의학 및 생물학 물리학

강의 1번

파생 및 미분 함수.

부분 파생 상품.

1. 미분의 개념, 기계적, 기하학적 의미.

ㅏ ) 인수 및 함수의 증가입니다.

함수 y=f(x)가 주어지며, 여기서 x는 함수 정의 영역의 인수 값입니다. 함수 정의 영역의 특정 간격에서 인수 x o와 x의 두 값을 선택하면 인수의 두 값 사이의 차이를 인수의 증분이라고 합니다. x - x o = Δx.

인수 x의 값은 x 0과 그 증분을 통해 결정될 수 있습니다: x = x o + Δx.

두 함수 값의 차이를 함수 증분이라고 합니다: Δy =Δf = f(x o +Δx) – f(x o).

인수와 함수의 증가는 그래픽으로 표시될 수 있습니다(그림 1). 인수 증가 및 함수 증가는 양수 또는 음수일 수 있습니다. 그림 1에서 다음과 같이 기하학적으로 인수 Δх의 증가는 가로좌표의 증가로 표시되고, 함수 Δу의 증가는 세로좌표의 증가로 표시됩니다. 함수 증분 계산은 다음 순서로 수행되어야 합니다.

인수에 Δx 증분을 제공하고 값 - x + Δx를 얻습니다.

2) 인수 값 (х+Δх) – f(х+Δх)에 대한 함수 값을 찾습니다.

3) 함수 Δf=f(х + Δх) - f(х)의 증가분을 찾습니다.

예:인수가 x o =1에서 x=3으로 변경된 경우 함수 y=x 2의 증분을 결정합니다. 점 x o의 경우 함수 f (x o) \u003d x² o의 값입니다. 점 (x o +Δx)에 대해 함수 f(x o +Δx) = (x o +Δx) 2 = x² o +2x o Δx+Δx 2, 여기서 Δf = f(x o + Δx)–f(x o) \u003d (x o + Δx) 2 -x² o \u003d x² o + 2x o Δx + Δx 2 -x² o \u003d 2x o Δx + Δx 2; Δf = 2x o Δx+Δx 2 ; Δх = 3–1 = 2; Δf =2·1·2+4 = 8.

비)파생 상품의 개념으로 이어지는 문제. 파생 상품의 정의, 물리적 의미.

특정 프로세스의 속도를 결정해야 할 필요성에 따라 역사적으로 발생한 파생 개념을 도입하려면 인수 및 함수 증가 개념이 필요합니다.

직선 운동의 속도를 어떻게 결정할 수 있는지 생각해 보세요. 법칙에 따라 몸을 직선으로 움직이게 하세요: ΔS= ·Δt. 등속 운동의 경우:= ΔS/Δt.

교번 동작의 경우 ΔЅ/Δt 값이  평균 값을 결정합니다. , 즉  평균 =ΔS/Δt 그러나 평균 속도로는 신체 움직임의 특징을 반영하고 시간 t에서의 실제 속도에 대한 아이디어를 제공할 수 없습니다. 기간이 감소하는 경우, 즉 Δt→0에서 평균 속도는 한계에 도달하는 경향이 있습니다. 즉 순간 속도는 다음과 같습니다.

 즉시 =
 평균. =
ΔS/Δt.

화학 반응의 순간 속도는 같은 방식으로 결정됩니다.

 즉시 =
 평균. =
Δх/Δt,

여기서 x는 시간 t 동안 화학 반응 중에 형성된 물질의 양입니다. 다양한 프로세스의 속도를 결정하는 유사한 작업으로 인해 함수 도함수 개념이 수학에 도입되었습니다.

구간 ]a,b[및 그 증분 Δf=f(x+Δx)–f(x)로 정의된 연속 함수 f(x)가 주어집니다.
는 Δx의 함수이며 함수의 평균 변화율을 나타냅니다.

비율 제한 , 이 극한이 존재한다면 Δx→0일 때 이를 함수의 도함수라고 합니다. :

y" x =

.

미분은 다음과 같이 표시됩니다.
– (X에 의한 Ygree 스트로크), f " (x) – (x의 소수) ; y" – (그리스어 스트로크); dy/dх – (de x의 de igrek); -(점이 있는 그리스어)

미분의 정의에 기초하여 직선 운동의 순간 속도는 경로의 시간 미분이라고 말할 수 있습니다.

 즉시 = S" t = f " (티).

따라서 인수 x에 대한 함수의 도함수는 함수 f(x)의 순간 변화율이라고 결론을 내릴 수 있습니다.

y" x =f " (x)= 즉시.

이것이 파생어의 물리적 의미입니다. 도함수를 구하는 과정을 미분이라고 하므로 '함수를 미분하다'라는 표현은 '함수의 도함수를 구한다'라는 표현과 동일합니다.

V)파생어의 기하학적 의미.

피
함수 y = f(x)의 도함수는 어떤 점 M에서 곡선에 대한 접선 개념과 관련된 단순한 기하학적 의미를 갖습니다. 동시에, 접선, 즉 직선은 분석적으로 y = kx = tan· x로 표현됩니다. 여기서 – X 축에 대한 접선(직선)의 경사각 연속 곡선을 함수 y = f(x)로 상상하고 곡선 위의 점 M1과 이에 가까운 점 M1을 취하고 할선을 그립니다. 그들을 통해. sec에 대한 기울기 =tg β = .점 M 1을 M에 더 가깝게 가져오면 인수 Δx가 증가합니다. 는 0이 되는 경향이 있고 β=α의 시컨트는 접선 위치를 차지합니다. 그림 2에서 다음과 같습니다: tgα =
tgβ =
=y" x. 그러나 tgα는 함수 그래프에 대한 접선의 기울기와 같습니다.

k = tgα =
=y" x = f " (엑스). 따라서 주어진 지점에서 함수 그래프에 대한 접선의 각도 계수는 접선 지점에서의 미분 값과 같습니다. 이것이 도함수의 기하학적 의미입니다.

G)도함수를 찾는 일반 규칙.

미분의 정의를 바탕으로 함수를 미분하는 과정은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

f(x+Δx) = f(x)+Δf;

함수의 증분을 구합니다: Δf= f(x + Δx) - f(x);

인수 증가에 대한 함수 증가의 비율을 형성합니다.

;

예:에프(엑스)=엑스 2 ; 에프 " (x)=?.

그러나 이 간단한 예에서도 알 수 있듯이 파생 상품을 추출할 때 지정된 시퀀스를 사용하는 것은 노동 집약적이고 복잡한 프로세스입니다. 따라서 다양한 함수에 대하여 일반적인 미분식을 도입하는데, 이를 “함수 미분의 기본식”이라는 표 형태로 제시하고 있다.

좌표평면에서 xOy함수의 그래프를 고려하십시오 y=f(x). 요점을 고치자 남(x0;f(x0)). 가로좌표를 추가해 보겠습니다. x 0증가 Δх. 우리는 새로운 가로좌표를 얻을 것입니다 x 0 +Δx. 이것이 포인트의 가로좌표이다 N, 그리고 세로 좌표는 동일합니다 f(x 0 +Δx). 가로좌표의 변화는 세로좌표의 변화를 수반했습니다. 이 변화를 함수 증분이라고 하며 다음과 같이 표시됩니다. Δy.

Δy=f(x0 +Δx) - f(x0).점을 통해 중그리고 N시컨트를 그리자 미네소타, 각도를 형성하는 φ 양의 축 방향 오. 각도의 탄젠트를 결정합시다 φ 직각 삼각형에서 MPN.

허락하다 Δх 0이 되는 경향이 있습니다. 그런 다음 시컨트 미네소타접선 위치를 취하는 경향이 있습니다 산, 및 각도 φ 코너가 될 거야 α . 그래서 각도의 탄젠트는 α 각도 탄젠트의 제한 값입니다. φ :

인수 증가에 대한 함수 증가 비율의 한계(후자가 0이 되는 경향이 있을 때)를 주어진 지점에서 함수의 미분이라고 합니다.

미분의 기하학적 의미 주어진 점에서 함수의 수치 도함수는 이 점을 통해 주어진 곡선과 축의 양의 방향으로 그려진 접선에 의해 형성된 각도의 접선과 동일하다는 사실에 있습니다 오:

예.

1. 인수의 증가분과 함수 y=의 증가분을 구합니다. x 2, 인수의 초기 값이 다음과 같은 경우 4 , 그리고 새로운 4,01 .

해결책.

새 인수 값 x \u003d x 0 + Δx. 데이터를 4.01=4+Δх로 대체해 보겠습니다. 따라서 인수가 증가합니다. Δх=4.01-4=0.01. 정의에 따라 함수의 증가는 함수의 새 값과 이전 값의 차이와 같습니다. Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). 기능이 있기 때문에 y=x2, 저것 Δу\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

답변: 인수 증가 Δх=0.01; 기능 증가 Δу=0,0801.

함수 증분은 다르게 찾을 수 있습니다. Δy=y(x0 +Δx) -y(x0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.

2. 함수 그래프에 대한 접선의 경사각을 구합니다. y=f(x)그 시점에 x 0, 만약에 f "(x 0) = 1.

해결책.

접선점에서의 도함수 값 x 0접선 각도의 접선 값(미분의 기하학적 의미)입니다. 우리는: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °,왜냐하면 tg45°=1.

답변: 이 함수의 그래프에 대한 접선은 Ox 축의 양의 방향과 동일한 각도를 형성합니다. 45°.

3. 함수의 미분 공식을 도출하세요. y=xn.

분화함수의 도함수를 찾는 작업입니다.

도함수를 찾을 때 도함수 공식을 도출한 것과 같은 방식으로 도함수 정의를 기반으로 도출된 공식을 사용하세요. (xn)" = nxn-1.

공식은 다음과 같습니다.

파생 테이블구두 공식을 발음하면 암기하기가 더 쉬울 것입니다.

1. 일정한 수량의 미분은 0입니다.

2. X 스트로크는 1과 같습니다.

3. 상수 인자는 도함수의 부호에서 빼낼 수 있습니다.

4. 도함수는 이 도의 지수와 동일한 밑수를 곱한 것과 동일하지만 지수는 1이 적습니다.

5. 근의 도함수는 하나를 두 개의 동일한 근으로 나눈 것과 같습니다.

6. 1을 x로 나눈 값은 마이너스 1을 x 제곱으로 나눈 값과 같습니다.

7. 사인의 미분은 코사인과 같습니다.

8. 코사인의 미분은 마이너스 사인과 같습니다.

9. 탄젠트의 미분은 1을 코사인의 제곱으로 나눈 것과 같습니다.

10. 코탄젠트의 미분은 마이너스 1을 사인의 제곱으로 나눈 값과 같습니다.

우리는 가르친다 차별화 규칙.

1. 대수적 합의 미분은 항의 미분의 대수적 합과 같습니다.

2. 곱의 도함수는 첫 번째 인자와 두 번째 인자의 도함수 곱에 첫 번째 인자와 두 번째 인자의 도함수의 곱을 더한 것과 같습니다.

3. "y"를 "ve"로 나눈 도함수는 분자가 "y 프라임 곱하기 "ve" 빼기 "y 곱하기 ve 소수"이고 분모가 "ve 제곱"인 분수와 같습니다.

4. 공식의 특별한 경우 3.

함께 배워봅시다!

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허락하다 엑스– 인수(독립변수); y=y(x)- 기능.

고정된 인수 값을 취하자 x=x 0 함수의 값을 계산합니다. 와이 0 =y(x 0 ) . 이제 임의로 설정해보자 증가 (변경) 인수를 표시하고  엑스 ( 엑스어떤 부호라도 될 수 있습니다.)

증분 인수는 점입니다. 엑스 0 +  엑스. 여기에 함수 값도 포함되어 있다고 가정해 보겠습니다. y=y(x 0 +  엑스)(그림 참조).

따라서 인수 값이 임의로 변경되면 함수가 변경됩니다. 증가 기능 값:

임의적이지 않고 함수 유형과 값에 따라 다릅니다.
.

인수 및 함수 증분은 다음과 같습니다. 결정적인, 즉. 상수로 표현되며, 이 경우 유한 차분이라고도 합니다.

경제학에서는 유한 증분을 자주 고려합니다. 예를 들어, 표는 특정 주의 철도 네트워크 길이에 대한 데이터를 보여줍니다. 당연히 네트워크 길이 증가분은 다음 값에서 이전 값을 빼서 계산됩니다.

우리는 철도 네트워크의 길이를 함수로 간주할 것이며 그 인수는 시간(년)이 될 것입니다.

그 자체로 함수의 증가(이 경우 철도 네트워크의 길이)는 함수의 변화를 제대로 특성화하지 못합니다. 우리의 예에서는 2,5>0,9 네트워크가 더 빠르게 성장했다고 결론 내릴 수는 없습니다. 2000-2003 년보다 2004 g., 왜냐하면 증가분 2,5 3년의 기간을 의미하며, 0,9 - 딱 1년 만에요. 그러므로 함수의 증가가 인수의 단위 변화로 이어지는 것은 매우 자연스러운 일입니다. 여기서 인수의 증가는 마침표입니다. 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

우리는 경제 문헌에서 말하는 것을 얻습니다. 연평균 성장.

1씩 다른 인수 값에 대해 함수 값을 취하는 경우 증분을 인수 변경 단위로 캐스팅하는 작업을 피할 수 있는데, 이는 항상 가능한 것은 아닙니다.

수학적 분석, 특히 미분 계산에서는 인수와 함수의 무한소(IM) 증분이 고려됩니다.

하나의 변수에 대한 함수의 미분(미분 및 미분) 함수의 미분

한 지점에서 인수와 함수의 증가 엑스 0 비교할 수 있는 극소량으로 간주될 수 있습니다(주제 4, BM 비교 참조). 같은 순서의 BM입니다.

그러면 그 비율은 유한한 한계를 갖게 되며, 이는 t에서 함수의 도함수로 정의됩니다. 엑스 0 .

한 지점에서 인수의 BM 증분에 대한 함수 증분의 비율 제한 x=x 0 ~라고 불리는 유도체 이 시점에서 기능합니다.

획(또는 오히려 로마 숫자 I)이 있는 파생 상품의 상징적 지정은 뉴턴에 의해 도입되었습니다. 도함수가 계산되는 변수를 표시하는 아래 첨자를 사용할 수도 있습니다. 예를 들어 다음과 같습니다. . 도함수 미적분학의 창시자인 독일 수학자 라이프니츠(Leibniz)가 제안한 또 다른 표기법도 널리 사용됩니다.
. 섹션에서 이 명칭의 유래에 대해 자세히 알아볼 것입니다. 함수 미분과 인수 미분.

이 숫자는 평가합니다 속도한 점을 지나는 함수의 변화
.

설치하자 기하학적 의미한 지점에서 함수의 미분. 이를 위해 함수를 플롯합니다. y=y(x)변화를 결정하는 지점을 그 위에 표시하십시오. 와이(엑스)그 사이에

한 점에서 함수 그래프에 접함 중 0
우리는 시컨트의 제한적인 위치를 고려할 것입니다 중 0 중~을 고려하면
(점 중함수 그래프를 따라 한 점으로 슬라이드됩니다. 중 0 ).

고려하다
. 확실히,
.

요점이라면 중함수 그래프를 따라 점을 향해 직접 이동 중 0 , 그 다음 값
우리가 표시하는 특정 한계에 도달하는 경향이 있습니다.
. 여기서.

각도 제한  함수 그래프에 그려진 접선의 경사각과 일치합니다. 중 0 , 그래서 파생물
수치적으로는 다음과 같다 접선 경사 지정된 지점에서.

-

한 점에서 함수 미분의 기하학적 의미.

따라서 우리는 접선 방정식과 정규 방정식을 작성할 수 있습니다( 정상 - 이것은 어떤 지점에서 함수의 그래프에 대한 접선에 수직인 직선입니다. 엑스 0 :

탄젠트 - .

정상 -
.

흥미로운 것은 이러한 선이 수평 또는 수직으로 위치하는 경우입니다(주제 3, 평면에서 선 위치의 특별한 경우 참조). 그 다음에,

만약에
;

만약에
.

파생상품의 정의는 다음과 같습니다. 분화 기능.

 해당 지점의 기능인 경우 엑스 0 유한한 도함수가 있는 경우 이를 호출합니다. 미분가능한이 지점에서. 특정 구간의 모든 점에서 미분 가능한 함수를 이 구간에서 미분 가능한 함수라고 합니다.

 정리 . 기능의 경우 y=y(x)포함하여 미분 가능 엑스 0 , 그러면 이 시점에서 연속입니다.

따라서, 연속성- 함수의 미분성을 위한 필요(그러나 충분하지는 않은) 조건.

첫 번째 수준

함수의 파생물입니다. 얼티밋 가이드 (2019)

언덕이 많은 지역을 통과하는 직선 도로를 상상해 봅시다. 즉, 위아래로 움직이지만 오른쪽이나 왼쪽으로 돌아가지는 않습니다. 축이 도로를 따라 수평으로 향하고 수직으로 향하면 도로 선은 일부 연속 함수의 그래프와 매우 유사합니다.

축은 높이가 0인 특정 수준이며, 생활에서는 해수면을 그대로 사용합니다.

우리는 그러한 길을 따라 앞으로 나아가면서 위아래로 움직이기도 합니다. 인수가 변경되면(가로 축을 따라 이동) 함수 값도 변경됩니다(세로 축을 따라 이동)라고 말할 수도 있습니다. 이제 우리 도로의 "가파름"을 결정하는 방법에 대해 생각해 봅시다. 이것은 어떤 종류의 가치가 될 수 있습니까? 매우 간단합니다. 특정 거리를 앞으로 이동할 때 높이가 얼마나 변할까요? 실제로 도로의 다른 구간에서 1km 앞으로 이동하면(세로 좌표를 따라) 해수면을 기준으로 다른 미터 수만큼 오르거나 내릴 것입니다.

진행 상황을 표시해 보겠습니다(“델타 x” 읽기).

그리스 문자(델타)는 수학에서 "변화"를 의미하는 접두사로 흔히 사용됩니다. 즉, 이것은 수량의 변화입니다. - 변화입니다. 그럼 뭔데요? 맞습니다, 규모의 변화입니다.

중요: 표현식은 하나의 전체, 하나의 변수입니다. “델타”를 “x” 또는 다른 문자와 분리하지 마십시오! 즉, 예를 들어 .

그래서 우리는 수평적으로 앞으로 나아갔습니다. 도로의 선을 함수 그래프와 비교하면 상승을 어떻게 표시합니까? 틀림없이, . 즉, 앞으로 나아갈수록 우리는 더 높이 올라갑니다.

값을 계산하는 것은 쉽습니다. 처음에 키가 크고 이동한 후에 높이에 있었다면 다음과 같습니다. 끝점이 시작점보다 낮은 것으로 판명되면 음수가 됩니다. 이는 우리가 오름차순이 아니라 내림차순임을 의미합니다.

"가파름"으로 돌아가서: 이것은 단위 거리당 앞으로 이동할 때 높이가 얼마나 (가파르게) 증가하는지를 나타내는 값입니다.

도로의 어떤 구간에서 1km 앞으로 나아갈 때 도로가 1km 올라간다고 가정해 보겠습니다. 그러면 이 곳의 경사는 같습니다. 그리고 도로가 m 단위로 전진하다가 km 단위로 떨어진다면? 그러면 기울기가 동일해집니다.

이제 언덕 꼭대기를 살펴보겠습니다. 정상 0.5km 전 구간의 시작 부분과 정상 뒤 0.5km 구간의 끝 부분을 비교해 보면 높이가 거의 같다는 것을 알 수 있습니다.

즉, 우리 논리에 따르면 여기의 기울기는 거의 0과 같으며 이는 분명히 사실이 아닙니다. 킬로미터만 지나면 많은 것이 바뀔 수 있습니다. 경사도를 보다 적절하고 정확하게 평가하려면 더 작은 영역을 고려해야 합니다. 예를 들어, 1미터를 이동할 때 높이의 변화를 측정하면 결과가 훨씬 더 정확해집니다. 그러나 이 정확도조차도 우리에게는 충분하지 않을 수 있습니다. 결국 도로 중앙에 기둥이 있으면 간단히 지나갈 수 있습니다. 그렇다면 우리는 어떤 거리를 선택해야 할까요? 센티미터? 밀리미터? 적을수록 좋습니다!

실제 생활에서는 밀리미터 단위까지 거리를 측정하는 것만으로도 충분합니다. 하지만 수학자들은 언제나 완벽함을 추구합니다. 그래서 컨셉이 탄생한거임 극소의즉, 절대값은 우리가 명명할 수 있는 어떤 숫자보다 작습니다. 예를 들어, 1조분의 1이라고 말합니다. 얼마나 적습니까? 그리고 이 숫자를 -로 나누면 훨씬 작아집니다. 등등. 양이 무한하다고 쓰고 싶다면 다음과 같이 씁니다: (“x는 0이 되는 경향이 있습니다”라고 읽습니다). 이해하는 것이 매우 중요합니다. 이 숫자는 0이 아닙니다!하지만 아주 가깝습니다. 즉, 나누어서 쓸 수 있다는 뜻입니다.

무한소의 반대 개념은 무한히 크다(). 부등식을 연구할 때 이미 이 숫자를 접했을 것입니다. 이 숫자는 당신이 생각할 수 있는 어떤 숫자보다 모듈로 더 큽니다. 가능한 가장 큰 숫자가 생각나면 그 숫자에 2를 곱하면 더 큰 숫자가 나옵니다. 그리고 무한대는 일어나는 일보다 훨씬 더 큽니다. 사실, 무한히 큰 것과 무한히 작은 것은 서로 반대입니다. 즉, at이고 그 반대도 마찬가지입니다.

이제 우리의 길로 돌아가자. 이상적으로 계산된 경사는 경로의 극소 세그먼트에 대해 계산된 경사입니다. 즉,

변위가 무한하면 높이 변화도 극소화됩니다. 그러나 무한소가 0과 같다는 의미는 아니라는 점을 상기시켜 드리겠습니다. 극소수를 서로 나누면, 예를 들어 와 같이 완전히 평범한 숫자를 얻을 수 있습니다. 즉, 하나의 작은 값은 다른 값의 정확히 두 배일 수 있습니다.

이게 다 뭐죠? 길, 가파른... 우리는 집회에 가는 것이 아니라 수학을 배우고 있습니다. 그리고 수학에서는 모든 것이 정확히 동일하며 다르게 호출됩니다.

파생상품의 개념

함수의 도함수는 인수의 극소 증가에 대한 인수 증가에 대한 함수 증가의 비율입니다.

증분적으로수학에서는 변화를 변화라고 합니다. 축을 따라 이동할 때 인수()가 얼마나 변경되었는지를 호출합니다. 인수 증가축을 따라 거리만큼 전진할 때 함수(높이)가 얼마나 변했는지를 말합니다. 기능 증가그리고 지정됩니다.

따라서 함수의 미분은 언제에 대한 비율입니다. 함수와 동일한 문자로 도함수를 표시하고 오른쪽 상단에 소수만 표시합니다. 따라서 다음 표기법을 사용하여 미분 공식을 작성해 보겠습니다.

도로에 비유하듯이 여기서 함수가 증가하면 미분은 양수이고, 감소하면 음수입니다.

도함수가 0이 될 수 있나요? 틀림없이. 예를 들어 평평한 수평 도로를 운전하는 경우 경사도는 0입니다. 그리고 높이는 전혀 변하지 않는 것이 사실입니다. 도함수도 마찬가지입니다. 상수 함수(상수)의 도함수는 0과 같습니다.

그러한 함수의 증가는 어떤 경우에도 0과 같기 때문입니다.

언덕 위의 예를 기억해 봅시다. 끝의 높이가 동일해지는 방식, 즉 세그먼트가 축과 평행하도록 정점의 반대쪽에 세그먼트의 끝을 배열하는 것이 가능하다는 것이 밝혀졌습니다.

그러나 큰 부분은 측정이 부정확하다는 신호입니다. 세그먼트를 자체 평행하게 올리면 길이가 줄어듭니다.

결국 우리가 꼭대기에 무한히 가까워지면 세그먼트의 길이는 극소화됩니다. 그러나 동시에 축과 평행을 유지했습니다. 즉, 끝 부분의 높이 차이는 0과 같습니다 (경향은 없지만 같음). 그래서 파생어는

이것은 다음과 같이 이해될 수 있습니다. 우리가 맨 꼭대기에 서 있을 때 왼쪽이나 오른쪽으로 조금만 이동해도 높이가 무시할 만큼 변경됩니다.

순전히 대수적인 설명도 있습니다. 정점의 왼쪽에서는 함수가 증가하고 오른쪽에서는 감소합니다. 앞서 알아봤듯이, 함수가 증가하면 도함수는 양수이고, 감소하면 음수입니다. 그러나 점프없이 부드럽게 변합니다 (도로의 경사가 어디에서나 급격하게 변하지 않기 때문입니다). 따라서 음수 값과 양수 값 사이에 있어야 합니다. 정점에서 함수가 증가하지도 감소하지도 않는 곳이 됩니다.

최저점(왼쪽의 함수가 감소하고 오른쪽의 함수가 증가하는 영역)의 경우에도 마찬가지입니다.

증분에 대해 조금 더 자세히 설명합니다.

그래서 우리는 인수를 크기로 변경합니다. 우리는 어떤 가치로부터 변화하는가? 그 사람(인수)은 이제 어떻게 되었나요? 우리는 어느 지점이든 선택할 수 있으며 이제 그 지점에서 춤을 출 것입니다.

좌표가 있는 점을 생각해 보세요. 그 안에 있는 함수의 값은 동일합니다. 그런 다음 동일한 증분을 수행합니다. 좌표를 증가시킵니다. 지금 논쟁은 무엇입니까? 아주 쉽게: . 지금 함수의 가치는 얼마인가? 인수가 가는 곳에 함수도 있습니다: . 기능 증가는 어떻습니까? 새로운 것은 없습니다. 이는 여전히 함수가 변경된 양입니다.

증분 찾기를 연습하세요.

1. 인수의 증분이 다음과 같은 지점에서 함수의 증분을 구합니다.
2. 한 지점의 기능도 마찬가지입니다.

솔루션:

동일한 인수 증분이 있는 서로 다른 지점에서 함수 증분은 달라집니다. 이는 각 지점의 도함수가 다르다는 것을 의미합니다(우리는 맨 처음에 이에 대해 논의했습니다. 도로의 가파른 정도는 지점마다 다릅니다). 따라서 도함수를 작성할 때 다음과 같은 지점을 표시해야 합니다.

전원 기능.

거듭제곱 함수는 인수가 어느 정도(논리적이죠?)인 함수입니다.

게다가 - 어느 정도까지: .

가장 간단한 경우는 지수가 다음과 같은 경우입니다.

한 지점에서 그 파생물을 찾아봅시다. 파생상품의 정의를 떠올려보겠습니다.

따라서 인수는 에서 로 변경됩니다. 함수의 증가는 무엇입니까?

증분은 이렇습니다. 그러나 어떤 지점에서든 함수는 인수와 동일합니다. 그 이유는 다음과 같습니다.

파생 상품은 다음과 같습니다.

의 미분은 다음과 같습니다:

b) 이제 이차 함수()를 고려하십시오.

이제 그것을 기억해 봅시다. 이는 증가분의 값이 무시될 수 있음을 의미합니다. 왜냐하면 이는 무한소이고 따라서 다른 용어의 배경에 비해 중요하지 않기 때문입니다.

그래서 우리는 또 다른 규칙을 생각해냈습니다.

c) 우리는 논리 시리즈를 계속합니다: .

이 표현식은 다양한 방법으로 단순화될 수 있습니다. 합의 세제곱의 약식 곱셈 공식을 사용하여 첫 번째 괄호를 열거나 세제곱의 차이 공식을 사용하여 전체 표현식을 인수분해합니다. 제안된 방법 중 하나를 사용하여 직접 시도해 보세요.

그래서 나는 다음을 얻었습니다.

그리고 다시 한번 기억해 봅시다. 이는 다음을 포함하는 모든 용어를 무시할 수 있음을 의미합니다.

우리는 다음을 얻습니다: .

d) 큰 권력에 대해서도 비슷한 규칙을 얻을 수 있습니다.

e) 이 규칙은 정수가 아닌 임의의 지수를 갖는 거듭제곱 함수에 대해 일반화될 수 있는 것으로 나타났습니다.

규칙은 다음과 같이 공식화할 수 있습니다. "차수는 계수로 제시된 다음 로 감소됩니다."

우리는 이 규칙을 나중에 (거의 마지막에) 증명할 것입니다. 이제 몇 가지 예를 살펴보겠습니다. 함수의 도함수를 찾으세요:

1. (두 가지 방법: 공식을 사용하고 미분 정의를 사용하여 - 함수의 증분을 계산하여)

1. . 믿거나 말거나, 이것은 거듭제곱 함수입니다. “이건 어때요?”와 같은 질문이 있는 경우 학위는 어디에 있습니까?”, “”라는 주제를 기억하십시오!
   예, 예, 루트도 도이며 분수입니다: .
   따라서 우리의 제곱근은 단지 지수를 갖는 거듭제곱입니다:
   .
   최근에 배운 공식을 사용하여 파생 상품을 찾습니다.

   이 시점에서 다시 불분명해지면 “”!!!라는 주제를 반복하세요. (부정적인 지표가 있는 정도)

2. . 이제 지수는 다음과 같습니다.

   이제 정의를 통해 (아직 잊으셨나요?):
   ;
   .
   이제 평소와 같이 다음을 포함하는 용어를 무시합니다.
   .

3. . 이전 사례의 조합: .

삼각 함수.

여기서 우리는 고등 수학에서 얻은 한 가지 사실을 사용할 것입니다.

표현력으로.

교육 기관의 첫 해에 증명을 배우게 됩니다(그리고 거기에 도달하려면 통합 상태 시험에 잘 통과해야 합니다). 이제 그래픽으로 보여드리겠습니다.

함수가 존재하지 않으면 그래프의 점이 잘려지는 것을 볼 수 있습니다. 하지만 값에 가까울수록 기능도 가까워지는 것이 바로 '목표'입니다.

또한 계산기를 사용하여 이 규칙을 확인할 수도 있습니다. 예, 예, 부끄러워하지 말고 계산기를 사용하세요. 아직 통합 상태 시험이 아닙니다.

자, 시도해 봅시다: ;

계산기를 라디안 모드로 전환하는 것을 잊지 마세요!

등. 비율이 작을수록 비율 값이 더 가까워지는 것을 알 수 있습니다.

a) 기능을 고려하십시오. 평소처럼 증가분을 찾아보겠습니다.

사인의 차이를 곱으로 바꿔보겠습니다. 이를 위해 우리는 공식을 사용합니다 (주제 ""를 기억하십시오): .

이제 파생물은 다음과 같습니다.

교체를 해보자: . 그런 다음 무한소의 경우에도 무한소입니다. 에 대한 표현식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

이제 우리는 그 표현을 통해 그것을 기억합니다. 그리고 또한 합(즉, at)에서 극미량의 양을 무시할 수 있다면 어떨까요?

따라서 우리는 다음과 같은 규칙을 얻습니다. 사인의 미분은 코사인과 같습니다:

이는 기본(“표 형식”) 파생 상품입니다. 여기 하나의 목록에 있습니다:

나중에 몇 가지를 더 추가할 예정이지만 가장 자주 사용되기 때문에 이것이 가장 중요합니다.

관행:

1. 한 지점에서 함수의 도함수를 찾습니다.
2. 함수의 미분을 찾아보세요.

솔루션:

1. 먼저 일반적인 형태의 도함수를 찾은 다음 그 값을 대신 대체합니다.
   ;
   .
2. 여기에는 거듭제곱 함수와 비슷한 것이 있습니다. 그녀를 데려오도록 노력하자
   일반 보기:
   .
   좋습니다. 이제 다음 공식을 사용할 수 있습니다.
   .
   .
3. . 에에에에에…..이게 뭐죠????

좋아요, 당신 말이 맞아요. 우리는 아직 그러한 파생 상품을 찾는 방법을 모릅니다. 여기에는 여러 유형의 기능이 조합되어 있습니다. 그들과 함께 일하려면 몇 가지 규칙을 더 배워야 합니다.

지수와 자연로그.

수학에는 임의의 값에 대한 도함수가 동시에 함수 자체의 값과 동일한 함수가 있습니다. 지수(exponential)라고 하며 지수함수이다.

이 함수의 기본(상수)은 무한 소수, 즉 무리수(예:)입니다. 이를 "오일러 수"라고 부르므로 문자로 표시됩니다.

따라서 규칙은 다음과 같습니다.

기억하기 매우 쉽습니다.

글쎄, 우리는 멀리 가지 않을 것이며 즉시 역함수를 고려할 것입니다. 지수 함수의 역함수는 무엇입니까? 로그:

우리의 경우 기본은 숫자입니다.

이러한 로그(즉 밑이 있는 로그)를 "자연" 로그라고 하며 우리는 이에 대해 특별한 표기법을 사용합니다. 대신 씁니다.

그것은 무엇과 같습니까? 물론, .

자연로그의 미분도 매우 간단합니다.

예:

1. 함수의 미분을 찾아보세요.
2. 함수의 미분은 무엇입니까?

답변: 지수와 자연로그는 도함수 측면에서 매우 단순한 함수입니다. 다른 밑수를 사용하는 지수 함수와 로그 함수는 서로 다른 도함수를 갖게 되며, 이를 미분 규칙을 살펴본 후 나중에 분석하겠습니다.

차별화 규칙

무슨 규칙이요? 또 새로운 용어가 또?!...

분화파생상품을 찾는 과정입니다.

그게 다야. 이 과정을 한 단어로 뭐라고 부를 수 있을까요? 미분 아님... 수학자들은 미분을 함수의 동일한 증분이라고 부릅니다. 이 용어는 라틴어 Differentia(차이)에서 유래되었습니다. 여기.

이러한 모든 규칙을 도출할 때 예를 들어 and와 같은 두 가지 기능을 사용합니다. 또한 증분에 대한 수식이 필요합니다.

총 5가지 규칙이 있습니다.

상수는 도함수 기호에서 제외됩니다.

만약 - 어떤 상수(상수)라면.

분명히 이 규칙은 차이점에도 적용됩니다.

그것을 증명해 봅시다. 그대로 두거나 더 간단하게 하세요.

예.

함수의 도함수를 찾습니다:

1. 어느 시점에서;
2. 어느 시점에서;
3. 어느 시점에서;
4. 그 시점에.

솔루션:

1. (도함수는 선형 함수이기 때문에 모든 점에서 동일합니다. 기억하시나요?)

제품의 파생물

여기에서는 모든 것이 비슷합니다. 새로운 함수를 도입하고 그 증가분을 찾아보겠습니다.

유도체:

예:

1. 함수의 파생물을 찾아보세요.
2. 한 점에서 함수의 도함수를 구합니다.

솔루션:

지수 함수의 파생

이제 당신의 지식은 지수뿐만 아니라 모든 지수 함수의 도함수를 찾는 방법을 배우기에 충분합니다. (아직 잊어버렸나요?)

그렇다면 어떤 숫자는 어디에 있습니까?

우리는 이미 함수의 도함수를 알고 있으므로 함수를 새로운 기반으로 줄여보겠습니다.

이를 위해 간단한 규칙을 사용합니다: . 그 다음에:

글쎄, 그것은 효과가 있었다. 이제 도함수를 구해 보세요. 이 함수가 복잡하다는 사실을 잊지 마세요.

일어난?

여기에서 직접 확인해 보세요.

공식은 지수의 미분과 매우 유사한 것으로 밝혀졌습니다. 그대로 유지되었으며 변수가 아닌 숫자일 뿐인 요소만 나타났습니다.

예:
함수의 도함수를 찾습니다:

답변:

이것은 계산기 없이는 계산할 수 없는 숫자일 뿐입니다. 즉, 더 간단한 형식으로 적을 수 없습니다. 그러므로 답변에는 이런 형태로 남겨둡니다.

로그 함수의 파생

여기에서도 비슷합니다. 여러분은 이미 자연 로그의 미분을 알고 있습니다.

따라서 밑이 다른 임의의 로그를 찾으려면 다음과 같이 하십시오.

우리는 이 로그를 밑수로 줄여야 합니다. 로그의 밑을 어떻게 바꾸나요? 다음 공식을 기억하시기 바랍니다.

이제 대신 다음과 같이 작성하겠습니다.

분모는 단순히 상수(변수가 없는 상수)입니다. 파생 상품은 매우 간단하게 얻습니다.

지수 함수와 로그 함수의 도함수는 통합 상태 시험(Unified State Examination)에서 거의 발견되지 않지만 이를 아는 것이 불필요한 것은 아닙니다.

복잡한 함수의 파생물입니다.

"복잡한 기능"이란 무엇입니까? 아니요, 이것은 로그도 아니고 아크탄젠트도 아닙니다. 이러한 함수는 이해하기 어려울 수 있습니다(로그가 어렵다고 생각되면 "로그" 주제를 읽으면 괜찮을 것입니다). 그러나 수학적 관점에서 "복소수"라는 단어는 "어려움"을 의미하지 않습니다.

작은 컨베이어 벨트를 상상해 보십시오. 두 사람이 앉아서 어떤 물건을 가지고 어떤 행동을 하고 있습니다. 예를 들어, 첫 번째는 초콜릿 바를 포장지로 감싸고, 두 번째는 리본으로 묶습니다. 그 결과는 리본으로 포장되고 묶인 초콜릿 바인 복합 개체입니다. 초콜릿 바를 먹으려면 반대 단계를 역순으로 수행해야 합니다.

유사한 수학적 파이프라인을 만들어 보겠습니다. 먼저 숫자의 코사인을 찾은 다음 결과 숫자를 제곱합니다. 그래서 우리에게 숫자(초콜릿)가 주어지고, 나는 그것의 코사인(포장지)을 찾은 다음, 내가 얻은 것을 제곱합니다(리본으로 묶습니다). 무슨 일이에요? 기능. 이것은 복잡한 함수의 예입니다. 값을 찾기 위해 변수를 사용하여 직접 첫 번째 작업을 수행한 다음 첫 번째 결과로 두 번째 작업을 수행합니다.

동일한 단계를 역순으로 쉽게 수행할 수 있습니다. 먼저 제곱을 한 다음 결과 숫자의 코사인을 찾습니다. 결과가 거의 항상 다를 것이라고 추측하기 쉽습니다. 복잡한 기능의 중요한 특징: 작업 순서가 변경되면 기능도 변경됩니다.

다시 말해서, 복잡한 함수는 인수가 다른 함수인 함수입니다.: .

첫 번째 예에서는 .

두 번째 예: (같은 것). .

우리가 마지막으로 수행하는 작업이 호출됩니다. "외부" 기능, 그리고 먼저 수행된 작업 - 그에 따라 "내부" 기능(비공식적인 이름입니다. 자료를 간단한 언어로 설명하기 위해서만 사용합니다.)

어떤 기능이 외부 기능이고 어떤 기능이 내부 기능인지 스스로 결정해 보세요.

답변:내부 함수와 외부 함수를 분리하는 것은 변수를 변경하는 것과 매우 유사합니다. 예를 들어 함수에서

1. 우리는 어떤 행동을 먼저 수행할 것인가? 먼저 사인을 계산한 다음 이를 세제곱해 봅시다. 이는 내부 기능이지만 외부 기능임을 의미합니다.
   그리고 원래 기능은 구성입니다.
2. 내부: ; 외부: .
   시험: .
3. 내부: ; 외부: .
   시험: .
4. 내부: ; 외부: .
   시험: .
5. 내부: ; 외부: .
   시험: .

변수를 변경하고 함수를 얻습니다.

자, 이제 초콜릿 바를 추출하고 파생 상품을 찾아보겠습니다. 절차는 항상 반대입니다. 먼저 외부 함수의 도함수를 찾은 다음 결과에 내부 함수의 도함수를 곱합니다. 원래 예와 관련하여 다음과 같습니다.

다른 예시:

이제 공식 규칙을 공식화해 보겠습니다.

복잡한 함수의 도함수를 찾는 알고리즘:

모든 것이 간단해 보이죠?

예를 들어 확인해 보겠습니다.

솔루션:

1) 내부: ;

외부: ;

2) 내부: ;

(지금쯤 잘라내려고 하지 마세요! 코사인 아래에서는 아무 것도 나오지 않습니다. 기억하시나요?)

3) 내부: ;

외부: ;

이것이 3단계 복합 함수라는 것이 즉시 분명해집니다. 결국 이것은 그 자체로 이미 복잡한 함수이고 여기서 루트도 추출합니다. 즉, 세 번째 작업을 수행합니다(초콜릿을 포장지와 서류 가방에 리본 포함). 하지만 두려워할 이유가 없습니다. 우리는 이 기능을 평소와 같은 순서로 끝부터 "풀기"할 것입니다.

즉, 먼저 루트를 구별한 다음 코사인을 구별하고 괄호 안의 표현식만 구별합니다. 그런 다음 우리는 그것을 모두 곱합니다.

이러한 경우에는 작업에 번호를 매기는 것이 편리합니다. 즉, 우리가 아는 것을 상상해 봅시다. 이 표현식의 값을 계산하기 위해 작업을 어떤 순서로 수행합니까? 예를 살펴보겠습니다:

작업이 나중에 수행될수록 해당 기능은 더 "외부"가 됩니다. 일련의 작업은 이전과 동일합니다.

여기서 중첩은 일반적으로 4레벨입니다. 행동 과정을 결정합시다.

1. 과격한 표현. .

2. 루트. .

3. 사인. .

4. 광장. .

5. 종합해보면:

유도체. 주요 사항에 대해 간략하게

함수의 파생- 인수의 극소 증가에 대한 인수 증가에 대한 함수 증가의 비율:

기본 파생상품:

차별화 규칙:

상수는 도함수 기호에서 제외됩니다.

합계의 미분:

제품의 파생 상품:

몫의 파생물:

복잡한 함수의 파생:

복잡한 함수의 도함수를 찾는 알고리즘:

1. 우리는 "내부" 함수를 정의하고 그 파생물을 찾습니다.
2. 우리는 "외부" 함수를 정의하고 그 파생물을 찾습니다.
3. 첫 번째 점과 두 번째 점의 결과를 곱합니다.

표적:"인수의 증가", "함수의 증가" 개념을 소개하고 학생들에게 함수의 증가를 구하도록 가르칩니다.

행동 양식:이야기.

장비:보드, 작업 카드, 컴퓨터(아마도).

정의: 인수 증가, 함수 증가.

강의 계획:

1. 조직적인 순간(1분)

2. 새로운 자료 소개(10분)

3. 문제 풀이(10분)

4. 독립적인 작업(20분)

5. 수업 요약(3분)

6. 숙제(1분)

다운로드:

시사:

주제: 함수 증분

표적: "인수의 증가", "함수의 증가" 개념을 소개하고 학생들에게 함수의 증가를 구하도록 가르칩니다.

방법: 이야기.

장비: 칠판, 작업 카드, 컴퓨터(아마도).

정의 : 인수 증가, 함수 증가.

강의 계획:

1. 조직적인 순간(1분)

2. 새로운 자료 소개(10분)

3. 문제 풀이(10분)

4. 독립적인 작업(20분)

5. 수업 요약(3분)

6. 숙제(1분)

수업 중:

1. 정리 시간.

교실에서 규율을 달성하십시오. 학생들의 수업 준비 상태를 확인하고 주의를 집중시키세요.

1. 신소재 소개.

y=f(x)를 함수, x 및 x 0으로 설정합니다. - 독립 변수의 두 값 D(f); 그러면 차이 x - x o 독립변수의 증분(또는 인수의 증분)이라고 하며 다음과 같이 표시됩니다.Δ x (“델타 x”를 읽으세요). 따라서,Δ x = x - x o (1).

평등 (1)에서 x = x o + Δx가 됩니다. (2), 즉 원래 의미변수가 증분을 받았습니다.Δx. 따라서 함수의 값은 양에 따라 변경됩니다.

f(x) - f(x0) = f(x0 + Δx) - f(x0). (삼)

새로운 기능 값의 차이점 f(x0 + Δx) 그리고 그 원래 뜻은에프(x0) 한 지점에서 함수의 증가라고 합니다. x 0 그리고 기호로 표시됩니다.Δf(x0) (“점 x의 델타 ef”라고 읽습니다. 0 "), 즉 Δ f (x 0) = f (x 0 + Δx) - f (x 0). (4)

기능증가주어진 지점 x 0에서의 f 간략하게 표시Δf 또는 Δy.

예 함수 y = x 2에 대해 x = 2.5, x 0 = 2인 경우 Δy를 구합니다.

해결책 . Δ y = y (x 0 + Δx) - y (x 0) = y(2.5) - y(2) = 6.25 - 4 = 2.25입니다.

1. 운동의 해결책

1. 증분 찾기 x 0 지점에서 Δ x 및 Δy(y = x 2, x 0 = 2인 경우)

a) x = 1.9; 나) 엑스 = 2.1. (답: a) -0.39; b) 0.41)

2. 주어진 함수 y = x 2 + 2x – 4. 증분 찾기 x = 2 및 Δx = 0.5에서 Δy. (답변:3.25)

3. 함수 y = 1/x가 주어지면 . 증분 찾기 x = 1 및 Δx = 0.2에서 Δy. (답변: -1/6)

4. 직사각형의 변은 15m와 20m입니다. 다음과 같은 경우 둘레와 면적의 증분을 구합니다. 1) 작은 변이 0.11m 증가합니다. 2) 더 큰 측면이 0.2m 증가했습니다.

1. 독립적 인 일.

학생들은 하나의 버전으로 통합 문서에서 독립적인 작업을 수행하고 작업은 카드로 발행됩니다.

1. 함수 y=2x+5가 주어지면 다음을 찾으세요.

1) x 0 = 3이고 Δx = 0.2인 경우 x 및 Δy 2) x 0 = 4이고 Δx = 0.06인 경우 x 및 Δy; 3) Δy, x 0 = 4이고 Δx = 0.1인 경우; 4) Δy, x 0 = 7이고 Δx = 0.01인 경우.

답변:

1.1)3,2; 0,4; 3) 0,2.

2.1) 0,5; 2,25; 2) 0,15; 1,1475; 4) -0,2; 1,04.

3.1) 3/7; -1/14; 3) -33/35.

4. 1) 0,135; 2) 0,06.

1. 수업을 요약합니다.

학생들은 반 친구들과 노트를 교환하며 풀이를 확인하고 선생님과 함께 답을 확인합니다. 교사는 이미 정답을 칠판에 올렸을 수도 있지만 일시적으로 학생들에게 공개되지 않을 수도 있고 멀티미디어 도구(컴퓨터)를 사용하여 답변이 공개될 수도 있습니다.

교사와 학생들은 얻은 결과에 대해 토론합니다.

자가 테스트 질문:

1) 인수 증가란 무엇입니까?

2) 함수의 증분을 무엇이라고 하나요?

수업에 적극적으로 참여한 학생들을 표창합니다.

1. 숙제.

1. 다음의 경우 인수와 함수의 증가분을 찾습니다. 1), x 0 = , x = ;

2) , x 0 = 2.5, x = 2.6.

2 . a) 원의 반지름은 2cm이고, 반지름의 길이를 측정할 때의 오차가 다음과 같은 경우 면적을 계산할 때 발생하는 오차를 구합니다. 1) 0.2cm; 2)ΔR ; 3) 0.1cm; 4) 아.

b) 큐브 모서리 x 증분을 받았습니다Δ x. 큐브의 전체 표면적 증가분을 찾으십시오.

2) 숙제 노트에 이 주제에 관한 두 가지 예를 스스로 생각해 내고, 종이에 예의 조건을 적습니다.

3) 시뮬레이터 1번(참조.수업 부록)

수업 부록

시뮬레이터 1번 함수 증분 계산

1. 함수 증분 계산 y=f(x) 간격:

1. 함수 증분 계산 y=f(x) 간격 [ x; x + Δ x ]: