Класси́ческая тео́рия тяготе́ния Ньютона (Зако́н всемирного тяготе́ния Ньютона) - закон, описывающий гравитационное взаимодействие в рамках классической механики . Этот закон был открыт Ньютоном около 1666 года. Он гласит, что сила F {\displaystyle F} гравитационного притяжения между двумя материальными точками массы m 1 {\displaystyle m_{1}} и m 2 {\displaystyle m_{2}} , разделёнными расстоянием R {\displaystyle R} , пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними - то есть:
F = G ⋅ m 1 ⋅ m 2 R 2 {\displaystyle F=G\cdot {m_{1}\cdot m_{2} \over R^{2}}}
Здесь G {\displaystyle G} - гравитационная постоянная , равная 6,67408(31)·10 −11 м³/(кг·с²) :.
Энциклопедичный YouTube
1 / 5
✪ Введение в закон всемирного тяготения Ньютона
✪ Закон Всемирного тяготения
✪ физика ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ 9 класс
✪ Про Исаака Ньютона (Краткая история)
✪ Урок 60. Закон всемирного тяготения. Гравитационная постоянная
Субтитры
Теперь немного узнаем о тяготении, или гравитации. Как вы знаете, тяготение, особенно в начальном или даже в довольно углубленном курсе физики - это такое понятие, которое можно вычислить и узнать основные параметры, которыми оно обусловлено, но на самом деле тяготение не вполне поддается пониманию. Пусть даже вы знакомы с общей теорией относительности - если вас спросят, что такое тяготение, вы можете ответить: это искривление пространства-времени и тому подобное. Однако все равно трудно получить интуитивное представление, по какой причине два объекта, только лишь потому, что у них есть так называемая масса, притягиваются друг к другу. По крайней мере, для меня это мистика. Отметив это, приступим к рассмотрению понятия о тяготении. Будем делать это, изучая закон всемирного тяготения Ньютона, справедливый для большинства ситуаций. Этот закон гласит: сила взаимного гравитационного притяжения F между двумя материальными точками, обладающими массами m₁ и m₂, равна произведению гравитационной постоянной G на массу первого объекта m₁ и второго объекта m₂, деленному на квадрат расстояния d между ними. Это довольно несложная формула. Попробуем преобразовать ее и посмотрим, нельзя ли получить какие-то хорошо знакомые нам результаты. Используем эту формулу для расчета ускорения свободного падения вблизи поверхности Земли. Давайте нарисуем сперва Землю. Просто чтобы понимать, о чем мы с вами говорим. Это наша Земля. Допустим, нам надо вычислить гравитационное ускорение, действующее на Сэла, то есть на меня. Вот он я. Попытаемся применить это уравнение для расчета величины ускорения моего падения к центру Земли, или к центру масс Земли. Величина, обозначенная заглавной буквой G - это универсальная гравитационная постоянная. Еще раз: G - это универсальная гравитационная постоянная. Хотя, насколько я знаю, хоть я и не эксперт в этом вопросе, мне кажется, ее значение может меняться, то есть это не настоящая постоянная, и я предполагаю, что при разных измерениях ее величина различается. Но для наших потребностей, а также в большинстве курсов физики, это постоянная, константа, равная 6,67 * 10^(−11) кубических метров, деленных на килограмм на секунду в квадрате. Да, ее размерность выглядит странно, но вам достаточно понять, что это - условные единицы, необходимые, чтобы в результате умножения на массы объектов и деления на квадрат расстояния получить размерность силы - ньютон, или килограмм на метр, деленный на секунду в квадрате. Так что об этих единицах измерения не стоит беспокоиться: просто знайте, что нам придется работать с метрами, секундами и килограммами. Подставим это число в формулу для силы: 6,67 * 10^(−11). Поскольку нам нужно знать ускорение, действующее на Сэла, то m₁ равна массе Сэла, то есть меня. Не хотелось бы разоблачать в этом сюжете, сколько я вешу, так что оставим эту массу переменной, обозначив ms. Вторая масса в уравнении - это масса Земли. Выпишем ее значение, заглянув в Википедию. Итак, масса Земли равна 5,97 * 10^24 килограммов. Да, Земля помассивнее Сэла. Кстати, вес и масса - разные понятия. Итак, сила F равна произведению гравитационной постоянной G на массу ms, затем на массу Земли, и все это делим на квадрат расстояния. Вы можете возразить: какое же расстояние между Землей и тем, что на ней стоит? Ведь если предметы соприкасаются, расстояние равно нулю. Здесь важно понять: расстояние между двумя объектами в данной формуле - это расстояние между их центрами масс. В большинстве случаев центр масс человека расположен примерно в трех футах над поверхностью Земли, если человек не слишком высокий. Как бы там ни было, мой центр масс может находиться на высоте три фута над землей. А где центр масс Земли? Очевидно, в центре Земли. А радиус Земли у нас равен чему? 6371 километр, или примерно 6 миллионов метров. Поскольку высота моего центра масс составляет около одной миллионной расстояния до центра масс Земли, то в данном случае ею можно пренебречь. Тогда расстояние будет равно 6 и так далее, как и все остальные величины, нужно записать его в стандартном виде - 6,371 * 10^6, поскольку 6000 км - это 6 миллионов метров, а миллион - это 10^6. Пишем, округляя все дроби до второго знака после запятой, расстояние равно 6,37 * 10^6 метров. В формуле стоит квадрат расстояния, поэтому возведем все в квадрат. Попробуем теперь упростить. Вначале перемножим величины в числителе и вынесем вперед переменную ms. Тогда сила F равна массе Сэла на всю верхнюю часть, вычислим ее отдельно. Итак, 6,67 умножить на 5,97 равно 39,82. 39,82. Это произведение значащих частей, которое теперь следует умножить на 10 в нужной степени. 10^(−11) и 10^24 имеют одинаковое основание, поэтому для их перемножения достаточно сложить показатели степени. Сложив 24 и −11, получим 13, в итоге имеем 10^13. Найдем знаменатель. Он равен 6,37 в квадрате, умноженное на 10^6 также в квадрате. Как вы помните, если число, записанное в виде степени, возводится в другую степень, то показатели степеней перемножаются, а значит, 10^6 в квадрате равно 10 в степени 6, умноженной на 2, или 10^12. Далее вычислим квадрат числа 6,37 с помощью калькулятора и получим… Возводим 6,37 в квадрат. И это 40,58. 40,58. Осталось разделить 39,82 на 40,58. Делим 39,82 на 40,58, что равняется 0,981. Потом делим 10^13 на 10^12, что равно 10^1, или просто 10. А 0,981, умноженное на 10, это 9,81. После упрощения и несложных расчетов получили, что сила тяготения вблизи поверхности Земли, действующая на Сэла, равна массе Сэла, умноженной на 9,81. Что нам это дает? Можно ли теперь вычислить гравитационное ускорение? Известно, что сила равна произведению массы на ускорение, поэтому и сила тяготения просто равна произведению массы Сэла на гравитационное ускорение, которое принято обозначать строчной буквой g. Итак, с одной стороны, сила притяжения равна числу 9,81, умноженному на массу Сэла. С другой, она же равна массе Сэла на гравитационное ускорение. Разделив обе части равенства на массу Сэла, получим, что коэффициент 9,81 и есть гравитационное ускорение. И если бы мы включили в расчеты полную запись единиц размерности, то, сократив килограммы, увидели бы, что гравитационное ускорение измеряется в метрах, деленных на секунду в квадрате, как и любое ускорение. Также можно заметить, что полученное значение очень близко к тому, которое мы использовали при решении задач о движении брошенного тела: 9,8 метров в секунду в квадрате. Это впечатляет. Решим еще одну короткую задачу на тяготение, потому что у нас осталось пара минут. Предположим, у нас есть другая планета под названием Земля Малышка. Пусть радиус Малышки rS вдвое меньше радиуса Земли rE, и ее масса mS также равна половине массы Земли mE. Чему будет равна сила тяжести, действующая здесь на какой-либо объект, и насколько она меньше силы земного тяготения? Хотя, давайте оставим задачу на следующий раз, потом ее решу. До встречи. Subtitles by the Amara.org community
Свойства ньютоновского тяготения
В ньютоновской теории каждое массивное тело порождает силовое поле притяжения к этому телу, которое называется гравитационным полем . Это поле потенциально , и функция гравитационного потенциала для материальной точки с массой M {\displaystyle M} определяется формулой:
φ (r) = − G M r . {\displaystyle \varphi (r)=-G{\frac {M}{r}}.}В общем случае, когда плотность вещества ρ {\displaystyle \rho } распределена произвольно, удовлетворяет уравнению Пуассона :
Δ φ = − 4 π G ρ (r) . {\displaystyle \Delta \varphi =-4\pi G\rho (r).}Решение этого уравнения записывается в виде:
φ = − G ∫ ρ (r) d V r + C , {\displaystyle \varphi =-G\int {\frac {\rho (r)dV}{r}}+C,}где r {\displaystyle r} - расстояние между элементом объёма d V {\displaystyle dV} и точкой, в которой определяется потенциал φ {\displaystyle \varphi } , C {\displaystyle C} - произвольная постоянная.
Сила притяжения, действующая в гравитационном поле на материальную точку с массой m {\displaystyle m} , связана с потенциалом формулой:
F (r) = − m ∇ φ (r) . {\displaystyle F(r)=-m\nabla \varphi (r).}Сферически симметричное тело создаёт за своими пределами такое же поле, как материальная точка той же массы, расположенная в центре тела.
Траектория материальной точки в гравитационном поле, создаваемом много большей по массе материальной точкой, подчиняется законам Кеплера . В частности, планеты и кометы в Солнечной системе движутся по эллипсам или гиперболам . Влияние других планет, искажающее эту картину, можно учесть с помощью теории возмущений .
Точность закона всемирного тяготения Ньютона
Экспериментальная оценка степени точности закона тяготения Ньютона является одним из подтверждений общей теории относительности . Опыты по измерению квадрупольного взаимодействия вращающегося тела и неподвижной антенны показали , что приращение δ {\displaystyle \delta } в выражении для зависимости ньютоновского потенциала r − (1 + δ) {\displaystyle r^{-(1+\delta)}} на расстояниях нескольких метров находится в пределах (2 , 1 ± 6 , 2) ∗ 10 − 3 {\displaystyle (2,1\pm 6,2)*10^{-3}} . Другие опыты также подтвердили отсутствие модификаций в законе всемирного тяготения .
Закон всемирного тяготения Ньютона в 2007 г. был проверен и на расстояниях, меньших одного сантиметра (от 55 мкм до 9,53 мм). С учетом погрешностей эксперимента в исследованном диапазоне расстояний отклонений от закона Ньютона не обнаружено .
Прецизионные лазерные дальнометрические наблюдения за орбитой Луны подтверждают закон всемирного тяготения на расстоянии от Земли до Луны с точностью 3 ⋅ 10 − 11 {\displaystyle 3\cdot 10^{-11}} .
Связь с геометрией евклидова пространства
Факт равенства с очень высокой точностью 10 − 9 {\displaystyle 10^{-9}} показателя степени расстояния в знаменателе выражения для силы тяготения числу 2 {\displaystyle 2} отражает евклидову природу трёхмерного физического пространства механики Ньютона. В трёхмерном евклидовом пространстве площадь поверхности сферы точно пропорциональна квадрату её радиуса
Исторический очерк
Сама идея всеобщей силы тяготения неоднократно высказывалась и до Ньютона. Ранее о ней размышляли Эпикур , Гассенди , Кеплер , Борелли , Декарт , Роберваль , Гюйгенс и другие . Кеплер полагал, что тяготение обратно пропорционально расстоянию до Солнца и распространяется только в плоскости эклиптики; Декарт считал его результатом вихрей в эфире . Были, впрочем, догадки с правильной зависимостью от расстояния; Ньютон в письме к Галлею упоминает как своих предшественников Буллиальда , Рена и Гука . Но до Ньютона никто не сумел ясно и математически доказательно связать закон тяготения (силу, обратно пропорциональную квадрату расстояния) и законы движения планет (законы Кеплера).
- закон тяготения;
- закон движения (второй закон Ньютона);
- система методов для математического исследования (математический анализ).
В совокупности эта триада достаточна для полного исследования самых сложных движений небесных тел, тем самым создавая основы небесной механики . До Эйнштейна никаких принципиальных поправок к указанной модели не понадобилось, хотя математический аппарат оказалось необходимым значительно развить.
Отметим, что теория тяготения Ньютона уже не была, строго говоря, гелиоцентрической . Уже в задаче двух тел планета вращается не вокруг Солнца, а вокруг общего центра тяжести, так как не только Солнце притягивает планету, но и планета притягивает Солнце. Наконец, выяснилась необходимость учесть влияние планет друг на друга.
В течение XVIII века закон всемирного тяготения был предметом активной дискуссии (против него выступали сторонники школы Декарта) и тщательных проверок. К концу века стало общепризнано, что закон всемирного тяготения позволяет с огромной точностью объяснить и предсказать движения небесных тел. Генри Кавендиш в 1798 году осуществил прямую проверку справедливости закона тяготения в земных условиях, используя исключительно чувствительные крутильные весы . Важным этапом стало введение Пуассоном в 1813 году понятия гравитационного потенциала и уравнения Пуассона для этого потенциала; эта модель позволяла исследовать гравитационное поле при произвольном распределении вещества . После этого ньютоновский закон стал рассматриваться как фундаментальный закон природы.
В то же время ньютоновская теория содержала ряд трудностей. Главная из них - необъяснимое дальнодействие : сила притяжения передавалась непонятно как через совершенно пустое пространство, причём бесконечно быстро. По существу ньютоновская модель была чисто математической, без какого-либо физического содержания. Кроме того, если Вселенная, как тогда предполагали, евклидова и бесконечна, и при этом средняя плотность вещества в ней ненулевая, то возникает гравитационный парадокс . В конце XIX века обнаружилась ещё одна проблема: расхождение теоретического и наблюдаемого смещения перигелия Меркурия .
Дальнейшее развитие
Общая теория относительности
На протяжении более двухсот лет после Ньютона физики предлагали различные пути усовершенствования ньютоновской теории тяготения. Эти усилия увенчались успехом в 1915 году , с созданием общей теории относительности Эйнштейна , в которой все указанные трудности были преодолены. Теория Ньютона, в полном согласии с принципом соответствия , оказалась приближением более общей теории, применимым при выполнении двух условий:
В слабых стационарных гравитационных полях уравнения движения переходят в ньютоновы (гравитационный потенциал). Для доказательства покажем, что скалярный гравитационный потенциал в слабых стационарных гравитационных полях удовлетворяет уравнению Пуассона
Δ Φ = − 4 π G ρ {\displaystyle \Delta \Phi =-4\pi G\rho } .Известно (Гравитационный потенциал), что в этом случае гравитационный потенциал имеет вид:
Φ = − 1 2 c 2 (g 44 + 1) {\displaystyle \Phi =-{\frac {1}{2}}c^{2}(g_{44}+1)} .Найдем компоненту тензора энергии-импульса из уравнений гравитационного поля общей теории относительности:
R i k = − ϰ (T i k − 1 2 g i k T) {\displaystyle R_{ik}=-\varkappa (T_{ik}-{\frac {1}{2}}g_{ik}T)} ,где R i k {\displaystyle R_{ik}} - тензор кривизны . Для мы можем ввести кинетический тензор энергии-импульса ρ u i u k {\displaystyle \rho u_{i}u_{k}} . Пренебрегая величинами порядка u / c {\displaystyle u/c} , можно положить все компоненты T i k {\displaystyle T_{ik}} , кроме T 44 {\displaystyle T_{44}} , равными нулю. Компонента T 44 {\displaystyle T_{44}} равна T 44 = ρ c 2 {\displaystyle T_{44}=\rho c^{2}} и, следовательно T = g i k T i k = g 44 T 44 = − ρ c 2 {\displaystyle T=g^{ik}T_{ik}=g^{44}T_{44}=-\rho c^{2}} . Таким образом, уравнения гравитационного поля принимают вид R 44 = − 1 2 ϰ ρ c 2 {\displaystyle R_{44}=-{\frac {1}{2}}\varkappa \rho c^{2}} . Вследствие формулы
R i k = ∂ Γ i α α ∂ x k − ∂ Γ i k α ∂ x α + Γ i α β Γ k β α − Γ i k α Γ α β β {\displaystyle R_{ik}={\frac {\partial \Gamma _{i\alpha }^{\alpha }}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial \Gamma _{ik}^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}+\Gamma _{i\alpha }^{\beta }\Gamma _{k\beta }^{\alpha }-\Gamma _{ik}^{\alpha }\Gamma _{\alpha \beta }^{\beta }}значение компоненты тензора кривизны R 44 {\displaystyle R_{44}} можно взять равным R 44 = − ∂ Γ 44 α ∂ x α {\displaystyle R_{44}=-{\frac {\partial \Gamma _{44}^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}} и так как Γ 44 α ≈ − 1 2 ∂ g 44 ∂ x α {\displaystyle \Gamma _{44}^{\alpha }\approx -{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{44}}{\partial x^{\alpha }}}} , R 44 = 1 2 ∑ α ∂ 2 g 44 ∂ x α 2 = 1 2 Δ g 44 = − Δ Φ c 2 {\displaystyle R_{44}={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }{\frac {\partial ^{2}g_{44}}{\partial x_{\alpha }^{2}}}={\frac {1}{2}}\Delta g_{44}=-{\frac {\Delta \Phi }{c^{2}}}} . Таким образом, приходим к уравнению Пуассона:
Δ Φ = 1 2 ϰ c 4 ρ {\displaystyle \Delta \Phi ={\frac {1}{2}}\varkappa c^{4}\rho } , где ϰ = − 8 π G c 4 {\displaystyle \varkappa =-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}}Квантовая гравитация
Однако и общая теория относительности не является окончательной теорией гравитации, так как неудовлетворительно описывает гравитационные процессы в квантовых масштабах (на расстояниях порядка планковского , около 1,6⋅10 −35 ). Построение непротиворечивой квантовой теории гравитации - одна из важнейших нерешённых задач современной физики.
С точки зрения квантовой гравитации, гравитационное взаимодействие осуществляется путём обмена виртуальными гравитонами между взаимодействующими телами. Согласно принципу неопределенности , энергия виртуального гравитона обратно пропорциональна времени его существования от момента излучения одним телом до момента поглощения другим телом. Время существования пропорционально расстоянию между телами. Таким образом, на малых расстояниях взаимодействующие тела могут обмениваться виртуальными гравитонами с короткими и длинными длинами волн, а на больших расстояниях только длинноволновыми гравитонами. Из этих соображений можно получить закон обратной пропорциональности ньютоновского потенциала от расстояния. Аналогия между законом Ньютона и законом Кулона объясняется тем, что масса гравитона, как и масса
Сэр Исаак Ньютон, получив по голове яблоком, вывел закон всемирного тяготения, который гласит:
Любые два тела притягиваются друг к другу с силой прямо пропорциональной произведению масс тела и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:
F = (Gm 1 m 2)/R 2 , где
m1, m2
- массы тел
R
- расстояние между центрами тел
G = 6,67·10 -11 Нм 2 /кг
- константа
Определим ускорение свободного падения на поверхности Земли:
F g = m тела g = (Gm тела m Земли)/R 2
R (радиус Земли) = 6,38·10 6 м
m Земли = 5,97·10 24 кг
m тела g = (Gm тела m Земли)/R 2 или g = (Gm Земли)/R 2
Обратите внимание, что ускорение свободного падения не зависит от массы тела!
g = 6,67·10 -11 ·5,97·10 24 /(6,38·10 6) = 398,2/40,7 = 9,8 м/с 2
Мы говорили ранее, что силу тяжести (гравитационное притяжение) называют весом .
На поверхности Земли вес и масса тела имеют одинаковое значение. Но по мере удаления от Земли вес тела будет уменьшаться (т.к. будет увеличиваться расстояние между центром Земли и телом), а масса будет оставаться постоянной (поскольку масса - это выражение инерции тела). Масса измеряется в килограммах , вес - в ньютонах .
Благодаря силе гравитации, небесные тела вращаются друг относительно друга: Луна вокруг Земли; Земля вокруг Солнца; Солнце вокруг центра нашей Галактики и т.д. При этом тела удерживаются центробежной силой, которую обеспечивает сила гравитации.
Это же относится и к искусственным телам (спутникам), вращающимся вокруг Земли. Окружность по которой спутник вращается, называется орбитой вращения.
При этом на спутник действует центробежная сила:
F ц = (m спутника V 2)/R
Сила гравитации:
F g = (Gm спутника m Земли)/R 2
F ц = F g = (m спутника V 2)/R = (Gm спутника m Земли)/R 2
V2 = (Gm Земли)/R; V = √(Gm Земли)/R
По этой формуле можно вычислить скорость любого тела, вращающегося по орбите с радиусом R вокруг Земли.
Естественным спутником Земли является Луна. Определим ее линейную скорость на орбите:
Масса Земли = 5,97·10 24 кг
R - это расстояние между центром Земли и центром Луны. Чтобы определить это расстояние, нам надо сложить три величины: радиус Земли; радиус Луны; расстояние от Земли до Луны.
R луны = 1738 км = 1,74·10 6 м
R земли = 6371 км = 6,37·10 6 м
R зл = 384400 км = 384,4·10 6 м
Общее расстояние между центрами планет: R = 392,5·10 6 м
Линейная скорость Луны:
V = √(Gm Земли)/R = √6,67·10 -11 ·5,98·10 24 /392,5·10 6 = 1000 м/с = 3600 км/ч
Луна движется по круговой орбите вокруг Земли с линейной скоростью в 3600 км/ч !
Определим теперь период обращения Луны вокруг Земли. За период обращения Луна преодолевает расстояние, равное длине орбиты - 2πR . Орбитальная скорость Луны: V = 2πR/T ; с другой стороны: V = √(Gm Земли)/R :
2πR/T = √(Gm Земли)/R отсюда T = 2π√R 3 /Gm Земли
T = 6,28·√(60,7·10 24)/6,67·10 -11 ·5,98·10 24 = 3,9·10 5 с
Период обращения Луны вокруг Земли составляет 2 449 200 секунд, или 40 820 минут, или 680 часов, или 28,3 суток.
1. Вертикальное вращение
Ранее в цирках был очень популярным трюк в котором велосипедист (мотоциклист) делал полный оборот внутри окружности, расположенной вертикально.
Какой же минимальной скоростью должен обладать трюкач, чтобы в верхней точке не свалиться вниз?
Для прохождения верхней точки без падения тело должно обладать скоростью, создающей такую центробежную силу, которая бы компенсировала силу тяжести.
Центробежная сила: F ц = mV 2 /R
Сила тяжести: F g = mg
F ц = F g ; mV 2 /R = mg; V = √Rg
И опять обратите внимание, что в расчетах отсутствует масса тела! Следует учесть, что это скорость, которой должно обладать тело в верхней точке!
Допустим, что на арене цирка установлена окружность с радиусом 10 метров. Рассчитаем безопасную скорость для трюка:
V = √Rg = √10·9,8 = 10 м/с = 36 км/ч
Итак, движение планет, например Луны вокруг Земли или Земли вокруг Солнца,- это то же падение, но только падение, которое длится бесконечно долго (во всяком случае, если отвлечься от перехода энергии в «немеханические» формы).
Догадка о единстве причин, управляющих движением планет и падением земных тел, высказывалась учеными еще задолго до Ньютона. По-видимому, первым ясно высказал эту мысль греческий философ Анаксагор, выходец из Малой Азии, живший в Афинах почти две тысячи лет назад. Он говорил, что Луна, если бы не двигалась, упала бы на Землю.
Однако никакого практического влияния на развитие науки гениальная догадка Анаксагора, по-видимому, не имела. Ей суждено было оказаться не понятой современниками и забытой потомками. Античные и средневековые мыслители, чье внимание привлекало движение планет, были очень далеки от правильного (а чаще вообще от какого бы то ни было) истолкования причин этого движения. Ведь даже великий Кеплер, сумевший ценой гигантского труда сформулировать точные математические законы движения планет, считал, что причиной этого движения является вращение Солнца.
Согласно представлениям Кеплера, Солнце, вращаясь, постоянными толчками увлекает планеты во вращение. Правда, оставалось непонятным, почему время обращения планет вокруг Солнца отличается от периода обращения Солнца вокруг собственной оси. Кеплер писал об этом: «если бы планеты не обладали природными сопротивлениями, то нельзя было бы указать причины, почему бы им не следовать в точности вращению Солнца. Но хотя в действительности все планеты движутся в том же самом направлении, в котором совершается и вращение Солнца, скорость их движения не одинакова. Дело в том, что они смешивают в известных пропорциях косность своей собственной массы со скоростью своего движения».
Кеплер не смог понять, что совпадение направлений движения планет вокруг Солнца с направлением вращения Солнца вокруг своей оси связано не с законами движения планет, а с происхождением нашей солнечной системы. Искусственная планета может быть запущена как в направлении вращения Солнца, так и против этого вращения.
Гораздо ближе, чем Кеплер, подошел к открытию закона притяжения тел Роберт Гук. Вот его подлинные слова из работы под названием «Попытка изучения движения Земли», вышедшей в 1674 году: «Я разовью теорию, которая во всех отношениях согласуется с общепризнанными правилами механики. Теория эта основывается на трех допущениях: во-первых, что все без исключения небесные тела обладают направленным к их центру или тяжестью, благодаря которой они притягивают не только свои собственные части, но также и все находящиеся в сфере их действия небесные тела. Согласно второму допущению все тела, движущиеся прямолинейно и равномерным образом, будут двигаться по прямой линии до тех пор, пока они не будут отклонены какой-нибудь силой и не станут описывать траектории по кругу, эллипсу или какой-нибудь другой менее простой кривой. Согласно третьему допущению силы притяжения действуют тем больше, чем ближе к ним находятся тела, на которые они действуют. Я не мог еще установить при помощи опыта, каковы различные степени притяжения. Но если развивать дальше эту идею, то астрономы сумеют определить закон, согласно которому движутся все небесные тела».
Воистину можно лишь изумляться, что сам Гук не захотел заняться развитием этих идей, ссылаясь на занятость другими работами. Но появился ученый, который сделал прорыв в этой области
История открытия Ньютоном законом всемирного тяготения достаточно известна. Впервые мысль о том, что природа сил, заставляющих падать камень и определяющих движение небесных тел,- одна и та же, возникла еще у Ньютона-студента, что первые вычисления не дали правильных результатов, так как имевшиеся в то время данные о расстоянии от Земли до Луны были неточными, что 16 лет спустя появились новые, исправленные сведения об этом расстоянии. Для объяснения законов движения планет Ньютон применил законы созданной им динамики и установленный им же закон всемирного тяготения.
В качестве первого закона динамики он назвал галилеевский принцип инерции, включив его в систему основных законов- постулатов своей теории.
При этом Ньютону пришлось устранить ошибку Галилея, который считал, что равномерное движение по окружности - это движение по инерции. Ньютон указал (и это второй закон динамики), что единственный способ изменить движение тела - значение или направление скорости - это подействовать на него с некоторой силой. При этом ускорение, с которым движется тело под действием силы, обратно пропорционально массе тела.
Согласно третьему закону динамики Ньютона, «действию всегда есть равное и противоположное противодействие».
Последовательно применяя принципы – законы динамики, он вначале вычислил центростремительное ускорение Луны при ее движении по орбите вокруг Земли, а затем сумел показать, что отношение этого ускорения к ускорению свободного падения тел у поверхности Земли равно отношению квадратов радиусов Земли и лунной орбиты. Отсюда Ньютон сделал вывод, что природа силы тяжести и силы, удерживающей Луну на орбите, - одна и та же. Другими словами, согласно его выводам, Земля и Луна притягиваются друг к другу с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между их центрами Fg ≈ 1∕r2.
Ньютону удалось показать, что единственным объяснением независимости ускорения свободного падения тел от их массы является пропорциональность силы тяжести массе.
Обобщая полученные выводы, Ньютон писал: «не может быть сомнения, что природа тяжести на других планетах такова же, как и на Земле. В самом деле, вообразим, что земные тела подняты до орбиты Луны и пущены вместе с Луною, также лишенной всякого движения, падать на Землю. На основании уже доказанного (имеются в виду опыты Галилея) несомненно, что в одинаковые времена они пройдут одинаковые с Луною пространства, ибо их массы так относятся к массе Луны, как их веса к весу ее». Так Ньютон открыл, а затем сформулировал закон всемирного тяготения, который по праву является достоянием науки.
2. Свойства гравитационных сил.
Одно из самых замечательных свойств сил всемирного тяготения, или, как их часто называют, гравитационных сил, отражено уже в самом названии, данном Ньютоном: всемирные. Эти силы, если так можно выразиться, «самые универсальные» среди всех сил природы. Все, что имеет массу - а масса присуща любой форме, любому виду материи,- должно испытывать гравитационные воздействия. Исключения не составляет даже свет. Если представлять себе наглядно гравитационные силы с помощью ниточек, которые тянутся от одних тел к другим, то бесчисленное множество таких ниточек должно было бы пронизывать пространство в любом месте. При этом нелишне заметить, что порвать такую ниточку, загородиться от гравитационных сил невозможно. Для всемирного тяготения нет преград, радиус их действия не ограничен (r = ∞). Гравитационные силы – это дальнодействующие силы. Таково «официальное название» этих сил в физике. Вследствие дальнодействия гравитация связывает все тела Вселенной.
Относительная медленность убывания сил с расстоянием на каждом шагу проявляется в наших земных условиях: ведь все тела не изменяют своего веса, будучи перенесенными, с одной высоты на другую (или, если быть более точными, меняют, но крайне незначительно), именно потому, что при относительно малом изменении расстояния – в данном случае от центра Земли – гравитационные силы практически не изменяются.
Кстати, именно по этой причине закон измерения гравитационных сил с расстоянием был открыт «на небе». Все необходимые данные черпались из астрономии. Не следует, однако, думать, что уменьшение силы тяжести с высотой нельзя обнаружить в земных условиях. Так, например, маятниковые часы с периодом колебания в одну секунду отстанут в сутки почти на три секунды, если их поднять из подвала на верхний этаж Московского университета (200 метров) – и это только за счет уменьшения силы тяжести.
Высоты, на которых движутся искусственные спутники, уже сравнимы с радиусом Земли, так что для расчета их траектории учет изменения силы земного притяжения с расстоянием совершенно необходим.
Гравитационные силы имеют еще одно очень интересное и необыкновенное свойство, о котором и пойдет сейчас речь.
В течении многих веков средневековая наука принимала как незыблемую догму утверждение Аристотеля о том, что тело падает тем быстрее, чем больше его вес. Даже повседневный опыт подтверждает это: ведь известно, что пушинка падает медленнее, чем камень. Однако, как впервые сумел показать Галилей, все дело здесь в том, что сопротивление воздуха, вступая в игру, радикально искажает ту картину, которая была бы, если бы на все тела действовала одно только земное притяжение. Существует замечательный по своей наглядности опыт с так называемой трубкой Ньютона, позволяющий очень просто оценить роль сопротивления воздуха. Вот краткое описание этого опыта. Представьте себе обыкновенную стеклянную (чтобы было видно, что делается внутри) трубку, в которую помещены различные предметы: дробинки, кусочки пробки, перышки или пушинки и т. д. Если перевернуть трубку так, чтобы все это могла падать, то быстрее всего промелькнет дробинка, за ней кусочки пробки и, наконец, плавно опустится пух. Но попробуем проследить за падением тех же предметов, когда из трубки выкачан воздух. Пушинка, потеряв былую медлительность, несется, не отставая от дробинки и пробки. Значит, ее движение задерживалось сопротивлением воздуха, которое в меньшей степени сказывалось на движении пробки и еще меньше на движении дробинки. Следовательно, если бы не сопротивление воздуха, если бы на тела действовали только силы всемирного тяготения – в частном случае земное притяжение,- то все тела падали бы совершенно одинаково, ускоряясь в одном и том же темпе.
Но «ничего не ново под Луной». Две тысячи лет тому назад Лукреций Кар в своей знаменитой поэме «О природе вещей» писал:
все то, что падает в воздухе редком,
Падать быстрее должно в соответствии с собственным весом
Лишь потому, что воды или воздуха тонкая сущность
Не в состояньи вещам одинаковых ставить препятствий,
Но уступает скорее имеющим большую тяжесть.
Наоборот, никогда никакую нигде не способна
Вещь задержать пустота и явиться какой-то опорой,
В силу природы своей постоянно всему уступая.
Должно поэтому все, проносясь в пустоте без препятствий,
Равную скорость иметь, несмотря на различие в весе.
Конечно, эти замечательные слова были прекрасной догадкой. Чтобы превратить эту догадку в надежно установленный закон, потребовалось множество опытов, начиная с знаменитых экспериментов Галилея, изучившего падение с известной наклонной Пизанской башни шаров одинаковых размеров, но сделанных из различных материалов (мрамора, дерева, свинца и т. д.), и кончая сложнейшими современными измерениями влияния гравитации на свет. И все это многообразие экспериментальных данных настойчиво укрепляет нас в убеждении, что гравитационные силы сообщают всем телам одинаковое ускорение; в частности, ускорение свободного падения, вызванное земным притяжением, одинаково для всех тел и не зависит ни от состава, ни от строения, ни от массы самих тел.
Этот простой, как будто бы, закон и выражает собой, пожалуй, самую замечательную особенность гравитационных сил. Нет буквально никаких других сил, которые бы одинаково ускоряли все тела независимо от их массы.
Итак, это свойство сил всемирного тяготения можно спрессовать в одно короткое утверждение: гравитационная сила пропорциональна массе тел. Подчеркнем, что здесь речь идет о той самой массе, которая в законах Ньютона выступает как мера инерции. Ее даже называют инертной массой.
В четырех словах «гравитационная сила пропорциональна массе» заключен удивительно глубокий смысл. Большие и малые тела, горячие и холодные, самого различного химического состава, любого строения – все они испытывают одинаковое гравитационное взаимодействие, если их массы равны.
А может быть, этот закон действительно прост? Ведь Галилей, например, считал его, чуть ли не самоочевидным. Вот его рассуждения. Пусть падают два тела разного веса. По Аристотелю тяжелое тело должно падать быстрее даже в пустоте. Теперь соединим тела. Тогда, с одной стороны, тела должны падать быстрее, так как общий вес увеличился. Но, с другой стороны, добавление к тяжелому телу части, падающей медленнее, должно тормозить это тело. Налицо противоречие, которое можно устранить, только если допустить, что все тела под действием одного только земного притяжения падают с одинаковым ускорением. Как будто все последовательно! Однако вдумаемся еще раз в приведенное рассуждение. Оно строится на распространенном методе доказательства «от противного»: предположив, что более тяжелое тело падает быстрее легкого, мы пришли к противоречию. И с самого начала появилось предположение, что ускорение свободного падения определяется весом и только весом. (Строго говоря, не весом, а массой.)
Но ведь это заранее (т. е. до эксперимента) вовсе не очевидно. А что, если бы это ускорение определялось объемом тел? Или температурой? Представим себе, что существует гравитационный заряд, аналогичный электрическому и, как этот последний, совершенно не связанный непосредственно с массой. Сравнение с электрическим зарядом очень полезно. Вот две пылинки между заряженными пластинами конденсатора. Пусть у этих пылинок равные заряды, а массы относятся как 1 к 2. Тогда ускорения должны отличаться в два раза: силы, определяемыми зарядами, равны, а при равных силах тело вдвое большей массы ускоряется вдвое меньше. Если же соединить пылинки, то, очевидно, ускорение будет иметь новое, промежуточное значение. Никакой умозрительный подход без экспериментального исследования электрических сил ничего здесь не может дать. Точно такой же была картина, если бы гравитационный заряд не был связан с массой. А ответить на вопрос о том, есть ли такая связь, может лишь опыт. И нам теперь понятно, что именно эксперименты, доказавшие одинаковость обусловленного гравитацией ускорения для всех тел, показали, по существу, что гравитационный заряд (гравитационная или тяжелая масса) равен инертной массе.
Опыт и только опыт может служить как основой для физических законов, так и критерием их справедливости. Вспомним хотя бы о рекордных по точности экспериментах, проведенных под руководством В. Б. Брагинского в МГУ. Эти опыты, в которых была получена точность порядка 10-12, еще раз подтвердили равенство тяжелой и инертной массы.
Именно на опыте, на широком испытании природы – от скромных масштабов небольшой лаборатории ученого до грандиозных космических масштабов – основан закон всемирного тяготения, который (если подытожить все сказанное выше) гласит:
Сила взаимного притяжения любых двух тел, размеры которых гораздо меньше расстояния между ними, пропорциональна произведению масс этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между этими телами.
Коэффициент пропорциональности называется гравитационной постоянной. Если измерять длину в метрах, время в секундах, а массу в килограммах, гравитационная постоянно будет равна 6,673*10-11, причем ее размерность будет соответственно м3/кг*с2 или Н*м2/кг2.
G=6,673*10-11 Н*м2/кг2
3. Гравитационные волны.
В ньютоновском законе всемирного тяготения о времени передачи гравитационного взаимодействия ничего не говорится. Неявно предполагается, что оно осуществляется мгновенно, какими бы большими ни были расстояния между взаимодействующими телами. Такой взгляд вообще типичен для сторонников действия на расстоянии. Но из «специальной теории относительности» Эйнштейна вытекает, что тяготение передается от одного тела к другому с такой же скоростью, что и световой сигнал. Если какое-то тело сдвигается с места, то вызванное им искривление пространства и времени меняется не мгновенно. Сначала это скажется в непосредственной близости от тела, потом изменение будет захватывать все более и более далекие области, и, наконец, во всем пространстве установится новое распределение кривизны, отвечающее измененному положению тела.
И вот тут мы подходим к проблеме, которая вызывала и продолжает вызывать наибольшее число споров и разногласий – проблеме гравитационного излучения.
Может ли существовать тяготение, если нет создающей его массы? Согласно ньютоновскому закону – безусловно нет. Там такой вопрос бессмысленно даже ставить. Однако, как только мы согласились, что гравитационные сигналы передаются хотя и с очень большой, но все же не бесконечной скоростью, все радикально меняется. Действительно, представьте себе, что сначала вызывающая тяготение масса, например шарик, покоилась. На все тела вокруг шарика будут действовать обычные ньютоновские силы. А теперь с огромной скоростью удалим шарик с первоначального места. В первый момент окружающие тела этого не почувствуют. Ведь гравитационные силы не меняются мгновенно. Нужно время, чтобы изменения в кривизне пространства успели распространиться во все стороны. Значит, окружающие тела некоторое время будут испытывать прежнее воздействие шарика, когда самого шарика уже нет (во всяком случае, на прежнем месте).
Получается так, что искривления пространства обретают определенную самостоятельность, что можно вырвать тело из той области пространства, где оно вызвало искривления, причем так, что сами эти искривления, хотя бы на больших расстояниях, останутся и будут развиваться по своим внутренним законам. Вот и тяготение без тяготеющей массы! Можно пойти и дальше. Если заставить шарик колебаться, то, как получается из эйнштейновской теории, на ньютоновскую картину тяготения накладывается своеобразная рябь – волны тяготения. Чтобы лучше представит себе эти волны, необходимо воспользоваться моделью – резиновой пленкой. Если не только нажать пальцем на эту пленку, но одновременно совершать им колебательные движения, то эти колебания начнут передаваться по растянутой пленке во все стороны. Это и есть аналог гравитационных волн. Чем дальше от источника, тем такие волны слабее.
А теперь в какой-то момент перестанем давить на пленку. Волны не исчезнут. Они будут существовать и самостоятельно, разбегаясь по пленке все дальше и дальше, вызывая на своем пути искривление геометрии.
Совершенно так же волны искривления пространства – гравитационные волны – могут существовать самостоятельно. Такой вывод из теории Эйнштейна делают многие исследователи.
Конечно, все эти эффекты очень слабы. Так, например, энергия, выделяющаяся при сгорании одной спички, во много раз больше энергии гравитационных волн, излучаемых всей нашей солнечной системой за то же время. Но здесь важна не количественная, а принципиальная сторона дела.
Сторонники гравитационных волн – а они, по-видимому, сейчас в большинстве – предсказывают и еще одно удивительное явление; превращение гравитации в такие частицы, как электроны и позитроны (они должны рождаться парами), протоны антитроны и т. д. (Иваненко, Уиллер и др.).
Выглядеть это должно примерно так. До некоторого участка пространства дошла волна тяготения. В определенный момент это тяготение резко, скачком, уменьшается и одновременно там же появляется, скажем, электронно-позитронная пара. То же можно описать и как скачкообразное уменьшение кривизны пространства с одновременным рождением пары.
Есть много попыток перевести это на квантово-механический язык. Вводятся в рассмотрение частицы – гравитоны, которые сопоставляются неквантовому образу гравитационной волны. В физической литературе имеет хождение термин «трансмутация гравитонов в другие частицы», причем эти трасмутации – взаимные превращения – возможны между гравитонами и, в принципе, любыми другими частицами. Ведь не существует частиц, нечувствительных к гравитации.
Пусть такие превращения маловероятны, т. е. случаются чрезвычайно редко, - в космических масштабах они могут оказаться принципиальными.
4. Искривление пространства-времени гравитацией,
«притча Эддингтона».
Притча английского физика Эддингтона из книги «Пространство, время и тяготение» (пересказ):
«В океане, имеющем только два измерения, жила однажды порода плоских рыб. Было замечено, что рыбы вообще плавали по прямым линиям, пока они не встречали на своем пути явных препятствий. Это поведение казалось вполне естественным. Но в океане была таинственная область; когда рыбы в нее попадали, они казались заколдованными; некоторые проплывали через эту область, но изменяли направление своего движения, другие без конца кружились по этой области. Одна рыба (почти Декарт) предложила теорию вихрей; она говорила, что в этой области находятся водовороты, которые заставляют кружиться все, что в них попадает. С течением времени была предложена гораздо более совершенная теория (теория Ньютона); говорили, что все рыбы притягиваются к очень большой рыбе – рыбе-солнцу, дремлющей в середине области,- и этим объясняли отклонение их путей. Вначале эта теория казалась, быть может, немного странной; но она с удивительной точностью подтвердилась на самых разнообразных наблюдениях. Было найдено, что все рыбы обладают этим притягивающим свойством, пропорциональном их величине; закон притяжения (аналог закона всемирного тяготения) был чрезвычайно прост, но, не смотря на это, он объяснял все движения с такой точностью, до которой никогда раньше не доходила точность научных исследований. Правда, некоторые рыбы, ворча, заявляли, что они не понимают, как возможно такое действие на расстоянии; но все были согласны, что это действие распространяется при помощи океана и что его легче будет понять, когда лучше будет изучена природа воды. Поэтому почти каждая рыба, которая хотела объяснить притяжение, начинала с того, что предполагала какой-нибудь механизм, при помощи которого оно распространяется через воду.
Но была рыба, которая посмотрела на дело иначе. Она обратила внимание на тот факт, что большие рыбы и малые двигались всегда по одним и тем же путям, хотя могло казаться, что для отклонения большой рыбы с ее пути потребуется большая сила. (Рыба-солнце сообщала всем телам одинаковые ускорения.) Поэтому она вместо сил стала подробно изучать пути движения рыб и таким образом пришла к поразительному решению вопроса. В мире было возвышенное место, где лежала рыба-солнце. Рыбы не могли непосредственно заметить этого потому, что они были двумерны; но кода рыба в своем движении попадала на склон этого возвышения, то хотя она и старалась плыть по прямой линии, она невольно немного сворачивала в сторону. В этом состоял секрет таинственного притяжения или искривления путей, которое происходило в таинственной области. »
Эта притча показывает, как кривизна мира, в котором мы живем, может дать иллюзию силы притяжения, и мы видим, что эффект, подобный притяжению, есть единственное, в чем такая кривизна может проявиться.
Коротко это можно сформулировать следующим образом. Так как гравитация одинаковым образом искривляет пути всех тел, мы можем считать тяготение искривлением пространства-времени.
5. Тяготение на Земле.
Если вдуматься, какую роль играют силы тяготения в жизни нашей планеты, то открываются целые океаны. И не только океаны явлений, но и океаны в буквальном смысле этого слова. Океаны воды. Воздушный океан. Без тяготения они бы не существовали.
Волна в море, движение каждой капли воды в питающих это море реках, все течения, все ветры, облака, весь климат планеты определяются игрой двух основных факторов: солнечной деятельности и земного притяжения.
Гравитация не только удерживает на Земле людей, животных, воду и воздух, но и сжимает их. Это сжатие у поверхности Земли не так уж велико, но роль его немаловажна.
Корабль плывет по морю. Что мешает ему утонуть – известно всем. Это знаменитая выталкивающая сила Архимеда. А ведь она появляется, только потому, что вода сжата тяготением с силой, увеличивающейся с ростом глубины. Внутри космического корабля в полете выталкивающей силы нет, как нет и веса. Сам земной шар сжат силами тяготения до колоссальных давлений. В центре Земли давление, по-видимому, превышает 3 миллиона атмосфер.
Под влиянием длительно действующих сил давления в этих условиях все вещества, которые мы привыкли считать твердыми, ведут себя подобно вару или смоле. Тяжелые материалы опускаются на дно (если можно так называть центр Земли), а легкие всплывают. Процесс этот доится миллиарды лет. Не окончился он, как следует из теории Шмидта, и сейчас. Концентрация тяжелых элементов в области центра Земли медленно нарастает.
Ну а как же проявляется у нас на Земле притяжение Солнца и ближайшего к нам небесного тела Луны? Наблюдать это притяжение без специальных приборов могут только жители океанских побережий.
Солнце действует почти одинаковым образом на все, находящееся на Земле и внутри нее. Сила, с которой Солнце притягивает человека в полдень, когда он ближе всего к Солнцу, почти не отличается от силы, действующей на него в полночь. Ведь расстояние от Земли до Солнца в десять тысяч раз больше земного диаметра и увеличение расстояния на одну десятитысячную при повороте Земли вокруг своей оси на пол-оборота практически не меняет силы притяжения. Поэтому Солнце сообщает почти одинаковые ускорения всем частям земного шара и всем телам на его поверхности. Почти, но все же не совсем одинаковые. Из-за этой разницы возникают приливы и отливы в океане.
На обращенном к Солнцу участке земной поверхности сила притяжения несколько больше, чем это необходимо для движения этого участка по эллиптической орбите, а на противоположной стороне Земли – несколько меньше. В результате согласно законам механики Ньютона вода в океане немного выпучивается в направлении, обращенном к Солнцу, а на противоположной стороне отступает от поверхности Земли. Возникают, как говорят, приливообразующие силы, растягивающие земной шар и придающие, грубо говоря, поверхности океанов форму эллипсоида.
Чем меньше расстояния между взаимодействующими телами, тем больше приливообразующие силы. Вот почему на форму мирового океана большее влияние оказывает Луна, чем Солнце. Более точно, приливное воздействие определяется отношением массы тела к кубу его расстояния от Земли; это отношение для Луны примерно вдвое больше, чем для Солнца.
Если бы не было сцепления между частями земного шара, то приливообразующие силы разорвали бы его.
Возможно, это произошло с одним из спутников Сатурна, когда он близко подошел к этой большой планете. То состоящее из осколков кольцо, которое делает Сатурн столь примечательной планетой, возможно и есть обломки спутника.
Итак, поверхность мирового океана подобна эллипсоиду, большая ось которого обращена в сторону Луны. Земля вращается вокруг своей оси. Поэтому по поверхности океана навстречу направлению вращения Земли перемещается приливная волна. Когда она приближается к берегу – начинается прилив. В некоторых местах уровень воды поднимается до 18 метров. Затем приливная волна уходит и начинается отлив. Уровень воды в океане колеблется, в среднем, с периодом 12ч. 25мин. (половина лунных суток).
Эта простая картина сильно искажается одновременным приливообразующим действием Солнца, трением воды, сопротивлением материков, сложностью конфигурации океанических берегов и дна в прибрежных зонах и некоторыми другими частными эффектами.
Важно, что приливная волна тормозит вращение Земли.
Правда, эффект очень мал. За 100 лет сутки увеличиваются на тысячную долю секунды. Но, действуя миллиарды лет, силы торможения приведут к тому, что Земля будет повернута к Луне все время одной стороной, и земные сутки станут равными лунному месяцу. С Луной это уже произошло. Луна заторможена настолько, что повернута к Земле все время одной стороной. Чтобы «заглянуть» на обратную сторону Луны, пришлось посылать вокруг нее космический корабль.
В природе существуют различные силы, которые характеризуют взаимодействие тел. Рассмотрим те силы, которые встречаются в механике.
Гравитационные силы. Вероятно, самой первой силой, существование которой осознал человек, являлась сила притяжения, действующая на тела со стороны Земли.
И потребовались многие века для того, чтобы люди поняли, что сила тяготения действует между любыми телами. И потребовались многие века для того, чтобы люди поняли, что сила тяготения действует между любыми телами. Первым этот факт понял английский физик Ньютон. Анализируя законы, которым подчиняется движение планет (законы Кеплера), он пришёл к выводу, что наблюдаемые законы движения планет могут выполняться только в том случае, если между ними действует сила притяжения, прямо пропорциональная их массам и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними.
Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения . Любые два тела притягиваются друг к другу. Сила притяжения между точечными телами направлена по прямой, их соединяющей, прямо пропорциональна массам обоих и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
Под точечными телами в данном случае понимают тела, размеры которых во много раз меньше расстояния между ними.
Силы всемирного тяготения называют гравитационными силами. Коэффициент пропорциональности G называют гравитационной постоянной. Его значение было определено экспериментально: G = 6,7 10¯¹¹ Н м² / кг².
Сила тяготения действующая вблизи поверхности Земли, направлена к её центру и вычисляется по формуле:
где g – ускорение свободного падения (g = 9,8 м/с²).
Роль силы тяготения в живой природе очень значительна, так как от её величины во многом зависят размеры, формы и пропорции живых существ.
Вес тела. Рассмотрим, что происходит, когда некоторый груз кладут на горизонтальную плоскость (опору). В первый момент после того, как груз опустили, он начинает двигаться вниз под действием силы тяжести (рис. 8).
Плоскость прогибается и возникает сила упругости (реакция опоры), направленная вверх. После того как сила упругости (Fу) уравновесит силу тяжести, опускание тела и прогиб опоры прекратятся.
Прогиб опоры возник под действием тела, следовательно, со стороны тела на опору действует некоторая сила (Р), которую называют весом тела (рис. 8, б). По третьему закону Ньютона вес тела равен по величине силе реакции опоры и направлен в противоположную сторону.
Р = - Fу = Fтяж.
Весом тела называют силу Р, с которой тело действует на неподвижную относительно него горизонтальную опору .
Поскольку сила тяжести (вес) приложены к опоре, она деформируется и за счёт упругости оказывает противодействие силе тяжести. Силы, развиваемые при этом со стороны опоры называются силами реакции опоры, а само явление развития противодействия - реакцией опоры. По третьему закону Ньютона сила реакции опоры равна по величине силе тяжести тела и противоположна ему по направлению.
Если человек на опоре движется с ускорением звеньев его тела, направленных от опоры, то сила реакции опоры возрастает на величину ma, где m – масса человека, а – ускорения с которыми движутся звенья его тела. Эти динамические воздействия можно фиксировать с помощью тензометрических устройств (динамограммы).
Вес не следует путать с массой тела. Масса тела характеризует его инертные свойства и не зависит ни от силы тяготения, ни от ускорения, с которым оно движется.
Вес тела характеризует силу, с которой оно действует на опору и зависит как от силы тяготения, так и от ускорения движения.
Например, на Луне вес тела примерно в 6 раз меньше, чем вес тела на Земле, Масса же в обоих случаях одинакова и определяется количеством вещества в теле.
В быту, технике, спорте вес часто указывают не в ньютонах (Н), а в килограммах силы (кгс). Переход от одной единицы к другой осуществляется по формуле: 1 кгс = 9,8 Н.
Когда опора и тело неподвижны, то масса тела равна силе тяжести этого тела. Когда же опора и тело движутся с некоторым ускорением, то в зависимости от его направления тело может испытывать или невесомость или перегрузку. Когда ускорение совпадает по направлению и равно ускорению свободного падения, вес тела будет равен нулю, поэтому возникает состояние невесомости (МКС, скоростной лифт при опускании вниз). Когда же ускорение движения опоры противоположно ускорению свободного падения, человек испытывает перегрузку (старт с поверхности Земли пилотируемого космического корабля, Скоростной лифт, поднимающийся вверх).
Почему выпущенный из рук камень падает на Землю? Потому что его притягивает Земля, скажет каждый из вас. В самом деле, камень падает на Землю с ускорением свободного падения. Следовательно, на камень со сто-роны Земли действует сила, направленная к Земле. Согласно третьему закону Ньютона и камень действует на Землю с такой же по модулю силой, направленной к камню. Иными словами, между Землей и камнем действуют силы взаимного притяжения.
Ньютон был первым, кто сначала догадался, а потом и строго доказал, что причина, вызывающая падение камня на Землю, движение Луны вокруг Земли и планет вокруг Солнца, одна и та же. Это сила тяготения, действующая между любыми телами Вселенной. Вот ход его рассуждений, приведенных в главном труде Ньютона «Математические начала натуральной философии»:
«Брошенный горизонтально камень отклонится под действием тяжести от прямолинейного пути и, описав кривую траекторию, упадет наконец на Землю. Если его бросить с большей скоростью, то он упадет дальше» (рис. 1).
Продолжая эти рассуждения, Ньютон приходит к выводу, что если бы не сопротивление воздуха, то траектория камня, брошенного с высокой горы с определенной скоростью, могла бы стать такой, что он вообще никогда не достиг бы поверхности Земли, а двигался вокруг нее «подобно тому, как планеты описывают в небесном пространстве свои орбиты».
Сейчас нам стало настолько привычным движение спутников вокруг Земли, что разъяснять мысль Ньютона подробнее нет необходимости.
Итак, по мнению Ньютона, движение Луны вокруг Земли или планет вокруг Солнца – это тоже свободное падение, но только падение, которое длится, не прекращаясь, миллиарды лет. Причиной такого «падения» (идет ли речь действительно о падении обычного камня на Землю или о движении планет по их орбитам) является сила всемирного тяготения. От чего же эта сила зависит?
Зависимость силы тяготения от массы тел
Галилей доказал, что при свободном падении Земля сообщает всем телам в данном месте одно и то же ускорение независимо от их массы. Но ускорение по второму закону Ньютона обратно пропорционально массе\. Как же объяснить, что ускорение, сообщаемое телу силой притяжения Земли, одинаково для всех тел? Это возможно лишь в том случае, если сила притяжения к Земле прямо пропорциональна массе тела. В этом случае увеличение массы т, например, вдвое приведет к увеличению модуля силы F тоже вдвое, а ускорение, которое равно \(a = \frac {F}{m}\), останется неизменным. Обобщая этот вывод для сил тяготения между любыми телами, заключаем, что сила всемирного тяготения прямо пропорциональна массе тела, на которое эта сила действует.
Но во взаимном притяжении участвуют по меньшей мере два тела. На каждое из них, согласно третьему закону Ньютона, действуют одинаковые по модулю силы тяготения. Поэтому каждая из этих сил должна быть пропорциональна как массе одного тела, так и массе другого тела. Поэтому сила всемирного тяготения между двумя телами прямо пропорциональна произведению их масс:
\(F \sim m_1 \cdot m_2\)
Зависимость силы тяготения от расстояния между телами
Из опыта хорошо известно, что ускорение свободного падения равно 9,8 м/с 2 и оно одинаково для тел, падающих с высоты 1, 10 и 100 м, т. е. не зависит от расстояния между телом и Землей. Это как будто бы означает, что и сила от расстояния не зависит. Но Ньютон считал, что отсчитывать расстояния надо не от поверхности, а от центра Земли. Но радиус Земли 6400 км. Понятно, что несколько десятков, сотен или даже тысяч метров над поверхностью Земли не могут заметно изменить значение ускорения свободного падения.
Чтобы выяснить, как влияет расстояние между телами на силу их вза-имного притяжения, нужно было бы узнать, каково ускорение тел, удаленных от Земли на достаточно большие расстояния. Однако наблюдать и изучать свободное падение тела с высоты в тысячи километров над Землей трудно. Но сама природа пришла здесь на помощь и дала возможность определить ускорение тела, движущегося по окружности вокруг Земли и обладающего поэтому центростремительным ускорением, вызванным, разумеется, той же силой притяжения к Земле. Таким телом является естественный спутник Земли – Луна. Если бы сила притяжения между Землей и Луной не зависела от расстояния между ними, то центростремительное ускорение Луны было бы таким же, как ускорение тела, свободно падающего близ поверхности Земли. В действительности же центростремительное ускорение Луны равно 0,0027 м/с 2 .
Докажем это . Обращение Луны вокруг Земли происходит под действием силы тяготения между ними. Приближенно орбиту Луны можно считать окружностью. Следовательно, Земля сообщает Луне центростремительное ускорение. Оно вычисляется по формуле \(a = \frac {4 \pi^2 \cdot R}{T^2}\), где R – радиус лунной орбиты, равный примерно 60 радиусам Земли, Т ≈ 27 сут 7 ч 43 мин ≈ 2,4∙10 6 с – период обращения Луны вокруг Земли. Учитывая, что радиус Земли R з ≈ 6,4∙10 6 м, получим, что центростремительное ускорение Луны равно:
\(a = \frac {4 \pi^2 \cdot 60 \cdot 6,4 \cdot 10^6}{(2,4 \cdot 10^6)^2} \approx 0,0027\) м/с 2 .
Найденное значение ускорения меньше ускорения свободного падения тел у поверхности Земли (9,8 м/с 2) приблизительно в 3600 = 60 2 раз.
Таким образом, увеличение расстояния между телом и Землей в 60 раз привело к уменьшению ускорения, сообщаемого земным притяжением, а следовательно, и самой силы притяжения в 60 2 раз.
Отсюда вытекает важный вывод: ускорение, которое сообщает телам сила притяжения к Земле, убывает обратно пропорционально квадрату расстояния до центра Земли
\(F \sim \frac {1}{R^2}\).
Закон всемирного тяготения
В 1667 г. Ньютон окончательно сформулировал закон всемирного тяготения:
\(F = G \cdot \frac {m_1 \cdot m_2}{R^2}.\quad (1)\)
Сила взаимного притяжения двух тел прямо пропорциональна произведению масс этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними .
Коэффициент пропорциональности G называется гравитационной постоянной .
Закон всемирного тяготения справедлив только для таких тел, размеры которых пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между ними. Иначе говоря, он справедлив только для материальных точек . При этом силы гравитационного взаимодействия направлены вдоль линии, соединяющей эти точки (рис. 2). Подобного рода силы называются центральными.
Для нахождения силы тяготения, действующей на данное тело со сто-роны другого, в случае, когда размерами тел пренебречь нельзя, поступают следующим образом. Оба тела мысленно разделяют на столь малые элементы, чтобы каждый из них можно было считать точечным. Складывая силы тяготения, действующие на каждый элемент данного тела со стороны всех элементов другого тела, получают силу, действующую на этот элемент (рис. 3). Проделав такую операцию для каждого элемента данного тела и сложив полученные силы, находят полную силу тяготения, действующую на это тело. Задача эта сложная.
Есть, однако, один практически важный случай, когда формула (1) применима к протяженным телам. Можно доказать, что сферические тела, плотность которых зависит только от расстояний до их центров, при расстояниях между ними, больших суммы их радиусов, притягиваются с силами, модули которых определяются формулой (1). В этом случае R – это расстояние между центрами шаров.
И наконец, так как размеры падающих на Землю тел много меньше размеров Земли, то эти тела можно рассматривать как точечные. Тогда под R в формуле (1) следует понимать расстояние от данного тела до центра Земли.
Между всеми телами действуют силы взаимного притяжения, зависящие от самих тел (их масс) и от расстояния между ними.
Физический смысл гравитационной постоянной
Из формулы (1) находим
\(G = F \cdot \frac {R^2}{m_1 \cdot m_2}\).
Отсюда следует, что если расстояние между телами численно равно единице (R = 1 м) и массы взаимодействующих тел тоже равны единице (m 1 = m 2 = 1 кг), то гравитационная постоянная численно равна модулю силы F . Таким образом (физический смысл ),
гравитационная постоянная численно равна модулю силы тяготения, действующей на тело массой 1 кг со стороны другого тела такой же массы при расстоянии между телами, равном 1 м .
В СИ гравитационная постоянная выражается в
.
Опыт Кавендиша
Значение гравитационной постоянной G может быть найдено только опытным путем. Для этого надо измерить модуль силы тяготения F , действующей на тело массой m 1 со стороны тела массой m 2 при известном расстоянии R между телами.
Первые измерения гравитационной постоянной были осуществлены в середине XVIII в. Оценить, правда весьма грубо, значение G в то время удалось в результате рассмотрения притяжения маятника к горе, масса которой была определена геологическими методами.
Точные измерения гравитационной постоянной впервые были проведены в 1798 г. английским физиком Г. Кавендишем с помощью прибора, называемого крутильными весами. Схематично крутильные весы показаны на рисунке 4.
Кавендиш закрепил два маленьких свинцовых шара (диаметром 5 см и массой m 1 = 775 г каждый) на противоположных концах двухметрового стержня. Стержень был подвешен на тонкой проволоке. Для этой проволоки предварительно определялись силы упругости, возникающие в ней при закручивании на различные углы. Два больших свинцовых шара (диаметром 20 см и массой m 2 = 49,5 кг) можно было близко подводить к маленьким шарам. Силы притяжения со стороны больших шаров заставляли маленькие шары перемещаться к ним, при этом натянутая проволока немного закручивалась. Степень закручивания была мерой силы, действующей между шарами. Угол закручивания проволоки (или поворота стержня с малыми шарами) оказался столь малым, что его пришлось измерять с помощью оптической трубы. Результат, полученный Кавендишем, только на 1% отличается от значения гравитационной постоянной, принятого сегодня:
G ≈ 6,67∙10 -11 (Н∙м 2)/кг 2
Таким образом, силы притяжения двух тел массой по 1 кг каждое, находящихся на расстоянии 1 м друг от друга, по модулям равны всего лишь 6,67∙10 -11 Н. Это очень малая сила. Только в том случае, когда взаимодействуют тела огромной массы (или по крайней мере масса одного из тел велика), сила тяготения становится большой. Например, Земля притягивает Луну с силой F ≈ 2∙10 20 Н.
Гравитационные силы – самые «слабые» из всех сил природы. Это связано с тем, что гравитационная постоянная мала. Но при больших массах космических тел силы всемирного тяготения становятся очень большими. Эти силы удерживают все планеты возле Солнца.
Значение закона всемирного тяготения
Закон всемирного тяготения лежит в основе небесной механики – науки о движении планет. С помощью этого закона с огромной точностью определяются положения небесных тел на небесном своде на многие десятки лет вперед и вычисляются их траектории. Закон всемирного тяготения применяется также в расчетах движения искусственных спутников Земли и межпланетных автоматических аппаратов.
Возмущения в движении планет . Планеты не движутся строго по законам Кеплера. Законы Кеплера точно соблюдались бы для движения данной планеты лишь в том случае, когда вокруг Солнца обращалась бы одна эта планета. Но в Солнечной системе планет много, все они притягиваются как Солнцем, так и друг другом. Поэтому возникают возмущения движения планет. В Солнечной системе возмущения невелики, потому что притяжение планеты Солнцем гораздо сильнее притяжения другими планетами. При вычислении видимого положения планет приходится учитывать возмущения. При запуске искусственных небесных тел и при расчете их траекторий пользуются приближенной теорией движения небесных тел – теорией возмущений.
Открытие Нептуна . Одним из ярких примеров триумфа закона все-мирного тяготения является открытие планеты Нептун. В 1781 г. английский астроном Вильям Гершель открыл планету Уран. Была вычислена ее орбита и составлена таблица положений этой планеты на много лет вперед. Однако проверка этой таблицы, проведенная в 1840 г., показала, что данные ее расходятся с действительностью.
Ученые предположили, что отклонение в движении Урана вызвано притяжением неизвестной планеты, находящейся от Солнца еще дальше, чем Уран. Зная отклонения от расчетной траектории (возмущения движения Урана), англичанин Адаме и француз Леверрье, пользуясь законом всемирного тяготения, вычислили положение этой планеты на небе. Адаме раньше закончил вычисления, но наблюдатели, которым он сообщил свои результаты, не торопились с проверкой. Тем временем Леверрье, закончив вычисления, указал немецкому астроному Галле место, где надо искать неизвестную планету. В первый же вечер, 28 сентября 1846 г., Галле, направив телескоп на указанное место, обнаружил новую планету. Ее назвали Нептуном.
Таким же образом 14 марта 1930 г. была открыта планета Плутон. Оба открытия, как говорят, были сделаны «на кончике пера».
При помощи закона всемирного тяготения можно вычислить массу планет и их спутников; объяснить такие явления, как приливы и отливы воды в океанах, и многое другое.
Силы всемирного тяготения – самые универсальные из всех сил природы. Они действуют между любыми телами, обладающими массой, а массу имеют все тела. Для сил тяготения не существует никаких преград. Они действуют сквозь любые тела.
Литература
- Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика: Учеб. для 9 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1992. – 191 с.
- Физика: Механика. 10 кл.: Учеб. для углубленного изучения физики / М.М. Балашов, А.И. Гомонова, А.Б. Долицкий и др.; Под ред. Г.Я. Мякишева. – М.: Дрофа, 2002. – 496 с.