Prawa Keplera: pierwsze, drugie i trzecie. Pierwsze prawo Keplera Pierwsze prawo Keplera w sformułowaniu Newtona

I. Kepler całe życie próbował udowodnić, że nasz Układ Słoneczny jest rodzajem sztuki mistycznej. Początkowo próbował wykazać, że budowa układu przypomina wielościany foremne z geometrii starożytnej Grecji. W czasach Keplera istniało sześć planet. Wierzono, że są one umieszczone w kryształowych kulach. Według naukowca kule te zostały rozmieszczone w taki sposób, aby wielościany o odpowiednim kształcie mieściły się dokładnie pomiędzy sąsiednimi. Pomiędzy Jowiszem a Saturnem umieszczono sześcian wpisany w środowisko zewnętrzne, w które wpisana została kula. Pomiędzy Marsem a Jowiszem znajduje się czworościan itp. Po wielu latach obserwacji ciał niebieskich pojawiły się prawa Keplera, który obalił jego teorię wielościanów.

Prawa

Geocentryczny system ptolemejski świata został zastąpiony systemem typu heliocentrycznego stworzonym przez Kopernika. Jeszcze później Kepler zidentyfikował obiekty wokół Słońca.

Po wielu latach obserwacji planet wyłoniły się trzy prawa Keplera. Przyjrzyjmy się im w artykule.

Pierwszy

Zgodnie z pierwszym prawem Keplera wszystkie planety w naszym układzie poruszają się po zamkniętej krzywej zwanej elipsą. Nasza oprawa znajduje się w jednym z ognisk elipsy. Są dwa z nich: są to dwa punkty wewnątrz krzywej, suma odległości, z których do dowolnego punktu elipsy jest stała. Po długich obserwacjach naukowcowi udało się odkryć, że orbity wszystkich planet naszego układu znajdują się niemal w tej samej płaszczyźnie. Niektóre ciała niebieskie poruszają się po orbitach eliptycznych bliskich okręgowi. I tylko Pluton i Mars poruszają się po bardziej wydłużonych orbitach. Na tej podstawie pierwsze prawo Keplera nazwano prawem elips.

Drugie prawo

Badanie ruchu ciał pozwala naukowcowi ustalić, że jest on większy w okresie, gdy ciało znajduje się bliżej Słońca, a mniejszy, gdy znajduje się w maksymalnej odległości od Słońca (są to punkty peryhelium i aphelium).

Drugie prawo Keplera stwierdza, co następuje: każda planeta porusza się w płaszczyźnie przechodzącej przez środek naszej gwiazdy. Jednocześnie wektor promienia łączący Słońce i badaną planetę opisuje równe obszary.

Zatem jasne jest, że ciała poruszają się wokół żółtego karła nierównomiernie, osiągając maksymalną prędkość w peryhelium i minimalną w aphelium. W praktyce widać to w ruchu Ziemi. Co roku na początku stycznia nasza planeta porusza się szybciej podczas przejścia przez peryhelium. Z tego powodu ruch Słońca wzdłuż ekliptyki następuje szybciej niż w innych porach roku. Na początku lipca Ziemia przechodzi przez aphelium, powodując wolniejszy ruch Słońca wzdłuż ekliptyki.

Trzecie prawo

Zgodnie z trzecim prawem Keplera istnieje związek między okresem obrotu planety wokół gwiazdy a jej średnią odległością od niej. Naukowiec zastosował to prawo do wszystkich planet naszego układu.

Wyjaśnienie praw

Prawa Keplera można było wyjaśnić dopiero po odkryciu przez Newtona prawa grawitacji. Według niej obiekty fizyczne biorą udział w oddziaływaniu grawitacyjnym. Ma uniwersalną uniwersalność, której podlegają wszystkie obiekty typu materialnego i pola fizyczne. Według Newtona dwa nieruchome ciała działają na siebie z siłą proporcjonalną do iloczynu ich ciężaru i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu przestrzeni między nimi.

Oburzony ruch

Ruch ciał w naszym Układzie Słonecznym jest kontrolowany przez siłę grawitacji żółtego karła. Gdyby ciała przyciągała jedynie siła Słońca, wówczas planety poruszałyby się wokół niego dokładnie według praw ruchu Keplera. Ten rodzaj ruchu nazywany jest niezakłóconym lub keplerowskim.

W rzeczywistości wszystkie obiekty w naszym układzie są przyciągane nie tylko przez naszą gwiazdę, ale także przez siebie nawzajem. Dlatego żadne z ciał nie może poruszać się dokładnie po elipsie, hiperboli lub okręgu. Jeśli ciało odbiega podczas ruchu od praw Keplera, nazywa się to zaburzeniem, a sam ruch nazywa się zaburzonym. To właśnie jest uważane za prawdziwe.

Orbity ciał niebieskich nie są stałymi elipsami. Podczas przyciągania przez inne ciała elipsa orbity ulega zmianie.

Wkład I. Newtona

Izaak Newton był w stanie wyprowadzić prawo powszechnego ciążenia z praw ruchu planet Keplera. Aby rozwiązać problemy kosmiczno-mechaniczne, Newton wykorzystał uniwersalną grawitację.

Po Izaaku postęp w mechanice nieba polegał na rozwoju nauk matematycznych stosowanych do rozwiązywania równań wyrażających prawa Newtona. Naukowcowi udało się ustalić, że grawitacja planety zależy od jej odległości i masy, ale wskaźniki takie jak temperatura i skład nie mają żadnego wpływu.

W swojej pracy naukowej Newton wykazał, że trzecie prawo Keplera nie jest całkowicie dokładne. Pokazał, że przy wykonywaniu obliczeń ważne jest uwzględnienie masy planety, ponieważ ruch i ciężar planet są ze sobą powiązane. Ta harmoniczna kombinacja pokazuje związek pomiędzy prawami Keplera i prawem grawitacji zidentyfikowanym przez Newtona.

Astrodynamika

Zastosowanie praw Newtona i Keplera stało się podstawą powstania astrodynamiki. Jest to dział mechaniki niebieskiej zajmujący się badaniem ruchu sztucznie stworzonych ciał kosmicznych, a mianowicie: satelitów, stacji międzyplanetarnych i różnych statków.

Astrodynamika zajmuje się obliczaniem orbit statków kosmicznych, a także określa, jakie parametry wystrzelić, na jaką orbitę wystrzelić, jakie manewry należy wykonać i zaplanować wpływ grawitacji na statki. A to nie wszystkie praktyczne zadania, jakie stoją przed astrodynamiką. Wszystkie uzyskane wyniki są wykorzystywane do przeprowadzania różnorodnych misji kosmicznych.

Mechanika nieba, która bada ruch naturalnych ciał kosmicznych pod wpływem grawitacji, jest ściśle związana z astrodynamiką.

Orbity

Przez orbitę rozumie się trajektorię punktu w danej przestrzeni. W mechanice niebieskiej powszechnie przyjmuje się, że tor ciała w polu grawitacyjnym innego ciała ma znacznie większą masę. W prostokątnym układzie współrzędnych trajektoria może mieć kształt przekroju stożkowego, tj. być reprezentowane przez parabolę, elipsę, okrąg, hiperbolę. W takim przypadku ostrość będzie pokrywać się ze środkiem układu.

Przez długi czas uważano, że orbity powinny być okrągłe. Przez długi czas naukowcy próbowali wybrać dokładnie kołową opcję ruchu, ale nie udało im się. I tylko Kepler był w stanie wyjaśnić, że planety nie poruszają się po orbicie kołowej, ale po wydłużonej. Umożliwiło to odkrycie trzech praw, które mogłyby opisać ruch ciał niebieskich na orbicie. Kepler odkrył następujące elementy orbity: kształt orbity, jej nachylenie, położenie płaszczyzny orbity ciała w przestrzeni, wielkość orbity i odniesienie czasowe. Wszystkie te elementy wyznaczają orbitę, niezależnie od jej kształtu. Podczas wykonywania obliczeń główną płaszczyzną współrzędnych może być płaszczyzna ekliptyki, galaktyki, równika planetarnego itp.

Liczne badania pokazują, że geometryczny kształt orbit może być eliptyczny i okrągły. Istnieje podział na zamknięte i otwarte. W zależności od kąta nachylenia orbity do płaszczyzny równika ziemskiego, orbity mogą być polarne, nachylone i równikowe.

W zależności od okresu rewolucji wokół ciała orbity mogą być synchroniczne lub synchroniczne ze słońcem, synchroniczne-codzienne, quasi-synchroniczne.

Jak powiedział Kepler, wszystkie ciała mają określoną prędkość ruchu, tj. prędkość orbitalna. Może być stała przez całą rewolucję wokół ciała lub zmianę.

W mikrokosmosie, podczas oddziaływania cząstek elementarnych – atomów, cząsteczek – dominują oddziaływania jądrowe i elektromagnetyczne. Obserwacja grawitacyjnego oddziaływania cząstek elementarnych jest prawie niemożliwa. Naukowcy muszą uciekać się do bardzo wielkich sztuczek, aby zmierzyć oddziaływanie grawitacyjne ciał o masie setek, tysięcy kilogramów. Jednak w skali kosmicznej wszystkie inne oddziaływania, z wyjątkiem grawitacyjnych, są praktycznie niezauważalne. Ruch planet, satelitów, asteroid, komet i gwiazd w galaktyce jest całkowicie opisywany przez oddziaływanie grawitacyjne.

Zaproponował umieszczenie Ziemi w centrum Wszechświata, a ruchy planet opisywano za pomocą dużych i małych okręgów, które nazwano epicyklami ptolemejskimi.

Dopiero w XVI wieku Kopernik zaproponował zastąpienie geocentrycznego modelu świata Ptolemeusza heliocentrycznym. Oznacza to, że umieść Słońce w centrum Wszechświata i załóż, że wszystkie planety i Ziemia wraz z nimi poruszają się wokół Słońca (ryc. 2).

Ryż. 2. Heliocentryczny model N. Kopernika ()

Na początku XVII wieku niemiecki astronom Johannes Kepler, po przetworzeniu ogromnej ilości informacji astronomicznych uzyskanych przez duńskiego astronoma Tycho Brahe, zaproponował własne prawa empiryczne, które odtąd nazwano prawami Keplera.

Wszystkie planety Układu Słonecznego poruszają się po krzywych zwanych elipsami. Elipsa to jedna z najprostszych krzywych matematycznych, tzw. krzywa drugiego rzędu. W średniowieczu nazywano je przecięciami stożkowymi - jeśli przetniesz stożek lub walec z określoną płaszczyzną, otrzymasz tę samą krzywą, po której poruszają się planety Układu Słonecznego.

Ryż. 3. Krzywa ruchu planet ()

Krzywa ta (ryc. 3) ma dwa wyróżnione punkty, które nazywane są ogniskami. Dla każdego punktu elipsy suma odległości od niego do ognisk jest taka sama. Środek Słońca (F) znajduje się w jednym z tych ognisk; punkt krzywej położony najbliżej Słońca (P) nazywany jest peryhelium, a najdalszy punkt (A) nazywany jest aphelium. Odległość od peryhelium do środka elipsy nazywa się półosią wielką, a odległość pionowa od środka elipsy do elipsy nazywa się półosią małą elipsy.

Gdy planeta porusza się po elipsie, wektor promienia łączący środek Słońca z tą planetą opisuje pewien obszar. Przykładowo, w czasie ∆t planeta przemieszczała się z jednego punktu do drugiego, wektor promienia opisywał pewien obszar ∆S.

Ryż. 4. Drugie prawo Keplera ()

Drugie prawo Keplera stwierdza: w równych okresach wektory promieni planet opisują równe obszary.

Rysunek 4 przedstawia kąt ∆Θ, jest to kąt obrotu wektora promienia w pewnym czasie ∆t oraz impuls planety (), skierowany stycznie do trajektorii, rozłożony na dwie składowe - składową impulsu wzdłuż wektora promienia () i składową impulsu w kierunku , prostopadle do wektora promienia (⊥).

Wykonajmy obliczenia związane z drugim prawem Keplera. Stwierdzenie Keplera, że ​​równe obszary przemierzane są w równych odstępach czasu, oznacza, że ​​stosunek tych wielkości jest stały. Stosunek tych wielkości nazywany jest często prędkością sektorową; jest to szybkość zmiany położenia wektora promienia. Jaka jest powierzchnia ∆S, którą wektor promienia rozciąga się w czasie ∆t? Jest to obszar trójkąta, którego wysokość jest w przybliżeniu równa wektorowi promienia, a podstawa jest w przybliżeniu równa r ∆ω, korzystając z tego stwierdzenia, zapisujemy wartość ∆S w postaci ½ wysokości na podstawę i podziel przez ∆t, otrzymamy wyrażenie:

, jest to szybkość zmiany kąta, czyli prędkość kątowa.

Ostateczny wynik:

,

Kwadrat odległości do środka Słońca pomnożony przez prędkość kątową ruchu w danym momencie jest wartością stałą.

Ale jeśli pomnożymy wyrażenie r 2 ω przez masę ciała m, otrzymamy wartość, którą można przedstawić jako iloczyn długości wektora promienia i pędu w kierunku poprzecznym do wektora promienia:

Wielkość ta, równa iloczynowi wektora promienia i składowej prostopadłej impulsu, nazywa się „pędem pędu”.

Drugie prawo Keplera to stwierdzenie, że moment pędu w polu grawitacyjnym jest wielkością zachowaną. Prowadzi to do prostego, ale bardzo ważnego stwierdzenia: w punktach najmniejszej i największej odległości od środka Słońca, czyli aphelium i peryhelium, prędkość jest kierowana prostopadle do wektora promienia, a więc iloczynu wektora promienia a prędkość w jednym punkcie jest równa temu iloczynowi w innym punkcie.

Trzecie prawo Keplera stwierdza, że ​​stosunek kwadratu okresu obrotu planety wokół Słońca do sześcianu półosi wielkiej jest taki sam dla wszystkich planet Układu Słonecznego.

Ryż. 5. Dowolne trajektorie planet ()

Rysunek 5 przedstawia dwie dowolne trajektorie planet. Jedna ma wyraźną postać elipsy o długości półosi (a), druga ma postać koła o promieniu (R), czas obrotu wzdłuż którejkolwiek z tych trajektorii, czyli okres obrotu, jest powiązany z długością półosi lub promieniem. A jeśli elipsa zamienia się w okrąg, wówczas półoś wielka staje się promieniem tego okręgu. Trzecie prawo Keplera mówi, że w przypadku, gdy długość półosi wielkiej jest równa promieniowi koła, okresy obrotu planet wokół Słońca będą takie same.

W przypadku koła stosunek ten można obliczyć, korzystając z drugiej zasady Newtona i prawa ruchu ciała po okręgu, stała ta wynosi 4π 2 podzielone przez stałą powszechnego ciążenia (G) i masę Słońca ( M).

Zatem jasne jest, że jeśli uogólnimy oddziaływania grawitacyjne, tak jak zrobił to Newton, i założymy, że wszystkie ciała uczestniczą w oddziaływaniach grawitacyjnych, prawa Keplera można rozszerzyć na ruch satelitów wokół Ziemi, na ruch satelitów wokół dowolnej innej planety, a nawet do ruchu satelitów Księżyców wokół środka Księżyca. Dopiero po prawej stronie tego wzoru litera M będzie oznaczać masę ciała przyciągającego satelity. Wszystkie satelity danego obiektu kosmicznego będą miały taki sam stosunek kwadratu okresu obiegu (T 2) do sześcianu półosi wielkiej (a 3). Prawo to można rozszerzyć na wszystkie ciała we Wszechświecie, a nawet na gwiazdy tworzące naszą Galaktykę.

W drugiej połowie XX wieku zauważono, że niektóre gwiazdy położone dość daleko od centrum naszej Galaktyki nie przestrzegają tego prawa Keplera. Oznacza to, że nie wiemy wszystkiego o działaniu grawitacji w całej naszej Galaktyce. Jedno z możliwych wyjaśnień, dlaczego odległe gwiazdy poruszają się szybciej, niż wymaga tego trzecie prawo Keplera, jest następujące: nie widzimy całej masy Galaktyki. Znaczna jej część może składać się z materii, której nie można zaobserwować za pomocą naszych instrumentów, która nie oddziałuje elektromagnetycznie, nie emituje i nie pochłania światła, a jedynie uczestniczy w oddziaływaniu grawitacyjnym. Substancję tę nazwano ukrytą masą lub ciemną materią. Problematyka ciemnej materii to jeden z głównych problemów fizyki XXI wieku.

Temat następnej lekcji: Układy punktów materialnych, środek masy, prawo ruchu środka masy.

Bibliografia

1. Tikhomirova SA, Yavorsky B.M. Fizyka (poziom podstawowy) - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Kabardin O.F., Orłow VA, Evenchik EE Physics-10. M.: Edukacja, 2010.
3. Otwarta fizyka ()

1. Elementy.ru ().
2. Fizyka.ru ().
3. Ency.info().

Praca domowa

1. Zdefiniuj pierwsze prawo Keplera.
2. Zdefiniuj drugie prawo Keplera.
3. Zdefiniuj trzecie prawo Keplera.

Miał niezwykłe zdolności matematyczne. Na początku XVII wieku w wyniku wieloletnich obserwacji ruchów planet, a także na podstawie analizy obserwacji astronomicznych Tycho Brahe, Kepler odkrył trzy prawa, które później nazwano jego imieniem .

Pierwsze prawo Keplera(prawo elips). Każda planeta porusza się po elipsie, a w jednym jej ognisku znajduje się Słońce.

Drugie prawo Keplera(prawo równych pól). Każda planeta porusza się w płaszczyźnie przechodzącej przez środek Słońca i w równych okresach wektor promienia łączący Słońce i planetę zakreśla równe obszary.

Trzecie prawo Keplera(prawo harmoniczne). Kwadraty okresów orbit planet wokół Słońca są proporcjonalne do sześcianów półosi wielkich ich orbit eliptycznych.

Przyjrzyjmy się bliżej każdemu z praw.

Pierwsze prawo Keplera (prawo elips)

Każda planeta Układu Słonecznego krąży po elipsie, której jednym z ognisk jest Słońce.

Pierwsze prawo opisuje geometrię trajektorii orbit planet. Wyobraźmy sobie przekrój powierzchni bocznej stożka przez płaszczyznę ustawioną pod kątem do jego podstawy, ale nie przechodzącą przez podstawę. Wynikowa figura będzie elipsą. Kształt elipsy i stopień jej podobieństwa do koła charakteryzuje się stosunkiem e = c / a, gdzie c to odległość od środka elipsy do jej ogniska (ogniskowa), a to półoś wielka. Wielkość e nazywana jest mimośrodem elipsy. Przy c = 0, a zatem e = 0, elipsa zamienia się w okrąg.

Punkt P trajektorii najbliższy Słońcu nazywa się peryhelium. Punkt A, położony najdalej od Słońca, to aphelium. Odległość między aphelium i peryhelium jest główną osią orbity eliptycznej. Odległość między aphelium A a peryhelium P stanowi główną oś orbity eliptycznej. Połowa długości głównej osi, czyli osi a, to średnia odległość planety od Słońca. Średnia odległość Ziemi od Słońca nazywana jest jednostką astronomiczną (AU) i wynosi 150 milionów km.

Drugie prawo Keplera (prawo pól)

Każda planeta porusza się w płaszczyźnie przechodzącej przez środek Słońca i przez równe okresy czasu wektor promienia łączący Słońce i planetę zajmuje równe pola.

Drugie prawo opisuje zmianę prędkości ruchu planet wokół Słońca. Z prawem tym związane są dwie koncepcje: peryhelium – punkt orbity najbliższy Słońcu oraz aphelium – najdalszy punkt orbity. Planeta porusza się wokół Słońca nierównomiernie, mając większą prędkość liniową w peryhelium niż w aphelium. Na rysunku obszary sektorów zaznaczonych na niebiesko są równe, a zatem czas potrzebny planecie na przejście przez każdy sektor jest również równy. Ziemia przechodzi przez peryhelium na początku stycznia i aphelium na początku lipca. Drugie prawo Keplera, prawo pól, wskazuje, że siła rządząca ruchem orbitalnym planet jest skierowana w stronę Słońca.

Trzecie prawo Keplera (prawo harmoniczne)

Kwadraty okresów orbit planet wokół Słońca są proporcjonalne do sześcianów półosi wielkich ich orbit eliptycznych. Dotyczy to nie tylko planet, ale także ich satelitów.

Trzecie prawo Keplera pozwala nam porównywać między sobą orbity planet. Im dalej planeta znajduje się od Słońca, tym większy jest obwód jej orbity, a podczas poruszania się po orbicie jej pełny obrót trwa dłużej. Ponadto wraz ze wzrostem odległości od Słońca prędkość liniowa ruchu planety maleje.

gdzie T 1, T 2 to okresy obrotu planet 1 i 2 wokół Słońca; a 1 > a 2 to długości półosi wielkich orbit planet 1 i 2. Półoś to średnia odległość planety od Słońca.

Newton odkrył później, że trzecie prawo Keplera nie było całkowicie dokładne; w rzeczywistości obejmowało masę planety:

gdzie M to masa Słońca, a m 1 i m 2 to masy planet 1 i 2.

Ponieważ stwierdzono, że ruch i masa są ze sobą powiązane, tę kombinację harmonicznego prawa Keplera i prawa grawitacji Newtona wykorzystuje się do określenia masy planet i satelitów, jeśli znane są ich orbity i okresy orbitowania. Znając także odległość planety od Słońca, możesz obliczyć długość roku (czas pełnego obrotu wokół Słońca). I odwrotnie, znając długość roku, możesz obliczyć odległość planety od Słońca.

Trzy prawa ruchu planet odkryte przez Keplera dostarczyły dokładnego wyjaśnienia nierównomiernego ruchu planet. Pierwsze prawo opisuje geometrię trajektorii orbit planet. Drugie prawo opisuje zmianę prędkości ruchu planet wokół Słońca. Trzecie prawo Keplera pozwala nam porównywać między sobą orbity planet. Prawa odkryte później przez Keplera posłużyły Newtonowi za podstawę do stworzenia teorii grawitacji. Newton udowodnił matematycznie, że wszystkie prawa Keplera są konsekwencjami prawa grawitacji.

Dwaj najwięksi uczeni, znacznie wyprzedzając swoje czasy, stworzyli naukę zwaną mechaniką nieba, czyli odkryli prawa ruchu ciał niebieskich pod wpływem grawitacji i nawet gdyby ich osiągnięcia ograniczały się do tego, nadal mieliby wszedł do panteonu możnych tego świata. Tak się złożyło, że nie przecięły się w czasie. Zaledwie trzynaście lat po śmierci Keplera urodził się Newton. Obaj byli zwolennikami heliocentrycznego systemu kopernikańskiego. Badając ruch Marsa przez wiele lat, Kepler eksperymentalnie odkrył trzy prawa ruchu planet, ponad pięćdziesiąt lat przed odkryciem przez Newtona prawa powszechnego ciążenia. Nie rozumiem jeszcze, dlaczego planety poruszają się w taki a nie inny sposób. To była ciężka praca i błyskotliwa zdolność przewidywania. Ale Newton wykorzystał prawa Keplera do sprawdzenia swojego prawa grawitacji. Wszystkie trzy prawa Keplera są konsekwencjami prawa grawitacji. Newton odkrył to w wieku 23 lat. W tym czasie, w latach 1664 - 1667, w Londynie szalała zaraza. Aby nie pogłębiać epidemii, Trinity College, w którym wykładał Newton, rozwiązano na czas nieokreślony. Newton wraca do ojczyzny i za dwa lata dokonuje rewolucji w nauce, dokonując trzech ważnych odkryć: rachunku różniczkowego i całkowego, wyjaśnienia natury światła oraz prawa powszechnego ciążenia. Izaak Newton został uroczyście pochowany w Opactwie Westminsterskim. Nad jego grobem stoi pomnik z popiersiem i epitafium: „Tu spoczywa Sir Izaak Newton, szlachcic, który z pochodnią matematyki w dłoni jako pierwszy udowodnił, z pochodnią matematyki w dłoni, ruch planety, ścieżki komet i pływy oceanów... Niech śmiertelnicy radują się, że istnieje taka ozdoba rodzaju ludzkiego.

Zasługa odkrycia praw ruchu planet należy do wybitnego niemieckiego naukowca, astronoma i matematyka, Johannesa Keplera(1571 – 1630) – człowiek wielkiej odwagi i niezwykłego umiłowania nauki.

Okazał się gorącym zwolennikiem kopernikańskiego układu świata i postanowił wyjaśnić strukturę Układu Słonecznego. Oznaczało to wówczas: poznanie praw ruchu planet, czyli – jak to ujął – „prześledzenie planu Bożego podczas stwarzania świata”. Na początku XVII wieku. Kepler badając obrót Marsa wokół Słońca ustalił trzy prawa ruchu planet.

Pierwsze prawo Keplera:Każda planeta krąży wokół Słońca po elipsie, a Słońce znajduje się w jednym z ognisk.

Pod wpływem grawitacji jedno ciało niebieskie porusza się w polu grawitacyjnym innego ciała niebieskiego wzdłuż jednego z odcinków stożkowych - koła, elipsy, paraboli lub hiperboli.

Elipsa to płaska, zamknięta krzywa, która ma tę właściwość, że suma odległości każdego punktu od dwóch punktów, zwanych ogniskami, pozostaje stała. Ta suma odległości jest równa długości głównej osi elipsy. Punkt O jest środkiem elipsy, F1 i F2 to ogniska. Słońce jest w tym przypadku w centrum uwagi F1.

Punkt orbity najbliższy Słońcu nazywa się peryhelium, najdalszy punkt nazywa się aphelium. Linię łączącą dowolny punkt elipsy z ogniskiem nazywamy wektorem promienia. Stosunek odległości ognisk do głównej osi (do największej średnicy) nazywany jest mimośrodem e. Im większy mimośród, tym bardziej wydłużona jest elipsa. Półoś wielka elipsy a to średnia odległość planety od Słońca.

Komety i asteroidy również poruszają się po orbitach eliptycznych. Dla okręgu e = 0, dla elipsy 0< е < 1, у параболы е = 1, у гиперболы е > 1.

Orbity planet są elipsami, niewiele różniącymi się od okręgów; ich dziwactwa są małe. Na przykład mimośród orbity Ziemi wynosi e = 0,017.

Drugie prawo Keplera: Wektor promienia planety opisuje równe obszary w równych odstępach czasu (określa prędkość orbity planety). Im bliżej Słońca znajduje się planeta, tym jest ona szybsza.

Planeta przemieszcza się z punktu A do A1 i z B do B1 w tym samym czasie. Innymi słowy, planeta porusza się najszybciej w peryhelium, a najwolniej, gdy znajduje się w największej odległości (w aphelium). Zatem prędkość Komety Halleya w peryhelium wynosi 55 km/s, a w aphelium 0,9 km/s.

Merkury, który jest najbliżej Słońca, okrąża Słońce w 88 dni. Wenus porusza się za nią, a rok na niej trwa 225 ziemskich dni. Ziemia krąży wokół Słońca w ciągu 365 dni, czyli dokładnie jednego roku. Rok marsjański jest prawie dwa razy dłuższy niż ziemski. Rok Jowiszowy równa się prawie 12 ziemskim latom, a odległy Saturn okrąża swoją orbitę w 29,5 roku! Krótko mówiąc, im dalej planeta znajduje się od Słońca, tym dłuższy jest rok na planecie. Kepler próbował znaleźć związek między rozmiarami orbit różnych planet a czasem ich obrotu wokół Słońca.

15 maja 1618 roku, po wielu nieudanych próbach, Kepler w końcu nawiązał bardzo ważną relację zwaną

Trzecie prawo Keplera:Kwadraty okresów obrotu planet wokół Słońca są proporcjonalne do sześcianów ich średnich odległości od Słońca.

Jeśli okresy orbitalne dowolnych dwóch planet, na przykład Ziemi i Marsa, oznaczymy przez Tz i Tm, a ich średnie odległości od Słońca wynoszą a z i m, wówczas trzecie prawo Keplera można zapisać w postaci równości:

T 2 m / T 2 z = za 3 m / za 3 z.

Ale okres obiegu Ziemi wokół Słońca wynosi jeden rok (Тз = 1), a średnią odległość między Ziemią a Słońcem przyjmuje się jako jedną jednostkę astronomiczną (аз = 1 AU). Wtedy ta równość przybierze prostszą postać:

T 2 m = a 3 m

Okres orbitalny planety (w naszym przykładzie Marsa) można wyznaczyć na podstawie obserwacji. Jest to 687 dni ziemskich, czyli 1,881 lat. Wiedząc o tym, nie jest trudno obliczyć średnią odległość planety od Słońca w jednostkach astronomicznych:

Te. Mars znajduje się średnio 1524 razy dalej od Słońca niż nasza Ziemia. W związku z tym, jeśli znany jest czas orbity planety, można obliczyć jej średnią odległość od Słońca. W ten sposób Keplerowi udało się określić odległości wszystkich znanych wówczas planet:

Rtęć – 0,39,

Wenus – 0,72,

Ziemia – 1,00

Mars – 1,52,

Jowisz – 5,20,

Saturn - 9,54.

Były to jedynie odległości względne – liczby pokazujące, ile razy dana planeta znajduje się dalej od Słońca lub bliżej Słońca niż Ziemia. Prawdziwe wartości tych odległości, wyrażone w miarach ziemskich (w km), pozostały nieznane, ponieważ nie była jeszcze znana długość jednostki astronomicznej – średniej odległości Ziemi od Słońca.

Trzecie prawo Keplera połączyło całą rodzinę słoneczną w jeden harmonijny układ. Poszukiwania trwały dziewięć trudnych lat. Wytrwałość naukowca zwyciężyła!

Wniosek: Prawa Keplera teoretycznie rozwinęły doktrynę heliocentryczną i tym samym wzmocniły pozycję nowej astronomii. Astronomia Kopernika jest najmądrzejszym ze wszystkich dzieł ludzkiego umysłu.

Późniejsze obserwacje wykazały, że prawa Keplera dotyczą nie tylko planet Układu Słonecznego i ich satelitów, ale także gwiazd fizycznie połączonych ze sobą i krążących wokół wspólnego środka masy. Stanowiły podstawę praktycznej astronautyki, ponieważ wszystkie sztuczne ciała niebieskie poruszają się zgodnie z prawami Keplera, począwszy od pierwszego radzieckiego satelity, a skończywszy na nowoczesnym statku kosmicznym. To nie przypadek, że w historii astronomii Johannes Kepler nazywany jest „prawodawcą nieba”.

Na początku XVI w. polski astronom N. Kopernik (1473–1543) uzasadnił układ heliocentryczny, według którego ruchy ciał niebieskich tłumaczy się ruchem Ziemi (i innych planet) wokół Słońca i codzienny obrót Ziemi. Teorię obserwacji Kopernika uznawano za zabawną fantazję. W XVI wieku stwierdzenie to zostało uznane przez Kościół za herezję. Wiadomo, że G. Bruno, który otwarcie popierał heliocentryczny system Kopernika, został potępiony przez Inkwizycję i spalony na stosie.

Pierwsze prawo Keplera. Wszystkie planety poruszają się po elipsach, a w jednym z ognisk znajduje się Słońce (ryc. 7.6).

Ryż. 7.6

Newton rozwiązał odwrotne zadanie mechaniki i z praw ruchu planet uzyskał wyrażenie na siłę grawitacji:

Jak już wiemy, siły grawitacyjne są siłami zachowawczymi. Kiedy ciało porusza się w polu grawitacyjnym sił zachowawczych po zamkniętej trajektorii, praca wynosi zero.
Właściwość konserwatyzmu sił grawitacyjnych pozwoliła nam wprowadzić pojęcie energii potencjalnej.

Energia potencjalna masa ciała M, położony w pewnej odległości R z dużego ciała masowego M, Jest

Zatem zgodnie z prawem zachowania energii całkowita energia ciała w polu grawitacyjnym pozostaje niezmieniona.

Całkowita energia może być dodatnia, ujemna lub równa zeru. Znak całkowitej energii określa charakter ruchu ciała niebieskiego.

Na mi < 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние R 0 < R maks. W tym przypadku ciało niebieskie porusza się dalej orbita eliptyczna(planety Układu Słonecznego, komety) (ryc. 7.8)

Ryż. 7.8

Okres obrotu ciała niebieskiego po orbicie eliptycznej jest równy okresowi obrotu ciała niebieskiego po orbicie kołowej o promieniu R, Gdzie R– półoś wielka orbity.

Na mi= 0 ciało porusza się po trajektorii parabolicznej. Prędkość ciała w nieskończoności wynosi zero.

Na mi< 0 движение происходит по гиперболической траектории. Тело удаляется на бесконечность, имея запас кинетической энергии.

Pierwsza kosmiczna prędkość jest prędkością ruchu ciała po orbicie kołowej w pobliżu powierzchni Ziemi. Aby to zrobić, zgodnie z drugim prawem Newtona, siła odśrodkowa musi być równoważona przez siłę grawitacji:

Stąd

Stąd
Trzecia prędkość ucieczki– prędkość ruchu, z jaką ciało może opuścić Układ Słoneczny, pokonując grawitację Słońca:

υ 3 = 16,7·10 3 m/s.

Rysunek 7.8 pokazuje trajektorie ciał o różnych prędkościach kosmicznych.