப்படை நுட்பங்கள் மற்றும் சூத்திரங்களை எவ்வாறு நடைமுறைக்குக் கொண்டுவருவது என்பதை நினைவில் வைத்து கற்றுக்கொண்டால் போதும்.

கணக்கீடுகளின் சிக்கலான தன்மையைப் பொருட்படுத்தாமல், எந்தவொரு வெளிப்பாட்டையும் தீர்க்கும் போது, ​​அது முக்கியமானது எண்களுடன் செயல்பாடுகளின் வரிசையைப் பின்பற்றவும்:

1. அடைப்புக்குறிகள்;
2. விரிவாக்கம்;
3. பெருக்கல்;
4. பிரிவு;
5. கூடுதலாக;
6. கழித்தல்.

கடைசி இரண்டு புள்ளிகள் பாதுகாப்பாக மாற்றப்படலாம், இது எந்த வகையிலும் முடிவை பாதிக்காது. ஆனால் இரண்டு அண்டை எண்களைச் சேர்ப்பது, அவற்றில் ஒன்றுக்கு அடுத்ததாக ஒரு பெருக்கல் அடையாளம் இருக்கும்போது, ​​முற்றிலும் சாத்தியமற்றது! பதில், ஏதேனும் இருந்தால், தவறு. எனவே, நீங்கள் வரிசையை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

அத்தகைய பயன்பாடு

அத்தகைய உறுப்புகளில் ஒரே வரிசை அல்லது அதே அளவு மாறி கொண்ட எண்கள் அடங்கும். இலவச உறுப்பினர்கள் என்று அழைக்கப்படுபவர்களும் உள்ளனர், அவர்களுக்கு அடுத்ததாக தெரியாதவர்களின் எழுத்து பதவி இல்லை.

இதன் முக்கிய அம்சம் என்னவென்றால் அடைப்புக்குறிகள் இல்லாத நிலையில் லைக் கூட்டி அல்லது கழிப்பதன் மூலம் வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்கலாம்.

சில விளக்க எடுத்துக்காட்டுகள்:

• 8x 2 மற்றும் 3x 2 - இரண்டு எண்களும் ஒரே மாதிரியான இரண்டாவது வரிசை மாறியைக் கொண்டுள்ளன, எனவே அவை ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், மேலும் அவை (8+3)x 2 =11x 2 ஆக எளிமைப்படுத்தப்படுகின்றன, அதே சமயம் கழிக்கப்படும்போது, ​​அது (8-3) x 2 =5x 2;
• 4x 3 மற்றும் 6x - இங்கே "x" வேறு பட்டம் கொண்டது;
• 2y 7 மற்றும் 33x 7 - வெவ்வேறு மாறிகள் உள்ளன, எனவே, முந்தைய வழக்கைப் போலவே, அவை ஒத்தவை அல்ல.

ஒரு எண்ணை காரணியாக்குதல்

இந்த சிறிய கணித தந்திரம், அதை எவ்வாறு சரியாகப் பயன்படுத்துவது என்பதை நீங்கள் கற்றுக்கொண்டால், எதிர்காலத்தில் ஒரு தந்திரமான சிக்கலைச் சமாளிக்க உங்களுக்கு உதவும். "அமைப்பு" எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைப் புரிந்துகொள்வது எளிது: ஒரு சிதைவு என்பது பல உறுப்புகளின் விளைபொருளாகும், அதன் கணக்கீடு அசல் மதிப்பைக் கொடுக்கும். எனவே, 20 ஐ 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 அல்லது வேறு வழிகளில் குறிப்பிடலாம்.

ஒரு குறிப்பில்: பெருக்கிகள் எப்பொழுதும் வகுபவையாகவே இருக்கும். எனவே அசல் எஞ்சியாமல் வகுக்கக்கூடிய எண்களுக்கு இடையில் விரிவாக்கம் செய்ய நீங்கள் வேலை செய்யும் "ஜோடி" தேட வேண்டும்.

இலவச உறுப்பினர்களுடனும், மாறியுடன் இணைக்கப்பட்ட இலக்கங்களுடனும் நீங்கள் அத்தகைய செயல்பாட்டைச் செய்யலாம். முக்கிய விஷயம், கணக்கீடுகளின் போது பிந்தையதை இழக்கக்கூடாது - கூட சிதைவுக்குப் பிறகு, தெரியாதவற்றை எடுத்து "எங்கும் செல்ல முடியாது." இது காரணிகளில் ஒன்றில் உள்ளது:

• 15x=3(5x);
• 60y 2 \u003d (15y 2) 4.

பிரைம் எண்கள் தங்களால் மட்டுமே வகுக்கப்படும் அல்லது 1 காரணியாக இருக்காது - இது அர்த்தமற்றது..

அடிப்படை எளிமைப்படுத்தல் முறைகள்

கண்ணைக் கவரும் முதல் விஷயம்:

• அடைப்புக்குறிகளின் இருப்பு;
• பின்னங்கள்;
• வேர்கள்.

பள்ளி பாடத்திட்டத்தில் உள்ள இயற்கணித எடுத்துக்காட்டுகள் பெரும்பாலும் அழகாக எளிமைப்படுத்தப்படலாம் என்ற அனுமானத்துடன் தொகுக்கப்படுகின்றன.

அடைப்புக்குறி கணக்கீடுகள்

அடைப்புக்குறிக்கு முன்னால் உள்ள அடையாளத்தை உன்னிப்பாகக் கவனியுங்கள்!உள்ளிருக்கும் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் பெருக்கல் அல்லது வகுத்தல் பயன்படுத்தப்படும், மேலும் கழித்தல் - ஏற்கனவே உள்ள "+" அல்லது "-" குறிகளை மாற்றியமைக்கிறது.

அடைப்புக்குறிகள் விதிகளின்படி அல்லது சுருக்கமான பெருக்கத்தின் சூத்திரங்களின்படி கணக்கிடப்படுகின்றன, அதன் பிறகு ஒத்தவை வழங்கப்படுகின்றன.

பின்னம் குறைப்பு

பின்னங்களைக் குறைக்கவும்எளிதாகவும் உள்ளது. அவர்களே எப்போதாவது ஒரு முறை "விருப்பத்துடன் ஓடிவிடுகிறார்கள்", அத்தகைய உறுப்பினர்களைக் கொண்டுவருவதற்கான நடவடிக்கைகளை மேற்கொள்வது மதிப்பு. ஆனால் இதற்கு முன்பே நீங்கள் உதாரணத்தை எளிதாக்கலாம்: எண் மற்றும் வகுப்பிற்கு கவனம் செலுத்துங்கள். அவை பெரும்பாலும் பரஸ்பரம் குறைக்கக்கூடிய வெளிப்படையான அல்லது மறைக்கப்பட்ட கூறுகளைக் கொண்டிருக்கின்றன. உண்மை, முதல் வழக்கில் நீங்கள் மிதமிஞ்சியவற்றை நீக்க வேண்டும் என்றால், இரண்டாவதாக நீங்கள் சிந்திக்க வேண்டும், வெளிப்பாட்டின் ஒரு பகுதியை எளிமைப்படுத்த படிவத்திற்கு கொண்டு வருவீர்கள். பயன்படுத்தப்படும் முறைகள்:

• எண் மற்றும் வகுப்பின் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பியின் தேடல் மற்றும் அடைப்புக்குறி;
• ஒவ்வொரு மேல் உறுப்புகளையும் வகுப்பினால் வகுத்தல்.

ஒரு வெளிப்பாடு அல்லது அதன் பகுதி வேரின் கீழ் இருக்கும்போது, முதன்மையான எளிமைப்படுத்தல் பிரச்சனையானது பின்னங்களின் வழக்கைப் போலவே உள்ளது. அதை முற்றிலுமாக அகற்றுவதற்கான வழிகளைத் தேடுவது அவசியம் அல்லது இது முடியாவிட்டால், கணக்கீடுகளில் குறுக்கிடும் அடையாளத்தைக் குறைக்கவும். எடுத்துக்காட்டாக, unobtrusive √(3) அல்லது √(7).

தீவிர வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குவதற்கான ஒரு நிச்சயமான வழி, அதை காரணியாக்க முயற்சிப்பதாகும், அவற்றில் சில அடையாளத்திற்கு வெளியே உள்ளன. ஒரு விளக்க உதாரணம்: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

மற்ற சிறிய தந்திரங்கள் மற்றும் நுணுக்கங்கள்:

• இந்த எளிமைப்படுத்தல் செயல்பாடு பின்னங்களுடன் மேற்கொள்ளப்படலாம், அதை அடையாளத்திலிருந்து ஒட்டுமொத்தமாகவும் தனித்தனியாகவும் ஒரு எண் அல்லது வகுப்பாக எடுத்துக் கொள்ளலாம்;
• வேருக்கு அப்பால் கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டின் ஒரு பகுதியை சிதைத்து எடுக்க இயலாது;
• மாறிகளுடன் பணிபுரியும் போது, ​​அதன் பட்டத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள், ரெண்டரிங் செய்வதற்கான சாத்தியக்கூறுகளுக்கு அது ரூட்டின் பல மடங்கு அல்லது சமமாக இருக்க வேண்டும்: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)= √(x 2 ×x)=x√( x);
• சில நேரங்களில் தீவிர மாறியை ஒரு பகுதியளவு சக்தியாக உயர்த்துவதன் மூலம் அகற்ற அனுமதிக்கப்படுகிறது: √ (y 3)=y 3/2.

சக்தி வெளிப்பாடு எளிமைப்படுத்தல்

மைனஸ் அல்லது பிளஸ் மூலம் எளிய கணக்கீடுகளில், ஒரே மாதிரியானவற்றைக் கொண்டு எடுத்துக்காட்டுகள் எளிமைப்படுத்தப்பட்டால், வெவ்வேறு சக்திகளுடன் மாறிகளைப் பெருக்கும்போது அல்லது வகுத்தால் என்ன செய்வது? இரண்டு முக்கிய விஷயங்களை நினைவில் வைத்துக் கொள்வதன் மூலம் அவற்றை எளிதாக எளிதாக்கலாம்:

1. மாறிகளுக்கு இடையில் ஒரு பெருக்கல் அடையாளம் இருந்தால், அடுக்குகள் சேர்க்கப்படும்.
2. அவை ஒன்றோடொன்று வகுக்கப்படும்போது, ​​அதே வகுப்பானது எண்ணின் அளவிலிருந்து கழிக்கப்படும்.

அத்தகைய எளிமைப்படுத்தலுக்கான ஒரே நிபந்தனை என்னவென்றால், இரண்டு சொற்களும் ஒரே அடிப்படையைக் கொண்டுள்ளன. தெளிவுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்:

• 5x 2 × 4x 7 + (y 13 / y 11) \u003d (5 × 4)x 2+7 + y 13- 11 \u003d 20x 9 + y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

மாறிகளுக்கு முன்னால் எண் மதிப்புகளைக் கொண்ட செயல்பாடுகள் வழக்கமான கணித விதிகளின்படி நிகழ்கின்றன என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம். நீங்கள் உற்று நோக்கினால், "வேலை" என்ற வெளிப்பாட்டின் சக்தி கூறுகள் இதேபோல் தெளிவாகிறது:

• ஒரு உறுப்பினரை ஒரு அதிகாரத்திற்கு உயர்த்துவது என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான முறை, அதாவது x 2 \u003d x × x;
• வகுத்தல் ஒத்ததாகும்: நீங்கள் எண் மற்றும் வகுப்பின் அளவை விரிவுபடுத்தினால், சில மாறிகள் குறைக்கப்படும், மீதமுள்ளவை "சேகரிக்கப்பட்டவை", இது கழிப்பிற்கு சமம்.

எந்த வியாபாரத்திலும், இயற்கணித வெளிப்பாடுகளை எளிமைப்படுத்தும் போது, ​​அடிப்படை அறிவு மட்டுமல்ல, பயிற்சியும் அவசியம். ஒரு சில பாடங்களுக்குப் பிறகு, ஒருமுறை சிக்கலானதாகத் தோன்றிய எடுத்துக்காட்டுகள் அதிக சிரமமின்றி குறைக்கப்பட்டு, குறுகிய மற்றும் எளிதில் தீர்க்கக்கூடியதாக மாறும்.

காணொளி

வெளிப்பாடுகள் எவ்வாறு எளிமைப்படுத்தப்படுகின்றன என்பதைப் புரிந்துகொள்ளவும் நினைவில் கொள்ளவும் இந்த வீடியோ உதவும்.

உங்கள் கேள்விக்கு பதில் கிடைக்கவில்லையா? ஆசிரியர்களுக்கு ஒரு தலைப்பைப் பரிந்துரைக்கவும்.