מהו הלוגריתם הטבעי של אחד? משוואות ואי שוויון. שתי השלכות ברורות של הגדרת הלוגריתם

לא רע בכלל, נכון? בזמן שמתמטיקאים מחפשים מילים כדי לתת לכם הגדרה ארוכה ומבלבלת, בואו נסתכל מקרוב על ההגדרה הפשוטה והברורה הזו.

המספר e פירושו צמיחה

המספר e פירושו צמיחה מתמשכת. כפי שראינו בדוגמה הקודמת, e x מאפשר לנו לקשר ריבית וזמן: 3 שנים ב-100% צמיחה זהה לשנה ב-300%, בהנחה של "ריבית מרוכבת".

אתה יכול להחליף כל אחוז וערכי זמן (50% ל-4 שנים), אבל עדיף להגדיר את האחוז כ-100% מטעמי נוחות (מסתבר 100% לשנתיים). על ידי מעבר ל-100%, נוכל להתמקד אך ורק במרכיב הזמן:

e x = e אחוז * זמן = e 1.0 * זמן = e זמן

ברור ש- e x פירושו:

• כמה תגדל התרומה שלי לאחר x יחידות זמן (בהנחה של 100% צמיחה מתמשכת).
• לדוגמה, לאחר 3 מרווחי זמן אקבל e 3 = פי 20.08 יותר "דברים".

e x הוא גורם קנה מידה המראה לאיזו רמה נצמח תוך זמן x.

לוגריתם טבעי פירושו זמן

הלוגריתם הטבעי הוא היפוך של e, מונח מפואר לניגוד. אם כבר מדברים על מוזרויות; בלטינית זה נקרא logarithmus naturali, ומכאן הקיצור ln.

ומה המשמעות של ההיפוך הזה או ההיפך?

• e x מאפשר לנו להחליף זמן ולקבל צמיחה.
• ln(x) מאפשר לנו לקחת צמיחה או הכנסה ולגלות את הזמן שלוקח ליצור אותה.

לדוגמה:

• e 3 שווה 20.08. לאחר שלוש תקופות זמן, יהיה לנו פי 20.08 ממה שהתחלנו איתו.
• ln(08/20) יהיה בערך 3. אם אתה מעוניין בצמיחה של פי 20.08, תזדקק ל-3 פרקי זמן (שוב, בהנחה של 100% צמיחה מתמשכת).

עדיין קורא? הלוגריתם הטבעי מראה את הזמן הנדרש כדי להגיע לרמה הרצויה.

ספירה לוגריתמית לא סטנדרטית זו

האם עברת על לוגריתמים - הם יצורים מוזרים. איך הם הצליחו להפוך את הכפל לחיבור? מה לגבי חלוקה לחיסור? בואו נסתכל.

למה שווה ln(1)? באופן אינטואיטיבי, השאלה היא: כמה זמן עלי לחכות כדי לקבל פי 1 יותר ממה שיש לי?

אֶפֶס. אֶפֶס. בכלל לא. כבר יש לך את זה פעם אחת. זה לא לוקח הרבה זמן לעבור מרמה 1 לרמה 1.

• ln(1) = 0

אוקיי, מה לגבי הערך השברירי? כמה זמן ייקח עד שנשאר לנו 1/2 מהכמות הזמינה? אנו יודעים שעם צמיחה מתמשכת של 100%, ln(2) פירושו הזמן שלוקח להכפיל. אם אנחנו בואו נחזיר את הזמן אחורה(כלומר, המתן פרק זמן שלילי), ואז נקבל חצי ממה שיש לנו.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0.693

הגיוני, נכון? אם נחזור אחורה (זמן אחורה) ל-0.693 שניות, נמצא חצי מהכמות הזמינה. באופן כללי, אתה יכול להפוך את השבר ולקחת ערך שלילי: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. זה אומר שאם נחזור אחורה בזמן לפי 1.09, נמצא רק שליש מהמספר הנוכחי.

אוקיי, מה לגבי הלוגריתם של מספר שלילי? כמה זמן לוקח "לגדל" מושבה של חיידקים מ-1 עד -3?

זה בלתי אפשרי! אתה לא יכול לקבל ספירת חיידקים שלילית, נכון? אתה יכול לקבל מקסימום (אה... מינימום) של אפס, אבל אין סיכוי שאתה יכול לקבל מספר שלילי מהיצורים הקטנים האלה. ספירת חיידקים שלילית פשוט לא הגיונית.

• ln(מספר שלילי) = לא מוגדר

"לא מוגדר" פירושו שאין פרק זמן שיצטרך לחכות כדי לקבל ערך שלילי.

כפל לוגריתמי הוא פשוט מצחיק

כמה זמן ייקח לגדול פי ארבעה? כמובן, אתה יכול פשוט לקחת ln(4). אבל זה פשוט מדי, נלך בדרך אחרת.

אתה יכול לחשוב על צמיחה מרובעת כהכפלה (המחייבת יחידות זמן ln(2) ואז הכפלה שוב (המחייבת עוד יחידות זמן ln(2):

• זמן לגדול פי 4 = ln(4) = זמן להכפיל ואז להכפיל שוב = ln(2) + ln(2)

מעניין. כל קצב צמיחה, נניח 20, יכול להיחשב כהכפלה מיד לאחר עלייה של פי 10. או צמיחה פי 4, ולאחר מכן פי 5. או לשלש ואז להגדיל פי 6.666. רואים את התבנית?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

הלוגריתם של A כפול B הוא log(A) + log(B). הקשר הזה הגיוני מיד כשמסתכלים עליו במונחים של צמיחה.

אם אתה מעוניין בצמיחה של פי 30, אתה יכול לחכות ל-ln(30) בישיבה אחת, או לחכות ל-ln(3) לשלש ולאחר מכן ל-ln(10) אחר ל-10x. התוצאה הסופית זהה, אז כמובן שהזמן חייב להישאר קבוע (וזה כן).

מה לגבי חלוקה? באופן ספציפי, ln(5/3) אומר: כמה זמן ייקח לגדול פי 5 ואז לקבל 1/3 מזה?

נהדר, צמיחה פי 5 היא ln(5). עלייה של פי 1/3 תיקח -ln(3) יחידות זמן. כך,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

זה אומר: תן לו לגדול 5 פעמים, ואז "חזור אחורה בזמן" עד לנקודה שבה נשאר רק שליש מהכמות הזו, אז אתה מקבל 5/3 צמיחה. באופן כללי מסתבר

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

אני מקווה שהחשבון המוזר של הלוגריתמים מתחיל להיות הגיוני עבורך: הכפלת קצבי הצמיחה הופכת להוספת יחידות זמן צמיחה, והחלוקה הופכת להפחתת יחידות זמן. אין צורך לשנן את הכללים, נסו להבין אותם.

שימוש בלוגריתם הטבעי לצמיחה שרירותית

ובכן, כמובן," אתה אומר, "הכל טוב אם הצמיחה היא 100%, אבל מה לגבי ה-5% שאני מקבל?"

אין בעיה. ה"זמן" שאנו מחשבים עם ln() הוא למעשה שילוב של ריבית וזמן, אותו X ממשוואת e x. רק החלטנו להגדיר את האחוז ל-100% למען הפשטות, אבל אנחנו חופשיים להשתמש בכל מספר.

נניח שאנחנו רוצים להשיג צמיחה פי 30: קח ln(30) וקבל 3.4 זה אומר:

• e x = גובה
• e 3.4 = 30

ברור שמשוואה זו אומרת "100% תשואה על פני 3.4 שנים נותנת צמיחה פי 30". נוכל לכתוב את המשוואה כך:

• e x = e rate*time
• e 100% * 3.4 שנים = 30

אנו יכולים לשנות את הערכים של "הימור" ו"זמן", כל עוד ההימור * זמן נשאר 3.4. למשל, אם אנחנו מעוניינים בצמיחה פי 30, כמה זמן נצטרך לחכות בריבית של 5%?

• ln(30) = 3.4
• שיעור * זמן = 3.4
• 0.05 * זמן = 3.4
• זמן = 3.4 / 0.05 = 68 שנים

אני מנמק כך: "ln(30) = 3.4, אז בצמיחה של 100% זה ייקח 3.4 שנים. אם אני מכפיל את קצב הצמיחה, הזמן הנדרש יקטן בחצי".

• 100% למשך 3.4 שנים = 1.0 * 3.4 = 3.4
• 200% תוך 1.7 שנים = 2.0 * 1.7 = 3.4
• 50% למשך 6.8 שנים = 0.5 * 6.8 = 3.4
• 5% מעל 68 שנים = .05 * 68 = 3.4.

נהדר, נכון? ניתן להשתמש בלוגריתם הטבעי עם כל ריבית וזמן מכיוון שהתוצר שלהם נשאר קבוע. אתה יכול להזיז ערכי משתנים ככל שתרצה.

דוגמה מגניבה: חוק שבעים ושתיים

חוק השבעים ושתיים הוא טכניקה מתמטית המאפשרת לך להעריך כמה זמן ייקח לכסף שלך להכפיל את עצמו. כעת נסיק זאת (כן!), ויותר מכך, ננסה להבין את מהותו.

כמה זמן ייקח להכפיל את הכסף שלך בריבית של 100% בהרכבה שנתית?

אופס. השתמשנו בלוגריתם הטבעי למקרה של צמיחה מתמשכת, ועכשיו אתה מדבר על תרכובת שנתית? האם הנוסחה הזו לא תהפוך לבלתי מתאימה למקרה כזה? כן, זה יהיה, אבל עבור ריביות ריאליות כמו 5%, 6% או אפילו 15%, ההבדל בין הרכבה שנתית לצמיחה מתמשכת יהיה קטן. אז ההערכה הגסה עובדת, אממ, בערך, אז נעמיד פנים שיש לנו צבירה רציפה לחלוטין.

עכשיו השאלה היא פשוטה: באיזו מהירות אתה יכול להכפיל עם 100% צמיחה? ln(2) = 0.693. לוקח 0.693 יחידות זמן (שנים במקרה שלנו) להכפיל את הכמות שלנו עם עלייה מתמשכת של 100%.

אז מה אם הריבית היא לא 100%, אלא נגיד 5% או 10%?

בְּקַלוּת! מכיוון שהימור * זמן = 0.693, נכפיל את הסכום:

• שיעור * זמן = 0.693
• זמן = 0.693 / הימור

מסתבר שאם הצמיחה תהיה 10%, ייקח 0.693 / 0.10 = 6.93 שנים להכפיל את עצמו.

כדי לפשט את החישובים, הבה נכפיל את שני הצדדים ב-100, ואז נוכל לומר "10" במקום "0.10":

• זמן להכפיל = 69.3 / הימור, כאשר ההימור מבוטא באחוזים.

עכשיו הגיע הזמן להכפיל בשיעור של 5%, 69.3 / 5 = 13.86 שנים. עם זאת, 69.3 אינו הדיבידנד הנוח ביותר. בואו נבחר מספר קרוב, 72, שנוח לחלקו ב-2, 3, 4, 6, 8 ומספרים נוספים.

• זמן להכפיל = 72 / הימור

שהוא כלל שבעים ושתים. הכל מכוסה.

אם אתה צריך למצוא את הזמן לשלש, אתה יכול להשתמש ב-ln(3) ~ 109.8 ולקבל

• זמן לשלש = 110 / הימור

וזה עוד כלל שימושי. "כלל 72" חל על גידול בריבית, גידול אוכלוסיה, תרביות חיידקים וכל דבר שגדל באופן אקספוננציאלי.

מה הלאה?

אני מקווה שהלוגריתם הטבעי כעת הגיוני עבורך - הוא מראה את הזמן שלוקח למספר כלשהו לגדול באופן אקספוננציאלי. אני חושב שזה נקרא טבעי מכיוון ש-e הוא מדד אוניברסלי לצמיחה, כך שניתן לראות את זה כדרך אוניברסלית לקבוע כמה זמן לוקח לגדול.

בכל פעם שאתה רואה את ln(x), זכור את "הזמן שלוקח לגדול X פעמים". במאמר הקרוב אתאר את e ו-ln ביחד כך שהריח הרענן של המתמטיקה ימלא את האוויר.

תוספת: לוגריתם טבעי של ה

חידון מהיר: מה זה ln(e)?

• רובוט מתמטי יגיד: מכיוון שהם מוגדרים כהפוכים זה לזה, ברור כי ln(e) = 1.
• אדם מבין: ln(e) הוא מספר הפעמים שנדרש כדי לגדל "e" פעמים (בערך 2.718). עם זאת, המספר e עצמו הוא מדד לצמיחה בגורם של 1, ולכן ln(e) = 1.

תחשוב ברור.

שיעור ומצגת בנושאים: "לוגריתמים טבעיים. בסיס הלוגריתם הטבעי. הלוגריתם של מספר טבעי"

חומרים נוספים
משתמשים יקרים, אל תשכחו להשאיר הערות, ביקורות, משאלות! כל החומרים נבדקו על ידי תוכנת אנטי וירוס.

עזרי הוראה וסימולטורים בחנות המקוונת אינטגרל לכיתה יא
מדריך אינטראקטיבי לכיתות ט'-י"א "טריגונומטריה"
מדריך אינטראקטיבי לכיתות י'-י"א "לוגריתמים"

מהו לוגריתם טבעי

ראוי לציין שזווית הנטייה של המשיק לגרף של הפונקציה $y=e^x$ בנקודה (0;1) היא 45&°. אז גם זווית הנטייה של המשיק לגרף של הלוגריתם הטבעי בנקודה (1;0) תהיה שווה ל-45&°. שני המשיקים הללו יהיו מקבילים לישר $y=x$. בואו נשרטט את המשיקים:

מאפייני הפונקציה $y=\ln(x)$

במהלך המתמטיקה הגבוהה מוכח ש הנגזרת של פונקציה הפוכה היא ההפוכה של הנגזרת של פונקציה נתונה.
אין הרבה טעם להיכנס להוכחה, בוא נכתוב את הנוסחה: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

דוגמא.
חשב את הערך של הנגזרת של הפונקציה: $y=\ln(2x-7)$ בנקודה $x=4$.
פִּתָרוֹן.
באופן כללי, הפונקציה שלנו מיוצגת על ידי הפונקציה $y=f(kx+m)$; אנחנו יכולים לחשב את הנגזרות של פונקציות כאלה.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
בוא נחשב את הערך של הנגזרת בנקודה הנדרשת: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
תשובה: 2.

דוגמא.
צייר משיק לגרף של הפונקציה $y=ln(x)$ בנקודה $х=е$.
פִּתָרוֹן.
אנו זוכרים היטב את משוואת המשיק לגרף של פונקציה בנקודה $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
אנו מחשבים ברצף את הערכים הנדרשים.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
משוואת המשיק בנקודה $x=e$ היא הפונקציה $y=\frac(x)(e)$.
בואו נשרטט את הלוגריתם הטבעי ואת קו המשיק.

דוגמא.
בחן את הפונקציה עבור מונוטוניות וקיצוניות: $y=x^6-6*ln(x)$.
פִּתָרוֹן.
תחום ההגדרה של הפונקציה $D(y)=(0;+∞)$.
בוא נמצא את הנגזרת של הפונקציה הנתונה:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
הנגזרת קיימת עבור כל x מתחום ההגדרה, אז אין נקודות קריטיות. בואו נמצא נקודות נייחות:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
הנקודה $х=-1$ אינה שייכת לתחום ההגדרה. אז יש לנו נקודה נייחת אחת $x=1$. בואו נמצא את המרווחים של עלייה וירידה:

נקודה $x=1$ היא נקודת המינימום, ואז $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
תשובה: הפונקציה יורדת על הקטע (0;1], הפונקציה גדלה על הקרן $)