Глава 2 ДРОБНЫЕ ЧИСЛА И Действия С НИМИ
§ 37. Сложение и вычитание десятичных дробей
Десятичные дроби записывают по тому же принципу, что и натуральные числа. Поэтому сложение и вычитание выполняют по соответствующим схемам для натуральных чисел.
Во время сложение и вычитание десятичные дроби записываются «столбиком» - друг под другом так, чтобы одноименные разряды стояли друг под другом. Таким образом, запятая будет стоять под запятой. Далее выполняем действие так, как и с натуральными числами, не обращая внимания на запятые. В сумме (или разности) запятую ставим под запятыми слагаемых (или запятыми уменьшаемого и вычитателя).
Пример 1. 37,982 + 4,473.
Объяснение. 2 тысячных плюс 3 тысячных равна 5 тысячных. 8 соток плюс 7 соток равна 15 соток, или 1 десятая и 5 соток. Записываем 5 соток, а 1 десятую запоминаем и т. д.
Пример 2. 42,8 - 37,515.
Объяснение. Поскольку уменьшающееся и вычитаемое имеют разное количество знаков после запятой, то можно приписать в уменьшающемся необходимое количество нулей. Разберись самостоятельно, как выполнено пример.
Заметим, что при сложении и вычитании нуля можно и не дописывать, а мысленно представлять их на тех местах, где нет разрядных единиц.
При сложении десятичных дробей сбываются изученные ранее переставная и соединительная свойства сложения:
Начальный уровень
1228. Обчисли (устно):
1) 8 + 0,7; 2) 5 + 0,32;
3) 0,39 + 1; 4) 0,3 + 0,2;
5) 0,12 + 0,37; 6) 0,1 + 0,01;
7) 0,02 + 0,003; 8) 0,26 + 0,7;
9) 0,12 + 0,004.
1229. Обчисли:
1230. Обчисли (устно):
1) 4,72 - 2; 2) 13,892 - 10; 3) 0,8 - 0,6;
4) 6,7 - 0,3; 5) 2,3 - 1,2; 6) 0,05 - 0,02;
7) 0,19 - 0,07; 8) 0,47 - 0,32; 9) 42,4 - 42.
1231. Обчисли:
1232. Обчисли:
1233. На одной машине было 2,7 т песка, а на другой - 3,2 т. Сколько песка было на двух машинах?
1234. Выполни сложение:
1) 6,9 + 2,6; 2) 9,3 + 0,8; 3) 8,9 + 5;
4) 15 + 7,2; 5) 4,7 + 5,29; 6) 1,42 + 24,5;
7) 10,9 + 0,309; 8) 0,592 + 0,83; 9) 1,723 + 8,9.
1235. Найди сумму:
1) 3,8 + 1,9; 2) 5,6 + 0,5; 3) 9 + 3,6;
4) 5,7 + 1,6; 5) 3,58 + 1,4; 6) 7,2 + 15,68;
7) 0,906 + 12,8; 8) 0,47 + 0,741; 9) 8,492 + 0,7.
1236. Выполни вычитание:
1) 5,7 - 3,8; 2) 6,1 - 4,7; 3) 12,1 - 8,7;
4) 44,6 - 13; 5) 4 - 3,4; 6) 17 - 0,42;
7) 7,5 - 4,83; 8) 0,12 - 0,0856; 9) 9,378 - 8,45.
1237. Найди разницу:
1) 7,5 - 2,7; 2) 4,3 - 3,5; 3) 12,2 - 9,6;
4) 32,7 - 5; 5) 41 - 3,53; 6) 7 - 0,61;
7) 8,31 - 4,568; 8) 0,16 - 0,0913; 9) 37,819 - 8,9.
1238. Ковер-самолет за 2 ч пролетел 17,4 км, причем за первый час он пролетел 8,3 км. Сколько пролетел ковер-самолет за второй час?
1239. 1) Приумножь число 7,2831 на 2,423.
2) Уменьшить число 5,372 на 4,47.
Средний уровень
1240. Реши уравнения:
1) 7,2 + х = 10,31; 2) 5,3 - х = 2,4;
3) х - 2,8 = 1,72; 4) х + 3,71 = 10,5.
1241. Реши уравнения:
1) х - 4,2 = 5,9; 2) 2,9 + х = 3,5;
3) 4,13 - х = 3,2; 4) х + 5,72 = 14,6.
1242. Как удобнее добавить? Почему?
4,2 + 8,93 + 0,8 = (4,2 + 8,93) + 0,8 или
4,2 + 8,93 + 0,8 = (4,2 + 0,8) + 8,93.
1243. Обчисли (устно) удобным способом:
1) 7 + 2,8 + 1,2; 2) 12,4 + 17,3 + 0,6;
3) 3,42 + 4,9 + 5,1; 4) 12,11 + 7,89 + 13,5.
1244. Найди значение выражения:
1) 200,01 + 0,052 + 1,05;
2) 42 + 4,038 + 17,25;
3) 2,546 + 0,597 + 82,04;
4) 48,086 + 115,92 + 111,037.
1245. Найди значение выражения:
1) 82 + 4,042 + 17,37;
2) 47,82 + 0,382 + 17,3;
3) 15,397 + 9,42 + 114;
4) 152,73 + 137,8 + 0,4953.
1246. От металлической трубы длиной 7,92 м отрезали сначала 1,17 м, а потом еще 3,42 м. Какова длина оставшейся трубы?
1247. Яблоки вместе с ящиком весят 25,6 кг. Сколько килограммов весят яблоки, если пустой ящик весит 1,13 кг?
1248. Найди длину ломаной ABC , если АВ = 4,7 см, а ВС на 2,3 см меньше АВ.
1249. В одном бидоне есть 10,7 л молока, а в другом на 1,25 л меньше. Сколько молока в двух бидонах?
1250.Обчисли:
1) 147,85 - 34 - 5,986;
2) 137,52 - (113,21 + 5,4);
3) (157,42 - 114,381) - 5,91;
4) 1142,3 - (157,8 - 3,71).
1251. Обчисли:
1) 137,42 - 15 - 9,127;
2) 1147,58 - (142,37 + 8,13);
3) (159,52 - 142,78) + 11,189;
4) 4297,52 - (113,43 + 1298,3).
1252. Найди значение выражения а - 5,2 - b , если а = 8,91, b = 0,13.
1253. Скорость лодки в стоячей воде 17,2 км/ч, а скорость течения 2,7 км/ч. Найди скорость лодки по течению и против течения.
1254. Заполни таблицу:
Собственная скорость, км/ч |
Скорость течения, км/ч |
Скорость по течению, км/ч |
Скорость против течения, км/ч |
13,1 |
|||
17,2 |
18,5 |
||
12,35 |
10,85 |
||
13,5 |
|||
1,65 |
12,95 |
1255. Найди пропущенные числа в цепочке:
1256. Измерь в сантиметрах стороны четырехугольника, изображенного на рисунке 257, и найди его периметр.
1257. Начерти произвольный треугольник, измерь его стороны в сантиметрах и найди периметр треугольника.
1258. На отрезке АС обозначили точку В (рис. 258).
1) Найдите АС, если АВ = 3,2 см, ВС = 2,1 см;
2) найдите ВС, если АС = 12,7 дм, АВ = 8,3 дм.
Рис. 257
Рис. 258
Рис. 259
1259. На сколько сантиметров отрезок AB длиннее отрезка CD (рис. 259)?
1260. Одна сторона прямоугольника равна 2,7 см, а другая - на 1,3 см короче. Найди периметр прямоугольника.
1261. Основа равнобедренного треугольника равна 8,2 см, а боковая сторона на 2,1 см меньше основы. Найди периметр треугольника.
1262. Первая сторона треугольника равна 13,6 см, вторая на 1,3 см короче первой. Найди третью сторону треугольника, если его периметр равен 43,1 см.
Достаточный уровень
1263. Запиши последовательность из пяти чисел, если:
1) первое число равно 7,2, а каждое следующее на 0,25 больше, чем предыдущее;
2) первое число равно 10,18, а каждое следующее на 0,34 меньше предыдущего.
1264. В первом ящике было 12,7 кг яблок, что на 3,9 кг больше, чем во втором. В третьем ящике яблок было на 5,13 кг меньше, чем в первом и втором вместе. Сколько килограммов яблок было в трех ящиках вместе?
1265. Первого дня туристы прошли 8,3 км, что на 1,8 км больше, чем второго дня, и на 2,7 км меньше, чем третьего. Сколько километров прошли туристы за три дня?
1266. Выполни сложение, выбирая удобный порядок вычисления:
1) 0,571 + (2,87 + 1,429);
2) 6,335 + 2,896 + 1,104;
3) 4,52 + 3,1 + 17,48 + 13,9.
1267. Выполни сложение, выбирая удобный порядок вычисления:
1) 0,571 + (2,87 + 1,429);
2) 7,335 + 3,896 + 1,104;
3) 15,2 + 3,71 + 7,8 + 4,29.
1268. Поставь вместо звездочек цифры:
1269. Поставь в клетки такие цифры, чтобы образовались правильно выполненные примеры:
1270. Упрости выражение:
1) 2,71 + х - 1,38; 2) 3,71 + с + 2,98.
1271. Упрости выражение:
1) 8,42 + 3,17 - х; 2) 3,47 + y - 1,72.
1272. Найди закономерность и запиши три наступление них числа последовательности:
1) 2; 2,7; 3,4 ... 2) 15; 13,5; 12 ...
1273. Реши уравнения:
1) 13,1 - (x + 5,8) = 1,7;
2) (х - 4,7) - 2,8 = 5,9;
3) (у - 4,42) + 7,18 = 24,3;
4) 5,42 - (в - 9,37) = 1,18.
1274. Реши уравнения:
1) (3,9 + х) - 2,5 = 5,7;
2) 14,2 - (6,7 + х) = 5,9;
3) (в - 8,42) + 3,14 = 5,9;
4) 4,42 + (у - 1,17) = 5,47.
1275. Найди значение выражения удобным способом, используя свойства вычитания:
1) (14,548 + 12,835) - 4,548;
2) 9,37 - 2,59 - 2,37;
3) 7,132 - (1,132 + 5,13);
4) 12,7 - 3,8 - 6,2.
1276. Найди значение выражения удобным способом, используя свойства вычитания:
1) (27,527 + 7,983) - 7,527;
2) 14,49 - 3,1 - 5,49;
3) 14,1 - 3,58 - 4,42;
4) 4,142 - (2,142 + 1,9).
1277. Обчисли, записав данные величины в дециметрах:
1) 8,72 дм - 13 см;
2) 15,3 дм + 5 см + 2 мм;
3) 427 см + 15,3 дм;
4) 5 м 3 дм 2 см 4 м 7 дм 2 см.
1278. Периметр равнобедренного треугольника равен
17,1 см, а боковая сторона - 6,3 см. Найди длину основы.
1279. Скорость товарного поезда 52,4 км/ч, пассажирского 69,5 км/час. Определите, удаляются или сближаются эти поезда и на сколько километров за час, если они вышли одновременно:
1) из двух пунктов, расстояние между которыми 600 км, навстречу друг другу;
2) из двух пунктов, расстояние между которыми 300 км, и пассажирский догоняет товарный;
1280. Скорость первого велосипедиста 18,2 км/ч, а второго 16,7 км/час. Определите, удаляются или сближаются велосипедисты и на сколько километров за час, если они выехали одновременно:
1) из двух пунктов, расстояние между которыми 100 км, навстречу друг другу;
2) из двух пунктов, расстояние между которыми 30 км, и первый догоняет второго;
3) из одного пункта в противоположных направлениях;
4) из одного пункта в одном направлении.
1281. Обчисли, ответ округли до сотых:
1) 1,5972 + 7,8219 - 4,3712;
2) 2,3917 - 0,4214 + 3,4515.
1282. Обчисли, записав данные величины в центнерах:
1) 8 ц - 319 кг;
2) 9 ц 15 кг + 312 кг;
3) 3 т 2 ц - 2 ц 3 кг;
4) 5 т 2 ц 13 кг + 7 т 3 ц 7 кг.
1283. Обчисли, записав данные величины в метрах:
1) 7,2 м - 25 дм;
2) 2,7 м + 3 дм 5 см;
3) 432 дм + 3 м 5 дм + 27 см;
4) 37 дм - 15 см.
1284. Периметр равнобедренного треугольника равен
15,4 см, а основа - 3,4 см. Найди длину боковой стороны.
1285. Периметр прямоугольника равен 12,2 см, а длина одной из сторон - 3,1 см. Найди длину стороны, не равной данной.
1286. В трех ящиках 109,6 кг помидоров. В первом и втором ящиках вместе 69,9 кг, а во втором и третьем 72,1 кг. Сколько килограммов помидоров в каждом ящике?
1287. Найди числа a , b , с, d в цепочке:
1288. Найди числа а и b в цепочке:
Высокий уровень
1289. Поставь вместо звездочек знаки «+» и «-» так, чтобы выполнялось равенство:
1) 8,1 * 3,7 * 2,7 * 5,1 = 2;
2) 4,5 * 0,18 * 1,18 * 5,5 = 0.
1290. У Чипа было 5,2 грн. После того как Дейл одолжил ему 1,7 грн., у Дейла стало на 1,2 грн. меньше, чем у Чипа. Сколько денег было у Дейла сначала?
1291. Две бригады асфальтируют шоссе и движутся друг другу навстречу. Когда первая бригада заасфальтировала 5,92 км шоссе, а вторая - на 1,37 км меньше, то до их встречи осталось 0,85 км. Какова длина участка шоссе, которую необходимо было заасфальтировать?
1292. Как изменится сумма двух чисел, если:
1) одно из слагаемых увеличить на 3,7, а другой - на 8,2;
2) одно из слагаемых увеличить на 18,2, а другой уменьшить на 3,1;
3) одно из слагаемых уменьшить на 7,4, а другой - на 8,15;
4) одно из слагаемых увеличить на 1,25, а другой уменьшить на 1,25;
5) одно из слагаемых увеличить на 7,2, а другой уменьшить на 8,9?
1293. Как изменится разность, если:
1) уменьшающееся уменьшить на 7,1;
2) уменьшающееся увеличить на 8,3;
3) вычитаемое увеличить на 4,7;
4) вычитаемое уменьшить на 4,19?
1294. Разность двух чисел равна 8,325. Чему равна новая разность, если уменьшающееся увеличить на 13,2, а вычитаемое увеличить на 5,7?
1295. Как изменится разность, если:
1) увеличить уменьшающееся на 0,8, а вычитаемое - на 0,5;
2) увеличить уменьшающееся на 1,7, а вычитаемое - на 1,9;
3) уменьшающееся увеличить на 3,1, а вычитаемое уменьшить на 1,9;
4) уменьшающееся уменьшить на 4,2, а вычитаемое увеличить на 2,1?
Упражнения для повторения
1296. Сравни значения выражений, не выполняя действий:
1) 125 + 382 и 382 + 127; 2) 473 ∙ 29 472 ∙ 29;
3) 592 - 11 и 592 - 37; 4) 925: 25 и 925: 37.
1297. В столовой есть два вида первых блюд, 3 вида вторых и 2 вида третьих блюд. Сколькими способами можно выбрать обед из трех блюд в этой столовой?
1298. Периметр прямоугольника равен 50 дм. Длина прямоугольника на 5 дм больше ширины. Найди стороны прямоугольника.
1299. Запишите наибольшую десятичную дробь:
1) с одним десятичным знаком, меньше 10;
2) с двумя десятичными знаками, меньше 5.
1300. Запишите наименьшую десятичную дробь:
1) с одним десятичным знаком, больше 6;
2) с двумя десятичными знаками, больше 17.
Домашняя самостоятельная работа № 7
2. Какое из неравенств верное:
A ) 2,3 > 2,31; Б) 7,5 < 7,49;
B ) 4,12 > 4,13; Г) 5,7 < 5,78?
3. 4,08 - 1,3 =
А) 3,5; Б) 2,78; В) 3,05; Г) 3,95.
4. Запиши десятичную дробь 4,0701 смешанным числом:
5. Какое из округления до сотых выполнено правильно:
A ) 2,729 ≈ 2,72; Б) 3,545 ≈ 3,55;
B ) 4,729 ≈ 4,7; Г) 4,365 ≈ 4,36?
6. Найди корень уравнения х - 6,13 = 7,48.
А) 13,61; Б) 1,35; В) 13,51; Г) 12,61.
7. Какая из предложенных равенств правильная:
А) 7 см = 0,7 м; Б) 7 дм2 = 0,07 м2;
в) 7 мм = 0,07 м; Г) 7 см3 = 0,07 м3?
8. Названия наибольшее натуральное число, что не превышает 7,0809:
А) 6; Б) 7; В) 8; Г) 9.
9. Сколько существует цифр, которые можно поставить вместо звездочки в приближенной равенства 2,3*7 * 2,4 чтобы округление до дестих было выполнено правильно?
А) 5; Б) 0; В) 4; Г) 6.
10. 4 а 3 м2 =
А) 4,3 а; Б) 4,003 а; В) 4,03 а; Г) 43.
11. Какое из предложенных чисел можно подставить вместо а, чтобы двойное неравенство 3,7 < а < 3,9 была правильной?
А) 3,08; Б) 3,901; В) 3,699; Г) 3,83.
12. Как изменится сумма трех чисел, если первое слагаемое увеличить на 0,8, второй - увеличить на 0,5, а третий - уменьшить на 0,4?
A ) увеличится на 1,7; Б) увеличится на 0,9;
B ) увеличится на 0,1; Г) уменьшится на 0,2.
Задания для проверки знаний № 7 (§34 - §37)
1. Сравни десятичные дроби:
1) 47,539 и 47,6; 2) 0,293 и 0,2928.
2. Выполни сложение:
1) 7,97 + 36,461; 2) 42 + 7,001.
3. Выполни вычитание:
1) 46,63 - 7,718; 2) 37 - 3,045.
4. Округли до:
1) десятых: 4,597; 0,8342;
2) сотых: 15,795; 14,134.
5. Вырази в километрах и запиши десятичной дробью:
1) 7 км 113 м; 2) 219 м; 3) 17 м; 4) 3129 м.
6. Собственная скорость лодки равна 15,7 км/ч, а скорость течения - 1,9 км/ч. Найди скорость лодки по течению и против течения.
7. Первого дня на склад завезли 7,3 т овощей, что на 2,6 т больше, чем второго, и на 1,7 т меньше, чем третьего дня. Сколько тонн овощей завезли на склад за три дня?
8. Найди значение выражения, выбирая удобный порядок действий:
1) (8,42 + 3,97) + 4,58; 2) (3,47 + 2,93) - 1,47.
9. Запиши три числа, каждое из которых меньше 5,7, но больше 5,5.
10. Дополнительное задание. Запиши все цифры которые можно поставить вместо *, чтобы правильной была приближена неравенство:
1) 3,81*5 ≈3,82; 2) 7,4*6≈ 7,41.
11. Дополнительное задание. При каких натуральных значениях n неравенства 0,7 < n < 4,2 и 2,7 < n < 8,9 одновременно являются правильными?
Сложение десятичных дробей производится по правилам сложения в столбик.
Десятичные дроби складываются в столбик, как и натуральные числа, не обращая внимания на запятые.
В итоговом результате запятая ставится под запятыми как в исходных дробях .
Обратите внимание! Если в начальных десятичных дробях различное число знаков (цифр) после запятой, то к дроби, в которой меньше число десятичных знаков нужно дописать нужное количество нулей, чтобы уравнять в дробях число знаков после запятой.
Если справа от слагаемого или уменьшаемого не хватает разрядов дробной части, то справа в дробной части можно дописывать столько нулей (увеличивать разрядность дробной части), сколько разрядов в другом слагаемом или уменьшаемом.
Рассмотрим пример. Определяем сумму десятичных дробей:
0,678 + 13,7 =
Уравниваем число знаков после запятой в десятичных дробях. Дописываем 2 ноля справа к десятичной дроби 13,7 :
0,678 + 13,700 =
Записываем ответ:
0,678 + 13,7 = 14,378
Основные правила сложения десятичных дробей:
- Уравнять число знаков после запятой.
- Записать десятичные дроби друг под другом таким образом, чтоб запятые были друг под другом.
- Выполнить сложение десятичных дробей, не обращая внимания на запятые, по правилам сложения в столбик натуральных чисел.
- Поставить в ответ запятую под запятыми.
В письменном сложении и вычитании десятичных дробей запятая, которая отделяет целую часть от дробной, должна располагаться у слагаемых и суммы в одном столбике (запятая под запятой от записи условия до конца вычисления).
Например. Сложение десятичных дробей в строку:
243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651.
Такие арифметические вычислительные действия, как сложение и вычитание десятичных дробей , необходимы для того, чтобы, оперируя дробными числами получать искомый результат. Особая важность проведения этих операций состоит в том, что во многих сферах деятельности человека меры многих сущностей представлены именно десятичными дробями . Поэтому для осуществления определенных действий со многими предметами материального мира требуется складывать или вычитать именно десятичные дроби . Следует заметить, что на практике эти операции используются практически повсеместно.
Процедуры сложения и вычитания десятичных дробей по своей математической сути осуществляется практически точно так же, как аналогичные операции для целых чисел. При ее осуществлении значение каждого разряда одного числа нужно записывать под значением аналогичного разряда другого числа.
Подчиняется следующим правилам:
Сначала необходимо произвести уравнивание количество тех знаков, что располагаются после запятой;
Затем нужно произвести запись десятичных дробей друг под другом таким образом, чтобы содержащиеся в них запятые располагались строго друг под другом;
Осуществить процедуру вычитания десятичных дробей в полном соответствии с теми правилами, которые действуют для вычитания целых чисел. При этом не нужно обращать никакого внимания на запятые;
После получения ответа запятую в нем нужно поставить строго под теми, которые имеются в исходных числах.
Операция сложения десятичных дробей осуществляется в соответствии с теми же правилами и алгоритмом, которые описаны выше для процедуры вычитания.
Пример сложения десятичных дробей
Две целых две десятых плюс одна сотая плюс четырнадцать целых девяносто пять сотых равняется семнадцать целых шестнадцать сотых.
2,2 + 0,01 + 14,95 = 17,16
Примеры сложения и вычитания десятичных дробей
Математические операции сложения и вычитания десятичных дробей на практике используются чрезвычайно широко, причем они нередко касаются многих предметов окружающего нас материального мира. Ниже приводится несколько примеров таких вычислений.
Пример 1Согласно проектно-сметной документации, для строительства небольшого производственного объекта требуется десять целых пять десятых кубометров бетона. Используя современные технологии возведения зданий, подрядчикам без ущерба для качественных характеристик сооружения удалось использовать для проведения всех работ всего девять целых девять десятых кубометров бетона. Размер экономии составляет:
Десять целых пять десятых минус девять целых девять десятых равно ноль целых шесть десятых кубометра бетона.
10,5 – 9,9 = 0,6 м 3
Пример 2Двигатель, устанавливаемый на старую модель автомобиля, потребляет в городском цикле восемь целых две десятых литра топлива на сто километров пробега. Для нового силового агрегата этот показатель составляет семь целых пять десятых литров. Размер экономии составляет:
Восемь целых две десятых литра минус семь целых пять десятых литра равно ноль целых семь десятых литра на сто километров пробега в городском режиме движения.
8,2 – 7,5 = 0,7л
Операции сложения и вычитания десятичных дробей применяются чрезвычайно широко, и их осуществление не составляет никаких проблем. В современной математике эти процедуры отработаны практически идеально, и ими практически все хорошо владеют еще со школьной скамьи.