נוסחת מטוטלת מתמטית. מטוטלת מתמטית: נקודה, תאוצה ונוסחאות

הַגדָרָה

מטוטלת מתמטיקה- זהו מקרה מיוחד של מטוטלת פיזית, שהמסה שלה ממוקמת בנקודה אחת.

בדרך כלל, מטוטלת מתמטית נחשבת לכדור קטן (נקודה חומרית) בעל מסה גדולה, התלוי על חוט ארוך שאינו ניתן להרחבה (השעיה). זוהי מערכת אידיאלית שמתנדנדת בהשפעת כוח הכבידה. רק עבור זוויות בסדר גודל של 50-100, מטוטלת מתמטית היא מתנד הרמוני, כלומר, היא מבצעת תנודות הרמוניות.

על ידי לימוד נדנדה של נברשת על שרשרת ארוכה, חקר גלילאו את תכונותיה של מטוטלת מתמטית. הוא הבין שתקופת התנודה של מערכת נתונה אינה תלויה באמפליטודה בזוויות סטיה קטנות.

נוסחה לתקופת תנודה של מטוטלת מתמטית

תן לנקודת ההשעיה של המטוטלת להיות נייחת. עומס התלוי בחוט מטוטלת נע לאורך קשת מעגלית (איור 1(א)) בתאוצה, ומופעל על ידי כוח שחזור מסוים ($\overline(F)$). כוח זה משתנה ככל שהעומס נע. כתוצאה מכך, חישוב התנועה הופך למורכב. הבה נציג כמה הפשטות. תנו למטוטלת להתנודד לא במישור, אלא לתאר חרוט (איור 1 (ב)). במקרה זה, העומס נע במעגל. תקופת התנודות המעניינות אותנו תחפוף לתקופת התנועה החרוטית של העומס. תקופת המהפכה של מטוטלת חרוטית סביב מעגל שווה לזמן השהות של העומס בסיבוב אחד סביב המעגל:

כאשר $L$ הוא ההיקף; $v$ היא מהירות התנועה של העומס. אם זוויות הסטייה של החוט מהאנכי הן קטנות (משרעות רטט קטנות), אז ההנחה היא שכוח השחזור ($F_1$) מכוון לאורך רדיוס המעגל שהעומס מתאר. אז הכוח הזה שווה לכוח הצנטריפטלי:

שקול משולשים דומים: AOB ו-DBC (איור 1 (ב)).

אנו משווים את הצדדים הימניים של ביטויים (2) ו-(3) ומבטאים את מהירות התנועה של העומס:

\[\frac(mv^2)(R)=mg\frac(R)(l)\ \to v=R\sqrt(\frac(g)(l))\left(4\right).\]

נחליף את המהירות המתקבלת בנוסחה (1), יש לנו:

\ \

מנוסחה (5) אנו רואים שתקופה של מטוטלת מתמטית תלויה רק ​​באורך המתלה שלה (המרחק מנקודת ההשעיה למרכז הכובד של העומס) ובהאצת הנפילה החופשית. נוסחה (5) לתקופה של מטוטלת מתמטית נקראת הנוסחה של הויגנס; היא מסופקת כאשר נקודת ההשעיה של המטוטלת אינה זזה.

באמצעות התלות של תקופת התנודה של מטוטלת מתמטית בתאוצת הכבידה, נקבע גודל תאוצה זו. כדי לעשות זאת, למדוד את אורך המטוטלת, בהתחשב במספר רב של תנודות, למצוא את התקופה $T$, ואז לחשב את תאוצת הכבידה.

דוגמאות לבעיות עם פתרונות

דוגמה 1

תרגיל.כידוע, גודל האצת הנפילה החופשית תלוי בקו הרוחב. מהי תאוצת הכבידה בקו הרוחב של מוסקבה אם תקופת התנודה של מטוטלת מתמטית באורך $l=2.485\cdot (10)^(-1)$m שווה ל-T=1 s?\textit()

פִּתָרוֹן.כבסיס לפתרון הבעיה, ניקח את הנוסחה לתקופה של מטוטלת מתמטית:

הבה נבטא מתוך (1.1) את תאוצת הנפילה החופשית:

בואו לחשב את התאוצה הרצויה:

תשובה.$g=9.81\frac(m)(s^2)$

דוגמה 2

תרגיל.מה תהיה תקופת התנודה של מטוטלת מתמטית אם נקודת ההשעיה שלה תנוע אנכית כלפי מטה 1) במהירות קבועה? 2) עם האצה $a$? אורך החוט של מטוטלת זו הוא $l.$

פִּתָרוֹן.בואו נעשה ציור.

1) פרק הזמן של מטוטלת מתמטית שנקודת ההשעיה שלה נעה באופן אחיד שווה לתקופה של מטוטלת עם נקודת התליה קבועה:

2) האצת נקודת ההשעיה של המטוטלת יכולה להיחשב כהופעת כוח נוסף השווה ל-$F=ma$, המכוון כנגד התאוצה. כלומר, אם התאוצה מכוונת כלפי מעלה, אז הכוח הנוסף מופנה כלפי מטה, כלומר הוא מצטבר לכוח הכבידה ($mg$). אם נקודת ההשעיה נעה בתאוצה כלפי מטה, הכוח הנוסף מופחת מכוח הכבידה.

אנו מוצאים את התקופה של מטוטלת מתמטית שמתנודדת ונקודת ההשעיה שלה נעה בתאוצה כ:

תשובה. 1) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g))$; 2) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g-a))$

תקופת התנודה של מטוטלת פיזית תלויה בנסיבות רבות: בגודל וצורת הגוף, במרחק בין מרכז הכובד לנקודת ההשעיה ובהתפלגות מסת הגוף ביחס לנקודה זו; לכן, חישוב תקופתו של גוף מושעה הוא משימה קשה למדי. המצב פשוט יותר עבור מטוטלת מתמטית. מתוך תצפיות על מטוטלות כאלה, ניתן לקבוע את החוקים הפשוטים הבאים.

1. אם תוך שמירה על אותו אורך של המטוטלת (המרחק מנקודת ההשעיה למרכז הכובד של המטען), תולים עומסים שונים, אזי תקופת התנודה תהיה זהה, אם כי המסות של העומס. עומסים שונים מאוד. התקופה של מטוטלת מתמטית אינה תלויה במסת העומס.

2. אם, בעת הפעלת מטוטלת, נסיט אותה בזוויות שונות (אך לא גדולות מדי), אז היא תתנודד באותה תקופה, אם כי עם אמפליטודות שונות. כל עוד המשרעות אינן גדולות מדי, התנודות די קרובות בצורתן להרמונית (§ 5) והתקופה של מטוטלת מתמטית אינה תלויה באמפליטודה של התנודות. תכונה זו נקראת איזוכרוניזם (מהמילים היווניות "isos" - שווה, "chronos" - זמן).

עובדה זו נקבעה לראשונה בשנת 1655 על ידי גלילאו, לכאורה בנסיבות הבאות. גלילאו צפה בקתדרלת פיזה בנדנדה של נברשת על שרשרת ארוכה, שנדחפה כשהיא דולקת. במהלך השירות, הנדנדות דעכו בהדרגה (§ 11), כלומר, משרעת הרעידות ירדה, אך התקופה נשארה זהה. גלילאו השתמש בדופק שלו כמחוון זמן.

הבה נגזר כעת נוסחה לתקופת התנודה של מטוטלת מתמטית.

אורז. 16. תנודות של מטוטלת במישור (א) ותנועה לאורך חרוט (ב)

כאשר המטוטלת מתנדנדת, העומס נע מואץ לאורך קשת (איור 16, א) בהשפעת כוח משחזר, המשתנה במהלך התנועה. חישוב תנועת הגוף תחת פעולת כוח משתנה הוא די מסובך. לכן, לשם הפשטות, נמשיך כדלקמן.

בואו נגרום למטוטלת לא להתנודד במישור אחד, אלא לתאר חרוט כך שהעומס נע במעגל (איור 16, ב). תנועה זו יכולה להתקבל כתוצאה מהוספת שתי רעידות בלתי תלויות: האחת - עדיין במישור הציור והשנייה - במישור מאונך. ברור, התקופות של שתי תנודות המישור הללו זהות, שכן כל מישור תנודה אינו שונה מכל מישור אחר. כתוצאה מכך, תקופת התנועה המורכבת - סיבוב המטוטלת לאורך החרוט - תהיה זהה לתקופת הנדנוד של מישור המים. ניתן להמחיש את המסקנה הזו בקלות על ידי התנסות ישירה על ידי לקיחת שתי מטוטלות זהות ולתת לאחת מהן תנופה במישור, ולשנייה סיבוב לאורך קונוס.

אבל תקופת המהפכה של המטוטלת ה"חרוטית" שווה לאורך המעגל המתואר על ידי העומס, חלקי המהירות:

אם זווית הסטייה מהאנך קטנה (משרעות קטנות), אז אנו יכולים להניח שכוח השיקום מכוון לאורך רדיוס המעגל, כלומר שווה לכוח הצנטריפטלי:

מצד שני, מהדמיון של משולשים נובע ש. מאז מכאן

משווים את שני הביטויים זה לזה, אנו מקבלים עבור קצב המחזור

לבסוף, החלפתו בביטוי התקופתי, אנו מוצאים

אז, התקופה של מטוטלת מתמטית תלויה רק ​​בתאוצת הכובד ובאורך המטוטלת, כלומר, המרחק מנקודת ההשעיה למרכז הכובד של העומס. מהנוסחה המתקבלת עולה שתקופת המטוטלת אינה תלויה במסה ובמשרעת שלה (בתנאי שהיא קטנה מספיק). במילים אחרות, השגנו באמצעות חישוב את אותם חוקי יסוד שנקבעו קודם לכן מתצפיות.

אבל המסקנה התיאורטית שלנו נותנת לנו יותר: היא מאפשרת לנו לבסס קשר כמותי בין תקופת המטוטלת, אורכה ותאוצת הכבידה. התקופה של מטוטלת מתמטית פרופורציונלית לשורש הריבועי של היחס בין אורך המטוטלת לתאוצת הכבידה. מקדם המידתיות הוא .

שיטה מדויקת מאוד לקביעת תאוצה זו מבוססת על התלות של תקופת המטוטלת בתאוצת הכבידה. לאחר שמדדנו את אורך המטוטלת וקבענו את התקופה ממספר רב של תנודות, נוכל לחשב באמצעות הנוסחה המתקבלת. שיטה זו נמצאת בשימוש נרחב בפועל.

ידוע (ראה כרך א', §53) שתאוצת הכבידה תלויה בקו הרוחב הגיאוגרפי של המקום (בקוטב ובקו המשווה). תצפיות על תקופת התנופה של מטוטלת סטנדרטית מסוימת מאפשרות לחקור את התפלגות תאוצת הכבידה על פני קו הרוחב. שיטה זו כל כך מדויקת שניתן להשתמש בה כדי לזהות הבדלים עדינים יותר בערך על פני כדור הארץ. מסתבר שגם באותה מקבילה, הערכים בנקודות שונות על פני כדור הארץ שונים. חריגות אלה בהתפלגות תאוצת הכבידה קשורות לצפיפות הלא אחידה של קרום כדור הארץ. הם משמשים לחקר התפלגות הצפיפות, במיוחד כדי לזהות את התרחשותם של מינרלים כלשהם בקרום כדור הארץ. שינויים גרבימטריים נרחבים, שאפשרו לשפוט את התרחשותן של מסות צפופות, בוצעו בברית המועצות באזור האנומליה המגנטית של קורסק (ראה כרך II, § 130) בהנהגתו של הפיזיקאי הסובייטי פיוטר פטרוביץ' לזרב. בשילוב עם נתונים על האנומליה של השדה המגנטי של כדור הארץ, נתונים גרבימטריים אלה אפשרו לקבוע את התפלגות ההתרחשות של מסות ברזל הקובעות את החריגות המגנטיות והכבידה של קורסק.

מערכת מכנית המורכבת מנקודה חומרית (גוף) התלויה על חוט חסר משקל בלתי ניתן להרחבה (מסתו זניחה בהשוואה למשקל הגוף) בשדה כבידה אחיד נקראת מטוטלת מתמטית (שם אחר הוא מתנד). ישנם סוגים אחרים של מכשיר זה. במקום חוט, ניתן להשתמש במוט חסר משקל. מטוטלת מתמטית יכולה לחשוף בבירור את המהות של תופעות מעניינות רבות. כאשר משרעת הרטט קטנה, התנועה שלו נקראת הרמונית.

סקירת מערכת מכנית

הנוסחה לתקופת התנודה של מטוטלת זו נגזרה על ידי המדען ההולנדי הויגנס (1629-1695). בן זמנו של I. ניוטון התעניין מאוד במערכת המכנית הזו. בשנת 1656 הוא יצר את השעון הראשון עם מנגנון מטוטלת. הם מדדו זמן בדיוק יוצא דופן עבור אותם זמנים. המצאה זו הפכה לשלב מרכזי בפיתוח ניסויים פיזיים ופעילויות מעשיות.

אם המטוטלת נמצאת במצב שיווי משקל (תלוי אנכית), היא תאוזן על ידי כוח המתח של החוט. מטוטלת שטוחה על חוט בלתי ניתן להרחבה היא מערכת עם שתי דרגות חופש עם צימוד. כאשר משנים רק רכיב אחד, המאפיינים של כל חלקיו משתנים. אז אם החוט מוחלף על ידי מוט, אז למערכת המכנית הזו תהיה רק ​​דרגת חופש אחת. אילו תכונות יש למטוטלת מתמטית? במערכת הפשוטה ביותר הזו, כאוס מתעורר בהשפעת הפרעות תקופתיות. במקרה שבו נקודת ההשעיה אינה זזה, אלא מתנדנדת, למטוטלת יש תנוחת שיווי משקל חדשה. עם תנודות מהירות למעלה ולמטה, מערכת מכנית זו רוכשת תנוחת "הפוך" יציבה. יש לזה גם שם משלו. זה נקרא מטוטלת Kapitza.

תכונות של מטוטלת

למטוטלת המתמטית תכונות מעניינות מאוד. כולם מאושרים על ידי חוקים פיזיקליים ידועים. תקופת התנודה של כל מטוטלת אחרת תלויה בנסיבות שונות, כמו גודל הגוף וצורתו, המרחק בין נקודת המתלה למרכז הכובד והתפלגות המסה ביחס לנקודה זו. לכן קביעת תקופת התלייה של גוף היא משימה קשה למדי. הרבה יותר קל לחשב את התקופה של מטוטלת מתמטית, שהנוסחה שלה תינתן להלן. כתוצאה מתצפיות על מערכות מכניות דומות, ניתן לקבוע את הדפוסים הבאים:

אם, תוך שמירה על אותו אורך של המטוטלת, נשהה משקלים שונים, אזי תקופת התנודות שלהם תהיה זהה, אם כי המסות שלהם ישתנו מאוד. כתוצאה מכך, התקופה של מטוטלת כזו אינה תלויה במסת העומס.

אם, בעת הפעלת המערכת, המטוטלת מוסטת בזוויות לא גדולות מדי, אלא בזוויות שונות, אז היא תתחיל להתנודד באותה תקופה, אבל עם אמפליטודות שונות. כל עוד הסטיות ממרכז שיווי המשקל אינן גדולות מדי, הרעידות בצורתן יהיו די קרובות להרמוניות. התקופה של מטוטלת כזו אינה תלויה בשום צורה במשרעת התנודה. תכונה זו של מערכת מכנית נתונה נקראת איזוכרוניזם (בתרגום מיוונית "כרונוס" - זמן, "איזוס" - שווה).

תקופה של מטוטלת מתמטית

אינדיקטור זה מייצג את תקופת התנודות הטבעיות. למרות הניסוח המורכב, התהליך עצמו פשוט מאוד. אם אורך החוט של מטוטלת מתמטית הוא L, ותאוצת הנפילה החופשית היא g, אז ערך זה שווה ל:

תקופת הקטנים אינה תלויה בשום צורה במסה של המטוטלת ובמשרעת התנודות. במקרה זה, המטוטלת נעה כמטוטלת באורך נתון.

תנודות של מטוטלת מתמטית

מטוטלת מתמטית מתנדנדת, אותה ניתן לתאר באמצעות משוואה דיפרנציאלית פשוטה:

x + ω2 sin x = 0,

כאשר x (t) היא פונקציה לא ידועה (זו זווית הסטייה ממיקום שיווי המשקל התחתון ברגע t, מבוטאת ברדיאנים); ω הוא קבוע חיובי, שנקבע מהפרמטרים של המטוטלת (ω = √g/L, כאשר g היא תאוצת הכבידה, ו-L הוא אורך המטוטלת המתמטית (השעיה).

המשוואה עבור רעידות קטנות ליד מיקום שיווי המשקל (משוואה הרמונית) נראית כך:

x + ω2 sin x = 0

תנועות תנודות של מטוטלת

מטוטלת מתמטית, שעושה תנודות קטנות, נעה לאורך סינוסואיד. המשוואה הדיפרנציאלית מסדר שני עונה על כל הדרישות והפרמטרים של תנועה כזו. כדי לקבוע את המסלול, יש צורך להגדיר את המהירות ואת הקואורדינטה, שממנה נקבעים קבועים בלתי תלויים:

x = A sin (θ 0 + ωt),

כאשר θ 0 הוא השלב ההתחלתי, A הוא משרעת התנודה, ω הוא התדר המחזורי שנקבע ממשוואת התנועה.

מטוטלת מתמטית (נוסחאות לאמפליטודות גדולות)

מערכת מכנית זו, המתנדנדת באמפליטודה משמעותית, כפופה לחוקי תנועה מורכבים יותר. עבור מטוטלת כזו הם מחושבים לפי הנוסחה:

sin x/2 = u * sn(ωt/u),

כאשר sn הוא סינוס Jacobi, אשר עבור u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2,

כאשר ε = E/mL2 (mL2 היא האנרגיה של המטוטלת).

תקופת התנודה של מטוטלת לא ליניארית נקבעת באמצעות הנוסחה:

כאשר Ω = π/2 * ω/2K(u), K הוא האינטגרל האליפטי, π - 3,14.

תנועה של מטוטלת לאורך מפריד

נפרדריקס הוא מסלול של מערכת דינמית שיש לה מרחב פאזה דו מימדי. מטוטלת מתמטית נעה לאורכה באופן לא תקופתי. ברגע רחוק לאין שיעור בזמן, הוא נופל מהמיקום הגבוה ביותר שלו לצד במהירות אפסית, ואז זוכה בה בהדרגה. בסופו של דבר הוא נעצר וחוזר למקומו המקורי.

אם משרעת תנודות המטוטלת מתקרבת למספר π , זה מצביע על כך שהתנועה במישור הפאזה מתקרבת למפריד. במקרה זה, בהשפעת כוח מחזורי קטן, המערכת המכנית מפגינה התנהגות כאוטית.

כאשר מטוטלת מתמטית סוטה ממיקום שיווי המשקל עם זווית מסוימת φ, נוצר כוח משיכה משיק של הכבידה Fτ = -mg sin φ. סימן המינוס אומר שמרכיב משיק זה מכוון לכיוון המנוגד לסטייה של המטוטלת. כאשר מציינים ב-x את תזוזה של המטוטלת לאורך קשת מעגלית עם רדיוס L, התזוזה הזוויתית שלה שווה ל-φ = x/L. החוק השני, המיועד להקרנות וכוח, ייתן את הערך הרצוי:

mg τ = Fτ = -mg sin x/L

בהתבסס על קשר זה, ברור שמטוטלת זו היא מערכת לא לינארית, שכן הכוח הנוטה להחזיר אותה למצב שיווי המשקל הוא תמיד פרופורציונלי לא לתזוזה x, אלא לחטא x/L.

רק כאשר מטוטלת מתמטית מבצעת תנודות קטנות היא מתנד הרמוני. במילים אחרות, היא הופכת למערכת מכנית המסוגלת לבצע תנודות הרמוניות. קירוב זה תקף למעשה עבור זוויות של 15-20 מעלות. תנודות של מטוטלת עם משרעות גדולות אינן הרמוניות.

חוק ניוטון לתנודות קטנות של מטוטלת

אם מערכת מכנית נתונה מבצעת תנודות קטנות, החוק השני של ניוטון ייראה כך:

mg τ = Fτ = -m* g/L* x.

בהתבסס על זה, אנו יכולים להסיק כי מטוטלת מתמטית פרופורציונלית לעקירה שלה עם סימן מינוס. זהו המצב שבגללו המערכת הופכת למתנד הרמוני. מודול מקדם המידתיות בין תזוזה לתאוצה שווה לריבוע של התדר המעגלי:

ω02 = g/L; ω0 = √ g/L.

נוסחה זו משקפת את התדירות הטבעית של תנודות קטנות של סוג זה של מטוטלת. על סמך זה,

T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.

חישובים המבוססים על חוק שימור האנרגיה

ניתן לתאר את המאפיינים של מטוטלת גם באמצעות חוק שימור האנרגיה. יש לקחת בחשבון שהמטוטלת בשדה הכבידה שווה ל:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

סך הכל שווה פוטנציאל קינטי או מקסימלי: Epmax = Ekmsx = E

לאחר שנכתב חוק שימור האנרגיה, קח את הנגזרת של צד ימין וצד שמאל של המשוואה:

מכיוון שהנגזרת של כמויות קבועות שווה ל-0, אז (Ep + Ek)" = 0. הנגזרת של הסכום שווה לסכום הנגזרות:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x"= mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,

לָכֵן:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.

בהתבסס על הנוסחה האחרונה, אנו מוצאים: α = - g/L*x.

יישום מעשי של מטוטלת מתמטית

התאוצה משתנה בהתאם לקו הרוחב מכיוון שצפיפות קרום כדור הארץ אינה זהה בכל כדור הארץ. היכן שמתרחשים סלעים בעלי צפיפות גבוהה יותר, הוא יהיה מעט גבוה יותר. תאוצה של מטוטלת מתמטית משמשת לעתים קרובות לחקירה גיאולוגית. הוא משמש לחיפוש מינרלים שונים. פשוט על ידי ספירת מספר התנודות של מטוטלת, אתה יכול לזהות פחם או עפרה בבטן כדור הארץ. זה נובע מהעובדה שלמאובנים כאלה יש צפיפות ומסה גדולים יותר מהסלעים הרופפים הבסיסיים.

המטוטלת המתמטית שימשה מדענים מצטיינים כמו סוקרטס, אריסטו, אפלטון, פלוטארכוס, ארכימדס. רבים מהם האמינו שמערכת מכנית זו יכולה להשפיע על גורלו וחייו של אדם. ארכימדס השתמש במטוטלת מתמטית בחישוביו. בימינו, אוקולטיסטים ומדיומים רבים משתמשים במערכת מכנית זו כדי להגשים את נבואותיהם או לחפש אנשים נעדרים.

גם האסטרונום וחוקר הטבע הצרפתי המפורסם ק' פלמריון השתמש במטוטלת מתמטית למחקרו. הוא טען שבעזרתו הוא הצליח לחזות את גילויו של כוכב לכת חדש, את הופעת המטאוריט טונגוסקה ואירועים חשובים נוספים. במהלך מלחמת העולם השנייה פעל בגרמניה (ברלין) מכון מטוטלת מיוחד. כיום, מכון מינכן לפאראפסיכולוגיה עוסק במחקר דומה. עובדי הממסד הזה מכנים את עבודתם עם המטוטלת "רדיסתזיה".

מטוטלת מתמטיתקוראים לנקודה חומרית תלויה על חוט חסר משקל ובלתי ניתן להרחבה המחובר למתלה וממוקם בשדה הכבידה (או כוח אחר).

הבה נלמד את התנודות של מטוטלת מתמטית במסגרת ייחוס אינרציאלית, שביחס אליה נקודת ההשעיה שלה נמצאת במנוחה או נעה באופן אחיד בקו ישר. נזניח את כוח התנגדות האוויר (מטוטלת מתמטית אידיאלית). בתחילה, המטוטלת במנוחה בתנוחת שיווי המשקל C. במקרה זה, כוח הכובד והכוח האלסטי F?ynp של החוט הפועל עליו מפוצים הדדית.

הבה נוציא את המטוטלת ממצב שיווי המשקל (על ידי הסטתה, למשל, למצב A) ונשחרר אותה ללא מהירות התחלתית (איור 1). במקרה זה, הכוחות אינם מאזנים זה את זה. המרכיב המשיק של כוח הכבידה, הפועל על המטוטלת, נותן לה תאוצה משיקית a?? (מרכיב התאוצה הכוללת המכוונת לאורך המשיק למסלול המטוטלת המתמטית), והמטוטלת מתחילה לנוע לעבר מיקום שיווי המשקל במהירות עולה בערך המוחלט. המרכיב המשיק של כוח הכבידה הוא אפוא כוח משקם. המרכיב הרגיל של כוח הכבידה מכוון לאורך החוט כנגד הכוח האלסטי. התוצאה של הכוחות נותנת למטוטלת תאוצה נורמלית, אשר משנה את כיוון וקטור המהירות, והמטוטלת נעה לאורך הקשת ABCD.

ככל שהמטוטלת מתקרבת יותר למצב שיווי המשקל C, כך הערך של הרכיב המשיק הולך וקטן. במצב שיווי המשקל, הוא שווה לאפס, והמהירות מגיעה לערך המקסימלי שלה, והמטוטלת נעה הלאה על ידי אינרציה, ועולה בקשת כלפי מעלה. במקרה זה, הרכיב מכוון נגד המהירות. ככל שזווית הסטייה a גדלה, גודל הכוח גדל, וגודל המהירות פוחת, ובנקודה D הופכת מהירות המטוטלת לאפס. המטוטלת נעצרת לרגע ואז מתחילה לנוע בכיוון ההפוך למצב שיווי המשקל. לאחר שעברה אותו שוב באינרציה, המטוטלת, שמאטה את תנועתה, תגיע לנקודה A (אין חיכוך), כלומר. ישלים תנופה שלמה. לאחר מכן, תנועת המטוטלת תחזור על עצמה ברצף שתואר כבר.

הבה נקבל משוואה המתארת ​​את התנודות החופשיות של מטוטלת מתמטית.

תנו למטוטלת ברגע נתון להיות בנקודה B. העקירה שלה S ממיקום שיווי המשקל ברגע זה שווה לאורך הקשת SV (כלומר S = |SV|). הבה נסמן את אורך חוט ההשעיה כ-l, ואת מסת המטוטלת כ-m.

מאיור 1 ברור כי , היכן . בזוויות קטנות () המטוטלת מוסטת, לכן

סימן המינוס ממוקם בנוסחה זו מכיוון שהמרכיב המשיק של כוח הכבידה מכוון לכיוון מיקום שיווי המשקל, והתזוזה נספרת ממיקום שיווי המשקל.

לפי החוק השני של ניוטון. הבה נשליך את הכמויות הווקטוריות של משוואה זו על כיוון המשיק למסלול של המטוטלת המתמטית

מהמשוואות הללו אנו מקבלים

משוואת תנועה דינמית של מטוטלת מתמטית. התאוצה המשיקית של מטוטלת מתמטית היא פרופורציונלית לתזוזה שלה ומכוונת לעבר מיקום שיווי המשקל. ניתן לכתוב את המשוואה הזו בתור

השוואה עם משוואת התנודות הרמוניות , אנו יכולים להסיק שהמטוטלת המתמטית מבצעת תנודות הרמוניות. ומכיוון שהתנודות הנחשבות של המטוטלת התרחשו בהשפעת כוחות פנימיים בלבד, אלו היו תנודות חופשיות של המטוטלת. כתוצאה מכך, תנודות חופשיות של מטוטלת מתמטית עם סטיות קטנות הן הרמוניות.

בואו נסמן

תדירות מחזורית של תנודות המטוטלת.

תקופת תנודה של מטוטלת. לָכֵן,

ביטוי זה נקרא הנוסחה של הויגנס. הוא קובע את תקופת התנודות החופשיות של מטוטלת מתמטית. מהנוסחה עולה כי בזוויות סטייה קטנות ממיקום שיווי המשקל, תקופת התנודה של מטוטלת מתמטית היא:

1. אינו תלוי במסה ובמשרעת הרטט שלו;
2. הוא פרופורציונלי לשורש הריבועי של אורך המטוטלת וביחס הפוך לשורש הריבועי של תאוצת הכבידה.

זה תואם את חוקי הניסוי של תנודות קטנות של מטוטלת מתמטית, שהתגלו על ידי ג' גלילאו.

נדגיש שניתן להשתמש בנוסחה זו לחישוב התקופה אם מתקיימים שני תנאים בו זמנית:

1. תנודות המטוטלת צריכות להיות קטנות;
2. נקודת ההשעיה של המטוטלת חייבת להיות במנוחה או לנוע באופן אחיד בקו ישר ביחס למסגרת הייחוס האינרציאלית שבה היא ממוקמת.

אם נקודת ההשעיה של מטוטלת מתמטית נעה עם האצה, אזי כוח המתח של החוט משתנה, מה שמוביל לשינוי בכוח השחזור, וכתוצאה מכך, תדירות ותקופת התנודות. כפי שמראה חישובים, ניתן לחשב את תקופת התנודה של המטוטלת במקרה זה באמצעות הנוסחה

היכן היא התאוצה ה"יעילה" של המטוטלת במסגרת ייחוס לא אינרציאלית. הוא שווה לסכום הגיאומטרי של תאוצת הנפילה החופשית והווקטור המנוגד לווקטור, כלומר. ניתן לחשב אותו באמצעות הנוסחה

הַגדָרָה

מטוטלת מתמטיקה- זוהי מערכת תנודה, שהיא מקרה מיוחד של מטוטלת פיזיקלית, שכל המסה שלה מרוכזת בנקודה אחת, מרכז המסה של המטוטלת.

בדרך כלל מטוטלת מתמטית מיוצגת ככדור התלוי על חוט ארוך חסר משקל ובלתי ניתן להרחבה. זוהי מערכת אידיאלית המבצעת תנודות הרמוניות בהשפעת כוח הכבידה. קירוב טוב למטוטלת מתמטית הוא כדור קטן ומסיבי המתנודד על חוט ארוך דק.

גלילאו היה הראשון שחקר את תכונותיה של מטוטלת מתמטית על ידי בחינת התנופה של נברשת על שרשרת ארוכה. הוא מצא שתקופת התנודה של מטוטלת מתמטית אינה תלויה באמפליטודה. אם, בעת שיגור המטוטלת, היא מוסטת בזוויות קטנות שונות, אז התנודות שלה יתרחשו עם אותה תקופה, אבל אמפליטודות שונות. תכונה זו נקראת איזוכרוניזם.

משוואת תנועה של מטוטלת מתמטית

מטוטלת מתמטית היא דוגמה קלאסית של מתנד הרמוני. הוא מבצע תנודות הרמוניות, המתוארות על ידי המשוואה הדיפרנציאלית:

\[\ddot(\varphi )+(\omega )^2_0\varphi =0\ \left(1\right),\]

כאשר $\varphi $ הוא זווית הסטייה של החוט (השעיה) ממיקום שיווי המשקל.

הפתרון למשוואה (1) הוא הפונקציה $\varphi (t):$

\[\varphi (t)=(\varphi )_0(\cos \left((\omega )_0t+\alpha \right)\left(2\right),\ )\]

כאשר $\alpha $ הוא השלב הראשוני של תנודות; $(\varphi )_0$ - משרעת של תנודות; $(\omega )_0$ - תדר מחזורי.

תנודות של מתנד הרמוני הן דוגמה חשובה לתנועה מחזורית. המתנד משמש כמודל בבעיות רבות של מכניקת הקוונטים והקלאסית.

תדירות מחזורית ותקופת תנודה של מטוטלת מתמטית

התדירות המחזורית של מטוטלת מתמטית תלויה רק ​​באורך ההשעיה שלה:

\[\ (\omega )_0=\sqrt(\frac(g)(l))\left(3\right).\]

תקופת התנודה של מטוטלת מתמטית ($T$) במקרה זה שווה ל:

ביטוי (4) מראה שתקופת מטוטלת מתמטית תלויה רק ​​באורך המתלה שלה (המרחק מנקודת ההשעיה למרכז הכובד של העומס) ובהאצת הכובד.

משוואת אנרגיה למטוטלת מתמטית

כאשר בוחנים תנודות של מערכות מכניות עם דרגת חופש אחת, לעתים קרובות הן לוקחות כנקודת התחלה לא את משוואות התנועה של ניוטון, אלא את משוואת האנרגיה. מכיוון שקל יותר להלחין, וזו משוואת מסדר ראשון בזמן. נניח שאין חיכוך במערכת. אנו כותבים את חוק שימור האנרגיה עבור מטוטלת מתמטית המבצעת תנודות חופשיות (תנודות קטנות) כ:

כאשר $E_k$ היא האנרגיה הקינטית של המטוטלת; $E_p$ היא האנרגיה הפוטנציאלית של המטוטלת; $v$ היא מהירות המטוטלת; $x$ היא התזוזה הליניארית של משקל המטוטלת ממיקום שיווי המשקל לאורך קשת מעגלית ברדיוס $l$, בעוד הזווית - תזוזה קשורה ל$x$ כ:

\[\varphi =\frac(x)(l)\left(6\right).\]

הערך המרבי של האנרגיה הפוטנציאלית של מטוטלת מתמטית הוא:

ערך אנרגיה קינטית מקסימלית:

כאשר $h_m$ הוא הגובה המרבי של המטוטלת; $x_m$ הוא הסטייה המקסימלית של המטוטלת ממיקום שיווי המשקל; $v_m=(\omega )_0x_m$ - מהירות מקסימלית.

דוגמאות לבעיות עם פתרונות

דוגמה 1

תרגיל.מהו גובה ההרמה המרבי של הכדור של מטוטלת מתמטית אם מהירות התנועה שלו במעבר במיקום שיווי המשקל הייתה $v$?

פִּתָרוֹן.בואו נעשה ציור.

תנו לאנרגיה הפוטנציאלית של הכדור להיות אפס במיקום שיווי המשקל שלו (נקודה 0) בשלב זה מהירות הכדור היא מקסימלית ושווה ל$v$ לפי תנאי הבעיה. בנקודת העלייה המקסימלית של הכדור מעל מיקום שיווי המשקל (נקודה A), מהירות הכדור היא אפס, האנרגיה הפוטנציאלית היא מקסימלית. הבה נכתוב את חוק שימור האנרגיה עבור שני המצבים הנחשבים של הכדור:

\[\frac(mv^2)(2)=mgh\ \left(1.1\right).\]

מתוך משוואה (1.1) נמצא את הגובה הנדרש:

תשובה.$h=\frac(v^2)(2g)$

דוגמה 2

תרגיל.מהי תאוצת הכבידה אם מטוטלת מתמטית באורך של $l=1\ m$ מתנדנדת עם תקופה השווה ל-$T=2\ s$? ראה את התנודות של מטוטלת מתמטית כקטנות.\textit()

פִּתָרוֹן.כבסיס לפתרון הבעיה, אנו לוקחים את הנוסחה לחישוב התקופה של תנודות קטנות:

הבה נביע את התאוצה ממנו:

בוא נחשב את התאוצה עקב כוח הכבידה:

תשובה.$g=9.87\ \frac(m)(s^2)$