정의
수학 진자- 이것은 질량이 한 지점에 있는 물리적 진자의 특수한 경우입니다.
일반적으로 확장할 수 없는 긴 실(서스펜션)에 매달려 있는 질량이 큰 작은 공(재료 점)은 수학적 진자로 간주됩니다. 이것은 중력의 영향으로 진동하는 이상화된 시스템입니다. 50-100 정도의 각도에 대해서만 수학적 진자 조화 발진기, 즉 조화 진동을 수행합니다.
갈릴레오는 긴 사슬에 매달린 샹들리에의 스윙을 연구하면서 수학적 진자의 특성을 연구했습니다. 그는 주어진 시스템의 진동 주기가 작은 편향각에서의 진폭에 의존하지 않는다는 것을 깨달았습니다.
수학 진자의 진동 주기 공식
진자의 현수점을 고정시키십시오. 진자나사에 매달린 하중은 가속도와 함께 원호(Fig.1(a))를 따라 움직이고 약간의 복원력($\overline(F)$)이 작용한다. 이 힘은 하중이 이동함에 따라 변경됩니다. 결과적으로 동작 계산이 복잡해집니다. 몇 가지 단순화를 소개하겠습니다. 진자가 평면에서 진동하지 않고 원뿔을 묘사하도록 하십시오(그림 1(b)). 이 경우 부하는 원을 그리며 움직입니다. 관심 있는 진동 주기는 부하의 원추형 이동 주기와 일치합니다. 원주를 도는 원추형 진자의 회전 주기는 무게가 원을 한 바퀴 도는 데 소요되는 시간과 같습니다.
여기서 $L$은 둘레입니다. $v$ - 화물 이동 속도. 수직에서 스레드의 편차 각도가 작은 경우(작은 진동 진폭) 복원력($F_1$)이 하중이 설명하는 원의 반경을 따라 향하는 것으로 가정합니다. 그러면 이 힘은 구심력과 같습니다.
유사한 삼각형 AOB와 DBC를 고려하십시오(그림 1(b)).
식 (2)와 (3)의 올바른 부분을 동일시하고 하중의 이동 속도를 표현합니다.
\[\frac(mv^2)(R)=mg\frac(R)(l)\ \to v=R\sqrt(\frac(g)(l))\left(4\right).\]
결과 속도를 공식 (1)로 대체하면 다음과 같습니다.
\ \
공식 (5)에서 수학적 진자의 주기는 서스펜션의 길이(서스펜션 지점에서 하중 중심까지의 거리)와 자유 낙하 가속도에만 의존한다는 것을 알 수 있습니다. 수학적 진자의 주기에 대한 공식 (5)는 호이겐스 공식이라고 하며 진자의 정지점이 움직이지 않을 때 충족됩니다.
자유 낙하 가속도에 대한 수학적 진자의 진동 주기 의존성을 사용하여 이 가속도 값이 결정됩니다. 이를 위해 많은 수의 진동을 고려하여 진자의 길이를 측정하고 주기 $T$를 찾은 다음 자유 낙하 가속도를 계산합니다.
솔루션이 있는 문제의 예
예 1
운동.아시다시피 자유 낙하 가속도의 크기는 위도에 따라 다릅니다. 길이가 $l=2.485\cdot (10)^(-1)$m인 수학적 진자의 진동 주기가 T=1 c?\textit()인 경우 모스크바 위도에서 자유 낙하의 가속도는 얼마입니까?
해결책.문제 해결의 기초로 수학적 진자의 주기에 대한 공식을 사용합니다.
(1.1)에서 자유 낙하 가속도를 표현해 보겠습니다.
원하는 가속도를 계산해 봅시다.
답변.$g=9.81\frac(m)(s^2)$
예 2
운동.수학 진자의 정지점이 수직 아래로 1) 일정한 속도로 움직인다면 진자의 진동 주기는 어떻게 될까요? 2) 가속 $a$? 이 진자의 실 길이는 $l입니다.$
해결책.그림을 그려봅시다.
1) 정지점이 균일하게 움직이는 수학 진자의 주기는 고정된 정지점이 있는 진자의 주기와 같습니다.
2) 진자 정지점의 가속도는 $F=ma$와 같은 추가 힘의 출현으로 간주할 수 있으며, 이는 가속도에 반대되는 방향입니다. 즉, 가속도가 위쪽을 향하면 추가 힘은 아래쪽을 향하므로 중력($mg$)에 더해진다는 의미입니다. 서스펜션 포인트가 하향 가속으로 이동하면 중력에서 추가 힘을 뺍니다.
진동하고 서스펜션 포인트가 가속도에 따라 이동하는 수학적 진자의 주기는 다음과 같습니다.
답변. 1) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g))$; 2) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g-a))$
물리적 진자의 진동 주기는 많은 상황에 따라 달라집니다. 즉, 물체의 크기와 모양, 무게 중심과 매달린 지점 사이의 거리, 이 지점에 대한 체질량 분포에 따라 달라집니다. 따라서 매달린 신체의 기간을 계산하는 것은 다소 어려운 작업입니다. 수학적 진자의 상황은 더 간단합니다. 이러한 진자를 관찰하면 다음과 같은 간단한 법칙이 성립될 수 있습니다.
1. 동일한 진자 길이(매달린 지점에서 하중 중심까지의 거리)를 유지하면서 다른 하중을 매달면 하중의 질량은 같더라도 진동 주기는 동일합니다. 크게 다릅니다. 수학적 진자의 주기는 하중의 질량에 의존하지 않습니다.
2. 진자를 시작할 때 진자가 너무 크지는 않지만 다른 각도로 편향되면 진폭은 다르지만 동일한 주기로 진동합니다. 진폭이 너무 크지 않은 한 진동은 그 형태가 고조파(§ 5)에 충분히 가깝고 수학적 진자의 주기는 진동의 진폭에 의존하지 않습니다. 이 속성을 isochronism이라고합니다 (그리스어 "isos"-equal, "chronos"-time에서 유래).
이 사실은 1655년 갈릴레오에 의해 다음과 같은 상황에서 처음으로 확립되었습니다. 갈릴레오는 피사 대성당에서 긴 사슬에 매달린 샹들리에가 흔들리는 것을 관찰했습니다. 서비스 과정에서 스윙의 진폭이 점차 감소했습니다(§ 11). 즉, 진동의 진폭은 감소했지만 주기는 동일하게 유지되었습니다. 갈릴레오는 자신의 맥박을 시간의 표시로 사용했습니다.
이제 수학적 진자의 진동 주기에 대한 공식을 유도합니다.
쌀. 16. 평면에서 진자의 진동(a)과 원뿔을 따라 이동(b)
진자가 흔들리면 하중은 이동 중에 변경되는 복원력의 작용에 따라 호를 따라 가속 이동합니다(그림 16, a). 일정하지 않은 힘이 작용하는 물체의 운동 계산은 다소 복잡합니다. 따라서 단순화를 위해 다음과 같이 진행합니다.
진자가 한 평면에서 진동하지 않도록 하고 원뿔을 설명하여 하중이 원으로 이동하도록 합니다(그림 16, b). 이 움직임은 두 개의 독립적인 진동을 추가하여 얻을 수 있습니다. 하나는 여전히 도면의 평면에 있고 다른 하나는 수직 평면에 있습니다. 분명히, 이 두 평면 진동의 주기는 동일합니다. 진동 평면은 다른 진동 평면과 다르지 않기 때문입니다. 결과적으로 복잡한 움직임의 기간 (원뿔을 따라 진자의 회전)은 수면의 스윙 기간과 동일합니다. 이 결론은 직접적인 경험을 통해 쉽게 설명할 수 있습니다. 두 개의 동일한 진자를 가져와 그중 하나는 평면에서 스윙하고 다른 하나는 원뿔을 따라 회전하라고 말합니다.
그러나 "원추형" 진자의 회전 주기는 하중으로 설명되는 원의 길이를 속도로 나눈 값과 같습니다.
수직으로부터의 편차 각도가 작은 경우(진폭이 작음) 복원력이 원의 반경을 따라 향한다고 가정할 수 있습니다. 즉, 구심력과 같습니다.
반면에 삼각형의 유사성은 다음과 같습니다. , 이후부터
두 표현을 서로 동일시하면 순환 속도를 얻습니다.
마지막으로 이것을 마침표 표현으로 대체하면
따라서 수학적 진자의 주기는 자유 낙하의 가속도와 진자의 길이, 즉 매달린 지점에서 하중의 무게 중심까지의 거리에만 의존합니다. 얻은 공식에서 진자의 주기는 질량과 진폭에 의존하지 않습니다(충분히 작은 경우). 즉, 우리는 관찰을 통해 이전에 설정된 기본 법칙을 계산하여 얻었습니다.
그러나 우리의 이론적 유도는 우리에게 더 많은 것을 제공합니다. 그것은 우리가 진자의 주기, 길이 및 자유 낙하 가속 사이의 정량적 관계를 확립할 수 있게 합니다. 수학 진자의 주기는 중력 가속도에 대한 진자의 길이 비율의 제곱근에 비례합니다. 비례 계수는 입니다.
이 가속도를 결정하는 매우 정확한 방법은 자유 낙하 가속도에 대한 진자의 주기 의존성을 기반으로 합니다. 진자의 길이를 측정하고 많은 수의 진동에서 주기를 결정함으로써 얻은 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다. 이 방법은 실제로 널리 사용됩니다.
자유 낙하의 가속도는 장소의 지리적 위도(극점과 적도)에 따라 달라진다는 것이 알려져 있습니다(제I권, §53 참조). 특정 기준 진자의 스윙 주기에 대한 관찰을 통해 위도에 따른 자유 낙하 가속도의 분포를 연구할 수 있습니다. 이 방법은 매우 정확하여 지구 표면의 의미에서 훨씬 더 미묘한 차이를 감지할 수 있습니다. 동일한 평행선에서도 지표면의 다른 지점에서 값이 다른 것으로 나타났습니다. 중력 가속도 분포의 이러한 이상은 지각의 고르지 않은 밀도와 관련이 있습니다. 밀도 분포를 연구하는 데 사용되며, 특히 지각 두께에서 광물의 발생을 감지하는 데 사용됩니다. 소련의 물리학자 표트르 페트로비치(Pyotr Petrovich)의 지도하에 이른바 쿠르스크 자기 이상(제2권, § 130 참조) 지역의 소련에서 조밀한 덩어리의 발생을 판단할 수 있게 해주는 광범위한 중량 측정 변화가 수행되었습니다. 라자레프. 지구 자기장의 이상에 대한 데이터와 함께 이러한 중력 데이터를 통해 Kursk 자기 및 중력 이상을 결정하는 철 덩어리의 발생 분포를 설정할 수 있습니다.
균일한 중력장에서 팽창할 수 없는 무중력 실(몸체의 무게에 비해 무시할 수 있는 질량)에 매달린 물질 점(몸체)으로 구성된 기계 시스템을 수학적 진자(다른 이름은 발진기)라고 합니다. . 이 장치에는 다른 유형이 있습니다. 실 대신 무중력 막대를 사용할 수 있습니다. 수학 진자는 많은 흥미로운 현상의 본질을 명확하게 밝힐 수 있습니다. 작은 진폭의 진동으로 그 움직임을 고조파라고합니다.
기계 시스템에 대한 일반 정보
이 진자의 진동 주기에 대한 공식은 네덜란드 과학자 Huygens(1629-1695)에 의해 유도되었습니다. I. Newton의 동시대인은 이 기계 시스템을 매우 좋아했습니다. 1656년에 그는 최초의 추시계를 만들었습니다. 그들은 그 시간에 대해 탁월한 정확도로 시간을 측정했습니다. 이 발명은 물리적 실험과 실제 활동의 발전에서 가장 중요한 단계가 되었습니다.
진자가 평형 위치(수직으로 매달린 상태)에 있으면 실 장력의 힘으로 균형을 이룹니다. 확장할 수 없는 스레드의 플랫 진자는 연결이 있는 2자유도 시스템입니다. 하나의 구성 요소만 변경하면 모든 구성 요소의 특성이 변경됩니다. 따라서 스레드가 막대로 대체되면 이 기계 시스템의 자유도는 1도에 불과합니다. 수학 진자의 속성은 무엇입니까? 이 가장 간단한 시스템에서 주기적인 섭동의 영향으로 혼돈이 발생합니다. 서스펜션 포인트가 움직이지 않고 진동하는 경우 진자는 새로운 평형 위치를 갖습니다. 빠른 위아래 진동으로 이 기계 시스템은 안정적인 거꾸로 된 위치를 얻습니다. 그녀는 또한 자신의 이름을 가지고 있습니다. Kapitza의 진자라고합니다.
진자 속성
수학적 진자는 매우 흥미로운 속성을 가지고 있습니다. 그들 모두는 알려진 물리적 법칙에 의해 확인됩니다. 다른 진자의 진동 주기는 물체의 크기와 모양, 매달린 지점과 무게 중심 사이의 거리, 이 지점에 대한 질량 분포와 같은 다양한 상황에 따라 달라집니다. 그렇기 때문에 매달린 몸의 기간을 결정하는 것이 다소 어려운 작업입니다. 수학 진자의 주기를 계산하는 것이 훨씬 쉽습니다. 공식은 아래에 나와 있습니다. 유사한 기계 시스템을 관찰한 결과 다음과 같은 규칙성이 확립될 수 있습니다.
진자의 동일한 길이를 유지하면서 다른 무게가 정지되면 질량이 크게 다르지만 진동 기간은 동일하게 나타납니다. 따라서 이러한 진자의 주기는 하중의 질량에 의존하지 않습니다.
시스템을 시작할 때 진자가 너무 크지는 않지만 다른 각도로 편향되면 동일한 주기로 진동하기 시작하지만 진폭은 다릅니다. 평형 중심으로부터의 편차가 너무 크지 않은 한 그 형태의 진동은 고조파에 매우 가깝습니다. 이러한 진자의 주기는 진동 진폭에 전혀 의존하지 않습니다. 이 기계 시스템의 이러한 속성을 등시성(그리스어 "chronos" - 시간, "isos" - equal에서 번역됨)이라고 합니다.
수학적 진자의 주기
이 지표는 자연 진동의 기간을 나타냅니다. 복잡한 문구에도 불구하고 프로세스 자체는 매우 간단합니다. 수학 진자의 실 길이가 L이고 자유 낙하 가속도가 g이면 이 값은 다음과 같습니다.
작은 것의 주기는 진자의 질량과 진동의 진폭에 전혀 의존하지 않습니다. 이 경우 진자는 길이가 줄어드는 수학적 진자처럼 움직입니다.
수학적 진자의 진동
간단한 미분 방정식으로 설명할 수 있는 수학적 진자가 진동합니다.
x + ω2 sin x = 0,
여기서 x(t)는 알려지지 않은 함수입니다(이것은 시간 t에서 더 낮은 평형 위치로부터의 편차 각도이며 라디안으로 표시됨). ω는 진자의 매개변수에서 결정되는 양의 상수입니다(ω = √g/L, 여기서 g는 중력 가속도이고 L은 수학적 진자(서스펜션)의 길이입니다.
평형 위치 근처의 작은 진동 방정식(조화 방정식)은 다음과 같습니다.
x + ω2 sin x = 0
진자의 진동 운동
작은 진동을 만드는 수학적 진자가 정현파를 따라 움직입니다. 2차 미분방정식은 이러한 동작의 모든 요구사항과 매개변수를 충족합니다. 궤적을 결정하려면 다음과 같이 독립 상수가 결정되는 속도와 좌표를 지정해야 합니다.
x \u003d 죄 (θ 0 + ωt),
여기서 θ0는 초기 위상, A는 진동 진폭, ω는 운동 방정식에서 결정된 순환 주파수입니다.
수학적 진자(큰 진폭에 대한 공식)
상당한 진폭으로 진동하는 이 기계 시스템은 더 복잡한 운동 법칙을 따릅니다. 이러한 진자의 경우 다음 공식으로 계산됩니다.
sin x/2 = u * sn(ωt/u),
여기서 sn은 야코비 사인이며 u에 대해< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:
u = (ε + ω2)/2ω2,
여기서 ε = E/mL2(mL2는 진자의 에너지)입니다.
비선형 진자의 진동 주기는 다음 공식으로 결정됩니다.
여기서 Ω = π/2 * ω/2K(u), K는 타원 적분, π - 3,14.
분리막을 따라 진자의 움직임
분리막은 2차원 위상 공간을 갖는 동적 시스템의 궤적입니다. 수학적 진자는 비 주기적으로 움직입니다. 무한히 먼 시간의 순간에 극상 위치에서 속도가 0인 쪽으로 떨어졌다가 점차 들어 올립니다. 결국 멈추고 원래 위치로 돌아갑니다.
진자의 진동 진폭이 숫자에 가까워지면 π , 이는 위상 평면의 움직임이 분리자에 접근함을 나타냅니다. 이 경우, 작은 주기적인 구동력의 작용으로 기계 시스템이 무질서한 거동을 보입니다.
수학적 진자가 특정 각도 φ로 평형 위치에서 벗어나면 접선 중력 Fτ = -mg sin φ가 발생합니다. 빼기 기호는 이 접선 구성 요소가 진자 편향과 반대 방향으로 향함을 의미합니다. 반지름이 L인 원의 호를 따라 진자의 변위를 x로 표시하면 각 변위는 φ = x/L과 같습니다. 투영 및 힘에 대한 두 번째 법칙은 원하는 값을 제공합니다.
mg τ = Fτ = -mg sinx/L
이 관계를 기반으로 이 진자는 비선형 시스템임을 알 수 있습니다. 왜냐하면 진자를 평형 위치로 되돌리려는 힘은 항상 변위 x가 아니라 sin x/L에 비례하기 때문입니다.
수학적 진자가 작은 진동을 만드는 경우에만 조화 진동자입니다. 즉, 조화 진동을 수행할 수 있는 기계 시스템이 됩니다. 이 근사치는 15-20°의 각도에 대해 실질적으로 유효합니다. 진폭이 큰 진자 진동은 고조파가 아닙니다.
진자의 작은 진동에 대한 뉴턴의 법칙
주어진 기계 시스템이 작은 진동을 수행하는 경우 뉴턴의 제2법칙은 다음과 같습니다.
mg τ = Fτ = -m* g/L* x.
이를 바탕으로 수학적 진자가 빼기 기호로 변위에 비례한다는 결론을 내릴 수 있습니다. 이것은 시스템이 고조파 발진기가 되는 조건입니다. 변위와 가속 사이의 비례 계수 계수는 원형 주파수의 제곱과 같습니다.
ω02 = g/L; ω0 = √g/L.
이 공식은 이러한 유형의 진자의 작은 진동의 고유 주파수를 반영합니다. 이를 바탕으로,
T = 2π/ ω0 = 2π√g/L.
에너지 보존 법칙에 따른 계산
진자의 특성은 에너지 보존 법칙을 사용하여 설명할 수도 있습니다. 이 경우 중력장의 진자는 다음과 같다는 점을 고려해야 합니다.
E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2
전체는 운동 또는 최대 잠재력과 같습니다. Epmax = Ekmsx = E
에너지 보존 법칙이 작성된 후 방정식의 오른쪽과 왼쪽의 미분을 취합니다.
상수의 미분은 0이므로 (Ep + Ek)" = 0입니다. 합계의 미분은 미분의 합계와 같습니다.
Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" = mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv*α,
따라서:
Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + mα) = 0.
마지막 공식을 기반으로 α = - g/L*x를 찾습니다.
수학적 진자의 실제 적용
가속도는 지각의 밀도가 행성 전체에서 동일하지 않기 때문에 지리적 위도에 따라 다릅니다. 밀도가 더 높은 암석이 있는 곳에서는 다소 더 높을 것입니다. 수학적 진자의 가속도는 종종 지질 탐사에 사용됩니다. 다양한 광물을 검색하는데 사용됩니다. 진자의 스윙 횟수를 세는 것만으로도 지구의 창자에서 석탄이나 광석을 찾을 수 있습니다. 이것은 그러한 화석이 그 밑에 있는 느슨한 암석보다 더 큰 밀도와 질량을 가지고 있다는 사실 때문입니다.
수학적 진자는 Socrates, Aristotle, Plato, Plutarch, Archimedes와 같은 저명한 과학자들이 사용했습니다. 그들 중 많은 사람들은 이 기계 시스템이 사람의 운명과 삶에 영향을 미칠 수 있다고 믿었습니다. 아르키메데스는 계산에 수학 진자를 사용했습니다. 오늘날 많은 오컬티스트와 심령술사는 이 기계 시스템을 사용하여 예언을 이행하거나 실종자를 찾습니다.
유명한 프랑스 천문학자이자 박물학자인 C. Flammarion도 그의 연구에 수학적 진자를 사용했습니다. 그는 그의 도움으로 새로운 행성의 발견, Tunguska 운석의 출현 및 기타 중요한 사건을 예측할 수 있었다고 주장했습니다. 독일(베를린)의 제2차 세계 대전 중에 전문 진자 연구소가 운영되었습니다. 오늘날 뮌헨 초심리학 연구소(Munich Institute of Parapsychology)는 유사한 연구에 참여하고 있습니다. 이 기관의 직원들은 진자 "radiesthesia"에 대한 작업을 호출합니다.
수학 진자서스펜션에 부착되고 중력장(또는 다른 힘)에 위치한 무중력 및 확장 불가능한 실에 매달려 있는 재료 지점이라고 합니다.
우리는 서스펜션 지점이 정지해 있거나 직선으로 균일하게 움직이는 관성 기준 프레임에서 수학적 진자의 진동을 연구합니다. 우리는 공기 저항(이상적인 수학 진자)의 힘을 무시할 것입니다. 처음에 진자는 평형 위치 C에서 정지해 있습니다. 이 경우 진자는 진자에 작용하는 중력과 나사산의 탄성력 F?ynp가 상호 보상됩니다.
진자를 평형 위치에서 벗어나게 하고(예: 위치 A로 편향) 초기 속도 없이 이동시킵니다(그림 1). 이 경우 힘과 서로 균형을 이루지 않습니다. 진자에 작용하는 중력의 접선 성분은 접선 가속도를 제공합니다. (수학 진자의 궤적에 대한 접선을 따라 향하는 총 가속도의 구성 요소) 진자는 절대 값의 속도가 증가하면서 평형 위치를 향해 움직이기 시작합니다. 따라서 중력의 접선 성분은 복원력입니다. 중력의 정상적인 구성 요소는 탄성력에 대해 스레드를 따라 향합니다. 합력은 진자 수직 가속도를 알려주며, 이는 속도 벡터의 방향을 변경하고 진자는 호 ABCD를 따라 이동합니다.
진자가 평형 위치 C에 가까워질수록 접선 성분의 값은 작아집니다. 평형 위치에서 0과 같고 속도가 최대 값에 도달하고 진자가 관성에 의해 더 멀리 이동하여 호를 따라 위로 올라갑니다. 이 경우 구성 요소는 속도에 반대됩니다. 편향각 a가 증가하면 힘 계수가 증가하고 속도 계수는 감소하며 지점 D에서 진자의 속도는 0이 됩니다. 진자는 잠시 멈춘 다음 평형 위치와 반대 방향으로 움직이기 시작합니다. 관성에 의해 다시 통과하면 속도가 느려지는 진자가 지점 A (마찰 없음)에 도달합니다. 풀 스윙을 합니다. 그 후 진자의 움직임은 이미 설명한 순서대로 반복됩니다.
수학 진자의 자유 진동을 설명하는 방정식을 얻습니다.
주어진 시간에 진자를 지점 B에 두십시오. 이 순간의 평형 위치에서 진자의 변위 S는 호 CB의 길이와 같습니다(즉, S = |CB|). 서스펜션 스레드의 길이를 l로 표시하고 진자의 질량을 m으로 표시합니다.
그림 1은 , 여기서 . 작은 각도에서 () 진자 편향, 따라서
이 공식에서 빼기 기호는 중력의 접선 성분이 평형 위치를 향하고 변위가 평형 위치에서 계산되기 때문에 표시됩니다.
뉴턴의 제2법칙에 따르면. 이 방정식의 벡터량을 수학적 진자의 궤적에 대한 접선 방향에 투영합니다.
이 방정식에서 우리는
수학 진자의 동적 운동 방정식. 수학적 진자의 접선 가속도는 변위에 비례하며 평형 위치를 향합니다. 이 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
고조파 진동 방정식과 비교 
, 우리는 수학적 진자가 조화 진동을 만든다고 결론을 내릴 수 있습니다. 그리고 고려된 진자의 진동은 내부 힘의 작용에 의해서만 발생했기 때문에 이것은 진자의 자유 진동이었습니다. 결과적으로 편차가 작은 수학적 진자의 자유 진동은 고조파입니다.
나타내다
진자 진동의 주기적인 주파수.
진자의 진동 기간. 따라서,
이 식을 호이겐스 공식이라고 합니다. 수학 진자의 자유 진동 기간을 결정합니다. 평형 위치에서 작은 편차 각도에서 수학적 진자의 진동주기는 다음 공식에서 따릅니다.
- 진동의 질량과 진폭에 의존하지 않습니다.
- 진자 길이의 제곱근에 비례하고 자유 낙하 가속도의 제곱근에 반비례합니다.
이것은 G. Galileo가 발견한 수학적 진자의 작은 진동에 대한 실험 법칙과 일치합니다.
이 공식을 사용하여 두 조건이 동시에 충족되는 기간을 계산할 수 있음을 강조합니다.
- 진자 진동은 작아야 합니다.
- 진자의 현수점은 정지해 있거나 그것이 위치한 관성 기준계에 대해 균일하게 직선으로 움직여야 합니다.
수학적 진자의 정지 지점이 가속도에 따라 움직이면 실의 인장력이 변경되어 복원력이 변경되고 결과적으로 진동의 빈도와 주기가 변경됩니다. 계산에서 알 수 있듯이 이 경우 진자의 진동 주기는 다음 공식으로 계산할 수 있습니다.
여기서 는 비관성 기준 프레임에서 진자의 "유효" 가속도입니다. 그것은 중력 가속도와 벡터의 반대 벡터의 기하 합과 같습니다. 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.
정의
수학 진자- 이것은 전체 질량이 진자의 질량 중심인 한 지점에 집중되는 물리적 진자의 특수한 경우인 진동 시스템입니다.
일반적으로 수학적 진자는 무중력의 확장할 수 없는 긴 실에 매달린 공으로 표현됩니다. 이것은 중력의 영향으로 고조파 진동을 수행하는 이상적인 시스템입니다. 수학적 진자에 대한 좋은 근사치는 가늘고 긴 실에서 진동하는 크고 작은 공입니다.
갈릴레오는 긴 사슬에 매달린 샹들리에의 흔들림을 고려하여 수학적 진자의 특성을 처음으로 연구했습니다. 그는 수학 진자의 진동 주기가 진폭에 의존하지 않는다는 것을 알아냈습니다. 진자가 시작될 때 다른 작은 각도로 편향되면 진동은 동일한 주기로 발생하지만 진폭은 다릅니다. 이 속성을 등시성이라고 합니다.
수학적 진자의 운동 방정식
수학적 진자는 고조파 발진기의 전형적인 예입니다. 미분 방정식으로 설명되는 고조파 진동을 수행합니다.
\[\ddot(\varphi )+(\omega )^2_0\varphi =0\ \left(1\right),\]
여기서 $\varphi $는 평형 위치에서 스레드(서스펜션)의 편차 각도입니다.
방정식 (1)의 해는 함수 $\varphi (t):$
\[\varphi (t)=(\varphi )_0(\cos \left((\omega )_0t+\alpha \right)\left(2\right),\ )\]
어디서 $\alpha $ - 진동의 초기 단계; $(\varphi )_0$ - 진동 진폭; $(\omega )_0$ - 순환 빈도.
고조파 발진기의 진동은 주기적인 운동의 중요한 예입니다. 발진기는 고전 및 양자 역학의 많은 문제에서 모델 역할을 합니다.
수학 진자의 주기 주파수 및 진동 주기
수학적 진자의 주기 주파수는 서스펜션 길이에만 의존합니다.
\[\ (\omega )_0=\sqrt(\frac(g)(l))\left(3\right).\]
이 경우 수학 진자($T$)의 진동 주기는 다음과 같습니다.
식 (4)는 수학적 진자의 주기가 매달린 길이(달린 지점에서 하중의 무게 중심까지의 거리)와 자유 낙하 가속도에만 의존한다는 것을 보여줍니다.
수학 진자의 에너지 방정식
1자유도를 갖는 기계계의 진동을 고려할 때 뉴턴의 운동 방정식이 아닌 에너지 방정식을 초기로 삼는 경우가 많다. 구성하기가 더 쉽고 시간의 첫 번째 방정식이기 때문입니다. 시스템에 마찰이 없다고 가정합시다. 자유 진동(작은 진동)을 만드는 수학적 진자의 에너지 보존 법칙은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
여기서 $E_k$는 진자의 운동 에너지입니다. $E_p$ - 진자의 위치 에너지; $v$ - 진자의 속도; $x$ - 반지름 $l$의 원호를 따라 평형 위치에서 진자 무게의 선형 변위, 반면 각도 - 변위는 다음과 같이 $x$와 관련됩니다.
\[\varphi =\frac(x)(l)\left(6\right).\]
수학적 진자의 위치 에너지의 최대값은 다음과 같습니다.
운동 에너지의 최대값:
여기서 $h_m$은 진자의 최대 리프팅 높이입니다. $x_m$ - 평형 위치에서 진자의 최대 편차; $v_m=(\omega )_0x_m$ - 최대 속도.
솔루션이 있는 문제의 예
예 1
운동.평형 위치를 통과할 때 운동 속도가 $v$라면 수학 진자의 공의 최대 높이는 얼마입니까?
해결책.그림을 그려봅시다.
공의 위치 에너지가 평형 위치(점 0)에서 0이 되도록 하고 이때 공의 속력은 최대가 되며 문제의 조건에 따라 $v$와 같다. 평형 위치(점 A) 위로 공이 최대로 들어올리는 지점에서 공의 속도는 0이고 위치 에너지는 최대입니다. 고려되는 공의 두 위치에 대한 에너지 보존 법칙을 적어 봅시다.
\[\frac(mv^2)(2)=mgh\ \left(1.1\right).\]
방정식 (1.1)에서 원하는 높이를 찾습니다.
답변.$h=\frac(v^2)(2g)$
예 2
운동.길이가 $l=1\ m$인 수학적 진자가 $T=2\ s$와 같은 주기로 진동하는 경우 중력 가속도는 얼마입니까? 수학 진자의 진동이 작다고 생각하십시오.\textit()
해결책.문제를 해결하기 위한 기초로 작은 진동 주기를 계산하는 공식을 사용합니다.
가속도를 표현해 보겠습니다.
중력 가속도를 계산해 봅시다.
답변.$g=9.87\ \frac(m)(s^2)$