При умножении на отрицательное число. Умножение положительных и отрицательных чисел

В данной статье сформулируем правило умножения отрицательных чисел и дадим ему объяснение. Будет подробно рассмотрен процесс умножения отрицательных чисел. На примерах показаны все возможные случаи.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Умножение отрицательных чисел

Определение 1

Правило умножения отрицательных чисел заключается в том, что для того, чтобы умножить два отрицательных числа, необходимо перемножить их модули. Данное правило записывается так: для любых отрицательных чисел – a , - b данное равенство считается верным.

(- а) · (- b) = a · b .

Выше приведено правило умножения двух отрицательных чисел. Исходя из него, докажем выражение: (- а) · (- b) = a · b . Статья умножение чисел с разными знаками рассказывает о том, что равенств а · (- b) = - a · b справедливое, как и (- а) · b = - a · b . Это следует из свойства противоположных чисел, благодаря которому равенства запишутся следующим образом:

(- a) · (- b) = - (- a · (- b)) = - (- (a · b)) = a · b .

Тут явно видно доказательство правила умножения отрицательных чисел. Исходя из примеров явно, что произведение двух отрицательных чисел – положительное число. При перемножении модулей чисел результат всегда положительное число.

Данное правило применимо для умножения действительных чисел, рациональных чисел, целых чисел.

Теперь рассмотрим подробно примеры умножения двух отрицательных чисел. При вычислении необходимо пользоваться правилом, написанным выше.

Пример 1

Произвести умножение чисел - 3 и - 5 .

Решение.

По модулю умножаемые данные два числа равны положительным числам 3 и 5 . Их произведение дает в результате 15 . Отсюда следует, что произведение заданных чисел равно 15

Запишем кратко само умножение отрицательных чисел:

(- 3) · (- 5) = 3 · 5 = 15

Ответ: (- 3) · (- 5) = 15 .

При умножении отрицательных рациональных чисел, применив разобранное правило, можно мобилизоваться к умножению дробей, умножению смешанных чисел, умножению десятичных дробей.

Пример 2

Вычислить произведение (- 0 , 125) · (- 6) .

Решение.

Используя правило умножения отрицательных чисел, получим, что (− 0 , 125) · (− 6) = 0 , 125 · 6 . Для получения результата необходимо выполнить умножение десятичной дроби на натуральное число столбиков. Это выглядит так:

Получили, что выражение примет вид (− 0 , 125) · (− 6) = 0 , 125 · 6 = 0 , 75 .

Ответ: (− 0 , 125) · (− 6) = 0 , 75 .

В случае, когда множители – иррациональные числа, тогда их произведение может быть записано в виде числового выражения. Значение вычисляется только по необходимости.

Пример 3

Необходимо произвести умножение отрицательного - 2 на неотрицательное log 5 1 3 .

Решение

Находим модули заданных чисел:

2 = 2 и log 5 1 3 = - log 5 3 = log 5 3 .

Следуя из правил умножения отрицательных чисел, получим результат - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 . Это выражение и является ответом.

Ответ: - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 .

Для продолжения изучения темы необходимо повторить раздел умножение действительных чисел.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Таблица 5

Таблица 6

С некоторой натяжкой то же объяснение годится и для произведения 1-5, если считать, что «сумма» из одного-единственного

слагаемого равна этому слагаемому. Но произведение 0 5 или (-3) 5 так не объяснишь: что означает сумма из нуля или из минус трех слагаемых?

Можно, однако, переставить сомножители

Если мы хотим, чтобы произведение не изменялось при перестановке сомножителей - как это было для положительных чисел - то тем самым должны считать, что

Теперь перейдем к произведению (-3) (-5). Чему оно равно: -15 или +15? Оба варианта имеют резон. С одной стороны, минус в одном сомножителе уже делает произведение отрицательным - тем более оно должно быть отрицательным, если отрицательны оба сомножителя. С другой стороны, в табл. 7 уже есть два минуса, но только один плюс, и «по справедливости» (-3)-(-5) должно быть равно +15. Так что же предпочесть?

Таблица 7

Вас, конечно, такими разговорами не запутаешь: из школьного курса математики Вы твердо усвоили, что минус на минус дает плюс. Но представьте себе, что Ваш младший брат или сестра спрашивает Вас: а почему? Что это - каприз учительницы, указание высшего начальства или теорема, которую можно доказать?

Обычно правило умножения отрицательных чисел поясняют на примерах вроде представленного в табл. 8.

Таблица 8

Можно объяснять и иначе. Напишем подряд числа

Теперь напишем те же числа, умноженные на 3:

Легко заметить, что каждое число больше предыдущего на 3. Теперь напишем те же числа в обратном порядке (начав, например, с 5 и 15):

При этом под числом -5 оказалось число -15, так что 3 (-5) = -15: плюс на минус дает минус.

Теперь повторим ту же процедуру, умножая числа 1,2,3,4,5 ... на -3 (мы уже знаем, что плюс на минус дает минус):

Каждое следующее число нижнего ряда меньше предыдущего на 3. Запишем числа в обратном порядке

и продолжим:

Под числом -5 оказалось 15, так что (-3) (-5) = 15.

Возможно, эти объяснения и удовлетворили бы Вашего младшего брата или сестру. Но Вы вправе спросить, как же обстоят дела на самом деле и можно ли доказать, что (-3) (-5) = 15?

Ответ здесь таков: можно доказать, что (-3) (-5) должно равняться 15, если только мы хотим, чтобы обычные свойства сложения, вычитания и умножения оставались верными для всех чисел, включая отрицательные. Схема этого доказательства такова.

Докажем сначала, что 3 (-5) = -15. Что такое -15? Это число, противоположное 15, т. е. число, которое в сумме с 15 дает 0. Так что нам надо доказать, что

В этой статье мы разберемся с процессом умножения отрицательных чисел . Сначала сформулируем правило умножения отрицательных чисел и обоснуем его. После этого перейдем к решению характерных примеров.

Навигация по странице.

Сразу озвучим правило умножения отрицательных чисел : чтобы умножить два отрицательных числа, надо перемножить их модули.

Запишем это правило с помощью букв: для любых отрицательных действительных чисел −a и −b (при этом числа a и b – положительные) справедливо равенство (−a)·(−b)=a·b .

Докажем правило умножения отрицательных чисел, то есть, докажем равенство (−a)·(−b)=a·b .

В статье умножение чисел с разными знаками мы обосновали справедливость равенства a·(−b)=−a·b , аналогично показывается, что (−a)·b=−a·b . Эти результаты и свойства противоположных чисел позволяют записать следующие равенства (−a)·(−b)=−(a·(−b))=−(−(a·b))=a·b . Это доказывает правило умножения отрицательных чисел.

Из приведенного правила умножения понятно, что произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Действительно, так как модуль любого числа является положительным, то произведение модулей также является положительным числом.

В заключение этого пункта отметим, что рассмотренное правило можно использовать для умножения действительных чисел, рациональных чисел и целых чисел.

Пришло время разобрать примеры умножения двух отрицательных чисел , при решении будем пользоваться правилом, полученном в предыдущем пункте.

Перемножьте два отрицательных числа −3 и −5 .

Модули умножаемых чисел равны 3 и 5 соответственно. Произведение этих чисел равно 15 (при необходимости смотрите умножение натуральных чисел), таким образом, произведение исходных чисел равно 15 .

Весь процесс умножения исходных отрицательных чисел кратко записывается так: (−3)·(−5)= 3·5=15 .

Умножение отрицательных рациональных чисел с помощью разобранного правила можно свести к умножению обыкновенных дробей, умножению смешанных чисел или умножению десятичных дробей.

Вычислите произведение (−0,125)·(−6) .

По правилу умножения отрицательных чисел имеем (−0,125)·(−6)=0,125·6 . Осталось лишь закончить вычисления, выполним умножение десятичной дроби на натуральное число столбиком:

Наконец, заметим, что если один или оба множителя являются иррациональными числами, заданными в виде корней, логарифмов, степеней и т.п., то их произведение часто приходится записывать как числовое выражение. Значение полученного выражения вычисляется лишь при необходимости.

Проведите умножение отрицательного числа на отрицательное число .

Найдем сначала модули умножаемых чисел: и (смотрите свойства логарифма). Тогда по правилу умножения отрицательных чисел имеем. Полученное произведение и является ответом.

Продолжить изучение темы можно, обратившись к разделу умножение действительных чисел .

Можно, однако, переставить сомножители

Обычно правило умножения отрицательных чисел поясняют на примерах вроде представленного в табл. 8.

Можно объяснять и иначе. Напишем подряд числа

Сложение отрицательных чисел Сложение положительных и отрицательных чисел можно разобрать с помощью числовой оси. Сложение чисел с помощью координатной прямой Сложение небольших по модулю чисел удобно выполнять на […]
Значение слова Объясните значение слов: закон, ростовщик, раб-должник. объясните значение слов: закон, ростовщик, раб-должник. ВкУсНаЯ КлУбНиКа (Гость) Школы Вопросы по теме 1.На какие 3 типа можно разделить […]
Ставка единого налога - 2018 Ставка единого налога - 2018 для предпринимателей-физлиц первой и второй гpупп расcчитывается в процентах oт размера прожиточного минимума и минимальной зарплаты, установлeнных нa 01 января […]
на рацию в машине разрешение нужно? где бы прочитать? Вам необходимо зарегистрировать вашу радиостанцию в любом случае. Рации, которые работают на частоте 462MHz, если Вы не являетесь представителем МВД, на Вас не […]
Экзаменационные билеты ПДД категории СД 2018 года Экзаменационные билеты CD ГИБДД 2018 Официальные экзаменационные билеты категории СД 2018 года. Билеты и комментарии составлены на основе ПДДот 18 июля 2018 года […]
Курсы иностранных языков в Киеве «Европейское Образование» английский итальянский нидерландский норвежский исландский вьетнамский бирманский бенгальский сингальский тагальский непальский малагасийский Где бы Вы не […]

Теперь напишем те же числа, умноженные на 3:

При этом под числом -5 оказалось число -15, так что 3 (-5) = -15: плюс на минус дает минус.

Теперь повторим ту же процедуру, умножая числа 1,2,3,4,5 . на -3 (мы уже знаем, что плюс на минус дает минус):

Каждое следующее число нижнего ряда меньше предыдущего на 3. Запишем числа в обратном порядке

Под числом -5 оказалось 15, так что (-3) (-5) = 15.

(Вынося 3 за скобку, мы воспользовались законом дистрибутивности ab + ас = а(b + с) при - ведь мы предполагаем, что он остается верным для всех чисел, включая отрицательные.) Итак, (Дотошный читатель спросит нас, почему . Честно признаемся: доказательство этого факта - как и вообще обсуждение того, что такое ноль - мы пропускаем.)

Докажем теперь, что (-3) (-5) = 15. Для этого запишем

и умножим обе части равенства на -5:

Раскроем скобки в левой части:

т. е. (-3) (-5) + (-15) = 0. Таким образом, число противоположно числу -15, т. е. равно 15. (В таком рассуждении также есть пробелы: следовало бы доказать, что и что существует только одно число, противоположное числу -15.)

Правила умножение отрицательных чисел

Правильно ли мы понимаем умножение?

«- А и Б сидели на трубе. А упало, Б пропало, что осталось на трубе?
— Осталась ваша буква И».

(Из к/ф «Отроки во Вселенной»)

Почему при умножении числа на ноль получается ноль?

Почему при перемножении двух отрицательных чисел получается положительное число?

Что только не придумывают педагоги, чтобы дать ответы на эти два вопроса.

Но никому не хватает смелости признать, что в формулировке умножения три смысловые ошибки!

Возможны ли ошибки в основах арифметики? Ведь математика позиционирует себя точной наукой.

Школьные учебники математики не дают ответов на эти вопросы, заменяя объяснения набором правил, которые нужно запомнить. Может быть считают эту тему трудной для объяснения в средних классах школы? Попробуем разобраться в этих вопросах.

7 — множимое. 3 — множитель. 21- произведение.

По официальной формулировке:

умножить число на другое число — значит сложить столько множимых, сколько предписывает множитель.

По принятой формулировке множитель 3 говорит нам о том, что в правой части равенства должно быть три семерки.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Но эта формулировка умножения не может объяснить поставленные выше вопросы.

Исправим формулировку умножения

Обычно в математике многое имеют в виду, но об этом не говорят и не записывают.

Имеется в виду знак плюс перед первой семеркой в правой части равенства. Запишем этот плюс.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

Но к чему прибавляется первая семерка. Имеется в виду, что к нулю, разумеется. Запишем и ноль.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

А если мы будем умножать на три минус семь?

— 7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = — 21

Мы записываем сложение множимого -7, на самом деле мы производим многократное вычитание из нуля. Раскроем скобки.

— 7 * 3 = 0 — 7 — 7 — 7 = — 21

Теперь можно дать уточненную формулировку умножения.

Умножение — это многократное прибавление к нулю (или вычитание из нуля) множимого (-7) столько раз, сколько указывает множитель. Множитель (3) и его знак (+ или -) указывает количество операций прибавления к нулю или вычитания из нуля.

По этой уточненной и несколько измененной формулировке умножения легко объясняются «правила знаков» при умножении, когда множитель отрицательный.

7 * (-3) — должно быть после нуля три знака «минус» = 0 — (+7) — (+7) — (+7) = — 21

— 7 * (-3) — снова должно быть после нуля три знака «минус» =

0 — (-7) — (-7) — (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

Умножение на ноль

7 * 0 = 0 + . нет операций прибавления к нулю.

Если умножение это прибавление к нулю, а множитель показывает количество операций прибавления к нулю, то множитель ноль показывает, что к нулю ничего не прибавляется. Поэтому и остается ноль.

Итак, в существующей формулировке умножения мы нашли три смысловые ошибки, которые блокируют понимание двух «правил знаков» (когда множитель отрицательный) и умножение числа на ноль.

Нужно не складывать множимое, а прибавлять его к нулю.
Умножение это не только прибавление к нулю, но и вычитание из нуля.
Множитель и его знак показывают не количество слагаемых, а количество знаков плюс или минус при разложении умножения на слагаемые (или вычитаемые).

Несколько уточнив формулировку, нам удалось объяснить правила знаков при умножении и умножение числа на ноль без помощи переместительного закона умножения, без распределительного закона, без привлечения аналогий с числовой прямой, без уравнений, без доказательств от обратного и т.п.

Правила знаков по уточненной формулировке умножения выводятся очень просто.

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 — 7 — 7 — 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 — (+7) — (+7) — (+7) = 0 — 7 — 7 — 7 = -21 (+ — = -)

7 * (-3) = 0 — (-7) — (-7) — (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- — = +)

Множитель и его знак (+3 или -3) указывает на количество знаков «+» или «-» в правой части равенства.

Измененная формулировка умножения соответствует операции возведения числа в степень.

2^0 = 1 (единица ни на что не умножается и не делится, поэтому остается единицей)

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

Математики согласны, что возведение числа в положительную степень — это многократное умножение единицы. А возведение числа в отрицательную степень — это многократное деление единицы.

Операция умножения должна быть аналогична операции возведения в степень.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*0 = 0 (к нулю ничего не прибавляется и из нуля ничего не вычитается)

2*-3 = 0 — 2 — 2 — 2 = -6

Измененная формулировка умножения ничего не меняет в математике, но возвращает первоначальный смысл операции умножения, объясняет «правила знаков», умножение числа на ноль, согласовывает умножение с возведением в степень.

Проверим, согласуется ли наша формулировка умножения с операцией деления.

15: 5 = 3 (обратная операция умножения 5 * 3 = 15)

Частное (3) соответствует количеству операций прибавления к нулю (+3) при умножении.

Разделить число 15 на 5 — значит найти, сколько раз нужно вычесть 5 из 15-ти. Делается это последовательным вычитанием до получения нулевого результата.

Чтобы найти результат деления, нужно подсчитать количество знаков «минус». Их три.

15: 5 = 3 операции вычитания пятерки из 15 до получения нуля.

15 — 5 — 5 — 5 = 0 (деление 15: 5)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (умножение 5 * 3)

Деление с остатком.

17 — 5 — 5 — 5 — 2 = 0

17: 5 = 3 и 2 остаток

Если есть деление с остатком, почему нет умножения с придатком?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

Смотрим разницу формулировок на калькуляторе

Существующая формулировка умножения (три слагаемых).

10 + 10 + 10 = 30

Исправленная формулировка умножения (три операции прибавления к нулю).

0 + 10 = = = 30

(Три раза нажимаем «равняется».)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Множитель 3 указывает, что к нулю нужно прибавить множимое 10 три раза.

Попробуйте выполнить умножение (-10) * (-3) путем сложения слагаемого (-10) минус три раза!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 — 10 — 10 = -30 ?

Что значит знак минус у тройки? Может так?

(-10) * (-3) = (-10) — (-10) — (-10) = — 10 + 10 + 10 = 10?

Опс. Не получается разложить произведение на сумму (или разность) слагаемых (-10).

С помощью измененной формулировки это выполняется правильно.

0 — (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 — (-10) — (-10) — (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Множитель (-3) указывает, что из нуля нужно вычесть множимое (-10) три раза.

Правила знаков при сложении и вычитании

Выше был показан простой способ вывода правил знаков при умножении, путем изменения смысла формулировки умножения.

Но для вывода мы использовали правила знаков при сложении и вычитании. Они почти такие же, как и для умножения. Создадим визуализацию правил знаков для сложения и вычитания, чтобы и первокласснику было понятно.

Что такое «минус», «отрицательный»?

Ничего отрицательного в природе нет. Нет отрицательной температуры, нет отрицательного направления, нет отрицательной массы, нет отрицательных зарядов. Даже синус по своей природе может быть только положительным.

Но математики придумали отрицательные числа. Для чего? Что означает «минус»?

Минус означает противоположное направление. Левый — правый. Верх — низ. По часовой стрелке — против часовой стрелки. Вперед — назад. Холодно — горячо. Легкий — тяжелый. Медленно — быстро. Если подумать, можно привести много других примеров, где удобно использовать отрицательные значения величин.

В известном нам мире бесконечность начинается с нуля и уходит в плюс бесконечность.

«Минус бесконечности» в реальном мире не существует. Это такая же математическая условность, как и понятие «минус».

Итак, «минус» обозначает противоположное направление: движения, вращения, процесса, умножения, сложения. Проанализируем разные направления при сложении и вычитании положительных и отрицательных (увеличивающихся в другом направлении) чисел.

Сложность понимания правил знаков при сложении и вычитании связана с тем, что обычно эти правила пытаются объяснить на числовой прямой. На числовой прямой смешиваются три разные составляющие, из которых выводятся правила. И из-за смешивания, из-за сваливания разных понятий в одну кучу, создаются трудности понимания.

Для понимания правил, нам нужно разделить:

первое слагаемое и сумму (они будут на горизонтальной оси);
второе слагаемое (оно будет на вертикальной оси);
направление операций сложения и вычитания.

Такое разделение наглядно показано на рисунке. Мысленно представьте, что вертикальная ось может вращаться, накладываясь на горизонтальную ось.

Операция сложения всегда выполняется вращением вертикальной оси по часовой стрелке (знак «плюс»). Операция вычитания всегда выполняется путем вращения вертикальной оси против часовой стрелки (знак «минус»).

Пример. Схема в нижнем правом углу.

Видно, что два рядом стоящих знака минуса (знак операции вычитания и знак числа 3) имеют разный смысл. Первый минус показывает направление вычитания. Второй минус — знак числа на вертикальной оси.

Находим первое слагаемое (-2) на горизонтальной оси. Находим второе слагаемое (-3) на вертикальной оси. Мысленно вращаем вертикальную ось против часовой стрелки до совмещения (-3) с числом (+1) на горизонтальной оси. Число (+1) есть результат сложения.

дает такой же результат, как операция сложения на схеме в верхнем правом углу.

Поэтому два рядом стоящих знака «минус» можно заменить одним знаком «плюс».

Мы все привыкли пользоваться готовыми правилами арифметики, не задумываясь об их смысле. Поэтому мы часто даже не замечаем, чем правила знаков при сложении (вычитании) отличаются от правил знаков при умножении (делении). Кажется, они одинаковые? Почти. Незначительная разница видна на следующей иллюстрации.

Теперь у нас есть все необходимое, чтобы вывести правила знаков для умножения. Последовательность вывода следующая.

Наглядно показываем, как получаются правила знаков для сложения и вычитания.
Вносим смысловые изменения в существующую формулировку умножения.
На основе измененной формулировки умножения и правил знаков для сложения выводим правила знаков для умножения.

Ниже написаны правила знаков при сложени и вычитании , полученные из визуализации. И красным цветом, для сравнения, те же правила знаков из учебника математики. Серый плюс в скобках — это плюс-невидимка, который не записывается у положительного числа.

Между слагаемыми всегда два знака: знак операции и знак числа (плюс мы не записываем, но подразумеваем). Правила знаков предписывают замену одной пары знаков на другую пару без изменения результата сложения (вычитания). Фактически, правил всего два.

Правила 1 и 3 (по визуализации) — дублируют правила 4 и 2.. Правила 1 и 3 в школьной интерпретации не совпадают с визуальной схемой, следовательно, они не относятся к правилам знаков при сложении. Это какие-то другие правила.

Школьное правило 1. (красный цвет) разрешает заменять два плюса подряд одним плюсом. Правило не относится к замене знаков при сложении и вычитании.

Школьное правило 3. (красный цвет) разрешает не записывать знак плюс у положительного числа после операции вычитания. Правило не относится к замене знаков при сложении и вычитании.

Смысл правил знаков при сложении- замена одной ПАРЫ знаков другой ПАРОЙ знаков без изменения результата сложения.

Школьные методисты смешали в одном правиле два правила:

— два правила знаков при сложении и вычитании положительных и отрицательных чисел (замена одной пары знаков другой парой знаков);

— два правила, по которым можно не писать знак «плюс» у положительного числа.

Два разных правила, смешанных в одно, похожи на правила знаков при умножении, где из двух знаков следует третий. Похожи один в один.

Здорово запутали! Ещё раз то же самое, для лучшего распутывания. Выделим красным цветом знаки операций, чтобы отличать их от знаков чисел.

1. Сложение и вычитание. Два правила знаков, по которым взаимозаменяются пары знаков между слагаемыми. Знак операции и знак числа.

2. Два правила, по которым знак плюс у положительного числа разрешается не писать. Это правила формы записи. К сложению не относятся. Для положительного числа записывается только знак операции.

3. Четыре правила знаков при умножении. Когда из двух знаков множителей следует третий знак произведения. В правилах знаков для умножения только знаки чисел.

Теперь, когда мы отделили правила формы записи, должно быть хорошо видно, что правила знаков для сложения и вычитания совсем не похожи на правила знаков при умножении.

«Правило умножения отрицательных чисел и чисел с разными знаками». 6-й класс

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (622,1 кБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока.

Предметные:

сформулировать правило умножения отрицательных чисел и чисел с разными знаками,
научить учащихся применять это правило.

Метапредметные:

формировать умения работать в соответствии с предложенным алгоритмом, составлять план-схему своих действий,
развивать навыки самоконтроля.

Личностные:

развивать коммуникативные навыки,
формировать познавательный интерес учащихся.

Оборудование: компьютер, экран, мультимедийный проектор, презентация PowerPoint, раздаточный материал: таблица для записи правила, тесты.

(Учебник Н.Я. Виленкина “Математика. 6 класс”, М: “Мнемозина”, 2013.)

Ход урока

I. Организационный момент.

Сообщение темы урока и запись темы в тетрадях учащимися.

II. Мотивация.

Слайд № 2. (Цель урока. План урока).

Сегодня мы продолжим изучение важного арифметического свойства – умножения.

Вы уже умеете выполнять умножение натуральных чисел – устно и в столбик,

Научились умножать десятичные и обыкновенные дроби. Сегодня вам предстоит сформулировать правило умножения для отрицательных чисел и чисел с разными знаками. И не только сформулировать, но и научиться применять его.

III. Актуализация знаний.

Решить уравнения: а) х: 1,8 = 0,15; б) у: = . (Ученик у доски)

Вывод: для решения подобных уравнений нужно уметь выполнять умножение различных чисел.

2) Проверка домашней самостоятельной работы. Повторение правил умножения десятичных дробей, обыкновенных дробей и смешанных чисел. (Слайды № 4 и № 5).

IV. Формулировка правила.

Рассмотреть задачу 1 (слайд № 6).

Рассмотреть задачу 2 (слайд № 7).

В процессе решения задач нам приходилось выполнять умножение чисел с разными знаками и отрицательных чисел. Рассмотрим подробнее это умножение и его результаты.

Выполнив умножение чисел с разными знаками, мы получили отрицательное число.

Рассмотрим другой пример. Найдите произведение (–2) * 3, заменяя умножение суммой одинаковых слагаемых. Аналогично найдите произведение 3 * (–2). (Проверка — слайд № 8).

Вопросы:

1) Каков знак результата при умножении чисел с разными знаками?

2) Как получен модуль результата? Формулируем правило умножения чисел с разными знаками и записываем правило в левый столбик таблицы. (Слайд № 9 и Приложение 1).

Правило умножения отрицательных чисел и чисел с разными знаками.

Вернёмся ко второй задаче, в которой мы выполняли умножение двух отрицательных чисел. Объяснить по-другому такое умножение довольно трудно.

Воспользуемся объяснением, которое дал ещё в 18 веке великий русский учёный (уроженец Швейцарии), математик и механик Леонард Эйлер. (Леонард Эйлер оставил после себя не только научные труды, но и написал ряд учебников по математике, предназначавшихся воспитанникам академической гимназии).

Итак, Эйлер объяснял результат примерно следующим образом. (Слайд № 10).

Ясно, что –2 · 3 = – 6. Поэтому произведение (–2) · (–3) не может быть равно –6. Однако, оно должно быть как-то связано с числом 6. Остаётся одна возможность: (–2) · (–3) = 6. .

Вопросы:

1) Каков знак произведения?

2) Как получен модуль произведения?

Формулируем правило умножения отрицательных чисел, заполняем правый столбик таблицы. (Слайд № 11).

Чтобы легче запомнить правило знаков при умножении, можно воспользоваться его формулировкой в стихах. (Слайд № 12).

Плюс на минус, умножая,
Ставим минус, не зевая.
Умножим минус с минусом
В ответ поставим плюс!

V. Формирование навыков.

Научимся применять это правило для вычислений. Сегодня на уроке будем производить вычисления только с целыми числами и с десятичными дробями.

1) Составление схемы действий.

Составляется схема применения правила. Делаются записи на доске. Примерная схема на слайде № 13.

2) Выполнение действий по схеме.

Решаем из учебника № 1121(б,в,и,к,п,р). Решение выполняем в соответствии с составленной схемой. Каждый пример поясняет один из учащихся. Одновременно решение демонстрируется на слайде № 14.

3) Работа в парах.

Задание на слайде № 15.

Учащиеся работают по вариантам. Сначала учащийся 1 варианта решает и объясняет решение 2 варианту, учащийся со 2 варианта внимательно слушает, при необходимости помогает и поправляет, а потом учащиеся меняются ролями.

Дополнительное задание для тех пар, которые раньше закончат работу: № 1125.

По окончании работы проводится поверка по готовому решению, размещённому на слайде № 15 (используется анимация).

Если многие успели решить № 1125 , то делается вывод об изменении знака числа при умножении на (?1).

4) Психологическая разгрузка.

5) Самостоятельная работа.

Самостоятельная работа – текст на слайде № 17. После выполнения работы – самопроверка по готовому решению (слайд № 17 – анимация, гиперссылка на слайд № 18).

VI. Проверка уровня усвоения изученного материала. Рефлексия.

Учащиеся выполняют тест. На этом же листочке оценивают свою работу на уроке, заполняя таблицу.

Тест “Правило умножения”. Вариант 1.

Умножение отрицательных чисел: правило, примеры

Умножение отрицательных чисел

Правило умножения отрицательных чисел заключается в том, что для того, чтобы умножить два отрицательных числа, необходимо перемножить их модули. Данное правило записывается так: для любых отрицательных чисел – a , — b данное равенство считается верным.

Выше приведено правило умножения двух отрицательных чисел. Исходя из него, докажем выражение: (— а) · (— b) = a · b . Статья умножение чисел с разными знаками рассказывает о том, что равенств а · (— b) = — a · b справедливое, как и (— а) · b = — a · b . Это следует из свойства противоположных чисел, благодаря которому равенства запишутся следующим образом:

(— a) · (— b) = — (— a · (— b)) = — (— (a · b)) = a · b .

Данное правило применимо для умножения действительных чисел, рациональных чисел, целых чисел.

Примеры умножения отрицательных чисел

Произвести умножение чисел — 3 и — 5 .

Решение.

Запишем кратко само умножение отрицательных чисел:

(— 3) · (— 5) = 3 · 5 = 15

Ответ: (— 3) · (— 5) = 15 .

Вычислить произведение (— 0 , 125) · (— 6) .

Получили, что выражение примет вид (− 0 , 125) · (− 6) = 0 , 125 · 6 = 0 , 75 .

Ответ: (− 0 , 125) · (− 6) = 0 , 75 .

Необходимо произвести умножение отрицательного — 2 на неотрицательное log 5 1 3 .

Находим модули заданных чисел:

— 2 = 2 и log 5 1 3 = — log 5 3 = log 5 3 .

Следуя из правил умножения отрицательных чисел, получим результат — 2 · log 5 1 3 = — 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 . Это выражение и является ответом.

Ответ: — 2 · log 5 1 3 = — 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 .

Для продолжения изучения темы необходимо повторить раздел умножение действительных чисел.

Тема открытого урока: «Умножение отрицательных и положительных чисел»

Дата: 17.03.2017 г.

Учитель: Куц В.В.

Класс: 6 г

Цель и задачи урока:

ввести правила умножения двух отрицательных чисел и чисел с разными знаками;

способствовать развитию математической речи, оперативной памяти, произвольного внимания, наглядно-действенного мышления;

формирование внутренних процессов интеллектуального, личностного, эмоционального развития.

воспитывать культуру поведения при фронтальной работе, индивидуальной и групповой работе.

Тип урока: урок первичного предъявления новых знаний

Формы обучения: фронтальная, работа в парах, работа в группах, индивидуальная работа.

Методы обучения: словесные (беседа, диалог); наглядные (работа с дидактическим материалом); дедуктивные (анализ, применение знаний, обобщение, проектная деятельность).

Понятия и термины : модуль числа, положительные и отрицательные числа, умножение.

Планируемые результаты обучения

-уметь умножать числа с разными знаками, умножать отрицательные числа;

Применять правило умножения положительных и отрицательных чисел при решении упражнений, закрепить правила умножения десятичных и обыкновенных дробей.

Регулятивные – уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; проговаривать последовательность действий на уроке; работать по коллективно составленному плану; оценивать правильность выполнения действия. Планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учета сделанных ошибок; высказывать свое предположение. Коммуникативные - уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; совместно договариваться о правилах поведения и общения в школе и следовать им.

Познавательные - уметь ориентироваться в своей системе знаний, отличать новое знание от уже известного с помощью учителя; добывать новые знания; находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке.

Формирование ответственного отношения к учению на основе мотивации к познанию нового;

Формирование коммуникативной компетентности в процессе общения и сотрудничества со сверстниками в учебной деятельности;

Уметь осуществлять самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности; ориентироваться на успех в учебной деятельности.

Ход урока

Структурные элементы урока

Дидактические задачи

Проектируемая деятельность учителя

Проектируемая деятельность учащихся

Результат

1.Организационный момент

Мотивация к успешной деятельности

Проверка готовности к уроку.

- Добрый день, Ребята! Присаживайтесь! Проверьте все ли у вас готово к уроку: тетрадь и учебник, дневник и письменные принадлежности.

Я рада вас видеть сегодня на уроке в хорошем настроении.

Посмотрите друг другу в глаза, улыбнитесь, глазками пожелайте товарищу хорошего рабочего настроения.

Я тоже вам желаю сегодня хорошей работы.

Ребята девизом сегодняшнего урока будет цитата французского писателя Анатоля Франса:

«Учиться можно только весело. Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом».

Ребята, а кто мне скажет, что значит поглощать знания с аппетитом?

Вот и мы сегодня с вами на уроке будем поглощать знания с большим удовольствием, потому что они нам пригодятся в дальнейшем.

Поэтому скорее открываем тетрадочки и записываем число, классная работа.

Эмоциональный настрой

-С интересом, с удовольствием.

Готовность начать урок

Положительная мотивация к изучению новой темы

2. Активация познавательной деятельности

Подготовить их к усвоению новых знаний и способов действия.

Организовать фронтальный опрос по пройденному материалу.

Ребята, а кто мне скажет какой самый главный навык в математике? (Счет ). Правильно.

Вот я вас сейчас и проверю, как хорошо вы умеете считать.

Мы сейчас с вами выполним математическую разминку.

Работаем как обычно, устно считаем, а письменно записываем ответ. Даю вам 1 мин.

5,2-6,7=-1,5

2,9+0,3=-2,6

9+0,3=9,3

6+7,21=13,21

15,22-3,34=-18,56

Давайте проверим ответы.

Будем проверять ответы, если вы согласны с ответом, то хлопаете в ладоши, если не согласны, то топаете ногами.

Молодцы ребята.

Скажите, а какие действия мы выполняли с числами?

Каким правилом мы пользовались при счете?

Сформулируйте данные правила.

Отвечают на вопросы, решая небольшие примеры.

Сложение и вычитание.

Сложение чисел с разными знаками, сложение чисел с отрицательными знаками, и вычитание положительных и отрицательных чисел.

Готовность обучающихся к постановке проблемного вопроса, к поиску путей решения проблемы.

3. Мотивация постановки темы и цели урока

Стимулировать обучающихся к постановке темы и цели урока.

Организовать работу в парах.

Ну что же, настало время переходить к изучению нового материала, но для начала давайте повторим материал предыдущих уроков. А поможет нам в этом математический кроссворд.

Но кроссворд этот не обычный, в нём зашифровано ключевое слово, которое подскажет нам тему сегодняшнего урока.

Ребята кроссворд лежит у вас на столах, работать с ним мы будем в парах. А раз в парах, напомните тогда мне, как это в парах?

Вспомнили правило работы в парах, ну а теперь приступаем к разгадыванию кроссворда, даю вам 1,5 мин. Кто все сделает, положите ручки, чтобы я видела.

(Приложение 1)

1.Какие числа используют при счета?

2.Расстояние от начала отсчета до какой-либо точки, называется?

3.Числа, которые представлены дробью, называются?

4. Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называются?

5.Какие числа лежат правее ноля на координатной прямой?

6.Натуральные числа, противоположные им числа и нуль называют?

7.Какое число называется нейтральным?

8. Число, показывающие положение точки на прямой?

9. Какие числа лежат левее ноля на координатной прямой?

Итак, время вышло. Давайте проверять.

Мы с вами разгадали весь кроссворд и тем самым повторили материал предыдущих уроков. Поднимите руку, кто совершил только одну ошибку, а кто две? (Так ребята вы молодцы).

Ну а теперь вернемся к нашему кроссворду. В самом начале я сказала, что в нем зашифровано слово, которое подскажет нам тему урока.

Так какая же тема будет нашего урока?

А что же мы сегодня будем с вами умножать?

Давайте подумаем, для этого вспомним виды чисел, которые мы с вами уже знаем.

Давайте подумаем, а какие числа мы уже умеем умножать?

Какие же числа мы научимся сегодня умножать?

Запишите в тетрадь тему урока: «Умножение положительных и отрицательных чисел».

Итак, ребята, выяснили, о чем будем говорить сегодня на уроке.

Скажите, мне, пожалуйста, цель нашего урока, что каждый из вас должен усвоить и чему постараться научиться к концу урока?

Ребята, ну а чтобы осуществить эту цель, какие мы должны будем решить с вами задачи?

Совершенно верно. Вот они эти две задачи, которые мы должны будем сегодня с вами решить.

Работают в парах, ставят тему и цель урока.

1.Натуральные

2.Модуль

3.Рациональные

4.Противоположные

5.Положительные

6.Целые

7.Ноль

8.Координата

9.Отрицательные

-«Умножение»

Положительные и отрицательные числа

«Умножение положительных и отрицательных чисел»

Цель урока:

Научиться умножать положительные и отрицательные числа

Во-первых, чтобы научиться умножать положительные и отрицательные числа, нужно получить правило.

Во-вторых, когда получим правило, что потом мы должны будем сделать? (учиться применять его при решении примеров).

4. Изучение новых знаний и способов действия

Овладеть новыми знаниями по теме.

-Организовать работу в группах (изучение нового материала)

- Сейчас, чтобы, достичь нашу цель, мы приступим к выполнению первой задачи, выведем правило умножения положительных и отрицательных чисел.

А поможет нам в этом исследовательская работа. А кто мне скажет, почему она называется исследовательской?- В этой работе мы будем исследовать, чтобы открыть правила «Умножение положительных и отрицательных чисел».

Ваша исследовательская работа будет проходить в группах, всего у нас будет 5 групп исследования.

У себя в голове повторили, как мы должны работать в группе. Если, кто-то забыл, то правила находятся перед вами на экране.

Цель вашей исследовательской работы: Исследуя задачи,постепенно вывести правило «Умножения отрицательных и положительных чисел» в задании №2, в задании №1 всего у вас 4 задачи. А чтобы решить эти задачи, для этого вам поможет наш термометр, у каждой группы он есть.

Все записи делаете у вас на листочке.

Как только у группы будет готово решение первой задачи, вы показываете его на доске.

На работу вам дается 5 -7 минут.

(Приложение 2 )

Работают в группах (заполняют таблицу, проводят исследования)

Правила работы в группах.

Работать в группах очень просто,

Умей пять правил соблюдать:

во-первых: не перебивать,

когда рассказывает

друг, быть тишина должна вокруг;

второе: громко не кричи,

а аргументы приводи;

и третье правило просто:

решите, что для вас важно;

в – четвертых: мало устно знать,

необходимо записать;

а в пятых: подведи итог, подумай,

что ты сделать смог.

Овладение

теми знаниями и способами действий, которые определены задачами урока

5.Физминутка

Установить правильность усвоения нового материала на данном этапе, выявить неверные представления и их коррекция

Хорошо, все ваши ответы я занесла в таблицу, теперь, давайте посмотрим, на каждую строчку в нашей таблице (см. Презентацию)

Какие выводы мы можем сделать при исследовании таблицы.

1 строчка. Какие числа мы умножаем? А какое число получается в ответе?

2 строчка. Какие числа мы умножаем? А какое число получается в ответе?

3 строчка. Какие числа мы умножаем? А какое число получается в ответе?

4 строчка. Какие числа мы умножаем? А какое число получается в ответе?

И так вы проанализировали примеры, и готовы сформулировать правила, для этого вам надо было заполнить пропуски во втором задании.

Как умножить отрицательное число на положительное?

- Как умножить два отрицательных числа?

Давайте немного отдохнём.

Положительный ответ-присядем, отрицательный-встаем.

5*6

2*2

7*(-4)

2*(-3)

8*(-8)

7*(-2)

5*3

4*(-9)

5*(-5)

9*(-8)

15*(-3)

7*(-6)

Умножая положительные числа, в ответе всегда получается положительное число.

Умножая отрицательное число на положительное, в ответе всегда получается отрицательно число.

Умножая отрицательные числа, в ответе всегда получается положительное число.

Умножая положительное на отрицательное число, получается отрицательное число.

Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак «-».

- Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо перемножить их модули и поставить перед полученным числом знак «+».

Учащиеся выполняют физические упражнения, закрепляя правила.

Осуществляют профилактику утомляемости

7.Первичное закрепление нового материала

Освоить умение применять полученных знаний на практике.

Организовать фронтальную и самостоятельную работу по пройденному материалу.

Закрепим правила, и расскажем и друг другу в паре эти самые правила. Даю вам на это минуту.

Скажите, а теперь мы можем перейти к решению примеров? Да можем.

Открываем страницу 192 №1121

Все вместе мы сделаем 1ую и 2ую строчки а)5*(-6)=30

б)9*(-3)=-27

ж)0,7*(-8)=-5,6

з)-0,5*6=-3

н)1,2*(-14)=-16,8

о)-20,5*(-46)=943

три человека у доски

На решение примеров вам дается 5 минут.

И все вместе проверяем.

Творческое задание в парах.(Приложение 3)

Вставьте числа так, чтоб на каждом этаже их произведение равнялось числу на крыше дома.

Решают примеры, применяя полученные знания

Поднимите руки у кого не было ошибок, молодцы….

Активные действия обучающихся по применению знаний в жизни.

9. Рефлексия (итог урока, оценка результатов деятельности обучающихся)

Обеспечить рефлексию обучающихся, т.е. оценку ими своей деятельности

Организовать подведение итогов урока

Наш урок подошёл к концу, давайте подведём итоги.

Давайте ещё раз вспомним тему нашего урока? Какую цель мы ставили?- Достигли ли мы этой цели?

Какие затруднения вызвала у вас данная тема?

- Ребята, ну а чтобы оценить свою работу на уроке вы должны нарисовать смайлик в кружочках, которые лежат у вас на столах.

Улыбающийся смайлик означает, что вы все поняли. Зеленый означает, что поняли, но нужно потренироваться, а грустный смайлик, если вообще ничего не поняли. (Даю пол минутки)

Ну что, ребята, вы готовы показать, как вы сегодня поработали на уроке? Итак, поднимаем и, я вам тоже поднимаю смайлик.

Я очень довольна вами сегодня на уроке! Я вижу, что все поняли материал. Ребята, вы у меня молодцы!

Урок окончен, спасибо за внимание!

Отвечают на вопросы, оценивают свою работу

Да, достигли.

Открытость обучающихся к передаче и осмыслению своих действий, к выявлению положительных и отрицательных моментов урока

10 .Информация о домашнем задании

Обеспечить понимание цели, содержания и способов выполнения домашнего задания

Обеспечивает понимания цели домашнего задания.

Домашнее задание:

1. Выучить правила умножения
2.№ 1121(3 столбик).
3.Творческое задание: составить тест 5 вопросов с вариантами ответов.

Записывают домашнее задание, стараясь осмыслить и понять.

Реализация необходимости достижения условий для успешного выполнения домашнего задания всеми учащимися, в соответствии с поставленной задачей и уровнем развития обучающихся

Назад Вперёд

Цели урока.

Предметные:

сформулировать правило умножения отрицательных чисел и чисел с разными знаками,
научить учащихся применять это правило.

Метапредметные:

формировать умения работать в соответствии с предложенным алгоритмом, составлять план-схему своих действий,
развивать навыки самоконтроля.

Личностные:

развивать коммуникативные навыки,
формировать познавательный интерес учащихся.

(Учебник Н.Я. Виленкина “Математика. 6 класс”, М: “Мнемозина”, 2013.)

Ход урока

I. Организационный момент.

Сообщение темы урока и запись темы в тетрадях учащимися.

II. Мотивация.

Слайд № 2. (Цель урока. План урока).

Сегодня мы продолжим изучение важного арифметического свойства – умножения.

Вы уже умеете выполнять умножение натуральных чисел – устно и в столбик,

III. Актуализация знаний.

1) Слайд № 3.

Решить уравнения: а) х: 1,8 = 0,15; б) у: = . (Ученик у доски)

Вывод: для решения подобных уравнений нужно уметь выполнять умножение различных чисел.

IV. Формулировка правила.

Рассмотреть задачу 1 (слайд № 6).

Рассмотреть задачу 2 (слайд № 7).

Выполнив умножение чисел с разными знаками, мы получили отрицательное число.

Рассмотрим другой пример. Найдите произведение (–2) * 3, заменяя умножение суммой одинаковых слагаемых. Аналогично найдите произведение 3 * (–2). (Проверка - слайд № 8).

Вопросы:

1) Каков знак результата при умножении чисел с разными знаками?

Правило умножения отрицательных чисел и чисел с разными знаками.

Итак, Эйлер объяснял результат примерно следующим образом. (Слайд № 10).

Вопросы:

1) Каков знак произведения?

2) Как получен модуль произведения?

Формулируем правило умножения отрицательных чисел, заполняем правый столбик таблицы. (Слайд № 11).

Плюс на минус, умножая,
Ставим минус, не зевая.
Умножим минус с минусом
В ответ поставим плюс!

V. Формирование навыков.

1) Составление схемы действий.

Составляется схема применения правила. Делаются записи на доске. Примерная схема на слайде № 13.

2) Выполнение действий по схеме.

3) Работа в парах.

Задание на слайде № 15.

Дополнительное задание для тех пар, которые раньше закончат работу: № 1125.

Если многие успели решить № 1125 , то делается вывод об изменении знака числа при умножении на (?1).

4) Психологическая разгрузка.

5) Самостоятельная работа.

VI. Проверка уровня усвоения изученного материала. Рефлексия.

Учащиеся выполняют тест. На этом же листочке оценивают свою работу на уроке, заполняя таблицу.

Тест “Правило умножения”. Вариант 1.

1) –13 * 5

А. –75. Б. – 65. В. 65. Г. 650.

2) –5 * (–33)

А. 165. Б. –165. В. 350 Г. –265.

3) –18 * (–9)

А. –162. Б. 180. В. 162. Г. 172.

4) –7 * (–11) * (–1)

А. 77. Б. 0. В.–77. Г. 72.

Тест “Правило умножения”. Вариант 2.

А. 84. Б. 74. В. –84. Г. 90.

2) –15 * (–6)

А. 80. Б. –90. В. 60. Г. 90.

А. 115. Б. –165. В. 165. Г. 0.

4) –6 * (–12) * (–1)

А. 60. Б. –72. В. 72. Г. 54.

VII. Домашнее задание.

П. 35, правила, № 1143 (а – з), № 1145 (в).

Литература.

1) Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. “Математика 6. Учебник для общеобразовательных учреждений”, - М: “Мнемозина”, 2013.

2) Чесноков А.С., Нешков К.И. “Дидактические материалы по математике для 6 класса”, М: “Просвещение”, 2013.

3) Никольский С.М. и др. “Арифметика 6”: учебник для общеобразовательных учреждений, М: “Просвещение”, 2010.

4) Ершова А.П., Голобородько В.В. “Самостоятельные и контрольные работы по математике для 6 класса”. М: “Илекса”, 2010.

5) “365 задач на смекалку”, составитель Г.Голубкова, М: “АСТ-ПРЕСС”, 2006.

6) “Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия 2010”, 3 CD.