Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры. Принцип минимакса. Матричные игры: примеры решения задач

Игра называется игрой с нулевой суммой , или антагонистической , если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т.е. для полного задания игры достаточно указать величину одного из них. Если обозначить a - выигрыш одного из игроков, b - выигрыш другого, то для игры с нулевой суммой b = - a , поэтому достаточно рассматривать, например, a .

Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными.

Личный ход - это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматной игре).

Случайный ход - это случайно выбранное действие (например, выбор карты из перетасованной колоды). В своей работе я буду рассматривать только личные ходы игроков.

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Обычно в процессе игры при каждом личном ходе игрок делает выбор в зависимости от конкретной ситуации. Однако в принципе, возможно, что все решения приняты игроком заранее (в ответ на любую сложившуюся ситуацию). Это означает, что игрок выбрал определенную стратегию, которая может быть задана в виде списка правил или программы. (Так можно осуществить игру с помощью ЭВМ). Игра называется конечной , если у каждого игрока имеется конечное число стратегий, и бесконечной - в противном случае.

Для того, чтобы решить игру, или найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности , т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш , когда второй придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш , если первый придерживается своей стратегии. Такиестратегии называются оптимальными . Оптимальные стратегии должны так же удовлетворять условию устойчивости , т.е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.

Цель теории игр : определение оптимальной стратегии для каждого игрока. При выборе оптимальной стратегии естественно предполагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов.

Антагонистические игры, в которых каждый игрок имеет конечное множество стратегий, называются матричными играми . Это название объясняется следующей возможностью описания игр такого рода. Составляем прямоугольную таблицу, в которой строки соответствуют стратегиям первого игрока, столбцы – стратегиям второго, а клетки таблицы, стоящие на пересечении строк и столбцов, соответствуют ситуациям игры. Если поставить в каждую клетку выигрыш первого игрока в соответствующей ситуации, то получим описание игры в виде некоторой матрицы. Эта матрица называется матрицей игры или матрицей выигрышей .

Одна и та же конечная антагонистическая игра может быть описана различными матрицами, отличающимися друг от друга лишь порядком строк и столбцов.

Рассмотрим игру m x n с матрицей Р = (a ij), i = 1,2, ... , m;j = 1,2, ... , n и определим наилучшую среди стратегий A 1 , А 2 , …, А m . Выбирая стратегию А i игрок А должен рассчитывать, что игрок В ответит на нее той из стратегий B j , для которой выигрыш для игрока А минимален (игрок В стремится "навредить" игроку А ). Обозначим через a i , наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии А i для всех возможных стратегий игрока В (наименьшее число в i-й строке платежной матрицы), т.е.

a i = a ij , j = 1,..., n .

Среди всех чисел a i (i = 1,2, ... , m ) выберем наибольшее. Назовем a нижней ценой игры или максимальным выигрышем (максимином). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В . Следовательно, , i = 1,... , m ; j = 1,..., n

Стратегия, соответствующая максимину, называется максимальной стратегией . Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрокаА ; выбирая стратегию B j , он учитывает максимально возможный при этом выигрыш для А .

Обозначим: β i = a ij , i = 1,... , m

Среди всех чисел B j выберем наименьшее и назовем β верхней ценой игры или минимаксным выигрышем (минимаксом). Это гарантированный проигрыш игрока В .

Следовательно, i = 1,... , m ; j = 1,..., n.

Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией .

Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее "осторожных" минимаксной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса. Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника.

Найдем наилучшую стратегию игрока A , для чего проанализируем последовательно все его стратегии. Выбирая стратегию A i , мы должны рассчитывать, что игрок B ответит на нее такой стратегией B j , для которой выигрыш A будет минимальным. Поэтому среди чисел первой строки выбираем минимальное, обозначим его , запишем его в добавочный столбец. Аналогично для каждой стратегии A i выбираем , т.е. α i – минимальный выигрыш при применении стратегии A i .
В примере 1:
α 1 = min {0, –1, –2} = –2;
α 2 = min {1, 0, –1} = –1;
α 3 = min {0, –1, –2} = 0.
Эти числа запишем в добавочном столбце. Какую же стратегию должен выбрать игрок A ? Конечно же, ту стратегию, для которой α i максимально. Обозначим . Это гарантированный выигрыш, который может обеспечить себе игрок A , т.е. ; этот выигрыш называется нижней ценой игры или максимином . Стратегия A i , обеспечивающая получение нижней цены игры, называется максиминной (перестраховочной). Если игрок A будет придерживаться этой стратегии, то ему гарантирован выигрыш ≥α при любом поведении игрока B .
В примере 1 . Это означает, что если A будет писать «3», то он хотя бы не проиграет. Игрок B заинтересован уменьшить выигрыш A . Выбирая стратегию B 1 , он из соображений осторожности учитывает максимально возможный при этом выигрыш A . Обозначим . Аналогично при выборе стратегии B j максимально возможный выигрыш A– ; запишем эти числа в добавочной строке. Чтобы уменьшить выигрыш A , надо из чисел β j выбрать наименьшее . Число называется верхней ценой игры или минимаксом . Это гарантированный проигрыш игрока B (т. е. он проиграет не больше, чем β). Стратегия игрока B , обеспечивающая выигрыш ≥ - β, называется его минимаксной стратегией.
В примере 1:
;
;
;
.
Это означает, что оптимальная стратегия B – писать «3», тогда он хотя бы не проиграет.

В добавочном столбце находим максимальный элемент = 0,7, в добавочной строке находим минимальный элемент = 0,7.
Ответ: = 0,7. Оптимальные стратегии – А 2 и В 2 .

Пример 3 . Игра в орлянку. Каждый игрок при своем ходе может выбирать одну из двух стратегий: орел или решка. При совпадении выбранных стратегий А получает выигрыш +1, при несовпадении B получает выигрыш 1 (т. е. А получает выигрыш –1). Платежная матрица:
Найти нижнюю и верхнюю цену игры. Имеет ли игра седловую точку?

Решение.

Пример . Найдите нижнюю цену игру, верхнюю цену игры, определите седловые точки, оптимальные чистые стратегии и цену игры (если они существуют).

Стратегией игрока называется план, по которому он совершает выбор в любой возможной ситуации и при любой возможной фактической информации. Естественно, что игрок принимает решения по ходу игры. Однако теоретически можно предположить, что все эти решения приняты игроком заранее. Тогда совокупность этих решений составляет его стратегию. В зависимости от числа возможных стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Задачей теории игр является выработка рекомендаций для игроков, т. е. определение для них оптимальной стратегии. Оптимальной называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средней выигрыш.

Простейший вид стратегической игры - игра двух лиц с нулевой суммой (сумма выигрышей сторон равна нулю). Игра состоит из двух ходов: игрок А выбирает одну из своих возможных стратегий Ai (i = 1, 2, m), а игрок В выбирает стратегию Вj (j = 1, 2, ., n), причем каждый выбор производится при полном незнании выбору другого игрока.

Цель игрока А - максимизировать функцию φ (Ai, Bj), в свою очередь, цель игрока В - минимизировать эту же функцию. Каждый из игроков может выбирать одну из переменных, от которых зависит значение функции. Если игрок А выбирает некоторую из стратегий Ai, то это само по себе не может влиять да значение функции φ (Ai, Bj).

Влияние Ai, на величину значения φ (Ai, Bj) является неопределенным; определенность имеет место только после выбора, исходя из принципа минимизации φ (Ai, Bj), другим игроком переменной Bj. При этом Bj определяется другим игроком. Пусть φ (Ai, Bj)= aij. Составим матрицу А:

Строки матрицы соответствуют стратегиям Ai, столбцы - стратегиям Bj. Матрица А называется платежной или матрицей игры. Элемент aij матрицы - выигрыш игрока А, если он выбрал стратегию Ai, а игрок В выбрал стратегию Bj.

Пусть игрок А выбирает некоторую стратегию Ai ; тогда в наихудшем случае (например, если выбор станет известным игроку В) он получит выигрыш, равный min aij. Предвидя такую возможность, игрок А должен выбрать такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш a:

а = max min aij

Величина а - гарантированный выигрыш игрока А - называется нижней ценой игры. Стратегия Аi0, обеспечивающая получение а, называется максиминной.

Игрок В, выбирая стратегию, исходит из следующего принципа: при выборе некоторой стратегии Вj его проигрыш не превысит максимального из значений элементов j-го столбца матрицы, т.е. меньше или равен max aij

Рассматривая множество max aij для различных значений j, игрок В, естественно выберет такое значение j, при котором его максимальный проигрыш β минимизируется:

β = min miax aij

Величина β называется верхней ценой игры, а соответствующая выигрышу β стратегия Вj0 - минимаксной.

Фактический выигрыш игрока А при разумных действиях партнеров ограничен нижней и верхней ценой игры. Если же эти выражения равны, т.е.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №3

Модели теории игр

Понятие об игровых моделях

Теория игр занимается разработкой различного рода рекомендаций по принятию решений в условиях конфликтной ситуации. Формируя конфликтные ситуации математически, их можно представить как игру двух, трёх и более игроков, каждый из которых преследует цель максимизации своего выигрыша за счет другого игрока. Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой , стороны, участвующие в конфликте, – игроками , а исход конфликта – выигрышем . Для каждой формализованной игры вводятся правила , т.е. система условий, определяющая:

1. варианты действий игроков;

2. объем информации каждого игрока о поведении партнеров;

3. выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий.

Как правило, выигрыш может быть задан количественно (например, проигрыш – 0, выигрыш – 1, ничья – ½). Игра называется парной , если в ней участвуют два игрока, и множественной , если число игроков больше двух. Игра называется игрой с нулевой суммой , если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого. Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными. Личный ход – сознательный выбор игроком одного из возможных действий (ход в шахматной игре), случайный ход – случайно выбранное действие (выбор карты из перетасованной колоды).

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Игра называется конечной , если у игрока имеется конечное число стратегий, и бесконечной – в противном случае.

Для того, чтобы решить игру, или найти решение игры , следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получить максимальный выигрыш , когда второй придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш , если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными. Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока . При выборе оптимальной стратегии естественно предполагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов.

Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры

Рассмотрим парную конечную игру. Пусть игрок А располагает m личными стратегиями, которые обозначим А 1 , А 2 ,…,А m . Пусть у игрока B имеется n личных стратегий, обозначим их B 1 , B 2 ,…,B n . Говорят, что игра имеет размерность m ´ n . В результате выбора игроками любой пары стратегий А i и B j однозначно определяется исход игры, т.е. выигрыш a ij игрока А (положительный или отрицательный) и проигрыш (-a ij ) игрока В . Матрица Р=(a ij) , элементами которой являются выигрыши, соответствующие стратегиям А i и B j , называется платежной матрицей или матрицей игры .

Пример – игра «Поиск»

Игрок А может спрятаться в убежище 1 – обозначим эту стратегию за А 1 или в убежище 2 – стратегия А 2 . Игрок В может искать первого игрока в убежище 1 –стратегия В 1 , либо в убежище 2 – стратегия В 2 . Если игрок А находится в убежище 1 и его там обнаруживает игрок В , т.е. осуществляется пара стратегий (А 1 ,В 1) , то игрок А платит штраф, т.е. a 11 =–1. Аналогично получаем a 22 =–1. Очевидно, что стратегии (А 1 ,В 2) и (А 2 ,В 1) дают игроку А выигрыш 1, поэтому a 12 =a 21 =1. Таким образом, получаем платежную матрицу

Рассмотрим игру m ´ n с матрицей Р=(a ij) и определим наилучшую среди стратегий игрока А . Выбирая стратегию А i , игрок А должен рассчитывать, что игрок В ответит на нее той из стратегий В j , для которой выигрыш для игрока А минимален (игрок В стремится «навредить» игроку А ).

Обозначим через a i наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии А i для всех возможных стратегий игрока В (наименьшее число в i -й строке платежной матрицы), т.е. .

Среди всех чисел a i выберем наибольшее: . Назовем a нижней ценой игры , или максимальным выигрышем (максимином ). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В . Следовательно, .

Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией . Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А ; выбирая стратегию B j , он учитывает максимально возможный при этом выигрыш для A. Обозначим .

Среди всех чисел выберем наименьшее иназовем b верхней ценой игры , или минимаксным выигрышем (минимаксом ). Это гарантированный проигрыш игрока В при любой стратегии игрока А . Следовательно, .

Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией . Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее осторожных минимаксной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса .

Статистические игры

Во многих задачах, приводящихся к игровым, неопределенность вызвана отсутствием информации об условиях, в которых осуществляется действие. Эти условия зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективной действительности, которую принято называть «природой». Такие игры называют играми с природой (статистическими играми).

Задача

После нескольких лет эксплуатации промышленное оборудование оказывается в одном из следующих состояний: В 1 – оборудование может использоваться в очередном году после профилактического ремонта; В 2 – для безаварийной работы оборудования в дальнейшем следует заменить отдельные его детали и узлы; В 3 – оборудование требует капитального ремонта или замены.

В зависимости от сложившейся ситуации В 1 ,В 2 ,В 3 руководство предприятия может принять такие решения: А 1 – отремонтировать оборудование силами заводских специалистов, что требует соответствующих затрат а 1 =6, а 2 =10, а 3 =15 ден.ед; А 2 – вызвать специальную бригаду ремонтников, расходы в этом случае составят b 1 =15, b 2 =9, b 3 =18 ден.ед; А 3 – заменить оборудование новым, реализовав устаревшее оборудование по его остаточной стоимости. Совокупные затраты в результаты этого мероприятия будут равны соответственно с 1 =13, с 2 =24, с 3 =12 ден.ед.

Задание

1. Придав описанной ситуации игровую схему, выявить ее участников, указать возможные чистые стратегии сторон.

2. Составить платежную матрицу, пояснив смысл элементов a ij матрицы (почему они отрицательные?).

3. Выяснить, какое решение о работе оборудования в предстоящем году целесообразно рекомендовать руководству предприятия, чтобы минимизировать потери при следующих предположениях: а) накопленный на предприятии опыт эксплуатации аналогичного оборудования показывает, что вероятности указанных состояний оборудования равны соответственно q 1 =0,15; q 2 =0,55; q 3 =0,3 (примените критерий Байеса); б) имеющийся опыт свидетельствует о том, что все три возможных состояния оборудования равновероятны (примените критерий Лапласа); в) о вероятности оборудования ничего определенного сказать нельзя (примените критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица). Значение параметра g=0,8 в критерии Гурвица задано.

Решение

1) Описанная ситуация представляет собой статистическую игру.

В качестве статистика выступает руководство предприятия, которое может принять одно из следующих решений: отремонтировать оборудование своими силами (стратегия А 1), вызвать ремонтников (стратегия А 2); заменить оборудование новым (стратегия А 3).

Второй играющей стороной – природой будем считать совокупность факторов, влияющих на состояние оборудования: оборудование может использоваться после профилактического ремонта (состояние В 1); нужно заменить отдельные узлы и детали оборудования (состояние В 2): потребуется капитальный ремонт или замена оборудования (состояние В 3).

2) Составим платежную матрицу игры:

Элемент платежной матрицы а ij показывает затраты руководства предприятия, если при выбранной стратегии А i оборудование окажется в состоянии В j . Элементы платежной матрицы отрицательны, так как при любой выбранной стратегии руководству предприятия придется нести расходы.

а) накопленный на предприятии опыт эксплуатации аналогично оборудования показывает, что вероятности состояний оборудования равны q 1 =0,15; q 2 =0,55; q 3 =0,3.

Платежную матрицу представим в виде:

где , (i=1,3)

По критерию Байеса за оптимальную принимается та чистая стратегия А i , при которой максимизируется средний выигрыш статистика, т.е. обеспечивается =max .

Оптимальной стратегией по Байесу является стратегия А 1 .

б) имеющийся опыт свидетельствует о том, что все три возможных состояния оборудования равновероятны, т.е. = 1/3.

Средние выигрыши равны:

1/3*(-6-10-15) = -31/3 » -10,33;

1/3*(-15-9-18) = -42/3 = -14;

1/3*(-13-24-12) = -49/3 » -16,33.

Оптимальной стратегией по Лапласу является стратегия А 1 .

в) о вероятностях оборудования нельзя сказать ничего определенного.

По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.

.

= max (-15, -18, -24) = -15.

Таким образом, оптимальной является стратегия А 1 .

Построим матрицу рисков , где .

Лекция 4

Тема: «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР»

Понятие об игровых моделях

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в ко­торых необходимо принимать решения в условиях неопределен­ности, т.е. возникают ситуации, в которых две (или более) сторо­ны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнера. Такие ситуа­ции, возникающие при игре в шахматы, шашки, домино и т.д., относятся к конфликтным: результат каждого хода игрока зависит от ответного хода противника, цель игры - выигрыш одного из партнеров. В экономике конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют многообразный характер. К ним относятся, например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Во всех этих при­мерах конфликтная ситуация порождается различием интересов партнеров и стремлением каждого из них принимать оптималь­ные решения, которые реализуют поставленные цели в наиболь­шей степени. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнера, и учитывать неиз­вестные заранее решения, которые эти партнеры будут прини­мать.

Для грамотного решения задач с конфликтными ситуациями необходимы научно обоснованные методы. Такие методы разра­ботаны математической теорией конфликтных ситуаций, которая носит название теория игр .

Ознакомимся с основными понятиями теории игр. Математи­ческая модель конфликтной ситуации называется игрой , стороны, участвующие в конфликте, - игрокам и, а исход конфликта - выигрышем . Для каждой формализованной игры вводятся правил а, т.е. система условий, определяющая:

1) варианты действий игро­ков;

2) объем информации каждого игрока о поведении партне­ров;

3) выигрыш, к которому приводит каждая совокупность дей­ствий. Как правило, выигрыш (или проигрыш) может быть задан количественно; например, можно оценить проигрыш нулем, вы­игрыш - единицей, а ничью - 1/2.

Игра называется парной , если в ней участвуют два игрока, и множественной , если число игроков больше двух. Мы будем рас­сматривать только парные игры. В них участвуют два игрока А и В, интересы которых противоположны, а под игрой будем пони­мать ряд действий со стороны А и В.

Игра называется игрой с нулевой суммой , или антагонистиче­ско й, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т.е. для полного задания игры достаточно указать величину одно­го из них. Если обозначить а - выигрыш одного из игроков, b - выигрыш другого, то для игры с нулевой суммой b = -а , поэтому достаточно рассматривать, например а .

Выбор и осуществление одного из предусмотренных правила­ми действий называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными. Личный ход - это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматной иг­ре). Случайный ход - это случайно выбранное действие (напри­мер, выбор карты из перетасованной колоды). В дальнейшем мы будем рассматривать только личные ходы игроков.

Стратегией игрока называется совокупность правил, опреде­ляющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимо­сти от сложившейся ситуации. Обычно в процессе игры при каж­дом личном ходе игрок делает выбор в зависимости от конкрет­ной ситуации. Однако, в принципе, возможно, что все решения приняты игроком заранее (в ответ на любую сложившуюся ситуа­цию). Это означает, что игрок выбрал определенную стратегию, которая может быть задана в виде списка правил или программы. (Так можно осуществить игру с помощью ЭВМ). Игра называется конечно й, если у каждого игрока имеется конечное число страте­гий, ибесконечной - в противном случае.

Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовле­творяет условию оптимальност и, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш , когда второй придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш , если первый придерживается своей стратегии. Такие стратеги и называются оптимальным. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости , т.е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.

Если игра повторяется достаточно много раз, то игроков может интересовать не выигрыш и проигрыш в каждой конкретной пар­тии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях.

Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока. При выборе оптимальной стратегии естест­венно предполагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов. Важнейшее ограничение теории игр - единственность выигрыша как показателя эффективности, в то время как в большинстве реальных экономических задач имеется более одного показателя эффективности. Кроме того, в экономи­ке, как правило, возникают задачи, в которых интересы партне­ров не обязательно антагонистические. Развитие аппарата теории игр для решения задач со многими участниками, имеющими не­противоречивые интересы, выходит за рамки лекции.

Платежная матрица.

Нижняя и верхняя цена игры

Рассмотрим парную конечную игру. Пусть игрок А располагает т личными стратегиями, которые обозначим . Пусть у игрока В имеется п личных стратегий, обозначим их . Говорят, что игра имеет размерность т х п . В результате выбора игроками любой пары стратегий и однозначно определяется исход игры, т.е. выигрыш игрока А (положительный или отрицательный) и проигрыш игрока В . Предположим, что значения известны для любой пары страте­гий . Матрица Р=(), i = 1,2, ..., т; j = 1, 2, ..., п , эле­ментами которой являются выигрыши, соответствующие страте­гиям и , называется платежной матрицей или матрицей игры . Общий вид такой матрицы представлен в таблице:

Строки этой таблицы соот­ветствуют стратегиям игрока А , а столбцы - стратегиям игрока В .

Пример .Составить платежную мат­рицу для следующей игры. Игра "поиск".

Игрок А может прятаться в одном из двух убежищ (I и II); игрок В ищет игрока А , и если найдет, то получает штраф 1 ден. ед. от А , в противном слу­чае платит игроку А 1 ден. ед. Необходимо построить платежную матрицу игры.

Решение . Для составления платежной матрицы следует про­анализировать поведение каждого из игроков. Игрок А может спрятаться в убежище I - обозначим эту стратегию через или в убежище II - стратегия .

Игрок В может искать первого игрока в убежище I - стратегия , либо в убежище II - стратегия . Если игрок А находится в убе­жище I и там его обнаруживает игрок В , т.е. осуществляется пара стратегий то игрок А платит штраф, т.е. . Аналогич­но получаем . Очевидно, что стратегии и дают игроку А выигрыш 1, поэтому . Таким образом, для игры "поиск " размера 2х2 получаем платежную матрицу

Рассмотрим игру т п с матрицей , i =1, 2, ..., т ; j =1, 2, ..., п и определим наилучшую среди стратегий . Выбирая стратегию игрок А должен рассчитывать, что игрок В ответит на нее той из стратегий , для которой выигрыш для иг­рока А минимален (игрок В стремится "навредить" игроку А ).

Обозначим через , наименьший выигрыш игрока А при вы­боре им стратегии , для всех возможных стратегий игрока В (наименьшее число в i -и строке платежной матрицы), т.е.

, j =1,…n . (1)

Среди всех чисел выберем наибольшее: . Назовем нижней ценой игры, илимаксимальным выигрышем (максимином). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В . Следовательно,

. (2)

Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией . Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А ; выбирая стратегию , он учитывает макси­мально возможный при этом выигрыш для А . Обозначим

Среди всех чисел выберем наименьшее , и назовемверхней ценой игры илиминимаксным выигрышем (минимаксом). Это гарантированный проигрыш игрока В . Следова­тельно,

(4)

Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимакс­ной стратегией.

Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее "осторожных" минимаксной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса. Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника.

Пример. Определить нижнюю и верхнюю цены игры и соответствующие стратегии в игре «Поиск ». Рассмотрим платежную матрицу:

При выборе стратегии (первая строка матрицы) минимальный выигрыш равен и соответству­ет стратегии игрока В . При выборе стратегии (вторая строка матрицы) минимальный выигрыш равен , он достигается при стратегии .

Гарантируя себе максимальный выигрыш при любой стратегии иг­рока В, т.е. нижнюю цену игры , игрок А может выбирать любую стратегию: или , т.е. любая его стратегия является максиминной.

Выбирая стратегию (столбец 1), игрок В понимает, что иг­рок А ответит стратегией , чтобы максимизировать свой выиг­рыш (проигрыш В ). Следовательно, максимальный проигрыш игрока В при выбореим стратегии равен max (-l; 1) = 1.

Аналогично максимальный проигрыш игрока В (выигрыш А ) при выборе им стратегии (столбец 2) равен .

Таким образом, при любой стратегии игрока А гарантирован­ный минимальный проигрыш игрока В равен - верхней цене игры.

Любая стратегия игрока В является минимаксной. Дополнив таблицу строкой и столбцом ,получим новую таблицу:

	-1		-1
		-1	-1
		1

На пе­ресечении дополнительных строки и столбца будем записывать верхнюю и нижнюю цены игр.