W tym artykule omówiono, jak znaleźć wartości wyrażeń matematycznych. Zacznijmy od prostych wyrażeń numerycznych, a następnie rozważmy przypadki w miarę wzrostu ich złożoności. Na koniec przedstawiamy wyrażenie zawierające symbole literowe, nawiasy, pierwiastki, specjalne symbole matematyczne, stopnie, funkcje itp. Tradycyjnie całą teorię opatrzymy licznymi i szczegółowymi przykładami.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Jak znaleźć wartość wyrażenia liczbowego?

Wyrażenia numeryczne pomagają między innymi opisać stan problemu w języku matematycznym. Ogólnie wyrażenia matematyczne mogą być albo bardzo proste, składające się z pary liczb i symboli arytmetycznych, albo bardzo złożone, zawierające funkcje, potęgi, pierwiastki, nawiasy itp. W ramach zadania często konieczne jest odnalezienie znaczenia konkretnego wyrażenia. Jak to zrobić, zostanie omówione poniżej.

Najprostsze przypadki

Są to przypadki, w których wyrażenie zawiera tylko liczby i operacje arytmetyczne. Aby pomyślnie znaleźć wartości takich wyrażeń, będziesz potrzebować znajomości kolejności wykonywania operacji arytmetycznych bez nawiasów, a także umiejętności wykonywania operacji na różnych liczbach.

Jeżeli wyrażenie zawiera tylko liczby i znaki arytmetyczne „+”, „·”, „-” , „÷” to działania wykonujemy od lewej do prawej w następującej kolejności: najpierw mnożenie i dzielenie, następnie dodawanie i odejmowanie. Podajmy przykłady.

Przykład 1: Wartość wyrażenia numerycznego

Niech trzeba znaleźć wartości wyrażenia 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

Najpierw wykonajmy mnożenie i dzielenie. Otrzymujemy:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

Teraz wykonujemy odejmowanie i otrzymujemy wynik końcowy:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Przykład 2: Wartość wyrażenia numerycznego

Obliczmy: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

Najpierw wykonujemy konwersję ułamków, dzielenie i mnożenie:

0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.

A teraz wykonajmy dodawanie i odejmowanie. Pogrupujmy ułamki i sprowadźmy je do wspólnego mianownika:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Znaleziono wymaganą wartość.

Wyrażenia z nawiasami

Jeśli wyrażenie zawiera nawiasy, określają one kolejność operacji w wyrażeniu. W pierwszej kolejności wykonywane są czynności podane w nawiasach, a następnie wszystkie pozostałe. Pokażmy to na przykładzie.

Przykład 3: Wartość wyrażenia numerycznego

Znajdźmy wartość wyrażenia 0,5 · (0,76 - 0,06).

Wyrażenie zawiera nawiasy, dlatego najpierw w nawiasach wykonujemy odejmowanie, a dopiero potem mnożenie.

0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.

Znaczenie wyrażeń zawierających nawiasy w nawiasach ustala się według tej samej zasady.

Przykład 4: Wartość wyrażenia numerycznego

Obliczmy wartość 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.

Działania będziemy wykonywać zaczynając od nawiasów wewnętrznych, przechodząc do zewnętrznych.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

Znajdując znaczenie wyrażeń w nawiasach, najważniejsze jest przestrzeganie sekwencji działań.

Wyrażenia z pierwiastkami

Wyrażenia matematyczne, których wartości musimy znaleźć, mogą zawierać znaki pierwiastkowe. Co więcej, samo wyrażenie może znajdować się pod znakiem głównym. Co zrobić w tym przypadku? Najpierw musisz znaleźć wartość wyrażenia pod pierwiastkiem, a następnie wyodrębnić pierwiastek z uzyskanej w wyniku liczby. Jeśli to możliwe, lepiej pozbyć się pierwiastków w wyrażeniach liczbowych, zastępując je wartościami liczbowymi.

Przykład 5: Wartość wyrażenia numerycznego

Obliczmy wartość wyrażenia z pierwiastkami - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

Najpierw obliczamy wyrażenia radykalne.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Teraz możesz obliczyć wartość całego wyrażenia.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Często znalezienie znaczenia wyrażenia z pierwiastkami często wymaga najpierw przekształcenia wyrażenia oryginalnego. Wyjaśnijmy to na jeszcze jednym przykładzie.

Przykład 6: Wartość wyrażenia numerycznego

Ile to jest 3 + 1 3 - 1 - 1

Jak widać nie mamy możliwości zastąpienia pierwiastka dokładną wartością, co komplikuje proces liczenia. Jednak w tym przypadku można zastosować skróconą formułę mnożenia.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Zatem:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Wyrażenia z potęgami

Jeśli wyrażenie zawiera potęgi, ich wartości należy obliczyć przed przystąpieniem do wszystkich innych działań. Zdarza się, że wykładnik lub podstawa samego stopnia są wyrażeniami. W tym przypadku najpierw obliczana jest wartość tych wyrażeń, a następnie wartość stopnia.

Przykład 7: Wartość wyrażenia numerycznego

Znajdźmy wartość wyrażenia 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.

Zacznijmy obliczać w kolejności.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.

Pozostaje tylko wykonać operację dodawania i poznać znaczenie wyrażenia:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

Często zaleca się również uproszczenie wyrażenia przy użyciu właściwości stopnia.

Przykład 8: Wartość wyrażenia numerycznego

Obliczmy wartość następującego wyrażenia: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Wykładniki są ponownie takie, że nie można uzyskać ich dokładnych wartości liczbowych. Uprośćmy oryginalne wyrażenie, aby znaleźć jego wartość.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Wyrażenia z ułamkami

Jeśli wyrażenie zawiera ułamki, wówczas przy obliczaniu takiego wyrażenia wszystkie zawarte w nim ułamki należy przedstawić jako ułamki zwykłe i obliczyć ich wartości.

Jeżeli licznik i mianownik ułamka zawierają wyrażenia, wówczas najpierw obliczane są wartości tych wyrażeń, a następnie zapisywana jest ostateczna wartość samego ułamka. Operacje arytmetyczne wykonywane są w standardowej kolejności. Spójrzmy na przykładowe rozwiązanie.

Przykład 9: Wartość wyrażenia numerycznego

Znajdźmy wartość wyrażenia zawierającego ułamki: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

Jak widać, w oryginalnym wyrażeniu są trzy ułamki. Najpierw obliczmy ich wartości.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

Przepiszmy nasze wyrażenie i obliczmy jego wartość:

1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1

Często przy znajdowaniu znaczenia wyrażeń wygodnie jest redukować ułamki. Istnieje niepisana zasada: przed znalezieniem jego wartości najlepiej uprościć dowolne wyrażenie do maksimum, sprowadzając wszelkie obliczenia do najprostszych przypadków.

Przykład 10: Wartość wyrażenia numerycznego

Obliczmy wyrażenie 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

Nie możemy całkowicie wyodrębnić pierwiastka z pięciu, ale możemy uprościć oryginalne wyrażenie poprzez przekształcenia.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Oryginalne wyrażenie ma postać:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Obliczmy wartość tego wyrażenia:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Wyrażenia z logarytmami

Jeśli w wyrażeniu występują logarytmy, ich wartość jest obliczana od początku, jeśli to możliwe. Na przykład w wyrażeniu log 2 4 + 2 · 4 możesz od razu zapisać wartość tego logarytmu zamiast log 2 4, a następnie wykonać wszystkie czynności. Otrzymujemy: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

Wyrażenia liczbowe można znaleźć również pod samym znakiem logarytmu i u jego podstawy. W tym przypadku pierwszą rzeczą do zrobienia jest znalezienie ich znaczenia. Weźmy log wyrażeń 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Mamy:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

Jeśli nie można obliczyć dokładnej wartości logarytmu, uproszczenie wyrażenia pomaga znaleźć jego wartość.

Przykład 11: Wartość wyrażenia numerycznego

Znajdźmy wartość wyrażenia log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Według własności logarytmów:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

Korzystając ponownie z właściwości logarytmów, dla ostatniego ułamka wyrażenia otrzymujemy:

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.

Teraz możesz przystąpić do obliczania wartości pierwotnego wyrażenia.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Wyrażenia z funkcjami trygonometrycznymi

Zdarza się, że wyrażenie zawiera funkcje trygonometryczne sinusa, cosinusa, tangensa i cotangens, a także ich funkcje odwrotne. Wartość jest obliczana przed wykonaniem wszystkich innych operacji arytmetycznych. W przeciwnym razie wyrażenie jest uproszczone.

Przykład 12: Wartość wyrażenia numerycznego

Znajdź wartość wyrażenia: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Najpierw obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych zawartych w wyrażeniu.

grzech - 5 π 2 = - 1

Podstawiamy wartości do wyrażenia i obliczamy jego wartość:

t sol 2 4 π 3 - grzech - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.

Znaleziono wartość wyrażenia.

Często, aby znaleźć wartość wyrażenia z funkcjami trygonometrycznymi, należy je najpierw przekonwertować. Wyjaśnijmy na przykładzie.

Przykład 13: Wartość wyrażenia numerycznego

Musimy znaleźć wartość wyrażenia cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

Do konwersji użyjemy wzorów trygonometrycznych na cosinus kąta podwójnego i cosinus sumy.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0.

Ogólny przypadek wyrażenia numerycznego

Ogólnie wyrażenie trygonometryczne może zawierać wszystkie elementy opisane powyżej: nawiasy, potęgi, pierwiastki, logarytmy, funkcje. Sformułujmy ogólną zasadę znajdowania znaczeń takich wyrażeń.

Jak znaleźć wartość wyrażenia

1. Pierwiastki, potęgi, logarytmy itp. są zastępowane przez ich wartości.
2. Wykonywane są czynności podane w nawiasach.
3. Pozostałe czynności wykonujemy w kolejności od lewej do prawej. Najpierw - mnożenie i dzielenie, następnie - dodawanie i odejmowanie.

Spójrzmy na przykład.

Przykład 14: Wartość wyrażenia numerycznego

Obliczmy wartość wyrażenia - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

Wyrażenie jest dość złożone i kłopotliwe. Nieprzypadkowo wybraliśmy właśnie taki przykład, próbując dopasować do niego wszystkie opisane powyżej przypadki. Jak znaleźć znaczenie takiego wyrażenia?

Wiadomo, że przy obliczaniu wartości złożonej postaci ułamkowej wartości licznika i mianownika ułamka są najpierw znajdowane odpowiednio osobno. Będziemy kolejno przekształcać i upraszczać to wyrażenie.

Najpierw obliczmy wartość wyrażenia pierwiastkowego 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Aby to zrobić, musisz znaleźć wartość sinusa i wyrażenie będące argumentem funkcji trygonometrycznej.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Teraz możesz poznać wartość sinusa:

grzech π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = grzech π 6 + 2 π = grzech π 6 = 1 2.

Obliczamy wartość wyrażenia radykalnego:

2 grzech π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 · grzech π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Dzięki mianownikowi ułamka wszystko jest prostsze:

Teraz możemy zapisać wartość całego ułamka:

2 · grzech π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln mi 2 = 2 2 = 1 .

Biorąc to pod uwagę, piszemy całe wyrażenie:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Ostateczny wynik:

2 · grzech π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln mi 2 + 1 + 3 9 = 27.

W tym przypadku udało nam się obliczyć dokładne wartości pierwiastków, logarytmów, sinusów itp. Jeśli nie jest to możliwe, można spróbować się ich pozbyć poprzez przekształcenia matematyczne.

Obliczanie wartości wyrażeń metodami wymiernymi

Wartości liczbowe muszą być obliczane konsekwentnie i dokładnie. Proces ten można zracjonalizować i przyspieszyć wykorzystując różne właściwości operacji na liczbach. Wiadomo na przykład, że iloczyn jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Biorąc pod uwagę tę właściwość, możemy od razu powiedzieć, że wyrażenie 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 jest równe zero. Jednocześnie nie jest konieczne wykonywanie czynności w kolejności opisanej w powyższym artykule.

Wygodnie jest również skorzystać z właściwości odejmowania równych liczb. Nie wykonując żadnych czynności, możesz nakazać, aby wartość wyrażenia 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 również wynosiła zero.

Inną techniką przyspieszającą ten proces jest zastosowanie transformacji tożsamości, takich jak grupowanie terminów i czynników oraz umieszczanie wspólnego czynnika w nawiasach. Racjonalne podejście do obliczania wyrażeń z ułamkami polega na redukcji tych samych wyrażeń w liczniku i mianowniku.

Weźmy na przykład wyrażenie 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. Nie wykonując operacji w nawiasach, ale redukując ułamek, możemy powiedzieć, że wartość wyrażenia wynosi 1 3 .

Znajdowanie wartości wyrażeń ze zmiennymi

Wartość wyrażenia dosłownego i wyrażenia ze zmiennymi znajduje się dla określonych podanych wartości liter i zmiennych.

Znajdowanie wartości wyrażeń ze zmiennymi

Aby znaleźć wartość wyrażenia dosłownego i wyrażenia ze zmiennymi, należy podstawić podane wartości liter i zmiennych do pierwotnego wyrażenia, a następnie obliczyć wartość powstałego wyrażenia liczbowego.

Przykład 15: Wartość wyrażenia ze zmiennymi

Oblicz wartość wyrażenia 0, 5 x - y, biorąc pod uwagę x = 2, 4 i y = 5.

Podstawiamy wartości zmiennych do wyrażenia i obliczamy:

0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.

Czasami możesz przekształcić wyrażenie tak, aby uzyskać jego wartość niezależnie od wartości zawartych w nim liter i zmiennych. Aby to zrobić, należy w miarę możliwości pozbyć się liter i zmiennych w wyrażeniu, stosując identyczne przekształcenia, właściwości operacji arytmetycznych i wszystkie możliwe inne metody.

Na przykład wyrażenie x + 3 - x ma oczywiście wartość 3 i aby obliczyć tę wartość, nie jest konieczna znajomość wartości zmiennej x. Wartość tego wyrażenia jest równa trzy dla wszystkich wartości zmiennej x z jej zakresu dopuszczalnych wartości.

Jeszcze jeden przykład. Wartość wyrażenia x x jest równa jeden dla wszystkich dodatnich x.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Studiując temat wyrażeń liczbowych, literowych i wyrażeń ze zmiennymi, należy zwrócić uwagę na koncepcję wartość wyrażenia. W tym artykule odpowiemy na pytanie, jaka jest wartość wyrażenia liczbowego, a co nazywa się wartością wyrażenia literalnego i wyrażenia ze zmiennymi dla wybranych wartości zmiennych. Aby wyjaśnić te definicje, podajemy przykłady.

Nawigacja strony.

Jaka jest wartość wyrażenia liczbowego?

Znajomość wyrażeń liczbowych rozpoczyna się niemal od pierwszych lekcji matematyki w szkole. Niemal natychmiast wprowadzone zostaje pojęcie „wartości wyrażenia liczbowego”. Odnosi się do wyrażeń składających się z liczb połączonych znakami operacji arytmetycznych (+, -, ·, :). Podajmy odpowiednią definicję.

Definicja.

Wartość wyrażenia numerycznego– jest to liczba, która zostanie uzyskana po wykonaniu wszystkich czynności w oryginalnym wyrażeniu liczbowym.

Rozważmy na przykład wyrażenie numeryczne 1+2. Po zakończeniu otrzymujemy liczbę 3, która jest wartością wyrażenia liczbowego 1+2.

Często w wyrażeniu „znaczenie wyrażenia liczbowego” pomija się słowo „liczbowy” i po prostu mówi się „znaczenie wyrażenia”, ponieważ nadal jest jasne, o jakie znaczenie wyrażenia chodzi.

Powyższa definicja znaczenia wyrażenia dotyczy również wyrażeń liczbowych bardziej złożonego typu, których uczy się w szkole średniej. Należy tutaj zauważyć, że możesz napotkać wyrażenia liczbowe, których wartości nie można określić. Dzieje się tak dlatego, że w przypadku niektórych wyrażeń nie jest możliwe wykonanie zarejestrowanych działań. Na przykład dlatego nie możemy określić wartości wyrażenia 3:(2−2) . Takie wyrażenia numeryczne nazywane są wyrażenia, które nie mają sensu.

Często w praktyce interesujące jest nie tyle wyrażenie liczbowe, co jego znaczenie. Oznacza to, że pojawia się zadanie ustalenia znaczenia danego wyrażenia. W tym przypadku zwykle mówią, że trzeba znaleźć wartość wyrażenia. W artykule szczegółowo omówiono proces znajdowania wartości wyrażeń liczbowych różnych typów i rozważono wiele przykładów ze szczegółowym opisem rozwiązań.

Znaczenie wyrażeń dosłownych i zmiennych

Oprócz wyrażeń numerycznych badane są wyrażenia dosłowne, to znaczy wyrażenia, w których występuje jedna lub więcej liter wraz z cyframi. Litery w wyrażeniu dosłownym mogą reprezentować różne liczby, a jeśli litery zostaną zastąpione tymi liczbami, wyrażenie dosłowne stanie się wyrażeniem numerycznym.

Definicja.

Nazywa się liczby zastępujące litery w wyrażeniu dosłownym znaczenie tych liter, a następnie wywoływana jest wartość wynikowego wyrażenia liczbowego wartość wyrażenia dosłownego dla podanych wartości liter.

Zatem w przypadku wyrażeń dosłownych mówimy nie tylko o znaczeniu wyrażenia dosłownego, ale o znaczeniu wyrażenia dosłownego podanych (podanych, wskazanych itp.) wartości liter.

Podajmy przykład. Weźmy dosłowne wyrażenie 2·a+b. Niech zostaną podane wartości liter a i b, na przykład a=1 i b=6. Zastępując litery pierwotnego wyrażenia ich wartościami, otrzymujemy wyrażenie liczbowe w postaci 2·1+6, którego wartość wynosi 8. Zatem liczba 8 jest wartością wyrażenia dosłownego 2·a+b dla podanych wartości liter a=1 i b=6. Gdyby podano inne wartości liter, otrzymalibyśmy wartość wyrażenia literowego dla tych wartości liter. Na przykład dla a=5 i b=1 mamy wartość 2,5+1=11.

W algebrze w szkole średniej litery w wyrażeniach literowych mogą przyjmować różne znaczenia, takie litery nazywane są zmiennymi, a wyrażenia literowe nazywane są wyrażeniami ze zmiennymi. Dla tych wyrażeń wprowadza się pojęcie wartości wyrażenia ze zmiennymi dla wybranych wartości zmiennych. Zastanówmy się, co to jest.

Definicja.

Wartość wyrażenia ze zmiennymi dla wybranych wartości zmiennych jest wartością wyrażenia liczbowego, która jest uzyskiwana po podstawieniu wybranych wartości zmiennych do wyrażenia pierwotnego.

Wyjaśnijmy podaną definicję na przykładzie. Rozważmy wyrażenie ze zmiennymi x i y postaci 3·x·y+y. Weźmy x=2 i y=4, podstawmy te wartości zmiennych do pierwotnego wyrażenia i otrzymamy wyrażenie numeryczne 3,2,4+4. Obliczmy wartość tego wyrażenia: 3,2,4+4=24+4=28. Znaleziona wartość 28 jest wartością pierwotnego wyrażenia ze zmiennymi 3·x·y+y dla wybranych wartości zmiennych x=2 i y=4.

Jeśli wybierzesz inne wartości zmiennych, na przykład x=5 i y=0, to tym wybranym wartościom zmiennych będzie odpowiadać wartość wyrażenia zmiennej równa 3,5,0+0=0.

Można zauważyć, że czasami różne wybrane wartości zmiennych mogą skutkować jednakowymi wartościami wyrażeń. Na przykład dla x=9 i y=1 wartość wyrażenia 3 x y+y wynosi 28 (ponieważ 3 9 1+1=27+1=28), a powyżej pokazaliśmy, że taką samą wartością jest wyrażenie z zmienne mają x=2 i y=4.

Wartości zmiennych można wybierać spośród odpowiadających im wartości zakresy akceptowalnych wartości. W przeciwnym razie, podstawiając wartości tych zmiennych do pierwotnego wyrażenia, otrzymasz wyrażenie liczbowe, które nie ma sensu. Na przykład, jeśli wybierzesz x=0 i podstawisz tę wartość do wyrażenia 1/x, otrzymasz wyrażenie numeryczne 1/0, co nie ma sensu, ponieważ dzielenie przez zero nie jest zdefiniowane.

Pozostaje tylko dodać, że istnieją wyrażenia ze zmiennymi, których wartości nie zależą od wartości zawartych w nich zmiennych. Przykładowo wartość wyrażenia ze zmienną x postaci 2+x−x nie zależy od wartości tej zmiennej; jest równa 2 dla dowolnej wybranej wartości zmiennej x z zakresu jej dopuszczalnych wartości , który w tym przypadku jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych.

Bibliografia.

• Matematyka: podręcznik dla 5 klasy. ogólne wykształcenie instytucje / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - wyd. 21, skreślone. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: il. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: podręcznik dla 7 klasy. ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 17. - M.: Edukacja, 2008. - 240 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: podręcznik dla 8 klasy. ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Wyrażenia numeryczne i algebraiczne. Konwersja wyrażeń.

Co to jest wyrażenie w matematyce? Dlaczego potrzebujemy konwersji wyrażeń?

Pytanie, jak mówią, jest interesujące... Faktem jest, że pojęcia te stanowią podstawę wszelkiej matematyki. Cała matematyka składa się z wyrażeń i ich przekształceń. Niezbyt jasne? Pozwól mi wyjaśnić.

Powiedzmy, że masz przed sobą zły przykład. Bardzo duży i bardzo złożony. Załóżmy, że jesteś dobry z matematyki i niczego się nie boisz! Czy możesz udzielić odpowiedzi od razu?

Będziesz musiał decydować ten przykład. Konsekwentnie, krok po kroku, ten przykład uproszczać. Oczywiście według pewnych zasad. Te. Do konwersja wyrażeń. Im skuteczniej przeprowadzisz te przekształcenia, tym silniejszy będziesz w matematyce. Jeśli nie wiesz, jak wykonać właściwe przekształcenia, nie będziesz w stanie tego zrobić na matematyce. Nic...

Aby uniknąć tak niewygodnej przyszłości (lub teraźniejszości...), nie zaszkodzi zrozumieć ten temat.)

Najpierw dowiedzmy się co to jest wyrażenie w matematyce. Co się stało wyrażenie numeryczne i co jest wyrażenie algebraiczne.

Co to jest wyrażenie w matematyce?

Wyrażenie w matematyce– to bardzo szerokie pojęcie. Prawie wszystko, z czym mamy do czynienia w matematyce, jest zbiorem wyrażeń matematycznych. Wszelkie przykłady, wzory, ułamki, równania i tak dalej - to wszystko składa się z wyrażenia matematyczne.

3+2 to wyrażenie matematyczne. s 2 - d 2- to także wyrażenie matematyczne. Zarówno zdrowy ułamek, jak i jedna liczba są wyrażeniami matematycznymi. Na przykład równanie wygląda następująco:

5x + 2 = 12

składa się z dwóch wyrażeń matematycznych połączonych znakiem równości. Jedno wyrażenie znajduje się po lewej stronie, drugie po prawej.

Ogólnie rzecz biorąc, określenie „ wyrażenie matematyczne"jest używane najczęściej, aby uniknąć buczenia. Zapytają Cię na przykład, co to jest ułamek zwykły? I jak odpowiedzieć?!

Pierwsza odpowiedź: „To jest... mmmmmm... coś takiego... w którym... Czy mogę napisać ułamek lepiej? Który chcesz?"

Odpowiedź druga: „Zwykły ułamek to (wesoło i radośnie!) wyrażenie matematyczne , który składa się z licznika i mianownika!”

Druga opcja będzie w jakiś sposób bardziej efektowna, prawda?)

Taki jest cel wyrażenia „ wyrażenie matematyczne „bardzo dobrze. Zarówno poprawne, jak i solidne. Ale do praktycznego zastosowania trzeba dobrze rozumieć specyficzne typy wyrażeń w matematyce .

Konkretny typ to inna sprawa. Ten To zupełnie inna sprawa! Każdy typ wyrażenia matematycznego ma kopalnia zbiór zasad i technik, które należy zastosować przy podejmowaniu decyzji. Do pracy z ułamkami - jeden zestaw. Do pracy z wyrażeniami trygonometrycznymi - drugi. Do pracy z logarytmami - trzeci. I tak dalej. Gdzieś te zasady są zbieżne, gdzieś znacznie się różnią. Ale nie bój się tych strasznych słów. W odpowiednich sekcjach opanujemy logarytmy, trygonometrię i inne tajemnicze rzeczy.

Tutaj opanujemy (lub - powtórzmy, w zależności od kogo...) dwa główne typy wyrażeń matematycznych. Wyrażenia numeryczne i wyrażenia algebraiczne.

Wyrażenia numeryczne.

Co się stało wyrażenie numeryczne? Jest to bardzo prosta koncepcja. Już sama nazwa wskazuje, że jest to wyrażenie zawierające liczby. Tak właśnie jest. Wyrażenie matematyczne składające się z liczb, nawiasów i symboli arytmetycznych nazywa się wyrażeniem numerycznym.

7-3 to wyrażenie numeryczne.

(8+3,2) 5,4 jest także wyrażeniem liczbowym.

I ten potwór:

także wyrażenie numeryczne, tak...

Zwykła liczba, ułamek, dowolny przykład obliczenia bez X i innych liter – wszystko to są wyrażenia numeryczne.

Główny znak liczbowy wyrażenia - w nim żadnych liter. Nic. Tylko cyfry i symbole matematyczne (jeśli to konieczne). To proste, prawda?

A co można zrobić z wyrażeniami liczbowymi? Wyrażenia numeryczne zazwyczaj można policzyć. By to zrobić zdarza się, że trzeba otworzyć nawiasy, zmienić znaki, skrócić, zamienić terminy – czyli np. Do konwersje wyrażeń. Ale o tym poniżej.

Tutaj mamy do czynienia z takim zabawnym przypadkiem, gdy chodzi o wyrażenie liczbowe nie musisz nic robić. No cóż, zupełnie nic! Ta przyjemna operacja - Nic nie robić)- jest wykonywane, gdy wyrażenie nie ma sensu.

Kiedy wyrażenie liczbowe nie ma sensu?

Oczywiste jest, że jeśli zobaczymy przed sobą jakąś abrakadabrę, np

wtedy nic nie zrobimy. Ponieważ nie jest jasne, co z tym zrobić. Jakiś nonsens. Może policz plusy...

Ale są na pozór całkiem przyzwoite wyrażenia. Na przykład to:

(2+3): (16 - 2 8)

Jednak to wyrażenie również nie ma sensu! Z prostego powodu, że w drugim nawiasie – jeśli policzysz – otrzymasz zero. Ale nie możesz dzielić przez zero! Jest to operacja zabroniona w matematyce. Dlatego też z tym wyrażeniem nie trzeba nic robić. Dla każdego zadania z takim wyrażeniem odpowiedź będzie zawsze taka sama: „To wyrażenie nie ma znaczenia!”

Aby dać taką odpowiedź, musiałem oczywiście obliczyć, co będzie w nawiasach. A czasami w nawiasach jest mnóstwo rzeczy... Cóż, nic nie można na to poradzić.

W matematyce nie ma zbyt wielu zakazanych operacji. Jest tylko jeden w tym temacie. Dzielenie przez zero. Dodatkowe ograniczenia wynikające z pierwiastków i logarytmów omówiono w odpowiednich tematach.

A więc pomysł, co to jest wyrażenie numeryczne- dostał. Pojęcie wyrażenie numeryczne nie ma sensu- uświadomił sobie. Przejdźmy dalej.

Wyrażenia algebraiczne.

Jeśli w wyrażeniu liczbowym pojawią się litery, wyrażenie to stanie się... Wyrażenie stanie się... Tak! Staje się wyrażenie algebraiczne. Na przykład:

5a 2; 3x-2 lata; 3(z-2); 3,4 m/n; x2 +4x-4; (a+b) 2; ...

Takie wyrażenia są również nazywane wyrażenia dosłowne. Lub wyrażenia ze zmiennymi. To praktycznie to samo. Wyrażenie 5a +c na przykład dosłowne i algebraiczne oraz wyrażenie ze zmiennymi.

Pojęcie wyrażenie algebraiczne - szersze niż numeryczne. To obejmuje i wszystkie wyrażenia numeryczne. Te. wyrażenie liczbowe jest również wyrażeniem algebraicznym, tylko bez liter. Każdy śledź to ryba, ale nie każda ryba to śledź...)

Dlaczego alfabetyczny- Jest jasne. No cóż, skoro są litery... Fraza wyrażenie ze zmiennymi To też nie jest zbyt zastanawiające. Jeśli rozumiesz, że pod literami ukryte są cyfry. Pod literami można ukryć wszelkiego rodzaju liczby... Oraz 5, -18 i wszystko inne. Oznacza to, że może być list zastępować dla różnych liczb. Dlatego właśnie nazywają się te litery zmienne.

W wyrazie y+5, Na przykład, Na- wartość zmienna. Albo po prostu mówią: „ zmienny", bez słowa „wielkość”. W przeciwieństwie do pięciu, które jest wartością stałą. Lub po prostu - stały.

Termin wyrażenie algebraiczne oznacza, że ​​do pracy z tym wyrażeniem należy używać praw i reguł algebra. Jeśli arytmetyka działa zatem z określonymi liczbami algebra- ze wszystkimi numerami na raz. Prosty przykład dla wyjaśnienia.

W arytmetyce możemy to zapisać

Ale jeśli napiszemy taką równość za pomocą wyrażeń algebraicznych:

za + b = b + a

podejmiemy decyzję od razu Wszystko pytania. Dla wszystkie liczby udar mózgu. Za wszystko nieskończone. Bo pod literami A I B ukryty Wszystko liczby. I nie tylko liczby, ale nawet inne wyrażenia matematyczne. Tak działa algebra.

Kiedy wyrażenie algebraiczne nie ma sensu?

Wszystko w wyrażeniu liczbowym jest jasne. Nie można tam dzielić przez zero. A czy za pomocą liter można dowiedzieć się, według czego dzielimy?!

Weźmy na przykład to wyrażenie ze zmiennymi:

2: (A - 5)

Czy jest sens? Kto wie? A- Jakikolwiek numer...

Jakikolwiek, dowolny... Ale znaczenie jest jedno A, dla którego to wyrażenie Dokładnie nie ma sensu! A co to za numer? Tak! To jest 5! Jeśli zmienna A zamień (mówią „zastąpić”) cyfrą 5, w nawiasach otrzymasz zero. Którego nie da się podzielić. Okazuje się więc, że nasze wyrażenie nie ma sensu, Jeśli a = 5. Ale dla innych wartości A Czy jest sens? Czy można zastąpić inne liczby?

Z pewnością. W takich przypadkach po prostu mówią, że wyrażenie

2: (A - 5)

ma sens dla dowolnych wartości A, z wyjątkiem a = 5 .

Cały zestaw liczb Móc nazywa się podstawienie do danego wyrażenia zakres akceptowalnych wartości to wyrażenie.

Jak widać, nie ma nic trudnego. Przyjrzyjmy się wyrażeniu ze zmiennymi i zastanówmy się: przy jakiej wartości zmiennej uzyskuje się zabronioną operację (dzielenie przez zero)?

A potem koniecznie spójrz na pytanie dotyczące zadania. O co pytają?

nie ma sensu, odpowiedzią będzie nasze zakazane znaczenie.

Jeśli zapytasz, przy jakiej wartości zmiennej wyrażenie ma znaczenie(poczuj różnicę!), odpowiedź będzie brzmiała wszystkie inne liczby z wyjątkiem tego, co jest zabronione.

Dlaczego potrzebujemy znaczenia wyrażenia? On tam jest, nie ma go... Jaka jest różnica?! Rzecz w tym, że to pojęcie staje się bardzo ważne w szkole średniej. Bardzo ważny! Na tym opierają się tak solidne pojęcia, jak dziedzina dopuszczalnych wartości czy dziedzina funkcji. Bez tego w ogóle nie będziesz w stanie rozwiązać poważnych równań ani nierówności. Lubię to.

Konwersja wyrażeń. Transformacje tożsamości.

Zapoznaliśmy się z wyrażeniami numerycznymi i algebraicznymi. Rozumieliśmy, co oznacza wyrażenie „wyrażenie nie ma znaczenia”. Teraz musimy dowiedzieć się, co to jest konwersja wyrażeń. Odpowiedź jest prosta, aż do hańby.) Jest to dowolne działanie posiadające wyraz. To wszystko. Robicie te przemiany od pierwszej klasy.

Weźmy fajne wyrażenie numeryczne 3+5. Jak można to przekonwertować? Tak, bardzo proste! Oblicz:

To obliczenie będzie transformacją wyrażenia. To samo wyrażenie możesz zapisać inaczej:

Tutaj w ogóle nic nie liczyliśmy. Właśnie zapisałem wyrażenie w innej formie. Będzie to również transformacja wyrażenia. Można to napisać w ten sposób:

To także jest przekształcenie wyrażenia. Możesz dokonać dowolnej liczby takich przekształceń.

Każdy działanie na ekspresję każdy zapisanie go w innej formie nazywa się przekształcaniem wyrażenia. I to wszystko. Wszystko jest bardzo proste. Ale jest tutaj jedna rzecz bardzo ważna zasada. Na tyle ważne, że można śmiało nazwać główna zasada cała matematyka. Złamanie tej zasady nieuchronnie prowadzi do błędów. Wchodzimy w to?)

Powiedzmy, że przekształciliśmy nasze wyrażenie w sposób przypadkowy, w ten sposób:

Konwersja? Z pewnością. Napisaliśmy wyrażenie w innej formie, co tu jest nie tak?

To nie tak.) Chodzi o to, że transformacje "losowo" w ogóle nie interesują się matematyką.) Cała matematyka opiera się na przekształceniach, w których zmienia się wygląd, ale istota wyrażenia się nie zmienia. Trzy plus pięć można zapisać w dowolnej formie, ale musi to być osiem.

Przekształcenia, wyrażenia, które nie zmieniają istoty są nazywane identyczny.

Dokładnie przemiany tożsamości i pozwól nam krok po kroku przekształcić złożony przykład w proste wyrażenie, zachowując przy tym istota przykładu. Jeśli popełnimy błąd w łańcuchu przekształceń, wykonamy NIE identyczną transformację, wtedy podejmiemy decyzję inny przykład. Z innymi odpowiedziami, które nie są powiązane z poprawnymi.)

Jest to główna zasada rozwiązywania wszelkich zadań: zachowanie tożsamości przekształceń.

Dla przejrzystości podałem przykład z wyrażeniem liczbowym 3+5. W wyrażeniach algebraicznych przekształcenia tożsamości są dane za pomocą wzorów i reguł. Powiedzmy, że w algebrze istnieje wzór:

a(b+c) = ab + ac

Oznacza to, że w dowolnym przykładzie możemy zamiast wyrażenia a(b+c)śmiało napisz wyrażenie ab + ak. I wzajemnie. Ten identyczna transformacja. Matematyka daje nam wybór pomiędzy tymi dwoma wyrażeniami. A który napisać, zależy od konkretnego przykładu.

Inny przykład. Jednym z najważniejszych i niezbędnych przekształceń jest podstawowa właściwość ułamka. Więcej szczegółów znajdziecie pod linkiem, ale tutaj przypomnę tylko zasadę: Jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną pomnożone (podzielone) przez tę samą liczbę lub wyrażenie, które nie jest równe zero, ułamek nie ulegnie zmianie. Oto przykład transformacji tożsamości przy użyciu tej właściwości:

Jak zapewne się domyślacie, łańcuch ten można ciągnąć w nieskończoność...) Bardzo ważna właściwość. To właśnie pozwala zamienić wszelkiego rodzaju przykładowe potwory w białe i puszyste.)

Istnieje wiele wzorów definiujących identyczne przekształcenia. Ale tych najważniejszych jest całkiem rozsądna liczba. Jednym z podstawowych przekształceń jest faktoryzacja. Jest stosowany w całej matematyce - od podstawowej do zaawansowanej. Zacznijmy od niego. Na następnej lekcji.)

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

I. Wyrażenia, w których można używać liczb, symboli arytmetycznych i nawiasów wraz z literami, nazywane są wyrażeniami algebraicznymi.

Przykłady wyrażeń algebraicznych:

2m-n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a-b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;

Ponieważ literę w wyrażeniu algebraicznym można zastąpić różnymi liczbami, literę tę nazywa się zmienną, a samo wyrażenie algebraiczne nazywa się wyrażeniem ze zmienną.

II. Jeśli w wyrażeniu algebraicznym litery (zmienne) zostaną zastąpione ich wartościami i zostaną wykonane określone działania, wówczas wynikową liczbę nazywa się wartością wyrażenia algebraicznego.

Przykłady. Znajdź znaczenie wyrażenia:

1) a + 2b -c z a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| przy x = -8; y = -5; z = 6.

Rozwiązanie.

1) a + 2b -c z a = -2; b = 10; c = -3,5. Zamiast zmiennych podstawmy ich wartości. Otrzymujemy:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| przy x = -8; y = -5; z = 6. Zastąp wskazane wartości. Pamiętamy, że moduł liczby ujemnej jest równy jej liczbie przeciwnej, a moduł liczby dodatniej jest równy samej tej liczbie. Otrzymujemy:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Wartości litery (zmiennej), dla których wyrażenie algebraiczne ma sens, nazywane są dopuszczalnymi wartościami litery (zmiennej).

Przykłady. Dla jakich wartości zmiennej wyrażenie nie ma sensu?

Rozwiązanie. Wiemy, że nie można dzielić przez zero, dlatego każde z tych wyrażeń nie będzie miało sensu, biorąc pod uwagę wartość litery (zmiennej), która zamienia mianownik ułamka na zero!

W przykładzie 1) ta wartość wynosi a = 0. Rzeczywiście, jeśli zastąpisz 0 zamiast a, będziesz musiał podzielić liczbę 6 przez 0, ale nie da się tego zrobić. Odpowiedź: wyrażenie 1) nie ma sensu, gdy a = 0.

W przykładzie 2) mianownik x wynosi 4 = 0 przy x = 4, dlatego nie można przyjąć tej wartości x = 4. Odpowiedź: wyrażenie 2) nie ma sensu, gdy x = 4.

W przykładzie 3) mianownikiem jest x + 2 = 0, gdy x = -2. Odpowiedź: wyrażenie 3) nie ma sensu, gdy x = -2.

W przykładzie 4) mianownikiem jest 5 -|x| = 0 dla |x| = 5. A ponieważ |5| = 5 i |-5| = 5, to nie możesz przyjąć x = 5 i x = -5. Odpowiedź: wyrażenie 4) nie ma sensu przy x = -5 i przy x = 5.
IV. Mówi się, że dwa wyrażenia są identycznie równe, jeśli dla dowolnych dopuszczalnych wartości zmiennych odpowiadające im wartości tych wyrażeń są równe.

Przykład: 5 (a – b) i 5a – 5b są również równe, ponieważ równość 5 (a – b) = 5a – 5b będzie prawdziwa dla dowolnych wartości a i b. Równość 5 (a – b) = 5a – 5b jest tożsamością.

Tożsamość jest równością obowiązującą dla wszystkich dopuszczalnych wartości zawartych w niej zmiennych. Przykładami znanych już tożsamości są na przykład właściwości dodawania i mnożenia oraz własność rozdzielności.

Zastąpienie jednego wyrażenia innym, identycznie równym wyrażeniem nazywa się transformacją tożsamości lub po prostu transformacją wyrażenia. Identyczne przekształcenia wyrażeń ze zmiennymi przeprowadza się w oparciu o właściwości operacji na liczbach.

Przykłady.

A) przekonwertuj wyrażenie na identyczne, korzystając z rozdzielności mnożenia:

1) 10·(1,2x + 2,3 lat); 2) 1,5·(a-2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Rozwiązanie. Przypomnijmy rozdzielność (prawo) mnożenia:

(a+b)c=ac+bc(rozdzielne prawo mnożenia względem dodawania: aby pomnożyć sumę dwóch liczb przez trzecią liczbę, możesz pomnożyć każdy wyraz przez tę liczbę i dodać otrzymane wyniki).
(a-b) c=a c-b do(prawo rozdzielności mnożenia względem odejmowania: aby pomnożyć różnicę dwóch liczb przez trzecią liczbę, możesz pomnożyć odjemną i odjąć tę liczbę osobno, a drugą od pierwszego wyniku odjąć).

1) 10·(1,2x + 2,3 lat) = 10 · 1,2x + 10 · 2,3 lat = 12x + 23 lata.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6:00 -2an +ak.

B) przekształć wyrażenie na identyczne równe, korzystając z właściwości (praw) przemienności i łączenia (praw) dodawania:

4) x + 4,5 +2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s.

Rozwiązanie. Zastosujmy prawa (właściwości) dodawania:

a+b=b+a(przemienne: przestawienie wyrazów nie zmienia sumy).
(a+b)+c=a+(b+c)(kombinowane: aby dodać trzecią liczbę do sumy dwóch wyrazów, możesz dodać sumę drugiego i trzeciego do pierwszej liczby).

4) x + 4,5 +2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

V) Przekształć wyrażenie na identycznie równe, korzystając z właściwości (praw) przemienności i łączenia (praw) mnożenia:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.

Rozwiązanie. Zastosujmy prawa (właściwości) mnożenia:

a·b=b·a(przemienne: przestawianie czynników nie zmienia iloczynu).
(a b) c=a (b c)(kombinowane: aby pomnożyć iloczyn dwóch liczb przez trzecią liczbę, możesz pomnożyć pierwszą liczbę przez iloczyn drugiej i trzeciej).

(34∙10+(489–296)∙8):4–410. Określ kierunek działania. Wykonaj pierwszą akcję w nawiasach wewnętrznych 489–296=193. Następnie pomnóż 193∙8=1544 i 34∙10=340. Następna akcja: 340+1544=1884. Następnie podziel 1884:4=461 i odejmij 461–410=60. Znalazłeś znaczenie tego wyrażenia.

Przykład. Znajdź wartość wyrażenia 2sin 30°∙cos 30°∙tg 30°∙ctg 30°. Uprość to wyrażenie. W tym celu należy skorzystać ze wzoru tg α∙ctg α=1. Uzyskaj: 2sin 30°∙cos 30°∙1=2sin 30°∙cos 30°. Wiadomo, że sin 30°=1/2 i cos 30°=√3/2. Zatem 2sin 30°∙cos 30°=2∙1/2∙√3/2=√3/2. Znalazłeś znaczenie tego wyrażenia.

Wartość wyrażenia algebraicznego z . Aby znaleźć wartość wyrażenia algebraicznego, mając dane zmienne, uprość wyrażenie. Zastąp określone wartości zmiennymi. Wykonaj niezbędne kroki. W rezultacie otrzymasz liczbę, która będzie wartością wyrażenia algebraicznego dla podanych zmiennych.

Przykład. Znajdź wartość wyrażenia 7(a+y)–3(2a+3y) dla a=21 i y=10. Uprość to wyrażenie i otrzymaj: a–2y. Podstaw odpowiednie wartości zmiennych i oblicz: a–2y=21–2∙10=1. Jest to wartość wyrażenia 7(a+y)–3(2a+3y) przy a=21 i y=10.

notatka

Istnieją wyrażenia algebraiczne, które nie mają sensu dla niektórych wartości zmiennych. Na przykład wyrażenie x/(7–a) nie ma sensu, jeśli a=7, ponieważ w tym przypadku mianownik ułamka staje się zerem.

Źródła:

• znajdź najmniejszą wartość wyrażenia
• Znajdź znaczenie wyrażeń dla c 14

Nauka upraszczania wyrażeń matematycznych jest po prostu konieczna, aby poprawnie i szybko rozwiązywać problemy i różne równania. Uproszczenie wyrażenia polega na zmniejszeniu liczby kroków, co ułatwia obliczenia i oszczędza czas.

Instrukcje

Naucz się obliczać potęgi c. Mnożąc potęgę c, otrzymujemy liczbę o tej samej podstawie i dodajemy wykładniki b^m+b^n=b^(m+n). Dzieląc potęgi o tych samych podstawach, otrzymuje się potęgę liczby, której podstawa pozostaje taka sama, odejmuje się wykładniki potęg, a od wykładnika dzielnej odejmuje się wykładnik dzielnika b^m : b^n=b^(m-n). Podnosząc potęgę do potęgi, otrzymujemy potęgę liczby, której podstawa pozostaje taka sama, a wykładniki mnożymy (b^m)^n=b^(mn) Podnosząc do potęgi, każdy współczynnik jest podnoszone do tej potęgi. (abc)^m=a^m *b^m*c^m

Wielomiany czynnikowe, tj. wyobraź sobie je jako iloczyn kilku czynników - i jednomianów. Usuń wspólny czynnik z nawiasów. Naucz się podstawowych wzorów na skrócone mnożenie: różnica kwadratów, różnica kwadratów, suma, różnica kostek, sześcian sumy i różnica. Na przykład m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. Wzory te są głównymi w uproszczeniu. Skorzystaj z metody izolowania kwadratu doskonałego w trójmianie o postaci ax^2+bx+c.

Skróć ułamki tak często, jak to możliwe. Na przykład (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). Pamiętaj jednak, że możesz jedynie zmniejszać mnożniki. Jeśli licznik i mianownik ułamka algebraicznego zostaną pomnożone przez tę samą liczbę różną od zera, wówczas wartość ułamka nie ulegnie zmianie. Wyrażenia można konwertować na dwa sposoby: łańcuchowo i według akcji. Druga metoda jest lepsza, ponieważ łatwiej jest sprawdzić rezultaty działań pośrednich.

Często konieczne jest wyodrębnienie pierwiastków z wyrażeń. Nawet pierwiastki są wyodrębniane tylko z nieujemnych wyrażeń lub liczb. Z dowolnego wyrażenia można wyodrębnić nieparzyste pierwiastki.

Źródła:

• uproszczenie wyrażeń z potęgami

Funkcje trygonometryczne pojawiły się po raz pierwszy jako narzędzia do abstrakcyjnych obliczeń matematycznych zależności wartości kątów ostrych w trójkącie prostokątnym od długości jego boków. Obecnie są one bardzo szeroko stosowane zarówno w naukowych, jak i technicznych dziedzinach działalności człowieka. Do praktycznych obliczeń funkcji trygonometrycznych danych argumentów można wykorzystać różne narzędzia - kilka z najbardziej dostępnych opisano poniżej.

Instrukcje

Skorzystaj na przykład z programu kalkulatora instalowanego domyślnie wraz z systemem operacyjnym. Otwiera się poprzez wybranie pozycji „Kalkulator” w folderze „Narzędzia” z podsekcji „Standard”, umieszczonej w sekcji „Wszystkie programy”. Sekcję tę można otworzyć, klikając przycisk „Start” w głównym menu operacyjnym. Jeśli korzystasz z wersji dla systemu Windows 7, możesz po prostu wpisać „Kalkulator” w polu „Wyszukaj programy i pliki” w menu głównym, a następnie kliknąć odpowiedni link w wynikach wyszukiwania.

Policz liczbę wymaganych kroków i zastanów się nad kolejnością, w jakiej należy je wykonać. Jeśli to pytanie jest dla Ciebie trudne, pamiętaj, że najpierw wykonywane są operacje zawarte w nawiasach, a następnie dzielenie i mnożenie; i odejmowanie wykonujemy na końcu. Aby ułatwić zapamiętanie algorytmu wykonywanych akcji, w wyrażeniu nad każdą akcją znak operatora akcji (+,-,*,:), zapisz cienkim ołówkiem liczby odpowiadające wykonaniu akcji.

Przejdź do pierwszego kroku, zachowując ustaloną kolejność. Policz w głowie, czy działania są łatwe do wykonania werbalnie. Jeżeli wymagane są obliczenia (w kolumnie), zapisz je pod wyrażeniem, podając numer seryjny akcji.

Przejrzyście śledź kolejność wykonywanych czynności, oceń, co należy odjąć od czego, podzielić na co itp. Bardzo często odpowiedź w wyrażeniu jest błędna z powodu błędów popełnionych na tym etapie.

Charakterystyczną cechą wyrażenia jest obecność operacji matematycznych. Wskazują na to pewne znaki (mnożenie, dzielenie, odejmowanie lub dodawanie). W razie potrzeby kolejność wykonywania operacji matematycznych koryguje się nawiasami. Wykonywanie operacji matematycznych oznacza znajdowanie .

Co nie jest wyrażeniem

Nie każdy zapis matematyczny można sklasyfikować jako wyrażenie.

Równości nie są wyrażeniami. Nie ma znaczenia, czy w równości występują operacje matematyczne, czy nie. Na przykład a=5 jest równością, a nie wyrażeniem, ale 8+6*2=20 również nie może być uważane za wyrażenie, chociaż zawiera mnożenie. Ten przykład również należy do kategorii równości.

Pojęcia ekspresji i równości nie wykluczają się wzajemnie; pierwsze mieści się w drugim. Znak równości łączy dwa wyrażenia:
5+7=24:2

Równanie to można uprościć:
5+7=12

Wyrażenie zawsze zakłada, że ​​operacje matematyczne, które reprezentuje, można wykonać. 9+:-7 nie jest wyrażeniem, chociaż są tu oznaki działań matematycznych, bo nie da się tych działań wykonać.

Istnieją również wyrażenia matematyczne, które formalnie są wyrażeniami, ale nie mają żadnego znaczenia. Przykład takiego wyrażenia:
46:(5-2-3)

Liczbę 46 należy podzielić przez wynik działań w nawiasach i jest równa zero. Nie można dzielić przez zero; czynność jest uważana za zabronioną.

Wyrażenia numeryczne i algebraiczne

Istnieją dwa typy wyrażeń matematycznych.

Jeśli wyrażenie zawiera tylko liczby i symbole operacji matematycznych, takie wyrażenie nazywa się numerycznym. Jeśli w wyrażeniu obok liczb znajdują się zmienne oznaczone literami lub w ogóle nie ma liczb, wyrażenie składa się wyłącznie ze zmiennych i symboli działań matematycznych, nazywa się to algebraicznym.

Podstawowa różnica między wartością liczbową a wartością algebraiczną polega na tym, że wyrażenie numeryczne ma tylko jedną wartość. Na przykład wartość wyrażenia numerycznego 56–2*3 będzie zawsze równa 50; nic nie można zmienić. Wyrażenie algebraiczne może mieć wiele wartości, ponieważ dowolną liczbę można zastąpić. Jeśli więc w wyrażeniu b–7 podstawimy b za 9, wartość wyrażenia wyniesie 2, a jeśli 200, będzie to 193.

Źródła:

• Wyrażenia numeryczne i algebraiczne