평행선 또는. 평행선

이 문서는 평행선과 평행선에 관한 것입니다. 먼저 평면과 공간에서 평행선의 정의가 제공되고 표기법이 소개되며 평행선의 예와 그래픽 그림이 제공됩니다. 또한 직선의 평행도의 부호와 조건을 분석합니다. 결론적으로 평면과 3차원 공간에서의 직교좌표계에서 직선의 몇 가지 방정식으로 주어지는 직선의 평행성을 증명하는 대표적인 문제에 대한 해를 제시하였다.

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평행선 - 기본 정보.

정의.

평면의 두 선을 호출합니다. 평행한공통점이 없다면.

정의.

3차원의 두 직선을 ​​호출합니다. 평행한동일한 평면에 있고 공통점이 없는 경우.

공간에서 평행선의 정의에서 "그들이 같은 평면에 있는 경우" 조항은 매우 중요합니다. 이 점을 명확히 합시다. 3차원 공간에서 공통점이 없고 같은 평면에 있지 않은 두 직선은 평행하지 않고 기울어져 있습니다.

다음은 평행선의 몇 가지 예입니다. 노트북 시트의 반대쪽 가장자리는 평행선에 있습니다. 집 벽의 평면이 천장과 바닥의 평면과 교차하는 직선은 평행합니다. 평지의 철로도 평행선으로 생각할 수 있습니다.

기호 ""는 평행선을 나타내는 데 사용됩니다. 즉, 선 a와 b가 평행하면 간단히 a b를 쓸 수 있습니다.

선 a와 b가 평행하면 선 a는 선 b와 평행하고 선 b는 선 a와 평행하다고 말할 수 있습니다.

평면의 평행선 연구에서 중요한 역할을 하는 진술을 말합시다. 주어진 선 위에 있지 않은 점을 통해 주어진 선과 평행한 유일한 선이 통과합니다. 이 진술은 사실로 받아들여지고(이것은 알려진 면적 측정 공리를 기반으로 증명할 수 없음) 평행선 공리라고 합니다.

공간의 경우 정리가 참입니다. 주어진 선 위에 있지 않은 공간의 모든 지점을 통과하면 주어진 선과 평행한 단일 선이 통과합니다. 이 정리는 위에 주어진 평행선의 공리를 사용하여 쉽게 증명할 수 있습니다 (참고 문헌의 기사 끝에 나열된 10-11 학년 기하학 교과서에서 증명을 찾을 수 있습니다).

공간의 경우 정리가 참입니다. 주어진 선 위에 있지 않은 공간의 모든 지점을 통과하면 주어진 선과 평행한 단일 선이 통과합니다. 이 정리는 위에 주어진 평행선 공리를 사용하여 쉽게 증명됩니다.

선의 병렬성 - 병렬성의 기호 및 조건.

평행선의 표시는 평행선의 충분조건, 즉 그 충족이 평행선을 보장하는 조건이다. 즉, 이 조건의 충족은 선이 평행하다는 사실을 진술하기에 충분합니다.

평면과 3차원 공간의 평행선에도 필요충분조건이 있다.

"평행선의 필요 충분 조건"이라는 문구의 의미를 설명하겠습니다.

우리는 이미 평행선의 충분조건을 다루었습니다. 그리고 "평행선의 필요 조건"이란 무엇입니까? "필수"라는 이름으로 선이 평행하려면 이 조건을 충족해야 한다는 것이 분명합니다. 즉, 평행선에 대한 필수 조건이 충족되지 않으면 선이 평행하지 않습니다. 따라서, 선이 평행할 필요충분조건조건은 평행선에 대해 필요하고도 충분합니다. 즉, 이것은 한편으로는 평행선의 기호이고, 다른 한편으로는 평행선이 갖는 속성이다.

선이 평행하기 위한 필요충분조건을 언급하기 전에 몇 가지 보조 정의를 기억하는 것이 유용합니다.

할선주어진 두 개의 일치하지 않는 직선 각각과 교차하는 직선입니다.

시컨트의 두 줄의 교차점에서 8개의 비배치된 시컨트가 형성됩니다. 소위 비스듬히 눕다, 상응하다그리고 한쪽 모서리. 도면에 표시해 봅시다.

정리.

평면의 두 직선이 시컨트와 교차하는 경우 평행도를 위해 가로 누워 각도가 같거나 해당 각도가 같거나 한면 각도의 합이 180도와 같으면 충분합니다.

평면의 평행선에 대한 필요충분조건을 그림으로 보여드리겠습니다.

7-9학년 기하학 교과서에서 평행선에 대한 이러한 조건의 증명을 찾을 수 있습니다.

이러한 조건은 3차원 공간에서도 사용할 수 있습니다. 가장 중요한 것은 두 선과 시컨트가 동일한 평면에 있다는 것입니다.

다음은 선의 평행성을 증명하는 데 자주 사용되는 몇 가지 정리입니다.

정리.

평면의 두 선이 세 번째 선에 평행하면 평행합니다. 이 기능의 증명은 평행선의 공리에서 따릅니다.

3차원 공간에서 평행선에 대해서도 유사한 조건이 있습니다.

정리.

공간의 두 선이 세 번째 선과 평행하면 평행합니다. 이 기능의 증명은 10학년 기하학 수업에서 고려됩니다.

유성음 정리를 설명하겠습니다.

평면에서 직선의 평행성을 증명할 수 있는 정리를 하나 더 제공하겠습니다.

정리.

평면의 두 선이 세 번째 선에 수직이면 평행합니다.

공간의 선에 대한 유사한 정리가 있습니다.

정리.

3차원 공간에서 두 직선이 같은 평면에 수직이면 평행합니다.

이 정리에 해당하는 그림을 그려봅시다.

위에서 공식화한 모든 정리, 기호 및 필요충분조건은 기하학 방법으로 직선의 평행성을 증명하는 데 완벽하게 적합합니다. 즉, 주어진 두 직선의 평행성을 증명하기 위해서는 세 번째 직선과 평행하다는 것을 보여주거나, 교차각의 등가 등을 보여줘야 한다. 이러한 문제의 대부분은 고등학교 기하학 수업에서 해결됩니다. 그러나 많은 경우에 평면 또는 3차원 공간에서 선의 평행성을 증명하기 위해 좌표 방법을 사용하는 것이 편리하다는 점에 유의해야 합니다. 직교좌표계에서 주어진 직선의 평행도에 대한 필요충분조건을 공식화하자.

직교 좌표계에서 선의 평행도.

기사의 이 섹션에서는 다음을 공식화합니다. 평행선의 필요충분조건이러한 선을 결정하는 방정식의 유형에 따라 직교 좌표계에서 일반적인 문제에 대한 자세한 솔루션도 제공합니다.

직각 좌표계 Oxy에서 평면 위의 두 선의 평행 조건부터 시작하겠습니다. 그의 증명은 직선의 방향 벡터의 정의와 평면에서 직선의 법선 벡터의 정의를 기반으로 합니다.

정리.

두 개의 일치하지 않는 선이 평면에서 평행하려면 이러한 선의 방향 벡터가 동일 선상에 있거나 이러한 선의 법선 벡터가 동일 선상에 있거나 한 선의 방향 벡터가 두 번째 선의 법선 벡터에 수직이어야 합니다.

분명히 평면에서 두 선의 평행 조건은 (선의 방향 벡터 또는 선의 법선 벡터) 또는 (한 선의 방향 벡터와 두 번째 선의 법선 벡터)로 감소합니다. 따라서 와 가 직선 a와 b의 방향 벡터이고, 그리고 가 각각 선 a와 b의 법선 벡터이면 평행선 a와 b에 대한 필요충분조건은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. , 또는 , 또는 , 여기서 t는 실수입니다. 차례로, 직선 a와 b의 방향 및 (또는) 법선 벡터의 좌표는 알려진 직선 방정식에서 찾을 수 있습니다.

특히, 직교좌표계의 직선 a가 평면상에서 Oxy 형태의 직선의 일반방정식을 정의한다면 , 그리고 직선 b - , 이 라인의 법선 벡터는 각각 좌표를 가지며 라인 a와 b의 평행 조건은 다음과 같이 작성됩니다.

직선 a가 다음 형식의 기울기 계수를 갖는 직선의 방정식에 해당하는 경우 . 따라서 직각 좌표계에서 평면의 직선이 평행하고 기울기 계수가 있는 직선의 방정식으로 주어질 수 있으면 직선의 기울기 계수는 동일합니다. 그리고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 직각 좌표계의 평면에서 일치하지 않는 직선이 기울기 계수가 같은 직선의 방정식으로 주어질 수 있다면 그러한 직선은 평행합니다.

직각좌표계의 직선 a와 직선 b가 평면상 직선의 정준방정식을 정의하면 그리고 , 또는 형식의 평면에 있는 직선의 파라메트릭 방정식 그리고 이 선들의 방향 벡터는 각각 좌표와 를 ​​가지며, 선 a와 b에 대한 평행 조건은

몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

예.

선이 평행합니까? 그리고 ?

해결책.

직선의 일반 방정식의 형태로 세그먼트의 직선 방정식을 다시 씁니다. . 이제 우리는 이것이 직선의 법선 벡터임을 알 수 있습니다. , 및 직선의 법선 벡터입니다. 이러한 벡터는 동일선상에 있지 않습니다. ). 결과적으로 평면에서 선의 평행도에 대한 필요충분조건을 만족하지 못하므로 주어진 선은 평행하지 않다.

답변:

아니요, 선이 평행하지 않습니다.

예.

선과 평행선은?

해결책.

직선의 표준 방정식을 기울기가 있는 직선의 방정식으로 가져옵니다. 분명히 선의 방정식과 는 동일하지 않으며(이 경우 주어진 선은 동일할 것임) 선의 기울기가 동일하므로 원래 선은 평행합니다.

아무리 오래 계속해도 교차하지 않습니다. 서면 행의 병렬 처리는 다음과 같이 표시됩니다. AB|| 와 함께이자형

그러한 선의 존재 가능성은 정리에 의해 증명됩니다.

정리.

주어진 선 바깥에 있는 점을 통해 이 선에 평행선을 그릴 수 있습니다..

허락하다 AB이 줄과 와 함께그것의 외부에 찍은 어떤 점. 다음을 증명해야 합니다. 와 함께직선을 그릴 수 있습니다 평행한AB. 에 드롭하자 AB한 지점에서 와 함께 수직와 함께디그리고 나서 우리는 와 함께이자형^ 와 함께디, 가능한 것. 똑바로 CE평행한 AB.

증명을 위해 우리는 그 반대를 가정합니다. CE교차하다 AB어느 시점에서 중. 그럼 포인트부터 중직선으로 와 함께디우리는 두 개의 서로 다른 수직선을 가질 것입니다 중디그리고 석사, 불가능합니다. 수단, CE와 교차할 수 없다 AB, 즉. 와 함께이자형평행한 AB.

결과.

두 개의 수직선(C이자형그리고DB) 하나의 직선으로 (C디) 병렬입니다.

평행선의 공리.

같은 점을 지나서 같은 직선에 평행한 두 개의 다른 직선을 그리는 것은 불가능합니다.

그래서 직선이면 와 함께디, 점을 통해 그려진 와 함께직선에 평행 AB, 그런 다음 다른 줄 와 함께이자형같은 지점을 통해 와 함께, 병렬일 수 없음 AB, 즉. 그녀는 계속 교차하다와 함께 AB.

이 명백하지 않은 진실에 대한 증명은 불가능한 것으로 밝혀졌습니다. 증명 없이 필요한 가정(postulatum)으로 받아들여집니다.

결과.

1. 만약 똑바로(와 함께이자형) 중 하나와 교차 평행한(남서), 다른 것과 교차합니다( AB), 그렇지 않으면 동일한 지점을 통해 와 함께서로 다른 두 직선, 평행 AB, 불가능합니다.

2. 두 가지 모두 직접 (ㅏ그리고비)는 동일한 세 번째 선( 와 함께) , 그리고 그들은 평행하다그들 사이.

사실 그렇게 가정하면 ㅏ그리고 비어떤 지점에서 교차 중, 서로 평행한 두 개의 서로 다른 직선이 이 점을 통과합니다. 와 함께, 불가능합니다.

정리.

만약에 직선은 수직이다평행선 중 하나에 수직이면 다른 평행선에 수직입니다. 평행한.

허락하다 AB || 와 함께디그리고 EF ^ AB.그것을 증명할 필요가 있습니다. EF ^ 와 함께디.

수직이자형에프, 교차 AB, 확실히 교차하고 와 함께디. 교차점을 시간.

이제 와 함께디에 수직이 아닌 뭐라고. 그런 다음 예를 들어 다른 줄 홍콩, 에 수직이 됩니다. 뭐라고따라서 동일한 지점을 통해 시간둘 직선 평행 AB: 하나 와 함께디, 조건에 따라, 그리고 다른 홍콩이전에 입증된 것처럼. 불가능하므로 가정할 수 없다. 남서에 수직이 아니었다 뭐라고.

평행선의 정의. 평행은 동일한 평면에 있고 전체 길이에 걸쳐 교차하지 않는 두 개의 직선입니다.

직선 AB와 CD(그림 57)는 평행합니다. 병렬이라는 사실은 때때로 다음과 같이 서면으로 표현됩니다. AB || CD.

정리 34. 동일한 3분의 1에 수직인 두 직선은 평행하다.

AB에 직각인 직선 CD와 EF가 주어진 경우(그림 58)

CD ⊥ AB 및 EF ⊥ AB.

CD || EF.

증거. 선 CD와 EF가 평행하지 않으면 어떤 점 M에서 교차할 것입니다. 이 경우 두 개의 수직선은 점 M에서 선 AB로 떨어지며 이는 불가능합니다(정리 11). 따라서 선 CD || EF(CHTD).

정리 35. 하나는 수직이고 다른 하나는 세 번째에 대해 사선인 두 직선은 항상 교차합니다.

EF ⊥ AB와 CG가 AB에 대해 비스듬한 두 직선 EF와 CG가 주어집니다(그림 59).

CG가 선 EF를 만나거나 CG가 EF와 평행하지 않다는 것을 증명해야 합니다.

증거. 점 C에서 수직 CD를 선 AB로 복원한 다음 점 C에서 각도 DCG가 형성되어 선 CK가 선 AB 아래로 떨어지도록 여러 번 반복합니다. 이를 위해 각도 DCG를 n번 반복한다고 가정합니다.

비슷한 방식으로 선 AB에 선 CE를 n번 그려서 CN = nCE가 되도록 합니다.

점 C, E, L, M, N에서 우리는 수직선 LL", MM", NN"을 구성합니다. 두 평행 세그먼트 CD, NN"과 세그먼트 CN 사이에 포함된 공간은 두 수직선 CD, EF 및 세그먼트 CE 사이에 포함된 공간보다 n배 더 커서 DCNN" = nDCEF가 됩니다.

각도 DCK로 둘러싸인 공간은 공간 DCNN"을 포함하므로,

DCK > CDNN" 또는
nDCG > nDCEF, 어디서
DCG > DCEF.

마지막 부등식은 선 CG가 연속되는 동안 DCEF 공간을 떠날 때만 발생할 수 있습니다. 즉, 선 CG가 선 EF와 만날 때 선 CG는 CF(PTD)와 평행하지 않습니다.

정리 36. 평행선 중 하나에 수직인 선은 다른 평행선에도 수직입니다.

두 개의 평행선 AB 및 CD와 CD에 수직인 선 EF가 주어집니다(그림 60).

AB || CD, EF ⊥ CD

EF ⊥ AB임을 증명해야 합니다.

증거. 선 AB가 EF에 대해 비스듬하면 두 선 CD와 AB가 교차할 것입니다. 왜냐하면 CD ⊥ EF와 AB는 EF에 대해 비스듬하고(정리 35) 선 AB와 CD는 평행하지 않기 때문에 이 조건에 모순되므로 선 EF는 CD(PTD)에 수직입니다.

두 직선과 세 번째 직선이 만나는 각도. 세 번째 선 EF(그림 61)에 의한 두 선 AB와 CD의 교차점에서 8개의 각도 α, β, γ, δ, λ, μ, ν, ρ가 형성됩니다. 이 모서리에는 특별한 이름이 지정됩니다.

4개의 각도 α, β, ν 및 ρ는 다음과 같습니다. 외부.

네 각 γ, δ, λ, μ는 다음과 같습니다. 내부.

4개의 각도 β, γ, μ, ν 및 4개의 각도 α, δ, λ, ρ는 다음과 같습니다. 일방적인, 그들은 라인 EF의 한쪽에 있기 때문입니다.

또한 각도를 쌍으로 취하면 다음과 같은 이름을 받습니다.

각도 β와 μ는 관련 있는 . 이 쌍 외에도 동일한 해당 각도가 각도 쌍이 됩니다.γ 및 ν, α 및 λ, δ 및 ρ.

각도 δ와 μ, γ와 λ의 쌍을 다음과 같이 부릅니다. 내부 교차 .

α와 ν뿐만 아니라 각도 β와 ρ의 쌍을 호출합니다. 외부 교차 .

각도 γ와 μ, δ와 λ의 쌍을 호출합니다. 내부 일방적 .

α와 ρ뿐만 아니라 각도 β와 ν의 쌍을 호출합니다. 외부 일방적 .

두 직선이 평행할 조건

정리 37. 1) 해당 각도, 2) 내부 교차, 3) 외부 교차, 마지막으로 4) 내부 한면의 합이 두 직선과 같으면 5) 외부 한면의 합은 두 직선과 같습니다.

정리의 각 부분을 개별적으로 증명해 보겠습니다.

첫 번째 사례. 해당 각도는(그림 62).

주어진. 각도 β와 μ는 동일합니다.

증거. 선 AB와 CD가 점 Q에서 교차하면 외부 각도 β가 내부 각도 μ와 같은 삼각형 GQH가 얻어지며 이는 정리 22와 모순되므로 선 AB와 CD는 교차하지 않거나 AB || CD(ChTD).

두 번째 경우. 내부 교차 각도는 동일합니다.즉, δ = μ입니다.

증거. δ = 수직으로 β, 가정에 의해 δ = μ, 따라서 β = μ. 즉, 해당 각도는 동일하며 이 경우 선은 평행합니다(첫 번째 경우).

세 번째 경우. 외부 교차 각도는 동일합니다.즉, β = ρ입니다.

증거. 조건에 따라 β = ρ, 수직으로 μ = ρ, 따라서 해당 각도가 같기 때문에 β = μ입니다. 이것은 AB || CD(첫 번째 경우).

네 번째 사례. 내부 단면의 합은 두 직선과 같습니다.또는 γ + μ = 2d.

증거. β + γ = 2d는 인접한 것의 합으로, γ + μ = 2d로 가정합니다. 따라서 β + γ = γ + μ이고 β = μ입니다. 해당 각도는 동일하므로 AB || CD.

다섯 번째 사례. 바깥쪽 단면의 합은 두 직선과 같습니다.즉, β + ν = 2d입니다.

증거. μ + ν = 2d는 인접한 것의 합으로, β + ν = 2d로 가정합니다. 따라서 μ + ν = β + ν, 여기서 μ = β입니다. 해당 각도는 동일하므로 AB || CD.

따라서 모든 경우에 AB || CD(ChTD).

정리 38(역 37). 두 선이 평행하면 세 번째 선의 교차점에서 1) 내부 교차 각도, 2) 외부 교차 각도, 3) 해당 각도 및 두 직선과 동일, 4) 내부 한면의 합 및 5) 외부 한면 각도의 합.

두 개의 평행선 AB와 CD, 즉 AB || CD(그림 63).

위 조건을 모두 만족함을 증명해야 합니다.

첫 번째 사례. 두 평행선 AB와 CD를 세 번째 사선 EF와 교차시킵니다. 선 EF의 선 AB와 CD의 교차점을 G와 H로 표시합니다. 선 GH의 중간점 O점에서 선 CD에 수직선을 떨어뜨리고 점 P에서 선 AB와 교차할 때까지 계속합니다. CD에 수직인 선 OQ는 AB에도 수직입니다(정리 36). 직각삼각형 OPG와 OHQ는 구조상 OG = OH이므로 동일합니다. ∠ HOQ= ∠ 수직 각도로서의 POG, 따라서 OP = OQ.

이것으로부터 δ = μ, 즉, 내부 교차 각도는 동일합니다..

두 번째 경우. 만약 AB || CD, δ = μ, δ = β 및 μ = ρ이므로 β = ρ, 즉 외부 교차 각도는 동일합니다..

세 번째 경우. 만약 AB || CD, δ = μ, δ = β이므로 β = μ이므로, 해당 각도는 동일합니다.

네 번째 사례. 만약 AB || CD이면 δ = μ이고 δ + γ = 2d이므로 μ + γ = 2d, 즉 내부 단면의 합은 두 직선과 같습니다..

다섯 번째 사례. 만약 AB || CD이면 δ = μ입니다.

μ + ν = 2d이므로 μ = δ = β이므로 ν + β = 2d, 즉 외부 한면의 합은 두 직선과 같습니다..

이 정리에서 다음과 같습니다. 결과. 한 점을 지나 다른 선에 평행하게 한 선만 그릴 수 있습니다.

정리 39. 세 번째에 평행한 두 직선은 서로 평행합니다.

세 줄(그림 64) AB, CD 및 EF가 주어지면 그 중 AB || EF, CD || EF.

AB || CD.

증거. 이 선들을 네 번째 선 GH와 교차시키겠습니다.

만약 AB || EF, 그럼 ∠ α = ∠ γ 적절한. CD라면 || EF, 그럼 ∠ β = ∠ γ 뿐만 아니라 해당하는 것. 따라서, ∠ α = ∠ β .

해당 각도가 같으면 선이 평행하므로 AB || CD(ChTD).

정리 40. 평행한 면을 가진 같은 이름의 각도는 같습니다.

같은 이름(둘 다 예각 또는 둘 다 둔각) 각 ABC와 DEF가 주어지면 두 변은 평행합니다. 즉, AB || 독일, BC || EF(그림 65).

다음을 증명해야 합니다. ∠ 비= ∠ 이자형.

증거. 점 G에서 선 BC와 교차할 때까지 변 DE를 계속합니다.

∠ 전자 = ∠ G는 세 번째 선 DG의 BC와 EF에 평행한 변의 교차점에 해당합니다.

∠ 비 = ∠ G는 직선 BC의 평행 변 AB와 DG의 교차점에 해당하므로

∠ 전자 = ∠ 비(RTD).

정리 41. 평행한 면을 가진 반대 각도는 두 개의 직선으로 서로를 보완합니다.

두 개의 대향 각도 ABC와 DEF(그림 66)가 있고 측면이 평행하므로 AB || 독일과 기원전 || EF.

ABC + DEF = 2d임을 증명해야 합니다.

증거. 점 G에서 선 BC와 교차할 때까지 선 DE를 계속합니다.

∠B+ ∠ DGB = 세 번째 선 BC의 평행선 AB와 DG의 교차점에 의해 형성된 내부 한면 각도의 합으로 2d.

∠ 디지비 = ∠ DEF에 해당하므로,

∠B+ ∠ DEF = 2d(PTD).

정리 42. 변이 수직인 각은 같고 대향하는 각은 서로 보완하여 두 직선을 ​​이룹니다.

두 가지 경우를 고려하십시오. A) 각도가 같은 이름일 때와 B) 각도가 반대일 때.

첫 번째 사례. 두 개의 동일한 각도 DEF와 ABC(그림 67)의 측면은 수직입니다. 즉, DE ⊥ AB, EF ⊥ BC.

∠ DEF = ∠ ABC임을 증명해야 합니다.

증거. 점 B에서 선 DE 및 EF에 평행하게 선 BM 및 BN을 그립니다.

비엠 || 독일, BN || EF.

이 선들은 또한 주어진 각도 ABC의 측면에 수직입니다.

BM ⊥ AB 및 BN ⊥ BC.

왜냐하면 ∠ NBC = d, ∠ MBA = d, 그러면

∠NBC= ∠MBA(a)

NBA 각도에 대한 등식(a)의 양쪽 변에서 빼면 다음과 같습니다.

∠ MBN=∠ABC

각도 MBN과 DEF는 이름이 같고 변이 평행하기 때문에 동일합니다(정리 40).

∠ MBN = ∠DEF(b)

방정식 (a)와 (b)는 평등을 의미합니다.

∠ ABC = ∠DEF(BTD).

두 번째 경우. 변이 수직인 각도 GED와 ABC는 서로 반대입니다.

∠ GED + ∠ ABC = 2d임을 증명해야 합니다(그림 67).

증거. 각도 GED와 DEF의 합은 두 개의 직각과 같습니다.

GED + DEF = 2d
DEF = ABC이므로
GED + ABC = 2d(pthd).

정리 43. 다른 평행선 사이의 평행선 부분은 동일합니다.

4개의 라인 AB, BD, CD, AC가 주어지면(그림 68), 그 중 AB || CD와 BD || AC.

AB = CD 및 BD = AC임을 증명해야 합니다.

증거. 선분 BC로 점 C를 점 B와 연결하면 두 개의 등삼각형 ABC와 BCD가 나옵니다.

BC-공통면,

∠ α = ∠ β (세 번째 선 BC의 평행선 AB와 CD의 교차점에서 교차하는 내부),

∠ γ = ∠ δ (직선 BC의 평행선 BD와 AC의 교차점에서 교차하는 내부 선).

따라서 삼각형은 한 변이 같고 두 개의 같은 각이 그 위에 놓여 있습니다.

마주보는 등각 α와 β는 등변 AC와 BD이고, 등각 γ와 δ는 등변 AB와 CD이므로,

AC = BD, AB = CD(PTD).

정리 44. 평행선은 전체 길이를 따라 서로 등거리에 있습니다.

선에서 점까지의 거리는 점에서 선까지 떨어진 수직선의 길이에 의해 결정됩니다. CD에서 AB에 평행한 두 점 A와 B의 거리를 결정하기 위해 점 A와 B에서 수직선 AC와 BD를 떨어뜨립니다.

CD에 평행한 선 AB가 주어지면 선분 AC 및 BD는 선 CD에 수직입니다. 즉, AB || CD, AC ⊥ DC, BD ⊥ CD(그림 69).

AC = BD임을 증명해야 합니다.

증거. CD에 수직인 선 AC와 BD는 평행하므로 평행선 사이의 평행선의 일부인 AC와 BD는 동일합니다. 즉, AC = BD(phd)입니다.

정리 45(역방향 43). 네 개의 교차하는 선의 반대 부분이 같으면 이 부분은 평행합니다.

4개의 교차 직선이 제공되며 반대 부분은 동일합니다. AB = CD 및 BD = AC(그림 68).

AB || CD와 BD || AC.

증거. 점 B와 C를 선 BC로 연결합니다. 삼각형 ABC와 BDC는 같기 때문에

BC-공통면,
AB = CD 및 BD = 관례에 따라 AC.

여기에서

∠ α = ∠ β , ∠ γ = ∠ δ

따라서,

AC || BD, AB || CD(ChTD).

정리 46. 삼각형 내각의 합은 직각 2개와 같습니다.

삼각형 ABC가 주어집니다(그림 70).

A + B + C = 2d임을 증명해야 합니다.

증거. 점 C에서 변 AB에 평행한 선 CF를 그립니다. 점 C에서 세 각 BCA, α, β가 형성됩니다. 그들의 합은 두 개의 직선과 같습니다.

BCA+ α + β = 2d

α = B (선 BC와 평행선 AB 및 CF의 교차점에서 내부 교차 각도로);

β = A (선 AB 및 CF와 선 AD의 교차점에서의 해당 각도).

각도 α 및 β 바꾸기 그들의 값은 다음과 같습니다.

BCA + A + B = 2d(박사).

다음 추론은 이 정리에서 따릅니다.

결론 1. 삼각형의 외각은 인접하지 않은 내각의 합과 같습니다.

증거. 사실, 그림 70에서,

∠BCD= ∠ α + ∠ β

∠ α = ∠ B, ∠ β = ∠ A이므로

∠BCD= ∠ A + ∠ B.

결과 2. 직각 삼각형에서 예각의 합은 직각과 같습니다.

실제로 직각 삼각형에서 (그림 40)

A + B + C = 2d, A = d, 따라서
B + C = 디.

결론 3. 삼각형은 하나 이상의 직각 또는 하나의 둔각을 가질 수 없습니다.

결과 4. 정삼각형에서 각 각은 2/3d입니다. .

실제로 정삼각형에서

A + B + C = 2d.

A = B = C이므로

3A=2d, A=2/3d.

두 줄의 병렬 표시

정리 1. 할선의 두 선이 교차하는 경우:

대각선으로 누워있는 각도가 같거나

해당 각도가 같거나

한면각의 합이 180°이면

선은 평행하다(그림 1).

증거. 우리는 사례 1의 증명으로 제한합니다.

선 a와 b의 교차점에서 시컨트 AB에 의한 거짓말 각도가 같다고 가정합니다. 예를 들어, ∠ 4 = ∠ 6입니다. || 비.

선 a와 b가 평행하지 않다고 가정합니다. 그런 다음 그들은 어떤 점 M에서 교차하므로 각도 4 또는 6 중 하나가 삼각형 ABM의 외부 각도가 됩니다. 명확성을 위해 ∠ 4를 삼각형 ABM의 바깥쪽 꼭지점이라고 하고 ∠ 6을 안쪽 모서리라고 합니다. ∠ 4가 ∠ 6보다 크다는 것은 삼각형의 외각에 관한 정리에 따르며, 이는 선 a와 6이 교차할 수 없으므로 평행이라는 조건에 위배됩니다.

결과 1. 한 직선에 수직인 평면에서 서로 다른 두 직선은 평행하다(그림 2).

논평. 우리가 방금 정리 1의 사례 1을 증명한 방식을 모순 또는 부조리에 대한 환원에 의한 증명 방법이라고 합니다. 이 방법은 추론이 시작될 때 증명해야 하는 것과 반대되는(반대되는) 가정이 이루어지기 때문에 이름이 붙여졌습니다. 만들어진 가정에 근거하여 논증하면 불합리한 결론(부조리)에 도달한다는 사실 때문에 부조리로의 환원이라고 합니다. 그러한 결론을 받아들이면 우리는 처음에 만든 가정을 거부하고 증명해야 하는 가정을 받아들이게 됩니다.

작업 1.주어진 점 M을 통과하고 점 M을 통과하지 않고 주어진 직선 a에 평행한 직선을 그립니다.

해결책. 선 a에 수직인 점 M을 통과하는 선 p를 그립니다(그림 3).

그런 다음 직선 p에 수직인 점 M을 통과하는 직선 b를 그립니다. 직선 b는 정리 1의 추론에 따라 직선 a와 평행합니다.

고려한 문제에서 중요한 결론은 다음과 같습니다.
주어진 직선 위에 있지 않은 한 점을 통해 주어진 직선에 평행한 직선을 항상 그릴 수 있습니다..

평행선의 주요 속성은 다음과 같습니다.

평행선의 공리. 주어진 직선 위가 아닌 주어진 점을 지나서 주어진 직선과 평행한 직선은 단 하나뿐입니다.

이 공리를 따르는 평행선의 몇 가지 속성을 고려하십시오.

1) 선이 두 평행선 중 하나와 교차하면 다른 하나와 교차합니다(그림 4).

2) 두 개의 다른 선이 세 번째 선과 평행하면 평행합니다(그림 5).

다음 정리도 참입니다.

정리 2. 두 개의 평행선이 시컨트와 교차하는 경우:

누워있는 각도는 동일합니다.

해당 각도는 동일합니다.

한면 각도의 합은 180°입니다.

결과 2. 직선이 두 평행선 중 하나에 수직이면 다른 평행선에도 수직입니다.(그림 2 참조).

논평. 정리 2는 정리 1의 역이라고 합니다. 정리 1의 결론은 정리 2의 조건입니다. 그리고 정리 1의 조건은 정리 2의 결론입니다. 모든 정리에 역이 있는 것은 아닙니다. 즉, 주어진 정리가 참이면 역 정리가 거짓일 수 있습니다.

수직 각도에 대한 정리의 예를 들어 설명하겠습니다. 이 정리는 다음과 같이 공식화할 수 있습니다. 두 각도가 수직이면 서로 같습니다. 역 정리는 다음과 같습니다. 두 각도가 같으면 수직입니다. 물론 이것은 사실이 아닙니다. 두 개의 동일한 각이 꼭 수직일 필요는 없습니다.

예 1두 개의 평행선이 세 번째와 교차합니다. 두 내부 한면 각도의 차이는 30°인 것으로 알려져 있습니다. 그 각도를 찾으십시오.

해결책. 그림 6이 조건을 충족하도록 합니다.

직선과 연장선이 서로 교차하지 않는 경우 직선이라고 합니다. 이 선 중 하나의 모든 점은 다른 점과 같은 거리에 있습니다. 그러나 "두 개의 P. 라인이 무한대에서 교차합니다."라고 말하는 것이 일반적입니다. 이 표현 방식은 논리적으로 정확합니다. "two. P. lines은 무언가의 끝에서 교차합니다. 끝없이"그리고 이것은 그들이 교차하지 않는다는 사실과 동일합니다. 한편, "무한대에서 교차"라는 표현은 매우 편리합니다. 덕분에 예를 들어 평면의 두 선이 교차하고 교차점이 하나만 있다고 주장할 수 있습니다. 1을 무한으로 나눈 몫이 0과 같다고 말하는 것은 분석에서 정확히 동일합니다. 사실 무한히 큰 숫자는 없습니다. 분석에서 무한대는 주어진 양보다 더 크게 만들 수 있는 양입니다. "1을 무한대로 나누는 몫은 0과 같습니다"라는 입장은 1을 어떤 숫자로 나누는 몫이 0에 가까울수록 약수가 커진다는 의미로 이해되어야 합니다. 로바체프스키(로바체프스키 참조)의 연구에서 그 의미가 밝혀진 유클리드의 유명한 11번째 공리도 직선 이론에 속합니다. 임의의 곡선에 법선을 그리고(참조) 곡선에서 동일한 세그먼트를 플로팅하면 이러한 세그먼트 끝의 궤적을 주어진 곡선에 평행한 선이라고 합니다.

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책 속의 "평행선"

IX 생명선, 죽음의 선 1984