פשט את הביטוי באמצעות נוסחה. משימות לפתרון עצמאי. יצירת סוגריים של המכפיל

פישוט ביטויים אלגבריים הוא אחד המפתחות ללימוד אלגברה ומיומנות שימושית ביותר עבור כל המתמטיקאים. הפשטות מאפשרת לצמצם ביטוי מורכב או ארוך לביטוי פשוט שקל לעבוד איתו. כישורי פישוט בסיסיים טובים גם למי שלא מתלהב ממתמטיקה. על ידי שמירה על כמה כללים פשוטים, ניתן לפשט רבים מהסוגים הנפוצים ביותר של ביטויים אלגבריים ללא כל ידע מתמטי מיוחד.

צעדים

הגדרות חשובות

1. חברים דומים.אלו חברים עם משתנה באותו סדר, איברים עם אותם משתנים, או חברים חופשיים (איברים שאינם מכילים משתנה). במילים אחרות, כמו מונחים כוללים משתנה אחד באותה מידה, כוללים מספר משתנים זהים, או אינם כוללים משתנה כלל. סדר המונחים בביטוי אינו משנה.

   • לדוגמה, 3x 2 ו-4x 2 הם כמו מונחים מכיוון שהם מכילים את המשתנה "x" מהסדר השני (בחזקה שנייה). עם זאת, x ו-x 2 אינם איברים דומים, מכיוון שהם מכילים את המשתנה "x" בסדרים שונים (ראשון ושני). באופן דומה, -3yx ו-5xz אינם חברים דומים מכיוון שהם מכילים משתנים שונים.

2. פירוק לגורמים.זה למצוא מספרים כאלה, שהמכפלה שלהם מובילה למספר המקורי. לכל מספר מקורי יכולים להיות מספר גורמים. לדוגמה, ניתן לפרק את המספר 12 לסדרת הגורמים הבאה: 1 × 12, 2 × 6 ו-3 × 4, כך שאנו יכולים לומר שהמספרים 1, 2, 3, 4, 6 ו-12 הם גורמים של מספר 12. הגורמים זהים למחלקים, כלומר המספרים שבהם מתחלק המספר המקורי.

   • לדוגמה, אם ברצונך להחדיר את המספר 20, כתוב זאת כך: 4×5.
   • שימו לב כי בעת ההפקה, המשתנה נלקח בחשבון. לדוגמה, 20x = 4(5x).
   • מספרים ראשוניים לא ניתנים לגורם כי הם מתחלקים רק בעצמם וב-1.

3. זכור ופעל לפי סדר הפעולות כדי למנוע טעויות.

   • סוֹגְרַיִם
   • תוֹאַר
   • כֶּפֶל
   • חֲלוּקָה
   • חיבור
   • חִסוּר

   ליהוק Like Members

   1. רשום את הביטוי.ניתן לפתור (לפשט) את הביטויים האלגבריים הפשוטים ביותר (שאינם מכילים שברים, שורשים וכדומה) בכמה שלבים בלבד.

      • לדוגמה, פשט את הביטוי 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. הגדר איברים דומים (איברים עם משתנה באותו סדר, איברים עם אותם משתנים או חברים חופשיים).

      • מצא מונחים דומים בביטוי זה. המונחים 2x ו-4x מכילים משתנה באותו סדר (ראשון). כמו כן, 1 ו-3 הם חברים חופשיים (לא מכילים משתנה). לפיכך, בביטוי זה, התנאים 2x ו-4xדומים, והחברים 1 ו-3גם דומים.

   3. תן מונחים דומים.זה אומר להוסיף או להחסיר אותם ולפשט את הביטוי.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. כתוב מחדש את הביטוי תוך התחשבות באיברים הנתונים.תקבל ביטוי פשוט עם פחות מונחים. הביטוי החדש שווה למקור.

      • בדוגמה שלנו: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, כלומר, הביטוי המקורי הוא פשוט יותר וקל יותר לעבוד איתו.

   5. שימו לב לסדר ביצוע הפעולות בעת יציקת מונחים דומים.בדוגמה שלנו, היה קל להביא מונחים דומים. עם זאת, במקרה של ביטויים מורכבים שבהם אברים מוקפים בסוגריים וקיימים שברים ושורשים, לא כל כך קל להביא מונחים כאלה. במקרים אלה, פעל לפי סדר הפעולות.

      • לדוגמה, שקול את הביטוי 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. כאן תהיה טעות להגדיר מיד 3x ו- 2x כמונחים דומים ולצטט אותם, כי קודם כל צריך להרחיב את הסוגריים. לכן, בצע את הפעולות לפי הסדר שלהן.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. עַכשָׁיו, כאשר הביטוי מכיל רק פעולות חיבור וחיסור, ניתן להטיל מונחים דומים.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   יצירת סוגריים של המכפיל

   1. מצא את המחלק המשותף הגדול ביותר (gcd) של כל המקדמים של הביטוי. GCD הוא המספר הגדול ביותר שבו מתחלקים כל המקדמים של הביטוי.

      • לדוגמה, שקול את המשוואה 9x 2 + 27x - 3. במקרה זה, gcd=3, מכיוון שכל מקדם של ביטוי זה מתחלק ב-3.

   2. חלקו כל איבר של הביטוי ב-gcd.המונחים שיתקבלו יכילו מקדמים קטנים יותר מאשר בביטוי המקורי.

      • בדוגמה שלנו, חלקו כל מונח ביטוי ב-3.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • התברר הביטוי 3x2 + 9x-1. זה לא שווה לביטוי המקורי.

   3. כתוב את הביטוי המקורי כשווה למכפלת gcd כפול הביטוי שנוצר.כלומר, תחום את הביטוי שנוצר בסוגריים, והוציא את ה-GCD מסוגריים.

      • בדוגמה שלנו: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. פישוט ביטויי שברים על ידי הוצאת המכפיל מסוגריים.למה פשוט להוציא את המכפיל מהסוגריים, כפי שנעשה קודם? לאחר מכן, ללמוד כיצד לפשט ביטויים מורכבים, כגון ביטויים שברים. במקרה זה, הוצאת הפקטור מחוץ לסוגריים יכולה לעזור להיפטר מהשבר (מהמכנה).

      • לדוגמה, שקול את הביטוי השבר (9x 2 + 27x - 3)/3. השתמש בסוגריים כדי לפשט את הביטוי הזה.
        • הפקק את הפקטור 3 (כפי שעשית קודם): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • שימו לב שגם למונה וגם למכנה יש כעת את המספר 3. ניתן לצמצם את זה, ותקבלו את הביטוי: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • מכיוון שכל שבר שיש לו את המספר 1 במכנה שווה רק למונה, ביטוי השבר המקורי מפושט ל: 3x2 + 9x-1.

   טכניקות פישוט נוספות

4. שקול דוגמה פשוטה: √(90). ניתן לפרק את המספר 90 לגורמים הבאים: 9 ו-10, ומ-9, קחו את השורש הריבועי (3) והוציאו 3 מתחת לשורש.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. פישוט ביטויים עם כוחות.בביטויים מסוימים, ישנן פעולות של כפל או חלוקה של איברים עם תואר. במקרה של כפל איברים עם בסיס אחד, המעלות שלהם מתווספות; במקרה של חלוקת איברים עם אותו בסיס, המעלות שלהם מוגרעות.

   • לדוגמה, שקול את הביטוי 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). במקרה של כפל, יש להוסיף את המעריכים, ובמקרה של חילוק, להחסיר אותם.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • להלן הסבר על הכלל לכפל וחלוקת איברים עם תואר.
     • הכפלת איברים בחזקות שווה ערך להכפלת איברים בעצמם. לדוגמה, מכיוון ש-x 3 = x × x × x ו-x 5 = x × x × x × x × x, אז x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), או x 8 .
     • באופן דומה, חלוקת מונחים עם סמכויות שווה ערך לחלוקת מונחים בעצמם. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). מכיוון שניתן לצמצם איברים דומים שנמצאים גם במונה וגם במכנה, המכפלה של שני "x", או x 2, נשארת במונה.

• תמיד היו מודעים לסימנים (פלוס מינוס) מול מונחי ביטוי, שכן אנשים רבים מתקשים בבחירת השלט הנכון.
• בקש עזרה במידת הצורך!
• לפשט ביטויים אלגבריים זה לא קל, אבל אם אתה שם את היד על זה, אתה יכול להשתמש במיומנות הזו לכל החיים.

בין הביטויים השונים הנחשבים באלגברה, סכומים של מונומיאלים תופסים מקום חשוב. להלן דוגמאות לביטויים כאלה:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

סכום המונוומים נקרא פולינום. המונחים בפולינום נקראים איברים של הפולינום. מונונומים מכונים גם פולינומים, בהתחשב במונום כפולינום המורכב מאיבר אחד.

למשל, פולינום
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
ניתן לפשט.

אנו מייצגים את כל המונחים כמונומיות של הטופס הסטנדרטי:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

אנו נותנים מונחים דומים בפולינום המתקבל:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
התוצאה היא פולינום, שכל איבריו הם מונומיאלים מהצורה הסטנדרטית, וביניהם אין דומים. פולינומים כאלה נקראים פולינומים של צורה סטנדרטית.

מֵאָחוֹר תואר פולינוםטופס סטנדרטי לוקח את הסמכויות הגדולות ביותר של חבריה. אז, לבינומיל \(12a^2b - 7b \) יש את התואר השלישי, ולטרינום \(2b^2 -7b + 6 \) יש את השנייה.

בדרך כלל, המונחים של פולינומים בצורה סטנדרטית המכילים משתנה אחד מסודרים בסדר יורד של המעריכים שלו. לדוגמה:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

ניתן להמיר (לפשט) את הסכום של מספר פולינומים לפולינום בצורה סטנדרטית.

לפעמים יש לחלק את איברי הפולינום לקבוצות, ולכלול כל קבוצה בסוגריים. מכיוון שסוגריים הם ההפך מסוגריים, קל לנסח אותו חוקי פתיחת סוגריים:

אם הסימן + ממוקם לפני הסוגריים, אז המונחים המוקפים בסוגריים נכתבים באותם סימנים.

אם מוצב סימן "-" לפני הסוגריים, אז המונחים המוקפים בסוגריים נכתבים בסימנים מנוגדים.

טרנספורמציה (פישוט) של המכפלה של מונום ופולינום

באמצעות התכונה החלוקתית של הכפל, ניתן להפוך (לפשט) את המכפלה של מונום ופולינום לפולינום. לדוגמה:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

המכפלה של מונום ופולינום שווה באופן זהה לסכום המכפלות של מונום זה ושל כל אחד מהאיברים של הפולינום.

תוצאה זו מנוסחת בדרך כלל ככלל.

כדי להכפיל מונום בפולינום, יש להכפיל את המונום הזה בכל אחד מהאיברים של הפולינום.

השתמשנו שוב ושוב בכלל זה להכפלה בסכום.

מכפלה של פולינומים. טרנספורמציה (פישוט) של המכפלה של שני פולינומים

באופן כללי, המכפלה של שני פולינומים שווה באופן זהה לסכום המכפלה של כל איבר של פולינום אחד ושל כל איבר של השני.

בדרך כלל השתמש בכלל הבא.

כדי להכפיל פולינום בפולינום, עליך להכפיל כל איבר של פולינום אחד בכל איבר של השני ולהוסיף את התוצרים המתקבלים.

נוסחאות כפל מקוצרת. ריבועי סכום, הפרש והפרש

יש לטפל בביטויים מסוימים בטרנספורמציות אלגבריות לעתים קרובות יותר מאחרים. אולי הביטויים הנפוצים ביותר הם \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ו-\(a^2 - b^2 \), כלומר ריבוע הסכום, הריבוע של ההבדל וההבדל הריבועי. שמתם לב שהשמות של הביטויים האלה נראים לא שלמים, אז, למשל, \((a + b)^2 \) הוא כמובן לא רק ריבוע הסכום, אלא ריבוע הסכום של א ו-ב. עם זאת, הריבוע של הסכום של a ו-b אינו נפוץ כל כך, ככלל, במקום האותיות a ו-b, הוא מכיל ביטויים שונים, לעתים מורכבים למדי.

קל להמיר (לפשט) ביטויים \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) לפולינומים בצורה הסטנדרטית, למעשה, כבר נתקלתם במשימה כזו בעת הכפלת פולינומים :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

הזהויות המתקבלות שימושיות לזכור וליישם ללא חישובי ביניים. ניסוחים מילוליים קצרים עוזרים לכך.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - ריבוע הסכום שווה לסכום הריבועים והמכפלה הכפולה.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - ריבוע ההפרש הוא סכום הריבועים ללא הכפלת המכפלה.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - הפרש הריבועים שווה למכפלת ההפרש והסכום.

שלוש הזהויות הללו מאפשרות בטרנספורמציות להחליף את חלקיהן השמאליים בימניים ולהיפך – חלקים ימניים בשמאליים. הדבר הקשה ביותר במקרה זה הוא לראות את הביטויים התואמים ולהבין מה משתנים a ו-b מוחלפים בהם. בואו נסתכל על כמה דוגמאות לשימוש בנוסחאות כפל מקוצר.

ידוע שבמתמטיקה אי אפשר בלי לפשט ביטויים. זה הכרחי לפתרון נכון ומהיר של מגוון רחב של בעיות, כמו גם סוגים שונים של משוואות. הפישוט הנדון מרמז על הפחתה במספר הפעולות הדרושות להשגת המטרה. כתוצאה מכך, החישובים מוקלים באופן ניכר, והזמן נחסך באופן משמעותי. אבל איך לפשט את הביטוי? לשם כך, נעשה שימוש בקשרים מתמטיים מבוססים, המכונה לעתים קרובות נוסחאות, או חוקים המאפשרים לך לעשות ביטויים קצרים בהרבה, ובכך לפשט את החישובים.

זה לא סוד שהיום לא קשה לפשט את הביטוי באינטרנט. להלן קישורים לכמה מהפופולריים יותר:

עם זאת, זה לא אפשרי עם כל ביטוי. לכן, נשקול שיטות מסורתיות יותר ביתר פירוט.

הוצאת מחלק משותף

במקרה שבו בביטוי אחד יש מונומיאלים בעלי אותם גורמים, ניתן למצוא איתם את סכום המקדמים, ולאחר מכן להכפיל בגורם המשותף להם. פעולה זו נקראת גם "הפחתת מחלק משותף". באופן עקבי באמצעות שיטה זו, לפעמים אתה יכול לפשט באופן משמעותי את הביטוי. אלגברה, ככלות הכל, ככלל, בנויה על קיבוץ וקיבוץ מחדש של גורמים ומחלקים.

הנוסחאות הפשוטות ביותר לכפל מקוצר

אחת ההשלכות של השיטה שתוארה קודם לכן היא נוסחאות הכפל המופחת. איך לפשט בעזרתם ביטויים הרבה יותר ברור למי שאפילו לא למד את הנוסחאות הללו בעל פה, אבל יודע איך הן נגזרות, כלומר מהיכן הן באות, ובהתאם, את אופיים המתמטי. באופן עקרוני, האמירה הקודמת נשארת תקפה בכל המתמטיקה המודרנית, מכיתה א' ועד לקורסים הגבוהים יותר של החוגים למכניקה ומתמטיקה. הפרש הריבועים, ריבוע ההפרש והסכום, סכום והפרש קוביות - כל הנוסחאות הללו נמצאות בשימוש נרחב במתמטיקה יסודית, כמו גם גבוהה יותר, במקרים בהם יש צורך לפשט את הביטוי כדי לפתור את הבעיות . דוגמאות לטרנספורמציות כאלה ניתן למצוא בקלות בכל ספר לימוד של בית ספר בנושא אלגברה, או, אפילו יותר פשוט, על רחבת הרשת העולמית.

שורשי תואר

מתמטיקה יסודית, אם מסתכלים עליה כמכלול, מצוידת בלא כל כך הרבה דרכים שבהן ניתן לפשט את הביטוי. תארים ופעולות איתם, ככלל, קלים יחסית לרוב התלמידים. רק עכשיו, תלמידי בית ספר ותלמידים מודרניים רבים נתקלים בקשיים ניכרים כאשר יש צורך לפשט את הביטוי עם שורשים. וזה מופרך לחלוטין. כי האופי המתמטי של השורשים אינו שונה מאופין של אותן מעלות, שבדרך כלל יש בהן הרבה פחות קשיים. ידוע שהשורש הריבועי של מספר, משתנה או ביטוי אינו אלא אותו מספר, משתנה או ביטוי בחזקת "שנייה אחת", שורש הקובייה זהה בחזקת "שליש", וכך. על בהתכתבות.

פישוט ביטויים עם שברים

שקול גם דוגמה נפוצה כיצד לפשט ביטוי עם שברים. במקרים בהם הביטויים הם שברים טבעיים, יש לחלץ גורם משותף מהמכנה ומהמונה, ולאחר מכן להקטין את השבר באמצעותו. כאשר מונומילים מועלים אותם מכפילים לעצמות, יש צורך לפקח על שוויון הכוחות בעת סיכומם.

פישוט הביטויים הטריגונומטריים הפשוטים ביותר

קצת מלבד השיחה על איך לפשט את הביטוי הטריגונומטרי. החלק הרחב ביותר של הטריגונומטריה הוא, אולי, השלב הראשון שבו תלמידי מתמטיקה יתקלו במושגים, בעיות ושיטות מופשטות משהו לפתרונן. כאן יש נוסחאות מתאימות, הראשונה שבהן היא הזהות הטריגונומטרית הבסיסית. עם חשיבה מתמטית מספקת, ניתן לעקוב אחר הגזירה השיטתית מזהות זו של כל הזהויות והנוסחאות הטריגונומטריות העיקריות, לרבות נוסחאות להפרש ולסכום הטיעונים, טיעונים כפולים, משולשים, נוסחאות צמצום ועוד רבים אחרים. כמובן, לא צריך לשכוח כאן את השיטות הראשונות, כמו הוצאת גורם משותף, שנמצאות בשימוש מלא יחד עם שיטות ונוסחאות חדשות.

לסיכום, הנה כמה עצות כלליות לקורא:

• יש לגרור פולינומים, כלומר, הם צריכים להיות מיוצגים בצורה של מכפלה של מספר מסוים של גורמים - מונומים ופולינומים. אם יש אפשרות כזו, יש צורך להוציא את הגורם המשותף מתוך סוגריים.
• עדיף לשנן את כל נוסחאות הכפל המקוצר ללא יוצא מן הכלל. אין כל כך הרבה מהם, אבל הם הבסיס לפישוט ביטויים מתמטיים. אל תשכח גם את שיטת הדגשת הריבועים המושלמים בטרינומים, שהיא הפעולה ההפוכה לאחת מנוסחאות הכפל המקוצרות.
• יש לצמצם את כל השברים הקיימים בביטוי לעתים קרובות ככל האפשר. בכך, אל תשכח שרק מכפילים מצטמצמים. במקרה שבו המכנה והמונה של שברים אלגבריים מוכפלים באותו מספר, השונה מאפס, ערכי השברים אינם משתנים.
• באופן כללי, ניתן לשנות את כל הביטויים על ידי פעולות, או על ידי שרשרת. השיטה הראשונה עדיפה יותר, כי. התוצאות של פעולות ביניים מאוימות בקלות רבה יותר.
• לעתים קרובות, בביטויים מתמטיים, אתה צריך לחלץ את השורשים. יש לזכור שניתן לחלץ את השורשים של דרגות זוגיות רק ממספר או ביטוי לא שלילי, ואת השורשים של דרגות אי-זוגיות ניתן לחלץ לחלוטין מכל ביטוי או מספר.

אנו מקווים שהמאמר שלנו יעזור לך, בעתיד, להבין נוסחאות מתמטיות וילמד אותך כיצד ליישם אותן בפועל.

הבה נבחן את הנושא של הפיכת ביטויים עם כוחות, אך ראשית נתעכב על מספר טרנספורמציות שניתן לבצע עם כל ביטוי, כולל עוצמה. נלמד איך לפתוח סוגריים, לתת מונחים דומים, לעבוד עם הבסיס והמעריך, להשתמש במאפיינים של חזקות.

Yandex.RTB R-A-339285-1

מה הם ביטויי כוח?

בקורס בית הספר מעטים משתמשים בביטוי "ביטויי כוח", אך מונח זה נמצא כל הזמן באוספים לקראת הבחינה. ברוב המקרים, הביטוי מציין ביטויים המכילים מעלות בערכים שלהם. זה מה שנשקף בהגדרה שלנו.

הגדרה 1

ביטוי כוחניהוא ביטוי המכיל מעלות.

אנו נותנים מספר דוגמאות לביטויי כוח, החל ממדרגה עם מעריך טבעי וכלה בתואר עם מעריך ממשי.

ביטויי החזקה הפשוטים ביותר יכולים להיחשב בחזקות של מספר עם מעריך טבעי: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . כמו גם חזקות עם אפס מעריך: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . וחזקות עם כוחות שלמים שליליים: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

קצת יותר קשה לעבוד עם תואר שיש לו מעריכים רציונליים ואי-רציונליים: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 א 1 4 א 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

המחוון יכול להיות משתנה 3 x - 54 - 7 3 x - 58 או לוגריתם x 2 l g x - 5 x l g x.

עסקנו בשאלה מהם ביטויי כוח. עכשיו בואו נשנה אותם.

הסוגים העיקריים של טרנספורמציות של ביטויי כוח

קודם כל, נשקול את התמורות הזהות הבסיסיות של ביטויים שניתן לבצע עם ביטויי כוח.

דוגמה 1

חשב ערך ביטוי כוח 2 3 (4 2 - 12).

פִּתָרוֹן

אנו נבצע את כל השינויים בהתאם לסדר הפעולות. במקרה זה, נתחיל בביצוע הפעולות בסוגריים: נחליף את התואר בערך דיגיטלי ונחשב את ההפרש בין שני המספרים. יש לנו 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.

נותר לנו להחליף את התואר 2 3 המשמעות שלו 8 ולחשב את המוצר 8 4 = 32. הנה התשובה שלנו.

תשובה: 2 3 (4 2 - 12) = 32 .

דוגמה 2

פשט ביטוי עם כוחות 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

פִּתָרוֹן

הביטוי שניתן לנו במצב הבעיה מכיל מונחים דומים, שאנו יכולים להביא: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

תשובה: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

דוגמה 3

הבע ביטוי בחזקות של 9 - b 3 · π - 1 2 כמכפלה.

פִּתָרוֹן

בואו נציג את המספר 9 כחזקה 3 2 והחל את נוסחת הכפל המקוצר:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

תשובה: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

ועכשיו בואו נעבור לניתוח של טרנספורמציות זהות שניתן ליישם ספציפית על ביטויי כוח.

עבודה עם בסיס ואקספונט

התואר בבסיס או במעריך יכול לכלול מספרים, משתנים וכמה ביטויים. לדוגמה, (2 + 0 , 3 7) 5 - 3 , 7ו . קשה לעבוד עם רשומות כאלה. הרבה יותר קל להחליף את הביטוי בבסיס התואר או את הביטוי באקספוננט בביטוי שווה זהה.

הטרנספורמציות של התואר והמחוון מתבצעות על פי הכללים המוכרים לנו בנפרד זה מזה. הכי חשוב שכתוצאה מהטרנספורמציות מתקבל ביטוי זהה לזה המקורי.

מטרת הטרנספורמציות היא לפשט את הביטוי המקורי או להשיג פתרון לבעיה. לדוגמה, בדוגמה שנתנו למעלה, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 אתה יכול לבצע פעולות כדי להגיע לתואר 4 , 1 1 , 3 . פתיחת הסוגריים, נוכל להביא מונחים דומים בבסיס התואר (a (a + 1) - a 2) 2 (x + 1)ולקבל ביטוי כוחני של צורה פשוטה יותר a 2 (x + 1).

שימוש במאפייני כוח

המאפיינים של תארים, הכתובים כשוויון, הם אחד הכלים העיקריים להמרת ביטויים עם תארים. אנו מציגים כאן את העיקריים שבהם, בהתחשב בכך או בהם מספרים חיוביים כלשהם, ו רו ס- מספרים ממשיים שרירותיים:

הגדרה 2

• a r a s = a r + s;
• a r: a s = a r − s;
• (א ב) r = a r b r;
• (א: ב) r = a r: b r;
• (a r) s = a r s .

במקרים שבהם עסקינן במעריכים טבעיים, שלמים, חיוביים, ההגבלות על המספרים a ו-b יכולות להיות הרבה פחות מחמירות. כך, למשל, אם ניקח בחשבון את השוויון a m a n = a m + n, איפה Mו נהם מספרים טבעיים, אז זה יהיה נכון עבור כל ערכים של a, חיובי ושלילי, כמו גם עבור a = 0.

ניתן ליישם את המאפיינים של תארים ללא הגבלות במקרים בהם הבסיסים של התארים חיוביים או מכילים משתנים שטווח הערכים המקובלים שלהם הוא כזה שהבסיסים מקבלים עליו רק ערכים חיוביים. למעשה, במסגרת תכנית הלימודים בבית הספר במתמטיקה, משימתו של התלמיד היא לבחור את המאפיין המתאים וליישם אותו בצורה נכונה.

בהיערכות לקבלה לאוניברסיטאות ייתכנו משימות בהן יישום לא מדויק של נכסים יוביל לצמצום ה-ODZ ולקשיים נוספים בפתרון. בחלק זה, נשקול רק שני מקרים כאלה. מידע נוסף בנושא ניתן למצוא בנושא "המרת ביטויים באמצעות מאפייני מעריך".

דוגמה 4

מייצגים את הביטוי a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5בתור תואר עם בסיס א.

פִּתָרוֹן

מלכתחילה, אנו משתמשים בתכונת האקספונציה וממירים את הגורם השני באמצעותו (א 2) - 3. לאחר מכן אנו משתמשים בתכונות של כפל וחלוקת כוחות עם אותו בסיס:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5, 5 ) = a 2 .

תשובה: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

הטרנספורמציה של ביטויי כוח לפי תכונת המעלות יכולה להיעשות הן משמאל לימין והן בכיוון ההפוך.

דוגמה 5

מצא את הערך של ביטוי העוצמה 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

פִּתָרוֹן

אם נחיל את השוויון (א ב) r = a r b r, מימין לשמאל, אז נקבל מכפלה של הצורה 3 7 1 3 21 2 3 ולאחר מכן 21 1 3 21 2 3 . בואו נוסיף את המעריכים בעת הכפלת כוחות עם אותם בסיסים: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

יש דרך נוספת לבצע טרנספורמציות:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

תשובה: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

דוגמה 6

ניתן ביטוי כוחני a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6, הזן משתנה חדש t = a 0 , 5.

פִּתָרוֹן

תארו לעצמכם את התואר א 1, 5אֵיך a 0, 5 3. שימוש במאפיין התואר בתואר (a r) s = a r sמימין לשמאל וקבל (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . בביטוי המתקבל, אתה יכול בקלות להזין משתנה חדש t = a 0 , 5: לקבל t 3 − t − 6.

תשובה: t 3 − t − 6 .

המרת שברים המכילים חזקות

בדרך כלל אנו עוסקים בשתי גרסאות של ביטויי כוח עם שברים: הביטוי הוא שבר בעל תואר או מכיל שבר כזה. כל טרנספורמציות השברים הבסיסיות חלות על ביטויים כאלה ללא הגבלות. ניתן לצמצם אותם, להביאם למכנה חדש, לעבוד בנפרד עם המונה והמכנה. בואו נמחיש זאת בעזרת דוגמאות.

דוגמה 7

פשט את ביטוי העוצמה 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

פִּתָרוֹן

אנו עוסקים בשבר, אז נבצע טרנספורמציות הן במונה והן במכנה:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

שים מינוס לפני השבר כדי לשנות את הסימן של המכנה: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

תשובה: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

שברים המכילים חזקה מצטמצמים למכנה חדש באותו אופן כמו שברים רציונליים. לשם כך, עליך למצוא גורם נוסף ולהכפיל בו את המונה והמכנה של השבר. יש צורך לבחור גורם נוסף בצורה כזו שהוא לא ייעלם עבור אף ערך של המשתנים ממשתני ODZ עבור הביטוי המקורי.

דוגמה 8

הביאו את השברים למכנה חדש: א) a + 1 א 0, 7 למכנה א, ב) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 למכנה x + 8 y 1 2 .

פִּתָרוֹן

א) אנו בוחרים גורם שיאפשר לנו לצמצם למכנה חדש. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a ,לכן, כגורם נוסף, אנו לוקחים א 0, 3. טווח הערכים הקבילים של המשתנה a כולל את קבוצת כל המספרים הממשיים החיוביים. בתחום זה, התואר א 0, 3לא הולך לאפס.

בוא נכפיל את המונה והמכנה של שבר ב א 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

ב) שימו לב למכנה:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

נכפיל את הביטוי הזה ב-x 1 3 + 2 · y 1 6 , נקבל את סכום הקוביות x 1 3 ו-2 · y 1 6 , כלומר. x + 8 · y 1 2 . זה המכנה החדש שלנו, שאליו אנחנו צריכים להביא את השבר המקורי.

אז מצאנו גורם נוסף x 1 3 + 2 · y 1 6 . על טווח הערכים המקובלים של משתנים איקסו yהביטוי x 1 3 + 2 y 1 6 אינו נעלם, ולכן נוכל להכפיל בו את המונה והמכנה של השבר:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

תשובה: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

דוגמה 9

צמצם את השבר: א) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, ב) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

פִּתָרוֹן

א) השתמש במכנה המשותף הגדול ביותר (GCD) שבאמצעותו ניתן לצמצם את המונה והמכנה. עבור המספרים 30 ו-45, זה 15. אנחנו יכולים גם לצמצם x 0, 5 + 1וב-x + 2 x 1 1 3 - 5 3.

אנחנו מקבלים:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

ב) כאן נוכחותם של גורמים זהים אינה ברורה. תצטרך לבצע כמה טרנספורמציות כדי לקבל את אותם גורמים במונה ובמכנה. לשם כך, אנו מרחיבים את המכנה באמצעות נוסחת הפרש הריבועים:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

תשובה:א) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , ב) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

הפעולות הבסיסיות עם שברים כוללות צמצום למכנה חדש וצמצום שברים. שתי הפעולות מבוצעות בהתאם למספר כללים. בחיבור וחיסור שברים, השברים מצטמצמים תחילה למכנה משותף, ולאחר מכן מתבצעות פעולות (חיבור או חיסור) עם מונה. המכנה נשאר זהה. התוצאה של מעשינו היא שבר חדש, שהמונה שלו הוא מכפלת המונים, והמכנה הוא מכפלת המכנים.

דוגמה 10

בצע את השלבים x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

פִּתָרוֹן

נתחיל בהפחתת השברים שנמצאים בסוגריים. בואו נביא אותם למכנה משותף:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

בוא נחסר את המונים:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

כעת נכפיל שברים:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

בוא נפחית במידה x 1 2, נקבל 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

בנוסף, ניתן לפשט את ביטוי העוצמה במכנה באמצעות הנוסחה להפרש הריבועים: ריבועים: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

תשובה: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

דוגמה 11

פשט את ביטוי העוצמה x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
פִּתָרוֹן

אנחנו יכולים להפחית את השבר ב (x 2, 7 + 1) 2. נקבל שבר x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

הבה נמשיך טרנספורמציות של x חזקות x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . כעת תוכל להשתמש בתכונת חלוקת הכוח עם אותם בסיסים: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

אנחנו עוברים מהמוצר האחרון לשבר x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

תשובה: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

ברוב המקרים נוח יותר להעביר מכפילים בעלי מעריכים שליליים מהמונה למכנה ולהיפך על ידי שינוי הסימן של המעריך. פעולה זו מפשטת את ההחלטה הנוספת. בוא ניתן דוגמה: ניתן להחליף את ביטוי העוצמה (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 ב-x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

המרת ביטויים עם שורשים וכוחות

במשימות, ישנם ביטויי כוח המכילים לא רק דרגות עם מעריכים שבריריים, אלא גם שורשים. רצוי לצמצם ביטויים כאלה רק לשורשים או רק לכוחות. המעבר לתארים עדיף, מכיוון שקל יותר לעבוד איתם. מעבר כזה הוא יתרון במיוחד כאשר ה-DPV של המשתנים עבור הביטוי המקורי מאפשר לך להחליף את השורשים בכוחות מבלי לגשת למודולוס או לפצל את ה-DPV למספר מרווחים.

דוגמה 12

הביעו את הביטוי x 1 9 x x 3 6 כחזקה.

פִּתָרוֹן

טווח חוקי של משתנה איקסנקבע על ידי שני אי שוויון x ≥ 0ו x · x 3 ≥ 0 , שמגדירים את הסט [ 0 , + ∞) .

בסט הזה, יש לנו את הזכות לעבור משורשים לכוחות:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

באמצעות מאפיינים של מעלות, אנו מפשטים את ביטוי הכוח המתקבל.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

תשובה: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

המרת חזקות עם משתנים במעריך

טרנספורמציות אלה די פשוטות לביצוע אם אתה משתמש נכון במאפייני התואר. לדוגמה, 5 2 x + 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.

נוכל להחליף את מכפלת התואר, שמבחינתה נמצא הסכום של משתנה כלשהו ומספר. בצד שמאל, ניתן לעשות זאת עם המונח הראשון והאחרון בצד שמאל של הביטוי:

5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0 , 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0 .

כעת נחלק את שני הצדדים של המשוואה ב 7 2 x. ביטוי זה ב-ODZ של המשתנה x לוקח רק ערכים חיוביים:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

הבה נפחית את השברים בחזקות, נקבל: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

לבסוף, יחס החזקות עם אותם מעריכים מוחלף בחזקות יחסים, מה שמוביל למשוואה 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , השווה ל- 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

הבה נציג משתנה חדש t = 5 7 x , המפחית את הפתרון של המשוואה המעריכית המקורית לפתרון המשוואה הריבועית 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

המרת ביטויים בחזקות ולוגריתמים

ביטויים המכילים חזקות ולוגריתמים נמצאים גם בבעיות. דוגמאות לביטויים כאלה הן: 1 4 1 - 5 log 2 3 או log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . הטרנספורמציה של ביטויים כאלה מתבצעת באמצעות הגישות שנדונו לעיל ותכונות הלוגריתמים, שניתחנו בפירוט בנושא "טרנספורמציה של ביטויים לוגריתמיים".

אם אתה מבחין בטעות בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

כמה דוגמאות אלגבריות מסוג אחד מסוגלות להפחיד תלמידי בית ספר. ביטויים ארוכים אינם רק מפחידים, אלא גם קשים מאוד לחישוב. מנסים להבין מיד את מה שאחריו ומה אחריו, לא להתבלבל לאורך זמן. מסיבה זו מתמטיקאים תמיד מנסים לפשט את המשימה "הנוראה" ככל האפשר ורק אז ממשיכים לפתור אותה. באופן מוזר, טריק כזה מזרז מאוד את התהליך.

הפשטות היא אחת הנקודות הבסיסיות באלגברה. אם במשימות פשוטות עדיין אפשר להסתדר בלעדיו, אז דוגמאות קשות יותר לחישוב עשויות להיות "קשות מדי". זה המקום שבו הכישורים האלה שימושיים! יתר על כן, ידע מתמטי מורכב אינו נדרש: זה יספיק רק לזכור וללמוד כיצד ליישם כמה טכניקות ונוסחאות בסיסיות.

ללא קשר למורכבות החישובים, כאשר פותרים כל ביטוי, זה חשוב עקוב אחר סדר הפעולות עם מספרים:

1. סוֹגְרַיִם;
2. אקספוננציה;
3. כֶּפֶל;
4. חֲלוּקָה;
5. חיבור;
6. חִסוּר.

ניתן להחליף בבטחה את שתי הנקודות האחרונות וזה לא ישפיע על התוצאה בשום צורה. אבל הוספת שני מספרים שכנים, כאשר ליד אחד מהם יש סימן כפל, זה בלתי אפשרי לחלוטין! התשובה, אם בכלל, שגויה. לכן, אתה צריך לזכור את הרצף.

השימוש בכאלה

אלמנטים כאלה כוללים מספרים עם משתנה באותו סדר או באותה מידה. יש גם מה שנקרא חברים חופשיים שאין לידם את כינוי האותיות של הלא נודע.

השורה התחתונה היא שבהיעדר סוגריים אתה יכול לפשט את הביטוי על ידי הוספה או חיסור של like.

כמה דוגמאות להמחשה:

• 8x 2 ו 3x 2 - לשני המספרים יש את אותו משתנה מסדר שני, כך שהם דומים וכאשר מוסיפים אותם, הם מפושטים ל-(8+3)x 2 =11x 2, בעוד שבחיסור, מסתבר (8-3) x 2 =5x 2;
• 4x 3 ו-6x - וכאן ל"x" יש מידה שונה;
• 2y 7 ו-33x 7 - מכילים משתנים שונים, לכן, כמו במקרה הקודם, הם אינם שייכים למשתנים דומים.

פקטורינג מספר

הטריק המתמטי הקטן הזה, אם תלמד כיצד להשתמש בו נכון, יעזור לך להתמודד עם בעיה מסובכת יותר מפעם אחת בעתיד. וקל להבין איך ה"מערכת" עובדת: פירוק הוא תוצר של מספר אלמנטים, שחישובם נותן את הערך המקורי. לפיכך, 20 יכול להיות מיוצג כ-20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2, או בדרך אחרת.

על פתק: מכפילים זהים תמיד למחלקים. אז אתה צריך לחפש "זוג" עובד להתרחבות בין המספרים שבהם המקור מתחלק ללא שארית.

אתה יכול לבצע פעולה כזו גם עם חברים חופשיים וגם עם ספרות מחוברות למשתנה. העיקר לא לאבד את האחרון במהלך החישובים - אפילו לאחר פירוק, הלא נודע לא יכול לקחת ו"ללכת לשום מקום". זה נשאר באחד הגורמים:

• 15x=3(5x);
• 60y 2 \u003d (15y 2) 4.

מספרים ראשוניים שניתן לחלק רק בעצמם או 1 לעולם לא - אין זה הגיוני..

שיטות פישוט בסיסיות

הדבר הראשון שמושך את העין:

• נוכחות של סוגריים;
• שברים;
• שורשים.

דוגמאות אלגבריות בתכנית הלימודים של בית הספר נערכות לעתים קרובות מתוך הנחה שניתן לפשט אותן יפה.

חישובי סוגריים

שימו לב היטב לשלט שלפני הסוגריים!הכפל או החלוקה מוחלים על כל אלמנט בפנים, ומינוס - הופך את הסימנים הקיימים "+" או "-".

סוגריים מחושבים לפי הכללים או לפי נוסחאות הכפל המקוצר, ולאחר מכן ניתנים דומים.

הפחתת שבר

הפחת שבריםהוא גם קל. הם עצמם "בורחים מרצון" מדי פעם, כדאי לעשות פעולות עם הבאת חברים כאלה. אבל אתה יכול לפשט את הדוגמה עוד לפני זה: שימו לב למונה ולמכנה. לעתים קרובות הם מכילים אלמנטים מפורשים או נסתרים שניתן לצמצם זה את זה. נכון, אם במקרה הראשון אתה רק צריך למחוק את המיותר, בשני תצטרך לחשוב, להביא חלק מהביטוי לצורה לפשט. שיטות בשימוש:

• חיפוש וסוגריים של המחלק המשותף הגדול ביותר של המונה והמכנה;
• חלוקת כל רכיב עליון במכנה.

כאשר ביטוי או חלק ממנו נמצאים מתחת לשורש, בעיית הפישוט העיקרית כמעט זהה למקרה עם שברים. יש צורך לחפש דרכים להיפטר ממנו לחלוטין או, אם זה לא אפשרי, למזער את השלט המפריע לחישובים. לדוגמה, ל-√(3) או √(7) לא פולשני.

דרך בטוחה לפשט את הביטוי הרדיקלי היא לנסות לחסל אותו, שחלקם מחוץ לשלט. דוגמה להמחשה: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

טריקים וניואנסים קטנים נוספים:

• פעולת פישוט זו יכולה להתבצע עם שברים, תוך הוצאתו מהסימן הן כמכלול והן בנפרד כמונה או מכנה;
• אי אפשר לפרק ולהוציא חלק מהסכום או ההפרש מעבר לשורש;
• כאשר עובדים עם משתנים, הקפידו לקחת בחשבון את המידה שלו, היא חייבת להיות שווה או כפולה של השורש לאפשרות העיבוד: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)= √(x 2 ×x)=x√( x);
• לפעמים מותר להיפטר מהמשתנה הרדיקלי על ידי העלאתו לחזקת שבר: √ (y 3)=y 3/2.

פישוט ביטוי כוח

אם במקרה של חישובים פשוטים במינוס או פלוס, דוגמאות מפושטות על ידי הבאת כאלה דומות, אז מה לגבי כפל או חלוקה של משתנים בעלי חזקות שונות? ניתן לפשט אותם בקלות על ידי זכירת שתי נקודות עיקריות:

1. אם יש סימן כפל בין המשתנים, המעריכים מתווספים.
2. כאשר הם מחולקים זה בזה, אותו מכנה מופחת מדרגת המונה.

התנאי היחיד לפישוט כזה הוא שלשני המונחים יהיה אותו בסיס. דוגמאות לבהירות:

• 5x 2 × 4x 7 + (y 13 / y 11) \u003d (5 × 4)x 2+7 + y 13- 11 \u003d 20x 9 + y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

נציין כי פעולות עם ערכים מספריים מול משתנים מתרחשות על פי הכללים המתמטיים הרגילים. ואם מסתכלים היטב, מתברר שמרכיבי הכוח של הביטוי "פועלים" בצורה דומה:

• העלאת איבר לחזקה פירושה הכפלתו בעצמה מספר מסוים של פעמים, כלומר x 2 \u003d x × x;
• החלוקה דומה: אם תרחיב את מידת המונה והמכנה, חלק מהמשתנים יצטמצמו, בעוד השאר "נאספים", שזה שווה ערך לחיסור.

כמו בכל עסק, כאשר מפשטים ביטויים אלגבריים, יש צורך לא רק בידע של היסודות, אלא גם בתרגול. לאחר מספר שיעורים בלבד, דוגמאות שפעם נראו מסובכות יצטמצמו ללא קושי רב, ויהפכו לקצרות ונפתרות בקלות.

וִידֵאוֹ

סרטון זה יעזור לך להבין ולזכור כיצד ביטויים מפושטים.

לא קיבלת תשובה לשאלתך? הצע נושא לכותבים.