"사고는 우연이 아니다"... 어느 철학자가 말한 것처럼 들리지만, 사실 사고를 연구하는 것은 수학이라는 위대한 과학의 몫이다. 수학에서 우연은 확률의 이론이다. 이 과학의 주요 정의뿐만 아니라 작업의 공식과 예도 기사에 나와 있습니다.

확률 이론이란 무엇입니까?

확률 이론은 무작위 사건을 연구하는 수학적 학문 중 하나입니다.

좀 더 명확하게 하기 위해 작은 예를 들어 보겠습니다. 동전을 위로 던지면 앞면이 나오거나 뒷면이 나올 수 있습니다. 동전이 공중에 있는 한, 이 두 가지 가능성은 모두 가능합니다. 즉, 가능한 결과의 확률은 1:1로 상관됩니다. 36장의 카드가 있는 덱에서 한 장을 뽑는 경우 확률은 1:36으로 표시됩니다. 특히 수학 공식의 도움으로 탐구하고 예측할 것이 아무것도 없는 것처럼 보입니다. 그럼에도 불구하고 특정 동작을 여러 번 반복하면 특정 패턴을 식별하고 이를 기반으로 다른 조건에서 이벤트의 결과를 예측할 수 있습니다.

위의 모든 내용을 요약하면 고전적 의미의 확률 이론은 가능한 사건 중 하나의 발생 가능성을 수치적 의미로 연구합니다.

역사의 페이지에서

첫 번째 작업의 확률 이론, 공식 및 예는 카드 게임의 결과를 예측하려는 시도가 처음 발생한 먼 중세 시대에 나타났습니다.

처음에 확률 이론은 수학과 아무 관련이 없었습니다. 그것은 실제로 재현될 수 있는 경험적 사실이나 사건의 속성에 의해 정당화되었습니다. 수학 분야로서 이 분야의 첫 작품은 17세기에 등장했습니다. 창립자는 블레즈 파스칼(Blaise Pascal)과 피에르 페르마(Pierre Fermat)였습니다. 오랫동안 그들은 도박을 연구하고 특정 패턴을 관찰했으며 이를 대중에게 알리기로 결정했습니다.

Christian Huygens도 동일한 기술을 발명했지만 Pascal과 Fermat의 연구 결과에 익숙하지 않았습니다. 그는 학문 역사상 처음으로 간주되는 "확률 이론"의 개념, 공식 및 예를 소개했습니다.

Jacob Bernoulli의 연구, Laplace 및 Poisson의 정리는 그다지 중요하지 않습니다. 그들은 확률 이론을 수학적 학문처럼 만들었습니다. 확률 이론, 공식 및 기본 작업의 예는 Kolmogorov의 공리 덕분에 현재의 형태를 얻었습니다. 모든 변화의 결과로 확률 이론은 수학적 분야 중 하나가 되었습니다.

확률 이론의 기본 개념. 이벤트

이 분야의 주요 개념은 "이벤트"입니다. 이벤트에는 세 가지 유형이 있습니다.

• 믿을 수 있는.어차피 일어날 일들(동전은 떨어질 것이다).
• 불가능한.어떤 시나리오에서도 발생하지 않는 이벤트(코인은 공중에 계속 매달려 있습니다).
• 무작위의.일어날 일과 일어나지 않을 일. 예측하기 매우 어려운 다양한 요인의 영향을 받을 수 있습니다. 동전에 대해 이야기하면 결과에 영향을 미칠 수 있는 임의의 요소(동전의 물리적 특성, 모양, 초기 위치, 던지는 힘 등)가 있습니다.

예제의 모든 이벤트는 역할이 다른 R을 제외하고 라틴 대문자로 표시됩니다. 예를 들어:

• A = "강의에 학생들이 왔습니다."
• Ā = "학생들이 강의에 오지 않았습니다".

실제 작업에서는 이벤트가 일반적으로 단어로 기록됩니다.

사건의 가장 중요한 특징 중 하나는 동등한 가능성이다. 즉, 동전을 던지면 떨어질 때까지 초기 하락의 모든 변형이 가능합니다. 그러나 사건 역시 똑같이 일어날 가능성은 없습니다. 이는 누군가 의도적으로 결과에 영향을 미칠 때 발생합니다. 예를 들어, 무게 중심이 이동하는 "표시된" 카드 놀이나 주사위가 있습니다.

이벤트도 호환 가능하고 호환되지 않습니다. 호환 가능한 이벤트는 서로의 발생을 배제하지 않습니다. 예를 들어:

• A = "학생이 강의를 들으러 왔습니다."
• B = "학생이 강의를 들으러 왔습니다."

이러한 이벤트는 서로 독립적이며, 그 중 하나의 출현이 다른 이벤트의 출현에 영향을 미치지 않습니다. 양립할 수 없는 사건은 하나의 발생이 다른 사건의 발생을 배제한다는 사실로 정의됩니다. 동일한 동전에 대해 이야기하면 "꼬리"가 손실되어 동일한 실험에서 "머리"가 나타나는 것이 불가능해집니다.

이벤트에 대한 작업

이벤트는 각각 곱해지고 추가될 수 있으며, 논리 연결 "AND" 및 "OR"이 분야에 도입됩니다.

금액은 사건 A나 B, 또는 두 가지 모두가 동시에 발생할 수 있다는 사실에 따라 결정됩니다. 호환되지 않는 경우 마지막 옵션은 불가능합니다. A 또는 B 중 하나가 삭제됩니다.

사건의 곱셈은 A와 B가 동시에 나타나는 것으로 구성됩니다.

이제 기본 사항, 확률 이론 및 공식을 더 잘 기억할 수 있도록 몇 가지 예를 제공할 수 있습니다. 아래 문제 해결 예시.

연습 1: 회사는 세 가지 유형의 업무에 대한 계약을 입찰하고 있습니다. 발생할 수 있는 가능한 이벤트:

• A = "회사가 첫 번째 계약을 받게 됩니다."
• A 1 = "회사는 첫 번째 계약을 받지 못할 것입니다."
• B = "회사는 두 번째 계약을 받게 됩니다."
• B 1 = "회사는 두 번째 계약을 받지 않을 것입니다"
• C = "회사는 세 번째 계약을 받게 됩니다."
• C 1 = "회사는 세 번째 계약을 받지 않습니다."

이벤트에 대한 액션을 사용하여 다음과 같은 상황을 표현해 보겠습니다.

• K = "회사는 모든 계약을 받을 것입니다."

수학적인 형태로 방정식은 다음과 같습니다: K = ABC.

• M = "회사는 단일 계약을 받지 않습니다."

M \u003d A 1B 1C 1.

우리는 작업을 복잡하게 만듭니다. H = "회사는 하나의 계약을 받게 됩니다." 회사가 어떤 계약(첫 번째, 두 번째 또는 세 번째)을 받을지 알 수 없으므로 가능한 이벤트의 전체 범위를 기록해야 합니다.

H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

그리고 1BC 1은 회사가 첫 번째와 세 번째 계약을 받지 못하고 두 번째 계약을 받는 일련의 사건이다. 다른 가능한 이벤트도 해당 방법으로 기록됩니다. 분야의 기호 υ는 "OR"의 묶음을 나타냅니다. 위의 예를 인간의 언어로 번역하면 회사는 세 번째 계약, 두 번째 계약, 첫 번째 계약을 받게 됩니다. 마찬가지로 "확률 이론" 분야에서 다른 조건을 작성할 수 있습니다. 위에 제시된 문제 해결의 공식과 예는 스스로 해결하는 데 도움이 될 것입니다.

실제로 확률은

아마도 이 수학적 분야에서는 사건의 확률이 핵심 개념일 것입니다. 확률에는 3가지 정의가 있습니다.

• 고전;
• 통계적;
• 기하학적.

각각은 확률 연구에서 그 자리를 차지합니다. 확률 이론, 공식 및 예(9학년)는 대부분 다음과 같은 고전적인 정의를 사용합니다.

• 상황 A의 확률은 가능한 모든 결과의 수에 대한 발생을 선호하는 결과의 수의 비율과 같습니다.

공식은 다음과 같습니다: P (A) \u003d m / n.

그리고 실제로 이벤트. A의 반대가 발생하면 Ā 또는 A 1 로 쓸 수 있습니다.

m은 가능한 유리한 경우의 수입니다.

n - 일어날 수 있는 모든 사건.

예를 들어 A \u003d "하트 슈트 카드를 꺼냅니다." 표준 덱에는 36장의 카드가 있으며 그 중 9장은 하트 카드입니다. 따라서 문제를 해결하는 공식은 다음과 같습니다.

P(A)=9/36=0.25.

결과적으로 덱에서 하트에 맞는 카드가 나올 확률은 0.25가 됩니다.

더 높은 수학으로

이제 확률 이론이 무엇인지, 학교 커리큘럼에서 접하게 되는 문제 해결의 공식 및 예가 무엇인지는 조금 알려졌습니다. 그러나 확률 이론은 대학에서 가르치는 고등 수학에서도 발견됩니다. 대부분의 경우 이론과 복잡한 공식의 기하학적, 통계적 정의를 사용하여 작동합니다.

확률 이론은 매우 흥미롭습니다. 공식과 예(고등 수학)는 확률의 통계적(또는 빈도) 정의로부터 작은 것부터 학습을 시작하는 것이 좋습니다.

통계적 접근 방식은 고전적인 접근 방식과 모순되지 않지만 약간 확장됩니다. 첫 번째 경우에 이벤트가 발생할 확률을 결정해야 하는 경우 이 방법에서는 이벤트가 얼마나 자주 발생하는지 표시해야 합니다. 여기서는 Wn(A)로 표시할 수 있는 "상대 주파수"라는 새로운 개념이 도입되었습니다. 공식은 고전과 다르지 않습니다.

예측을 위해 고전 공식을 계산하면 실험 결과에 따라 통계 공식이 계산됩니다. 예를 들어 작은 작업을 생각해 보십시오.

기술관리부에서는 제품의 품질을 점검합니다. 100개 제품 중 품질이 좋지 않은 제품이 3개 발견됐다. 고품질 제품의 빈도 확률을 찾는 방법은 무엇입니까?

A = "고품질 제품의 외관."

승n(A)=97/100=0.97

따라서 고품질 제품의 빈도는 0.97입니다. 97은 어디서 구하셨나요? 100개 제품을 점검한 결과 3개 제품이 품질이 좋지 않은 것으로 나타났습니다. 100에서 3을 빼면 97이 나옵니다. 이것이 고품질 제품의 수량입니다.

조합론에 대해 조금

확률 이론의 또 다른 방법은 조합론이라고 합니다. 기본 원리는 어떤 선택 A가 m개의 다른 방식으로 이루어질 수 있고 선택 B가 n개의 다른 방식으로 이루어질 수 있다면 A와 B의 선택은 곱셈을 통해 이루어질 수 있다는 것입니다.

예를 들어, A 도시에서 B 도시로 가는 도로는 5개입니다. B도시에서 C도시로 가는 4가지 경로가 있습니다. A 도시에서 C 도시로 가는 방법은 몇 가지입니까?

간단합니다. 5x4 = 20입니다. 즉, A 지점에서 C 지점으로 이동하는 방법에는 20가지가 있습니다.

작업을 더 어렵게 만들어 보겠습니다. 솔리테어에서 카드를 플레이하는 방법은 몇 가지입니까? 36장의 카드로 구성된 덱에서는 이것이 시작점입니다. 방법의 수를 알아내려면 시작점에서 카드 한 장을 빼고 곱해야 합니다.

즉, 36x35x34x33x32…x2x1= 결과가 계산기 화면에 맞지 않으므로 간단히 36!으로 표시하면 됩니다. 징후 "!" 숫자 옆에 있는 숫자는 일련의 전체 숫자가 서로 곱해짐을 나타냅니다.

조합론에는 순열, 배치 및 조합과 같은 개념이 있습니다. 그들 각각은 자신의 공식을 가지고 있습니다.

순서가 지정된 세트 요소 세트를 레이아웃이라고 합니다. 배치는 반복적일 수 있습니다. 즉, 하나의 요소가 여러 번 사용될 수 있습니다. 그리고 반복이 없으면 요소가 반복되지 않습니다. n은 모든 요소이고, m은 배치에 참여하는 요소입니다. 반복 없이 배치하는 공식은 다음과 같습니다.

An m =n!/(n-m)!

배치 순서만 다른 n개 요소의 연결을 순열이라고 합니다. 수학에서 이는 다음과 같습니다: P n = n!

m에 의한 n 원소의 조합은 어떤 원소인지, 그 총 개수는 얼마인지가 중요한 화합물입니다. 수식은 다음과 같습니다.

An m =n!/m!(n-m)!

베르누이 공식

확률 이론은 물론 모든 분야에서 이를 새로운 수준으로 끌어올린 해당 분야의 뛰어난 연구자들의 작품이 있습니다. 이러한 연구 중 하나는 베르누이 공식으로, 이를 통해 독립적인 조건에서 특정 사건이 발생할 확률을 결정할 수 있습니다. 이는 실험에서 A의 출현이 이전 또는 후속 테스트에서 동일한 사건의 출현 여부에 의존하지 않음을 시사합니다.

베르누이 방정식:

Pn(m) = Cnm ×pm ×qn-m .

사건(A)이 발생할 확률(p)은 각 시행마다 변하지 않습니다. n번의 실험에서 상황이 정확히 m번 발생할 확률은 위에 제시된 공식으로 계산됩니다. 따라서 숫자 q를 찾는 방법에 대한 의문이 생깁니다.

따라서 사건 A가 p번 발생하면 사건이 발생하지 않을 수도 있습니다. 단위는 학문 분야에서 상황의 모든 결과를 지정하는 데 사용되는 숫자입니다. 따라서 q는 사건이 일어나지 않을 가능성을 나타내는 숫자이다.

이제 베르누이 공식(확률 이론)을 알았습니다. 문제 해결(첫 번째 수준)의 예는 아래에서 고려됩니다.

작업 2:매장 방문자는 0.2의 확률로 구매를 하게 됩니다. 6명의 방문객이 독립적으로 매장에 입장했습니다. 방문자가 구매할 확률은 얼마입니까?

해결 방법: 방문자 중 한 명 또는 여섯 명 모두 몇 명을 구매해야 하는지 알 수 없으므로 베르누이 공식을 사용하여 가능한 모든 확률을 계산해야 합니다.

A = "방문자가 구매를 하게 됩니다."

이 경우: p = 0.2(작업에 표시된 대로). 따라서 q=1-0.2 = 0.8입니다.

n = 6(상점에 6명의 고객이 있으므로). 숫자 m은 0(어떤 고객도 구매하지 않음)에서 6(모든 매장 방문자가 무언가를 구매함)으로 변경됩니다. 결과적으로 우리는 다음과 같은 해결책을 얻습니다.

P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0.8) 6 \u003d 0.2621.

구매자 중 누구도 0.2621의 확률로 구매하지 않습니다.

베르누이 공식(확률론)은 또 어떻게 사용되나요? 아래는 문제 해결 예시(두 번째 수준)입니다.

위의 예 후에 C와 p가 어디로 갔는지에 대한 질문이 생깁니다. p에 대해 0의 거듭제곱은 1과 같습니다. C의 경우 다음 공식으로 찾을 수 있습니다.

C n m = n! /m!(n-m)!

첫 번째 예에서는 각각 m = 0이므로 C=1이며 이는 원칙적으로 결과에 영향을 미치지 않습니다. 새로운 공식을 사용하여 두 명의 방문자가 상품을 구매할 확률이 얼마인지 알아봅시다.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246.

확률 이론은 그렇게 복잡하지 않습니다. 위에 제시된 베르누이 공식은 이에 대한 직접적인 증거입니다.

포아송 공식

포아송 방정식은 예상치 못한 무작위 상황을 계산하는 데 사용됩니다.

기본 공식:

P n (m) = λ m /m! × e(-λ) .

이 경우 λ = n x p입니다. 여기에 간단한 포아송 공식(확률 이론)이 있습니다. 문제 해결의 예는 아래에서 고려됩니다.

작업 3 A: 공장에서는 100,000개의 부품을 생산했습니다. 불량부품의 출현 = 0.0001. 한 배치에 불량 부품이 5개 있을 확률은 얼마입니까?

보시다시피 결혼은 일어날 가능성이 희박한 사건이므로 계산에는 푸아송 공식(확률 이론)이 사용됩니다. 이러한 종류의 문제를 해결하는 예는 해당 분야의 다른 작업과 다르지 않습니다. 필요한 데이터를 위의 공식으로 대체합니다.

A = "무작위로 선택한 부품에 결함이 있습니다."

p = 0.0001(할당 조건에 따름).

n = 100000(부품 수).

m = 5(결함 부품). 공식의 데이터를 대체하고 다음을 얻습니다.

R 100000 (5) = 10 5 / 5! X e -10 = 0.0375.

위에서 설명한 베르누이 공식(확률 이론)과 마찬가지로 푸아송 방정식에는 미지의 e가 있습니다. 본질적으로 다음 공식으로 찾을 수 있습니다.

e - λ = lim n -> π (1-λ/n) n .

그러나 e의 거의 모든 값을 포함하는 특수 테이블이 있습니다.

드 무아브르-라플라스 정리

Bernoulli 계획에서 시행 횟수가 충분히 크고 모든 계획에서 사건 A가 발생할 확률이 동일하면 일련의 시행에서 사건 A가 특정 횟수만큼 발생할 확률은 다음과 같습니다. Laplace 공식으로 구함:

Р n (m)= 1/√npq x ф(Xm).

Xm = m-np/√npq.

라플라스 공식(확률 이론)을 더 잘 기억하려면 아래에 도움이 되는 작업 예가 나와 있습니다.

먼저 X m 을 찾고 데이터(모두 위에 표시됨)를 공식에 대체하여 0.025를 얻습니다. 표를 사용하여 값이 0.3988인 숫자 ф(0.025)를 찾습니다. 이제 공식의 모든 데이터를 대체할 수 있습니다.

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 \u003d 3/40 x 0.3988 \u003d 0.03.

따라서 전단지가 정확히 267번 맞을 확률은 0.03입니다.

베이즈 공식

아래에 제공될 작업 해결의 예인 베이즈 공식(확률 이론)은 관련될 수 있는 상황을 기반으로 이벤트의 확률을 설명하는 방정식입니다. 주요 공식은 다음과 같습니다.

P(A|B) = P(B|A) x P(A) / P(B).

A와 B는 확실한 사건이다.

P(A|B) - 조건부 확률, 즉 사건 B가 참일 경우 사건 A가 발생할 수 있습니다.

Р (В|А) - 사건 В의 조건부 확률.

따라서 단기 과정 "확률 이론"의 마지막 부분은 베이즈 공식으로, 문제 해결의 예는 아래와 같습니다.

작업 5: 3개 회사의 휴대폰이 창고로 옮겨졌습니다. 동시에 첫 번째 공장에서 제조되는 휴대폰의 일부는 25%, 두 번째 공장은 60%, 세 번째 공장은 15%입니다. 또한 첫 번째 공장의 평균 불량률은 2%, 두 번째 공장은 4%, 세 번째 공장은 1%인 것으로 알려져 있습니다. 무작위로 선택한 휴대폰이 불량일 확률을 찾아야 합니다.

A = "무작위로 찍은 전화."

B 1 - 첫 번째 공장에서 만든 전화기. 이에 따라 입문용 B2와 B3가 등장하게 된다(두 번째, 세 번째 공장의 경우).

결과적으로 우리는 다음을 얻습니다:

P(B1) = 25% / 100% = 0.25; P(B2) \u003d 0.6; P (B 3) \u003d 0.15 - 각 옵션의 확률을 찾았습니다.

이제 원하는 이벤트의 조건부 확률, 즉 회사에서 제품에 결함이 있을 확률을 찾아야 합니다.

P (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0.02;

P (A / B 2) \u003d 0.04;

P (A / B 3) \u003d 0.01.

이제 데이터를 Bayes 공식으로 대체하고 다음을 얻습니다.

P (A) \u003d 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 \u003d 0.0305.

이 기사는 확률 이론, 공식 및 문제 해결의 예를 제시하지만 이는 광범위한 분야의 빙산의 일각에 불과합니다. 그리고 모든 내용이 작성된 후에 확률 이론이 삶에 필요한지 질문하는 것이 논리적일 것입니다. 단순한 사람이 대답하기는 어렵고, 한 번 이상 대박을 터뜨린 사람에게 도움을 요청하는 것이 좋습니다.

현실이나 상상 속에서 일어나는 사건은 3가지 그룹으로 나눌 수 있습니다. 반드시 일어나게 되어 있는 특정한 사건, 불가능한 사건, 무작위 사건 등이 있습니다. 확률 이론은 무작위 사건을 연구합니다. 일어날 수도 있고 일어나지 않을 수도 있는 사건. 이 기사에서는 수학 통합 상태 시험(프로필 수준)의 네 번째 과제에 포함될 확률 공식 이론과 확률 이론 문제 해결의 예를 간략하게 제시합니다.

확률 이론이 필요한 이유

역사적으로 이러한 문제에 대한 연구의 필요성은 17세기 도박의 발전과 전문화, 카지노의 출현과 관련하여 발생했습니다. 연구와 연구가 필요한 실제 현상이었습니다.

카드 놀이, 주사위, 룰렛은 유한한 수의 동일하게 일어날 수 있는 사건이 발생할 수 있는 상황을 만들었습니다. 사건 발생 가능성에 대한 수치적 추정이 필요했습니다.

20세기에는 이 하찮아 보이는 과학이 소우주에서 일어나는 근본적인 과정을 이해하는 데 중요한 역할을 한다는 것이 분명해졌습니다. 현대 확률 이론이 탄생했습니다.

확률 이론의 기본 개념

확률 이론의 연구 대상은 사건과 그 확률입니다. 사건이 복잡하다면 확률을 쉽게 찾을 수 있는 간단한 구성요소로 나눌 수 있습니다.

사건 A와 B의 합을 사건 C라고 하는데, 이는 사건 A, 사건 B, 또는 사건 A와 B가 동시에 일어났다는 사실로 구성됩니다.

사건 A와 B의 곱은 사건 A와 사건 B가 모두 발생했다는 사실로 구성된 사건 C입니다.

사건 A와 B가 동시에 일어날 수 없으면 양립불가능하다고 한다.

사건 A는 일어날 수 없으면 불가능하다고 합니다. 이러한 이벤트는 기호로 표시됩니다.

사건 A가 확실히 일어날 것인지를 확실하다고 합니다. 이러한 이벤트는 기호로 표시됩니다.

각 사건 A에 숫자 P(A)를 할당합니다. 이 숫자 P(A)는 다음 조건이 그러한 대응으로 만족되는 경우 사건 A의 확률이라고 합니다.

중요한 특수 사례는 동등하게 확률이 높은 기본 결과가 있고 이러한 결과가 임의적으로 이벤트 A를 형성하는 상황입니다. 이 경우 확률은 공식으로 도입될 수 있습니다. 이렇게 도입된 확률을 고전적 확률이라고 합니다. 이 경우 속성 1~4가 성립함을 증명할 수 있습니다.

수학 시험에서 발견되는 확률 이론의 문제는 주로 고전적 확률과 관련이 있습니다. 이러한 작업은 매우 간단할 수 있습니다. 데모 버전의 확률 이론 문제는 특히 간단합니다. 유리한 결과의 개수를 쉽게 계산할 수 있으며, 모든 결과의 개수가 조건에 직접 기록됩니다.

우리는 공식에 따라 답을 얻습니다.

확률을 결정하기 위한 수학 시험 과제의 예

테이블 위에는 20개의 파이가 있습니다. 5개는 양배추, 7개는 사과, 8개는 쌀입니다. 마리나는 파이를 먹고 싶어해요. 그녀가 떡을 가져갈 확률은 얼마인가?

해결책.

총 20개의 동등한 기본 결과가 있습니다. 즉, 마리나는 20개의 파이 중 하나를 선택할 수 있습니다. 하지만 마리나가 쌀 패티를 선택할 확률, 즉 A가 쌀 패티를 선택할 확률을 추정해야 합니다. 이는 총 8가지 유리한 결과(쌀 파이 선택)가 있다는 의미이며, 확률은 다음 공식에 의해 결정됩니다.

독립, 반대, 임의 사건

그러나 공개 작업 은행에는 더 복잡한 작업이 나타나기 시작했습니다. 그러므로 확률 이론에서 연구된 다른 질문에 독자의 주의를 환기시키겠습니다.

사건 A와 B는 각각의 확률이 다른 사건의 발생 여부에 의존하지 않는 경우 독립이라고 합니다.

사건 B는 사건 A가 발생하지 않았다는 사실로 구성됩니다. 사건 B는 사건 A와 반대입니다. 반대 사건의 확률은 1에서 직접 사건의 확률을 뺀 값과 같습니다. 즉, .

덧셈과 곱셈 정리, 공식

임의의 사건 A와 B의 경우, 이들 사건의 합에 대한 확률은 결합 사건의 확률을 제외한 확률의 합과 같습니다. 즉, .

독립 사건 A와 B의 경우, 이들 사건의 곱의 확률은 확률의 곱과 같습니다. 즉, 이 경우에는 .

마지막 2개의 진술은 확률의 덧셈과 곱셈의 정리라고 불립니다.

항상 결과 수를 계산하는 것이 그렇게 간단한 것은 아닙니다. 어떤 경우에는 조합 공식을 사용해야 합니다. 가장 중요한 것은 특정 조건을 충족하는 사건의 수를 세는 것입니다. 때로는 이러한 계산이 독립적인 작업이 될 수도 있습니다.

6개의 빈 자리에 6명의 학생이 앉을 수 있는 방법은 몇 가지입니까? 첫 번째 학생은 6자리 중 하나를 차지하게 됩니다. 이러한 각 옵션은 두 번째 학생을 배치하는 5가지 방법에 해당합니다. 세 번째 학생에게는 4개의 무료 자리가 있고, 네 번째 학생은 3명, 다섯 번째 학생은 2명, 여섯 번째 학생은 남은 유일한 자리를 차지합니다. 모든 옵션의 수를 찾으려면 기호 6으로 표시된 제품을 찾아야 합니다! 그리고 "6팩토리얼"을 읽어보세요.

일반적인 경우, 이 질문에 대한 답은 n개 요소의 순열 수에 대한 공식으로 제공됩니다.

이제 우리 학생들의 또 다른 경우를 고려해 보겠습니다. 빈 자리 6개에 학생 2명이 앉을 수 있는 방법은 몇 가지입니까? 첫 번째 학생은 6자리 중 하나를 차지하게 됩니다. 이러한 각 옵션은 두 번째 학생을 배치하는 5가지 방법에 해당합니다. 모든 옵션의 개수를 찾으려면 해당 제품을 찾아야 합니다.

일반적인 경우, 이 질문에 대한 답은 n개 요소를 k개 요소로 배치한 수에 대한 공식으로 제공됩니다.

우리의 경우에는 .

그리고 이 시리즈의 마지막 작품. 6명 중에서 3명을 선택하는 방법은 몇 가지입니까? 첫 번째 학생은 6가지 방법으로, 두 번째 학생은 5가지 방법, 세 번째 학생은 4가지 방법으로 선택할 수 있습니다. 그러나 이러한 선택지 중에서 동일한 학생 3명이 6번 발생합니다. 모든 옵션의 수를 찾으려면 값을 계산해야 합니다. 일반적인 경우 이 질문에 대한 답은 요소별 요소 조합 수에 대한 공식으로 제공됩니다.

우리의 경우에는 .

확률을 결정하기 위해 수학 시험 문제를 해결하는 예

작업 1. 컬렉션에서 ed. 야쉬첸코.

접시에는 30개의 파이가 있습니다. 3개는 고기, 18개는 양배추, 9개는 체리입니다. 사샤는 무작위로 파이 하나를 선택합니다. 그가 체리를 갖게 될 확률을 구해보세요.

.

답: 0.3.

문제 2. 컬렉션에서 ed. 야쉬첸코.

전구 1000개 묶음마다 평균 20개의 불량 전구가 있습니다. 배치에서 무작위로 선택한 전구가 좋을 확률을 구하십시오.

해결 방법: 서비스 가능한 전구 수는 1000-20=980개입니다. 그러면 배치에서 무작위로 가져온 전구가 사용할 수 있을 확률은 다음과 같습니다.

답: 0.98.

학생 U가 수학 시험에서 9개 이상의 문제를 정확하게 풀 확률은 0.67입니다. U.가 8개 이상의 문제를 올바르게 풀 확률은 0.73입니다. U.가 정확히 9개의 문제를 올바르게 풀 확률을 구하세요.

수직선을 상상하고 그 위에 점 8과 9를 표시하면 "U. 정확히 9개의 문제를 정확하게 풀라'는 조건 'U. 8개 이상의 문제를 올바르게 푼다'라는 조건은 적용되지 않지만, 'W. 9개 이상의 문제를 올바르게 해결하세요.

다만, 조건은 "U. 9개 이상의 문제를 올바르게 해결하라'는 조건에 'U. 8개 이상의 문제를 올바르게 해결하세요. 따라서 이벤트를 지정하면 “W. 정확히 9개의 문제를 정확하게 풀어보세요." - A를 통해, "U. 8개 이상의 문제를 정확하게 풀어보세요." - B를 통해, "U. C를 통해 9개 이상의 문제를 올바르게 해결합니다. 그러면 솔루션은 다음과 같습니다.

답: 0.06.

기하학 시험에서 학생은 시험 문제 목록 중 하나의 질문에 답합니다. 이것이 삼각법 문제일 확률은 0.2입니다. 이것이 외부 모서리 문제일 확률은 0.15입니다. 이 두 가지 주제와 관련된 질문이 동시에 없습니다. 학생이 시험에서 이 두 가지 주제 중 하나에 대한 질문을 받을 확률을 구하십시오.

어떤 이벤트가 있는지 생각해 봅시다. 두 가지 호환되지 않는 이벤트가 제공됩니다. 즉, 질문은 "삼각법" 주제 또는 "외부 각도" 주제와 관련됩니다. 확률 정리에 따르면, 호환되지 않는 사건의 확률은 각 사건의 확률의 합과 같습니다. 이러한 사건의 확률의 합을 구해야 합니다. 즉, 다음과 같습니다.

답: 0.35.

방은 세 개의 램프가 달린 랜턴으로 밝혀졌습니다. 1년에 램프 하나가 꺼질 확률은 0.29입니다. 1년 이내에 적어도 하나의 램프가 꺼지지 않을 확률을 구하십시오.

가능한 이벤트를 고려해 봅시다. 우리에게는 세 개의 전구가 있는데, 각 전구는 다른 전구와 독립적으로 꺼질 수도 있고 그렇지 않을 수도 있습니다. 이는 독립적인 사건입니다.

그런 다음 그러한 이벤트의 변형을 나타냅니다. 우리는 다음과 같은 표기법을 받아들입니다. - 전구가 켜져 있습니다. - 전구가 다 탔습니다. 그리고 바로 다음에는 사건의 확률을 계산합니다. 예를 들어, "전구가 다 탔다", "전구 켜짐", "전구 켜짐"이라는 세 가지 독립적인 이벤트가 발생한 이벤트의 확률은 다음과 같습니다.

우리에게 유리한 호환되지 않는 사건은 7개뿐입니다. 이러한 사건의 확률은 각 사건의 확률의 합과 같습니다.

답: 0.975608.

그림에서 또 다른 문제를 볼 수 있습니다.

따라서 여러분과 저는 확률 이론이 무엇인지, 시험 버전에서 만날 수 있는 문제 해결의 공식 및 예를 이해했습니다.

인간 활동의 다른 영역이나 자연뿐만 아니라 경제에서도 우리는 정확하게 예측할 수 없는 사건에 끊임없이 대처해야 합니다. 따라서 상품 판매량은 크게 달라질 수 있는 수요와 고려하기 거의 불가능한 기타 여러 요인에 따라 달라집니다. 따라서 생산 및 판매 조직에서는 자신의 이전 경험이나 다른 사람의 유사한 경험, 또는 주로 실험 데이터에 기반한 직관을 기반으로 그러한 활동의 ​​결과를 예측해야 합니다.

고려 중인 이벤트를 어떻게든 평가하려면 이 이벤트가 기록되는 조건을 고려하거나 특별히 구성하는 것이 필요합니다.

문제의 이벤트를 식별하기 위한 특정 조건이나 조치의 구현을 호출합니다. 경험또는 실험.

이벤트라고 합니다 무작위의실험 결과에 따라 발생할 수도 있고 발생하지 않을 수도 있습니다.

이벤트라고 합니다 진본인, 그것이 필연적으로 이 경험의 결과로 나타나는 경우, 그리고 불가능한이 경험에 나타날 수 없는 경우.

예를 들어, 11월 30일 모스크바에 눈이 내리는 것은 무작위 사건입니다. 매일의 일출은 특정 이벤트로 간주될 수 있습니다. 적도에 눈이 내리는 것은 불가능한 일이라고 볼 수 있습니다.

확률 이론의 주요 문제 중 하나는 사건 발생 가능성에 대한 정량적 측정을 결정하는 문제입니다.

사건의 대수학

동일한 경험에서 함께 관찰할 수 없는 이벤트를 호환되지 않는 이벤트라고 합니다. 따라서 한 매장에 동시에 판매용 자동차 2대와 3대가 존재하는 것은 양립할 수 없는 두 가지 사건입니다.

합집합이벤트는 이러한 이벤트 중 적어도 하나의 발생으로 구성된 이벤트입니다.

이벤트 합계의 예로는 매장에 두 개의 제품 중 하나 이상이 존재하는 경우입니다.

일하다사건은 이 모든 사건이 동시에 발생하는 사건이라고 불린다.

두 상품이 매장에 동시에 등장하는 이벤트는 이벤트의 산물입니다. - 한 상품의 등장, - 다른 상품의 등장.

이벤트 중 적어도 하나가 반드시 경험에서 발생하는 경우 이벤트는 완전한 이벤트 그룹을 형성합니다.

예.항구에는 선박용 정박지가 2개 있습니다. 세 가지 사건이 고려될 수 있습니다: - 정박지에 선박이 없는 경우 - 정박지 중 하나에 선박 한 대가 존재하는 경우 - 두 정박지에 선박 두 대가 존재하는 경우. 이 세 가지 이벤트는 완전한 이벤트 그룹을 구성합니다.

반대완전한 그룹을 형성하는 두 개의 고유한 가능한 이벤트가 호출됩니다.

반대 사건 중 하나가 으로 표시되면 반대 사건은 일반적으로 로 표시됩니다.

사건 확률에 대한 고전적 및 통계적 정의

동일하게 가능한 각각의 테스트 결과(실험)를 기본 결과라고 합니다. 일반적으로 문자로 표시됩니다. 예를 들어, 주사위가 던져집니다. 측면의 점 수에 따라 6가지 기본 결과가 있을 수 있습니다.

기본 결과에서 더 복잡한 이벤트를 구성할 수 있습니다. 따라서 짝수 점이 발생하는 경우는 2, 4, 6의 세 가지 결과에 의해 결정됩니다.

고려 중인 사건의 발생 가능성에 대한 정량적 척도는 확률입니다.

사건 확률에 대한 두 가지 정의가 가장 널리 사용됩니다. 권위 있는그리고 통계적.

확률의 고전적 정의는 유리한 결과라는 개념과 관련이 있습니다.

엑소더스(Exodus)라고 불린다. 유리한이 이벤트의 발생이 이 이벤트의 발생을 수반하는 경우.

위의 예에서 고려 중인 이벤트는 드롭 에지의 짝수 포인트이며 세 가지 유리한 결과를 갖습니다. 이 경우 일반
가능한 결과의 수. 따라서 여기서는 사건 확률에 대한 고전적인 정의를 사용할 수 있습니다.

고전적인 정의가능한 결과의 총 수에 대한 유리한 결과 수의 비율과 같습니다.

는 사건의 확률이고, 는 사건에 대한 유리한 결과의 수이며, 는 가능한 결과의 총 수입니다.

고려된 예에서

확률의 통계적 정의는 실험에서 사건의 상대적 발생 빈도 개념과 관련이 있습니다.

이벤트 발생의 상대 빈도는 다음 공식으로 계산됩니다.

일련의 실험(테스트)에서 이벤트가 발생한 횟수는 어디에 있습니까?

통계적 정의. 사건의 확률은 실험 횟수를 무제한으로 증가시키면서 상대 빈도가 안정화(확립)되는 숫자입니다.

실제 문제에서는 충분히 많은 수의 시행에 대한 상대 빈도가 사건의 확률로 간주됩니다.

사건 확률에 대한 이러한 정의로부터 불평등은 항상 유지된다는 것을 알 수 있습니다.

공식 (1.1)을 기반으로 사건의 확률을 결정하기 위해 조합론 공식을 사용하여 유리한 결과의 수와 가능한 결과의 총 수를 찾는 경우가 많습니다.

처음에는 주사위 게임에 대한 정보와 경험적 관찰의 모음인 확률 이론이 견고한 과학이 되었습니다. 페르마와 파스칼은 최초로 수학적 틀을 제시했습니다.

영원에 대한 성찰에서 확률 이론까지

확률 이론의 기초가 되는 두 사람, 블레즈 파스칼(Blaise Pascal)과 토마스 베이즈(Thomas Bayes)는 신앙심이 깊은 사람들로 알려져 있으며, 후자는 장로교 목사였습니다. 분명히이 두 과학자가 특정 재산에 대한 의견의 오류를 증명하고 자신이 좋아하는 사람에게 행운을 주려는 열망은이 분야에 대한 연구에 자극을주었습니다. 사실, 승패가 있는 모든 우연의 게임은 단지 수학적 원리의 교향곡일 뿐입니다.

도박꾼이자 과학에 무관심하지 않은 사람이었던 슈발리에 드 메르(Chevalier de Mere)의 흥분 덕분에 파스칼은 확률을 계산하는 방법을 찾아야 했습니다. De Mere는 "12점을 얻을 확률이 50%를 초과하려면 두 개의 주사위를 쌍으로 던져야 하는 횟수는 몇 번입니까?"라는 질문에 관심이 있었습니다. 신사의 관심을 끌었던 두 번째 질문은 "미완성 게임에서 참가자들 사이에 베팅을 나누는 방법은 무엇입니까?"였습니다. 물론 Pascal은 무의식적으로 확률 이론 개발의 창시자가 된 de Mere의 두 가지 질문에 성공적으로 대답했습니다. 드 메레(de Mere)라는 사람이 문학이 아닌 이 분야에서 계속 알려지고 있다는 점이 흥미롭습니다.

이전에는 사건의 확률을 계산하려고 시도한 수학자가 없었습니다. 왜냐하면 이것이 단지 추측에 의한 해결책이라고 믿었기 때문입니다. 블레즈 파스칼(Blaise Pascal)은 사건의 확률에 대한 최초의 정의를 제시하고 이것이 수학적으로 정당화될 수 있는 구체적인 수치임을 보여주었습니다. 확률이론은 통계학의 기초가 되었으며 현대과학에서도 널리 활용되고 있습니다.

무작위성이란 무엇입니까?

무한히 반복될 수 있는 테스트를 고려한다면 무작위 이벤트를 정의할 수 있습니다. 이것은 경험의 가능한 결과 중 하나입니다.

경험은 일정한 조건에서 특정 행동을 구현하는 것입니다.

경험의 결과로 작업할 수 있도록 이벤트는 일반적으로 문자 A, B, C, D, E로 표시됩니다.

무작위 사건의 확률

확률의 수학적 부분으로 진행하려면 모든 구성 요소를 정의해야 합니다.

사건의 확률은 경험의 결과로 어떤 사건(A 또는 B)이 발생할 가능성을 수치적으로 측정한 것입니다. 확률은 P(A) 또는 P(B)로 표시됩니다.

확률 이론은 다음과 같습니다.

• 믿을 수 있는실험 Р(Ω) = 1의 결과로 이벤트가 발생하는 것이 보장됩니다.
• 불가능한사건은 결코 일어날 수 없다 Р(Ø) = 0;
• 무작위의사건은 확실함과 불가능 사이에 있습니다. 즉, 발생 확률은 가능하지만 보장되지는 않습니다(무작위 사건의 확률은 항상 0≤P(A)≤1 이내입니다).

이벤트 간의 관계

구성 요소 A 또는 B 중 하나 이상 또는 A와 B 둘 다의 구현에서 이벤트가 계산될 때 하나와 이벤트 A + B의 합이 모두 고려됩니다.

서로 관련하여 이벤트는 다음과 같습니다.

• 똑같이 가능합니다.
• 호환 가능.
• 호환되지 않습니다.
• 반대(상호 배타적).
• 매달린.

두 사건이 같은 확률로 일어날 수 있다면, 똑같이 가능.

사건 A의 발생이 사건 B의 발생 확률을 무효화하지 않는다면, 호환 가능.

동일한 실험에서 사건 A와 B가 동시에 발생하지 않으면 이를 호출합니다. 호환되지 않는. 동전을 던지는 것이 좋은 예입니다. 뒷면이 나오면 자동으로 앞면이 나오지 않습니다.

이러한 양립할 수 없는 사건의 합에 대한 확률은 각 사건의 확률의 합으로 구성됩니다.

P(A+B)=P(A)+P(B)

한 사건의 발생으로 인해 다른 사건의 발생이 불가능해지는 경우 이를 반대 사건이라고 합니다. 그런 다음 그 중 하나는 A로 지정되고 다른 하나는 - Ā ( "not A"로 읽음)로 지정됩니다. 사건 A의 발생은 Ā가 발생하지 않았음을 의미합니다. 이 두 사건은 확률의 합이 1인 완전한 그룹을 형성합니다.

종속 사건은 상호 영향을 미치며 서로의 확률이 감소하거나 증가합니다.

이벤트 간의 관계. 예

확률론의 원리와 사건의 조합을 사례를 통해 이해하는 것이 훨씬 쉽습니다.

앞으로 진행될 실험은 상자에서 공을 꺼내는 것이며, 각 실험의 결과는 초보적인 결과이다.

이벤트는 빨간색 공, 파란색 공, 숫자 6이 있는 공 등 경험의 가능한 결과 중 하나입니다.

테스트 번호 1. 6개의 공이 있는데, 그 중 3개는 홀수인 파란색이고, 나머지 3개는 짝수인 빨간색입니다.

테스트 번호 2. 1부터 6까지의 숫자가 적힌 파란색 공 6개가 있습니다.

이 예를 바탕으로 조합의 이름을 지정할 수 있습니다.

• 믿을 수 있는 이벤트.스페인어 두 번째, "파란색 공을 얻으세요"라는 이벤트는 모든 공이 파란색이고 놓칠 수 없기 때문에 발생 확률이 1이므로 신뢰할 수 있습니다. 반면에 "숫자 1의 공 획득" 이벤트는 무작위입니다.
• 불가능한 이벤트입니다.스페인어 파란색 공과 빨간색 공이 있는 1위는 발생 확률이 0이므로 "보라색 공 얻기" 이벤트는 불가능합니다.
• 동등한 이벤트.스페인어 1번, "숫자 2의 공을 얻습니다"와 "숫자 3의 공을 얻습니다" 이벤트는 확률이 동일하고 "짝수의 공을 얻습니다"와 "숫자 2의 공을 얻습니다" 이벤트는 확률이 동일합니다. ” 확률이 다릅니다.
• 호환되는 이벤트입니다.두 번 연속으로 주사위를 던지는 과정에서 6이 나오는 것은 호환 가능한 이벤트입니다.
• 호환되지 않는 이벤트.같은 스페인어로 1번 이벤트 '빨간 공 얻기'와 '홀수 공 얻기'는 동일한 경험으로 결합할 수 없습니다.
• 반대 이벤트.가장 눈에 띄는 예는 동전 던지기입니다. 앞면이 나오는 것은 뒷면이 나오지 않는 것과 같으며, 확률의 합은 항상 1(전체 그룹)입니다.
• 종속 이벤트. 그래서 스페인어로 첫 번째, 빨간 공을 두 번 연속 추출하는 목표를 스스로 설정할 수 있습니다. 처음에 추출할지 여부에 따라 두 번째로 추출할 확률이 달라집니다.

첫 번째 사건이 두 번째 사건의 확률(40%와 60%)에 큰 영향을 미치는 것을 볼 수 있습니다.

사건 확률 공식

운세에서 정확한 데이터로의 전환은 주제를 수학적 평면으로 전송함으로써 발생합니다. 즉, "높은 확률"이나 "최소 확률"과 같은 무작위 사건에 대한 판단은 특정 수치 데이터로 변환될 수 있습니다. 이러한 자료를 더 복잡한 계산에 평가, 비교 및 ​​도입하는 것은 이미 허용됩니다.

계산의 관점에서 사건 확률의 정의는 특정 사건과 관련하여 가능한 모든 경험 결과 수에 대한 기본 긍정적 결과 수의 비율입니다. 확률은 P(A)로 표시됩니다. 여기서 P는 "확률"이라는 단어를 의미하며 프랑스어에서 "확률"로 번역됩니다.

따라서 사건의 확률에 대한 공식은 다음과 같습니다.

m은 사건 A에 대한 유리한 결과의 수이고, n은 이 경험에 대해 가능한 모든 결과의 합입니다. 사건의 확률은 항상 0과 1 사이입니다.

0 ≤ P(A) ≤ 1.

사건의 확률 계산. 예

스페인어를 해보자. 앞에서 설명한 공이 있는 1번: 숫자가 1/3/5인 파란색 공 3개와 숫자가 2/4/6인 빨간색 공 3개입니다.

이 테스트를 기반으로 다음과 같은 여러 가지 작업을 고려할 수 있습니다.

• A - 빨간 공이 떨어집니다. 빨간 공이 3개 있고 총 6개의 변형이 있습니다. 이는 가장 간단한 예이며 사건의 확률은 P(A)=3/6=0.5입니다.
• B - 짝수를 버립니다. 짝수는 총 3개(2,4,6)개이며, 가능한 숫자 옵션의 총 개수는 6개입니다. 이 사건이 발생할 확률은 P(B)=3/6=0.5입니다.
• C - 2보다 큰 숫자의 손실. 가능한 결과의 총 수 중 4가지 옵션(3,4,5,6)이 있습니다. 6. 사건 C의 확률은 P(C)=4/6=입니다. 0.67.

계산에서 볼 수 있듯이 사건 C는 가능한 긍정적인 결과의 수가 A와 B보다 높기 때문에 확률이 더 높습니다.

호환되지 않는 이벤트

이러한 이벤트는 동일한 경험에서 동시에 나타날 수 없습니다. 스페인어와 마찬가지로 첫째, 파란색 공과 빨간색 공을 동시에 얻는 것은 불가능합니다. 즉, 파란색 공이나 빨간색 공을 얻을 수 있습니다. 마찬가지로 주사위에는 짝수와 홀수가 동시에 나타날 수 없습니다.

두 사건의 확률은 그 합 또는 곱의 확률로 간주됩니다. 이러한 사건 A + B의 합은 사건 A 또는 B의 출현과 AB의 곱으로 구성된 사건으로 간주됩니다. 예를 들어, 한 번에 두 개의 주사위 면에 두 개의 6이 동시에 나타나는 경우입니다.

여러 사건의 합은 그 중 적어도 하나의 발생을 암시하는 사건입니다. 여러 사건의 산물은 그 모든 사건의 공동 발생입니다.

확률 이론에서 일반적으로 결합 "and"의 사용은 합을 나타내고 결합 "or"는 곱셈을 나타냅니다. 예제가 포함된 공식은 확률 이론의 덧셈과 곱셈의 논리를 이해하는 데 도움이 됩니다.

호환되지 않는 사건의 합계 확률

호환되지 않는 사건의 확률을 고려하면 사건 합계의 확률은 해당 확률의 합과 같습니다.

P(A+B)=P(A)+P(B)

예를 들어 스페인어로 확률을 계산합니다. 파란색과 빨간색 공이 있는 1위는 1에서 4 사이의 숫자를 드롭합니다. 우리는 한 번의 동작으로 계산하지 않고 기본 구성 요소의 확률의 합으로 계산합니다. 따라서 이러한 실험에서는 공이 6개, 즉 가능한 모든 결과가 6개뿐입니다. 조건을 만족하는 숫자는 2와 3이다. 숫자 2가 나올 확률은 1/6, 숫자 3이 나올 확률도 1/6이다. 1에서 4 사이의 숫자가 나올 확률은 다음과 같습니다.

전체 그룹의 호환되지 않는 사건의 합 확률은 1입니다.

따라서 큐브를 사용한 실험에서 모든 숫자를 얻을 확률을 더하면 결과적으로 하나를 얻습니다.

이는 반대 사건에도 적용됩니다. 예를 들어 동전을 사용한 실험에서 동전의 한 면은 사건 A이고 다른 면은 반대 사건 Ā입니다.

Р(А) + Р(Ā) = 1

호환되지 않는 이벤트가 발생할 확률

확률의 곱셈은 하나의 관찰에서 두 개 이상의 양립할 수 없는 사건의 발생을 고려할 때 사용됩니다. 사건 A와 B가 동시에 나타날 확률은 확률의 곱과 같습니다.

P(A*B)=P(A)*P(B)

예를 들어, 1번은 두 번 시도한 결과 파란색 공이 두 번 나타납니다.

즉, 공 추출을 2번 시도한 결과 파란색 공만 추출되는 이벤트가 발생할 확률은 25%이다. 이 문제에 대해 실제 실험을 수행하고 이것이 실제로 사실인지 확인하는 것은 매우 쉽습니다.

공동 이벤트

이벤트 중 하나의 출현이 다른 이벤트의 출현과 일치할 수 있는 경우 이벤트는 공동으로 간주됩니다. 그것들이 결합되어 있다는 사실에도 불구하고, 독립적인 사건의 확률이 고려됩니다. 예를 들어, 두 개의 주사위를 던지면 숫자 6이 둘 다에 해당할 때 결과를 얻을 수 있습니다. 사건이 동시에 발생하여 나타나더라도 서로 독립적입니다. 6 하나만 빠질 수 있고 두 번째 주사위에는 아무 것도 없습니다. 그것에 영향을 미칩니다.

공동 사건의 확률은 그 합의 확률로 간주됩니다.

공동 사건의 합계 확률입니다. 예

서로 결합된 사건 A와 B의 합의 확률은 사건 확률의 합에서 해당 곱의 확률(즉, 결합 구현)을 뺀 것과 같습니다.

R 조인트. (A + B) \u003d P(A) + P(B) - P(AB)

한 번의 사격으로 목표물을 맞출 확률은 0.4라고 가정합니다. 그런 다음 이벤트 A - 첫 번째 시도에서 목표물 타격, B - 두 번째 시도에서 타격. 첫 번째와 두 번째 샷 모두에서 목표물을 맞출 수 있기 때문에 이러한 이벤트는 공동입니다. 그러나 이벤트는 종속되지 않습니다. 두 발(최소 한 발)로 목표물을 맞출 확률은 얼마나 됩니까? 공식에 따르면:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

질문에 대한 답은 '2발의 사격으로 표적에 맞을 확률은 64%'이다.

사건의 확률에 대한 이 공식은 사건의 공동 발생 확률 P(AB) = 0인 양립할 수 없는 사건에도 적용될 수 있습니다. 이는 양립할 수 없는 사건의 합계 확률이 특별한 경우로 간주될 수 있음을 의미합니다. 제안된 공식의

명확성을 위한 확률 기하학

흥미롭게도 결합 사건의 합 확률은 서로 교차하는 두 영역 A와 B로 표현될 수 있습니다. 그림에서 볼 수 있듯이 결합 면적은 전체 면적에서 교차 면적을 뺀 면적과 같습니다. 이러한 기하학적 설명은 비논리적으로 보이는 공식을 더 이해하기 쉽게 만듭니다. 확률 이론에서는 기하학적 해법이 드물지 않다는 점에 유의하세요.

결합 사건 세트(2개 이상)의 합계 확률을 정의하는 것은 다소 번거롭습니다. 이를 계산하려면 이러한 경우에 제공되는 공식을 사용해야 합니다.

종속 이벤트

종속 사건 중 하나(A)의 발생이 다른 사건(B)의 발생 확률에 영향을 미치는 경우 호출됩니다. 또한, 사건 A의 발생과 발생하지 않은 것 모두의 영향이 고려됩니다. 이벤트는 정의에 따라 종속적이라고 부르지만 그 중 하나만 종속적입니다(B). 일반적인 확률은 P(B) 또는 독립 사건의 확률로 표시되었습니다. 종속 항목의 경우 새로운 개념이 도입됩니다. 조건부 확률 P A (B)는 이벤트 A(가설)가 발생한 조건에서 종속 이벤트 B의 확률이며 이에 따라 달라집니다.

그러나 사건 A도 무작위이므로 계산 시 반드시 고려해야 하고 고려해야 할 확률도 있습니다. 다음 예에서는 종속 이벤트 및 가설을 사용하여 작업하는 방법을 보여줍니다.

종속 사건의 확률 계산 예

종속 사건을 계산하는 좋은 예는 표준 카드 덱입니다.

36장의 카드로 구성된 덱의 예를 사용하여 종속 이벤트를 고려하십시오. 첫 번째 뽑은 카드가 다음과 같은 경우 덱에서 두 번째 카드가 다이아몬드 슈트가 될 확률을 결정해야 합니다.

1. 탬버린.
2. 또 다른 옷.

분명히 두 번째 사건 B의 확률은 첫 번째 A에 따라 달라집니다. 따라서 첫 번째 옵션이 true인 경우 덱에 카드 1장(35)과 다이아몬드 1개(8)가 적습니다. 사건 B의 확률은 다음과 같습니다.

P A (B) \u003d 8 / 35 \u003d 0.23

두 번째 옵션이 true이면 덱에 35장의 카드가 있고 총 탬버린 수(9)가 여전히 보존되며 다음 이벤트가 발생할 확률은 B입니다.

P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0.26.

사건 A가 첫 번째 카드가 다이아몬드라는 사실을 조건으로 한다면 사건 B의 확률은 감소하고 그 반대의 경우도 마찬가지라는 것을 알 수 있습니다.

종속 사건의 곱셈

이전 장을 바탕으로 우리는 첫 번째 사건 (A)를 사실로 받아들이지만 본질적으로 무작위적인 성격을 가지고 있습니다. 이 이벤트의 확률, 즉 카드 덱에서 탬버린이 추출될 확률은 다음과 같습니다.

P(A) = 9/36=1/4

이론은 그 자체로 존재하지 않지만 실제적인 목적을 위해 요구되기 때문에 종속 사건을 생성할 확률이 가장 자주 필요하다는 점에 유의하는 것이 공정합니다.

종속 사건의 확률 곱에 대한 정리에 따르면, 공동 종속 사건 A와 B의 발생 확률은 하나의 사건 A의 확률에 사건 B의 조건부 확률(A에 따라 다름)을 곱한 것과 같습니다.

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

그런 다음 덱의 예에서 다이아몬드 한 벌이 포함된 카드 두 장을 뽑을 확률은 다음과 같습니다.

9/36*8/35=0.0571 또는 5.7%

그리고 처음에는 다이아몬드가 아닌 다이아몬드를 추출할 확률은 다음과 같습니다.

27/36*9/35=0.19 또는 19%

다이아몬드가 아닌 다른 무늬의 카드를 먼저 뽑을 경우 사건 B가 발생할 확률이 더 크다는 것을 알 수 있습니다. 이 결과는 매우 논리적이고 이해하기 쉽습니다.

사건의 총 확률

조건부 확률의 문제가 다면화되면 기존의 방법으로는 계산할 수 없습니다. 두 개 이상의 가설, 즉 A1, A2, ..., An , ..이 있는 경우 다음 조건에서 완전한 사건 그룹을 형성합니다.

• P(Ai)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

따라서 무작위 사건 A1, A2, ..., An의 완전한 그룹이 있는 사건 B의 총 확률에 대한 공식은 다음과 같습니다.

미래에 대한 살펴보기

무작위 사건의 확률은 계량경제학, 통계학, 물리학 등 많은 과학 분야에서 필수적입니다. 일부 프로세스는 결정론적으로 설명할 수 없고 그 자체가 확률적이므로 특별한 작업 방법이 필요합니다. 사건 이론의 확률은 오류나 오작동의 가능성을 결정하는 방법으로 모든 기술 분야에서 사용될 수 있습니다.

확률을 인식함으로써 우리는 공식의 프리즘을 통해 미래를 바라보는 이론적 단계를 밟게 된다고 말할 수 있습니다.

1. 사건의 확률을 계산하는 공식

1.3.1. 독립적인 시행의 순서(Bernoulli 계획)

동일한 조건에서 어떤 실험을 반복적으로 수행할 수 있다고 가정해 보겠습니다. 이런 경험을 하게 해주세요 N횟수, 즉 일련의 N테스트.

정의. 후속 N 테스트가 호출됩니다. 상호 독립적 특정 테스트와 관련된 이벤트가 다른 테스트와 관련된 이벤트와 독립적인 경우.

어떤 이벤트가 있다고 가정해 보겠습니다. ㅏ일어날 가능성이 있는 피한 번의 테스트 결과 아니면 확률적으로 일어나지 않는지 큐= 1- 피.

정의 . 순서 N테스트는 다음 조건이 충족되면 Bernoulli 방식을 형성합니다.

후속 N테스트는 서로 독립적입니다.

2) 사건의 확률 ㅏ테스트마다 변경되지 않으며 다른 테스트의 결과에 의존하지 않습니다.

이벤트 ㅏ테스트의 "성공"이라고 하고 반대 이벤트를 "실패"라고 합니다. 이벤트를 고려해보세요

=( 에 N테스트가 정확히 일어났습니다 중"성공").

이 사건의 확률을 계산하려면 Bernoulli 공식이 유효합니다.

피() =
, 중 = 1, 2, …, N , (1.6)

어디 - 조합의 수 N요소별 중 :

=
=
.

예제 1.16. 주사위를 세 번 던집니다. 찾다:

a) 6개의 포인트가 두 번 나올 확률;

b) 6의 수가 두 번 이상 나타나지 않을 확률.

해결책 . 테스트의 "성공"은 6포인트 이미지가 있는 주사위의 얼굴이 손실된 것으로 간주됩니다.

a) 총 시험 횟수 - N=3, "성공" 수 – 중 = 2. “성공” 확률 - 피=, 그리고 "실패" 확률 - 큐= 1 - =. 그러면 베르누이 공식에 따라 주사위를 세 번 던져서 6점을 얻은 쪽이 두 번 탈락할 확률은 다음과 같습니다.

.

b) 다음으로 표시 ㅏ점수가 6인 얼굴이 최대 두 번 나타나는 이벤트입니다. 그러면 이벤트는 다음과 같이 표현될 수 있습니다. 세 가지의 합이 호환되지 않음이벤트 A=
,

어디 안에 3 0 - 관심 있는 얼굴이 전혀 나타나지 않는 경우,

안에 3 1 - 관심 있는 얼굴이 한 번 나타나는 이벤트,

안에 3 2 - 관심 있는 얼굴이 두 번 나타나는 이벤트입니다.

베르누이 공식(1.6)에 의해 우리는 다음을 찾습니다.

피(ㅏ) =피(
) = 피(
)=
+
+
=

=
.

1.3.2. 사건의 조건부 확률

조건부 확률은 한 사건이 다른 사건의 확률에 미치는 영향을 반영합니다. 실험이 수행되는 조건을 변경하는 것도 영향을 미칩니다.

관심 있는 사건의 발생 확률.

정의. 허락하다 ㅏ 그리고 비- 일부 이벤트 및 확률 피(비)> 0.

조건부 확률이벤트 ㅏ"이벤트를 제공한다. 비이미일어났다”는 확률을 구하려는 사건보다 먼저 발생한 사건의 확률에 대한 이러한 사건이 발생할 확률의 비율입니다. 조건부 확률은 다음과 같이 표시됩니다. 피(ㅏ 비). 그런 다음 정의에 따라

피 (ㅏ  비) =
. (1.7)

예제 1.17. 주사위 두 개를 던집니다. 기본 사건의 공간은 숫자의 순서쌍으로 구성됩니다.

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).

예제 1.16에서는 이벤트가 다음과 같은 것으로 나타났습니다. ㅏ=(첫 번째 주사위의 포인트 수 > 4) 및 이벤트 씨=(점의 합은 8)은 종속적입니다. 관계를 맺자

.

이 관계는 다음과 같이 해석될 수 있다. 첫 번째 굴림의 결과가 첫 번째 주사위의 점수가 4보다 크다고 가정합니다. 따라서 두 번째 주사위를 던지면 이벤트를 구성하는 12가지 결과 중 하나가 나올 수 있습니다. ㅏ:

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .

이와 동시에 이벤트도 씨그 중 두 개(5.3)(6.2)만 일치할 수 있습니다. 이 경우 사건이 일어날 확률은 씨 와 같을 것이다
. 따라서 이벤트 발생에 대한 정보는 ㅏ사건의 가능성에 영향을 미쳤다 씨.

이벤트 생성 확률

곱셈 정리

이벤트 생성 확률ㅏ 1 ㅏ 2  ㅏ N 공식에 의해 결정됩니다

피(ㅏ 1 ㅏ 2  ㅏ N)=p(ㅏ 1)피(ㅏ 2  ㅏ 1)) 피(ㅏ N  ㅏ 1 ㅏ 2  ㅏ N- 1). (1.8)

두 사건의 곱에 대해 다음이 성립됩니다.

피(AB)=p(ㅏ 비)p{비)=p(비 ㅏ)피{ㅏ). (1.9)

예제 1.18. 25개 품목 중 5개 품목에 결함이 있습니다. 3개의 항목이 무작위로 선택됩니다. 선택한 제품이 모두 불량일 확률을 확인합니다.

해결책. 이벤트를 표시해 보겠습니다.

ㅏ 1 = (첫 번째 제품에 결함이 있음),

ㅏ 2 = (두 번째 제품에 결함이 있음),

ㅏ 3 = (세 번째 제품에 결함이 있음),

ㅏ = (모든 제품에 불량이 있습니다.)

이벤트 ㅏ 세 가지 사건의 산물이다 ㅏ = ㅏ 1 ㅏ 2 ㅏ 3 .

곱셈 정리(1.6)로부터 우리는 얻는다

피(ㅏ)=피( ㅏ 1 ㅏ 2 ㅏ 3 ) = 피(ㅏ 1) 피(ㅏ 2  ㅏ 1))피(ㅏ 3  ㅏ 1 ㅏ 2).

확률의 고전적 정의를 통해 다음을 찾을 수 있습니다. 피(ㅏ 1) 전체 제품 수에 대한 불량 제품 수의 비율은 다음과 같습니다.

피(ㅏ 1)= ;

피(ㅏ 2) – 이것 전체 잔여 제품 수 대비 불량 제품 중 하나를 철회한 후 남은 불량 제품 수의 비율:

피(ㅏ 2  ㅏ 1))= ;

피(ㅏ 3)은 전체 잔여 제품 수에 대한 불량 제품 2개를 회수한 후 남은 불량 제품 수의 비율:

피(ㅏ 3  ㅏ 1 ㅏ 2)=.

그러면 사건이 일어날 확률은 ㅏ 와 같을 것이다

피(ㅏ) ==
.