கணித சூத்திர ஊசல். கணித ஊசல்: காலம், முடுக்கம் மற்றும் சூத்திரங்கள்

வரையறை

கணித ஊசல்- இது ஒரு இயற்பியல் ஊசல் ஒரு சிறப்பு வழக்கு, இதன் நிறை ஒரு கட்டத்தில் உள்ளது.

வழக்கமாக, ஒரு சிறிய பந்து (பொருள் புள்ளி), ஒரு பெரிய நிறை கொண்ட, ஒரு நீண்ட நீட்டிக்க முடியாத நூல் (இடைநீக்கம்) ஒரு கணித ஊசல் என்று கருதப்படுகிறது. இது புவியீர்ப்பு செல்வாக்கின் கீழ் ஊசலாடும் ஒரு சிறந்த அமைப்பாகும். 50-100 வரிசையின் கோணங்களுக்கு மட்டுமே கணித ஊசல் ஒரு ஹார்மோனிக் ஆஸிலேட்டர் ஆகும், அதாவது, இது ஹார்மோனிக் அலைவுகளை செய்கிறது.

ஒரு நீண்ட சங்கிலியில் சரவிளக்கின் ஊஞ்சலைப் படித்த கலிலியோ ஒரு கணித ஊசல் பண்புகளை ஆய்வு செய்தார். கொடுக்கப்பட்ட அமைப்பின் அலைவு காலம் சிறிய விலகல் கோணங்களில் வீச்சு சார்ந்து இல்லை என்பதை அவர் உணர்ந்தார்.

ஒரு கணித ஊசல் அலைவு காலத்திற்கான சூத்திரம்

ஊசல் சஸ்பென்ஷன் புள்ளியை சரி செய்யட்டும். ஊசல் நூலிலிருந்து இடைநிறுத்தப்பட்ட ஒரு சுமை ஒரு வட்டத்தின் வளைவில் (படம்.1(a)) முடுக்கத்துடன் நகர்கிறது, மேலும் சில மீட்டெடுக்கும் விசை ($\overline(F)$) அதன் மீது செயல்படுகிறது. சுமை நகரும்போது இந்த சக்தி மாறுகிறது. இதன் விளைவாக, இயக்கத்தின் கணக்கீடு சிக்கலானதாகிறது. சில எளிமைப்படுத்தல்களை அறிமுகப்படுத்துவோம். ஊசல் ஒரு விமானத்தில் அல்லாமல் ஊசலாடட்டும், ஆனால் ஒரு கூம்பு (படம் 1 (b)) விவரிக்கவும். இந்த வழக்கில் சுமை ஒரு வட்டத்தில் நகரும். எங்களுக்கு ஆர்வமுள்ள அலைவுகளின் காலம் சுமைகளின் கூம்பு இயக்கத்தின் காலத்துடன் ஒத்துப்போகும். சுற்றளவைச் சுற்றியுள்ள ஒரு கூம்பு ஊசல் சுழற்சியின் காலம் சுற்றளவைச் சுற்றி ஒரு திருப்பத்தில் எடை செலவழிக்கும் நேரத்திற்கு சமம்:

இங்கு $L$ என்பது சுற்றளவு; $v$ - சரக்கு இயக்கத்தின் வேகம். செங்குத்தாக இருந்து நூலின் விலகல் கோணங்கள் சிறியதாக இருந்தால் (சிறிய அலைவு வீச்சுகள்), சுமை விவரிக்கும் வட்டத்தின் ஆரம் வழியாக மீட்டமைக்கும் சக்தி ($F_1$) இயக்கப்படும் என்று கருதப்படுகிறது. பின்னர் இந்த விசை மையவிலக்கு விசைக்கு சமம்:

இதே போன்ற முக்கோணங்களைக் கவனியுங்கள்: AOB மற்றும் DBC (படம் 1 (b)).

வெளிப்பாடுகளின் சரியான பகுதிகளை (2) மற்றும் (3) சமன் செய்கிறோம், சுமையின் இயக்கத்தின் வேகத்தை வெளிப்படுத்துகிறோம்:

\[\frac(mv^2)(R)=mg\frac(R)(l)\ \ to v=R\sqrt(\frac(g)(l))\left(4\right).\]

இதன் விளைவாக வரும் வேகத்தை சூத்திரத்தில் (1) மாற்றுகிறோம், எங்களிடம் உள்ளது:

\ \

சூத்திரம் (5) இலிருந்து, ஒரு கணித ஊசல் காலம் அதன் இடைநீக்கத்தின் நீளம் (இடைநீக்க புள்ளியிலிருந்து சுமையின் ஈர்ப்பு மையத்திற்கான தூரம்) மற்றும் இலவச வீழ்ச்சி முடுக்கம் ஆகியவற்றை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. ஒரு கணித ஊசல் காலத்திற்கான ஃபார்முலா (5) ஹ்யூஜென்ஸ் சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது; ஊசல் இடைநீக்கப் புள்ளி நகராதபோது அது பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது.

இலவச வீழ்ச்சி முடுக்கம் மீது ஒரு கணித ஊசல் அலைவு காலம் சார்ந்து பயன்படுத்தி, இந்த முடுக்கம் மதிப்பு தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இதைச் செய்ய, ஊசல் நீளத்தை அளவிடவும், அதிக எண்ணிக்கையிலான ஊசலாட்டங்களைக் கருத்தில் கொண்டு, $T$ காலத்தைக் கண்டறியவும், பின்னர் இலவச வீழ்ச்சியின் முடுக்கம் கணக்கிடவும்.

தீர்வுக்கான சிக்கல்களின் எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1

உடற்பயிற்சி.உங்களுக்குத் தெரியும், இலவச வீழ்ச்சியின் முடுக்கத்தின் அளவு அட்சரேகையைப் பொறுத்தது. $l=2.485\cdot (10)^(-1)$m நீளமுள்ள ஒரு கணித ஊசலின் அலைவு காலம் T=1 c?\textit() எனில் மாஸ்கோவின் அட்சரேகையில் கட்டற்ற வீழ்ச்சியின் முடுக்கம் என்னவாகும்.

தீர்வு.சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான அடிப்படையாக, ஒரு கணித ஊசல் காலத்திற்கான சூத்திரத்தை நாங்கள் எடுத்துக்கொள்கிறோம்:

இலவச வீழ்ச்சி முடுக்கம் (1.1) இலிருந்து வெளிப்படுத்துவோம்:

விரும்பிய முடுக்கத்தை கணக்கிடுவோம்:

பதில்.$g=9.81\frac(m)(s^2)$

எடுத்துக்காட்டு 2

உடற்பயிற்சி.ஒரு கணித ஊசல் அதன் இடைநீக்கத்தின் புள்ளி செங்குத்தாக கீழ்நோக்கி நகர்ந்தால், 1) நிலையான வேகத்தில் அதன் அலைவு காலம் என்னவாக இருக்கும்? 2) முடுக்கம் $a$? இந்த ஊசல் நூலின் நீளம் $l.$

தீர்வு.வரைவோம்.

1) இடைநீக்கப் புள்ளி ஒரே சீராக நகரும் ஒரு கணித ஊசல் காலமானது, நிலையான இடைநீக்கப் புள்ளியைக் கொண்ட ஊசல் காலத்திற்குச் சமம்:

2) ஊசல் சஸ்பென்ஷன் புள்ளியின் முடுக்கம் $F=ma$ க்கு சமமான கூடுதல் விசையின் தோற்றமாக கருதப்படலாம், இது முடுக்கத்திற்கு எதிராக இயக்கப்படுகிறது. அதாவது, முடுக்கம் மேல்நோக்கி இயக்கப்பட்டால், கூடுதல் விசை கீழ்நோக்கி செலுத்தப்படுகிறது, அதாவது அது ஈர்ப்பு விசையுடன் ($mg$) சேர்க்கப்படுகிறது. சஸ்பென்ஷன் புள்ளி கீழ்நோக்கி முடுக்கத்துடன் நகர்ந்தால், கூடுதல் விசை ஈர்ப்பு விசையிலிருந்து கழிக்கப்படும்.

ஊசலாடும் ஒரு கணித ஊசலின் காலம் மற்றும் இடைநீக்க புள்ளி முடுக்கத்துடன் நகர்கிறது, நாம் பின்வருமாறு காண்கிறோம்:

பதில். 1) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g))$; 2) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g-a))$

இயற்பியல் ஊசல் ஊசலாட்டத்தின் காலம் பல சூழ்நிலைகளைச் சார்ந்துள்ளது: உடலின் அளவு மற்றும் வடிவம், ஈர்ப்பு மையம் மற்றும் இடைநீக்கப் புள்ளி ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான தூரம் மற்றும் இந்த புள்ளியுடன் தொடர்புடைய உடல் நிறை விநியோகம்; எனவே, இடைநீக்கம் செய்யப்பட்ட உடலின் காலத்தை கணக்கிடுவது மிகவும் கடினமான பணியாகும். கணித ஊசல்க்கு நிலைமை எளிமையானது. அத்தகைய ஊசல்களின் அவதானிப்புகளிலிருந்து, பின்வரும் எளிய சட்டங்களை நிறுவலாம்.

1. ஊசலின் அதே நீளத்தை (இடைநீக்க புள்ளியிலிருந்து சுமையின் ஈர்ப்பு மையத்திற்கு உள்ள தூரம்) பராமரிக்கும் போது, ​​வெவ்வேறு சுமைகள் இடைநிறுத்தப்பட்டால், சுமைகளின் நிறை இருந்தாலும், அலைவு காலம் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். பெரிதும் வேறுபடுகின்றன. ஒரு கணித ஊசல் காலம் சுமையின் வெகுஜனத்தைப் பொறுத்தது அல்ல.

2. ஊசல் தொடங்கும் போது, ​​அது வெவ்வேறு (ஆனால் மிகவும் பெரியதாக இல்லை) கோணங்களில் திசைதிருப்பப்பட்டால், அது வெவ்வேறு வீச்சுகளுடன் இருந்தாலும், அதே காலகட்டத்துடன் ஊசலாடும். அலைவீச்சுகள் மிகப் பெரியதாக இல்லாத வரை, அலைவுகள் அவற்றின் வடிவத்தில் ஹார்மோனிக் (§ 5) க்கு நெருக்கமாக இருக்கும் மற்றும் கணித ஊசலின் காலம் அலைவுகளின் வீச்சு சார்ந்து இருக்காது. இந்த சொத்து ஐசோக்ரோனிசம் என்று அழைக்கப்படுகிறது (கிரேக்க வார்த்தைகளான "ஐசோஸ்" - சமம், "க்ரோனோஸ்" - நேரம்).

இந்த உண்மை முதன்முதலில் 1655 இல் கலிலியோவால் பின்வரும் சூழ்நிலைகளில் நிறுவப்பட்டது. கலிலியோ பிசா கதீட்ரலில் ஒரு நீண்ட சங்கிலியில் ஒரு சரவிளக்கை ஊசலாடுவதைக் கவனித்தார், அது பற்றவைக்கப்படும்போது தள்ளப்பட்டது. சேவையின் போது, ​​ஊசலாட்டங்களின் வீச்சு படிப்படியாக மங்கியது (§ 11), அதாவது, அலைவுகளின் வீச்சு குறைந்தது, ஆனால் காலம் அப்படியே இருந்தது. கலிலியோ தனது சொந்த துடிப்பை நேரத்தைக் குறிகாட்டியாகப் பயன்படுத்தினார்.

நாம் இப்போது ஒரு கணித ஊசல் அலைவு காலத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்.

அரிசி. 16. ஒரு விமானத்தில் ஒரு ஊசல் ஊசலாட்டங்கள் (a) மற்றும் ஒரு கூம்பு வழியாக இயக்கம் (b)

ஊசல் ஊசலாடும் போது, ​​சுமை ஒரு வில் (படம். 16, அ) ஒரு மீட்டெடுக்கும் சக்தியின் செயல்பாட்டின் கீழ் துரிதப்படுத்தப்படுகிறது, இது இயக்கத்தின் போது மாறுகிறது. நிலையான சக்தியின் செயல்பாட்டின் கீழ் ஒரு உடலின் இயக்கத்தின் கணக்கீடு மிகவும் சிக்கலானது. எனவே, எளிமைக்காக, நாங்கள் பின்வருமாறு தொடர்வோம்.

ஊசல் ஒரு விமானத்தில் ஊசலாடாமல் இருக்கச் செய்வோம், ஆனால் கூம்பை விவரிப்போம், இதனால் சுமை ஒரு வட்டத்தில் நகரும் (படம் 16, ஆ). இரண்டு சுயாதீன அதிர்வுகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் இந்த இயக்கத்தைப் பெறலாம்: ஒன்று இன்னும் வரைபடத்தின் விமானத்தில் மற்றும் மற்றொன்று செங்குத்தாக இருக்கும். வெளிப்படையாக, இந்த இரண்டு விமான அலைவுகளின் காலங்களும் ஒரே மாதிரியானவை, ஏனெனில் எந்த அலைவு விமானமும் மற்றவற்றிலிருந்து வேறுபட்டதல்ல. இதன் விளைவாக, சிக்கலான இயக்கத்தின் காலம் - கூம்புடன் ஊசல் சுழற்சி - நீர் விமானத்தின் ஊசலாட்டத்தின் காலம் போலவே இருக்கும். ஒரே மாதிரியான இரண்டு ஊசல்களை எடுத்து, அவற்றில் ஒன்றை விமானத்தில் ஆடச் சொல்லி, மற்றொன்றை கூம்புடன் சுழற்றச் சொல்லி, நேரடி அனுபவத்தால் இந்த முடிவை எளிதாக விளக்கலாம்.

ஆனால் "கூம்பு" ஊசல் சுழற்சியின் காலம் சுமையால் விவரிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் நீளத்திற்கு சமம், வேகத்தால் வகுக்கப்படுகிறது:

செங்குத்தாக இருந்து விலகும் கோணம் சிறியதாக இருந்தால் (சிறிய வீச்சுகள்), பின்னர் மீட்டமைக்கும் சக்தி வட்டத்தின் ஆரம் வழியாக இயக்கப்படுகிறது, அதாவது மையவிலக்கு விசைக்கு சமம் என்று நாம் கருதலாம்:

மறுபுறம், இது முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையைப் பின்பற்றுகிறது. முதல், பின்னர் இங்கிருந்து

இரண்டு வெளிப்பாடுகளையும் ஒன்றோடொன்று சமன் செய்து, சுழற்சியின் வேகத்தைப் பெறுகிறோம்

இறுதியாக, கால வெளிப்பாட்டிற்கு மாற்றாக, நாம் காண்கிறோம்

எனவே, ஒரு கணித ஊசலின் காலம் இலவச வீழ்ச்சியின் முடுக்கம் மற்றும் ஊசல் நீளம் ஆகியவற்றைப் பொறுத்தது, அதாவது, இடைநீக்க புள்ளியிலிருந்து சுமைகளின் ஈர்ப்பு மையத்திற்கு உள்ள தூரம். பெறப்பட்ட சூத்திரத்திலிருந்து, ஊசல் காலம் அதன் நிறை மற்றும் வீச்சு (அது போதுமான அளவு சிறியதாக இருந்தால்) சார்ந்தது அல்ல. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அவதானிப்புகளிலிருந்து முன்னர் நிறுவப்பட்ட அந்த அடிப்படை சட்டங்களை கணக்கீடு செய்வதன் மூலம் நாங்கள் பெற்றோம்.

ஆனால் எங்கள் கோட்பாட்டு வழித்தோன்றல் நமக்கு மேலும் தருகிறது: ஊசல் காலம், அதன் நீளம் மற்றும் இலவச வீழ்ச்சியின் முடுக்கம் ஆகியவற்றுக்கு இடையே ஒரு அளவு உறவை நிறுவ அனுமதிக்கிறது. ஒரு கணித ஊசல் காலமானது, புவியீர்ப்பு விசையினால் ஏற்படும் ஊசலின் நீளம் மற்றும் முடுக்கம் ஆகியவற்றின் விகிதத்தின் வர்க்க மூலத்திற்கு விகிதாசாரமாகும். விகிதாச்சாரத்தின் குணகம் .

இந்த முடுக்கத்தை தீர்மானிப்பதற்கான மிகவும் துல்லியமான வழி, இலவச வீழ்ச்சியின் முடுக்கம் மீது ஊசல் காலத்தின் சார்பு அடிப்படையிலானது. ஊசல் நீளத்தை அளவிடுவதன் மூலமும், அதிக எண்ணிக்கையிலான அலைவுகளிலிருந்து காலத்தை தீர்மானிப்பதன் மூலமும், பெறப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம். இந்த முறை நடைமுறையில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இலவச வீழ்ச்சியின் முடுக்கம் அந்த இடத்தின் புவியியல் அட்சரேகையை (துருவத்தில் மற்றும் பூமத்திய ரேகையில்) சார்ந்துள்ளது என்பது அறியப்படுகிறது (தொகுதி I, §53 ஐப் பார்க்கவும்). ஒரு குறிப்பிட்ட குறிப்பு ஊசல் ஸ்விங் கால அவதானிப்புகள் அட்சரேகை மீது இலவச வீழ்ச்சி முடுக்கம் விநியோகம் ஆய்வு சாத்தியம். இந்த முறை மிகவும் துல்லியமானது, பூமியின் மேற்பரப்பில் அர்த்தத்தில் இன்னும் நுட்பமான வேறுபாடுகளை அதன் உதவியுடன் கண்டறிய முடியும். ஒரே இணையாக இருந்தாலும், பூமியின் மேற்பரப்பில் வெவ்வேறு புள்ளிகளில் மதிப்புகள் வேறுபட்டவை என்று மாறிவிடும். புவியீர்ப்பு முடுக்கம் விநியோகத்தில் உள்ள இந்த முரண்பாடுகள் பூமியின் மேலோட்டத்தின் சீரற்ற அடர்த்தியுடன் தொடர்புடையவை. அவை அடர்த்தியின் பரவலைப் படிக்கப் பயன்படுகின்றன, குறிப்பாக, பூமியின் மேலோட்டத்தின் தடிமனில் ஏதேனும் கனிமங்கள் இருப்பதைக் கண்டறிய. சோவியத் இயற்பியலாளர் பியோட்டர் பெட்ரோவிச்சின் வழிகாட்டுதலின் கீழ், குர்ஸ்க் காந்த ஒழுங்கின்மை (தொகுதி II, § 130 ஐப் பார்க்கவும்) என்று அழைக்கப்படும் பகுதியில் சோவியத் ஒன்றியத்தில் அடர்த்தியான வெகுஜனங்களின் நிகழ்வை தீர்மானிக்கக்கூடிய விரிவான ஈர்ப்பு மாற்றங்கள் மேற்கொள்ளப்பட்டன. லாசரேவ். பூமியின் காந்தப்புலத்தின் ஒழுங்கின்மை பற்றிய தரவுகளுடன் இணைந்து, இந்த கிராவிமெட்ரிக் தரவு, குர்ஸ்க் காந்த மற்றும் ஈர்ப்பு முரண்பாடுகளை தீர்மானிக்கும் இரும்பு வெகுஜனங்களின் நிகழ்வின் விநியோகத்தை நிறுவுவதை சாத்தியமாக்கியது.

ஒரு சீரான புவியீர்ப்பு புலத்தில் எடையற்ற எடையற்ற நூலில் (உடலின் எடையுடன் ஒப்பிடும்போது அதன் நிறை மிகக் குறைவு) தொங்கும் பொருள் புள்ளி (உடல்) கொண்ட ஒரு இயந்திர அமைப்பு, கணித ஊசல் என்று அழைக்கப்படுகிறது (மற்றொரு பெயர் ஆஸிலேட்டர்) . இந்த சாதனத்தின் பிற வகைகள் உள்ளன. ஒரு நூலுக்கு பதிலாக, எடையற்ற கம்பியைப் பயன்படுத்தலாம். ஒரு கணித ஊசல் பல சுவாரஸ்யமான நிகழ்வுகளின் சாரத்தை தெளிவாக வெளிப்படுத்த முடியும். ஊசலாட்டத்தின் சிறிய வீச்சுடன், அதன் இயக்கம் ஹார்மோனிக் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

இயந்திர அமைப்பு பற்றிய பொதுவான தகவல்கள்

இந்த ஊசல் ஊசலாட்ட காலத்திற்கான சூத்திரம் டச்சு விஞ்ஞானி ஹியூஜென்ஸ் (1629-1695) என்பவரால் பெறப்பட்டது. I. நியூட்டனின் சமகாலத்தவர் இந்த இயந்திர அமைப்பை மிகவும் விரும்பினார். 1656ல் முதல் ஊசல் கடிகாரத்தை உருவாக்கினார். அவர்கள் அந்த நேரங்களுக்கு விதிவிலக்கான துல்லியத்துடன் நேரத்தை அளந்தனர். இந்த கண்டுபிடிப்பு உடல் பரிசோதனைகள் மற்றும் நடைமுறை நடவடிக்கைகளின் வளர்ச்சியில் மிக முக்கியமான கட்டமாக மாறியது.

ஊசல் சமநிலை நிலையில் இருந்தால் (செங்குத்தாக தொங்கும்), அது நூல் பதற்றத்தின் சக்தியால் சமப்படுத்தப்படும். நீட்டிக்க முடியாத நூலில் ஒரு தட்டையான ஊசல் என்பது இணைப்புடன் இரண்டு டிகிரி சுதந்திரம் கொண்ட ஒரு அமைப்பாகும். நீங்கள் ஒரு கூறுகளை மாற்றினால், அதன் அனைத்து பகுதிகளின் பண்புகளும் மாறுகின்றன. எனவே, நூல் ஒரு கம்பியால் மாற்றப்பட்டால், இந்த இயந்திர அமைப்பு 1 டிகிரி சுதந்திரத்தை மட்டுமே கொண்டிருக்கும். ஒரு கணித ஊசல் என்ன பண்புகள் உள்ளன? இந்த எளிய அமைப்பில், குழப்பம் ஒரு குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியின் செல்வாக்கின் கீழ் எழுகிறது. இடைநீக்க புள்ளி நகராமல், ஆனால் ஊசலாடும் போது, ​​ஊசல் ஒரு புதிய சமநிலை நிலையைக் கொண்டுள்ளது. விரைவான மேல் மற்றும் கீழ் அலைவுகளுடன், இந்த இயந்திர அமைப்பு ஒரு நிலையான தலைகீழான நிலையைப் பெறுகிறது. அவளுக்கும் சொந்தப் பெயர் உண்டு. இது கபிட்சாவின் ஊசல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஊசல் பண்புகள்

கணித ஊசல் மிகவும் சுவாரஸ்யமான பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது. அவை அனைத்தும் அறியப்பட்ட இயற்பியல் விதிகளால் உறுதிப்படுத்தப்பட்டுள்ளன. வேறு எந்த ஊசல் ஊசலாட்டத்தின் காலம் உடலின் அளவு மற்றும் வடிவம், இடைநீக்க புள்ளிக்கும் ஈர்ப்பு மையத்திற்கும் இடையிலான தூரம், இந்த புள்ளியுடன் தொடர்புடைய வெகுஜன விநியோகம் போன்ற பல்வேறு சூழ்நிலைகளைப் பொறுத்தது. அதனால்தான் தொங்கும் உடலின் காலத்தை தீர்மானிப்பது மிகவும் கடினமான பணியாகும். ஒரு கணித ஊசல் காலத்தை கணக்கிடுவது மிகவும் எளிதானது, அதன் சூத்திரம் கீழே கொடுக்கப்படும். ஒத்த இயந்திர அமைப்புகளின் அவதானிப்புகளின் விளைவாக, பின்வரும் ஒழுங்குமுறைகளை நிறுவ முடியும்:

ஊசலின் ஒரே நீளத்தை பராமரிக்கும் போது, ​​​​வெவ்வேறு எடைகள் இடைநிறுத்தப்பட்டால், அவற்றின் அலைவுகளின் காலம் ஒரே மாதிரியாக மாறும், இருப்பினும் அவற்றின் வெகுஜனங்கள் பெரிதும் வேறுபடும். எனவே, அத்தகைய ஊசல் காலம் சுமையின் வெகுஜனத்தைப் பொறுத்தது அல்ல.

கணினியைத் தொடங்கும்போது, ​​​​ஊசல் மிகப் பெரியதாக இல்லாமல், வெவ்வேறு கோணங்களால் திசைதிருப்பப்பட்டால், அது அதே காலகட்டத்தில் ஊசலாடத் தொடங்கும், ஆனால் வெவ்வேறு வீச்சுகளுடன். சமநிலையின் மையத்திலிருந்து விலகல்கள் மிகப் பெரியதாக இல்லாத வரை, அவற்றின் வடிவத்தில் உள்ள அலைவுகள் இணக்கமானவற்றுக்கு மிகவும் நெருக்கமாக இருக்கும். அத்தகைய ஊசலின் காலம் எந்த வகையிலும் அலைவு வீச்சு சார்ந்து இல்லை. இந்த இயந்திர அமைப்பின் இந்த சொத்து ஐசோக்ரோனிசம் என்று அழைக்கப்படுகிறது (கிரேக்க "க்ரோனோஸ்" - நேரம், "ஐசோஸ்" - சமம்).

கணித ஊசல் காலம்

இந்த காட்டி இயற்கையான அலைவுகளின் காலத்தை குறிக்கிறது. சிக்கலான சொற்கள் இருந்தபோதிலும், செயல்முறை மிகவும் எளிமையானது. ஒரு கணித ஊசல் நூலின் நீளம் L ஆகவும், இலவச வீழ்ச்சி முடுக்கம் g ஆகவும் இருந்தால், இந்த மதிப்பு இதற்கு சமம்:

சிறியவற்றின் காலம் எந்த வகையிலும் ஊசல் நிறை மற்றும் அலைவுகளின் வீச்சு ஆகியவற்றைச் சார்ந்தது அல்ல. இந்த வழக்கில், ஊசல் நீளம் குறைக்கப்பட்ட ஒரு கணித ஊசல் போல் நகரும்.

ஒரு கணித ஊசல் ஊசலாட்டங்கள்

ஒரு கணித ஊசல் ஊசலாடுகிறது, இது ஒரு எளிய வேறுபாடு சமன்பாட்டால் விவரிக்கப்படலாம்:

x + ω2 பாவம் x = 0,

இதில் x (t) என்பது அறியப்படாத செயல்பாடாகும் (இது ரேடியன்களில் வெளிப்படுத்தப்படும் நேரத்தில் t இல் குறைந்த சமநிலை நிலையில் இருந்து விலகும் கோணம்); ω என்பது ஊசலின் அளவுருக்களிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படும் ஒரு நேர்மறை மாறிலி (ω = √g/L, இங்கு g என்பது ஈர்ப்பு முடுக்கம் மற்றும் L என்பது கணித ஊசல் (இடைநீக்கம்) நீளம்.

சமநிலை நிலைக்கு (ஹார்மோனிக் சமன்பாடு) அருகிலுள்ள சிறிய அலைவுகளின் சமன்பாடு இதுபோல் தெரிகிறது:

x + ω2 பாவம் x = 0

ஊசல் ஊசலாட்ட இயக்கங்கள்

சிறிய அலைவுகளை உருவாக்கும் ஒரு கணித ஊசல் ஒரு சைனூசாய்டு வழியாக நகரும். இரண்டாவது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு அத்தகைய இயக்கத்தின் அனைத்து தேவைகளையும் அளவுருக்களையும் பூர்த்தி செய்கிறது. பாதையைத் தீர்மானிக்க, நீங்கள் வேகத்தையும் ஒருங்கிணைப்பையும் குறிப்பிட வேண்டும், அதிலிருந்து சுயாதீன மாறிலிகள் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன:

x \u003d ஒரு பாவம் (θ 0 + ωt),

இதில் θ 0 என்பது ஆரம்ப கட்டம், A என்பது அலைவு வீச்சு, ω என்பது இயக்கத்தின் சமன்பாட்டிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படும் சுழற்சி அதிர்வெண்.

கணித ஊசல் (பெரிய வீச்சுகளுக்கான சூத்திரங்கள்)

இந்த இயந்திர அமைப்பு, அதன் அலைவுகளை குறிப்பிடத்தக்க வீச்சுடன் உருவாக்குகிறது, இது மிகவும் சிக்கலான இயக்க விதிகளுக்கு உட்பட்டது. அத்தகைய ஊசலுக்கு, அவை சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகின்றன:

sin x/2 = u * sn(ωt/u),

எங்கே sn என்பது ஜேக்கபியன் சைன், இது உங்களுக்கானது< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2,

இதில் ε = E/mL2 (mL2 என்பது ஊசல் ஆற்றல்).

நேரியல் அல்லாத ஊசல்களின் அலைவு காலம் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

இதில் Ω = π/2 * ω/2K(u), K என்பது நீள்வட்ட ஒருங்கிணைப்பு, π - 3,14.

செப்பரிக்ஸ் உடன் ஊசல் இயக்கம்

ஒரு பிரிப்பான் என்பது இரு பரிமாண கட்ட இடைவெளியைக் கொண்ட ஒரு இயக்கவியல் அமைப்பின் ஒரு பாதையாகும். கணித ஊசல் அதனுடன் அவ்வப்போது நகர்கிறது. முடிவில்லாத தொலைதூர நேரத்தில், அது பூஜ்ஜிய வேகத்துடன் தீவிர மேல் நிலையில் இருந்து பக்கமாக விழுகிறது, பின்னர் படிப்படியாக அதை எடுக்கிறது. அது இறுதியில் நின்று, அதன் அசல் நிலைக்குத் திரும்புகிறது.

ஊசல் அலைவுகளின் வீச்சு எண்ணை நெருங்கினால் π , இது கட்டத் தளத்தின் இயக்கம் பிரிவினையை நெருங்குகிறது என்பதைக் குறிக்கிறது. இந்த வழக்கில், ஒரு சிறிய உந்து சக்தியின் செயல்பாட்டின் கீழ், இயந்திர அமைப்பு குழப்பமான நடத்தையை வெளிப்படுத்துகிறது.

கணித ஊசல் ஒரு குறிப்பிட்ட கோணம் φ உடன் சமநிலை நிலையில் இருந்து விலகும் போது, ​​Fτ = -mg sin φ ஈர்ப்பு விசையின் தொடுநிலை விசை எழுகிறது. கழித்தல் அடையாளம் என்பது இந்த தொடுநிலை கூறு ஊசல் விலகலில் இருந்து எதிர் திசையில் இயக்கப்படுகிறது. L ஆரம் கொண்ட வட்டத்தின் வளைவுடன் ஊசல் இடமாற்றம் x ஆல் குறிக்கப்படும் போது, ​​அதன் கோண இடப்பெயர்ச்சி φ = x/L க்கு சமமாக இருக்கும். கணிப்புகள் மற்றும் சக்திக்கான இரண்டாவது விதி, விரும்பிய மதிப்பைக் கொடுக்கும்:

mg τ = Fτ = -mg sinx/L

இந்த உறவின் அடிப்படையில், இந்த ஊசல் ஒரு நேரியல் அல்லாத அமைப்பு என்பதைக் காணலாம், ஏனெனில் அதை அதன் சமநிலை நிலைக்குத் திருப்ப முனையும் விசை எப்போதும் இடப்பெயர்ச்சி x க்கு அல்ல, மாறாக x/L க்கு விகிதாசாரமாக இருக்கும்.

கணித ஊசல் சிறிய அலைவுகளை உருவாக்கும் போது மட்டுமே அது ஒரு ஹார்மோனிக் ஆஸிலேட்டராகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இது ஹார்மோனிக் அதிர்வுகளை நிகழ்த்தும் திறன் கொண்ட ஒரு இயந்திர அமைப்பாக மாறும். இந்த தோராயமானது 15-20° கோணங்களுக்கு நடைமுறையில் செல்லுபடியாகும். பெரிய அலைவீச்சுகள் கொண்ட ஊசல் அலைவுகள் இணக்கமானவை அல்ல.

ஊசல் சிறிய அலைவுகளுக்கான நியூட்டனின் விதி

கொடுக்கப்பட்ட இயந்திர அமைப்பு சிறிய அதிர்வுகளை நிகழ்த்தினால், நியூட்டனின் 2வது விதி இப்படி இருக்கும்:

mg τ = Fτ = -m* g/L* x.

இதன் அடிப்படையில், கணித ஊசல் ஒரு கழித்தல் அடையாளத்துடன் அதன் இடப்பெயர்ச்சிக்கு விகிதாசாரமாகும் என்று நாம் முடிவு செய்யலாம். இந்த நிலைதான் இந்த அமைப்பு ஒரு ஹார்மோனிக் ஆஸிலேட்டராக மாறுகிறது. இடப்பெயர்ச்சி மற்றும் முடுக்கம் இடையே உள்ள விகிதாசார காரணியின் மாடுலஸ் வட்ட அதிர்வெண்ணின் சதுரத்திற்கு சமம்:

ω02 = g/L; ω0 = √g/L.

இந்த சூத்திரம் இந்த வகை ஊசல்களின் சிறிய அலைவுகளின் இயற்கையான அதிர்வெண்ணை பிரதிபலிக்கிறது. இதன் அடிப்படையில்,

T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.

ஆற்றல் பாதுகாப்பு சட்டத்தின் அடிப்படையில் கணக்கீடுகள்

ஊசல் பண்புகளை ஆற்றல் பாதுகாப்பு விதியைப் பயன்படுத்தி விவரிக்கலாம். இந்த வழக்கில், ஈர்ப்பு துறையில் ஊசல் இதற்கு சமம் என்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

மொத்த இயக்கவியல் அல்லது அதிகபட்ச சாத்தியம்: Epmax = Ekmsx = E

ஆற்றல் பாதுகாப்பு விதி எழுதப்பட்ட பிறகு, சமன்பாட்டின் வலது மற்றும் இடது பக்கங்களின் வழித்தோன்றல் எடுக்கப்படுகிறது:

மாறிலிகளின் வழித்தோன்றல் 0 என்பதால், பின்னர் (Ep + Ek)" = 0. தொகையின் வழித்தோன்றல் வழித்தோன்றல்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" ​​= mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2*2v*v" = mv*α,

எனவே:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + mα) = 0.

கடைசி சூத்திரத்தின் அடிப்படையில், நாம் காண்கிறோம்: α = - g/L*x.

கணித ஊசல் நடைமுறை பயன்பாடு

முடுக்கம் புவியியல் அட்சரேகையுடன் மாறுபடும், ஏனெனில் பூமியின் மேலோட்டத்தின் அடர்த்தி கிரகம் முழுவதும் ஒரே மாதிரியாக இருக்காது. அதிக அடர்த்தி கொண்ட பாறைகள் ஏற்படும் இடங்களில், அது ஓரளவு அதிகமாக இருக்கும். ஒரு கணித ஊசல் முடுக்கம் பெரும்பாலும் புவியியல் ஆய்வுக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. இது பல்வேறு கனிமங்களைத் தேடப் பயன்படுகிறது. ஊசலின் ஊசலாட்டங்களின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடுவதன் மூலம், பூமியின் குடலில் நிலக்கரி அல்லது தாதுவைக் காணலாம். இத்தகைய புதைபடிவங்கள் அவற்றின் அடியில் உள்ள தளர்வான பாறைகளை விட அதிக அடர்த்தி மற்றும் வெகுஜனத்தைக் கொண்டிருப்பதே இதற்குக் காரணம்.

சாக்ரடீஸ், அரிஸ்டாட்டில், பிளேட்டோ, புளூட்டார்ச், ஆர்க்கிமிடிஸ் போன்ற முக்கிய விஞ்ஞானிகளால் கணித ஊசல் பயன்படுத்தப்பட்டது. இந்த இயந்திர அமைப்பு ஒரு நபரின் தலைவிதியையும் வாழ்க்கையையும் பாதிக்கும் என்று அவர்களில் பலர் நம்பினர். ஆர்க்கிமிடிஸ் தனது கணக்கீடுகளில் ஒரு கணித ஊசல் பயன்படுத்தினார். இப்போதெல்லாம், பல அமானுஷ்யவாதிகள் மற்றும் உளவியலாளர்கள் தங்கள் தீர்க்கதரிசனங்களை நிறைவேற்ற அல்லது காணாமல் போனவர்களைத் தேட இந்த இயந்திர முறையைப் பயன்படுத்துகின்றனர்.

புகழ்பெற்ற பிரெஞ்சு வானியலாளர் மற்றும் இயற்கை விஞ்ஞானி C. Flammarion தனது ஆராய்ச்சிக்கு கணித ஊசல் ஒன்றையும் பயன்படுத்தினார். அவரது உதவியுடன் ஒரு புதிய கிரகத்தின் கண்டுபிடிப்பு, துங்குஸ்கா விண்கல்லின் தோற்றம் மற்றும் பிற முக்கிய நிகழ்வுகளை கணிக்க முடிந்தது என்று அவர் கூறினார். இரண்டாம் உலகப் போரின் போது ஜெர்மனியில் (பெர்லின்) ஒரு சிறப்பு ஊசல் நிறுவனம் வேலை செய்தது. இன்று, முனிச் இன்ஸ்டிடியூட் ஆஃப் பாராசைக்காலஜி இதே போன்ற ஆராய்ச்சியில் ஈடுபட்டுள்ளது. இந்த நிறுவனத்தின் ஊழியர்கள் ஊசல் மூலம் தங்கள் வேலையை "ரேடிஸ்டீசியா" என்று அழைக்கிறார்கள்.

கணித ஊசல்எடையற்ற மற்றும் நீட்டிக்க முடியாத நூலில் இடைநிறுத்தப்பட்ட பொருள் புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது ஒரு இடைநீக்கத்துடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் புவியீர்ப்பு புலத்தில் (அல்லது பிற விசை) அமைந்துள்ளது.

ஒரு கணித ஊசலின் ஊசலாட்டங்களை ஒரு செயலற்ற குறிப்பு சட்டத்தில் படிக்கிறோம், அதனுடன் தொடர்புடைய அதன் இடைநீக்கத்தின் புள்ளி ஓய்வில் உள்ளது அல்லது ஒரே மாதிரியாக ஒரு நேர் கோட்டில் நகர்கிறது. காற்று எதிர்ப்பின் சக்தியை நாம் புறக்கணிப்போம் (ஒரு சிறந்த கணித ஊசல்). ஆரம்பத்தில், ஊசல் சமநிலை நிலையில் C இல் ஓய்வில் உள்ளது. இந்த வழக்கில், அதன் மீது செயல்படும் புவியீர்ப்பு விசை மற்றும் நூலின் நெகிழ்ச்சி F?ynp விசை ஆகியவை பரஸ்பரம் ஈடுசெய்யப்படுகின்றன.

நாம் ஊசல் சமநிலை நிலையிலிருந்து வெளியே கொண்டு வருகிறோம் (உதாரணமாக, நிலை A க்கு திசை திருப்புகிறோம்) மற்றும் ஆரம்ப வேகம் இல்லாமல் போகலாம் (படம் 1). இந்த வழக்கில், படைகள் மற்றும் ஒருவருக்கொருவர் சமநிலை இல்லை. ஈர்ப்பு விசையின் தொடுநிலை கூறு, ஊசல் மீது செயல்படுகிறது, அது ஒரு தொடு முடுக்கம் கொடுக்கிறது a?? (கணித ஊசலின் பாதைக்கு தொடுகோடு வழியாக இயக்கப்பட்ட மொத்த முடுக்கத்தின் கூறு), மற்றும் ஊசல் முழுமையான மதிப்பில் அதிகரிக்கும் வேகத்துடன் சமநிலை நிலையை நோக்கி நகரத் தொடங்குகிறது. புவியீர்ப்பு விசையின் தொடுநிலை கூறு இவ்வாறு மீட்டெடுக்கும் விசையாகும். ஈர்ப்பு விசையின் இயல்பான கூறு மீள் விசைக்கு எதிராக நூல் வழியாக இயக்கப்படுகிறது. இதன் விளைவாக வரும் விசை மற்றும் ஊசல் சாதாரண முடுக்கம் கூறுகிறது, இது திசைவேக திசையன் திசையை மாற்றுகிறது, மேலும் ஊசல் வில் ABCD உடன் நகரும்.

ஊசல் சமநிலை நிலை C ஐ நெருங்கும் போது, ​​தொடுநிலை கூறுகளின் மதிப்பு சிறியதாகிறது. சமநிலை நிலையில், அது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், மேலும் வேகம் அதன் அதிகபட்ச மதிப்பை அடைகிறது, மேலும் ஊசல் மந்தநிலையால் மேலும் நகர்கிறது, வளைவுடன் மேல்நோக்கி உயரும். இந்த வழக்கில், கூறு வேகத்திற்கு எதிராக இயக்கப்படுகிறது. விலகல் a கோணத்தின் அதிகரிப்புடன், சக்தியின் மாடுலஸ் அதிகரிக்கிறது, மற்றும் வேகத்தின் மாடுலஸ் குறைகிறது, மற்றும் புள்ளி D இல் ஊசல் வேகம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாகிறது. ஊசல் ஒரு கணம் நின்று, பின்னர் சமநிலை நிலைக்கு எதிர் திசையில் நகரத் தொடங்குகிறது. மீண்டும் அதை மந்தநிலையால் கடந்து, ஊசல், மெதுவாக, புள்ளி A (உராய்வு இல்லை) அடையும், அதாவது. முழு ஊசலாட்டத்தை ஏற்படுத்துகிறது. அதன் பிறகு, ஊசல் இயக்கம் ஏற்கனவே விவரிக்கப்பட்ட வரிசையில் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படும்.

ஒரு கணித ஊசல் இலவச அலைவுகளை விவரிக்கும் ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்தில் ஊசல் B புள்ளியில் இருக்கட்டும். இந்த தருணத்தில் சமநிலை நிலையில் இருந்து அதன் இடப்பெயர்ச்சி S என்பது வில் CB இன் நீளத்திற்கு சமம் (அதாவது S = |CB|). இடைநீக்க நூலின் நீளத்தை l எனவும், ஊசல் நிறை m எனவும் குறிப்போம்.

படம் 1, எங்கே என்று காட்டுகிறது. சிறிய கோணங்களில் () ஊசல் விலகல், எனவே

ஈர்ப்பு விசையின் தொடுநிலை கூறு சமநிலை நிலையை நோக்கி செலுத்தப்படுவதால் இந்த சூத்திரத்தில் கழித்தல் குறி வைக்கப்படுகிறது, மேலும் இடப்பெயர்ச்சி சமநிலை நிலையில் இருந்து கணக்கிடப்படுகிறது.

நியூட்டனின் இரண்டாவது விதியின்படி. இந்த சமன்பாட்டின் திசையன் அளவுகளை நாம் கணித ஊசல் பாதையில் தொடுகோடு திசையில் திட்டமிடுகிறோம்

இந்த சமன்பாடுகளிலிருந்து நாம் பெறுகிறோம்

ஒரு கணித ஊசல் இயக்கத்தின் டைனமிக் சமன்பாடு. ஒரு கணித ஊசலின் தொடுநிலை முடுக்கம் அதன் இடப்பெயர்ச்சிக்கு விகிதாசாரமாகும் மற்றும் சமநிலை நிலையை நோக்கி செலுத்தப்படுகிறது. இந்த சமன்பாட்டை இவ்வாறு எழுதலாம்

ஹார்மோனிக் அலைவுகளின் சமன்பாட்டுடன் ஒப்பிடுதல் , கணித ஊசல் ஹார்மோனிக் அலைவுகளை உருவாக்குகிறது என்று நாம் முடிவு செய்யலாம். ஊசல் கருதப்படும் ஊசலாட்டங்கள் உள் சக்திகளின் செயல்பாட்டின் கீழ் ஏற்பட்டதால், இவை ஊசல் இலவச அலைவுகளாகும். இதன் விளைவாக, சிறிய விலகல்களைக் கொண்ட ஒரு கணித ஊசல் இலவச ஊசலாட்டங்கள் இணக்கமானவை.

குறிக்கவும்

ஊசல் அலைவுகளின் சுழற்சி அதிர்வெண்.

ஊசல் அலைவு காலம். எனவே,

இந்த வெளிப்பாடு ஹைஜென்ஸ் சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது கணித ஊசலின் இலவச அலைவுகளின் காலத்தை தீர்மானிக்கிறது. சமநிலை நிலையில் இருந்து விலகல் சிறிய கோணங்களில், கணித ஊசல் அலைவு காலம் என்று சூத்திரத்தில் இருந்து பின்வருமாறு:

1. அதன் நிறை மற்றும் அலைவுகளின் வீச்சு சார்ந்து இல்லை;
2. ஊசல் நீளத்தின் வர்க்க மூலத்திற்கு விகிதாசாரமாகவும், இலவச வீழ்ச்சி முடுக்கத்தின் வர்க்க மூலத்திற்கு நேர்மாறான விகிதாசாரமாகவும் இருக்கும்.

இது ஜி. கலிலியோவால் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட ஒரு கணித ஊசல் சிறிய அலைவுகளின் சோதனை விதிகளுடன் ஒத்துப்போகிறது.

இரண்டு நிபந்தனைகள் ஒரே நேரத்தில் பூர்த்தி செய்யப்படும் காலத்தை கணக்கிடுவதற்கு இந்த சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படலாம் என்பதை நாங்கள் வலியுறுத்துகிறோம்:

1. ஊசல் ஊசலாட்டங்கள் சிறியதாக இருக்க வேண்டும்;
2. ஊசலின் இடைநீக்கப் புள்ளி ஓய்வில் இருக்க வேண்டும் அல்லது அது அமைந்துள்ள செயலற்ற குறிப்புச் சட்டத்துடன் தொடர்புடைய நேர்கோட்டில் சீராக நகர வேண்டும்.

ஒரு கணித ஊசலின் இடைநீக்க புள்ளி முடுக்கத்துடன் நகர்ந்தால், நூலின் பதற்றம் விசை மாறுகிறது, இது மீட்டெடுக்கும் சக்தியில் மாற்றத்திற்கு வழிவகுக்கிறது, இதன் விளைவாக, அலைவுகளின் அதிர்வெண் மற்றும் காலம். கணக்கீடுகள் காட்டுவது போல, இந்த வழக்கில் ஊசல் அலைவு காலத்தை சூத்திரத்தால் கணக்கிடலாம்

செயலற்ற குறிப்பு சட்டத்தில் ஊசல் "பயனுள்ள" முடுக்கம் எங்கே. இது ஈர்ப்பு முடுக்கம் மற்றும் திசையன் எதிர் திசையன் ஆகியவற்றின் வடிவியல் தொகைக்கு சமம், அதாவது. அதை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்

வரையறை

கணித ஊசல்- இது ஒரு ஊசலாட்ட அமைப்பு, இது ஒரு இயற்பியல் ஊசல் ஒரு சிறப்பு வழக்கு, இது முழு நிறை ஒரு புள்ளியில் குவிந்துள்ளது, ஊசல் வெகுஜன மையம்.

பொதுவாக ஒரு கணித ஊசல் நீண்ட எடையற்ற மற்றும் நீட்டிக்க முடியாத நூலில் இடைநிறுத்தப்பட்ட பந்தாக குறிப்பிடப்படுகிறது. இது புவியீர்ப்பு செல்வாக்கின் கீழ் ஹார்மோனிக் அலைவுகளை செய்யும் ஒரு சிறந்த அமைப்பாகும். ஒரு கணித ஊசல் ஒரு நல்ல தோராயமானது ஒரு மெல்லிய நீண்ட நூலில் ஊசலாடும் ஒரு பெரிய சிறிய பந்து ஆகும்.

ஒரு நீண்ட சங்கிலியில் சரவிளக்கின் ஊஞ்சலைக் கருத்தில் கொண்டு, கணித ஊசல் பண்புகளை முதன்முதலில் ஆய்வு செய்தவர் கலிலியோ. ஒரு கணித ஊசல் ஊசலாட்டத்தின் காலம் வீச்சு சார்ந்து இல்லை என்று அவர் பெற்றார். ஊசல் தொடங்கப்பட்டால், அது வெவ்வேறு சிறிய கோணங்களில் திசைதிருப்பப்பட்டால், அதன் ஊசலாட்டங்கள் அதே காலப்பகுதியில் ஏற்படும், ஆனால் வெவ்வேறு வீச்சுகளுடன். இந்த பண்பு ஐசோக்ரோனிசம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு கணித ஊசல் இயக்கத்தின் சமன்பாடு

கணித ஊசல் ஒரு ஹார்மோனிக் ஆஸிலேட்டருக்கு ஒரு சிறந்த எடுத்துக்காட்டு. இது ஹார்மோனிக் அலைவுகளைச் செய்கிறது, அவை வேறுபட்ட சமன்பாட்டால் விவரிக்கப்படுகின்றன:

\[\ddot(\varphi )+(\omega )^2_0\varphi =0\ \இடது(1\வலது),\]

இதில் $\varphi $ என்பது சமநிலை நிலையிலிருந்து திரியின் (இடைநீக்கம்) விலகல் கோணமாகும்.

சமன்பாடு (1)க்கான தீர்வு $\varphi (t):$ செயல்பாடு ஆகும்

\[\varphi (t)=(\varphi )_0(\cos \left((\omega )_0t+\alpha \right)\left(2\right),\ )\]

$\alpha $ - அலைவுகளின் ஆரம்ப கட்டம்; $(\varphi )_0$ - அலைவு வீச்சு; $(\omega )_0$ - சுழற்சி அதிர்வெண்.

ஒரு ஹார்மோனிக் ஆஸிலேட்டரின் அலைவு என்பது கால இயக்கத்திற்கு ஒரு முக்கிய எடுத்துக்காட்டு. கிளாசிக்கல் மற்றும் குவாண்டம் இயக்கவியலின் பல சிக்கல்களில் ஆஸிலேட்டர் ஒரு மாதிரியாக செயல்படுகிறது.

சுழற்சி அதிர்வெண் மற்றும் ஒரு கணித ஊசல் அலைவு காலம்

ஒரு கணித ஊசல் சுழற்சி அதிர்வெண் அதன் இடைநீக்கத்தின் நீளத்தை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது:

\[\ (\omega )_0=\sqrt(\frac(g)(l))\left(3\right).\]

இந்த வழக்கில் கணித ஊசல் ($T$) அலைவு காலம் இதற்கு சமம்:

வெளிப்பாடு (4) ஒரு கணித ஊசல் காலம் அதன் இடைநீக்கத்தின் நீளம் (இடைநீக்க புள்ளியிலிருந்து சுமையின் ஈர்ப்பு மையத்திற்கான தூரம்) மற்றும் இலவச வீழ்ச்சி முடுக்கம் ஆகியவற்றை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது.

ஒரு கணித ஊசல்க்கான ஆற்றல் சமன்பாடு

ஒரு அளவு சுதந்திரத்துடன் இயந்திர அமைப்புகளின் அதிர்வுகளைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது, ​​இது பெரும்பாலும் நியூட்டனின் இயக்கத்தின் தொடக்கச் சமன்பாடு அல்ல, ஆனால் ஆற்றல் சமன்பாடு என எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது. இது இசையமைப்பது எளிதானது என்பதால், இது நேரத்தின் முதல் வரிசையின் சமன்பாடு. அமைப்பில் உராய்வு இல்லை என்று வைத்துக் கொள்வோம். இலவச அலைவுகளை (சிறிய அலைவுகள்) உருவாக்கும் கணித ஊசல்க்கான ஆற்றல் பாதுகாப்பு விதி பின்வருமாறு எழுதப்படலாம்:

$E_k$ என்பது ஊசல் இயக்க ஆற்றல்; $E_p$ - ஊசல் சாத்தியமான ஆற்றல்; $v$ - ஊசல் வேகம்; $x$ - $l$ ஆரம் கொண்ட வட்டத்தின் வளைவுடன் சமநிலை நிலையில் இருந்து ஊசல் எடையின் நேரியல் இடப்பெயர்ச்சி, அதே நேரத்தில் கோணம் - இடப்பெயர்வு $x$ உடன் தொடர்புடையது:

\[\varphi =\frac(x)(l)\left(6\right).\]

ஒரு கணித ஊசல் சாத்தியமான ஆற்றலின் அதிகபட்ச மதிப்பு:

இயக்க ஆற்றலின் அதிகபட்ச மதிப்பு:

$h_m$ என்பது ஊசல் அதிகபட்ச தூக்கும் உயரம்; $x_m$ - சமநிலை நிலையில் இருந்து ஊசல் அதிகபட்ச விலகல்; $v_m=(\omega )_0x_m$ - அதிகபட்ச வேகம்.

தீர்வுக்கான சிக்கல்களின் எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1

உடற்பயிற்சி.சமநிலை நிலையை கடந்து செல்லும் போது ஒரு கணித ஊசல் பந்தின் இயக்கத்தின் வேகம் $v$ ஆக இருந்தால் அதன் அதிகபட்ச உயரம் என்ன?

தீர்வு.வரைவோம்.

பந்தின் சாத்தியமான ஆற்றல் அதன் சமநிலை நிலையில் (புள்ளி 0) பூஜ்ஜியமாக இருக்கட்டும். இந்த கட்டத்தில், பந்தின் வேகம் அதிகபட்சம் மற்றும் சிக்கலின் நிலையில் $v$ க்கு சமமாக இருக்கும். சமநிலை நிலைக்கு (புள்ளி A) மேலே பந்தின் அதிகபட்ச தூக்கும் புள்ளியில், பந்தின் வேகம் பூஜ்ஜியம், சாத்தியமான ஆற்றல் அதிகபட்சம். பந்தின் கருதப்படும் இரண்டு நிலைகளுக்கு ஆற்றல் பாதுகாப்பு விதியை எழுதுவோம்:

\[\frac(mv^2)(2)=mgh\ \left(1.1\right).\]

சமன்பாட்டிலிருந்து (1.1) விரும்பிய உயரத்தைக் காண்கிறோம்:

பதில்.$h=\frac(v^2)(2g)$

எடுத்துக்காட்டு 2

உடற்பயிற்சி.$l=1\ m$ நீளமுள்ள ஒரு கணித ஊசல் $T=2\ s$ க்கு சமமான காலத்துடன் ஊசலாடினால் ஈர்ப்பு விசையின் முடுக்கம் என்ன? கணித ஊசலின் ஊசலாட்டங்களை சிறியதாகக் கருதுங்கள்.\textit()

தீர்வு.சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான அடிப்படையாக, சிறிய அலைவுகளின் காலத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தை நாங்கள் எடுத்துக்கொள்கிறோம்:

அதிலிருந்து முடுக்கத்தை வெளிப்படுத்துவோம்:

ஈர்ப்பு முடுக்கம் கணக்கிடுவோம்:

பதில்.$g=9.87\ \frac(m)(s^2)$