Инструкция

Арифметическая прогрессия - это последовательность вида a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Число d шагом прогрессии .Очевидно, что общая произвольного n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: An = A1+(n-1)d. Тогда зная один из членов прогрессии , член прогрессии и шаг прогрессии , можно , то есть номер члена прогресси. Очевидно, он будет определяться по формуле n = (An-A1+d)/d.

Пусть теперь известен m-ый член прогрессии и -то другой член прогрессии - n-ый, но n , как и в предыдущем случае, но известно, что n и m не совпадают.Шаг прогрессии может быть вычислен по формуле: d = (An-Am)/(n-m). Тогда n = (An-Am+md)/d.

Если известна сумма нескольких элементов арифметической прогрессии , а также ее первый и последний , то количество этих элементов тоже можно определить.Сумма арифметической прогрессии будет равна: S = ((A1+An)/2)n. Тогда n = 2S/(A1+An) - чденов прогрессии . Используя тот факт, что An = A1+(n-1)d, эту формулу можно переписать в виде: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Из этой можно выразить n, решая квадратное уравнение.

Арифметической последовательностью называют такой упорядоченный набор чисел, каждый член которого, кроме первого, отличается от предыдущего на одну и ту же величину. Эта постоянная величина называется разностью прогрессии или ее шагом и может быть рассчитана по известным членам арифметической прогрессии.

Инструкция

Если из условий задачи известны значения первого и второго или любой другой пары соседних членов , для вычисления разности (d) просто отнимите от последующего члена предыдущий. Получившаяся величина может быть как положительным, так и отрицательным числом - это зависит от того, является ли прогрессия возрастающей . В общей форме решение для произвольно взятой пары (aᵢ и aᵢ₊₁) соседних членов прогрессии запишите так: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Для пары членов такой прогрессии, один из которых является первым (a₁), а другой - любым другим произвольно выбранным, тоже можно составить формулу нахождения разности (d). Однако в этом случае обязательно должен быть известен порядковый номер (i) произвольного выбранного члена последовательности. Для вычисления разности сложите оба числа, а полученный результат разделите на уменьшенный на единицу порядковый номер произвольного члена. В общем виде эту формулу запишите так: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Если кроме произвольного члена арифметической прогрессии с порядковым номером i известен другой ее член с порядковым номером u, измените формулу из предыдущего шага соответствующим образом. В этом случае разностью (d) прогрессии будет сумма этих двух членов, поделенная на разность их порядковых номеров: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Формула вычисления разности (d) несколько усложнится, если в условиях задачи дано значение первого ее члена (a₁) и сумма (Sᵢ) заданного числа (i) первых членов арифметической последовательности. Для получения искомого значения разделите сумму на количество составивших ее членов, отнимите значение первого числа в последовательности, а результат удвойте. Получившуюся величину разделите на уменьшенное на единицу число членов, составивших сумму. В общем виде формулу вычисления дискриминанта запишите так: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

В чём главная суть формулы?

Эта формула позволяет найти любой ПО ЕГО НОМЕРУ "n" .

Разумеется, надо знать ещё первый член a 1 и разность прогрессии d , ну так без этих параметров конкретную прогрессию и не запишешь.

Заучить (или зашпаргалить) эту формулу мало. Надо усвоить её суть и поприменять формулу в различных задачках. Да ещё и не забыть в нужный момент, да...) Как не забыть - я не знаю. А вот как вспомнить, при необходимости, - точно подскажу. Тем, кто урок до конца осилит.)

Итак, разберёмся с формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Что такое формула вообще - мы себе представляем.) Что такое арифметическая прогрессия, номер члена, разность прогресии - доступно изложено в предыдущем уроке. Загляните, кстати, если не читали. Там всё просто. Осталось разобраться, что такое n-й член.

Прогрессию в общем виде можно записать в виде ряда чисел:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1 - обозначает первый член арифметической прогрессии, a 3 - третий член, a 4 - четвёртый, и так далее. Если нас интересует пятый член, скажем, мы работаем с a 5 , если сто двадцатый - с a 120 .

А как обозначить в общем виде любой член арифметической прогрессии, с любым номером? Очень просто! Вот так:

a n

Это и есть n-й член арифметической прогрессии. Под буквой n скрываются сразу все номера членов: 1, 2, 3, 4, и так далее.

И что нам даёт такая запись? Подумаешь, вместо цифры буковку записали...

Эта запись даёт нам мощный инструмент для работы с арифметической прогрессией. Используя обозначение a n , мы можем быстро найти любой член любой арифметической прогрессии. И ещё кучу задач по прогрессии решить. Сами дальше увидите.

В формуле n-го члена арифметической прогрессии:

a 1 - первый член арифметической прогрессии;

n - номер члена.

Формула связывает ключевые параметры любой прогрессии: a n ; a 1 ; d и n . Вокруг этих параметров и крутятся все задачки по прогрессии.

Формула n-го члена может использоваться и для записи конкретной прогрессии. Например, в задаче может быть сказано, что прогрессия задана условием:

a n = 5 + (n-1)·2.

Такая задачка может и в тупик поставить... Нет ни ряда, ни разности... Но, сравнивая условие с формулой, легко сообразить, что в этой прогрессии a 1 =5, а d=2.

А бывает ещё злее!) Если взять то же условие: a n = 5 + (n-1)·2, да раскрыть скобки и привести подобные? Получим новую формулу:

a n = 3 + 2n.

Это Только не общая, а для конкретной прогрессии. Вот здесь и таится подводный камень. Некоторые думают, что первый член - это тройка. Хотя реально первый член - пятёрка... Чуть ниже мы поработаем с такой видоизменённой формулой.

В задачах на прогрессию встречается ещё одно обозначение - a n+1 . Это, как вы догадались, "эн плюс первый" член прогрессии. Смысл его прост и безобиден.) Это член прогрессии, номер которого больше номера n на единичку. Например, если в какой-нибудь задаче мы берём за a n пятый член, то a n+1 будет шестым членом. И тому подобное.

Чаще всего обозначение a n+1 встречается в рекуррентных формулах. Не пугайтесь этого страшного слова!) Это просто способ выражения члена арифметической прогрессии через предыдущий. Допустим, нам дана арифметическая прогрессия вот в таком виде, с помощью рекуррентной формулы:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Четвёртый - через третий, пятый - через четвёртый, и так далее. А как посчитать сразу, скажем двадцатый член, a 20 ? А никак!) Пока 19-й член не узнаем, 20-й не посчитать. В этом и есть принципиальное отличие рекуррентной формулы от формулы n-го члена. Рекуррентная работает только через предыдущий член, а формула n-го члена - через первый и позволяет сразу находить любой член по его номеру. Не просчитывая весь ряд чисел по порядочку.

В арифметической прогрессии рекуррентную формулу легко превратить в обычную. Посчитать пару последовательных членов, вычислить разность d, найти, если надо, первый член a 1 , записать формулу в обычном виде, да и работать с ней. В ГИА подобные задания частенько встречаются.

Применение формулы n-го члена арифметической прогрессии.

Для начала рассмотрим прямое применение формулы. В конце предыдущего урока была задачка:

Дана арифметическая прогрессия (a n). Найти a 121 , если a 1 =3, а d=1/6.

Эту задачку можно безо всяких формул решить, просто исходя из смысла арифметической прогрессии. Прибавлять, да прибавлять... Часок-другой.)

А по формуле решение займёт меньше минуты. Можете засекать время.) Решаем.

В условиях приведены все данные для использования формулы: a 1 =3, d=1/6. Остаётся сообразить, чему равно n. Не вопрос! Нам надо найти a 121 . Вот и пишем:

Прошу обратить внимание! Вместо индекса n появилось конкретное число: 121. Что вполне логично.) Нас интересует член арифметической прогрессии номер сто двадцать один. Вот это и будет наше n. Именно это значение n = 121 мы и подставим дальше в формулу, в скобки. Подставляем все числа в формулу и считаем:

a 121 = 3 + (121-1)·1/6 = 3+20 = 23

Вот и все дела. Так же быстро можно было бы найти и пятьсот десятый член, и тысяча третий, любой. Ставим вместо n нужный номер в индексе у буквы "a" и в скобках, да и считаем.

Напомню суть: эта формула позволяет найти любой член арифметической прогрессии ПО ЕГО НОМЕРУ "n" .

Решим задание похитрее. Пусть нам попалась такая задачка:

Найдите первый член арифметической прогрессии (a n), если a 17 =-2; d=-0,5.

Если возникли затруднения, подскажу первый шаг. Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии! Да-да. Руками запишите, прямо в тетрадке:

А теперь, глядя на буквы формулы, соображаем, какие данные у нас есть, а чего не хватает? Имеется d=-0,5, имеется семнадцатый член... Всё? Если считаете, что всё, то задачу не решите, да...

У нас ещё имеется номер n ! В условии a 17 =-2 спрятаны два параметра. Это и значение семнадцатого члена (-2), и его номер (17). Т.е. n=17. Эта "мелочь" часто проскакивает мимо головы, а без неё, (без "мелочи", а не головы!) задачу не решить. Хотя... и без головы тоже.)

Теперь можно просто тупо подставить наши данные в формулу:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Ах да, a 17 нам известно, это -2. Ну ладно, подставим:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Вот, в сущности, и всё. Осталось выразить первый член арифметической прогрессии из формулы, да посчитать. Получится ответ: a 1 = 6.

Такой приём - запись формулы и простая подстановка известных данных - здорово помогает в простых заданиях. Ну, надо, конечно, уметь выражать переменную из формулы, а что делать!? Без этого умения математику можно вообще не изучать...

Ещё одна популярная задачка:

Найдите разность арифметической прогрессии (a n), если a 1 =2; a 15 =12.

Что делаем? Вы удивитесь, пишем формулу!)

Соображаем, что нам известно: a 1 =2; a 15 =12; и (специально выделю!) n=15. Смело подставляем в формулу:

12=2 + (15-1)d

Считаем арифметику.)

12=2 + 14d

d =10/14 = 5/7

Это правильный ответ.

Так, задачи на a n , a 1 и d порешали. Осталось научиться номер находить:

Число 99 является членом арифметической прогрессии (a n), где a 1 =12; d=3. Найти номер этого члена.

Подставляем в формулу n-го члена известные нам величины:

a n = 12 + (n-1)·3

На первый взгляд, здесь две неизвестные величины: a n и n. Но a n - это какой-то член прогрессии с номером n ... И этот член прогрессии мы знаем! Это 99. Мы не знаем его номер n, так этот номер и требуется найти. Подставляем член прогрессии 99 в формулу:

99 = 12 + (n-1)·3

Выражаем из формулы n , считаем. Получим ответ: n=30.

А теперь задачка на ту же тему, но более творческая):

Определите, будет ли число 117 членом арифметической прогрессии (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Опять пишем формулу. Что, нет никаких параметров? Гм... А глазки нам зачем дадены?) Первый член прогрессии видим? Видим. Это -3,6. Можно смело записать: a 1 =-3,6. Разность d можно из ряда определить? Легко, если знаете, что такое разность арифметической прогрессии:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Так, самое простое сделали. Осталось разобраться с неизвестным номером n и непонятным числом 117. В предыдущей задачке хоть было известно, что дан именно член прогрессии. А здесь и того не знаем... Как быть!? Ну, как быть, как быть... Включить творческие способности!)

Мы предположим, что 117 - это, всё-таки, член нашей прогрессии. С неизвестным номером n . И, точно как в предыдущей задаче, попробуем найти этот номер. Т.е. пишем формулу (да-да!)) и подставляем наши числа:

117 = -3,6 + (n-1)·1,2

Опять выражаем из формулы n , считаем и получаем:

Опаньки! Номер получился дробный! Сто один с половиной. А дробных номеров в прогрессиях не бывает. Какой вывод сделаем? Да! Число 117 не является членом нашей прогрессии. Оно находится где-то между сто первым и сто вторым членом. Если бы номер получился натуральным, т.е. положительным целым, то число было бы членом прогрессии с найденным номером. А в нашем случае, ответ задачи будет: нет.

Задача на основе реального варианта ГИА:

Арифметическая прогрессия задана условием:

a n = -4 + 6,8n

Найти первый и десятый члены прогрессии.

Здесь прогрессия задана не совсем привычным образом. Формула какая-то... Бывает.) Однако, эта формула (как я писал выше) - тоже формула n-го члена арифметической прогрессии! Она тоже позволяет найти любой член прогрессии по его номеру.

Ищем первый член. Тот, кто думает. что первый член - минус четыре, фатально ошибается!) Потому, что формула в задаче - видоизменённая. Первый член арифметической прогрессии в ней спрятан. Ничего, сейчас отыщем.)

Так же, как и в предыдущих задачах, подставляем n=1 в данную формулу:

a 1 = -4 + 6,8·1 = 2,8

Вот! Первый член 2,8, а не -4!

Аналогично ищем десятый член:

a 10 = -4 + 6,8·10 = 64

Вот и все дела.

А теперь, тем кто дочитал до этих строк, - обещанный бонус.)

Предположим, в сложной боевой обстановке ГИА или ЕГЭ, вы подзабыли полезную формулу n-го члена арифметической прогрессии. Что-то припоминается, но неуверенно как-то... То ли n там, то ли n+1, то ли n-1... Как быть!?

Спокойствие! Эту формулку легко вывести. Не очень строго, но для уверенности и правильного решения точно хватит!) Для вывода достаточно помнить элементарный смысл арифметической прогрессии и иметь пару-тройку минут времени. Нужно просто нарисовать картинку. Для наглядности.

Рисуем числовую ось и отмечаем на ней первый. второй, третий и т.п. члены. И отмечаем разность d между членами. Вот так:

Смотрим на картинку и соображаем: чему равняется второй член? Второй одно d :

a 2 =a 1 +1 ·d

Чему равняется третий член? Третий член равняется первый член плюс два d .

a 3 =a 1 +2 ·d

Улавливаете? Я не зря некоторые слова выделяю жирным шрифтом. Ну ладно, ещё один шаг).

Чему равняется четвёртый член? Четвёртый член равняется первый член плюс три d .

a 4 =a 1 +3 ·d

Пора сообразить, что количество промежутков, т.е. d , всегда на один меньше, чем номер искомого члена n . Т.е., до номера n, количество промежутков будет n-1. Стало быть, формула будет (без вариантов!):

Вообще, наглядные картинки очень помогают решать многие задачи в математике. Не пренебрегайте картинками. Но если уж картинку нарисовать затруднительно, то... только формула!) Кроме того, формула n-го члена позволяет подключить к решению весь мощный арсенал математики - уравнения, неравенства, системы и т.д. Картинку-то в уравнение не вставишь...

Задания для самостоятельного решения.

Для разминки:

1. В арифметической прогрессии (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. Найти a 3 .

Подсказка: по картинке задача решается секунд за 20... По формуле - сложнее получается. Но для освоения формулы - полезнее.) В Разделе 555 эта задачка решена и по картинке, и по формуле. Почувствуйте разницу!)

А это - уже не разминка.)

2. В арифметической прогрессии (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Найти a 3 .

Что, неохота картинку рисовать?) Ещё бы! Уж лучше по формуле, да...

3. Арифметическая прогрессия задана условием: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Найдите сто двадцать пятый член этой прогрессии.

В этом задании прогрессия задана рекуррентным способом. Но считать до сто двадцать пятого члена... Не всем такой подвиг под силу.) Зато формула n-го члена по силам каждому!

4. Дана арифметическая прогрессия (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Найти номер наименьшего положительного члена прогрессии.

5. По условию задания 4 найти сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного членов прогрессии.

6. Произведение пятого и двенадцатого членов возрастающей арифметической прогрессии равно -2,5, а сумма третьего и одиннадцатого членов равна нулю. Найти a 14 .

Не самая простая задачка, да...) Здесь способ "на пальцах" не прокатит. Придётся формулы писать да уравнения решать.

Ответы (в беспорядке):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Получилось? Это приятно!)

Не всё получается? Бывает. Кстати, в последнем задании есть один тонкий момент. Внимательность при чтении задачи потребуется. И логика.

Решение всех этих задач подробно разобрано в Разделе 555. И элемент фантазии для четвёртой, и тонкий момент для шестой, и общие подходы для решения всяких задач на формулу n-го члена - всё расписано. Рекомендую.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Тип урока: изучение нового материала.

Цели урока:

• расширение и углубление представлений учащихся о задачах, решаемых с использованием арифметической прогрессии; организация поисковой деятельности учащихся при выводе формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии;
• развитие умений самостоятельно приобретать новые знания, использовать для достижения поставленной задачи уже полученные знания;
• выработка желания и потребности обобщать полученные факты, развитие самостоятельности.

Задачи:

• обобщить и систематизировать имеющиеся знания по теме “Арифметическая прогрессия”;
• вывести формулы для вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии;
• научить применять полученные формулы при решении различных задач;
• обратить внимание учащихся на порядок действий при нахождении значения числового выражения.

Оборудование:

• карточки с заданиями для работы в группах и парах;
• оценочный лист;
• презентация “Арифметическая прогрессия”.

I. Актуализация опорных знаний.

1. Самостоятельная работа в парах.

1-й вариант:

Дайте определение арифметической прогрессии. Запишите рекуррентную формулу, с помощью которой задается арифметическая прогрессия. Приветите пример арифметической прогрессии и укажите её разность.

2-й вариант:

Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии. Найдите 100-й член арифметической прогрессии {a n }: 2, 5, 8 …
В это время два ученика на обратной стороне доски готовят ответы на эти же вопросы.
Учащиеся оценивают работу партнера, сверяя с доской. (Листочки с ответами сдают).

2. Игровой момент.

Задание 1.

Учитель. Я задумала некоторую арифметическую прогрессию. Задайте мне только два вопроса, чтобы после ответов вы быстро смогли бы назвать 7-й член этой прогрессии. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Вопросы учащихся.

1. Чему равен шестой член прогрессии и чему равна разность?
2. Чему равен восьмой член прогрессии и чему равна разность?

Если вопросов больше не последует, то учитель может стимулировать их – “запрет” на d (разность), то есть не разрешается спрашивать чему равна разность. Можно задать вопросы: чему равен 6-й член прогрессии и чему равен 8-й член прогрессии?

Задание 2.

На доске записано 20 чисел: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Учитель стоит спиной к доске. Ученики называют номер числа, а учитель мгновенно называет само число. Объясните, как мне это удается?

Учитель помнит формулу n-го члена a n = 3n – 2 и, подставляя задаваемые значения n, находит соответствующие значения a n .

II. Постановка учебной задачи.

Предлагаю решить старинную задачу, относящуюся ко II-му тысячелетию до нашей эры, найденную в египетских папирусах.

Задача: “Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность между каждым человеком и его соседом равняется 1/8 меры”.

• Как эта задача связана с темой арифметическая прогрессия? (Каждый следующий получает на 1/8 меры больше, значит разность d=1/8, 10 человек, значит n=10.)
• А что, по-вашему мнению, означает число 10 мер? (Сумма всех членов прогрессии.)
• Что ещё необходимо знать, чтобы было легко и просто разделить ячмень согласно условию задачи? (Первый член прогрессии.)

Задача урока – получение зависимости суммы членов прогрессии от их числа, первого члена и разности, и проверка того, верно ли в древности решали поставленную задачу.

Прежде чем сделать вывод формулы, посмотрим, как решали задачу древние египтяне.

А решали её следующим образом:

1) 10 мер: 10 = 1 мера – средняя доля;
2) 1 мера ∙ = 2 меры – удвоенная средняя доля.
Удвоенная средняя доля – это сумма долей 5-го и 6-го человек.
3) 2 меры – 1/8 меры = 1 7/8 меры – удвоенная доля пятого человека.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – доля пятого; и так далее можно найти долю каждого предыдущего и последующего человека.

Получим последовательность:

III. Решение поставленной задачи.

1. Работа в группах

I-я группа: Найти сумму 20 последовательных натуральных чисел: S 20 =(20+1)∙10 =210.

В общем виде

II-я группа: Найти сумму натуральных чисел от 1 до 100 (Легенда о маленьком Гауссе).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Вывод:

III-я группа: Найти сумму натуральных чисел от 1 до 21.

Решение: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Вывод:

IV-я группа: Найти сумму натуральных чисел от 1 до 101.

Вывод:

Этот метод решения рассмотренных задач называется “Метод Гаусса”.

2. Каждая группа представляет решение задачи на доске.

3. Обобщение предложенных решений для произвольной арифметической прогрессии:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n .

Найдем эту сумму рассуждая аналогично:

4. Решили мы поставленную задачу? (Да.)

IV. Первичное осмысление и применение полученных формул при решении задач.

1. Проверка решения старинной задачи по формуле.

2. Применение формулы при решении различных задач.

3. Упражнения на формирование умения применения формулы при решении задач.

А) №613

Дано: (а n) – арифметическая прогрессия;

(а n): 1, 2, 3, …, 1500

Найти: S 1500

Решение: , а 1 = 1, а 1500 = 1500,

Б) Дано: (а n) – арифметическая прогрессия;
(а n): 1, 2, 3, …
S n = 210

Найти: n
Решение:

V. Самостоятельная работа с взаимопроверкой.

Денис поступил на работу курьером. В первый месяц его зарплата составила 200 рублей, в каждый последующий она повышалась на 30 рублей. Сколько всего он заработал за год?

Дано: (а n) – арифметическая прогрессия;
а 1 = 200, d=30, n=12
Найти: S 12
Решение:

Ответ: 4380 рублей получил Денис за год.

VI. Инструктаж по домашнему заданию.

1. п. 4.3 – выучить вывод формулы .
2. №№ 585, 623 .
3. Составить задачу, которая решалась бы с использованием формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии.

VII. Подведение итогов урока.

1. Оценочный лист

2. Продолжи предложения

• Сегодня на уроке я узнал …
• Изученные формулы …
• Я считаю что …

3. Сможешь ли ты найти сумму чисел от 1 до 500? Каким методом будешь решать эту задачу?

Список литературы.

1. Алгебра, 9-й класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. Под ред. Г.В. Дорофеева. М.: “Просвещение”, 2009.

Начальный уровень

Арифметическая прогрессия. Подробная теория с примерами (2019)

Числовая последовательность

Итак, сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например:
Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно (в нашем случае их). Сколько бы чисел мы не написали, мы всегда можем сказать, какое из них первое, какое - второе и так далее до последнего, то есть, можем их пронумеровать. Это и есть пример числовой последовательности:

Числовая последовательность
Например, для нашей последовательности:

Присвоенный номер характерен только для одного числа последовательности. Иными словами, в последовательности нет трех вторых чисел. Второе число (как и -ное число) всегда одно.
Число с номером называется -ным членом последовательности.

Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например,), и каждый член этой последовательности - той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: .

В нашем случае:

Допустим, у нас есть числовая последовательность, в которой разница между соседствующими числами одинакова и равна.
Например:

и т.д.
Такая числовая последовательность называется арифметической прогрессией.
Термин «прогрессия» был введен римским автором Боэцием еще в 6 веке и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Название «арифметическая» было перенесено из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

Это числовая последовательность, каждый член которой равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается.

Попробуй определить, какие числовые последовательности являются арифметической прогрессией, а какие нет:

a)
b)
c)
d)

Разобрался? Сравним наши ответы:
Является арифметической прогрессией - b, c.
Не является арифметической прогрессией - a, d.

Вернемся к заданной прогрессии () и попробуем найти значение ее -го члена. Существует два способа его нахождения.

1. Способ

Мы можем прибавлять к предыдущему значению числа прогрессии, пока не дойдем до -го члена прогрессии. Хорошо, что суммировать нам осталось немного - всего три значения:

Итак, -ой член описанной арифметической прогрессии равен.

2. Способ

А что если нам нужно было бы найти значение -го члена прогрессии? Суммирование заняло бы у нас не один час, и не факт, что мы не ошиблись бы при сложении чисел.
Разумеется, математики придумали способ, при котором не нужно прибавлять разность арифметической прогрессии к предыдущему значению. Присмотрись внимательно к нарисованному рисунку… Наверняка ты уже заметил некую закономерность, а именно:

Например, посмотрим, из чего складывается значение -го члена данной арифметической прогрессии:


Иными словами:

Попробуй самостоятельно найти таким способом значение члена данной арифметической прогрессии.

Рассчитал? Сравни свои записи с ответом:

Обрати внимание, что у тебя получилось точно такое же число, как и в предыдущем способе, когда мы последовательно прибавляли к предыдущему значению членов арифметической прогрессии.
Попробуем «обезличить» данную формулу - приведем ее в общий вид и получим:

Арифметические прогрессии бывают возрастающие, а бывают убывающие.

Возрастающие - прогрессии, в которых каждое последующее значение членов больше предыдущего.
Например:

Убывающие - прогрессии, в которых каждое последующее значение членов меньше предыдущего.
Например:

Выведенная формула применяется в расчете членов как в возрастающих, так и в убывающих членах арифметической прогрессии.
Проверим это на практике.
Нам дана арифметическая прогрессия, состоящая из следующих чисел: Проверим, какое получится -ое число данной арифметической прогрессии, если при его расчете использовать нашу формулу:

Так как, то:

Таким образом, мы убедились, что формула действует как в убывающей, так и в возрастающей арифметической прогрессии.
Попробуй самостоятельно найти -ой и -ый члены этой арифметической прогрессии.

Сравним полученные результаты:

Свойство арифметической прогрессии

Усложним задачу - выведем свойство арифметической прогрессии.
Допустим, нам дано такое условие:
- арифметическая прогрессия, найти значение.
Легко, скажешь ты и начнешь считать по уже известной тебе формуле:

Пусть, а, тогда:

Абсолютно верно. Получается, мы сначала находим, потом прибавляем его к первому числу и получаем искомое. Если прогрессия представлена маленькими значениями, то ничего сложного в этом нет, а если нам в условии даны числа? Согласись, есть вероятность ошибиться в вычислениях.
А теперь подумай, можно ли решить эту задачу в одно действие с использованием какой-либо формулы? Конечно да, и именно ее мы попробуем сейчас вывести.

Обозначим искомый член арифметической прогрессии как, формула его нахождения нам известна - это та самая формула, выведенная нами в начале:
, тогда:

• предыдущий член прогрессии это:
• последующий член прогрессии это:

Просуммируем предыдущий и последующий члены прогрессии:

Получается, что сумма предыдущего и последующего членов прогрессии - это удвоенное значение члена прогрессии, находящегося между ними. Иными словами, чтобы найти значение члена прогрессии при известных предыдущих и последовательных значениях, необходимо сложить их и разделить на.

Все верно, мы получили это же число. Закрепим материал. Посчитай значение для прогрессии самостоятельно, ведь это совсем несложно.

Молодец! Ты знаешь о прогрессии почти все! Осталось узнать только одну формулу, которую по легендам без труда вывел для себя один из величайших математиков всех времен, «король математиков» - Карл Гаусс...

Когда Карлу Гауссу было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму всех натуральных чисел от до (по другим источникам до) включительно». Каково же было удивление учителя, когда один из его учеников (это и был Карл Гаусс) через минуту дал правильный ответ на поставленную задачу, при этом, большинство одноклассников смельчака после долгих подсчетов получили неправильный результат…

Юный Карл Гаусс заметил некоторую закономерность, которую без труда заметишь и ты.
Допустим, у нас есть арифметическая прогрессия, состоящая из -ти членов: Нам необходимо найти сумму данных членов арифметической прогрессии. Конечно, мы можем вручную просуммировать все значения, но что делать, если в задании необходимо будет найти сумму ее членов, как это искал Гаусс?

Изобразим заданную нам прогрессию. Присмотрись внимательно к выделенным числам и попробуй произвести с ними различные математические действия.


Попробовал? Что ты заметил? Правильно! Их суммы равны

А теперь ответь, сколько всего наберется таких пар в заданной нам прогрессии? Конечно, ровно половина всех чисел, то есть.
Исходя из того, что сумма двух членов арифметической прогрессии равна, а подобных равных пар, мы получаем, что общая сумма равна:
.
Таким образом, формула для суммы первых членов любой арифметической прогрессии будет такой:

В некоторых задачах нам неизвестен -й член, но известна разность прогрессии. Попробуй подставить в формулу суммы, формулу -го члена.
Что у тебя получилось?

Молодец! Теперь вернемся к задаче, которую задали Карлу Гауссу: посчитай самостоятельно, чему равна сумма чисел, начиная от -го, и сумма чисел начиная от -го.

Сколько у тебя получилось?
У Гаусса получилось, что сумма членов равна, а сумма членов. Так ли ты решал?

На самом деле формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом еще в 3 веке, да и на протяжении всего этого времени остроумные люди вовсю пользовались свойствами арифметической прогрессии.
Например, представь Древний Египет и самую масштабную стройку того времени - строительство пирамиды… На рисунке представлена одна ее сторона.

Где же здесь прогрессия скажешь ты? Посмотри внимательно и найди закономерность в количестве песчаных блоков в каждом ряде стены пирамиды.


Чем не арифметическая прогрессия? Посчитай, сколько всего блоков необходимо для строительства одной стены, если в основание кладется блочных кирпичей. Надеюсь, ты не будешь считать, водя пальцем по монитору, ты же помнишь последнюю формулу и все, что мы говорили об арифметической прогрессии?

В данном случае прогрессия выглядит следующим образом: .
Разность арифметической прогрессии.
Количество членов арифметической прогрессии.
Подставим в последние формулы наши данные (посчитаем количество блоков 2 способами).

Способ 1.

Способ 2.

А теперь можно и на мониторе посчитать: сравни полученные значения с тем количеством блоков, которое есть в нашей пирамиде. Сошлось? Молодец, ты освоил сумму -ных членов арифметической прогрессии.
Конечно, из блоков в основании пирамиду не построишь, а вот из? Попробуй рассчитать, сколько необходимо песчаных кирпичей, чтобы построить стену с таким условием.
Справился?
Верный ответ - блоков:

Тренировка

Задачи:

1. Маша приходит в форму к лету. Ежедневно она увеличивает количество приседаний на. Сколько раз будет приседать Маша через недели, если на первой тренировке она сделала приседаний.
2. Какова сумма всех нечетных чисел, содержащихся в.
3. Лесорубы при хранении бревен укладывают их таким образом, что каждый верхний слой содержит на одно бревно меньше, чем предыдущий. Сколько бревен находится в одной кладке, если основанием кладки служат бревен.

Ответы:

1. Определим параметры арифметической прогрессии. В данном случае
   (недели = дней).

   Ответ: Через две недели Маша должна приседать раз в день.

2. Первое нечетное число, последнее число.
   Разность арифметической прогрессии.
   Количество нечетных чисел в - половина, однако, проверим этот факт, используя формулу нахождения -ного члена арифметической прогрессии:

   В числах действительно содержится нечетных чисел.
   Имеющиеся данные подставим в формулу:

   Ответ: Сумма всех нечетных чисел, содержащихся в, равна.

3. Вспомним задачу про пирамиды. Для нашего случая, a , так как каждый верхний слой уменьшается на одно бревно, то всего в кучке слоев, то есть.
   Подставим данные в формулу:

   Ответ: В кладке находится бревен.

Подведем итоги

1. - числовая последовательность, в которой разница между соседними числами одинакова и равна. Она бывает возрастающей и убывающей.
2. Формула нахождения -го члена арифметической прогрессии записывается формулой - , где - количество чисел в прогрессии.
3. Свойство членов арифметической прогрессии - - где - количество чисел в прогрессии.
4. Сумму членов арифметической прогрессии можно найти двумя способами:
   
   , где - количество значений.

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Числовая последовательность

Давай сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например:

Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно. Но всегда можно сказать, какое из них первое, какое - второе и так далее, то есть, можем их пронумеровать. Это и есть пример числовой последовательности.

Числовая последовательность - это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Другими словами, каждому числу можно поставить в соответствие некое натуральное число, причем единственное. И этот номер мы не присвоим больше никакому другому числу из данного множества.

Число с номером называется -ым членом последовательности.

Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например,), и каждый член этой последовательности - той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: .

Очень удобно, если -ый член последовательности можно задать какой-нибудь формулой. Например, формула

задает последовательность:

А формула - такую последовательность:

Например, арифметической прогрессией является последовательность (первый член здесь равен, а разность). Или (, разность).

Формула n-го члена

Рекуррентной мы называем такую формулу, в которой чтобы узнать -ый член, нужно знать предыдущий или несколько предыдущих:

Чтобы найти по такой формуле, например, -ый член прогрессии, нам придется вычислить предыдущие девять. Например, пусть. Тогда:

Ну что, ясно теперь какая формула?

В каждой строке мы к прибавляем, умноженное на какое-то число. На какое? Очень просто: это номер текущего члена минус:

Теперь намного удобнее, правда? Проверяем:

Реши сам:

В арифметической прогрессии найти формулу n-го члена и найти сотый член.

Решение:

Первый член равен. А чему равна разность? А вот чему:

(она ведь потому и называется разностью, что равна разности последовательных членов прогрессии).

Итак, формула:

Тогда сотый член равен:

Чему равна сумма всех натуральных чисел от до?

По легенде, великий математик Карл Гаусс, будучи 9-летним мальчиком, посчитал эту сумму за несколько минут. Он заметил, что сумма первого и последнего числа равна, сумма второго и предпоследнего - тоже, сумма третьего и 3-го с конца - тоже, и так далее. Сколько всего наберется таких пар? Правильно, ровно половина количества всех чисел, то есть. Итак,

Общая формула для суммы первых членов любой арифметической прогрессии будет такой:

Пример:
Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных.

Решение:

Первое такое число - это. Каждое следующее получается добавлением к предыдущему числа. Таким образом, интересующие нас числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом и разностью.

Формула -го члена для этой прогрессии:

Сколько членов в прогрессии, если все они должны быть двузначными?

Очень легко: .

Последний член прогрессии будет равен. Тогда сумма:

Ответ: .

Теперь реши сам:

1. Ежедневно спортсмен пробегает на м больше, чем в предыдущий день. Сколько всего километров он пробежит за недели, если в первый день он пробежал км м?
2. Велосипедист проезжает каждый день на км больше, чем в предыдущий. В первый день он проехал км. Сколько дней ему надо ехать, чтобы преодолеть км? Сколько километров он проедет за последний день пути?
3. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одну и ту же сумму. Определите, на сколько каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за рублей, через шесть лет был продан за рублей.

Ответы:

1. Здесь самое главное - распознать арифметическую прогрессию, и определить ее параметры. В данном случае, (недели = дней). Определить нужно сумму первых членов этой прогрессии:
   .
   Ответ:
2. Здесь дано: , надо найти.
   Очевидно, нужно использовать ту же формулу суммы, что и в предыдущей задаче:
   .
   Подставляем значения:

   Корень, очевидно, не подходит, значит, ответ.
   Посчитаем путь, пройденный за последний день с помощью формулы -го члена:
   (км).
   Ответ:

3. Дано: . Найти: .
   Проще не бывает:
   (руб).
   Ответ:

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Это числовая последовательность, в которой разница между соседними числами одинакова и равна.

Арифметическая прогрессия бывает возрастающей () и убывающей ().

Например:

Формула нахождения n-ого члена арифметической прогрессии

записывается формулой, где - количество чисел в прогрессии.

Свойство членов арифметической прогрессии

Оно позволяет легко найти член прогрессии, если известны его соседние члены - где - количество чисел в прогрессии.

Сумма членов арифметической прогрессии

Существует два способа нахождения суммы:

Где - количество значений.

Где - количество значений.

Арифметической прогрессией называют последовательность чисел (членов прогрессии)

В которой каждый последующий член отличается от предыдущего на сталое слагаемое, которое еще называют шагом или разницей прогрессии .

Таким образом, задавая шаг прогрессии и ее первый член можно найти любой ее элемент по формуле

Свойства арифметической прогрессии

1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго номера является средним арифметическим от предыдущего и следующего члена прогрессии

Обратное утверждение также верно. Если среднее арифметическое соседних нечетных (четных) членов прогрессии равно члену, который стоит между ними, то данная последовательность чисел является арифметической прогрессией. По этим утверждением очень просто проверить любую последовательность.

Также по свойству арифметической прогрессии, приведенную выше формулу можно обобщить до следующей

В этом легко убедиться, если расписать слагаемые справа от знака равенства

Ее часто применяют на практике для упрощения вычислений в задачах.

2) Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле

Запомните хорошо формулу суммы арифметической прогрессии, она незаменима при вычислениях и довольно часто встречается в простых жизненных ситуациях.

3) Если нужно найти не всю сумму, а часть последовательности начиная с k -го ее члена, то в Вам пригодится следующая формула суммы

4) Практический интерес представляет отыскание суммы n членов арифметической прогрессии начиная с k -го номера. Для этого используйте формулу

На этом теоретический материал заканчивается и переходим к решению распространенных на практике задач.

Пример 1. Найти сороковой член арифметической прогрессии 4;7;...

Решение:

Согласно условию имеем

Определим шаг прогрессии

По известной формуле находим сороковой член прогрессии

Пример2. Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом . Найти первый член прогрессии и сумму десяти.

Решение:

Распишем заданные элементы прогрессии по формулам

От второго уравнения вычтем первое, в результате найдем шаг прогрессии

Найденное значение подставляем в любое из уравнений для отыскания первого члена арифметической прогрессии

Вычисляем сумму первых десяти членов прогрессии

Не применяя сложных вычислений ми нашли все искомые величины.

Пример 3. Арифметическую прогрессию задано знаменателем и одним из ее членов . Найти первый член прогрессии, сумму 50 ее членов начиная с 50 и сумму 100 первых.

Решение:

Запишем формулу сотого элемента прогрессии

и найдем первый

На основе первого находим 50 член прогрессии

Находим сумму части прогрессии

и сумму первых 100

Сумма прогрессии равна 250.

Пример 4.

Найти число членов арифметической прогрессии, если:

а3-а1=8, а2+а4=14, Sn=111.

Решение:

Запишем уравнения через первый член и шаг прогрессии и определим их

Полученные значения подставляем в формулу суммы для определения количества членов в сумме

Выполняем упрощения

и решаем квадратное уравнение

Из найденных двух значений условии задачи подходит только число 8 . Таким образом сумма первых восьми членов прогрессии составляет 111.

Пример 5.

Решить уравнение

1+3+5+...+х=307.

Решение: Данное уравнение является суммой арифметической прогрессии. Выпишем первый ее член и найдем разницу прогрессии