ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರ ಲೋಲಕ. ಗಣಿತದ ಲೋಲಕ: ಅವಧಿ, ವೇಗವರ್ಧನೆ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕ- ಇದು ಭೌತಿಕ ಲೋಲಕದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಅದರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಚೆಂಡನ್ನು (ಮೆಟೀರಿಯಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್), ದೊಡ್ಡ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ, ಉದ್ದವಾದ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗದ ದಾರದ ಮೇಲೆ ಅಮಾನತುಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ (ಅಮಾನತು) ಗಣಿತದ ಲೋಲಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಆಂದೋಲನಗೊಳ್ಳುವ ಆದರ್ಶೀಕೃತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. 50-100 ರ ಕ್ರಮದ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಗಣಿತದ ಲೋಲಕವು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದ್ದನೆಯ ಸರಪಳಿಯ ಮೇಲೆ ಗೊಂಚಲುಗಳ ಸ್ವಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಗೆಲಿಲಿಯೋ ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಂದೋಲನದ ಅವಧಿಯು ಸಣ್ಣ ವಿಚಲನ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿನ ವೈಶಾಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅವರು ಅರಿತುಕೊಂಡರು.

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಆಂದೋಲನ ಅವಧಿಯ ಸೂತ್ರ

ಲೋಲಕದ ಅಮಾನತು ಬಿಂದುವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಲಿ. ಲೋಲಕದ ಥ್ರೆಡ್‌ನಿಂದ ಅಮಾನತುಗೊಳಿಸಲಾದ ಹೊರೆಯು ವೃತ್ತದ ಆರ್ಕ್ (Fig.1(a)) ಜೊತೆಗೆ ವೇಗವರ್ಧನೆಯೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಶಕ್ತಿ ($\overline(F)$) ಅದರ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಲೋಡ್ ಚಲಿಸುವಾಗ ಈ ಬಲವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಚಲನೆಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಸರಳೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ. ಲೋಲಕವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕೋನ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 1 (ಬಿ)). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಲೋಡ್ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯ ಆಂದೋಲನಗಳ ಅವಧಿಯು ಲೋಡ್ನ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಚಲನೆಯ ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಸುತ್ತಳತೆಯ ಸುತ್ತಲೂ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಲೋಲಕದ ಕ್ರಾಂತಿಯ ಅವಧಿಯು ತೂಕವು ಸುತ್ತಳತೆಯ ಸುತ್ತ ಒಂದು ತಿರುವಿನಲ್ಲಿ ಕಳೆಯುವ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಇಲ್ಲಿ $L$ ಸುತ್ತಳತೆ; $v$ - ಸರಕು ಚಲನೆಯ ವೇಗ. ಲಂಬದಿಂದ ಥ್ರೆಡ್ನ ವಿಚಲನದ ಕೋನಗಳು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ (ಸಣ್ಣ ಆಂದೋಲನದ ಆಂಪ್ಲಿಟ್ಯೂಡ್ಸ್), ನಂತರ ಪುನಃಸ್ಥಾಪನೆ ಬಲವನ್ನು ($F_1$) ಲೋಡ್ ವಿವರಿಸುವ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಈ ಬಲವು ಕೇಂದ್ರಾಭಿಮುಖ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಇದೇ ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: AOB ಮತ್ತು DBC (Fig. 1 (b)).

ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸರಿಯಾದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ (2) ಮತ್ತು (3), ನಾವು ಲೋಡ್ನ ಚಲನೆಯ ವೇಗವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

\[\frac(mv^2)(R)=mg\frac(R)(l)\ \ to v=R\sqrt(\frac(g)(l))\ಎಡ(4\ಬಲ).\]

ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶದ ವೇಗವನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ (1) ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

\ \

ಸೂತ್ರದಿಂದ (5) ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿಯು ಅದರ ಅಮಾನತಿನ ಉದ್ದವನ್ನು (ಅಮಾನತು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಹೊರೆಯ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಇರುವ ಅಂತರ) ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಪತನದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿಗೆ ಫಾರ್ಮುಲಾ (5) ಅನ್ನು ಹ್ಯೂಜೆನ್ಸ್ ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಲೋಲಕದ ಅಮಾನತು ಬಿಂದುವು ಚಲಿಸದಿದ್ದಾಗ ಅದನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉಚಿತ ಪತನದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ಮೇಲೆ ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಆಂದೋಲನದ ಅವಧಿಯ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಈ ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಲೋಲಕದ ಉದ್ದವನ್ನು ಅಳೆಯಿರಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, $ ಟಿ $ ಅವಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ನಂತರ ಮುಕ್ತ ಪತನದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 1

ವ್ಯಾಯಾಮ.ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಮುಕ್ತ ಪತನದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ಪ್ರಮಾಣವು ಅಕ್ಷಾಂಶವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. $l=2.485\cdot (10)^(-1)$m ಉದ್ದದ ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಆಂದೋಲನದ ಅವಧಿಯು T=1 c?\textit() ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾಸ್ಕೋದ ಅಕ್ಷಾಂಶದಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತ ಪತನದ ವೇಗವರ್ಧನೆ ಏನು?

ಪರಿಹಾರ.ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಆಧಾರವಾಗಿ, ನಾವು ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು (1.1) ಮುಕ್ತ ಪತನ ವೇಗವರ್ಧನೆಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ:

ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಉತ್ತರ.$g=9.81\frac(m)(s^2)$

ಉದಾಹರಣೆ 2

ವ್ಯಾಯಾಮ.ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಅಮಾನತು ಬಿಂದುವು ಲಂಬವಾಗಿ ಕೆಳಕ್ಕೆ ಚಲಿಸಿದರೆ 1) ಸ್ಥಿರ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಆಂದೋಲನದ ಅವಧಿ ಏನು? 2) ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷದೊಂದಿಗೆ $a$? ಈ ಲೋಲಕದ ದಾರದ ಉದ್ದವು $l.$ ಆಗಿದೆ

ಪರಿಹಾರ.ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮಾಡೋಣ.

1) ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿಯು ಅದರ ಅಮಾನತು ಬಿಂದುವು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಸ್ಥಿರ ಅಮಾನತು ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

2) ಲೋಲಕದ ಅಮಾನತು ಬಿಂದುವಿನ ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷದ ವಿರುದ್ಧ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾದ $F=ma$ ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಬಲದ ನೋಟವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷವನ್ನು ಮೇಲಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದರೆ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಬಲವನ್ನು ಕೆಳಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಬಲಕ್ಕೆ ($mg$) ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಮಾನತು ಬಿಂದುವು ಕೆಳಮುಖವಾದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸಿದರೆ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಬಲವನ್ನು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಬಲದಿಂದ ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆಂದೋಲನಗೊಳ್ಳುವ ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿ ಮತ್ತು ಅಮಾನತು ಬಿಂದುವು ವೇಗವರ್ಧನೆಯೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, ನಾವು ಹೀಗೆ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಉತ್ತರ. 1) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g))$; 2) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g-a))$

ಭೌತಿಕ ಲೋಲಕದ ಆಂದೋಲನದ ಅವಧಿಯು ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ: ದೇಹದ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ಆಕಾರದ ಮೇಲೆ, ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ಅಮಾನತುಗೊಳಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಡುವಿನ ಅಂತರ ಮತ್ತು ಈ ಹಂತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ದೇಹದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ವಿತರಣೆಯ ಮೇಲೆ; ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಮಾನತುಗೊಳಿಸಿದ ದೇಹದ ಅವಧಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಕಷ್ಟದ ಕೆಲಸ. ಗಣಿತದ ಲೋಲಕಕ್ಕೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಲೋಲಕಗಳ ಅವಲೋಕನಗಳಿಂದ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸರಳ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದು.

1. ಲೋಲಕದ ಒಂದೇ ಉದ್ದವನ್ನು (ಅಮಾನತುಗೊಳಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಲೋಡ್‌ನ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಇರುವ ಅಂತರ) ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ, ವಿಭಿನ್ನ ಲೋಡ್‌ಗಳನ್ನು ಅಮಾನತುಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಆಂದೋಲನ ಅವಧಿಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೂ ಲೋಡ್‌ಗಳ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳು ಬಹಳ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿಯು ಹೊರೆಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ.

2. ಲೋಲಕವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವಾಗ, ಅದು ವಿಭಿನ್ನ (ಆದರೆ ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಲ್ಲ) ಕೋನಗಳಿಗೆ ತಿರುಗಿದರೆ, ಅದು ವಿಭಿನ್ನ ವೈಶಾಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಆಂದೋಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆಂಪ್ಲಿಟ್ಯೂಡ್‌ಗಳು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರದವರೆಗೆ, ಆಂದೋಲನಗಳು ಅವುಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ (§ 5) ಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿಯು ಆಂದೋಲನಗಳ ವೈಶಾಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಐಸೋಕ್ರೊನಿಸಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಗ್ರೀಕ್ ಪದಗಳಿಂದ "ಐಸೋಸ್" - ಸಮಾನ, "ಕ್ರೋನೋಸ್" - ಸಮಯ).

ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಮೊದಲು 1655 ರಲ್ಲಿ ಗೆಲಿಲಿಯೋ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರು. ಗೆಲಿಲಿಯೋ ಪಿಸಾ ಕ್ಯಾಥೆಡ್ರಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಉದ್ದನೆಯ ಸರಪಳಿಯ ಮೇಲೆ ಗೊಂಚಲು ತೂಗಾಡುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿದನು, ಅದನ್ನು ಹೊತ್ತಿಸಿದಾಗ ತಳ್ಳಲಾಯಿತು. ಸೇವೆಯ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ, ಸ್ವಿಂಗ್ಗಳ ವೈಶಾಲ್ಯವು ಕ್ರಮೇಣ ಮರೆಯಾಯಿತು (§ 11), ಅಂದರೆ, ಆಂದೋಲನಗಳ ವೈಶಾಲ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಯಿತು, ಆದರೆ ಅವಧಿಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಗೆಲಿಲಿಯೋ ತನ್ನ ನಾಡಿಯನ್ನು ಸಮಯದ ಸೂಚನೆಯಾಗಿ ಬಳಸಿದನು.

ನಾವು ಈಗ ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಆಂದೋಲನದ ಅವಧಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 16. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಲೋಲಕದ ಆಂದೋಲನಗಳು (ಎ) ಮತ್ತು ಕೋನ್ (ಬಿ) ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲನೆ

ಲೋಲಕವು ಸ್ವಿಂಗ್ ಮಾಡಿದಾಗ, ಲೋಡ್ ಚಲನೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವ ಪುನಃಸ್ಥಾಪನೆ ಬಲದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಆರ್ಕ್ (Fig. 16, a) ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವೇಗಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರವಲ್ಲದ ಶಕ್ತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ದೇಹದ ಚಲನೆಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಳತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಲೋಲಕವನ್ನು ಒಂದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಆಂದೋಲನ ಮಾಡದಂತೆ ಮಾಡೋಣ, ಆದರೆ ಕೋನ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಿ ಇದರಿಂದ ಲೋಡ್ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 16, ಬಿ). ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಕಂಪನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು: ಒಂದು ಇನ್ನೂ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಲಂಬ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ಎರಡೂ ಸಮತಲ ಆಂದೋಲನಗಳ ಅವಧಿಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಆಂದೋಲನ ಸಮತಲವು ಇತರರಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಚಲನೆಯ ಅವಧಿ - ಕೋನ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಲೋಲಕದ ತಿರುಗುವಿಕೆ - ನೀರಿನ ಸಮತಲದ ಸ್ವಿಂಗ್ ಅವಧಿಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ನೇರ ಅನುಭವದಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಎರಡು ಒಂದೇ ಲೋಲಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸ್ವಿಂಗ್ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಕೋನ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ತಿರುಗಿಸಲು ಹೇಳುತ್ತದೆ.

ಆದರೆ "ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ" ಲೋಲಕದ ಕ್ರಾಂತಿಯ ಅವಧಿಯು ಲೋಡ್ನಿಂದ ವಿವರಿಸಿದ ವೃತ್ತದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ವೇಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಲಂಬದಿಂದ ವಿಚಲನದ ಕೋನವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ (ಸಣ್ಣ ವೈಶಾಲ್ಯಗಳು), ನಂತರ ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಬಲವನ್ನು ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಕೇಂದ್ರಾಭಿಮುಖ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಇದು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ರಿಂದ, ನಂತರ ಇಲ್ಲಿಂದ

ಎರಡೂ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸಮೀಕರಿಸಿ, ನಾವು ಪರಿಚಲನೆಯ ವೇಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಅವಧಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿಯು ಮುಕ್ತ ಪತನದ ವೇಗವರ್ಧನೆ ಮತ್ತು ಲೋಲಕದ ಉದ್ದದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅಮಾನತುಗೊಳಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಹೊರೆಯ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಇರುವ ಅಂತರ. ಪಡೆದ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿಯು ಅದರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು ವೈಶಾಲ್ಯದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಅದು ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ). ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅವಲೋಕನಗಳಿಂದ ಹಿಂದೆ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾದ ಮೂಲಭೂತ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಆದರೆ ನಮ್ಮ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ನಮಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ: ಲೋಲಕದ ಅವಧಿ, ಅದರ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಪತನದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ನಡುವಿನ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಇದು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿಯು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೇಗವರ್ಧನೆಗೆ ಲೋಲಕದ ಉದ್ದದ ಅನುಪಾತದ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಅನುಪಾತದ ಗುಣಾಂಕವು .

ಈ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಅತ್ಯಂತ ನಿಖರವಾದ ಮಾರ್ಗವು ಮುಕ್ತ ಪತನದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ಮೇಲೆ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿಯ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಲೋಲಕದ ಉದ್ದವನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಂದೋಲನಗಳಿಂದ ಅವಧಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಪಡೆದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮುಕ್ತ ಪತನದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ಸ್ಥಳದ ಭೌಗೋಳಿಕ ಅಕ್ಷಾಂಶವನ್ನು (ಧ್ರುವದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸಮಭಾಜಕದಲ್ಲಿ) ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ (ಸಂಪುಟ I, §53 ನೋಡಿ). ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉಲ್ಲೇಖ ಲೋಲಕದ ಸ್ವಿಂಗ್ ಅವಧಿಯ ಅವಲೋಕನಗಳು ಅಕ್ಷಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಉಚಿತ ಪತನದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಎಷ್ಟು ನಿಖರವಾಗಿದೆಯೆಂದರೆ ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಒಂದೇ ಸಮಾನಾಂತರದಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ, ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿನ ಈ ವೈಪರೀತ್ಯಗಳು ಭೂಮಿಯ ಹೊರಪದರದ ಅಸಮ ಸಾಂದ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಸಾಂದ್ರತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಭೂಮಿಯ ಹೊರಪದರದ ದಪ್ಪದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಖನಿಜಗಳ ಸಂಭವವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೋವಿಯತ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಪಯೋಟರ್ ಪೆಟ್ರೋವಿಚ್ ಅವರ ಮಾರ್ಗದರ್ಶನದಲ್ಲಿ ಕರ್ಸ್ಕ್ ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಅಸಂಗತತೆ (ಸಂಪುಟ II, § 130 ನೋಡಿ) ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಯುಎಸ್ಎಸ್ಆರ್ನಲ್ಲಿ ದಟ್ಟವಾದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವಂತೆ ಮಾಡಿದ ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲಾಯಿತು. ಲಾಜರೆವ್. ಭೂಮಿಯ ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅಸಂಗತತೆಯ ದತ್ತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಯೊಂದಿಗೆ, ಈ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ದತ್ತಾಂಶವು ಕಬ್ಬಿಣದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸಿತು, ಇದು ಕುರ್ಸ್ಕ್ ಕಾಂತೀಯ ಮತ್ತು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೈಪರೀತ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ.

ಏಕರೂಪದ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗದ ತೂಕವಿಲ್ಲದ ದಾರದ ಮೇಲೆ (ದೇಹದ ತೂಕಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಅದರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿದೆ) ನೇತಾಡುವ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವನ್ನು (ದೇಹ) ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಗಣಿತದ ಲೋಲಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಇನ್ನೊಂದು ಹೆಸರು ಆಂದೋಲಕ) . ಈ ಸಾಧನದ ಇತರ ವಿಧಗಳಿವೆ. ಥ್ರೆಡ್ ಬದಲಿಗೆ, ತೂಕವಿಲ್ಲದ ರಾಡ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಗಣಿತದ ಲೋಲಕವು ಅನೇಕ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಸಾರವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಆಂದೋಲನದ ಸಣ್ಣ ವೈಶಾಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ, ಅದರ ಚಲನೆಯನ್ನು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾಹಿತಿ

ಈ ಲೋಲಕದ ಆಂದೋಲನದ ಅವಧಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಡಚ್ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಹ್ಯೂಜೆನ್ಸ್ (1629-1695) ಪಡೆದರು. I. ನ್ಯೂಟನ್ನ ಈ ಸಮಕಾಲೀನ ಈ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ತುಂಬಾ ಇಷ್ಟಪಟ್ಟಿದ್ದರು. 1656 ರಲ್ಲಿ ಅವರು ಮೊದಲ ಲೋಲಕದ ಗಡಿಯಾರವನ್ನು ರಚಿಸಿದರು. ಅವರು ಆ ಸಮಯಗಳಿಗೆ ಅಸಾಧಾರಣ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಮಯವನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತಾರೆ. ಈ ಆವಿಷ್ಕಾರವು ದೈಹಿಕ ಪ್ರಯೋಗಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಹಂತವಾಯಿತು.

ಲೋಲಕವು ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ (ಲಂಬವಾಗಿ ನೇತಾಡುತ್ತದೆ), ನಂತರ ಅದು ಥ್ರೆಡ್ ಟೆನ್ಷನ್ ಬಲದಿಂದ ಸಮತೋಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗದ ಥ್ರೆಡ್ನಲ್ಲಿ ಫ್ಲಾಟ್ ಲೋಲಕವು ಸಂಪರ್ಕದೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಡಿಗ್ರಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ನೀವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಘಟಕವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಥ್ರೆಡ್ ಅನ್ನು ರಾಡ್ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ಈ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕೇವಲ 1 ಡಿಗ್ರಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಯಾವುವು? ಈ ಸರಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಆವರ್ತಕ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅವ್ಯವಸ್ಥೆ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಅಮಾನತು ಬಿಂದುವು ಚಲಿಸದೆ, ಆದರೆ ಆಂದೋಲನಗೊಂಡಾಗ, ಲೋಲಕವು ಹೊಸ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ಷಿಪ್ರವಾಗಿ ಮೇಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಕ್ಕೆ ಆಂದೋಲನಗಳೊಂದಿಗೆ, ಈ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿರವಾದ ತಲೆಕೆಳಗಾದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಅವಳಿಗೆ ತನ್ನದೇ ಆದ ಹೆಸರೂ ಇದೆ. ಇದನ್ನು ಕಪಿಟ್ಜಾದ ಲೋಲಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಲೋಲಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕವು ಬಹಳ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇವೆಲ್ಲವೂ ತಿಳಿದಿರುವ ಭೌತಿಕ ಕಾನೂನುಗಳಿಂದ ದೃಢೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಇತರ ಲೋಲಕದ ಆಂದೋಲನದ ಅವಧಿಯು ದೇಹದ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ಆಕಾರ, ಅಮಾನತುಗೊಳಿಸುವ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರದ ನಡುವಿನ ಅಂತರ, ಈ ಹಂತಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ವಿತರಣೆಯಂತಹ ವಿವಿಧ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ನೇತಾಡುವ ದೇಹದ ಅವಧಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಕಷ್ಟದ ಕೆಲಸ. ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ, ಅದರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗುವುದು. ಇದೇ ರೀತಿಯ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಅವಲೋಕನಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದು:

ಲೋಲಕದ ಒಂದೇ ಉದ್ದವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ, ವಿಭಿನ್ನ ತೂಕವನ್ನು ಅಮಾನತುಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಅವುಗಳ ಆಂದೋಲನಗಳ ಅವಧಿಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೂ ಅವುಗಳ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳು ಬಹಳ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಹ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿಯು ಹೊರೆಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವಾಗ, ಲೋಲಕವು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಲ್ಲ, ಆದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ಕೋನಗಳಿಂದ ತಿರುಗಿದರೆ, ಅದು ಅದೇ ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಆಂದೋಲನಗೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ವೈಶಾಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ. ಸಮತೋಲನದ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ವಿಚಲನಗಳು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಆಂದೋಲನಗಳು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿವೆ. ಅಂತಹ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿಯು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಂದೋಲನದ ವೈಶಾಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಐಸೋಕ್ರೊನಿಸಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಗ್ರೀಕ್ "ಕ್ರೋನೋಸ್" ನಿಂದ ಅನುವಾದಿಸಲಾಗಿದೆ - ಸಮಯ, "ಐಸೋಸ್" - ಸಮಾನ).

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿ

ಈ ಸೂಚಕವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಆಂದೋಲನಗಳ ಅವಧಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಪದಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ದಾರದ ಉದ್ದವು L ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಪತನದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯು g ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಮೌಲ್ಯವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಸಣ್ಣ ಅವಧಿಯು ಲೋಲಕದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು ಆಂದೋಲನಗಳ ವೈಶಾಲ್ಯದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಲೋಲಕವು ಕಡಿಮೆ ಉದ್ದದೊಂದಿಗೆ ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದಂತೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಆಂದೋಲನಗಳು

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕವು ಆಂದೋಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸರಳ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು:

x + ω2 ಪಾಪ x = 0,

ಇಲ್ಲಿ x (t) ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ (ಇದು t ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಸಮತೋಲನದ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ವಿಚಲನದ ಕೋನವಾಗಿದೆ, ರೇಡಿಯನ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ); ω ಎಂಬುದು ಲೋಲಕದ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುವ ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ (ω = √g/L, ಇಲ್ಲಿ g ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೇಗವರ್ಧನೆ ಮತ್ತು L ಎಂಬುದು ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಉದ್ದ (ಅಮಾನತು).

ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದ (ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ) ಬಳಿ ಸಣ್ಣ ಆಂದೋಲನಗಳ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

x + ω2 ಪಾಪ x = 0

ಲೋಲಕದ ಆಂದೋಲಕ ಚಲನೆಗಳು

ಸಣ್ಣ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ಗಣಿತದ ಲೋಲಕವು ಸೈನುಸಾಯ್ಡ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಅಂತಹ ಚಲನೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಅಗತ್ಯತೆಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಪಥವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನೀವು ವೇಗ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬೇಕು, ಇದರಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

x \u003d ಒಂದು ಪಾಪ (θ 0 + ωt),

ಇಲ್ಲಿ θ 0 ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವಾಗಿದೆ, A ಎಂಬುದು ಆಂದೋಲನ ವೈಶಾಲ್ಯವಾಗಿದೆ, ω ಎಂಬುದು ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾದ ಚಕ್ರ ಆವರ್ತನವಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕ (ದೊಡ್ಡ ಆಂಪ್ಲಿಟ್ಯೂಡ್‌ಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳು)

ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ವೈಶಾಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ಈ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಲೋಲಕಕ್ಕಾಗಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

sin x/2 = u * sn(ωt/u),

ಅಲ್ಲಿ sn ಎಂಬುದು ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಸೈನ್ ಆಗಿದೆ, ಅದು ನಿಮಗೆ< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2,

ಅಲ್ಲಿ ε = E/mL2 (mL2 ಲೋಲಕದ ಶಕ್ತಿ).

ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಲೋಲಕದ ಆಂದೋಲನದ ಅವಧಿಯನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಇಲ್ಲಿ Ω = π/2 * ω/2K(u), K ಎಂಬುದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ, π - 3,14.

ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಲೋಲಕದ ಚಲನೆ

ಸೆಪಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎನ್ನುವುದು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಹಂತದ ಜಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಡೈನಾಮಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಪಥವಾಗಿದೆ. ಗಣಿತದ ಲೋಲಕವು ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಅದರ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮಯದ ಅಪರಿಮಿತ ದೂರದ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ, ಅದು ಅತ್ಯಂತ ಮೇಲಿನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಶೂನ್ಯ ವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಬದಿಗೆ ಬೀಳುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಕ್ರಮೇಣ ಅದನ್ನು ಎತ್ತಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಿಲ್ಲುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೂಲ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಮರಳುತ್ತದೆ.

ಲೋಲಕದ ಆಂದೋಲನದ ವೈಶಾಲ್ಯವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿದರೆ π , ಇದು ಹಂತದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಚಲನೆಯು ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಣ್ಣ ಚಾಲನಾ ಆವರ್ತಕ ಶಕ್ತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾಗಿರುವ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೋನ φ ನೊಂದಿಗೆ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ವಿಚಲನಗೊಂಡಾಗ, ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಶಕ್ತಿ Fτ = -mg sin φ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆ ಎಂದರೆ ಈ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಘಟಕವು ಲೋಲಕ ವಿಚಲನದಿಂದ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. L ತ್ರಿಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತದ ಆರ್ಕ್ನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಲೋಲಕದ ಸ್ಥಳಾಂತರವನ್ನು x ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಿದಾಗ, ಅದರ ಕೋನೀಯ ಸ್ಥಳಾಂತರವು φ = x/L ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು ಮತ್ತು ಬಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎರಡನೇ ನಿಯಮವು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ:

mg τ = Fτ = -mg sinx/L

ಈ ಸಂಬಂಧದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಈ ಲೋಲಕವು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಅದನ್ನು ಅದರ ಸಮತೋಲನದ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಹಿಂದಿರುಗಿಸುವ ಬಲವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ಥಳಾಂತರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ x, ಆದರೆ ಪಾಪ x/L ಗೆ.

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕವು ಸಣ್ಣ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದಾಗ ಮಾತ್ರ ಅದು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕವಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಂಪನಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಅಂದಾಜು 15-20° ಕೋನಗಳಿಗೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ದೊಡ್ಡ ಆಂಪ್ಲಿಟ್ಯೂಡ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಲೋಲಕ ಆಂದೋಲನಗಳು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಅಲ್ಲ.

ಲೋಲಕದ ಸಣ್ಣ ಆಂದೋಲನಗಳಿಗೆ ನ್ಯೂಟನ್ರ ನಿಯಮ

ನೀಡಲಾದ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸಣ್ಣ ಕಂಪನಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿದರೆ, ನ್ಯೂಟನ್ರ 2 ನೇ ನಿಯಮವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

mg τ = Fτ = -m* g/L* x.

ಇದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಗಣಿತದ ಲೋಲಕವು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಸ್ಥಳಾಂತರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ಇದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕವಾಗುವ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಳಾಂತರ ಮತ್ತು ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ನಡುವಿನ ಅನುಪಾತದ ಅಂಶದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಆವರ್ತನದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ω02 = g/L; ω0 = √g/L.

ಈ ಸೂತ್ರವು ಈ ರೀತಿಯ ಲೋಲಕದ ಸಣ್ಣ ಆಂದೋಲನಗಳ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ,

T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.

ಶಕ್ತಿಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು

ಲೋಲಕದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಶಕ್ತಿಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಲೋಲಕವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

ಒಟ್ಟು ಚಲನ ಅಥವಾ ಗರಿಷ್ಠ ವಿಭವಕ್ಕೆ ಸಮ: Epmax = Ekmsx = E

ಶಕ್ತಿಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಬರೆದ ನಂತರ, ಸಮೀಕರಣದ ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಬದಿಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು 0 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ (Ep + Ek)" = 0. ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" ​​= mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv*α,

ಆದ್ದರಿಂದ:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + mα) = 0.

ಕೊನೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: α = - g/L*x.

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್

ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ಭೌಗೋಳಿಕ ಅಕ್ಷಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಭೂಮಿಯ ಹೊರಪದರದ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಗ್ರಹದಾದ್ಯಂತ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಾಂದ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಬಂಡೆಗಳು ಸಂಭವಿಸಿದಾಗ, ಅದು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಇರುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಭೂವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಪರಿಶೋಧನೆಗಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿವಿಧ ಖನಿಜಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲೋಲಕದ ಸ್ವಿಂಗ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಭೂಮಿಯ ಕರುಳಿನಲ್ಲಿ ಕಲ್ಲಿದ್ದಲು ಅಥವಾ ಅದಿರನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಅಂತಹ ಪಳೆಯುಳಿಕೆಗಳು ಅವುಗಳ ತಳದಲ್ಲಿರುವ ಸಡಿಲವಾದ ಬಂಡೆಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣ.

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕವನ್ನು ಸಾಕ್ರಟೀಸ್, ಅರಿಸ್ಟಾಟಲ್, ಪ್ಲೇಟೋ, ಪ್ಲುಟಾರ್ಕ್, ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಮುಂತಾದ ಪ್ರಮುಖ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಬಳಸಿದರು. ಈ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಭವಿಷ್ಯ ಮತ್ತು ಜೀವನದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರಬಹುದು ಎಂದು ಅವರಲ್ಲಿ ಹಲವರು ನಂಬಿದ್ದರು. ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ತನ್ನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಲೋಲಕವನ್ನು ಬಳಸಿದನು. ಇತ್ತೀಚಿನ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ, ಅನೇಕ ನಿಗೂಢವಾದಿಗಳು ಮತ್ತು ಅತೀಂದ್ರಿಯಗಳು ತಮ್ಮ ಭವಿಷ್ಯವಾಣಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ಅಥವಾ ಕಾಣೆಯಾದ ಜನರನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಈ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ.

ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಫ್ರೆಂಚ್ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಮತ್ತು ನಿಸರ್ಗಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಸಿ. ಫ್ಲಮರಿಯನ್ ತನ್ನ ಸಂಶೋಧನೆಗೆ ಗಣಿತದ ಲೋಲಕವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಿದನು. ಅವರ ಸಹಾಯದಿಂದ ಹೊಸ ಗ್ರಹದ ಆವಿಷ್ಕಾರ, ತುಂಗುಸ್ಕಾ ಉಲ್ಕಾಶಿಲೆಯ ನೋಟ ಮತ್ತು ಇತರ ಪ್ರಮುಖ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳಿದ್ದಾರೆ. ಜರ್ಮನಿಯಲ್ಲಿ (ಬರ್ಲಿನ್) ಎರಡನೇ ಮಹಾಯುದ್ಧದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷ ಲೋಲಕ ಸಂಸ್ಥೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿತು. ಇಂದು, ಮ್ಯೂನಿಚ್ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಪ್ಯಾರಸೈಕಾಲಜಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿದೆ. ಈ ಸಂಸ್ಥೆಯ ಉದ್ಯೋಗಿಗಳು ಲೋಲಕದೊಂದಿಗೆ ತಮ್ಮ ಕೆಲಸವನ್ನು "ರೇಡಿಸ್ತೇಷಿಯಾ" ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕಅಮಾನತುಗೊಳಿಸುವಿಕೆಗೆ ಲಗತ್ತಿಸಲಾದ ತೂಕವಿಲ್ಲದ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗದ ದಾರದ ಮೇಲೆ ಅಮಾನತುಗೊಳಿಸಲಾದ ವಸ್ತು ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ (ಅಥವಾ ಇತರ ಶಕ್ತಿ) ಇದೆ.

ನಾವು ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ಜಡತ್ವದ ಉಲ್ಲೇಖದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದರ ಅಮಾನತುಗೊಳಿಸುವ ಬಿಂದುವು ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿದೆ ಅಥವಾ ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ವಾಯು ಪ್ರತಿರೋಧದ ಬಲವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುತ್ತೇವೆ (ಆದರ್ಶ ಗಣಿತದ ಲೋಲಕ). ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಲೋಲಕವು ಸಮತೋಲನದ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿದೆ C. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಬಲವು ಅದರ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಥ್ರೆಡ್ನ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವದ F?ynp ಬಲವನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸರಿದೂಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಲೋಲಕವನ್ನು ಸಮತೋಲನದ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಹೊರಗೆ ತರುತ್ತೇವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ಥಾನ A ಗೆ ತಿರುಗಿಸುವುದು) ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ವೇಗವಿಲ್ಲದೆ (Fig. 1) ಹೋಗಲಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪಡೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಮತೋಲನ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಘಟಕವು ಲೋಲಕದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಸ್ಪರ್ಶದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ a?? (ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಪಥಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾದ ಒಟ್ಟು ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ಘಟಕ), ಮತ್ತು ಲೋಲಕವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದ ಕಡೆಗೆ ಚಲಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ. ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅಂಶವು ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವು ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಬಲದ ವಿರುದ್ಧ ದಾರದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಬಲವು ಲೋಲಕಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಇದು ವೇಗ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಲೋಲಕವು ಆರ್ಕ್ ABCD ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ.

ಲೋಲಕವು ಸಮತೋಲನದ ಸ್ಥಾನ C ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿದಷ್ಟೂ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಘಟಕದ ಮೌಲ್ಯವು ಚಿಕ್ಕದಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಅದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ವೇಗವು ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಲೋಲಕವು ಜಡತ್ವದಿಂದ ಮತ್ತಷ್ಟು ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, ಆರ್ಕ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮೇಲಕ್ಕೆ ಏರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಘಟಕವು ವೇಗದ ವಿರುದ್ಧ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ವಿಚಲನ a ದ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ಬಲದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ವೇಗದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು D ಹಂತದಲ್ಲಿ ಲೋಲಕದ ವೇಗವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಲೋಲಕವು ಒಂದು ಕ್ಷಣ ನಿಲ್ಲುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ಮತ್ತೆ ಜಡತ್ವದಿಂದ ಹಾದುಹೋದ ನಂತರ, ಲೋಲಕವು ನಿಧಾನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ A ಅನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ (ಘರ್ಷಣೆ ಇಲ್ಲ), ಅಂದರೆ. ಪೂರ್ಣ ಸ್ವಿಂಗ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅದರ ನಂತರ, ಲೋಲಕದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ವಿವರಿಸಿದ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಉಚಿತ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಲೋಲಕವು B ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರಲಿ. ಈ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಅದರ ಸ್ಥಳಾಂತರ S ಎಂಬುದು ಆರ್ಕ್ CB ಯ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ S = |CB|). ನಾವು ಅಮಾನತು ದಾರದ ಉದ್ದವನ್ನು l ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಲೋಲಕದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು m ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ.

ಚಿತ್ರ 1 ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಎಲ್ಲಿ. ಸಣ್ಣ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ () ಲೋಲಕ ವಿಚಲನ, ಆದ್ದರಿಂದ

ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಘಟಕವು ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದ ಕಡೆಗೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳಾಂತರವನ್ನು ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಎಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನ್ಯೂಟನ್ರ ಎರಡನೇ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ. ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಪಥಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ದಿಕ್ಕಿನ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸುತ್ತೇವೆ

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಚಲನೆಯ ಡೈನಾಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ. ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಸ್ಪರ್ಶದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ಅದರ ಸ್ಥಳಾಂತರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದ ಕಡೆಗೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು

ಅದನ್ನು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲನಗಳ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸುವುದು , ಗಣಿತದ ಲೋಲಕವು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತು ಲೋಲಕದ ಪರಿಗಣಿತ ಆಂದೋಲನಗಳು ಕೇವಲ ಆಂತರಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಿದ ಕಾರಣ, ಇವು ಲೋಲಕದ ಮುಕ್ತ ಆಂದೋಲನಗಳಾಗಿವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಣ್ಣ ವಿಚಲನಗಳೊಂದಿಗೆ ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಉಚಿತ ಆಂದೋಲನಗಳು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

ಸೂಚಿಸು

ಲೋಲಕದ ಆಂದೋಲನಗಳ ಆವರ್ತಕ ಆವರ್ತನ.

ಲೋಲಕದ ಆಂದೋಲನದ ಅವಧಿ. ಆದ್ದರಿಂದ,

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹ್ಯೂಜೆನ್ಸ್ ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಉಚಿತ ಆಂದೋಲನಗಳ ಅವಧಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ವಿಚಲನದ ಸಣ್ಣ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಆಂದೋಲನ ಅವಧಿ:

1. ಅದರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು ಆಂದೋಲನಗಳ ವೈಶಾಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ;
2. ಲೋಲಕದ ಉದ್ದದ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಪತನದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

ಇದು ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಸಣ್ಣ ಆಂದೋಲನಗಳ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ನಿಯಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಜಿ. ಗೆಲಿಲಿಯೋ ಕಂಡುಹಿಡಿದನು.

ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಪೂರೈಸಿದ ಅವಧಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತೇವೆ:

1. ಲೋಲಕ ಆಂದೋಲನಗಳು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಬೇಕು;
2. ಲೋಲಕದ ಅಮಾನತು ಬಿಂದುವು ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿರಬೇಕು ಅಥವಾ ಅದು ಇರುವ ಜಡತ್ವದ ಉಲ್ಲೇಖ ಚೌಕಟ್ಟಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿ ಚಲಿಸಬೇಕು.

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಅಮಾನತು ಬಿಂದುವು ವೇಗವರ್ಧನೆಯೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸಿದರೆ, ಥ್ರೆಡ್ನ ಒತ್ತಡದ ಬಲವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಪುನಃಸ್ಥಾಪನೆ ಬಲದಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಆವರ್ತನ ಮತ್ತು ಆಂದೋಲನದ ಅವಧಿ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ತೋರಿಸಿದಂತೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಲೋಲಕದ ಆಂದೋಲನದ ಅವಧಿಯನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು

ಜಡತ್ವವಲ್ಲದ ಉಲ್ಲೇಖದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಲೋಲಕದ "ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ" ವೇಗವರ್ಧನೆ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಇದು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಎದುರು ವೆಕ್ಟರ್, ಅಂದರೆ. ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕ- ಇದು ಆಂದೋಲನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಭೌತಿಕ ಲೋಲಕದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಲೋಲಕದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗಣಿತದ ಲೋಲಕವನ್ನು ಉದ್ದವಾದ ತೂಕವಿಲ್ಲದ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗದ ದಾರದ ಮೇಲೆ ಅಮಾನತುಗೊಳಿಸಿದ ಚೆಂಡಿನಂತೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಆದರ್ಶೀಕೃತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ಗಣಿತದ ಲೋಲಕಕ್ಕೆ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜು ಎಂದರೆ ತೆಳುವಾದ ಉದ್ದನೆಯ ದಾರದ ಮೇಲೆ ಆಂದೋಲನಗೊಳ್ಳುವ ಬೃಹತ್ ಸಣ್ಣ ಚೆಂಡು.

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಮೊದಲ ವ್ಯಕ್ತಿ ಗೆಲಿಲಿಯೋ, ಉದ್ದನೆಯ ಸರಪಳಿಯ ಮೇಲೆ ಗೊಂಚಲುಗಳ ಸ್ವಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಆಂದೋಲನದ ಅವಧಿಯು ವೈಶಾಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅವರು ಪಡೆದರು. ಲೋಲಕವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದಾಗ, ಅದನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಸಣ್ಣ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ತಿರುಗಿಸಿದರೆ, ಅದರ ಆಂದೋಲನಗಳು ಅದೇ ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ವೈಶಾಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ. ಈ ಗುಣವನ್ನು ಐಸೋಕ್ರೊನಿಸಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕವು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕಕ್ಕೆ ಒಂದು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ:

\[\ddot(\varphi )+(\omega )^2_0\varphi =0\ \ಎಡ(1\ಬಲ),\]

ಇಲ್ಲಿ $\varphi $ ಎಂಬುದು ಸಮತೋಲನದ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಥ್ರೆಡ್ನ ವಿಚಲನದ ಕೋನವಾಗಿದೆ (ಅಮಾನತುಗೊಳಿಸುವಿಕೆ).

ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (1) ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ $\varphi (t):$

\[\varphi (t)=(\varphi )_0(\cos \left((\omega )_0t+\alpha \right)\left(2\right),\ )\]

ಅಲ್ಲಿ $\ ಆಲ್ಫಾ $ - ಆಂದೋಲನಗಳ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತ; $(\varphi )_0$ - ಆಂದೋಲನ ವೈಶಾಲ್ಯ; $(\omega )_0$ - ಆವರ್ತ ಆವರ್ತನ.

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕದ ಆಂದೋಲನವು ಆವರ್ತಕ ಚಲನೆಯ ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಆಂದೋಲಕವು ಮಾದರಿಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಆವರ್ತ ಆವರ್ತನ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಆಂದೋಲನದ ಅವಧಿ

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಆವರ್ತಕ ಆವರ್ತನವು ಅದರ ಅಮಾನತಿನ ಉದ್ದವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ:

\[\ (\omega )_0=\sqrt(\frac(g)(l))\ಎಡ(3\ಬಲ).\]

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ($T$) ಆಂದೋಲನದ ಅವಧಿಯು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ (4) ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿಯು ಅದರ ಅಮಾನತಿನ ಉದ್ದವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ (ತೂಗು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಹೊರೆಯ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಇರುವ ಅಂತರ) ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಪತನದ ವೇಗವರ್ಧನೆ.

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕಕ್ಕೆ ಶಕ್ತಿ ಸಮೀಕರಣ

ಒಂದು ಹಂತದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಕಂಪನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆರಂಭಿಕ ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಶಕ್ತಿ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಇದು ಸಮಯದ ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಘರ್ಷಣೆ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ. ಉಚಿತ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು (ಸಣ್ಣ ಆಂದೋಲನಗಳು) ಮಾಡುವ ಗಣಿತದ ಲೋಲಕಕ್ಕೆ ಶಕ್ತಿಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಇಲ್ಲಿ $E_k$ ಲೋಲಕದ ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ; $E_p$ - ಲೋಲಕದ ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿ; $v$ - ಲೋಲಕದ ವೇಗ; $x$ - $l$ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತದ ಆರ್ಕ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಲೋಲಕದ ತೂಕದ ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಳಾಂತರ, ಆದರೆ ಕೋನ - ​​ಸ್ಥಳಾಂತರವು $x$ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ:

\[\varphi =\frac(x)(l)\left(6\right).\]

ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ:

ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ:

ಇಲ್ಲಿ $h_m$ ಲೋಲಕದ ಗರಿಷ್ಠ ಎತ್ತುವ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ; $x_m$ - ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಲೋಲಕದ ಗರಿಷ್ಠ ವಿಚಲನ; $v_m=(\omega )_0x_m$ - ಗರಿಷ್ಠ ವೇಗ.

ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 1

ವ್ಯಾಯಾಮ.ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ ಅದರ ಚಲನೆಯ ವೇಗವು $v$ ಆಗಿದ್ದರೆ ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಚೆಂಡಿನ ಗರಿಷ್ಠ ಎತ್ತರ ಎಷ್ಟು?

ಪರಿಹಾರ.ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮಾಡೋಣ.

ಚೆಂಡಿನ ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯು ಅದರ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಲಿ (ಪಾಯಿಂಟ್ 0) ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಚೆಂಡಿನ ವೇಗವು ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ $v$ ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನ (ಪಾಯಿಂಟ್ A) ಗಿಂತ ಚೆಂಡನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ಎತ್ತುವ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಚೆಂಡಿನ ವೇಗವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಚೆಂಡಿನ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಎರಡು ಸ್ಥಾನಗಳಿಗೆ ಶಕ್ತಿಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ನಾವು ಬರೆಯೋಣ:

\[\frac(mv^2)(2)=mgh\ \left(1.1\right).\]

ಸಮೀಕರಣದಿಂದ (1.1) ನಾವು ಬಯಸಿದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಉತ್ತರ.$h=\frac(v^2)(2g)$

ಉದಾಹರಣೆ 2

ವ್ಯಾಯಾಮ.$l=1\ m$ ಉದ್ದದ ಗಣಿತದ ಲೋಲಕವು $T=2\ s$ ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಆಂದೋಲನಗೊಂಡರೆ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೇಗವರ್ಧನೆ ಏನು? ಗಣಿತದ ಲೋಲಕದ ಆಂದೋಲನಗಳು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ.\textit()

ಪರಿಹಾರ.ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಆಧಾರವಾಗಿ, ಸಣ್ಣ ಆಂದೋಲನಗಳ ಅವಧಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಅದರಿಂದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ:

ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಉತ್ತರ.$g=9.87\ \frac(m)(s^2)$