Если концертный зал освещается 3 люстрами по 25 лампочек в каждой, то всего лампочек в этих люстрах будет 25 + 25 + 25, то есть 75.
Сумму, в которой все слагаемые равны друг другу, записывают короче: вместо 25 + 25 + 25 пишут 25 3. Значит, 25 3 = 75 (рис. 43). Число 75 называют произведением чисел 25 и 3, а числа 25 и 3 называют множителями .
Рис. 43. Произведение чисел 25 и 3
Умножить число m на натуральное число n – значит найти сумму n слагаемых, каждое из которых равно m.
Выражение m n и значение этого выражения называют произведением чисел m и n . Числа, которые перемножают называют множителями . Т.е. m и n – множители.
Произведения 7 4 и 4 7 равны одному и тому же числу 28 (рис. 44).
Рис. 44. Произведение 7 4 = 4 7
1. Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей .
переместительным
a × b = b × a .
Произведения (5 3) 2 = 15 2 и 5 (3 2) = 5 6 имеют одно и то же значение 30. Значит, 5 (3 2) = (5 3) 2 (рис. 45).
Рис. 45. Произведение (5 3) 2 = 5 (3 2)
2. Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первым множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.
Это свойство умножения называют сочетательным . С помощью букв его записывают так:
а (b с) = (а b с).
Сумма n слагаемых, каждое из которых равно 1, равна n. Поэтому верно равенство 1 n = n.
Сумма n слагаемых, каждое из которых равно нулю, равна нулю. Поэтому верно равенство 0 n = 0.
Чтобы переместительное свойство умножения было верно при n = 1 и n = 0, условились, что m 1 = m и m 0 = 0.
Перед буквенными множителями обычно не пишут знак умножения: вместо 8 х пишут 8х , вместо а b пишут а b .
Опускают знак умножения и перед скобками. Например, вместо 2 (а + b ) пишут 2(а+ b ) , а вместо (х + 2) (у + 3) пишут (х + 2) (у + 3).
Вместо (ab ) с пишут abc .
Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняют по порядку слева направо.
Произведения читают, называя каждый множитель в родительном падеже. Например:
1) 175 60 – произведение ста семидесяти пяти и шестидесяти;
2) 80 (х + 1 7) – произведение р.п. р.п.
восьмидесяти и суммы икс и семнадцати
Решим задачу.
Сколько трехзначных чисел (рис. 46) можно составить из цифр 2, 4, 6, 8, если цифры в записи числа не повторяются?
Решение.
Первой цифрой числа может быть любая из четырех данных цифр, второй – любая из трех других, а третьей – любая из двух оставшихся. Получается:
Рис. 46. К задаче о составлении трехзначных чисел
Всего из данных цифр можно составить 4 3 2 = 24 трехзначных числа.
Решим задачу.
В правление фирмы входят 5 человек. Из своего состава правление должно выбрать президента и вице-президента. Сколькими способами это можно сделать?
Решение.
Президентом фирмы можно избрать одного из 5 человек:
Президент:
После того как президент избран, вице-президентом можно выбрать любого из четырех оставшихся членов правления (рис. 47):
|
Рис. 47. К задаче о выборах
Значит, выбрать президента можно пятью способами, и для каждого выбранного президента четырьмя способами можно выбрать вице-президента. Следовательно, общее число способов выбрать президента и вице-президента фирмы равно: 5 4 = 20 (см. рис. 47).
Решим еще задачу.
Из села Аникеево в село Большово ведут четыре дороги, а из села Большово в село Виноградове – три дороги (рис. 48). Сколькими способами можно добраться из Аникеева в Виноградове через село Большово?
Рис. 48. К задаче о дорогах
Решение.
Если из А в Б добираться по 1-й дороге, то продолжить путь есть три способа (рис. 49).
Рис. 49. Варианты пути
Точно так же рассуждая, получаем по три способа продолжить путь, начав добираться и по 2-й, и по 3-й, и по 4-й дороге. Значит, всего получается 4 3 = 12 способов добраться из Аникеева в Виноградове.
Решим еще одну задачу.
Семье, состоящей из бабушки, папы, мамы, дочери и сына, подарили 5 разных чашек. Сколькими способами можно разделить чашки между членами семьи?
Решение . У первого члена семьи (например, бабушки) есть 5 вариантов выбора, у следующего (пусть это будет папа) остается 4 варианта выбора. Следующий (например, мама) будет выбирать уже из 3 чашек, следующий – из двух, последний же получает одну оставшуюся чашку. Покажем эти способы на схеме (рис. 50).
Рис. 50. Схема к решению задачи
Получили, что каждому выбору чашки бабушкой соответствует четыре возможных выбора папы, т.е. всего 5 4 способов. После того как папа выбрал чашку, у мамы есть три варианта выбора, у дочери – два, у сына – один, т.е. всего 3 2 1 способов. Окончательно получаем, что для решения задачи надо найти произведение 5 4 3 2 1.
Заметим, что получили произведение всех натуральных чисел от 1 до 5. Такие произведения записывают короче:
5 4 3 2 1 = 5! (читают: «пять факториал»).
Факториал числа – произведение всех натуральных чисел от 1 до этого числа.
Итак, ответ задачи: 5! = 120, т.е. чашки между членами семьи можно распределить ста двадцатью способами.
Сумма - это результат сложения, причем слово может относиться не только к цифрам.
Разность - это то, что получается после вычитания чисел.
Произведение - то что получается после умножения, слово имеет и другое значение.
Частное - это то, что получается после деления.
I . Математические понятия СУММА, РАЗНОСТЬ, ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ЧАСТНОЕ взаимосвязаны с математическими терминами СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ, УМНОЖЕНИЕ, ДЕЛЕНИЕ .
Все определения даются здесь на множестве натуральных чисел.
Каждой паре чисел ставится в соответствие число, называемое их СУММОЙ .
Сумма состоит из стольких единиц, сколько их содержится в числах (слагаемых) из данной пары.
СУММА есть результат сложения чисел-слагаемых.
Вычитание - это операция, обратная сложению. Она состоит в нахождении одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому. Данная сумма называется уменьшаемым, данное слагаемое - вычитаемым, а искомое слагаемое - РАЗНОСТЬЮ .
РАЗНОСТЬ - это число, являющееся результатом вычитания, остаток вычитания.
Каждой паре чисел можно поставить в соответствие число, которое состоит из стольких единиц, сколько их содержится в первом числе из пары, взятых столько раз, сколько единиц содержится во втором числе из пары. Это соответствующее таким образом паре чисел (они называются сомножителями) число называется ПРОИЗВЕДЕНИЕМ .
ПРОИЗВЕДЕНИЕ - это результат умножения.
Деление есть операция, обратная умножению.
Деление - это нахождение одного из сомножителей по произведению и другому сомножителю. Данное произведение называется делимым, данный сомножитель - делителем, а искомый сомножитель - это ЧАСТНОЕ , то есть число, полученное от деления одного числа на другое.
II . ДРУГИЕ ЗНАЧЕНИЯ СЛОВ СУММА, РАЗНОСТЬ, ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ЧАСТНОЕ .
Все используемые в качестве математических понятий слова могут иметь и другие лексические значения.
СУММА в переносном значении означает совокупность, общее количество чего-либо.
Например. Профессионализм педагога заключается в сумме знаний, умений и навыков, передаваемых им своим ученикам. Отсутствие нужной суммы денег заставило отказаться от покупки.
РАЗНОСТЬ имеет значения разницы, несходства, отличия в чем-либо.
Например. Разность интересов намного хуже разницы в возрасте. Дружба может начаться с представления об общности взглядов, а вражда - с разности взглядов.
ПРОИЗВЕДЕНИЕ означает что-либо произведенное в процессе труда, создание чего-нибудь, продукт труда, творчества, искусства и т.п.
Например. Высокое художественное произведение заставляет человека думать над своей жизнью. На конкурсе юных пианистов мальчик играл произведение П.И. Чайковского. Эта шкатулка - настоящее произведение искусства.
ЧАСТНОЕ - это что-то личное, персональное, принадлежащее только одному человеку, это его собственность, его и только его достояние. И будь то самоличные мысли, будь то имущество или что-нибудь другое, но оно принадлежит только ему, частному лицу.
Например. Подруга подарила мне записную книжку с надписью Частное. Хорошо ли противопоставлять частное общественному?
По сути, все четыре слова в вопросе, а именно сумма, разность, произведение и частное, отражаю четыре основные математические действия, которые являются азами. Именно с обучения данным действиям начинается увлекательный путь в мир математики. Таким образом,
Сумма, разность, произведение, частное - это результат математических дейтсвий, с которых мы все начинали свое знакомства с математикой. В жизни эти слова мы тоже используем, но значение вкладываем в них больше математическое, хоть складывать можем и не числа. Произведение еще может быть и художественным. Это совсем другое значение слова, которое мы применяем в жизни.
Все эти четыре термина употребляются преимущественно в математике.
Сумма - это когда происходит складывание двух чисел;
Разность- это вычитание одного числа из другого;
Частное - это деление одного числа на другое;
Произведение - это умножение одного числа на другое.
Частное - результат деления чисел, произведение - результат умножения чисел, сумма - результат сложения чисел, разность - результат вычетания. Это элементарные математические действия, которые можно проводить с числами.
Это такие математические понятия.
Сумма - это результат сложения. Числа, которые складывают, называют первое слагаемое и второе слагаемое. Обозначается таким знаком: +.
Разность - это результат вычитания. Числа, которые вычитают, называют уменьшаемое (то, которое больше) и вычитаемое (то, которое меньше). Обозначается таким знаком: -.
Произведение - это результат умножения. Числа, которые умножают, называются первым множителем и вторым множителем. Обозначается таким знаком: *.
Частное - это результат деления. Числа, которые делят, называются делимое (то, которое больше), делитель (то, которое меньше). Обозначается таим знаком: :.
Эти все понятия проходят в начальной школе.
В математике есть четыре простые операции, которые можно применить к двум числам и получить такие результаты:
сумма - это результат сложения чисел,
разность - это результат вычетания от одного числа другого,
произведение - это результат умножения чисел,
частное - это уже результат деления чисел.
Суммой в математике назовем число, которое получим в результате прибавления одного числа к другом. Разность это число противоположное сложению, это когда отнимают от большего числа меньшее. Произведением назовем число, которое получится в результате умножения одного числа на другое. Разность это противомоложное произведению число. Получаем разность так: делим одно число на другое.
Я математик по образованию, специальность: учитель математики. Проработала всю жизнь преподавателем математики в педвузе.
Необходимо оговориться. Речь в дальнейшем пойдет о сумме, разности, произведении, частном чисел.
Ответы на данные вопросы хотя и простые, но вызывают затруднения у учащихся. Чтобы можно было более подробно рассмотреть эту обобщающую тему, предлагаю вашему вниманию полезный материал по ней. Заметка называется Математика для блондинок.
Мне понравилась методика изучения.
Задается провокационный вопрос:
Разность - это поделить или умножить?
Пытаются заинтересовать (ни одна предложенная версия не является верной!)))
Затем отвечают:
Разность - это отнять. Результат вычитания называется разность.
Аналогично получают:
Сумма - это сложить. Результат сложения называется сумма.
Произведение - это умножить. Результат умножения называется произведение.
Частное - это деление. Результат деления называется частное.
Таким простым языком объясняются верные понятия суммы, разности, произедения и частного в математике. Немного упрощенно записаны лишь словосочетания: разность - это отнять, сумма - прибавить, произведение - умножить, частное - разделить. Если быть точными, так не утверждают.
Итак, результат сложения чисел (слагаемых) - это их сумма , результат вычитания чисел (уменьшаемого и вычитаемого) - это разность , результат умножения чисел (сомножителей) - это произведение , а результат деления чисел (делимого на делитель), причем делитель не должен быть равен нулю, иначе деление нельзя выполнить, есть частное этих чисел.
О других значениях данных слов не задумываюсь, математика затмевает все.)))
Слова Сумма, Разность, Произведение и Частное очень знакомо ученикам школ и других учебных заведений веди с этими определениям им приходиться на каждом уроке математики.
1) Сумма
Суммой является результат, полученный после сложения (+) двух или более чисел.
Суммой так же является итоговая стоимость товара (сумма к оплате), общая совокупность знаний, впечатлений и много чего.
2) Разность
В математике означает результат вычитания числе (-).
Слово разность так же может употребляться в качестве слова разницы чего-либо. Например, разность мнений, разность взглядов, разность показателей и т.д.
3) Произведение
Произведением является результат, полученный после умножения чисел (*).
Кроме математики это слово еще употребляется в качестве обозначения результата творческого процесса (произведение искусства), в качестве глагола от производить.
4) Честное
Этим словом обозначают результат деления двух чисел (:).
Слово частное мы так же можем услышать при обозначении принадлежности чего либо одному собственнику (частное лицо, частная собственность, частное дело).
- (product) Результат умножения. Произведение чисел, алгебраических выражений, векторов или матриц; может быть показано точкой, косой крестик или же просто написанием их последовательно один за другим, т.е. f(x).g(y), f(x) x g(y), f(x)g(y)… … Экономический словарь
Наука о целых числах. Понятие целого числа (См. Число), а также арифметических операций над числами известно с древних времён и является одной из первых математических абстракций. Особое место среди целых чисел, т. е. чисел..., 3 … Большая советская энциклопедия
Сущ., с., употр. часто Морфология: (нет) чего? произведения, чему? произведению, (вижу) что? произведение, чем? произведением, о чём? о произведении; мн. что? произведения, (нет) чего? произведений, чему? произведениям, (вижу) что? произведения,… … Толковый словарь Дмитриева
Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… … Википедия
В арифметике под умножением понимают краткую запись суммы одинаковых слагаемых. Например, запись 5*3 обозначает «5 сложить с собой 3 раза», то есть является просто краткой записью для 5+5+5. Результат умножения называется произведением, а… … Википедия
Раздел теории чисел, основной задачей к рого является изучение свойств целых чисел полей алгебраических чисел конечной степени над полем рациональных чисел. Все целые числа поля расширения К поля степени п могут быть получены с помощью… … Математическая энциклопедия
Теория чисел, или высшая арифметика раздел математики, изучающий целые числа и сходные объекты. В теории чисел в широком смысле рассматриваются как алгебраические, так и трансцендентные числа, а также функции различного происхождения, которые… … Википедия
Раздел теории чисел, в к ром изучаются закономерности распределения простых чисел (п. ч.) среди натуральных чисел. Центральной является проблема наилучшего асимптотич. выражения при функции p(х), обозначающей число п. ч., не превосходящих х, а… … Математическая энциклопедия
- (в зарубежной литературе scalar product, dot product, inner product) операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов сомножителей и угол между… … Википедия
Определённая на векторном пространстве L над полем K симметричная эрмитова форма, рассматриваемая обычно в качестве составной части определения этого пространства, делающей пространство (в зависимости от типа пространства и свойств внутреннего … Википедия
Книги
- Сборник задач по мат-ке , Бачурин В.. Рассматриваемые в книге вопросы по математике вполне отвечают содержанию любой из трех программ: школьной, подготовительных отделений, вступительных экзаменов. Ихотя эта книга называется…
- Живая материя. Физика живого и эволюционных процессов , Яшин А.А.. В настоящей монографии обобщены исследования автора за последние несколько лет. Экспериментальные результаты, представленные в книге, получены Тульской научной школой биофизики полей и…
В этой статье мы разберемся, как выполняется умножение целых чисел . Сначала введем термины и обозначения, а также выясним смысл умножения двух целых чисел. После этого получим правила умножения двух целых положительных, целых отрицательных и целых чисел с разными знаками. При этом будем приводить примеры с детальным пояснением хода решения. Также затронем случаи умножения целых чисел, когда один из множителей равен единице или нулю. Дальше мы научимся выполнять проверку полученного результата умножения. И, наконец, поговорим об умножении трех, четырех и большего количества целых чисел.
Навигация по странице.
Термины и обозначения
Для описания умножения целых чисел мы будем использовать такие же термины, с помощью которых мы описывали умножение натуральных чисел. Напомним их.
Умножаемые целые числа называются множителями . Результат умножения называется произведением . Действие умножение обозначается знаком умножить вида «·». В некоторых источниках можно встретить обозначение умножения знаками «*» или «×».
Умножаемые целые числа a , b и результат их умножения c удобно записывать с помощью равенства вида a·b=c . В этой записи целое число a – это первый множитель, целое число b – второй множитель, а число c – произведение. вида a·b также будем называть произведением, как и значение этого выражения c .
Забегая вперед, заметим, что произведение двух целых чисел представляет собой целое число.
Смысл умножения целых чисел
Умножение целых положительных чисел
Целые положительные числа – это натуральные числа, поэтому умножение целых положительных чисел проводится по всем правилам умножения натуральных чисел. Понятно, что в результате умножения двух целых положительных чисел получится целое положительное число (натуральное число). Рассмотрим пару примеров.
Пример.
Чему равно произведение целых положительных чисел 127 и 5 ?
Решение.
Первый множитель 107 представим в виде суммы разрядных слагаемых , то есть, в виде 100+20+7 . После этого воспользуемся правилом умножения суммы чисел на данное число : 127·5=(100+20+7)·5=100·5+20·5+7·5 . Остается лишь закончить вычисление: 100·5+20·5+7·5= 500+100+35=600+35=635 .
Таким образом, произведение данных целых положительных чисел 127 и 5 равно 635 .
Ответ:
127·5=635 .
Для умножения многозначных целых положительных чисел удобно использовать метод умножения столбиком .
Пример.
Умножьте трехзначное целое положительное число 712 на двузначное целое положительное число 92 .
Решение.
Выполним умножение данных целых положительных чисел в столбик:
Ответ:
712·92=65 504 .
Правило умножения целых чисел с разными знаками, примеры
Сформулировать правило умножения целых чисел с разными знаками нам поможет следующий пример.
Вычислим произведение целого отрицательного числа −5 и целого положительного числа 3 на основании смысла умножения. Так (−5)·3=(−5)+(−5)+(−5)=−15 . Чтобы сохранилась справедливость переместительного свойства умножения, должно выполняться равенство (−5)·3=3·(−5) . То есть, произведение 3·(−5) также равно −15 . Несложно заметить, что −15 равен произведению модулей исходных множителей, откуда следует, что произведение исходных целых чисел с разными знаками равно произведению модулей исходных множителей, взятому со знаком минус.
Так мы получили правило умножения целых чисел с разными знаками : чтобы перемножить два целых числа с разными знаками, нужно перемножить модули этих чисел и перед полученным числом поставить знак минус.
Из озвученного правила можно заключить, что произведение целых чисел с разными знаками всегда является целым отрицательным числом. Действительно, в результате умножения модулей множителей мы получим целое положительное число, а если перед этим числом поставить знак минус, то она станет целым отрицательным.
Рассмотрим примеры вычисления произведения целых чисел с разными знаками с помощью полученного правила.
Пример.
Выполните умножение целого положительного числа 7 на целое отрицательное число −14 .
Решение.
Воспользуемся правилом умножения целых чисел с разными знаками. Модули множителей равны соответственно 7 и 14 . Вычислим произведение модулей: 7·14=98 . Осталось перед полученным числом поставить знак минус: −98 . Итак, 7·(−14)=−98 .
Ответ:
7·(−14)=−98 .
Пример.
Вычислите произведение (−36)·29 .
Решение.
Нам нужно вычислить произведение целых чисел с разными знаками. Для этого вычисляем произведение абсолютных величин множителей: 36·29=1 044 (умножение лучше провести в столбик). Теперь ставим знак минус перед числом 1 044 , получаем −1 044 .
Ответ:
(−36)·29=−1 044 .
В заключение этого пункта докажем справедливость равенства a·(−b)=−(a·b) , где a и −b - произвольные целые числа. Частным случаем этого равенства является озвученное правило умножения целых чисел с разными знаками.
Другими словами, нам нужно доказать, что значения выражений a·(−b) и a·b – противоположные числа . Чтобы это доказать, найдем сумму a·(−b)+a·b и убедимся, что она равна нулю. В силу распределительного свойства умножения целых чисел относительно сложения справедливо равенство a·(−b)+a·b=a·((−b)+b) . Сумма (−b)+b равна нулю как сумма противоположных целых чисел, тогда a·((−b)+b)=a·0 . Последнее произведение равно нулю по свойству умножения целого числа на нуль . Таким образом, a·(−b)+a·b=0 , следовательно, a·(−b) и a·b являются противоположными числами, откуда вытекает справедливость равенства a·(−b)=−(a·b) . Аналогично можно показать, что (−a)·b=−(a·b) .
Правило умножения отрицательных целых чисел, примеры
Получить правило умножения двух целых отрицательных чисел нам поможет равенство (−a)·(−b)=a·b , которое мы сейчас докажем.
В конце предыдущего пункта мы показали, что a·(−b)=−(a·b) и (−a)·b=−(a·b) , поэтому мы можем записать следующую цепочку равенств (−a)·(−b)=−(a·(−b))=−(−(a·b)) . А полученное выражение −(−(a·b)) есть не что иное, как a·b в силу определения противоположных чисел. Итак, (−a)·(−b)=a·b .
Доказанное равенство (−a)·(−b)=a·b позволяет сформулировать правило умножения целых отрицательных чисел : произведение двух отрицательных целых чисел равно произведению модулей этих чисел.
Из озвученного правила следует, что результатом умножения двух целых отрицательных чисел является целое положительное число.
Рассмотрим применение этого правила при выполнении умножения целых отрицательных чисел.
Пример.
Вычислите произведение (−34)·(−2) .
Решение.
Нам нужно перемножить два отрицательных целых числа −34 и −2 . Воспользуемся соответствующим правилом. Для этого находим модули множителей: и . Осталось вычислить произведение чисел 34 и 2 , что мы умеем делать. Кратко все решение можно записать так (−34)·(−2)=34·2=68 .
Ответ:
(−34)·(−2)=68 .
Пример.
Выполните умножение целого отрицательного числа −1 041 на целое отрицательное число −538 .
Решение.
По правилу умножения целых отрицательных чисел искомое произведение равно произведению модулей множителей. Модули множителей равны соответственно 1 041
и 538
. Выполним умножение столбиком:
Ответ:
(−1 041)·(−538)=560 058 .
Умножение целого числа на единицу
Умножение любого целого числа a на единицу дает в результате число a . Об этом мы уже упоминали, когда обсуждали смысл умножения двух целых чисел. Так a·1=a . В силу переместительного свойства умножения должно быть справедливым равенство a·1=1·a . Следовательно, 1·a=a .
Приведенные рассуждения приводят нас к правилу умножения двух целых чисел, одно из которых равно единице. Произведение двух целых чисел, в котором одним из множителей является единица, равно другому множителю .
Например, 56·1=56 , 1·0=0 и 1·(−601)=−601 . Приведем еще пару примеров. Произведение целых чисел −53 и 1 равно −53 , а результатом умножения единицы и отрицательного целого числа −989 981 является число −989 981 .
Умножение целого числа на нуль
Мы условились, что произведение любого целого числа a на нуль равно нулю, то есть, a·0=0 . Переместительное свойство умножения заставляет нас принять и равенство 0·a=0 . Таким образом, произведение двух целых чисел, в котором хотя бы один из множителей является нулем, равно нулю . В частности, результатом умножения нуля на нуль является нуль: 0·0=0 .
Приведем несколько примеров. Произведение целого положительного числа 803 и нуля равно нулю; результатом умножения нуля на целое отрицательное число −51 является нуль; также (−90 733)·0=0 .
Отметим также, что произведение двух целых чисел тогда и только тогда равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Проверка результата умножения целых чисел
Проверка результата умножения двух целых чисел осуществляется с помощью деления. Нужно провести деление полученного произведения на один из множителей, если при этом получится число, равное другому множителю, то умножение было выполнено верно. Если же получится число, отличное от другого слагаемого, то где-то была допущена ошибка.
Рассмотрим примеры, в которых проводится проверка результата умножения целых чисел.
Пример.
В результате умножения двух целых чисел −5 и 21 было получено число −115 , правильно ли вычислено произведение?
Решение.
Выполним проверку. Для этого разделим вычисленное произведение −115 на один из множителей, например, на −5 . , выполните проверку результата. (−17)·(−67)=1 139 .
Умножение трех и более целых чисел
Сочетательное свойство умножения целых чисел позволяет нам однозначно определить произведение трех, четырех и большего количества целых чисел. При этом остальные свойства умножения целых чисел позволяют утверждать, что произведение трех и более целых чисел не зависит от способа расстановки скобок и от порядка следования множителей в произведении. Аналогичные утверждения мы обосновали, когда говорили об умножении трех и большего количества натуральных чисел . В случае целых множителей обоснование полностью совпадает.
Рассмотрим решение примера.
Пример.
Вычислите произведение пяти целых чисел 5 , −12 , 1 , −2 и 15 .
Решение.
Мы можем последовательно слева направо заменять два соседних множителя их произведением: 5·(−12)·1·(−2)·15= (−60)·1·(−2)·15= (−60)·(−2)·15= 120·15=1 800 . Этот вариант вычисления произведения соответствует следующему способу расстановки скобок: (((5·(−12))·1)·(−2))·15 .
Также мы могли переставить некоторые множители местами и расставить скобки иначе, если это позволяет провести вычисление произведения данных пяти целых чисел более рационально. Например, можно было переставить множители в следующем порядке 1·5·(−12)·(−2)·15 , после чего расставить скобки так ((1·5)·(−12))·((−2)·15) . В этом случае вычисления будут такими: ((1·5)·(−12))·((−2)·15)= (5·(−12))·((−2)·15)= (−60)·(−30)=1 800 .
Как видите, разные варианты расстановки скобок и различный порядок следования множителей привели нас к одному и тому же результату.
Ответ:
5·(−12)·1·(−2)·15=1 800 .
Отдельно отметим, что если в произведении трех, четырех и т.д. целых чисел хотя бы один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю. Например, произведение четырех целых чисел 5 , −90 321 , 0 и 111 равно нулю; результатом умножения трех целых чисел 0 , 0 и −1 983 также является нуль. Справедливо и обратное утверждение: если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.