Знаменатель геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия. Пример с решением

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Теоретические сведения

	Арифметическая прогрессия	Геометрическая прогрессия
Определение	Арифметической прогрессией a n называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d (d - разность прогрессий)	Геометрической прогрессией b n называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и тоже число q (q - знаменатель прогрессии)
Рекуррентная формула	Для любого натурального n a n + 1 = a n + d	Для любого натурального n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Формула n-ого члена	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Характеристическое свойство
Сумма n-первых членов

Примеры заданий с комментариями

Задание 1

В арифметической прогрессии (a n ) a 1 = -6, a 2

По формуле n-ого члена:

a 22 = a 1 + d (22 - 1) = a 1 + 21 d

По условию:

a 1 = -6, значит a 22 = -6 + 21 d .

Необходимо найти разность прогрессий:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Ответ : a 22 = -48.

Задание 2

Найдите пятый член геометрической прогрессии: -3; 6;....

1-й способ (с помощью формулы n -члена)

По формуле n-ого члена геометрической прогрессии:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4 .

Так как b 1 = -3,

2-й способ (с помощью рекуррентной формулы)

Так как знаменатель прогрессии равен -2 (q = -2), то:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Ответ : b 5 = -48.

Задание 3

В арифметической прогрессии (a n ) a 74 = 34; a 76 = 156. Найдите семьдесят пятый член этой прогрессии.

Для арифметической прогрессии характеристическое свойство имеет вид .

Из этого следует:

.

Подставим данные в формулу:

Ответ : 95.

Задание 4

В арифметической прогрессии (a n ) a n = 3n - 4. Найдите сумму семнадцати первых членов.

Для нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии используют две формулы:

.

Какую из них в данном случае удобнее применять?

По условию известна формула n-ого члена исходной прогрессии (a n ) a n = 3n - 4. Можно найти сразу и a 1 , и a 16 без нахождения d . Поэтому воспользуемся первой формулой.

Ответ : 368.

Задание 5

В арифметической прогрессии(a n ) a 1 = -6; a 2 = -8. Найдите двадцать второй член прогрессии.

По формуле n-ого члена:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1 + 21d .

По условию, если a 1 = -6, то a 22 = -6 + 21d . Необходимо найти разность прогрессий:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Ответ : a 22 = -48.

Задание 6

Записаны несколько последовательных членов геометрической прогрессии:

Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x .

При решении воспользуемся формулой n-го члена b n = b 1 ∙ q n - 1 для геометрических прогрессий. Первый член прогрессии. Чтобы найти знаменатель прогрессии q необходимо взять любой из данных членов прогрессии и разделить на предыдущий. В нашем примере можно взять и разделить на. Получим, что q = 3. Вместо n в формулу подставим 3, так как необходимо найти третий член, заданной геометрической прогрессии.

Подставив найденные значения в формулу, получим:

.

Ответ : .

Задание 7

Из арифметических прогрессий, заданных формулой n-го члена, выберите ту, для которой выполняется условие a 27 > 9:

Так как заданное условие должно выполняться для 27-го члена прогрессии, подставим 27 вместо n в каждую из четырех прогрессий. В 4-й прогрессии получим:

.

Ответ : 4.

Задание 8

В арифметической прогрессии a 1 = 3, d = -1,5. Укажите наибольшее значение n , для которого выполняется неравенство a n > -6.

Рассмотрим теперь вопрос о суммировании бесконечной геометрической прогрессии. Назовем частичной суммой данной бесконечной прогрессии сумму ее первых членов. Обозначим частичную сумму символом

Для каждой бесконечной прогрессии

можно составить (также бесконечную) последовательность ее частичных сумм

Пусть последовательность при неограниченном возрастании имеет предел

В этом случае число S, т. е. предел частичных сумм прогрессии, называют суммой бесконечной прогрессии. Мы докажем, что бесконечная убывающая геометрическая прогрессия всегда имеет сумму, и выведем формулу для этой суммы (можно также показать, что при бесконечная прогрессия не имеет суммы, не существует).

Запишем выражение частичной суммы как суммы членов прогрессии по формуле (91.1) и будем рассматривать предел частичной суммы при

Из теоремы п. 89 известно, что для убывающей прогрессии ; поэтому, применяя теорему о пределе разности, найдем

(здесь также использовано правило: постоянный множитель выносится за знак предела). Существование доказано, и одновременно получена формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Равенство (92.1) можно также писать в виде

Здесь может казаться парадоксальным, что сумме бесконечного множества слагаемых приписывается вполне определенное конечное значение.

Можно привести наглядную иллюстрацию в пояснение такого положения. Рассмотрим квадрат со стороной, равной единице (рис. 72). Разделим этот квадрат горизонтальной линией на две равные части и верхнюю часть приложим к нижней так, чтобы образовался прямоугольник со сторонами 2 и . После этого правую половину этого прямоугольника снова разделим горизонтальной линией пополам и верхнюю часть приложим к нижней (как показано на рис. 72). Продолжая этот процесс, мы все время преобразуем исходный квадрат с площадью, равной 1, в равновеликие фигуры (принимающие вид лестницы с утоньшающимися ступеньками).

При бесконечном продолжении этого процесса вся площадь квадрата разлагается в бесконечное чьсло слагаемых - площадей прямоугольников с основаниями, равными 1, и высотами Площади прямоугольников как раз образуют при этом бесконечную убывающую прогрессию ее сумма

т. е., как и следовало ожидать, равна площади квадрата.

Пример. Найти суммы следующих бесконечных прогрессий:

Решение, а) Замечаем, что у этой прогрессии Поэтому по формуле (92.2) находим

б) Здесь значит, по той же формуле (92.2) имеем

в) Находим, что у этой прогрессии Поэтому данная прогрессия не имеет суммы.

В п. 5 было показано применение формулы суммы членов бесконечно убывающей прогрессии к обращению периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь.

Упражнения

1. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 3/5, а сумма ее первых четырех членов равна 13/27. Найти первый член и знаменатель прогрессии.

2. Найти четыре числа, образующие знакочередующуюся геометрическую прогрессию, у которой второй член меньше первого на 35, а третий больше четвертого на 560.

3. Показать, что если последовательность

образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, то и последовательность

при любом образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Сохранится ли это утверждение при

Вывести формулу для произведения членов геометрической прогрессии.

Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой.

Советский математик, академик А.Н. Колмогоров

Геометрическая прогрессия.

Наряду с задачами на арифметические прогрессии также распространенными на вступительных испытаниях по математике являются задачи, связанные с понятием геометрической прогрессии. Для успешного решения таких задач необходимо знать свойства геометрической прогрессии и иметь хорошие навыки их использования.

Настоящая статья посвящена изложению основных свойств геометрической прогрессии. Здесь также приводятся примеры решения типовых задач , позаимствованных из заданий вступительных испытаний по математике.

Предварительно отметим основные свойства геометрической прогрессии и напомним наиболее важные формулы и утверждения , связанные с этим понятием.

Определение. Числовая последовательность называется геометрической прогрессией, если каждое ее число, начиная со второго, равно предыдущему, умноженному на одно и то же число . Число называется знаменателем геометрической прогрессии.

Для геометрической прогрессии справедливы формулы

, (1)

где . Формула (1) называется формулой общего члена геометрической прогрессии, а формула (2) представляет собой основное свойство геометрической прогрессии: каждый член прогрессии совпадает со средним геометрическим своих соседних членов и .

Отметим , что именно из-за этого свойства рассматриваемая прогрессия называется «геометрической».

Приведенные выше формулы (1) и (2) обобщаются следующим образом:

, (3)

Для вычисления суммы первых членов геометрической прогрессии применяется формула

Если обозначить , то

где . Так как , то формула (6) является обобщением формулы (5).

В том случае , когда и , геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей. Для вычисления суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула

. (7)

Например , с помощью формулы (7) можно показать , что

где . Данные равенства получены из формулы (7) при условии, что , (первое равенство) и , (второе равенство).

Теорема. Если , то

Доказательство. Если , то ,

Теорема доказана.

Перейдем к рассмотрению примеров решения задач на тему «Геометрическая прогрессия».

Пример 1. Дано: , и . Найти .

Решение. Если применить формулу (5), то

Ответ: .

Пример 2. Пусть и . Найти .

Решение. Так как и , то воспользуемся формулами (5), (6) и получим систему уравнений

Если второе уравнение системы (9) разделить на первое , то или . Отсюда следует и . Рассмотрим два случая.

1. Если , то из первого уравнения системы (9) имеем .

2. Если , то .

Пример 3. Пусть , и . Найти .

Решение. Из формулы (2) следует, что или . Так как , то или .

По условию . Однако , поэтому . Поскольку и , то здесь имеем систему уравнений

Если второе уравнение системы разделить на первое, то или .

Так как , то уравнение имеет единственный подходящий корень . В таком случае из первого уравнения системы вытекает .

Принимая во внимание формулу (7), получаем.

Ответ: .

Пример 4. Дано: и . Найти .

Решение. Так как , то .

Поскольку , то или

Согласно формуле (2) имеем . В этой связи из равенства (10) получаем или .

Однако по условию , поэтому .

Пример 5. Известно, что . Найти .

Решение. Согласно теореме имеем два равенства

Так как , то или . Поскольку , то .

Ответ: .

Пример 6. Дано: и . Найти .

Решение. Принимая во внимание формулу (5), получаем

Так как , то . Поскольку , и , то .

Пример 7. Пусть и . Найти .

Решение. Согласно формуле (1) можно записать

Следовательно, имеем или . Известно, что и , поэтому и .

Ответ: .

Пример 8. Найти знаменатель бесконечной убывающей геометрической прогрессии , если

и .

Решение. Из формулы (7) следует и . Отсюда и из условия задачи получаем систему уравнений

Если первое уравнение системы возвести в квадрат , а затем полученное уравнение разделить на второе уравнение , то получим

Или .

Ответ: .

Пример 9. Найти все значения , при которых последовательность , , является геометрической прогрессией.

Решение. Пусть , и . Согласно формуле (2), которая задает основное свойство геометрической прогрессии, можно записать или .

Отсюда получаем квадратное уравнение , корнями которого являются и .

Выполним проверку: если , то , и ; если , то , и .

В первом случае имеем и , а во втором – и .

Ответ: , .

Пример 10. Решить уравнение

, (11)

где и .

Решение. Левая часть уравнения (11) представляет собой сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии, в которой и , при условии: и .

Из формулы (7) следует , что . В этой связи уравнение (11) принимает вид или . Подходящим корнем квадратного уравнения является

Ответ: .

Пример 11. П оследовательность положительных чисел образует арифметическую прогрессию , а – геометрическую прогрессию , причем здесь . Найти .

Решение. Так как арифметическая последовательность , то (основное свойство арифметической прогрессии). Поскольку , то или . Отсюда следует , что геометрическая прогрессия имеет вид . Согласно формуле (2) , далее запишем , что .

Так как и , то . В таком случае выражение принимает вид или . По условию , поэтому из уравнения получаем единственное решение рассматриваемой задачи , т.е. .

Ответ: .

Пример 12. Вычислить сумму

. (12)

Решение. Умножим на 5 обе части равенства (12) и получим

Если из полученного выражения вычесть (12) , то

или .

Для вычисления подставим в формулу (7) значения , и получим . Так как , то .

Ответ: .

Приведенные здесь примеры решения задач будут полезны абитуриентам при подготовке к вступительным испытаниям. Для более глубокого изучения методов решения задач , связанных с геометрической прогрессией , можно использовать учебные пособия из списка рекомендуемой литературы.

1. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование, 2013. – 608 с.

2. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: дополнительные разделы школьной программы. – М.: Ленанд / URSS , 2014. – 216 с.

3. Медынский М.М. Полный курс элементарной математики в задачах и упражнениях. Книга 2: Числовые последовательности и прогрессии. – М.: Эдитус , 2015. – 208 с.

Остались вопросы?

Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Уже в Древнем Египте знали не только арифметическую, но и геометрическую прогрессию. Вот, например, задача из папируса Райнда: «У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»

Рис. 1. Древнеегипетская задача о геометрической прогресии

Эта задача много раз с разными вариациями повторялась и у других народов в другие времена. Например, в написанной в XIII в. «Книге об абаке» Леонардо Пизанского (Фибоначчи) есть задача, в которой фигурируют 7 старух, направляющихся в Рим (очевидно, паломниц), у каждой из которых 7 мулов, на каждом из которых по 7 мешков, в каждом из которых по 7 хлебов, в каждом из которых по 7 ножей, каждый из которых в 7 ножнах. В задаче спрашивается, сколько всего предметов.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Эту формулу можно доказать, например, так: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 .

Добавим к S n число b 1 q n и получим:

Отсюда S n (q – 1) = b 1 (q n – 1) , и мы получаем необходимую формулу.

Уже на одной из глиняных табличек Древнего Вавилона, относящейся к VI в. до н. э., содержится сумма 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Правда, как и в ряде других случаев мы не знаем, откуда этот факт был известен вавилонянам.

Быстрое возрастание геометрической прогрессии в ряде культур, – в частности, в индийской, – неоднократно используется как наглядный символ необозримости мироздания. В известной легенде о появлении шахмат властелин предоставляет их изобретателю возможность самому выбрать награду, и тот просит такое количество пшеничных зерен, которое получится, если одно положить на первую клетку шахматной доски, два – на вторую, четыре – на третью, восемь – на четвертую и т. д., всякий раз число увеличивается вдвое. Владыка думал, что речь идет, самое большое, о нескольких мешках, но он просчитался. Нетрудно видеть, что за все 64 клетки шахматной доски изобретатель должен был бы получить (2 64 – 1) зерно, что выражается 20-значным числом; даже если засевать всю поверхность Земли, потребовалось бы не менее 8 лет, чтобы собрать необходимое количество зерен. Эту легенду иногда интерпретируют как указание на практически неограниченные возможности, скрытые в шахматной игре.

То, что это число действительно 20-значное, увидеть нетрудно:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (более точный расчет дает 1,84∙10 19). А вот интересно, сможете ли вы узнать, какой цифрой оканчивается данное число?

Геометрическая прогрессия бывает возрастающей, если знаменатель по модулю больше 1, или убывающей, если он меньше единицы. В последнем случае число q n при достаточно больших n может стать сколь угодно малым. В то время как возрастающая геометрическая прогрессия возрастает неожиданно быстро, убывающая столь же быстро убывает.

Чем больше n , тем слабее число q n отличается от нуля, и тем ближе сумма n членов геометрической прогрессии S n = b 1 (1 – q n ) / (1 – q ) к числу S = b 1 / (1 – q ) . (Так рассуждал, например, Ф. Виет). Число S называется суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Тем не менее, долгие века вопрос о том, какой смысл имеет суммирование ВСЕЙ геометрической прогрессии, с ее бесконечным числом членов, не был достаточно ясен математикам.

Убывающую геометрическую прогрессию можно видеть, например, в апориях Зенона «Деление пополам» и «Ахиллес и черепаха». В первом случае наглядно показывается, что вся дорога (предположим, длины 1) является суммой бесконечного числа отрезков 1/2, 1/4, 1/8 и т. д. Так оно, конечно, и есть с точки зрения представлений о конечной сумме бесконечной геометрической прогрессии. И все же – как такое может быть?

В апории про Ахиллеса ситуация чуть более сложная, т. к. здесь знаменатель прогрессии равен не 1/2, а какому-то другому числу. Пусть, например, Ахиллес бежит со скоростью v , черепаха движется со скоростью u , а первоначальное расстояние между ними равно l . Это расстояние Ахиллес пробежит за время l /v , черепаха за это время сдвинется на расстояние lu /v . Когда Ахиллес пробежит и этот отрезок, дистанция между ним и черепахой станет равной l (u /v ) 2 , и т. д. Получается, что догнать черепаху – значит найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом l и знаменателем u /v . Эта сумма – отрезок, который в итоге пробежит Ахиллес до места встречи с черепахой – равен l / (1 – u /v ) = lv / (v – u ) . Но, опять-таки, как надо интерпретировать этот результат и почему он вообще имеет какой-то смысл, долгое время было не очень ясно.

Сумму геометрической прогрессии использовал Архимед при определении площади сегмента параболы. Пусть данный сегмент параболы отграничен хордой AB и пусть в точке D параболы касательная параллельна AB . Пусть C – середина AB , E – середина AC , F – середина CB . Проведем прямые, параллельные DC , через точки A , E , F , B ; пусть касательную, проведенную в точке D , эти прямые пересекают в точках K , L , M , N . Проведем также отрезки AD и DB . Пусть прямая EL пересекает прямую AD в точке G , а параболу в точке H ; прямая FM пересекает прямую DB в точке Q , а параболу в точке R . Согласно общей теории конических сечений, DC – диаметр параболы (то есть отрезок, параллельный ее оси); он и касательная в точке D могут служить осями координат x и y , в которых уравнение параболы записывается как y 2 = 2px (x – расстояние от D до какой-либо точки данного диаметра, y – длина параллельного данной касательной отрезка от этой точки диаметра до некоторой точки на самой параболе).

В силу уравнения параболы, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , а поскольку DK = 2DL , то KA = 4LH . Т. к. KA = 2LG , LH = HG . Площадь сегмента ADB параболы равна площади треугольника ΔADB и площадям сегментов AHD и DRB , вместе взятых. В свою очередь, площадь сегмента AHD аналогичным образом равна площади треугольника AHD и оставшихся сегментов AH и HD , с каждым из которых можно провести ту же операцию – разбить на треугольник (Δ) и два оставшихся сегмента (), и т. д.:

Площадь треугольника ΔAHD равна половине площади треугольника ΔALD (у них общее основание AD , а высоты отличаются в 2 раза), которая, в свою очередь, равна половине площади треугольника ΔAKD , а значит, и половине площади треугольника ΔACD . Таким образом, площадь треугольника ΔAHD равна четверти площади треугольника ΔACD . Аналогично, площадь треугольника ΔDRB равна четверти площади треугольника ΔDFB . Итак, площади треугольников ΔAHD и ΔDRB , вместе взятые, равны четверти площади треугольника ΔADB . Повторение этой операции в применении к сегментам AH , HD , DR и RB выделит и из них треугольники, площадь которых, вместе взятых, будет в 4 раза меньше, чем площадь треугольников ΔAHD и ΔDRB , вместе взятых, а значит, в 16 раз меньше, чем площади треугольника ΔADB . И так далее:

Таким образом, Архимед доказал, что «всякий сегмент, заключенный между прямой и параболой, составляет четыре трети треугольника, имеющего с ним одно и то же основание и равную высоту».

Формула n-го члена геометрической прогрессии – штука очень простая. Как по смыслу, так и по общему виду. Но задачки на формулу n-го члена встречаются всякие – от совсем примитивных до вполне себе серьёзных. И в процессе нашего знакомства мы обязательно рассмотрим и те и другие. Ну что, знакомимся?)

Итак, для начала собственно сама формула n

Вот она:

b n = b 1 · q n -1

Формула как формула, ничего сверхъестественного. Выглядит даже проще и компактнее, чем аналогичная формула для . Смысл формулы тоже прост, как валенок.

Эта формула позволяет находить ЛЮБОЙ член геометрической прогрессии ПО ЕГО НОМЕРУ " n ".

Как вы видите, по смыслу полная аналогия с арифметической прогрессией. Знаем номер n – можем посчитать и член, стоящий под этим номером. Какой хотим. Не умножая последовательно на "q" много-много раз. Вот и весь смысл.)

Я понимаю, что на данном уровне работы с прогрессиями все входящие в формулу величины вам уже должны быть понятны, но считаю своим долгом всё-таки расшифровать каждую. На всякий случай.

Итак, поехали:

b 1 – первый член геометрической прогрессии;

q – ;

n – номер члена;

b n – энный (n -й) член геометрической прогрессии.

Эта формулка связывает четыре главных параметра любой геометрической прогрессии – b n , b 1 , q и n . И вокруг этих четырёх ключевых фигур и вертятся все-все задачки по прогрессии.

"А как она выводится?" – слышу любопытный вопрос… Элементарно! Смотрите!

Чему равен второй член прогрессии? Не вопрос! Прямо по пишем:

b 2 = b 1 ·q

А третий член? Тоже не проблема! Второй член помножаем ещё раз на q .

Вот так:

B 3 = b 2 ·q

Вспомним теперь, что второй член, в свою очередь, у нас равен b 1 ·q и подставим это выражение в наше равенство:

B 3 = b 2 ·q = (b 1 ·q)·q = b 1 ·q·q = b 1 ·q 2

Получаем:

B 3 = b 1 ·q 2

А теперь прочитаем нашу запись по-русски: третий член равен первому члену, умноженному на q во второй степени. Улавливаете? Пока нет? Хорошо, ещё один шаг.

Чему равен четвёртый член? Всё то же самое! Умножаем предыдущий (т.е. третий член) на q:

B 4 = b 3 ·q = (b 1 ·q 2)·q = b 1 ·q 2 ·q = b 1 ·q 3

Итого:

B 4 = b 1 ·q 3

И снова переводим на русский язык: четвёртый член равен первому члену, умноженному на q в третьей степени.

И так далее. Ну и как? Уловили закономерность? Да! Для любого члена с любым номером количество одинаковых множителей q (т.е. степень знаменателя) всегда будет на единичку меньше, чем номер искомого члена n .

Стало быть, наша формула будет, без вариантов:

b n = b 1 · q n -1

Вот и все дела.)

Ну что, порешаем задачки, наверное?)

Решение задач на формулу n -го члена геометрической прогрессии.

Начнём, как обычно, с прямого применения формулы. Вот типичная задачка:

В геометрической прогрессии известно, что b 1 = 512 и q = -1/2. Найдите десятый член прогрессии.

Конечно, эту задачку можно вообще безо всяких формул решить. Прямо по смыслу геометрической прогрессии. Но нам ведь с формулой n-го члена размяться нужно, правда? Вот и разминаемся.

Наши данные для применения формулы следующие.

Известен первый член. Это 512.

b 1 = 512.

Известен также знаменатель прогрессии: q = -1/2.

Остаётся только сообразить, чему равен номер члена n. Не вопрос! Нас интересует десятый член? Вот и подставляем в общую формулу десятку вместо n.

И аккуратно считаем арифметику:

Ответ: -1

Как видим, десятый член прогрессии оказался с минусом. Ничего удивительного: знаменатель прогрессии у нас -1/2, т.е. отрицательное число. А это говорит нам о том, что знаки у нашей прогрессии чередуются, да.)

Здесь всё просто. А вот похожая задачка, но немного посложнее в плане вычислений.

В геометрической прогрессии известно, что:

b 1 = 3

Найдите тринадцатый член прогрессии.

Всё то же самое, только в этот раз знаменатель прогрессии – иррациональный . Корень из двух. Ну и ничего страшного. Формула – штука универсальная, с любыми числами справляется.

Работаем прямо по формуле:

Формула, конечно, сработала как надо, но… вот тут некоторые и зависнут. Что дальше делать с корнем? Как возвести корень в двенадцатую степень?

Как-как… Надо понимать, что любая формула, конечно, дело хорошее, но знание всей предыдущей математики при этом не отменяется! Как возвести? Да свойства степеней вспомнить! Превратим корень в степень с дробным показателем и – по формуле возведения степени в степень.

Вот так:

Ответ: 192

И все дела.)

В чём состоит основная трудность при прямом применении формулы n-го члена? Да! Основная трудность – это работа со степенями! А именно – возведение в степень отрицательных чисел, дробей, корней и тому подобных конструкций. Так что те, у кого с этим проблемы, настоятельная просьба повторить степени и их свойства! Иначе и в этой теме будете тормозить, да…)

А теперь порешаем типовые задачки на поиск одного из элементов формулы , если даны все остальные. Для успешного решения таких задач рецепт един и прост до ужаса – пишем формулу n -го члена в общем виде! Прямо в тетрадке рядышком с условием. А затем из условия соображаем, что нам дано, а чего не хватает. И выражаем из формулы искомую величину. Всё!

Например, такая безобидная задачка.

Пятый член геометрической прогрессии со знаменателем 3 равен 567. Найдите первый член этой прогрессии.

Ничего сложного. Работаем прямо по заклинанию.

Пишем формулу n-го члена!

b n = b 1 · q n -1

Что нам дано? Во-первых, дан знаменатель прогрессии: q = 3.

Кроме того, нам дан пятый член : b 5 = 567 .

Всё? Нет! Ещё нам дан номер n! Это – пятёрка: n = 5.

Надеюсь, вы уже понимаете, что в записи b 5 = 567 скрыты сразу два параметра – это сам пятый член (567) и его номер (5). В аналогичном уроке по я об этом уже говорил, но и здесь считаю не лишним напомнить.)

Вот теперь подставляем наши данные в формулу:

567 = b 1 ·3 5-1

Считаем арифметику, упрощаем и получаем простенькое линейное уравнение:

81 b 1 = 567

Решаем и получаем:

b 1 = 7

Как вы видите, с поиском первого члена проблем никаких. А вот при поиске знаменателя q и номера n могут встречаться и сюрпризы. И к ним (к сюрпризам) тоже надо быть готовым, да.)

Например, такая задачка:

Пятый член геометрической прогрессии с положительным знаменателем равен 162, а первый член этой прогрессии равен 2. Найдите знаменатель прогрессии.

В этот раз нам даны первый и пятый члены, а найти просят знаменатель прогрессии. Вот и приступаем.

Пишем формулу n -го члена!

b n = b 1 · q n -1

Наши исходные данные будут следующими:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Не хватает значения q . Не вопрос! Сейчас найдём.) Подставляем в формулу всё что нам известно.

Получаем:

162 = 2· q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Простенькое уравнение четвёртой степени. А вот сейчас – аккуратно! На данном этапе решения многие ученики сразу же радостно извлекают корень (четвёртой степени) и получают ответ q =3 .

Вот так:

q 4 = 81

q = 3

Но вообще-то, это недоделанный ответ. Точнее, неполный. Почему? Дело в том, что ответ q = -3 тоже подходит: (-3) 4 тоже будет 81!

Всё из-за того, что степенное уравнение x n = a всегда имеет два противоположных корня при чётном n . С плюсом и с минусом:

Оба подходят.

Например, решая (т.е. второй степени)

x 2 = 9

Вы же почему-то не удивляетесь появлению двух корней x=±3? Вот и тут то же самое. И с любой другой чётной степенью (четвёртой, шестой, десятой и т.д.) будет так же. Подробности – в теме про

Поэтому правильное решение будет таким:

q 4 = 81

q = ±3

Хорошо, со знаками разобрались. Какой же из них правильный – плюс или минус? Что ж, читаем ещё раз условие задачи в поисках дополнительной информации. Её, конечно, может и не быть, но в данной задаче такая информация имеется. У нас в условии прямым текстом сказано, что дана прогрессия с положительным знаменателем.

Поэтому ответ очевиден:

q = 3

Здесь-то всё просто. А как вы думаете, что было бы, если бы формулировка задачи была бы вот такой:

Пятый член геометрической прогрессии равен 162, а первый член этой прогрессии равен 2. Найдите знаменатель прогрессии.

В чём отличие? Да! В условии ничего не сказано про знак знаменателя. Ни прямо, ни косвенно. И вот тут задачка уже имела бы два решения!

q = 3 и q = -3

Да-да! И с плюсом и с минусом.) Математически сей факт означал бы, что существуют две прогрессии , которые подходят под условие задачи. И для каждой – свой знаменатель. Ради интереса, потренируйтесь и выпишите первые пять членов каждой из них.)

А теперь потренируемся номер члена находить. Эта задачка самая сложная, да. Но зато и более творческая.)

Дана геометрическая прогрессия:

3; 6; 12; 24; …

Под каким номером в этой прогрессии стоит число 768?

Первый шаг всё тот же: пишем формулу n -го члена!

b n = b 1 · q n -1

А теперь, как обычно, подставляем в неё известные нам данные. Гм… не подставляется! Где первый член, где знаменатель, где всё остальное?!

Где-где… А глазки нам зачем? Ресницами хлопать? В этот раз прогрессия задана нам напрямую в виде последовательности. Первый член видим? Видим! Это – тройка (b 1 = 3). А знаменатель? Пока не видим, но он очень легко считается. Если, конечно, понимать, .

Вот и считаем. Прямо по смыслу геометрической прогрессии: берём любой её член (кроме первого) и делим на предыдущий.

Хотя бы вот так:

q = 24/12 = 2

Что ещё нам известно? Нам ещё известен некоторый член этой прогрессии, равный 768. Под каким-то номером n:

b n = 768

Номер его нам неизвестен, но наша задача как раз и состоит в том, чтобы его отыскать.) Вот и ищем. Все необходимые данные для подстановки в формулу мы уже скачали. Незаметно для себя.)

Вот и подставляем:

768 = 3·2 n -1

Делаем элементарные – делим обе части на тройку и переписываем уравнение в привычном виде: неизвестное слева, известное - справа.

Получаем:

2 n -1 = 256

Вот такое интересное уравнение. Надо найти "n". Что, непривычно? Да, я не спорю. Вообще-то, это простейшее . Оно так называется из-за того, что неизвестное (в данном случае это – номер n ) стоит в показателе степени.

На этапе знакомства с геометрической прогрессией (это девятый класс) показательные уравнения решать не учат, да… Это тема старших классов. Но страшного ничего нет. Даже если вы не в курсе, как решаются такие уравнения, попробуем найти наше n , руководствуясь простой логикой и здравым смыслом.

Начинаем рассуждать. Слева у нас стоит двойка в какой-то степени . Мы пока не знаем, что это конкретно за степень, но это и не страшно. Но зато мы твёрдо знаем, что эта степень равна 256! Вот и вспоминаем, в какой же степени двойка даёт нам 256. Вспомнили? Да! В восьмой степени!

256 = 2 8

Если не вспомнили или с распознаванием степеней проблемы, то тоже ничего страшного: просто последовательно возводим двойку в квадрат, в куб, в четвёртую степень, пятую и так далее. Подбор, фактически, но на данном уровне – вполне прокатит.

Так или иначе, мы получим:

2 n -1 = 2 8

n -1 = 8

n = 9

Итак, 768 – это девятый член нашей прогрессии. Всё, задача решена.)

Ответ: 9

Что? Скучно? Надоела элементарщина? Согласен. И мне тоже. Шагаем на следующий уровень.)

Более сложные задачи.

А теперь решаем задачки покруче. Не то чтобы совсем уж сверхкрутые, но над которыми предстоит немного поработать, чтобы добраться до ответа.

Например, такая.

Найдите второй член геометрической прогрессии, если четвёртый её член равен -24, а седьмой член равен 192.

Это классика жанра. Известны какие-то два разных члена прогрессии, а найти надо ещё какой-то член. Причём все члены НЕ соседние. Что и смущает поначалу, да…

Как и в , для решения таких задач рассмотрим два способа. Первый способ – универсальный. Алгебраический. Работает безотказно и с любыми исходными данными. Поэтому именно с него и начнём.)

Расписываем каждый член по формуле n -го члена!

Всё точь-в-точь как с арифметической прогрессией. Только в этот раз работаем с другой общей формулой. Вот и всё.) Но суть та же самая: берём и поочерёдно подставляем в формулу n-го члена наши исходные данные. Для каждого члена – свои.

Для четвёртого члена записываем:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Есть. Одно уравнение готово.

Для седьмого члена пишем:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Итого получили два уравнения для одной и той же прогрессии .

Собираем из них систему:

Несмотря на её грозный вид, системка совсем простая. Самый очевидный способ решения – обычная подстановка. Выражаем b 1 из верхнего уравнения и подставляем в нижнее:

Немного повозившись с нижним уравнением (сократив степени и поделив на -24), получим:

q 3 = -8

К этому же уравнению, между прочим, можно прийти и более простым путём! Каким? Сейчас я вам продемонстрирую ещё один секретный, но оч-чень красивый, мощный и полезный способ решения подобных систем. Таких систем, в уравнениях которых сидят только произведения. Хотя бы в одном. Называется метод почленного деления одного уравнения на другое.

Итак, перед нами система:

В обоих уравнениях слева – произведение , а справа – просто число. Это очень хороший знак.) Давайте возьмём и… поделим, скажем, нижнее уравнение на верхнее! Что значит, поделим одно уравнение на другое? Очень просто. Берём левую часть одного уравнения (нижнего) и делим её на левую часть другого уравнения (верхнего). С правой частью аналогично: правую часть одного уравнения делим на правую часть другого.

Весь процесс деления выглядит так:

Теперь, сократив всё, что сокращается, получим:

q 3 = -8

Чем хорош этот способ? Да тем, что в процессе такого деления всё нехорошее и неудобное может благополучно сократиться и остаться вполне безобидное уравнение! Именно поэтому так важно наличие только умножения хотя бы в одном из уравнений системы. Нету умножения – нечего и сокращать, да…

А вообще, этот способ (как и многие другие нетривиальные способы решения систем) даже заслуживает отдельного урока. Обязательно его разберу поподробнее. Когда-нибудь…

Впрочем, неважно, как именно вы решаете систему, в любом случае теперь нам надо решить получившееся уравнение:

q 3 = -8

Никаких проблем: извлекаем корень (кубический) и – готово!

Прошу заметить, что здесь при извлечении ставить плюс/минус не нужно. Нечётной (третьей) степени у нас корень. И ответ – тоже один, да.)

Итак, знаменатель прогрессии найден. Минус два. Отлично! Процесс идёт.)

Для первого члена (скажем, из верхнего уравнения) мы получим:

Отлично! Знаем первый член, знаем знаменатель. И теперь у нас появилась возможность найти любой член прогрессии. В том числе и второй.)

Для второго члена всё совсем просто:

b 2 = b 1 · q = 3·(-2) = -6

Ответ: -6

Итак, алгебраический способ решения задачи мы с вами разложили по полочкам. Сложно? Не очень, согласен. Долго и нудно? Да, безусловно. Но иногда можно существенно сократить объём работы. Для этого есть графический способ. Старый добрый и знакомый нам по .)

Рисуем задачу!

Да! Именно так. Снова изображаем нашу прогрессию на числовой оси. Не обязательно по линеечке, не обязательно выдерживать равные интервалы между членами (которые, кстати, и не будут одинаковыми, т.к. прогрессия - геометрическая!), а просто схематично рисуем нашу последовательность.

У меня получилось вот так:

А теперь смотрим на картинку и соображаем. Сколько одинаковых множителей "q" разделяют четвёртый и седьмой члены? Верно, три!

Стало быть, имеем полное право записать:

-24· q 3 = 192

Отсюда теперь легко ищется q:

q 3 = -8

q = -2

Вот и отлично, знаменатель у нас уже в кармане. А теперь снова смотрим на картинку: сколько таких знаменателей сидит между вторым и четвёртым членами? Два! Стало быть, для записи связи между этими членами знаменатель будем возводить в квадрат .

Вот и пишем:

b 2 · q 2 = -24 , откуда b 2 = -24/ q 2

Подставляем наш найденный знаменатель в выражение для b 2 , считаем и получаем:

Ответ: -6

Как видим, всё гораздо проще и быстрее, чем через систему. Более того, здесь нам вообще даже не понадобилось считать первый член! Совсем.)

Вот такой простой и наглядный способ-лайт. Но есть у него и серьёзный недостаток. Догадались? Да! Он годится только для очень коротких кусочков прогрессии. Таких, где расстояния между интересующими нас членами не очень большие. А вот во всех остальных случаях картинку рисовать уже затруднительно, да… Тогда решаем задачу аналитически, через систему.) А системы – штука универсальная. С любыми числами справляются.

Ещё одна эпичная задачка:

Второй член геометрической прогрессии на 10 больше первого, а третий член на 30 больше второго. Найдите знаменатель прогрессии.

Что, круто? Вовсе нет! Всё то же самое. Снова переводим условие задачи в чистую алгебру.

1) Расписываем каждый член по формуле n -го члена!

Второй член: b 2 = b 1 ·q

Третий член: b 3 = b 1 ·q 2

2) Записываем связь между членами из условия задачи.

Читаем условие: "Второй член геометрической прогрессии на 10 больше первого". Стоп, это ценно!

Так и пишем:

b 2 = b 1 +10

И эту фразу переводим в чистую математику:

b 3 = b 2 +30

Получили два уравнения. Объединяем их в систему:

Система на вид простенькая. Но что-то уж много различных индексов у буковок. Подставим-ка вместо второго и третьего членов их выражения через первый член и знаменатель! Зря, что ли, мы их расписывали?

Получим:

А вот такая система – уже не подарок, да… Как такое решать? К сожалению, универсального секретного заклинания на решение сложных нелинейных систем в математике нет и быть не может. Это фантастика! Но первое что должно приходить вам в голову при попытке разгрызть подобный крепкий орешек – это прикинуть, а не сводится ли одно из уравнений системы к красивому виду, позволяющему, например, легко выразить одну из переменных через другую?

Вот и прикинем. Первое уравнение системы явно проще второго. Его и подвергнем пыткам.) А не попробовать ли из первого уравнения что-то выразить через что-то? Раз уж мы хотим найти знаменатель q , то выгоднее всего нам было бы выразить b 1 через q .

Вот и попробуем проделать эту процедуру с первым уравнением, применяя старые добрые :

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Всё! Вот мы и выразили ненужную нам переменную (b 1) через нужную (q). Да, не самое простое выражение получили. Дробь какую-то… Но и система у нас приличного уровня, да.)

Типичное . Что делать – знаем.

Пишем ОДЗ (обязательно!) :

q ≠ 1

Умножаем всё на знаменатель (q-1) и сокращаем все дроби:

10 q 2 = 10 q + 30(q -1)

Делим всё на десятку, раскрываем скобки, собираем всё слева:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Решаем получившееся и получаем два корня:

q 1 = 1

q 2 = 3

Окончательный ответ один: q = 3 .

Ответ: 3

Как вы видите, путь решения большинства задач на формулу n-го члена геометрической прогрессии всегда един: читаем внимательно условие задачи и с помощью формулы n-го члена переводим всю полезную информацию в чистую алгебру.

А именно:

1) Расписываем отдельно каждый данный в задаче член по формуле n -го члена.

2) Из условия задачи переводим связь между членами в математическую форму. Составляем уравнение или систему уравнений.

3) Решаем полученное уравнение или систему уравнений, находим неизвестные параметры прогрессии.

4) В случае неоднозначного ответа читаем внимательно условие задачи в поисках дополнительной информации (если таковая присутствует). Также сверяем полученный ответ с условиями ОДЗ (если таковые имеются).

А теперь перечислим основные проблемы, наиболее часто приводящие к ошибкам в процессе решения задач на геометрическую прогрессию.

1. Элементарная арифметика. Действия с дробями и отрицательными числами.

2. Если хотя бы с одним из этих трёх пунктов проблемы, то неизбежно будете ошибаться и в этой теме. К сожалению… Так что не ленитесь и повторите то о чём упомянуто выше. И по ссылочкам – сходите. Иногда помогает.)

Видоизменённые и рекуррентные формулы.

А теперь рассмотрим парочку типичных экзаменационных задачек с менее привычной подачей условия. Да-да, вы угадали! Это видоизменённые и рекуррентные формулы n-го члена. С такими формулами мы уже с вами сталкивались и работали в по арифметической прогрессии. Здесь всё аналогично. Суть та же.

Например, такая задачка из ОГЭ:

Геометрическая прогрессия задана формулой b n = 3·2 n . Найдите сумму первого и четвёртого её членов.

В этот раз прогрессия нам задана не совсем привычно. В виде какой-то формулы. Ну и что? Эта формула – тоже формула n -го члена! Мы же с вами знаем, что формулу n-го члена можно записать как в общем виде, через буквы, так и для конкретной прогрессии . С конкретными первым членом и знаменателем.

В нашем случае нам, на самом деле, задана формула общего члена для геометрической прогрессии вот с такими параметрами:

b 1 = 6

q = 2

Проверим?) Запишем формулу n-го члена в общем виде и подставим в неё b 1 и q . Получим:

b n = b 1 · q n -1

b n = 6·2 n -1

Упрощаем, используя разложение на множители и свойства степеней, и получаем:

b n = 6·2 n -1 = 3·2·2 n -1 = 3·2 n -1+1 = 3·2 n

Как видите, всё честно. Но наша с вами цель – не продемонстрировать вывод конкретной формулы. Это так, лирическое отступление. Чисто для понимания.) Наша цель - решить задачу по той формуле, что дана нам в условии. Улавливаете?) Вот и работаем с видоизменённой формулой напрямую.

Считаем первый член. Подставляем n =1 в общую формулу:

b 1 = 3·2 1 = 3·2 = 6

Вот так. Кстати, не поленюсь и ещё раз обращу ваше внимание на типовой ляп с подсчётом первого члена. НЕ НАДО, глядя на формулу b n = 3·2 n , сразу бросаться писать, что первый член – тройка! Это – грубейшая ошибка, да…)

Продолжаем. Подставляем n =4 и считаем четвёртый член:

b 4 = 3·2 4 = 3·16 = 48

Ну и наконец, считаем требуемую сумму:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Ответ: 54

Ещё задачка.

Геометрическая прогрессия задана условиями:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Найдите четвёртый член прогрессии.

Здесь прогрессия задана рекуррентной формулой. Ну и ладно.) Как работать с такой формулой – тоже знаем.

Вот и действуем. По шагам.

1) Считаем два последовательных члена прогрессии.

Первый член нам уже задан. Минус семь. А вот следующий, второй член, легко можно посчитать по рекуррентной формуле. Если понимать принцип её работы, конечно.)

Вот и считаем второй член по известному первому:

b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21

2) Считаем знаменатель прогрессии

Тоже никаких проблем. Прямо , делим второй член на первый.

Получаем:

q = -21/(-7) = 3

3) Пишем формулу n -го члена в привычном виде и считаем нужный член.

Итак, первый член знаем, знаменатель – тоже. Вот и пишем:

b n = -7·3 n -1

b 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

Ответ: -189

Как вы видите, работа с такими формулами для геометрической прогрессии ничем по своей сути не отличается от таковой для прогрессии арифметической. Важно лишь понимать общую суть и смысл этих формул. Ну и смысл геометрической прогрессии тоже надо понимать, да.) И тогда глупых ошибок не будет.

Ну что, порешаем самостоятельно?)

Совсем элементарные задачки, для разминки:

1. Дана геометрическая прогрессия, в которой b 1 = 243, а q = -2/3. Найдите шестой член прогрессии.

2. Общий член геометрической прогрессии задан формулой b n = 5∙2 n +1 . Найдите номер последнего трёхзначного члена этой прогрессии.

3. Геометрическая прогрессия задана условиями:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Найдите пятый член прогрессии.

Чуть посложнее:

4. Дана геометрическая прогрессия:

b 1 =2048; q =-0,5

Чему равен шестой отрицательный её член?

Что, кажется суперсложно? Вовсе нет. Спасёт логика и понимание смысла геометрической прогрессии. Ну и формула n-го члена, само собой.

5. Третий член геометрической прогрессии равен -14, а восьмой член равен 112. Найдите знаменатель прогрессии.

6. Сумма первого и второго членов геометрической прогрессии равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите шестой член прогрессии.

Ответы (в беспорядке): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

Вот почти и всё. Осталось лишь научиться нам считать сумму n первых членов геометрической прогрессии да открыть для себя бесконечно убывающую геометрическую прогрессию и её сумму. Очень интересную и необычную штуку, между прочим! Об этом - в следующих уроках.)