Trójkąty

Trójkąt to figura składająca się z trzech punktów, które nie leżą na tej samej prostej oraz z trzech odcinków łączących te punkty parami. Punkty to tzw szczyty trójkąt, a segmenty są jego imprezy.

Rodzaje trójkątów

Trójkąt nazywa się równoramienny, jeśli jego dwie strony są równe. Te równe strony nazywane są boki, i wywoływana jest osoba trzecia podstawa trójkąt.

Nazywa się trójkąt, w którym wszystkie boki są równe równoboczny Lub prawidłowy.

Trójkąt nazywa się prostokątny, jeśli ma kąt prosty, to istnieje kąt 90°. Nazywa się bok trójkąta prostokątnego leżący naprzeciw kąta prostego przeciwprostokątna, pozostałe dwie strony są nazywane nogi.

Trójkąt nazywa się ostry, jeśli wszystkie trzy jego kąty są ostre, to znaczy mniejsze niż 90°.

Trójkąt nazywa się rozwarty, jeśli jeden z jego kątów jest rozwarty, to znaczy większy niż 90°.

Podstawowe linie trójkąta

Mediana

Mediana trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku tego trójkąta.

Własności środkowych trójkątów

Mediana dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych polach.

Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie, co dzieli każdą z nich w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka. Ten punkt nazywa się Środek ciężkości trójkąt.

Cały trójkąt jest podzielony przez jego środkowe na sześć równych trójkątów.

Dwusieczna

Dwusieczna kąta jest promieniem, który wychodzi z jego wierzchołka, przechodzi pomiędzy jego bokami i przecina zadany kąt na pół. Dwusieczna trójkąta nazywany dwusiecznym odcinkiem kąta trójkąta łączącym wierzchołek z punktem po przeciwnej stronie tego trójkąta.

Własności dwusiecznych trójkąta

Wysokość

Wysokość trójkąta to prostopadła poprowadzona od wierzchołka trójkąta do prostej zawierającej przeciwny bok tego trójkąta.

Własności wysokości trójkątów

W trójkąt prostokątny wysokość obliczona z wierzchołka kąta prostego dzieli go na dwa trójkąty, podobny oryginalny.

W ostry trójkąt odcięte są od niego dwie jego wysokości podobny trójkąty.

Mediana prostopadła

Nazywa się prostą przechodzącą przez środek odcinka prostopadłego do niej dwusieczna prostopadła do segmentu .

Własności dwusiecznych prostopadłych trójkąta

Każdy punkt dwusiecznej prostopadłej odcinka jest w jednakowej odległości od końców tego odcinka. Odwrotna sytuacja jest również prawdziwa: każdy punkt w równej odległości od końców odcinka leży na jego dwusiecznej prostopadłej.

Punkt przecięcia dwusiecznych prostopadłych poprowadzonych do boków trójkąta jest środkiem okrąg opisany na tym trójkącie.

Środkowa linia

Środkowa linia trójkąta nazywany odcinkiem łączącym środki jego dwóch boków.

Własność linii środkowej trójkąta

Linia środkowa trójkąta jest równoległa do jednego z jego boków i równa połowie tego boku.

Wzory i współczynniki

Znaki równości trójkątów

Dwa trójkąty są równe, jeśli są odpowiednio równe:

dwa boki i kąt między nimi;

dwa rogi i przylegająca do nich strona;

trzy strony.

Znaki równości trójkątów prostokątnych

Dwa trójkąt prostokątny są równe, jeśli są odpowiednio równe:

przeciwprostokątna i kąt ostry;

noga i przeciwny kąt;

noga i przyległy kąt;

dwa noga;

przeciwprostokątna I noga.

Podobieństwo trójkątów

Dwa trójkąty podobny jeżeli spełniony jest jeden z poniższych warunków, tzw oznaki podobieństwa:

dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom innego trójkąta;

dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków innego trójkąta, a kąty utworzone przez te boki są równe;

trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio proporcjonalne do trzech boków drugiego trójkąta.

W podobnych trójkątach odpowiednie linie ( wysokości, mediany, dwusieczne itp.) są proporcjonalne.

Twierdzenie o sinusach

Boki trójkąta są proporcjonalne do sinusów przeciwległych kątów, a współczynnik proporcjonalności jest równy średnica okrąg opisany w trójkącie:

Twierdzenie cosinus

Kwadrat boku trójkąta jest równy sumie kwadratów pozostałych dwóch boków minus dwukrotność iloczynu tych boków i cosinusa kąta między nimi:

A 2 = B 2 + C 2 - 2pne sałata

Wzory na pole trójkąta

Wolny trójkąt

a, b, c - boki; - kąt między bokami A I B;- półobwód; R- promień okręgu opisanego; R- promień okręgu wpisanego; S- kwadrat; H A - wysokość przesunięta na bok A.

Studiując matematykę, uczniowie zaczynają zapoznawać się z różnymi rodzajami kształtów geometrycznych. Dzisiaj porozmawiamy o różnych typach trójkątów.

Definicja

Figury geometryczne składające się z trzech punktów, które nie leżą na tej samej linii, nazywane są trójkątami.

Odcinki łączące punkty nazywane są bokami, a punkty wierzchołkami. Wierzchołki oznacza się wielkimi literami, np.: A, B, C.

Boki są oznaczone nazwami dwóch punktów, z których się składają - AB, BC, AC. Przecinając się, boki tworzą kąty. Dolna strona jest uważana za podstawę figury.

Ryż. 1. Trójkąt ABC.

Rodzaje trójkątów

Trójkąty są klasyfikowane według kątów i boków. Każdy typ trójkąta ma swoje własne właściwości.

W rogach znajdują się trzy rodzaje trójkątów:

• ostry kąt;
• prostokątny;
• rozwartokątny.

Wszystkie kąty ostry kąt trójkąty są ostre, to znaczy stopień każdego z nich nie jest większy niż 90 0.

Prostokątny trójkąt zawiera kąt prosty. Pozostałe dwa kąty będą zawsze ostre, ponieważ w przeciwnym razie suma kątów trójkąta przekroczy 180 stopni, a to jest niemożliwe. Strona przeciwna do kąta prostego nazywana jest przeciwprostokątną, a pozostałe dwie nazywane są nogami. Przeciwprostokątna jest zawsze większa niż noga.

Rozwarty trójkąt zawiera kąt rozwarty. Oznacza to, że kąt jest większy niż 90 stopni. Pozostałe dwa kąty w takim trójkącie będą ostre.

Ryż. 2. Rodzaje trójkątów w narożnikach.

Trójkąt pitagorejski to prostokąt, którego boki wynoszą 3, 4, 5.

Co więcej, większy bok to przeciwprostokątna.

Takie trójkąty są często używane do konstruowania prostych problemów z geometrii. Dlatego pamiętaj: jeśli dwa boki trójkąta są równe 3, to trzeci na pewno będzie 5. To uprości obliczenia.

Rodzaje trójkątów po bokach:

• równoboczny;
• równoramienny;
• wszechstronny.

Równoboczny trójkąt to trójkąt, w którym wszystkie boki są równe. Wszystkie kąty takiego trójkąta są równe 60 0, czyli zawsze są ostre.

Równoramienny trójkąt - trójkąt mający tylko dwa boki równe. Boki te nazywane są bocznymi, a trzecia nazywana jest podstawą. Ponadto kąty u podstawy trójkąta równoramiennego są równe i zawsze ostre.

Wszechstronny lub dowolny trójkąt to trójkąt, w którym wszystkie długości i wszystkie kąty nie są sobie równe.

Jeśli problem nie zawiera żadnych wyjaśnień dotyczących figury, ogólnie przyjmuje się, że mówimy o dowolnym trójkącie.

Ryż. 3. Rodzaje trójkątów po bokach.

Suma wszystkich kątów trójkąta, niezależnie od jego typu, wynosi 1800.

Naprzeciwko większego kąta znajduje się większy bok. A także długość dowolnego boku jest zawsze mniejsza niż suma jego dwóch pozostałych boków. Właściwości te potwierdza twierdzenie o nierówności trójkąta.

Istnieje koncepcja złotego trójkąta. Jest to trójkąt równoramienny, w którym dwa boki są proporcjonalne do podstawy i równe określonej liczbie. Na takiej figurze kąty są proporcjonalne do stosunku 2:2:1.

Zadanie:

Czy istnieje trójkąt o bokach 6 cm, 3 cm, 4 cm?

Rozwiązanie:

Aby rozwiązać to zadanie, należy skorzystać z nierówności a

Czego się nauczyliśmy?

Z materiału z zajęć z matematyki w klasie V dowiedzieliśmy się, że trójkąty klasyfikuje się ze względu na ich boki i wielkość kątów. Trójkąty mają pewne właściwości, które można wykorzystać do rozwiązywania problemów.

Standardowe oznaczenia

Trójkąt z wierzchołkami A, B I C jest oznaczony jako (patrz rysunek). Trójkąt ma trzy boki:

Długości boków trójkąta są oznaczone małymi literami łacińskimi (a, b, c):

Trójkąt ma następujące kąty:

Wartości kątów w odpowiednich wierzchołkach tradycyjnie oznacza się greckimi literami (α, β, γ).

Znaki równości trójkątów

Trójkąt na płaszczyźnie euklidesowej można jednoznacznie wyznaczyć (aż do zgodności) za pomocą następujących trójek elementów podstawowych:

1. a, b, γ (równość po obu stronach i kąt między nimi);
2. a, β, γ (równość boku i dwóch sąsiednich kątów);
3. a, b, c (równość z trzech stron).

Znaki równości trójkątów prostokątnych:

1. wzdłuż nogi i przeciwprostokątnej;
2. na dwóch nogach;
3. wzdłuż nogi i kąta ostrego;
4. wzdłuż przeciwprostokątnej i kąta ostrego.

Niektóre punkty trójkąta są „sparowane”. Na przykład istnieją dwa punkty, z których wszystkie boki są widoczne pod kątem 60° lub 120°. Nazywają się kropki Torricellego. Istnieją również dwa punkty, których rzuty na boki leżą w wierzchołkach regularnego trójkąta. Ten - Apoloniusz wskazuje. Punkty i tym podobne nazywane są Punkty Brocarda.

Bezpośredni

W każdym trójkącie środek ciężkości, ortocentrum i środek okręgu opisanego leżą na tej samej prostej, zwanej Linia Eulera.

Nazywa się linię prostą przechodzącą przez środek okręgu opisanego i punkt Lemoine'a Oś Brocarda. Leżą na nim punkty Apoloniusza. Punkt Torricellego i punkt Lemoine'a również leżą na tej samej prostej. Podstawy zewnętrznych dwusiecznych kątów trójkąta leżą na tej samej prostej, tzw oś dwusiecznych zewnętrznych. Punkty przecięcia prostych zawierających boki ortotrójkąta z liniami zawierającymi boki trójkąta również leżą na tej samej prostej. Ta linia nazywa się oś ortocentryczna, jest prostopadła do prostej Eulera.

Jeśli weźmiemy punkt na okręgu opisanym na trójkącie, to jego rzuty na boki trójkąta będą leżały na tej samej prostej, zwanej Simson ma rację ten punkt. Linie Simsona punktów diametralnie przeciwnych są prostopadłe.

Trójkąty

• Nazywa się trójkąt, którego wierzchołki są u podstaw poprowadzone przez dany punkt trójkąt Ceviana ten punkt.
• Nazywa się trójkąt, którego wierzchołki znajdują się w rzutach danego punktu na boki darń Lub trójkąt pedałowy ten punkt.
• Nazywa się trójkąt, którego wierzchołki znajdują się w drugich punktach przecięcia prostych przechodzących przez wierzchołki i danego punktu z okręgiem opisanym trójkąt obwodowy. Trójkąt obwodowy jest podobny do trójkąta darniowego.

Kręgi

• Wpisane koło- okrąg dotykający wszystkich trzech boków trójkąta. Ona jest jedyna. Nazywa się środek okręgu wpisanego w centrum.
• Okrąg- okrąg przechodzący przez wszystkie trzy wierzchołki trójkąta. Okrąg opisany jest również wyjątkowy.
• Wykreślić- okrąg dotykający jednego boku trójkąta i kontynuacja pozostałych dwóch boków. W trójkącie są trzy takie okręgi. Ich radykalnym środkiem jest środek okręgu wpisanego w trójkąt przyśrodkowy, tzw Punkt Spikera.

Środki trzech boków trójkąta, podstawy jego trzech wysokości i środki trzech odcinków łączących jego wierzchołki z ortocentrum leżą na jednym okręgu zwanym okrąg złożony z dziewięciu punktów Lub Koło Eulera. Środek dziewięciopunktowego okręgu leży na linii Eulera. Okrąg złożony z dziewięciu punktów styka się z okręgiem wpisanym i trzema okręgami. Nazywa się punkt styczności między okręgiem wpisanym a okręgiem dziewięciu punktów Punkt Feuerbacha. Jeśli z każdego wierzchołka położymy na zewnątrz trójkąta proste linie zawierające boki, ortozy o długości równej długości przeciwległym bokom, to wynikowe sześć punktów leży na tym samym okręgu - Koło Conwaya. W dowolny trójkąt można wpisać trzy okręgi w taki sposób, aby każde z nich stykało się z dwoma bokami trójkąta i dwoma innymi okręgami. Takie kręgi nazywane są Kręgi Malfattiego. Środki okręgów opisanych w sześciu trójkątach, na które trójkąt jest podzielony środkowymi, leżą na jednym okręgu, zwanym obwód Lamuna.

Trójkąt ma trzy okręgi, które stykają się z dwoma bokami trójkąta i okręgiem opisanym. Takie kręgi nazywane są półwpisany Lub Kręgi Verriera. Odcinki łączące punkty styczności okręgów Verriera z okręgiem opisanym przecinają się w jednym punkcie zwanym Punkt Verriera. Służy jako środek jednorodności, która przekształca okrąg opisany w okrąg wpisany. Punkty styku okręgów Verriera z bokami leżą na linii prostej przechodzącej przez środek okręgu wpisanego.

Odcinki łączące punkty styczności okręgu wpisanego z wierzchołkami przecinają się w jednym punkcie zwanym Punkt Gergonne, a odcinki łączące wierzchołki z punktami styczności okręgów są w Punkt Nagela.

Elipsy, parabole i hiperbole

Wpisany stożek (elipsa) i jego perspektywa

W trójkąt można wpisać nieskończoną liczbę stożków (elips, paraboli i hiperboli). Jeśli w trójkąt wpiszemy dowolny stożek i połączymy punkty styczne z przeciwległymi wierzchołkami, to powstałe proste przetną się w jednym punkcie zwanym perspektywa prycze. W każdy punkt płaszczyzny, który nie leży na boku ani na jego przedłużeniu, w tym miejscu wpisany jest stożek z perspektywą.

Opisana elipsa Steinera i ceviany przechodzące przez jej ogniska

W trójkąt można wpisać elipsę, która styka się bokami w środku. Taka elipsa nazywa się wpisana elipsa Steinera(jego perspektywą będzie środek ciężkości trójkąta). Nazywa się elipsą ograniczoną, która styka się z liniami przechodzącymi przez wierzchołki równoległe do boków opisane przez elipsę Steinera. Jeśli przekształcimy trójkąt w trójkąt foremny za pomocą transformacji afinicznej („skosu”), to jego wpisana i ograniczona elipsa Steinera przekształci się w wpisany i opisany okrąg. Linie Cheviana poprowadzone przez ogniska opisanej elipsy Steinera (punkty Scutina) są równe (twierdzenie Scutina). Ze wszystkich opisanych elips opisana elipsa Steinera ma najmniejsze pole, a ze wszystkich elips wpisanych największe pole ma wpisana elipsa Steinera.

Elipsa Brocarda i jej perspektywa – punkt Lemoine’a

Nazywa się elipsę z ogniskami w punktach Brocarda Elipsa Brocarda. Jej perspektywą jest punkt Lemoine’a.

Właściwości paraboli wpisanej

Parabola Kieperta

Perspektywy wpisanych parabol leżą na opisanej elipsie Steinera. Ognisko paraboli wpisanej leży na okręgu opisanym, a kierownica przechodzi przez ortocentrum. Nazywa się parabolą wpisaną w trójkąt, której kierownicą jest kierownica Eulera Parabola Kieperta. Jego perspektywą jest czwarty punkt przecięcia opisanego okręgu i opisanej elipsy Steinera, zwanej Punkt Steinera.

Hiperbola Kieperta

Jeżeli opisana hiperbola przechodzi przez punkt przecięcia wysokości, to jest równoboczna (to znaczy jej asymptoty są prostopadłe). Punkt przecięcia asymptot hiperboli równobocznej leży na okręgu dziewięciu punktów.

Transformacje

Jeśli linie przechodzące przez wierzchołki i jakiś punkt nie leżący na bokach oraz ich przedłużenia zostaną odbite względem odpowiednich dwusiecznych, to ich obrazy również przetną się w jednym punkcie, co nazywa się sprzężony izogonalnie pierwotny (jeżeli punkt leży na okręgu opisanym, to powstałe linie będą równoległe). Wiele par niezwykłych punktów jest sprzężonych izogonalnie: środek okręgu opisanego i ortocentrum, środek ciężkości i punkt Lemoine'a, punkty Brocarda. Punkty Apoloniusza są izogonalnie sprzężone z punktami Torricellego, a środek wpisanego okręgu jest izogonalnie sprzężony z samym sobą. Pod wpływem koniugacji izogonalnej linie proste przekształcają się w opisane stożki, a ograniczone stożki w linie proste. Zatem hiperbola Kieperta i oś Brocarda, hiperbola Jenzabeka i linia prosta Eulera, hiperbola Feuerbacha oraz linia środków okręgów wpisanych i opisanych są sprzężone izogonalnie. Okręgi opisane na trójkątach punktów sprzężonych izogonalnie pokrywają się. Ogniska elips wpisanych są sprzężone izogonalnie.

Jeśli zamiast ceviana symetrycznego weźmiemy ceviana, którego podstawa jest tak samo oddalona od środka boku jak podstawa pierwotnego, to takie ceviany również przetną się w jednym punkcie. Powstała w ten sposób transformacja nazywa się koniugacja izotomiczna. Konwertuje także linie proste na opisane stożki. Punkty Gergonne i Nagel są izotomicznie sprzężone. W przypadku transformacji afinicznych punkty sprzężone izotomicznie przekształcają się w punkty sprzężone izotomicznie. Przy koniugacji izotomicznej opisana elipsa Steinera przejdzie w nieskończenie odległą linię prostą.

Jeśli w odcinki odcięte bokami trójkąta od okręgu opisanego wpiszemy okręgi stykające się z bokami u podstaw cewiana poprowadzonego przez pewien punkt, a następnie połączymy punkty styczne tych okręgów z okręgiem opisanym o przeciwnych wierzchołkach, wtedy takie proste przetną się w jednym punkcie. Nazywa się transformację płaszczyzny, która dopasowuje punkt pierwotny do punktu wynikowego transformacja izokolowa. Skład koniugatów izogonalnych i izotomicznych jest kompozycją transformacji izokołowej samą w sobie. Ta kompozycja jest transformacją rzutową, która pozostawia boki trójkąta na miejscu i przekształca oś dwusiecznych zewnętrznych w linię prostą w nieskończoności.

Jeśli będziemy kontynuować boki trójkąta Cheviana pewnego punktu i weźmiemy ich punkty przecięcia z odpowiednimi bokami, wówczas powstałe punkty przecięcia będą leżeć na jednej prostej, zwanej trójliniowy polarny punkt wyjścia. Oś ortocentryczna jest trójliniowym biegunem ortocentrum; trójliniowy biegun środka okręgu wpisanego jest osią dwusiecznych zewnętrznych. Trójliniowe bieguny punktów leżących na opisanym stożku przecinają się w jednym punkcie (dla opisanego okręgu jest to punkt Lemoine'a, dla opisanej elipsy Steinera jest to środek ciężkości). Skład koniugatu izogonalnego (lub izotomicznego) i trójliniowego bieguna jest transformacją dualności (jeśli punkt izogonalnie (izotomicznie) sprzężony z punktem leży na trójliniowym biegunie punktu, wówczas trójliniowy biegun punktu jest izogonalnie (izotomicznie) sprzężony z punktem leży na trójliniowym biegunie punktu).

Kostki

Stosunki w trójkącie

Notatka: w tej sekcji, , są długościami trzech boków trójkąta, i , to kąty leżące odpowiednio naprzeciw tych trzech boków (kąty przeciwległe).

Nierówność trójkąta

W trójkącie niezdegenerowanym suma długości jego dwóch boków jest większa od długości trzeciego boku, w trójkącie zdegenerowanym jest równa. Innymi słowy, długości boków trójkąta są powiązane przez następujące nierówności:

Nierówność trójkąta jest jednym z aksjomatów metryk.

Twierdzenie o sumie kątów trójkąta

Twierdzenie o sinusach

gdzie R jest promieniem okręgu opisanego na trójkącie. Z twierdzenia wynika, że ​​jeśli a< b < c, то α < β < γ.

Twierdzenie cosinus

Twierdzenie styczne

Inne proporcje

Stosunki metryczne w trójkącie podano dla:

Rozwiązywanie trójkątów

Obliczanie nieznanych boków i kątów trójkąta na podstawie znanych było historycznie nazywane „rozwiązywaniem trójkątów”. Stosowane są powyższe ogólne twierdzenia trygonometryczne.

Pole trójkąta

Dla obszaru obowiązują następujące nierówności:

Obliczanie pola trójkąta w przestrzeni za pomocą wektorów

Niech wierzchołki trójkąta będą w punktach , , .

Przedstawmy wektor powierzchniowy . Długość tego wektora jest równa powierzchni trójkąta i jest skierowana prostopadle do płaszczyzny trójkąta:

Ustalmy , gdzie , , to rzuty trójkąta na płaszczyzny współrzędnych. W której

i podobnie

Pole trójkąta wynosi .

Alternatywą jest obliczenie długości boków (z twierdzenia Pitagorasa), a następnie skorzystanie ze wzoru Herona.

Twierdzenia o trójkącie

Twierdzenie Desarguesa: jeśli dwa trójkąty są perspektywiczne (linie przechodzące przez odpowiednie wierzchołki trójkątów przecinają się w jednym punkcie), to odpowiadające im boki przecinają się na tej samej linii.

Twierdzenie Sondy: jeśli dwa trójkąty są perspektywiczne i ortologiczne (prostopadłe poprowadzone od wierzchołków jednego trójkąta do boków przeciwnych odpowiednim wierzchołkom trójkąta i odwrotnie), to oba środki ortologii (punkty przecięcia tych prostopadłych) i środek perspektywy leżą na tej samej linii prostej, prostopadłej do osi perspektywy (prosta z twierdzenia Desarguesa).

Dzielenie trójkątów na ostre, prostokątne i rozwarte. Klasyfikacja według proporcji dzieli trójkąty na skalenowe, równoboczne i równoramienne. Co więcej, każdy trójkąt jednocześnie należy do dwóch. Na przykład może być jednocześnie prostokątny i skalenowy.

Przy określaniu typu według rodzaju kątów należy zachować szczególną ostrożność. Trójkąt rozwarty nazywamy trójkątem, w którym jeden z kątów jest większy niż 90 stopni. Trójkąt prostokątny można obliczyć, mając jeden kąt prosty (równy 90 stopni). Aby jednak sklasyfikować trójkąt jako ostry, musisz upewnić się, że wszystkie trzy jego kąty są ostre.

Określenie gatunku trójkąt zgodnie ze współczynnikiem kształtu, najpierw musisz obliczyć długości wszystkich trzech boków. Jeśli jednak, zgodnie z warunkiem, długości boków nie zostaną ci podane, kąty mogą ci pomóc. Trójkąt skalenowy to taki, w którym wszystkie trzy boki mają różną długość. Jeśli długości boków nie są znane, trójkąt można sklasyfikować jako skalenowy, jeśli wszystkie trzy jego kąty są różne. Trójkąt skalenowy może być rozwarty, prawy lub ostry.

Trójkąt równoramienny to taki, w którym dwa z trzech boków są sobie równe. Jeśli długości boków nie są podane, użyj dwóch równych kątów jako wskazówki. Trójkąt równoramienny, podobnie jak trójkąt skalenowy, może być rozwarty, prostokątny lub ostry.

Tylko trójkąt może być równoboczny, jeśli wszystkie trzy boki mają tę samą długość. Wszystkie jego kąty są również sobie równe, a każdy z nich jest równy 60 stopni. Z tego jasno wynika, że ​​trójkąty równoboczne są zawsze ostre.

Wskazówka 2: Jak określić trójkąt rozwarty i ostry

Najprostszym wielokątem jest trójkąt. Tworzą go trzy punkty leżące w tej samej płaszczyźnie, ale nie na tej samej linii prostej, połączone parami odcinkami. Jednakże trójkąty występują w różnych typach i dlatego mają różne właściwości.

Instrukcje

Zwyczajowo rozróżnia się trzy typy: rozwarty, ostry i prostokątny. To tak jak z narożnikami. Trójkąt rozwarty to trójkąt, w którym jeden z kątów jest rozwarty. Kąt rozwarty to kąt większy niż dziewięćdziesiąt stopni, ale mniejszy niż sto osiemdziesiąt. Na przykład w trójkącie ABC kąt ABC wynosi 65°, kąt BCA wynosi 95°, a kąt CAB wynosi 20°. Kąty ABC i CAB są mniejsze niż 90°, ale kąt BCA jest większy, co oznacza, że ​​trójkąt jest rozwarty.

Trójkąt ostry to trójkąt, w którym wszystkie kąty są ostre. Kąt ostry to kąt mniejszy niż dziewięćdziesiąt stopni i większy niż zero stopni. Na przykład w trójkącie ABC kąt ABC wynosi 60°, kąt BCA wynosi 70°, a kąt CAB wynosi 50°. Wszystkie trzy kąty mają mniej niż 90°, co oznacza, że ​​jest to trójkąt. Jeśli wiesz, że trójkąt ma wszystkie boki równe, oznacza to, że wszystkie jego kąty są również sobie równe i wynoszą sześćdziesiąt stopni. Odpowiednio wszystkie kąty w takim trójkącie są mniejsze niż dziewięćdziesiąt stopni i dlatego taki trójkąt jest ostry.

Jeśli jeden z kątów w trójkącie ma dziewięćdziesiąt stopni, oznacza to, że nie jest on ani szerokokątny, ani ostry. To jest trójkąt prostokątny.

Jeśli rodzaj trójkąta zależy od stosunku boków, będą to trójkąty równoboczne, pochyłe i równoramienne. W trójkącie równobocznym wszystkie boki są równe, a to, jak się dowiedziałeś, oznacza, że ​​trójkąt jest ostry. Jeśli trójkąt ma tylko dwa boki równe lub boki nie są równe, może być rozwarty, prostokątny lub ostry. Oznacza to, że w takich przypadkach konieczne jest obliczenie lub zmierzenie kątów i wyciągnięcie wniosków zgodnie z punktami 1, 2 lub 3.

Wideo na ten temat

Źródła:

• rozwarty trójkąt

Równość dwóch lub więcej trójkątów odpowiada przypadkowi, gdy wszystkie boki i kąty tych trójkątów są równe. Istnieje jednak wiele prostszych kryteriów udowadniania tej równości.

Będziesz potrzebować

• Podręcznik do geometrii, kartka papieru, ołówek, kątomierz, linijka.

Instrukcje

Otwórz podręcznik do geometrii dla siódmej klasy w części dotyczącej kryteriów zgodności trójkątów. Przekonasz się, że istnieje wiele podstawowych znaków potwierdzających równość dwóch trójkątów. Jeśli dwa trójkąty, których równość jest sprawdzana, są dowolne, wówczas istnieją dla nich trzy główne znaki równości. Jeśli znane są dodatkowe informacje o trójkątach, wówczas główne trzy funkcje są uzupełniane kilkoma innymi. Dotyczy to na przykład przypadku równości trójkątów prostokątnych.

Przeczytaj pierwszą zasadę dotyczącą zgodności trójkątów. Jak wiadomo, pozwala nam to uważać trójkąty za równe, jeśli można udowodnić, że dowolny kąt i dwa sąsiednie boki dwóch trójkątów są równe. Aby zrozumieć to prawo, narysuj na kartce papieru za pomocą kątomierza dwa identyczne kąty właściwe utworzone przez dwa promienie wychodzące z jednego punktu. Za pomocą linijki zmierz w obu przypadkach te same boki od góry narysowanego kąta. Za pomocą kątomierza zmierz powstałe kąty dwóch powstałych trójkątów, upewniając się, że są równe.

Aby nie uciekać się do takich praktycznych środków, aby zrozumieć test na równość trójkątów, przeczytaj dowód pierwszego testu na równość. Faktem jest, że każda reguła dotycząca równości trójkątów ma ścisły dowód teoretyczny, po prostu nie jest wygodnie używać jej do zapamiętywania zasad.

Przeczytaj drugi test na zgodność trójkątów. Stwierdza, że ​​dwa trójkąty będą równe, jeśli dowolny jeden bok i dwa sąsiednie kąty dwóch takich trójkątów są równe. Aby zapamiętać tę zasadę, wyobraź sobie narysowany bok trójkąta i dwa sąsiednie kąty. Wyobraź sobie, że długości boków narożników stopniowo rosną. W końcu przetną się, tworząc trzeci róg. W tym zadaniu mentalnym ważne jest, aby punkt przecięcia boków, które są zwiększane mentalnie, a także powstały kąt, były jednoznacznie określone przez trzeci bok i dwa sąsiednie kąty.

Jeśli nie masz żadnych informacji o kątach badanych trójkątów, użyj trzeciego kryterium równości trójkątów. Zgodnie z tą zasadą dwa trójkąty uważa się za równe, jeśli wszystkie trzy boki jednego z nich są równe odpowiednim trzem bokom drugiego. Zatem zasada ta mówi, że długości boków trójkąta jednoznacznie określają wszystkie kąty trójkąta, co oznacza, że ​​jednoznacznie określają sam trójkąt.

Wideo na ten temat

Geometria mówi nam, czym jest trójkąt, kwadrat i sześcian. We współczesnym świecie wszyscy bez wyjątku uczą się tego w szkołach. Ponadto nauką bezpośrednio badającą, czym jest trójkąt i jakie ma właściwości, jest trygonometria. Szczegółowo bada wszelkie zjawiska związane z danymi.O tym, czym dzisiaj jest trójkąt, porozmawiamy w naszym artykule. Poniżej zostaną opisane ich rodzaje oraz niektóre twierdzenia z nimi związane.

Co to jest trójkąt? Definicja

To jest płaski wielokąt. Ma trzy rogi, jak wynika z jego nazwy. Ma także trzy boki i trzy wierzchołki, pierwszy z nich to odcinki, drugi to punkty. Wiedząc, jakie są dwa kąty, możesz znaleźć trzeci, odejmując sumę pierwszych dwóch od liczby 180.

Jakie są rodzaje trójkątów?

Można je klasyfikować według różnych kryteriów.

Przede wszystkim dzieli się je na ostre, rozwarte i prostokątne. Te pierwsze mają kąty ostre, czyli takie, które są mniejsze niż 90 stopni. W kątach rozwartych jeden z kątów jest rozwarty, to znaczy taki, który jest równy więcej niż 90 stopni, pozostałe dwa są ostre. Do ostrych trójkątów zaliczają się także trójkąty równoboczne. Takie trójkąty mają wszystkie boki i kąty równe. Wszystkie mają miarę 60 stopni, można to łatwo obliczyć, dzieląc sumę wszystkich kątów (180) przez trzy.

Trójkąt prostokątny

Nie sposób nie mówić o tym, czym jest trójkąt prostokątny.

Taka figura ma jeden kąt równy 90 stopni (prosty), to znaczy dwa jej boki są prostopadłe. Pozostałe dwa kąty są ostre. Mogą być równe, wtedy będzie to równoramienny. Twierdzenie Pitagorasa jest powiązane z trójkątem prostokątnym. Za jego pomocą możesz znaleźć trzecią stronę, znając pierwsze dwie. Zgodnie z tym twierdzeniem, jeśli dodamy kwadrat jednej nogi do kwadratu drugiej, otrzymamy kwadrat przeciwprostokątnej. Kwadrat nogi można obliczyć odejmując kwadrat znanej nogi od kwadratu przeciwprostokątnej. Mówiąc o tym, czym jest trójkąt, możemy również przypomnieć sobie trójkąt równoramienny. To taki, w którym dwa boki są równe i dwa kąty również są równe.

Co to jest noga i przeciwprostokątna?

Noga to jeden z boków trójkąta tworzącego kąt 90 stopni. Przeciwprostokątna to pozostała strona przeciwna do kąta prostego. Możesz opuścić z niego prostopadłość na nogę. Stosunek sąsiedniej strony do przeciwprostokątnej nazywa się cosinusem, a stronę przeciwną nazywa się sinusem.

- jakie są jego cechy?

Jest prostokątny. Jego nogi mają trzy i cztery, a przeciwprostokątna pięć. Jeśli zobaczysz, że nogi danego trójkąta są równe trzy i cztery, możesz być pewien, że przeciwprostokątna będzie równa pięć. Ponadto, korzystając z tej zasady, można łatwo ustalić, że noga będzie równa trzy, jeśli druga będzie równa cztery, a przeciwprostokątna będzie równa pięć. Aby udowodnić to stwierdzenie, możesz zastosować twierdzenie Pitagorasa. Jeśli dwie nogi są równe 3 i 4, to 9 + 16 = 25, pierwiastek z 25 to 5, czyli przeciwprostokątna jest równa 5. Trójkąt egipski jest również trójkątem prostokątnym, którego boki są równe 6, 8 i 10; 9, 12 i 15 oraz inne liczby w stosunku 3:4:5.

Czym jeszcze mógłby być trójkąt?

Trójkąty można również wpisać lub opisać. Figurę, wokół której opisano okrąg, nazywa się wpisaną, a wszystkie jej wierzchołki są punktami leżącymi na okręgu. Trójkąt opisany to taki, w który wpisano okrąg. Wszystkie jego boki stykają się z nim w pewnych punktach.

Jak się znajduje?

Powierzchnię dowolnej figury mierzy się w jednostkach kwadratowych (metry kwadratowe, milimetry kwadratowe, centymetry kwadratowe, decymetry kwadratowe itp.). Wartość tę można obliczyć na różne sposoby, w zależności od rodzaju trójkąta. Pole dowolnej figury z kątami można znaleźć, mnożąc jej bok przez prostopadłą upuszczoną na nią z przeciwległego rogu i dzieląc tę ​​figurę przez dwa. Wartość tę można również znaleźć, mnożąc obie strony. Następnie pomnóż tę liczbę przez sinus kąta znajdującego się między tymi bokami i podziel wynik przez dwa. Znając wszystkie boki trójkąta, ale nie znając jego kątów, możesz znaleźć obszar w inny sposób. Aby to zrobić, musisz znaleźć połowę obwodu. Następnie na przemian odejmij od tej liczby różne strony i pomnóż otrzymane cztery wartości. Następnie znajdź na podstawie numeru, który wyszedł. Pole wpisanego trójkąta można obliczyć, mnożąc wszystkie boki i dzieląc uzyskaną liczbę przez liczbę opisaną wokół niego, pomnożoną przez cztery.

Pole opisanego trójkąta oblicza się w ten sposób: mnożymy połowę obwodu przez promień okręgu w niego wpisanego. Jeśli wówczas jego pole można obliczyć w następujący sposób: podnieś bok, pomnóż wynikową liczbę przez pierwiastek z trzech, a następnie podziel tę liczbę przez cztery. W podobny sposób możesz obliczyć wysokość trójkąta, w którym wszystkie boki są równe, w tym celu musisz pomnożyć jeden z nich przez pierwiastek z trzech, a następnie podzielić tę liczbę przez dwa.

Twierdzenia dotyczące trójkąta

Główne twierdzenia powiązane z tą figurą to opisane powyżej twierdzenie Pitagorasa i cosinusy. Drugie (o sinusach) polega na tym, że jeśli podzielisz dowolny bok przez sinus kąta leżącego naprzeciw niego, otrzymasz promień okręgu opisanego wokół niego pomnożony przez dwa. Trzecia (cosinusy) polega na tym, że jeśli od sumy kwadratów dwóch boków odejmiemy ich iloczyn pomnożony przez dwa i cosinus kąta znajdującego się między nimi, otrzymamy kwadrat trzeciego boku.

Trójkąt Dali – co to jest?

Wielu w obliczu tej koncepcji początkowo myśli, że jest to pewnego rodzaju definicja w geometrii, ale wcale tak nie jest. Trójkąt Dali to potoczna nazwa trzech miejsc ściśle związanych z życiem słynnego artysty. Jego „szczytami” są dom, w którym mieszkał Salvador Dali, zamek, który podarował swojej żonie, a także muzeum malarstwa surrealistycznego. Podczas zwiedzania tych miejsc można dowiedzieć się wielu ciekawostek na temat tego wyjątkowego twórcy, znanego na całym świecie.