수업 전체 방정식과 그 뿌리를 다운로드하세요. 정수 및 분수 유리 방정식 풀기

학교: MOU SOSH 분과. 마을의 Svyatoslav 보즈드비젠카

주제 : 수학.

커리큘럼 - 주당 5시간(그 중 3시간 - 대수학, 2시간 - 기하학)

주제: 전체 방정식과 그 뿌리. 전체 방정식의 해법.

수업 유형: 기술과 능력 향상.

수업 목표:

남을 가르치고 싶어하는 : 2차 이상의 하나의 변수를 사용하여 전체 방정식을 풀 때 체계화 및 일반화, 학생들의 지식 확장 및 심화; 시험을 위해 비표준 상황에서 지식을 적용할 수 있도록 학생들을 준비시킵니다.

개발 중 : 독립적인 창의적 작업을 통한 학생의 성격 개발, 학생의 주도권 개발; 안정적인 동기 부여 환경을 제공하고 연구 주제에 대한 관심을 제공합니다. 방정식을 풀기 위한 방법을 일반화하고 올바르게 선택하는 능력을 개발합니다.

교육적인: 수학 연구에 대한 관심 개발, 비표준 상황에서 지식 적용을 위해 학생들을 준비시키는 것; 최종 결과를 달성하기 위한 의지와 인내를 기르십시오.

(부록 1)

1. 조직적인 순간- 수업의 목표와 목표를 설정합니다.

얘들아! GIA 및 통합 주 시험의 형태로 수학에 대한 최종 인증을 받게 됩니다. GIA 및 통합 국가 시험에 성공적으로 합격하려면 최소한의 수준에서 수학을 알아야 할 뿐만 아니라 비표준 상황에서도 지식을 적용해야 합니다. USE의 파트 B와 C에서는 더 높은 수준의 방정식이 종종 발견됩니다. 우리의 임무: 2차보다 높은 하나의 변수를 사용하여 전체 방정식을 푸는 데 대한 지식의 체계화 및 일반화, 확장 및 심화. GIA 및 통합 국가 시험을 위해 비표준 상황에서 지식 적용을 준비합니다.

금언우리 수업의 내용: "더 많이 알수록 더 많이 할 수 있습니다."

비문:

누가 눈치 못 채나

그는 아무것도 공부하지 않습니다.

공부하지 않는 사람

그는 항상 징징대고 지루해합니다.

(시인 R. Sef).

방정식은 가장 간단하고 가장 일반적인 수학 문제입니다. 다양한 방정식을 푸는 데 약간의 경험을 얻었으며 지식을 정리하고 비표준 방정식을 푸는 방법을 이해해야 합니다.

~에방정식 자체는 연구에 흥미가 있습니다. 최초의 사본에 따르면 고대 바빌론과 고대 이집트에서는 선형 방정식을 푸는 기술이 알려져 있었습니다. 이차 방정식은 기원전 약 2000년 전에 풀 수 있었습니다. 이자형. 바빌로니아인.

기본 대수 방정식을 풀기 위한 표준 기술과 방법은 모든 유형의 방정식을 푸는 데 필수적인 부분입니다.

가장 간단한 경우, 하나의 미지수가 있는 방정식을 푸는 것은 방정식을 표준 방정식으로 변환하고 표준 방정식을 푸는 두 단계로 분해됩니다. 방정식을 푸는 과정을 완전히 알고리즘화하는 것은 불가능하지만 모든 유형의 방정식에 공통되는 가장 일반적인 기술을 기억하는 것은 유용합니다. 많은비표준 방법을 사용할 때 방정식은 훨씬 더 짧고 쉽게 해결됩니다.

우리는 그들에게 관심을 집중할 것입니다.

(부록 2)

지식 업데이트.

집에서 방정식의 주제와 이를 해결하는 방법을 반복하는 작업이 주어졌습니다.

Ø 방정식이란 무엇입니까? (변수가 포함된 방정식을 단일 변수 방정식이라고 합니다.)

Ø 방정식의 근본은 무엇입니까?(방정식이 올바른 수치가 되는 변수의 값

평등.)

Ø 방정식을 푼다는 것은 무엇을 의미합니까?(뿌리를 모두 찾거나 뿌리가 없음을 증명하세요.)

몇 가지 방정식을 구두로 풀 것을 제안합니다.

a) x2 = 0 e) x3 – 25x = 0

b) 3x – 6 = 0 g) x(x – 1)(x + 2) = 0

c) x2 – 9 = 0 h) x4 – x2 = 0

d) x2 = 1/36 i) x2 – 0.01 = 0.03

e) x2 = - 25k) 19 - c2 = 10

이 방정식의 공통점은 무엇입니까?(단일 변수, 전체 방정식 등)

Ø 변수가 하나인 전체 방정식을 무엇이라고 하나요? (좌변과 우변이 정수인 방정식

표현

Ø 전체 방정식의 차수는 얼마입니까?(형식의 등가 방정식의 차수 P(x) = 0,어디 P(x) -다항식

표준 보기)

Ø 하나의 변수가 있는 전체 방정식에 2차, 3차, 4차, 피학위(2, 3, 4개 이하) 피)

정수 방정식을 푸는 방법을 알고 있나요?

이 방법들을 적용할 수 있나요?

혼자서 방정식을 풀 수 있을까요?

수업하는 동안 편안하셨나요?

6. "3" - 표 번호 1 + 나머지 표의 방정식 1개.

"4" - 테이블 번호 1 + 두 테이블의 방정식 1개

"5" - 표 번호 1 + 나머지 각 방정식 1개

테이블

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요약:

자체 평가표 작성

채점

집에서: 모든 테이블에 남아 있는 미해결 방정식을 풀어보세요.

유리 및 분수 유리 방정식에 대해 알아보고, 정의를 제공하고, 예를 제공하고, 가장 일반적인 유형의 문제를 분석해 봅시다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

유리 방정식: 정의 및 예

합리적인 표현에 대한 지식은 학교 8학년부터 시작됩니다. 현재 대수학 수업에서 학생들은 노트에 유리식을 포함하는 방정식으로 과제를 수행하기 시작하고 있습니다. 그것이 무엇인지에 대한 기억을 새롭게 해보자.

정의 1

유리 방정식는 양변에 유리식을 포함하는 방정식입니다.

다양한 매뉴얼에서 다른 문구를 찾을 수 있습니다.

정의 2

유리 방정식- 이것은 방정식으로, 왼쪽의 레코드에는 유리식이 포함되고 오른쪽에는 0이 포함됩니다.

유리 방정식에 대해 우리가 제공한 정의는 동일한 것을 의미하므로 동일합니다. 우리 말의 정확성은 합리적인 표현에 대해 다음과 같은 사실로 확인됩니다. 피그리고 큐방정식 P=Q그리고 P – Q = 0동등한 표현이 될 것입니다.

이제 예제를 살펴보겠습니다.

실시예 1

유리 방정식:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

유리 방정식은 다른 유형의 방정식과 마찬가지로 1부터 여러 개의 변수를 포함할 수 있습니다. 우선 방정식에 변수가 하나만 포함되는 간단한 예를 살펴보겠습니다. 그런 다음 작업이 점차 복잡해지기 시작합니다.

유리 방정식은 정수와 분수라는 두 개의 큰 그룹으로 나뉩니다. 각 그룹에 어떤 방정식이 적용되는지 살펴보겠습니다.

정의 3

유리 방정식은 왼쪽과 오른쪽 부분의 레코드에 유리식 전체가 포함되어 있으면 정수가 됩니다.

정의 4

유리 방정식은 부분 중 하나 또는 둘 모두에 분수가 포함되어 있으면 분수입니다.

분수 유리 방정식은 반드시 변수로 나누기를 포함하거나 변수가 분모에 존재합니다. 정수 방정식을 작성할 때 그러한 구분은 없습니다.

실시예 2

3×+2=0그리고 (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5전체 유리 방정식입니다. 여기서 방정식의 두 부분은 모두 정수 표현식으로 표시됩니다.

1 x - 1 = x 3 및 x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5분수 유리 방정식입니다.

전체 유리 방정식에는 1차 방정식과 2차 방정식이 포함됩니다.

전체 방정식 풀기

이러한 방정식의 해는 일반적으로 등가 대수 ​​방정식으로의 변환으로 축소됩니다. 이는 다음 알고리즘에 따라 방정식의 등가 변환을 수행하여 달성할 수 있습니다.

• 먼저 방정식의 오른쪽에서 0을 얻습니다. 이를 위해서는 방정식의 오른쪽에 있는 표현식을 왼쪽으로 옮기고 부호를 변경해야 합니다.
• 그런 다음 방정식의 왼쪽 표현식을 표준 형식 다항식으로 변환합니다.

우리는 대수 방정식을 구해야 합니다. 이 방정식은 원래 방정식과 동일합니다. 쉬운 경우를 통해 전체 방정식을 선형 또는 이차 방정식으로 줄여 문제를 해결할 수 있습니다. 일반적인 경우, 우리는 대수 방정식을 푼다. N.

실시예 3

전체 방정식의 근을 찾는 것이 필요합니다 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

해결책

이에 상응하는 대수 방정식을 얻기 위해 원래 표현식을 변환해 보겠습니다. 이를 위해 방정식의 오른쪽에 포함된 식을 왼쪽으로 옮기고 부호를 반대쪽으로 변경하겠습니다. 결과적으로 우리는 다음을 얻습니다: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

이제 우리는 왼쪽의 표현식을 표준 형식의 다항식으로 변환하고 이 다항식을 사용하여 필요한 작업을 수행합니다.

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

우리는 원래 방정식의 해를 다음 형식의 이차 방정식의 해로 줄이는 데 성공했습니다. x 2 − 5 x − 6 = 0. 이 방정식의 판별식은 양수입니다. D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 .이는 두 개의 실제 뿌리가 있음을 의미합니다. 이차 방정식의 근 공식을 사용하여 찾아 보겠습니다.

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 또는 x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 또는 x 2 = - 1

해결 과정에서 찾은 방정식의 근이 올바른지 확인해 보겠습니다. 우리가 받은 이 숫자를 원래 방정식으로 대체합니다. 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3그리고 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. 첫 번째 경우 63 = 63 , 두 번째에는 0 = 0 . 뿌리 x=6그리고 x = − 1실제로 예제 조건에 제공된 방정식의 근입니다.

답변: 6 , − 1 .

"전체 방정식의 거듭제곱"이 무엇을 의미하는지 살펴보겠습니다. 우리는 전체 방정식을 대수적 형태로 표현해야 하는 경우에 이 용어를 자주 접하게 됩니다. 개념을 정의해보자.

정의 5

정수 방정식의 차수원래 전체 방정식과 동등한 대수 방정식의 차수입니다.

위 예의 방정식을 보면 다음을 설정할 수 있습니다. 이 전체 방정식의 차수는 두 번째입니다.

우리 과정이 2차 방정식을 푸는 것으로 제한되어 있다면 여기서 주제에 대한 고려를 완료할 수 있습니다. 그러나 모든 것이 그렇게 간단하지는 않습니다. 3차 방정식을 푸는 데에는 어려움이 따릅니다. 그리고 4차 이상의 방정식의 경우 근에 대한 일반 공식이 전혀 없습니다. 이와 관련하여 3차, 4차 및 기타 차수의 전체 방정식을 풀려면 여러 가지 다른 기술과 방법을 사용해야 합니다.

전체 유리 방정식을 푸는 데 가장 일반적으로 사용되는 접근 방식은 인수분해 방법을 기반으로 합니다. 이 경우의 동작 알고리즘은 다음과 같습니다.

• 레코드의 오른쪽에 0이 남도록 표현식을 오른쪽에서 왼쪽으로 옮깁니다.
• 우리는 왼쪽의 표현식을 요인의 곱으로 표현한 다음 몇 가지 더 간단한 방정식 세트로 이동합니다.

방정식 (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) 의 해를 구합니다.

해결책

반대 기호를 사용하여 레코드의 오른쪽에서 왼쪽으로 표현식을 옮깁니다. (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. 좌변을 표준 형식의 다항식으로 변환하는 것은 4차 대수 방정식을 제공한다는 사실 때문에 비실용적입니다. x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. 변환이 쉽다고 해서 그러한 방정식을 푸는 데 따르는 모든 어려움이 정당화되는 것은 아닙니다.

다른 방향으로 가는 것이 훨씬 쉽습니다. 공통 인수를 꺼냅니다. x 2 − 10 x + 13 .따라서 우리는 다음 형식의 방정식에 도달합니다. (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. 이제 결과 방정식을 두 개의 이차 방정식 세트로 대체합니다. x 2 − 10 x + 13 = 0그리고 x 2 − 2 x − 1 = 0판별식을 통해 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 의 근을 찾습니다.

답변: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

마찬가지로 새로운 변수를 도입하는 방법을 사용할 수 있습니다. 이 방법을 사용하면 원래 전체 방정식의 검정력보다 낮은 거듭제곱을 갖는 등가 방정식을 전달할 수 있습니다.

실시예 5

방정식에 뿌리가 있나요? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

해결책

이제 전체 유리 방정식을 대수 방정식으로 줄이려고 하면 유리근이 없는 4차 방정식을 얻게 됩니다. 따라서 다른 방향으로 가는 것이 더 쉬울 것입니다. 방정식의 표현식을 대체할 새 변수 y를 도입합니다. x 2 + 3 x.

이제 우리는 전체 방정식을 다룰 것입니다 (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). 방정식의 오른쪽을 반대 부호를 사용하여 왼쪽으로 옮기고 필요한 변환을 수행합니다. 우리는 다음을 얻습니다: 와이 2 + 4 와이 + 3 = 0. 이차방정식의 근을 찾아봅시다: y = - 1그리고 y = - 3.

이제 역대입을 해보겠습니다. 우리는 두 개의 방정식을 얻습니다. x 2 + 3 x = − 1그리고 x 2 + 3 x = - 3 . x 2 + 3 x + 1 = 0으로 다시 작성해 보겠습니다. x 2 + 3 x + 3 = 0. 얻은 첫 번째 방정식의 근을 찾기 위해 이차 방정식의 근 공식을 사용합니다. - 3 ± 5 2 . 두 번째 방정식의 판별식은 음수입니다. 이는 두 번째 방정식에 실제 근이 없음을 의미합니다.

답변:- 3 ± 5 2

높은 수준의 정수 방정식은 문제에서 자주 발생합니다. 그들을 두려워할 필요가 없습니다. 여러 가지 인위적인 변환을 포함하여 문제를 해결하는 비표준 방법을 적용할 준비가 되어 있어야 합니다.

분수 유리 방정식의 해

p (x) q (x) = 0 형식의 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘으로 이 하위 주제에 대한 고려를 시작합니다. 피(x)그리고 q(x)정수 유리식입니다. 다른 분수 유리 방정식의 해는 항상 표시된 형식의 방정식의 해로 축소될 수 있습니다.

방정식 p (x) q (x) = 0을 풀기 위해 가장 일반적으로 사용되는 방법은 다음 설명을 기반으로 합니다. 너 v, 어디 V 0과 다른 숫자이며 분수의 분자가 0인 경우에만 0과 같습니다. 위 진술의 논리에 따라 방정식 p (x) q (x) = 0의 해가 두 가지 조건을 충족하도록 축소될 수 있다고 주장할 수 있습니다. p(x)=0그리고 q(x) ≠ 0. 이에 대해 p (x) q (x) = 0 형식의 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘이 구축되었습니다.

• 우리는 전체 유리 방정식의 해를 찾습니다 p(x)=0;
• 솔루션 중에 발견된 근에 대해 조건이 충족되는지 확인합니다. q(x) ≠ 0.

이 조건이 충족되면 발견된 루트이고, 그렇지 않으면 해당 루트는 문제에 대한 해결책이 아닙니다.

실시예 6

방정식 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 =0 의 근을 구합니다.

해결책

우리는 p (x) q (x) = 0 형식의 분수 유리 방정식을 다루고 있습니다. 여기서 p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 입니다. 선형 방정식 풀기 시작합시다 3 x - 2 = 0. 이 방정식의 근은 다음과 같습니다. 엑스 = 2 3.

찾은 루트가 조건을 만족하는지 확인해보자 5 x 2 - 2 ≠ 0. 이렇게 하려면 표현식에 숫자 값을 대체하십시오. 우리는 다음을 얻습니다: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

조건이 충족되었습니다. 그것은 다음을 의미합니다 엑스 = 2 3는 원래 방정식의 근입니다.

답변: 2 3 .

분수 유리 방정식 p (x) q (x) = 0 을 푸는 또 다른 옵션이 있습니다. 이 방정식은 전체 방정식과 동일하다는 것을 기억하십시오 p(x)=0원래 방정식의 변수 x의 허용 가능한 값 범위에 대해 설명합니다. 이를 통해 방정식 p(x) q(x) = 0을 풀 때 다음 알고리즘을 사용할 수 있습니다.

• 방정식을 풀다 p(x)=0;
• 변수 x에 대해 허용되는 값의 범위를 찾습니다.
• 우리는 변수 x의 허용 가능한 값 영역에 있는 근을 원래 분수 유리 방정식의 원하는 근으로 취합니다.

방정식 x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x =0 을 풉니다.

해결책

먼저 이차방정식을 풀어보겠습니다. x 2 − 2 x − 11 = 0. 근을 계산하기 위해 짝수 번째 계수에 대한 근 공식을 사용합니다. 우리는 얻는다 D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12, x = 1 ± 2 3 입니다.

이제 원래 방정식에 대한 x의 ODV를 찾을 수 있습니다. 이것들은 모두 다음과 같은 숫자입니다. x 2 + 3 x ≠ 0. 와 똑같다 x (x + 3) ≠ 0, 여기서 x ≠ 0 , x ≠ − 3 입니다.

이제 해의 첫 번째 단계에서 얻은 근 x = 1 ± 2 3이 변수 x의 허용 가능한 값 범위 내에 있는지 확인해 보겠습니다. 우리는 무엇이 들어오는지 봅니다. 이는 원래의 분수 유리 방정식이 두 개의 근 x = 1 ± 2 3 을 갖는다는 것을 의미합니다.

답변: x = 1 ± 2 3

설명된 두 번째 풀이 방법은 변수 x의 허용 가능한 값의 영역을 쉽게 찾을 수 있고 방정식의 근을 찾는 경우 첫 번째 방법보다 간단합니다. p(x)=0비합리적이다. 예를 들어 7 ± 4 26 9 입니다. 근은 유리수일 수 있지만 분자나 분모가 큽니다. 예를 들어, 127 1101 그리고 − 31 59 . 이렇게 하면 상태를 확인하는 시간이 절약됩니다. q(x) ≠ 0: ODZ에 따르면 맞지 않는 뿌리를 제외하는 것이 훨씬 쉽습니다.

방정식의 근이 풀릴 때 p(x)=0가 정수인 경우 p (x) q (x) = 0 형식의 방정식을 풀기 위해 설명된 알고리즘 중 첫 번째를 사용하는 것이 더 편리합니다. 전체 방정식의 근을 더 빠르게 찾기 p(x)=0을 클릭한 다음 조건이 충족되는지 확인하세요. q(x) ≠ 0, ODZ를 찾지 못한 다음 방정식을 풀어보세요. p(x)=0이 ODZ에서. 이는 이러한 경우 일반적으로 ODZ를 찾는 것보다 확인하는 것이 더 쉽기 때문입니다.

실시예 8

방정식의 근을 구합니다 (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .

해결책

우리는 전체 방정식을 고려하는 것부터 시작합니다. (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0그리고 그 뿌리를 찾는다. 이를 위해 인수분해를 통해 방정식을 푸는 방법을 적용합니다. 원래 방정식은 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0의 4개 방정식 세트와 동일하며, 그 중 3개는 선형이고 하나는 정사각형이에요. 우리는 뿌리를 찾습니다: 첫 번째 방정식에서 엑스 = 1 2, 두 번째부터 x=6, 세 번째부터 - x \u003d 7, x \u003d - 2, 네 번째부터 - x = − 1.

얻은 뿌리를 확인해 봅시다. 이 경우 ODZ를 결정하는 것은 어렵습니다. 이를 위해서는 5차 대수 방정식을 풀어야 하기 때문입니다. 방정식의 왼쪽에 있는 분수의 분모가 사라지지 않아야 하는 조건을 확인하는 것이 더 쉬울 것입니다.

차례로, 표현식에서 변수 x 대신 근을 대체하십시오. x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112그 값을 계산합니다.

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠0;

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

수행된 검증을 통해 원래 분수 유리 방정식의 근이 1 2 , 6 및 − 2 .

답변: 1 2 , 6 , - 2

실시예 9

분수 유리 방정식 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 의 근을 구합니다.

해결책

방정식부터 시작해보자 (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. 그 뿌리를 찾아보자. 이 방정식을 2차 방정식과 1차 방정식의 조합으로 표현하는 것이 더 쉽습니다. 5 x 2 - 7 x - 1 = 0그리고 x − 2 = 0.

우리는 근을 찾기 위해 이차방정식의 근의 공식을 사용합니다. 첫 번째 방정식과 두 번째 방정식에서 두 개의 근 x = 7 ± 69 10을 얻습니다. x=2.

조건을 확인하기 위해 근의 값을 원래 방정식에 대입하는 것은 우리에게 매우 어려울 것입니다. 변수 x 의 LPV를 결정하는 것이 더 쉬울 것입니다. 이 경우 변수 x의 DPV는 조건을 만족하는 것을 제외한 모든 숫자이다. x 2 + 5 x − 14 = 0. 우리는 다음을 얻습니다: x ∈ - , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + .

이제 우리가 찾은 근이 x 변수에 허용되는 값 범위에 속하는지 확인해 보겠습니다.

근 x = 7 ± 69 10 - 은 원래 방정식의 근이 되며, x=2- 속하지 않으므로 외래근이다.

답변: x = 7 ± 69 10 .

p (x) q (x) = 0 형식의 분수 유리 방정식의 분자에 숫자가 포함되는 경우를 별도로 살펴 보겠습니다. 이러한 경우 분자에 0이 아닌 숫자가 포함되어 있으면 방정식에는 근이 없습니다. 이 숫자가 0이면 방정식의 근은 ODZ의 숫자가 됩니다.

실시예 10

분수 유리 방정식 - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 을 풉니다.

해결책

방정식 왼쪽에 있는 분수의 분자에 0이 아닌 숫자가 포함되어 있으므로 이 방정식에는 근이 없습니다. 이는 x 값에 대해 문제 조건에 주어진 분수 값이 0과 같지 않음을 의미합니다.

답변:뿌리가 없습니다.

실시예 11

방정식 0 x 4 + 5 x 3 = 0을 풉니다.

해결책

분수의 분자가 0이므로 방정식의 해는 ODZ 변수 x의 x 값이 됩니다.

이제 ODZ를 정의해 보겠습니다. 여기에는 모든 x 값이 포함됩니다. x 4 + 5 x 3 ≠ 0. 방정식 해법 x 4 + 5 x 3 = 0~이다 0 그리고 − 5 , 이 방정식은 다음 방정식과 동일하기 때문에 x 3 (x + 5) = 0, 이는 차례로 두 방정식 x 3 = 0 및 엑스 + 5 = 0이 뿌리가 보이는 곳. 우리는 허용 가능한 값의 원하는 범위가 x라는 결론에 도달했습니다. x=0그리고 x = -5.

분수 유리 방정식 0 x 4 + 5 x 3 = 0은 0과 - 5를 제외한 모든 숫자인 무한한 수의 해를 갖는다는 것이 밝혀졌습니다.

답변: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

이제 임의 형태의 분수 유리 방정식과 이를 해결하는 방법에 대해 이야기해 보겠습니다. 그들은 다음과 같이 쓸 수 있습니다 r(x) = s(x), 어디 r(x)그리고 에스(엑스)는 유리식이고 그 중 적어도 하나는 분수입니다. 이러한 방정식의 해는 p (x) q (x) = 0 형식의 방정식 해로 축소됩니다.

우리는 방정식의 오른쪽에서 반대 부호를 사용하여 표현식을 왼쪽으로 옮겨서 등가 방정식을 얻을 수 있다는 것을 이미 알고 있습니다. 이는 방정식이 r(x) = s(x)방정식과 같습니다 r(x) − s(x) = 0. 우리는 유리식을 유리 분수로 변환하는 방법에 대해서도 이미 논의했습니다. 덕분에 방정식을 쉽게 변환할 수 있습니다. r(x) − s(x) = 0 p (x) q (x) 형식의 동일한 유리 분수로 변환됩니다.

그래서 우리는 원래의 분수 유리 방정식에서 벗어납니다. r(x) = s(x) p (x) q (x) = 0 형태의 방정식으로, 우리는 이미 푸는 방법을 배웠습니다.

전환을 할 때 주의해야 할 점은 r(x) − s(x) = 0 p(x) q(x) = 0으로 그리고 나서 p(x)=0변수 x 의 유효한 값 범위 확장을 고려하지 않을 수도 있습니다.

원래 방정식이 매우 현실적입니다. r(x) = s(x)방정식 p(x)=0변환의 결과로 더 이상 동등하지 않게 됩니다. 그러면 방정식의 해는 p(x)=0우리에게 낯선 뿌리를 줄 수 있다 r(x) = s(x). 이와 관련하여, 각각의 경우 위에 설명된 방법 중 하나를 사용하여 점검을 수행해야 합니다.

주제를 더 쉽게 연구할 수 있도록 모든 정보를 다음 형식의 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘으로 일반화했습니다. r(x) = s(x):

• 반대 기호를 사용하여 오른쪽에서 표현식을 전송하고 오른쪽에서 0을 얻습니다.
• 분수와 다항식을 사용하여 순차적으로 작업을 수행하여 원래 표현식을 유리 분수 p (x) q (x)로 변환합니다.
• 방정식을 풀다 p(x)=0;
• 우리는 ODZ에 속하는지 확인하거나 원래 방정식에 대입하여 외부 근을 밝힙니다.

시각적으로 일련의 작업은 다음과 같습니다.

r(x) = s(x) → r(x) - s(x) = 0 → p(x) q(x) = 0 → p(x) = 0 → 드롭아웃 r o n d e r o o n s

실시예 12

분수 유리 방정식 x x + 1 = 1 x + 1 을 풉니다.

해결책

x x + 1 - 1 x + 1 = 0 방정식으로 넘어가겠습니다. 방정식 왼쪽의 분수 유리식을 p (x) q (x) 형식으로 변환해 보겠습니다.

이를 위해서는 유리 분수를 공통 분모로 줄이고 표현식을 단순화해야 합니다.

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2x - 1x (x + 1)

방정식 - 2 x - 1 x (x + 1) = 0의 근을 찾으려면 방정식을 풀어야 합니다. − 2 x − 1 = 0. 우리는 하나의 루트를 얻습니다 x = - 1 2.

어떤 방법으로든 검사를 수행하는 것은 우리의 몫입니다. 둘 다 고려해 봅시다.

결과 값을 원래 방정식으로 대체합니다. 우리는 - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 을 얻습니다. 우리는 올바른 수치적 평등에 도달했습니다 − 1 = − 1 . 그것은 다음을 의미합니다 x = − 1 2는 원래 방정식의 근입니다.

이제 ODZ를 통해 확인해 보겠습니다. 변수 x 에 허용되는 값의 범위를 정의해 보겠습니다. 이것은 − 1과 0을 제외한 전체 숫자 집합이 됩니다(x = − 1 및 x = 0이면 분수의 분모가 사라집니다). 우리가 얻은 뿌리 x = − 1 2 ODZ에 속해 있습니다. 즉, 원래 방정식의 근이 됩니다.

답변: − 1 2 .

실시예 13

방정식 x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x 의 근을 구합니다.

해결책

우리는 분수 유리 방정식을 다루고 있습니다. 따라서 우리는 알고리즘에 따라 행동할 것입니다.

반대 기호를 사용하여 표현식을 오른쪽에서 왼쪽으로 이동해 보겠습니다. x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

필요한 변환을 수행해 보겠습니다. x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

우리는 방정식에 도달 x=0. 이 방정식의 근은 0입니다.

이 근이 원래 방정식에 대한 외래 근인지 확인해 보겠습니다. 원래 방정식의 값을 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 으로 대체합니다. 보시다시피 결과 방정식은 의미가 없습니다. 이는 0이 외부 근이고 원래 분수 유리 방정식에는 근이 없음을 의미합니다.

답변:뿌리가 없습니다.

알고리즘에 다른 동등한 변환을 포함하지 않았다고 해서 해당 변환을 사용할 수 없다는 의미는 아닙니다. 알고리즘은 보편적이지만 제한이 아닌 도움을 주기 위해 설계되었습니다.

실시예 14

방정식 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24 풀기

해결책

가장 쉬운 방법은 알고리즘에 따라 주어진 분수 유리 방정식을 푸는 것입니다. 하지만 또 다른 방법이 있습니다. 그것을 고려해 봅시다.

오른쪽과 왼쪽 부분 7에서 빼면 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24가 됩니다.

이것으로부터 우리는 왼쪽 분모의 표현이 오른쪽 숫자의 역수, 즉 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 과 같아야 한다는 결론을 내릴 수 있습니다.

두 부분에서 3을 뺍니다: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . 비유하자면 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, 여기서 1 5 - x 2 \u003d 1 3, 그리고 더 나아가 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

찾은 근이 원래 방정식의 근인지 확인하기 위해 확인해 보겠습니다.

답변: x = ± 2

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방정식을 고려하십시오.
31엑스 3 – 10엑스 = (엑스 – 5) 2 + 6엑스 2
방정식의 왼쪽과 오른쪽은 모두 정수 표현식입니다.
그러한 방정식을 전체 방정식이라고 부릅니다.
원래 방정식으로 돌아가서 차이 제곱 공식을 사용하여 괄호를 열어 보겠습니다.
방정식의 모든 항을 왼쪽으로 옮기고 유사한 항을 제시합니다.
"마이너스 10 x"와 "플러스 10 x"라는 표현은 서로 상쇄됩니다.
이러한 항을 줄인 후 왼쪽에는 표준 형식의 다항식(일반적으로 "Pe from X"라고 함)이 있고 오른쪽에는 0이 있는 방정식을 얻습니다.
전체 방정식의 차수를 결정하려면 x가 0인 pe 형식, 즉 왼쪽이 표준 형식의 다항식이고 오른쪽이 다음인 방정식으로 가져와야 합니다. 영.
그 후, x로부터 다항식 pe의 차수를 결정해야 합니다. 이것이 방정식의 차수가 됩니다.
예를 고려하십시오. 이 방정식의 차수를 결정해 봅시다.
합의 제곱 공식을 사용하여 괄호를 열어 보겠습니다.
다음으로 방정식의 모든 항을 왼쪽으로 옮기고 유사한 항을 제공합니다.
그래서 우리는 방정식을 얻었는데, 그 왼쪽에는 2차 표준 형식의 다항식이 있고 오른쪽에는 0이 있습니다. 이는 이 방정식의 차수가 2차임을 의미합니다.
방정식의 차수에 따라 근의 개수가 결정됩니다.
1차 방정식은 근이 1개이고, 2차 방정식은 근이 2개 이하이고, 3차 방정식은 근이 3개 이하라는 것을 증명할 수 있습니다.
방정식의 차수는 방정식이 어떻게 풀 수 있는지도 알려줍니다.
예를 들어, 1차 방정식을 a x 더하기 ce와 같음 형식으로 줄입니다. 여기서 a는 0이 아닙니다.
우리는 2도 방정식을 등가 방정식으로 줄입니다. 왼쪽에는 정사각형 삼항식이 있고 오른쪽에는 0이 있습니다. 이러한 방정식은 이차 방정식의 근 공식 또는 비에타 정리를 사용하여 해결됩니다.
더 높은 수준의 방정식을 풀 수 있는 보편적인 방법은 없지만, 예를 통해 고려할 기본 방법이 있습니다.
x의 3승 - 8승 x 2승 - x + 8의 방정식을 풀어보면 0이 됩니다.
이 방정식을 풀기 위해 우리는 제곱의 차이 공식을 그룹화하고 사용하여 왼쪽을 요인으로 분해합니다.
다음으로, 요소 중 하나가 0이면 제품이 0이라는 것을 기억해야 합니다. 이를 바탕으로 우리는 x 빼기 8이 0이거나 x 빼기 1이 0이거나 x 더하기 1이 0이라고 결론을 내립니다. 따라서 방정식의 근은 숫자에서 1, 1, 8을 뺀 값이 됩니다.
때로는 두 번째보다 높은 차수의 방정식을 풀기 위해 새로운 변수의 도입을 사용하는 것이 편리합니다.
비슷한 예를 생각해 봅시다.
괄호를 열고 방정식의 모든 항을 왼쪽으로 이동하고 같은 항을 가져와 방정식의 왼쪽을 표준 형식의 다항식으로 표현하면 우리에게 알려진 방법 중 어느 것도 이 방정식을 푸는 데 도움이 되지 않습니다. . 이 경우 두 괄호에 모두 동일한 표현이 포함되어 있다는 사실에 주의해야 합니다.
새로운 변수 igrik으로 표시할 표현식입니다.
그런 다음 우리 방정식은 변수 y를 갖는 방정식으로 축소됩니다.
다음으로, 괄호를 열고 방정식의 모든 항을 왼쪽으로 이동하세요.
우리는 유사한 용어를 제공하고 이미 우리에게 친숙한 이차 방정식을 얻습니다.
이 방정식의 근원을 찾는 것은 어렵지 않습니다. 플레이어 1은 6이고, 플레이어 2는 마이너스 16입니다.
이제 역 치환을 수행하여 원래 방정식으로 돌아가 보겠습니다.
처음에 게임에서는 2 x 제곱 - x라는 표현을 사용했습니다. 그리고 변수 y에 대해 두 개의 값이 있으므로 두 개의 방정식을 얻습니다. 각 방정식에서 모든 항을 왼쪽으로 옮기고 결과로 나오는 두 개의 이차 방정식을 풉니다. 첫 번째 방정식의 근은 숫자 빼기 1.5와 2이고, 두 번째 방정식은 판별식이 0보다 작기 때문에 근이 없습니다.
따라서 이 4차 방정식의 해는 숫자 빼기 1.5/10 2입니다.
정수 방정식 분류에서 특별한 위치는 a x의 4제곱 더하기 be x의 2제곱 더하기 ce가 0과 같은 형식의 방정식을 갖습니다. 이런 종류의 방정식을 이차 방정식이라고 합니다.
변수를 변경하여 이러한 방정식을 풀 수 있습니다.
예를 살펴보겠습니다.
이 방정식에서 게임을 통해 x-제곱을 표시해 보겠습니다. 플레이어 변수는 음수 값을 가질 수 없다는 점에 유의해야 합니다.
우리는 1-25와 1이라는 숫자의 근이 있는 이차 방정식을 얻습니다.
교체를 해보겠습니다.
첫 번째 방정식의 근은 1/5과 -1/5이고, 두 번째 방정식의 근은 1과 -1입니다.
따라서 우리는 원래 이차 방정식의 네 가지 근을 찾았습니다.

비디오 강의 "전체 방정식과 그 뿌리"는 전체 방정식, 그러한 방정식의 유형에 대한 아이디어를 제공하고 방정식을 표준 형식으로 가져오고 유사한 방정식을 해결합니다. 이 비디오 강의의 목적은 이 주제에 대한 자료의 동화를 촉진하고, 전체 방정식을 사용하는 작업을 해결하는 능력을 형성하고, 교육 자료의 암기를 촉진하는 것입니다.

수업 형식의 시각적 자료를 만들면 새로운 자료의 표준 블록을 제시하는 측면에서 교사를 대체할 수 있어 교사가 개별 작업을 심화할 수 있습니다. 비디오 자료는 학생들이 새로운 자료를 익히는 데 집중하는 데 도움이 되며, 자료를 더 깊이 이해하고 더 잘 기억하는 데 도움이 됩니다.

비디오 강의는 강의 주제 소개로 시작됩니다. 화면에는 하나의 변수를 방정식으로 포함하는 전체 방정식의 정의가 표시되며, 두 부분 모두 정수 표현식입니다. 다음은 그러한 방정식의 예입니다: (x 5 -2) 2 + x 3 \u003d x 10 -3 (x-2), x 3 (x 3 -36) \u003d 2 (x + 8) -2. 다음으로 모든 항이 오른쪽에서 왼쪽으로 이동되고 괄호가 열리고 유사한 항이 제공되는 방정식의 변환을 고려합니다. 그 후, 방정식은 왼쪽이 다항식이고 오른쪽이 0인 형태를 취합니다. 변환하는 동안 주어진 것과 동일한 방정식이 얻어지는 것을 알 수 있습니다. 또한, 원본이 축소되는 방정식은 일반 형식: P(x) = 0으로 작성할 수 있습니다. 여기서 P(x)는 표준 형식의 다항식입니다.

고려된 예는 하나의 변수를 포함하는 전체 방정식이 P(x)=0 형식으로 축소될 수 있다는 일반적인 결론으로 ​​이어집니다. 여기서 P(x)는 차수가 주어진 방정식의 차수인 다항식입니다. 즉, 임의의 정수 방정식의 차수는 P(x)=0 형식의 등가 방정식으로 축소한 후 결정될 수 있으며 다항식 P(x)의 차수와 같습니다.

다음으로, 1차 방정식, 즉 하나의 변수 x, 숫자 a 및 b, a ≠ 0을 사용하여 ax + b = 0 형식으로 축소되는 방정식을 고려합니다. 이 방정식의 근은 x \u003d -b / a 공식으로 구됩니다. 그러한 방정식에는 하나의 근이 있다는 점에 유의하십시오.

또한 a≠0인 동안 변수 x와 일부 숫자 a, b, c를 포함하는 ax 2 +bx+c=0 형식으로 축소되는 2차 방정식의 해를 고려하는 것이 제안되었습니다. 판별식을 계산하여 이 방정식의 근을 찾는 방법이 알려져 있습니다. 화면에는 2차 방정식의 판별식을 찾는 공식이 표시됩니다: D=b 2 -4ac. 판별식의 값에 따라 방정식의 두 근이 있을 수 있습니다(D>0, 하나 - D=0인 경우 또는 근 D가 없음).<0. Напоминается формула для нахождения корней уравнения второй степени при положительном или нулевом дискриминанте: х=(-b+-√D)/2a.

또한 학생들에게는 ax 3 + bx 2 + cx + d=0 및 ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 유형으로 축소되는 3차 및 4차 방정식이 제공됩니다. 이들 방정식 각각에는 하나의 변수 x가 있고, 가장 높은 차수의 계수는 a≠0이고, 나머지 계수는 일부 숫자입니다. 3차 방정식은 3개 이상의 근을 가질 수 없고, 4차 방정식은 4개 이상의 근을 가질 수 없다는 것이 명확해졌습니다. 추가 정보로, 3차 및 4차 방정식의 근을 구하는 공식이 있지만 사용하기 번거롭고 불편하며, 5차 이상의 방정식에는 근을 구하는 공식이 없다는 점을 학생들에게 알려줍니다. 그러나 표현식을 단순화하고 근을 찾을 수 있는 특별한 기술을 사용하여 이러한 방정식을 푸는 것이 때로는 가능합니다.

이 예에서는 근을 찾기 위해 복잡한 공식을 사용하지 않고 방정식의 근을 찾는 방법 중 하나를 보여 주며, 다항식을 인수분해하여 일부 방정식의 해를 구하는 방법을 설명합니다. 방정식 x 3 -27x 2 -x + 27 \u003d 0은 괄호에서 공통 인수(x-27)를 추론하여 인수로 분해됩니다. 변환의 결과로 (x-27)(x-1)(x+1)=0의 곱을 얻습니다. 결과 방정식은 세 방정식 x-27, x-1, x에 대한 해를 찾는 것으로 축소됩니다. +1. 이 방정식에서 근 x 1 \u003d 27, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d -1을 쉽게 찾을 수 있습니다.

다음으로 우리는 높은 수준의 방정식을 푸는 또 다른 방법, 즉 새로운 변수를 도입하는 방법을 고려합니다. 이 방법의 적용은 방정식 (x 2 +x-1)(x 2 +x-4)=-2를 푸는 예에서 설명됩니다. 먼저 방정식의 모든 항이 왼쪽으로 옮겨지고 괄호가 열립니다. 이 변환 후에는 4차 표준 형식의 다항식이 얻어집니다. 그러나 원래 방정식에 동일한 부분 x 2 + x가 있다는 이 방정식의 특성을 알아차린 후 이 표현식을 나타내는 새로운 변수 x 2 + x \u003d y를 도입합니다. 방정식에 새 변수를 대입한 후 (y-1)(y-4)=-2 형식의 방정식을 얻습니다. 방정식을 표준 형식으로 가져온 후 일반 이차 방정식이 얻어지며 그 근은 y 1 \u003d 2, y 2 \u003d 3입니다. 원하는 x의 값을 결정하기 위해 근 y의 값을 표현식에 대입합니다. 방정식의 근을 찾는 것은 두 방정식 x 2 + x \u003d 2 및 x 2 + x \u003d 3을 푸는 것으로 귀결됩니다. 계산 결과, 이 방정식의 근은 x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -2, x 3 ≒1.3, x 4 ≒-2.3입니다. 이 방법은 ax 4 +bx 2 +c=0 형식의 4차 방정식을 푸는 경우가 많습니다. 여기서 x는 변수, a, b, c - 일부 숫자(여기서 a≠0)입니다. 화면에는 ax 4 +bx 2 +c=0ca≠0 형식의 4차 방정식으로 2차 방정식의 정의가 표시됩니다.

새로운 변수를 도입하여 방정식을 풀면서 얻은 지식을 통합하기 위해 2차 방정식 16x 4 -8x 2 +1=0의 해를 고려하는 것이 제안됩니다. 새로운 변수 y=x 2가 도입되었습니다. 도입 후 하나의 근 y \u003d 0.25를 갖는 이차 방정식이 형성됩니다. 정의를 위해 새 변수의 값을 표현식에 대입한 후 방정식 x 1 =0.5 및 x 2 = -0.5의 근을 찾을 수 있습니다.

비디오 강의 "전체 방정식과 그 뿌리"는 이 주제에 대한 자료를 학생들에게 자세하고 명확하게 제시하므로 교사는 학교 수업뿐만 아니라 원격 학습 중에도 사용할 수 있습니다. 주제에 대한 자기 학습.

우리 수업의 모토는 "더 많이 알수록 더 많이 할 수 있다"입니다.
누가 눈치 못 채나
그는 아무것도 공부하지 않습니다.
공부하지 않는 사람
그는 항상 징징대고 지루해합니다.
(시인 R. Sef).

수학적 받아쓰기

방정식을 구두로 풀기:

방정식을 푼다:

전체 방정식과 그 뿌리

수업 목표:

방정식

전체 방정식

10. 방정식의 차수

11. 방정식의 차수는 얼마입니까?

12. 반복

13. 1차 방정식

14. 3차 방정식

15. 방정식을 푼다:

16. 이차방정식을 푼다:

17. 방정식을 푼다:

18. 대응관계를 설정합니다: 방정식 방식.

19. 테스트

20.

21. 숙제: