Очень интересна биография Пифагора. Сам факт, что Пифагор - это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор - "убеждающий речью").

Пифагор Самосский - великий греческий ученый. Его имя знакомо каждому школьнику. Про жизнь Пифагора известно очень мало, с его именем связано большое число легенд. Пифагор - один из самых известных ученых, но и самая загадочная личность, человек-символ, философ и пророк. Он был властителем дум и проповедником созданной им религии. Его обожествляли и ненавидели… Так кто же ты, Пифагор?

Он родился около 580-500 гг. до н. э. на острове Самос, далеко от Греции. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Имя же матери считается неизвестным, но при изучении одного из источников я выяснила, что мать звали Парфенисой. По многим свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности.

Среди учителей юного Пифагора называют имена старца Гермодаманта и Ферекида Сиросского (хотя и нет твердой уверенности в том, что именно они были первыми учителями Пифагора). Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера. Ферекид же был философом и считался основателем италийской школы философии. Но как бы то ни было, неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, он видел в ясные дни желтые дороги, бегущие по большой земле в большой мир. Они звали его.

Он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым - Фалесом. Слава об этом мудреце гремела по всей Элладе. Во время встреч велись оживленные беседы. Именно Фалес посоветовал ему отправиться за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал.

Совсем юным покинул Пифагор родину. Сначала приплыл к берегам Египта, прошел его вдоль и поперек. Внимательно присматривался к окружающим, прислушивался к жрецам. В Египте, рассказывают, Пифагор попал в плен к Камбизу, персидскому завоевателю, и его увезли в Вавилон. Пифагор знал, что это величайший город мира, он быстро освоился со сложными вавилонскими традициями. Жадно впитывал речи халдейских жрецов. У халдейских магов изучал теорию чисел.

В течение 22 лет он проходил обучение в храмах Мемфиса и получил посвящение высшей степени. Здесь же он глубоко изучил математику, “науку чисел или всемирных принципов”, из которой впоследствии сделал центр своей системы. Из Мемфиса, по приказу вторгшегося в Египет Камбиза, Пифагор вместе с египетскими жрецами попал в Вавилон, где провел еще 12 лет. Здесь он имел возможность изучить многие религии и культы, проникнуть в мистерии древней магии наследников Зороастра.

Приблизительно в 530 году Пифагор, наконец, возвратился в Грецию и вскоре переселился в Южную Италию, в г. Кротон. В Кротоне он основал пифагорейский союз, который был одновременно философской школой, политической партией и религиозным братством.

Свою школу Пифагор создает как организацию со строго ограниченным числом учеников из аристократии, и попасть в нее было не просто. Претендент должен был выдержать ряд испытаний; по утверждению некоторых историков, одним из таких испытаний являлся обет пятилетнего молчания. Другим законом организации было хранение тайны, несоблюдение которой строго каралось – вплоть до смерти.

Главным пифагорейским символом здоровья и опознавательным знаком была пентаграмма - звездчатый пятиугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника. Он содержал все пропорции: геометрическую, арифметическую, золотую. Она была тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали друг друга. В средние века считалось, что пентаграмма предохраняет от «нечистой силы». Пятиконечной звезде около 3000 лет. Сегодня пятиконечная звезда реет на флагах едва ли не половины стран мира. Внутренняя красота математического строения была еще замечена Пифагором. Нравственные принципы, проповедуемые Пифагором и сегодня достойны подражания. Его школа способствовала формированию интеллектуальной элиты. Пифагорейцы жили по определенным заповедям, и нам тоже не помешало бы их придерживаться, хотя им уже около двух с половиной тысяч лет. Например:

Не делай того, чего не знаешь;

Поступай так, чтобы впоследствии не огорчаться и не раскаиваться;

Мечом огня не разгребай.

С самого начала в пифагоризме сформировались два различных направления – "асуматики" и "математики". Первое направление занималось этическими и политическими вопросами, воспитанием и обучением, второе – главным образом исследованиями в области геометрии.

Школа вызвала недовольство жителей острова, и Пифагору пришлось покинуть родину. Он переселяется в южную Италию- колонию Греции - и здесь, в Кротоне, вновь основывает школу - пифагорейский союз, просуществовавший около двух веков.

Сейчас трудно сказать, какие научные идеи принадлежат Пифагору, какие его воспитанникам и последователям. Осталось неизвестным, он ли открыл и доказал знаменитую теорему, носящую его имя, ему ли самому удалось впервые доказать теорему о сумме углов треугольника.

Довольно быстро он завоевывает большую популярность среди жителей. Пифагор умело использует знания, полученные в странствиях по свету. Со временем ученый прекращает выступления в храмах и на улицах. Уже в своем доме Пифагор учит медицине, принципам политической деятельности, астрономии, математике, музыке, этике и многому другому. Из его школы вышли выдающиеся политические и государственные деятели, историки, математики и астрономы. Это был не только учитель, но и исследователь. Исследователями становились и его ученики. В Школе Пифагора впервые высказана догадка о шарообразности Земли. Мысль о том, что движение небесных тел подчиняется определенным математическим соотношениям, впервые появились именно в Школе Пифагора. Пифагор прожил 80 лет. Существует много легенд о его смерти. По одной из них он был убит в уличной схватке.

Школа Пифагора дала Греции целую плеяду талантливых философов, физиков и математиков. С их именем связаны в математике систематическое введение доказательств в геометрию, рассмотрение ее как абстрактной науки, создание учения о подобии, доказательство теоремы, носящей имя Пифагора, построение некоторых правильных многоугольников и многогранников, а также учение о четных и нечетных, простых и составных, о фигурных и совершенных числах, арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и средних.

Для нас Пифагор - математик. В древности было иначе. Для своих современников Пифагор прежде всего был религиозным пророком, воплощением высшей божественной мудрости. Одни называли его математиком, философом, другие - шарлатаном. Интересен и тот факт, что Пифагор первым и четыре раза подряд был олимпийским чемпионом по кулачному бою.

2. История открытия и доказательства теоремы Пифагора.

С его именем связано многое в математике и в первую очередь, конечно, теорема, носящая его имя. Это теорема Пифагора. В настоящее время все согласны с тем, что эта теорема не была открыта Пифагором. Она была известна еще до него. Ее частные случаи знали в Китае, Вавилонии, Египте.

Исторический обзор начинается с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4" .

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство

3²+4²=5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э. По мнению Кантора гарпедонапты , или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 метров и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3 метра от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра.

Египетский треугольник - прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. Особенностью такого треугольника, известной ещё со времён античности, является то, что при таком отношении сторон теорема Пифагора даёт целые квадраты как катетов, так и гипотенузы, то есть 9:16:25. Египетский треугольник является простейшим (и первым известным) из Героновых треугольников - треугольников с целочисленными сторонами и площадями. Название треугольнику с таким отношением сторон дали эллины: в VII - V веках до н. э. греческие философы и общественные деятели активно посещали Египет. Так, например, Пифагор в 535 до н. э. по настоянию Фалеса для изучения астрономии и математики отправился в Египет - и, судя по всему, именно попытка обобщения отношения квадратов, характерного для египетского треугольника, на любые прямоугольные треугольники и привела Пифагора к доказательству знаменитой теоремы. Египетский треугольник с соотношением сторон 3:4:5 активно применялся для построения прямых углов землемерами и архитекторами.

Хотя гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становиться излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой - на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод:

"Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку."

Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, другие же отказывают ему и в этой заслуге. Зато не найти, пожалуй, никакой другой теоремы, заслужившей столько всевозможных сравнений. Во Франции и некоторых областях Германии в средневековье теорему Пифагора называли "мостом ослов". Оказывается слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора. У математиков арабского Востока эта теорема получила название "теоремы невесты". Дело в том, что в некоторых списках "Начал" Евклида эта теорема называлась "теоремой нимфы" за сходство чертежа с пчелкой, бабочкой, что по-гречески называлось нимфой. Но словом этим греки называли еще некоторых богинь, а также вообще молодых женщин и невест. При переводе с греческого арабский переводчик, не обратив внимания на чертеж, перевел слово "нимфа" как "невеста", а не "бабочка". Так появилось ласковое название знаменитой теоремы - "теорема невесты".

В средние века теорема Пифагора, определяла границу если не максимально возможных, то по крайней мере хороших математических знаний.

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство "убогих", так как некоторые "убогие" ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому "ослами",были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также "ветряной мельницей", составляли стихи вроде "Пифагоровы штаны на все стороны равны", рисовали карикатуры.

Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов. Теорема гласит: Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.

Таким образом, Пифагор не открыл это свойство прямоугольного треугольника, он, вероятно, первым сумел его обобщить и доказать, перевести тем самым из области практики в область науки. Теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса, как теорема с наибольшим количеством доказательств. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана.

Пифагор – древнегреческий философ-идеалист, математик, основатель пифагореизма, политический, религиозный деятель. Его родиной был остров Самос (отсюда и прозвище - Самосский), где он появился на свет приблизительно в 580 г. до н. э. Его отцом был резчик по драгоценным камням. Согласно древним источникам, Пифагор с рождения отличался удивительной красотой; когда стал взрослым, носил длинную бороду и диадему из золота. Его одаренность также проявилась в раннем возрасте.

Образование у Пифагора было очень хорошим, юношу обучало много наставников, среди которых были Ферекид Сиросский и Гермодамант. Следующим местом, где Пифагор совершенствовал познания, стал Милет, там его ждало знакомство с Фалесом, ученым, посоветовавшим ему поехать в Египет. У Пифагора было с собой рекомендательное письмо самого фараона, однако жрецы поделились с ним секретами только после успешного прохождения трудных испытаний. Среди наук, которых он хорошо освоил в Египте, была и математика. Следующие 12 лет он прожил в Вавилоне, где также с ним делились своими познаниями жрецы. Согласно легендам, Пифагор побывал и в Индии.

Возвращение на родину состоялось примерно в 530 г. до н. э. Статус полупридворного-полураба при тиране Поликрате не казался ему привлекательным, и он какое-то время жил в пещерах, после чего переехал в Протон. Возможно, причина его отъезда крылась в философских взглядах. Пифагор являлся идеалистом, приверженцем рабовладельческой аристократии, а в его родной Ионии были весьма популярны демократические взгляды, их приверженцы имели немалое влияние.

В Кротоне Пифагор выступил организатором собственной школы, которая была одновременно и политической структурой, и религиозно-монашеским орденом со своим уставом и очень строгими правилами. В частности, все члены пифагорейского союза не должны были употреблять мясную пищу, раскрывать другим учение своего наставника, отказывались иметь личную собственность.

Прокатившаяся в то время волна демократических восстаний в Греции и колониях докатилась и до Кротона. После победы демократии Пифагор с учениками переселяется в Тарент, позднее в Метапонт. Когда они прибыли в Метапонт, там бушевало народное восстание, и в одном из ночных побоищ Пифагор погиб. Тогда он был глубоким старцем, ему было почти 90. Вместе с ним прекратила существование и его школа, ученики рассредоточились по всей территории страны.

Поскольку Пифагор считал свое учение тайной и практиковал только устную передачу его ученикам, собрания сочинений после него не осталось. Некоторые сведения все-таки стали явными, однако разграничить истину и выдумки невероятно сложно. Ряд историков сомневаются в том, что знаменитая теорема Пифагора была доказана именно им, аргументируя это тем, что она была известна другим древним народам.

Имя Пифагора всегда было окружено большим количеством легенд даже при жизни. Считалось, что он мог управлять духами, умел прорицать, знал язык животных, общался с ними, птицы под влиянием его речей могли изменить вектор полета. Предания приписывали Пифагору и умение исцелять людей, в том числе с помощью прекрасного знания лекарственных растений. Его влияние на окружающих было сложно переоценить. Рассказывают такой эпизод из биографии Пифагора: когда однажды он рассердился на ученика, тот от горя покончил жизнь самоубийством. С тех пор философ взял за правило больше никогда не выплескивать на людей свое раздражение.

Помимо доказательства теоремы Пифагора, этому математику приписывают подробное изучение целых чисел, пропорций и их свойств. Пифагорейцам принадлежит значительная заслуга в придании геометрии характера науки. Пифагор являлся одним из первых, кто был убежден, что Земля – это шар и центр Вселенной, что планеты, Луна, Солнце движутся по-особому, не как звезды. В определенной степени идеи пифагорейцев о движении Земли стали предтечей гелиоцентрического учения Н. Коперника.

Биография из Википедии

Историю жизни Пифагора трудно отделить от легенд, представляющих его в качестве совершенного мудреца и великого учёного, посвящённого во все таинства греков и варваров. Ещё Геродот называл его «величайшим эллинским мудрецом».Основными источниками по жизни и учению Пифагора являются сочинения философа-неоплатоника Ямвлиха (242-306 гг.) «О Пифагоровой жизни »; Порфирия (234-305 гг.) «Жизнь Пифагора »; Диогена Лаэртского (200-250 гг.) кн. 8, «Пифагор ». Эти авторы опирались на сочинения более ранних авторов, из которых следует отметить ученика Аристотеля Аристоксена (370-300 гг. до н. э.) родом из Тарента, где сильны были позиции пифагорейцев. Таким образом, самые ранние известные источники об учении Пифагора появились лишь 200 лет спустя после его смерти. Сам Пифагор не оставил сочинений, и все сведения о нём и его учении основываются на трудах его последователей, не всегда беспристрастных.

Родителями Пифагора были Мнесарх и Партенида с острова Самос. Мнесарх был камнерезом (D. L.); по словам же Порфирия он был богатым купцом из Тира, получившим самосское гражданство за раздачу хлеба в неурожайный год. Первая версия предпочтительнее, так как Павсаний приводит генеалогию Пифагора по мужской линии от Гиппаса из пелопоннесского Флиунта, бежавшего на Самос и ставшего прадедом Пифагора. Партенида, позднее переименованная мужем в Пифаиду, происходила из знатного рода Анкея, основателя греческой колонии на Самосе.

Рождение ребёнка будто бы предсказала Пифия в Дельфах, потому Пифагор и получил своё имя, которое значит «тот, о ком объявила Пифия ». В частности, Пифия сообщила Мнесарху, что Пифагор принесёт столько пользы и добра людям, сколько не приносил и не принесёт в будущем никто другой. Поэтому, на радостях, Мнесарх дал жене новое имя Пифаида, а ребёнку - Пифагор. Пифаида сопровождала мужа в его поездках, и Пифагор родился в Сидоне Финикийском (по Ямвлиху) примерно в 570 до н. э. С ранних лет он обнаружил необыкновенную одарённость (также по Ямвлиху).

По словам античных авторов, Пифагор встретился чуть ли не со всеми известными мудрецами той эпохи, греками, персами, халдеями, египтянами, впитал в себя всё накопленное человечеством знание. В популярной литературе иногда приписывают Пифагору Олимпийскую победу в боксе, путая Пифагора-философа с его тёзкой (Пифагором, сыном Кратета с Самоса), который одержал свою победу на 48-х Играх за 18 лет до рождения знаменитого философа.

В юном возрасте Пифагор отправился в Египет, чтобы набраться мудрости и тайных знаний у египетских жрецов. Диоген и Порфирий пишут, что самосский тиран Поликрат снабдил Пифагора рекомендательным письмом к фараону Амасису, благодаря чему он был допущен к обучению и посвящён не только в египетские достижения медицины и математики, но и в таинства, запретные для прочих чужеземцев.

Ямвлих пишет, что Пифагор в 18-летнем возрасте покинул родной остров и, объехав мудрецов в разных краях света, добрался до Египта, где пробыл 22 года, пока его не увёл в Вавилон в числе пленников персидский царь Камбиз, завоевавший Египет в 525 до н. э. В Вавилоне Пифагор пробыл ещё 12 лет, общаясь с магами, пока наконец не смог вернуться на Самос в 56-летнем возрасте, где соотечественники признали его мудрым человеком.

По Порфирию, Пифагор покинул Самос из-за несогласия с тиранической властью Поликрата в 40-летнем возрасте. Так как эти сведения основываются на словах Аристоксена, источника IV века до н. э., то считаются относительно достоверными. Поликрат пришёл к власти в 535 до н. э., отсюда дата рождения Пифагора оценивается в 570 до н. э., если допустить, что он уехал в Италию в 530 до н. э. Ямвлих сообщает, что Пифагор переехал в Италию в 62-ю Олимпиаду, то есть в 532-529 гг. до н. э. Эти сведения хорошо согласуются с Порфирием, но полностью противоречат легенде самого Ямвлиха (вернее, одного из его источников) о вавилонском пленении Пифагора. Точно неизвестно, посещал ли Пифагор Египет, Вавилон или Финикию, где набрался, по легендам, восточной мудрости. Диоген Лаэртский цитирует Аристоксена, который говорил, что учение своё, по крайней мере что касается наставлений по образу жизни, Пифагор воспринял от жрицы Фемистоклеи Дельфийской, то есть в местах не столь отдалённых для греков.

Разногласия с тираном Поликратом вряд ли могли послужить причиной отъезда Пифагора, скорее ему требовалось возможность проповедовать свои идеи и, более того, претворять своё учение в жизнь, что затруднительно осуществить в Ионии и материковой Элладе, где жило много искушённых в вопросах философии и политики людей.Ямвлих сообщает:

«Его философия распространилась, вся Эллада стала восхищаться им, и лучшие и мудрейшие мужи приезжали к нему на Самос, желая слушать его учение. Сограждане, однако, принуждали его участвовать во всех посольствах и общественных делах. Пифагор чувствовал, как тяжело, подчиняясь законам отечества, одновременно заниматься философией, и видел, что все прежние философы прожили жизнь на чужбине. Обдумав всё это, отойдя от общественных дел и, как говорят некоторые, считая недостаточной невысокую оценку самосцами его учения, он уехал в Италию, считая своим отечеством страну, где больше способных к обучению людей. »

Пифагор поселился в греческой колонии Кротоне в Южной Италии, где нашёл много последователей. Их привлекала не только мистическая философия, которую он убедительно излагал, но и предписываемый им образ жизни с элементами здорового аскетизма и строгой морали. Пифагор проповедовал нравственное облагораживание невежественного народа, достигнуть которого возможно там, где власть принадлежит касте мудрых и знающих людей, и которым народ повинуется в чём-то безоговорочно, как дети родителям, а в остальном сознательно, подчиняясь нравственному авторитету.Пифагору традиция приписывает введение слов философия и философ.

Ученики Пифагора образовали своего рода религиозный орден, или братство посвящённых, состоящий из касты отобранных единомышленников, буквально обожествляющих своего учителя - основателя ордена. Этот орден фактически пришёл в Кротоне к власти, однако из-за антипифагорейских настроений в конце VI в. до н. э. Пифагору пришлось удалиться в другую греческую колонию Метапонт, где он и умер. Почти 450 лет спустя, во времена Цицерона (I в. до н. э.), в Метапонте как одну из достопримечательностей показывали склеп Пифагора.

У Пифагора была жена по имени Феано, сын Телавг и дочь Мийя (по другой версии сын Аримнест и дочь Аригнота).

По Ямвлиху, Пифагор возглавлял своё тайное общество тридцать девять лет, тогда приблизительная дата смерти Пифагора может быть отнесена к 491 до н. э., к началу эпохи греко-персидских войн. Диоген, ссылаясь на Гераклида (IV в. до н. э.), говорит, что Пифагор мирно скончался в возрасте 80 лет, или же в 90 лет (по неназванным другим источникам). Из этого следует дата смерти 490 до н. э. (или 480 до н. э., что маловероятно). Евсевий Кесарийский в своей хронографии обозначил 497 до н. э. как год смерти Пифагора.

Разгром пифагорейского союза

Среди последователей и учеников Пифагора оказалось немало представителей знати, которые пытались изменить законы в своих городах в соответствии с пифагорейским учением. На это наложилась обычная борьба той эпохи между олигархической и демократической партиями в древнегреческом обществе. Недовольство большинства населения, не разделяющего идеалов философа, вылилось в кровавые мятежи в Кротоне и Таренте.

«Пифагорейцы образовали большое сообщество (их было более трёхсот), но оно составляло лишь небольшую часть города, который уже не управлялся согласно тем же обычаям и нравам. Впрочем, пока кротонцы владели своей землёй, и Пифагор находился у них, сохранялось государственное устройство, существовавшее от основания города, хотя были недовольные, ожидавшие удобного случая для переворота. Но когда завоевали Сибарис, Пифагор уехал, а пифагорейцы, управлявшие завоёванной землёй, не распределили её по жребию, как хотело большинство, то затаённая ненависть вспыхнула, и множество граждан выступило против них… Родственники пифагорейцев относились с ещё большим раздражением к тому, что те подают правую руку только своим, а из близких - только родителям, и что они предоставляют своё имущество для общего пользования, а от имущества родственников оно отделено. Когда родственники начали эту вражду, остальные с готовностью присоединились к конфликту… Через много лет… кротонцами овладели сожаление и раскаяние, и они решили вернуть в город тех пифагорейцев, которые ещё были живы. »

Много пифагорейцев погибло, выжившие рассеялись по Италии и Греции. Немецкий историк Ф. Шлоссер замечает по поводу разгрома пифагорейцев: «Кончилась совершенной неудачей попытка перенести в Грецию кастовый и клерикальный быт и, наперекор духу народа, изменить его политическое устройство и нравы по требованиям отвлечённой теории. »

Согласно Порфирию и сам Пифагор погиб в результате антипифагорейского мятежа в Метапонте, однако другие авторы не подтверждают этой версии, хотя охотно передают историю о том, будто бы удручённый философ уморил себя голодом в священном храме.

Философское учение

Пифагор на фреске Рафаэля (1509 г.)

Учение Пифагора следует разбить на две составляющие части: научный подход к познанию мира и религиозно-мистический образ жизни, проповедуемый Пифагором. Доподлинно неизвестны заслуги Пифагора в первой части, так как ему позднее приписывали всё, созданное последователями в рамках школы пифагореизма. Вторая часть превалирует в учении Пифагора, и именно она осталась в сознании большинства античных авторов.

Достаточно полные сведения о развиваемых Пифагором представлениях о переселении душ и основанных на них пищевых запретах даёт поэма Эмпедокла «Очищения».

В сохранившихся работах Аристотель никогда прямо не обращается непосредственно к Пифагору, но лишь к «так называемым пифагорейцам». В потерянных работах (известных по выдержкам) Аристотель рассматривает Пифагора как основателя полурелигиозного культа, который запрещал есть бобы и имел золотое бедро, но не принадлежал к последовательности мыслителей, предшественников Аристотеля.

Платон относился к Пифагору с глубочайшим почтением и уважением. Когда пифагореец Филолай впервые опубликовал 3 книги, излагающие основные положения пифагореизма, Платон по совету друзей немедленно их купил за большие деньги.

Деятельность Пифагора как религиозного новатора VI в. до н. э. заключалась в создании тайного общества, которое не только ставило перед собой политические цели (из-за чего пифагорейцев разгромили в Кротоне), но, главным образом, освобождение души путём нравственного и физического очищения с помощью тайного учения (мистическое учение о круговороте переселений души). По Пифагору, вечная душа переселяется с небес в бренное тело человека или животного и претерпевает ряд переселений, пока не заслужит права вернуться обратно на небеса.

В акусматах (изречениях) Пифагора содержатся обрядовые наставления: о круговороте человеческих жизней, поведении, жертвоприношениях, погребениях, питании. Акусматы сформулированы лаконично и доступно для понимания любого человека, в них содержатся также постулаты общечеловеческой морали. Более сложная философия, в рамках которой развивалась математика и другие науки, предназначалась для «посвящённых», то есть избранных людей, достойных владеть тайным знанием. Научная составляющая учения Пифагора развивалась в V в. до н. э. усилиями его последователей (Архит из Тарента, Филолай из Кротона, Гиппас из Метапонта), но сошла на нет в IV в. до н. э., в то время как мистическо-религиозная составляющая получила своё развитие и второе рождение в виде неопифагореизма во времена Римской империи.

Заслугой пифагорейцев было выдвижение мысли о количественных закономерностях развития мира, что содействовало развитию математических, физических, астрономических и географических знаний. В основе вещей лежит число, учил Пифагор, познать мир - значит познать управляющие им числа. Изучая числа, пифагорейцы разработали числовые отношения и нашли их во всех областях человеческой деятельности. Числа и пропорции изучались с тем, чтобы познать и описать душу человека, а познав, управлять процессом переселения душ с конечной целью отправить душу в некое высшее божественное состояние.

Как отмечал И. Д. Рожанский: «Несмотря на пережитки магического мышления, основная идея Пифагора о том, что в основе всех вещей лежат числа или отношения чисел, оказалась очень плодотворной». Как отмечал Стобей: «Судя по всему, больше всех (наук) Пифагор почитал науку о числах, он продвинул её вперёд, выведя её за пределы употребления в торговле и выражая, моделируя все вещи числами» (1, «Проэмий», 6, с. 20).

Несмотря на встречающееся мнение о том, что Пифагор будто бы был вегетарианцем, Диоген Лаэртский пишет, что Пифагор изредка ел рыбу, воздерживался только от пахотных быков и от баранов, а остальных животных дозволял в пищу.

В качестве критика Пифагора выступал его современник Гераклит : «Пифагор, Мнесархов сын, занимался собиранием сведений больше всех людей на свете и, понадергав себе эти сочинения, выдал за свою собственную мудрость многознайство и мошенничество ».По Диогену Лаэртскому, в продолжении известного изречения Гераклита «Многознание уму не научает» упоминается среди прочих и Пифагор: «а не то научило бы Гесиода и Пифагора, равно как и Ксенофана с Гекатеем».

Научные достижения

В современном мире Пифагор считается великим математиком и космологом древности, однако ранние свидетельства до III в. до н. э. не упоминают о таких его заслугах. Как пишет Ямвлих про пифагорейцев: «У них также был замечательный обычай приписывать всё Пифагору и нисколько не присваивать себе славы первооткрывателей, кроме, может быть, нескольких случаев ».

Античные авторы нашей эры отдают Пифагору авторство известной теоремы: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равняется сумме квадратов катетов. Такое мнение основывается на сведениях Аполлодора-исчислителя (личность не идентифицирована) и на стихотворных строках (источник стихов не известен):

«В день, когда Пифагор открыл свой чертёж знаменитый,
Славную он за него жертву быками воздвиг».

Современные историки предполагают, что Пифагор не доказывал теорему, но мог передать грекам это знание, известное в Вавилоне за 1000 лет до Пифагора (согласно вавилонским глиняным табличкам с записями математических уравнений). Хотя сомнение в авторстве Пифагора существует, но весомых аргументов, чтобы это оспорить, нет.

Аристотель затрагивает развитие представлений о космологии в работе «Метафизика», однако вклад Пифагора в ней никак не озвучен. По Аристотелю космологическими теориями занимались пифагорейцы в середине V в. до н. э., но, видимо, не сам Пифагор. Пифагору приписывают открытие, что Земля - шар, но то же открытие наиболее авторитетный автор в этом вопросе, Феофраст, отдаёт Пармениду. Да и Диоген Лаэртский сообщает, что суждение о шарообразности Земли высказывал Анаксимандр Милетский, у которого учился Пифагор в юности.

В то же время, научные заслуги школы пифагорейцев в математике и космологии бесспорны. Точку зрения Аристотеля, отражённую в его несохранившемся трактате «О пифагорейцах», передал Ямвлих. По Аристотелю, истинными пифагорейцами были акусматики, последователи религиозно-мистического учения о переселении душ. Акусматики рассматривали математику как учение, исходящее не столько от Пифагора, сколько от пифагорейца Гиппаса. В свою очередь, математики-пифагорейцы, по их собственному мнению, вдохновлялись направляющим учением Пифагора для углублённого изучения своей науки.

Сочинения Пифагора

Пифагор не писал трактатов. Из устных наставлений для простого народа невозможно составить трактат, а тайное оккультное учение для избранных нельзя было доверить книге. Ямвлих так комментирует отсутствие трудов Пифагора:

«Замечательно также и их упорство в неразглашении учения: за столько лет до поколения Филолая, как представляется, никто не столкнулся ни с одним пифагорейским сочинением. Филолай первым из пифагорейцев опубликовал три нашумевшие книги, которые, как говорят, Дион из Сиракуз купил за сто мин по указанию Платона, когда Филолай впал в крайнюю нужду. »

Диоген перечисляет названия этих книг, приписываемых Пифагору: «О воспитании», «О государстве» и «О природе». Однако ни один из авторов в первые 200 лет после смерти Пифагора, включая Платона, Аристотеля и их преемников в Академии и Лицее, не приводит цитат из трудов Пифагора или хотя бы указывает на существование таких трудов. С начала новой эры античным писателям неизвестны труды Пифагора, как сообщили о том Плутарх, Иосиф Флавий и Гален.

В III в. до н. э. появилась компиляция высказываний Пифагора, известная под названием «Священное слово», из которой позднее возникли так называемые «Золотые стихи» (иногда их относят к IV в. до н. э. без веских оснований). Впервые цитаты из этих стихов цитируются Хрисиппом в III в. до н. э., хотя, возможно, в то время компиляция ещё не сложилась в законченный вид. Заключительный отрывок из «Золотых стихов» в переводе И. Петер:

Ты же будь твёрдым: божественный род присутствует в смертных,
Им, возвещая, священная всё открывает природа.
Если не чуждо это тебе, ты наказы исполнишь,
Душу свою исцелишь и от множества бедствий избавишь.
Яства, сказал я, оставь те, что я указал в очищеньях
И руководствуйся подлинным знанием - лучшим возничим.
Если ты, тело покинув, в свободный эфир вознесёшься,
Станешь нетленным, и вечным, и смерти не знающим богом.

Биография Пифагора

Пифагор Самосский (ок. 580 - ок. 500 до н. э.) древнегреческий математик и философ-идеалист. Родился на острове Самос. Получил хорошее образование. По преданию Пифагор, чтобы ознакомиться с мудростью восточных ученых, выехал в Египет и как будто прожил там 22 года. Хорошо овладев всеми науками египтян, в том числе и математикой, он переехал в Вавилон, где прожил 12 лет и ознакомился с научными знаниями вавилонских жрецов. Предания приписывают Пифагору посещение и Индии. Это очень вероятно, так как Иония и Индия тогда имели торговые связи. Возвратившись на родину (ок. 530 г. до н. э.), Пифагор попытался организовать свою философскую школу.Однако по неизвестным причинам он вскоре оставляет Самос и селитсЯ в Кротоне (греческая колония на севере Италии). Здесь Пифагору удалось организовать свою школу, которая действовала почти тридцать лет. Школа Пифагора, или, как ее еще называют, пифагорейский союз, была одновременно и философской школой, и политической партией, и религиозным братством. Статут пифагорейского союза был очень суровым. Каждый, кто вступал в него, отказывался от личной собственности в пользу союза, обязывался не проливать крови, не употреблять мясной пищи, беречь тайну учения своего учителя. Членам школы запрещалось обучать других за вознаграждение. По своим философским взглядам Пифагор был идеалистом, защитником интересов рабовладельческой аристократии. Возможно, в этом и заключалась причина его отъезда из Самоса, так как в Ионии очень большое влияние имели сторонники демократических взглядов. В общественных вопросах под "порядком" пифагорейцы понимали господство аристократов. Древнегреческую демократию они осуждали. Пифагорейская философия была примитивной попыткой обосновать господство рабовладельческой аристократии. В конце V в. до н. э. в Греции и ее колониях прокатилась волна демократического движения. Победила демократия В Кротоне. Пифагор вместе с учениками оставляет Кротон и уезжаетв Тарент, а затем в Метапонт. Прибытие пифагорейцев в Метапонт совпало со вспышкой там народного восстания. В одной из ночных стычек погиб почти девяностолетний Пифагор. Его школа прекратила свое существование. Ученики Пифагора, спасаясь от преследований, расселились по всей Греции и ее колониям. Добывая себе средства к существованию, они организовывали школы, в которых преподавали главным образом арифметику и геометрию. Сведения об их достижениях содержатся в сочинениях позднейших учёных - Платона, Аристотеля и др.

Открытие того факта, что между стороной и диагональю квадрата не существует общей меры, было самой большой заслугой пифагорейцев. Этот факт вызвал первый кризис в истории математики. Пифагорейское учение о целочисленной основе всего существующего больше нельзя было признавать истинным. Поэтому пифагорейцы пытались сохранить своё открытие в тайне и создали легенду о гибели Гиппаса Мессопотамского, который осмелился разгласить открытие. Пифагору приписывают еще ряд важных в то время открытий, а именно: теорему о сумме внутренних углов треугольника; задачу о делении плоскости на правильные многоугольники (треугольники, квадраты и шестиугольники). Есть сведения, что Пифагор построил "космические" фигуры, т. е. пять правильных многогранников. Но вероятнее, что он знал только три простейших правильных многогранника: куб, четырехгранник, восьмигранник. Школа Пифагора много сделала, чтобы придать геометрии характер науки. Основной особенностью метода Пифагора было объединение геометрии с арифметикой.

Пифагор много занимался пропорциями и прогрессиями и, вероятно подобием фигур, так как ему приписывают решение задачи: "По данным двум фигурам построить третью, равновеликую одной из данных и подобную второй". Пифагор и его ученики ввели понятие о многоугольных, дружественных, совершенных числах и изучали их свойства. Арифметика как практика вычислений не интересовала Пифагора, и он с гордостью заявил, что "поставил арифметику выше интересов торговца". Пифагор одним из первых считал, что Земля имеет форму шара и является центром Вселенной, что Солнце, Луна и планеты имеют собственное движение, отличное от суточного движения неподвижных звезд. Учение пифагорейцев о движении Земли Николай Коперник воспринял как предысторию своего гелиоцентрического учения. Недаром церковь объявила систему Коперника "ложным пифагорейским учением".

Мысли и афоризмы

• На поле жизни, подобно сеятелю, ходи ровным и постоянным шагом.
• Истинное отечество там, где есть благие нравы.
• Не будь членом учёного общества: самые мудрые, составляя общество, делаются простолюдинами.
• Почитай священными числа, вес и меру, как чад изящного равенства.
• Измеряй свои желания, взвешивай свои мысли, исчисляй свои слова.
• Ничему не удивляйся: удивление произвело богов.
• Если спросят: что есть древнее богов? - ответствуй: страх и надежда.

Правда о Пифагоре

Самое большее, что известно сейчас народонаселению об этом уважаеом древнем греке, укладывается в одну фразу: "Пифагоровы штаны на все стороны равны". Авторов этой дразнилки явно отделяют от Пифагора века, иначе бы они дразниться не посмели. Потому что Пифагор - вовсе не квадрат гипотенузы, равный сумме квадратов катетов. Это знаменитый философ.

Пифагор жил в шестом веке до нашей эры, имел красивую внешность, носил длинную бороду, а на голове золотую диадему. Пифагор - это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор - "убеждающий речью".) Своими речами приобрёл 2000 учеников, которые вместе со своими семьями образовали школу-государство, где действовали законы и правила Пифагора.

Он первый дал название своему роду деятельности. Слово "философ", как и слово "космос" достались нам от Пифагора. В его философии много космического. Он утверждал, что для понимания Бога, человека и природы надо изучать алгебру с геометрией, музыку и астрономию. Кстати, именно пифагорейская система знаний, и называется по-гречески "математикой". Что касается пресловутого треугольника с его гипотенузой и катетами, то это, согласно великому греку, больше, чем геометрическая фигура. Это "ключ" ко всем зашифрованным явлениям нашей жизни. Всё в природе, говорил Пифагор, разделено на три части. Поэтому прежде чем решать любую проблему, её надо представить в виде треугольной диаграммы. "Узрите треугольник - и задача на две трети решена".

Пифагор не оставил после себя собрания сочинений, он держал своё учение в тайне и передавал ученикам устно. В результате тайна умерла вместе с ними. Кое-какая информация всё же просочилась в века, но теперь уже трудно сказать, сколько в ней истинного, а сколько ложного. Даже с пифагоровой теоремой не всё бесспорно. Некоторые историки сомневаются в авторстве Пифагора, утверждая, что её вовсю использовали в хозяйстве самые разные древние народы.

Что уж говорить об отдельных фактах биографии великого математика! Рассказывали, например, что он мог заставить птиц изменить направление полёта. Он разговаривал с медведицей, и та перестала нападать на людей, он беседовал с быком, и тот под влиянием беседы перестал трогать бобы и поселился при храме. Однажды, переходя вброд реку, Пифагор вознёс молитву духу реки, и из воды послышался голос: "Приветствую тебя, Пифагор!" Говорили также, что он повелевал духами: посылал их в воду и, глядя на рябь, делал предсказания.

Влияние его на людей было так велико, что похвала из уст Пифагора переполняла его учеников восторгом. Однажды ему случилось рассердиться на ученика, и тот покончил с собой. Потрясённый философ никогда больше ни с кем не говорил раздражённо.

Он будто бы умудрялся исцелять людей, напевая им стихи из "Илиады" и "Одиссеи" Гомера. Он знал лекарственные свойства огромного количества растений.

В последующие столетия фигура Пифагора была окружена множеством легенд: его считали перевоплощённым богом Аполлоном, полагали, что у него было золотое бедро, и он был способен раздваиваться и запросто в одно и то же время преподавать в двух разных местах. Отцы раннехристианской церкви отвели Пифагору почётное место между Моисеем и Платоном. Хотя и не очень понятно, за что: Пифагор прославился своим учением о космической гармонии и переселении душ, что не очень-то вписывается в христианские догматы. К тому же, учёный муж не чурался и колдовства, даже в XVI в. были нередки ссылки на авторитет Пифагора в вопросах не только науки, но и магии. Как в России все дворники - философы, так и в Древней Греции все философы были математиками. Пифагор в этом отношении не был исключением.

Пифагор и пифагорейцы

Но Пифагор был не только учёным. "По совместительству" он являлся активным проповедником собственных учений. Причём проповедником весьма преуспевшим: на греческом острове Кротоне, на юге Италии, где Пифагор, изгнанный с Самоса, проповедовал, он пользовался популярностью. Его последователи, увлечённые идеями учителя, стренько сообразили религиозный орден. Притом орден настолько многочисленный и мощный, что он сумел фактически прийти к власти в Кротоне. Во времена античности Пифагор более всего был известен и популярен именно как проповедник. А проповедовал он собственное учение, основанное на понятии реинкарнации (переселении душ), то есть, способности души переживать смерть бренного тела, а это значит, что душа бессмертна. Поскольку в новом воплощении душа может переселяться многократно, в том числе и в тела животных, Пифагор и его последователи были категорически против умерщвления животных, употребления в пищу их мяса и даже категорически призывали сограждан не иметь дело с теми, кто забивает животных или разделывает их туши. Пифагор говорил, что поедание мяса затемняет умственные способности. Вообще он не отказывал себе полностью в этом, но когда удалялся в храм Бога для медитации и молитвы, он брал с собой заранее приготовленные пищу и питьё. Пищей его были мак и кунжут, шкурки морского лука, цветки нарцисса, листья мальвы, ячмень и горох, дикий мёд...

Такое, казалось бы, скудное питание не помешало философу прожить долгую жизнь. Учёные считают, что он вычислял, проповедовал и философствовал около ста лет. Но сам он постоянно заявлял, что прожил много жизней...

Он был первым человеком, который назвал себя философом. До него умные люди называли себя гордо и несколько высокомерно - мудрецами, что означало - человек, который знает. Пифагор же назвал себя философом - тем, кто пытается найти, выяснить.

По понятиям Пифагора, кровопролитие приравнивалось, ни много ни мало, к первородному греху, за который, как известно, бессмертная душа изгоняется в бренный мир, где ей суждено блуждать, перепархивая из одного тела в другое. Душе такие бесконечные перевоплощения не по душе, она рвётся на свободу, в небесные сферы, но по невежеству неизменно повторяет греховное деяние.

Если верить Пифагору, освободить душу от бесконечных перевоплощений может очищение. Простейшее очищение заключается в воздержании от излишеств, от пьянства или от употребления в пищу бобов. Так же строго должны соблюдаться и правила поведения: почитание старших, законопослушание. Во взаимоотношениях пифагорейцы во главу угла ставили дружбу, всё имущество друзей должно быть общим. Немногим избранным, как сегодня говорят, наиболее продвинутым, становилась доступной высшая форма очищения - философия, слово это, как мы уже упоминали, а до нас утверждал Цицерон, было впервые употреблено именно Пифагором, называвшим себя не мудрецом, а любителем мудрости. Математика - одна из составных частей религии пифагорейцев, которые учили, что Бог положил число в основу мирового порядка.

Пифагорейцы пытались применять математические открытия Пифагора к умозрительным физическим построениям, что приводило к любопытным результатам. Они полагали, что любая планета, обращаясь вокруг Земли, проходя при этом сквозь чистый верхний воздух, или "эфир", издаёт тон определённой высоты. Высота звука меняется в зависимости от скорости движения планеты, скорость же этого движения зависит от расстояния до Земли. Сливаясь, небесные звуки образуют то, что мы называем "гармонией сфер", или "музыкой сфер", ссылками на музыку сфер литература усыпана, как императорская корона бриллиантами. Ранние пифагорейцы были убеждены, что Земля плоская и находится в центре космоса. Позднее они "поумнели" и стали считать, что Земля имеет сферическую форму и вместе с другими планетами, включая и Солнце, обращается вокруг центра космоса, так называемого "очага".

Недоброжелателям Пифагора, обеспокоенным растущей популярностью его учений, всё же удалось изгнать его в Метапонт, где он и умер, как теперь говорят, от разрыва сердца, скорбя о тщетности своих усилий по просвещению и бесплодности служения человечеству, так ему казалось. Орден же правил в Кротоне ещё почти столетие, пока не был разгромлен.

Несправедливо думать, что пифагорейцы оставили после себя только заблуждения. Они совершили массу открытий в математике и геометрии. Многие их открытия использовал в "Началах" Эвклид. Пифагорейские идеи проникли в Афины, они были приняты Сократом, позже переросли в мощное идейное движение, возглавленное великим Платоном и его учеником Аристотелем.

Но вернёмся к математике. Пифагорейцы были увлечены построением правильных геометрических фигур с помощью циркуля и линейки. Увлечённые этим "строительством" они выстроили фигуры вплоть до правильного пятиугольника и озадачились тем, как с помощью всё тех же циркуля и линейки построить следующую правильную фигуру - семиугольник? Надо сразу же сказать, что это им не удалось.

Но они не только сами озадачились, но и озадачили всё разумное человечество, которое с циркулем и линейкой в руках, наморщив лбы, ринулось строить правильные семиугольники.

Не тут-то было! Эта задачка пифагорейцев оставалась неразрешимой более двух тысячелетий! Решил её только в 1796 г. 19-летний(!) немецкий юноша Карл Фридрих Гаусс (1777 - 1855), прозванный позже королём математиков.

"Построил" семиугольник юный гений случайно, занимаясь совсем другими вычислениями. Гаусс изложил теорию уравнений деления круга Хn - 1 = 0, которая во многом была прообразом блистательной теории другого девятнадцатилетнего гения - Галуа. Помимо общих методов решения этих уравнений, Гаусс установил связь между уравнениями и построением правильных многоугольников. Он нашёл все те значения n, для которых правильный n-угольник можно построить при помощи циркуля и линейки.

Со времени возникновения задачи прошло более двух тысяч лет... Вот сколько терпения и времени требуется иногда на решение!

История теоремы

Карикатуры

История теоремы

Исторический обзор начнем с древнего Китая . Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4". В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 2 + 4 2 = 5 2 было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становиться излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян . В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби , т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой-на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод: "Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку."

Геометрия у индусов , как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э.

В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так: "В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол".

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Рассказывают, что в честь этого открытия Пифагор принес в жертву 100 быков.

Карикатуры

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство "убогих", так как некоторые "убогие" ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому "ослами",были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также "ветряной мельницей", составляли стихи вроде "Пифагоровы штаны на все стороны равны", рисовали карикатуры.

Теорема Пифагора-одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: c 2 =a 2 +b 2 .

Доказательство №1 (простейшее)

Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.

Простейшее доказательство теоремы получается в случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема.

В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для ΔABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС , содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. Теорема доказана .

Доказательство №2

Пусть Т - прямоугольный треугольник с катетами а , b и гипотенузой с (рис. а) . Докажем, что с 2 =а 2 +Ь 2 .

Построим квадрат Q со стороной а+Ь (рис. б) .На сторонах квадрата Q возьмем точки А , В , С , D так, чтобы отрезки АВ , ВС , CD , DA отсекали от квадрата Q прямоугольные треугольники Т 1 , Т 2 , Т 3 , Т 4 с катетами а и b . Четырехугольник ABCD обозначим буквой Р . Покажем, что Р - квадрат со стороной с .

Все треугольники Т 1 , Т 2 , Т 3 , Т 4 равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника Т , т. е. отрезку с . Докажем, что все углы этого четырехугольника прямые.

Пусть a и b - величины острых углов треугольника Т . Тогда, как вам известно, a+b = 90° . Угол при вершине А четырехугольника Р вместе с углами, равными a и b , составляет развернутый угол. Поэтому a+b =180° . И так как a+b = 90° , то g=90° . Точно так же доказывается, что и остальные углы четырехугольника Р прямые. Следовательно, четырехугольник Р - квадрат со стороной с .

Квадрат Q со стороной а+Ь слагается из квадрата Р со стороной с и четырех треугольников, равных треугольнику Т . Поэтому для их площадей выполняется равенство S(Q)=S(P)+4S(T) .

Так как S(Q)=(a+b) 2 ; S(P)=c 2 и S(T)=½a*b , то, подставляя эти выражения в S(Q)=S(P)+4S(T) , получаем равенство (a + b) 2 = c 2 + 4*½a*b . Поскольку (a+b) 2 =a 2 +b 2 +2*a*b , то равенство (a+b) 2 =c 2 +4*½a*b можно записать так: a 2 +b 2 +2*a*b=c 2 +2*a*b .

Из равенства a 2 +b 2 +2*a*b=c 2 +2*a*b следует, что с 2 =а 2 +Ь 2 .
ч.т.д.

Доказательство №3

Пусть ΔАВС - данный прямоугольный треугольник с прямым углом С . Проведем высоту CD из вершины прямого угла С .

По определению косинуса угла(Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе)соsА=AD/AC=AC/AB . Отсюда AB*AD=AC 2 . Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB . Отсюда AB*BD=ВС 2 . Складывая полученные равенства почленно и замечая, чтоAD+DB=AB , получим: АС 2 +ВС 2 =АВ(AD + DB)=АВ 2 . Теорема доказана .

Доказательство №4

Площадь прямоугольного треугольника:S=½*a*b или S=½(p*r) (для произвольного треугольника);
p - полупериметр треугольника; r - радиус вписанной в него окружности.
r = ½*(a + b - c) - радиус вписанной в любой треугольник окружности.
½*a*b = ½*p*r = ½(a + b + c)*½(a + b - c) ;
a*b = (a + b + c)*½(a + b - c) ;
a + b=x ;
a*b = ½(x + c)*(x - c)*a*b = ½(x 2 -c 2)
a*b = ½(a 2 + 2*a*b + b 2 - c 2)
a 2 + b 2 - c 2 = 0 , значит
a 2 + b 2 = c 2

Доказательство №5

Дано:ΔАВС - прямоугольный треугольникAJ - высота, опущенная на гипотенузуBCED - квадрат на гипотенузеABFH и ACKJ - квадраты построенные на катетах.

Доказать: Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (Теорема Пифагора).

Доказательство: 1. Докажем, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH , ΔABD=ΔBFS (по двум сторонам и углу между ними BF=AB; BC=BD; угол FBS=ABD ).Но! S ΔABC =½S BJLD , т.к. у ΔABC и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD . Аналогично S ΔFBS =½S ABFH (BF -общее основание, AB - общая высота). Отсюда, учитывая, что S ΔABD = S ΔFBS , имеем: S BJLD =S ABFH . Аналогично, используя равенство треугольника ΔBCK и ΔACE , доказывается, что S JCEL =S ACKG . Итак, S ABFH +S ACKJ =S BJLD + S BCED .

В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики. Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой. Рассмотрим несколько элементарных примеров таких задач, в которых при решении применяется теорема Пифагора.

Строительство

Окно

В зданиях готического и ромaнского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b ) для наружных дуг и половине ширины (b/2 ), для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4 . А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоватися вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.

В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4 . Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p , один катет равен b/4 , а другой b/2-p .

По теореме Пифагора имеем:
(b/4+p)=(b/4)+(b/4-p)
или
b/16+ b*p/2+p=b/16+b/4-b*p+p ,
откуда
b*p/2=b/4-b*p .
Разделив на b и приводя подобные члены, получим:
(3/2)*p=b/4, p=b/6 .

Крыша

В доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м, и AB=BF.
Решение:
Треугольник ADC - равнобедренный AB=BC=4 м , BF=4 м Если предположить, что FD=1,5 м , тогда:
А) Из треугольника DBC: DB=2,5м

Б) Из треугольника ABF :

Молниеотвод

Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.
Решение:
По теореме Пифагора h 2 ≥ a 2 +b 2 , значит h ≥ (a 2 +b 2) ½ .
Ответ: h ≥ (a 2 +b 2) ½

Астрономия

На этом рисунке показаны точки A и B и путь светового луча от A к B и обратно. Путь луча показан изогнутой стрелкой для наглядности, на самом деле, световой луч - прямой.

Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и обратно одинаковый путь, спросим сразу: чему равна половина пути, который проходит луч? Если обозначить отрезок AB символом l , половину времени как t , а также обозначив скорость движения света буквой c , то наше уравнение примет вид

c * t = l

Очевидно? Это ведь произведение затраченного времени на скорость!

Теперь попробуем взглянуть на то же самое явление из другой системы отсчета, с другой точки зрения, например, из космического корабля, пролетающего мимо бегающего луча со скоростью v . Раньше мы поняли, что при таком наблюдении скорости всех тел изменятся, причем неподвижные тела станут двигаться со скоростью v в противоположную сторону. Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки, между которыми бегает зайчик, станут двигаться вправо с той же скоростью. Причем, в то время, пока зайчик пробегает свой путь, исходная точка A смещается и луч возвращается уже в новую точку C .

Вопрос: на сколько успеет сместится точка (чтобы превратиться в точку C), пока путешествует световой луч? Точнее, опять спросим о половине данного смещения! Если обозначить половину времени путешествия луча буквой t" , а половину расстояния AC буквой d , то получим наше уравнение в виде:

v * t" = d

Буквой v обозначена скорость движения космического корабля. Опять очевидно, не правда ли?

Другой вопрос: какой путь при этом пройдет луч света? (Точнее, чему равна половина этого пути? Чему равно расстояние до неизвестного объекта?)

Если обозначить половину длины пути света буквой s , то получим уравнение:

c * t" = s

Здесь c - это скорость света, а t" - это тоже самое время, которые мы рассматривали на формулы выше.

Теперь рассмотрим треугольник ABC . Это равнобедренный треугольник, высота которого равна l . Да-да, тому самому l , которое мы ввели при рассмотрении процесса с неподвижной точки зрения. Поскольку движение происходит перпендикулярно l , то оно не могло повлиять не нее.

Треугольник ABC составлен из двух половинок - одинаковы прямоугольных треуголников, гипотенузы которых AB и BC должны быть связаны с катетами по теореме Пифагора. Один из катетов - это d , которое мы рассчитали только что, а второй катет - это s , который проходит свет, и который мы тоже рассчитали.
Получаем уравнение:

s 2 = l 2 + d 2

Это ведь просто теорема Пифагора, верно?

В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку, это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли (открыл на Марсе каналы которые долгое время считались исскуственными) и др. Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора.

Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

Мобильная связь

В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу: какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например радиусе R=200 км?, если известно. что радиус Земли равен 6380 км.)
Решение:
Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км.
OB = OA + AB
OB = r + x
Используя теорему Пифагора, получим ответ.
Ответ: 2,3 км.

Вступление

Многие при имени Пифагор вспоминают его теорему. Но неужели мы можем встречать эту теорему только в геометрии? Нет, конечно, нет! Теорема Пифагора встречается в разных областях наук. Например: в физике, астрономии, архитектуре и в других. Но так же Пифагор и его теорема воспеты в литературе.

Существуют много легенд, мифов, рассказов, песен, притчей, небылиц, анекдотов, частушек об этой теореме. Ниже приводятся примеры каждого вида, перечисленного здесь…

Одним из основателей многих наук, учений и понятий является Пифагор. Биография его полна тайн, и известна даже профессиональным историкам не досконально. Ясно только, что основные факты его жизни были закреплены на бумаге его же учениками, которые находились в разных концах света. Биография Пифагора кратко изложена нами в данной статье.

Начало жизненного пути

Биография Пифагора начинается в 570 году (дата приблизительная), в городе Сидоне (ныне Сайда, Ливан). Он родился в семье зажиточного ювелира, который смог дать самое лучшее воспитание и знания своему сыну. Интересным фактом является происхождение имени будущего мудреца. Его отец, Мнесарх, назвал сына в честь одной из жриц Аполлона, Пифии. Также в честь нее он назвал и свою жену - Пифазис. А все так сложилось потому, что именно эта жрица предсказала Мнесарху, что у него родится сын, который превзойдет каждого другого человека и по красоте, и по своему уму.

Первые знания и учителя

Ранние годы ученого, как повествует биография Пифагора, проходили в стенах лучших храмов Греции. Еще в подростковом возрасте он пытался узнать как можно больше, читая работы других мудрецов, а также беседуя с духовными учителями. Среди них стоит выделить Ферекида Сиросского - величайшего древнегреческого космолога. Он помогает молодому Пифагору изучить математику, физику, астрономию. Также на долю Пифагора выпало общение с Гермодамантом, который научил его любить поэзию и все, что связано с искусством.

Познавательные путешествия

В дальнейшие годы биография Пифагора складывается из его жизненного опыта уже на чужих землях. Сначала он отправляется в Египет, где погружается в местную мистерию. Позже в этой стране он открывает свою школу, где можно было обучиться математике и философии. За те 20 лет, которые он провел в Египте, у него собралось множество учеников-сторонников, которые именовали себя пифагорейцами. Стоит также отметить, что в этот период он вводит такое понятие, как философ, и именует себя этим словом. Дело в том, что ранее все великие люди звали себя мудрецами, что означало «знает». Пифагор же ввел термин «философ», который переводился как «пытается узнать».

После своих научных открытий, которые были сделаны в Египте, Пифагор отправляется в Вавилон, где проводит 12 лет. Там он изучает восточные религии, их особенности, сопоставляет развитие науки и искусств в странах Месопотамии и Греции. После этого он возвращается в Восточное Средиземноморье, только теперь - на берега Финикии и Сирии. Он проводит там совсем немного времени, и после этого заново пускается в путешествие, только уже более далекое. Пересекая страну Ахименидов и Мидию, философ попадает в Индостан. Получая знания о совсем иной религии и быте, он еще больше расширяет свой кругозор, что дает ему возможность совершать новые открытия в науке.

Биография Пифагора: его последние годы

В 530 году до н.э. Пифагор оказывается в Италии, где открывает новую школу под названием «Пифагорейский союз». Учиться там может лишь тот, кто имеет за спиной достаточный багаж знаний. На уроках в этом заведении Пифагор рассказывает своим ученикам о тайнах астрономии, обучает математике, геометрии, гармонии. В 60-ти летнем возрасте он женится на одной из своих учениц, и у них рождается трое детей.

Приблизительно в 500 году до н.э. по отношению к пифагорейцам начинаются гонения. Как гласит история, они были связаны с тем, что сам философ предпочел не брать в ряды своих учеников сына одного уважаемого гражданина. После многочисленных бунтов он исчез.

Образование Пифагора

Как известно Пифагор получил хорошее образование. Для этого в совсем юном возрасте он отправился в Египет, заручившись поддержкой самосского правителя Поликарта. Там он провел 22 года, постигая мудрости древних Египтян и перенимая их научный опыт накопленный, годами. Затем, по приданию он перебирается в древний Вавилон, где в течение 12 лет изучает мудрости местных жрецов и ученых. Также Пифагору, по некоторым источникам, приписывают и посещение Индии. Возвращение на родину великого мыслителя состоялось в 530 году до нашей эры . Но родной Самос не принял его в свои объятия, и Пифагор переселяется в греческую колонию в Италии, местечко под названием Коротон. Здесь он организует собственную школу, которая существует на протяжении 30 лет. Это заведение объединяло в себе три различных направления, философское, политическое и религиозное и имела название Пифагорского союза. Школа имела свои суровые правила. Так, при вступлении в нее необходимо было отказаться от всего своего имущества в пользу школы. Члены этого союза не имели права употреблять в пищу мяса, проливать, чью-либо кровь и свято хранить тайна своего наставника. Также они не могли, занимается научной деятельностью на платной основе.

Философские взгляды Пифагора

В своей философии Пифагор придерживался идеализма. Он являлся приверженцем рабовладельческого строя и вставал на защиту аристократии. Скорее всего, из-за этих принципов он и был вынужден покинуть родной остров, так как в подавляющем большинстве правители Самоса склонялись к демократическому устою общественных отношений.

Его школа придерживалась тех же взглядов. Пифагор учил, что во главе порядка должна стоять аристократия, а все проявления демократического строя строго осуждал.

Пифагор первым сумел дать название такому предмету, как философия. Он трактовал его как космос. Такое его учение предусматривало познание мира через научный подход и религиозный образ жизни. Он утверждал, что для полного познания мира человеку необходимо изучать такие науки, как геометрию, алгебру, астрономию и музыку.

Деятельность Пифагора

Пифагор большое количество времени посвящал изучению медицины, политике, этике, математике и другим наукам. Из-под его крыла выходили великие общественные, политические и научные деятели. Он также занимался различного рода исследованиями.

Пифагор как проповедник

В античном мире Пифагор занял нишу популярного проповедника. Преимущественно он продвигал в массы свое собственное видение мира и имел большое количество весьма высокопоставленных последователей. Сущность его проповедей заключалась в реинкарнации, то есть в бессмертность души человеческой. После смерти тела душа способна переселится в другую оболочку для существования. Переселится, душа способна даже в тело животного. Поэтому Пифагор и его ученики полностью отвергали употребления мяса в пищу. По его мнению, бесконечный процесс реинкарнации можно прервать только методом полного очищения души и тела. Очищение происходит посредством воздержания от всякого рода излишеств, такого, как пьянство, сквернословие, соблюдения правил поведения и этикета. Наивысшей же формой очищения считалось постижение внутренней философии мира. Приверженцы его проповедей, вдохновленные речами учителя, сумели организовать собственный орден. Эта религиозная ячейка разрослась по всему Коротону и практически правила данным островом. Она включала в себя огромное число последователей. Все последователи Пифагора огромное внимание уделяли такому понятию, как дружба. Со своими друзьями пифагорейцами они разделяли все свои богатства.

Музыкальная деятельность

В этом направлении великий деятель развил свою собственную теорию акустики и музыки. Он занимался изучением музыкальных тонов и их числовом выражение в математике. Также первые предположение о форме земной поверхности были высказаны в его школе.

Пифагор и геометрия

Научная деятельность Пифагора неоценима для развития геометрии как науки. Одна из доказанных им теорем получила название «теоремы Пифагора». Также большое внимание мыслитель уделял математике и особенно различным соотношениям чисел. Он пытался познать сущность бытия с их помощью.

Его школа учила тому, что весь окружающий человека мир состоит из мельчайших частиц под названием единицы бытия. Эти частицы в определенных сочетаниях образуют различные геометрические фигуры и определяются числовым выражением. Числом Пифагор объяснял и суть появления материи и вселенной. Позднее приверженцы его школы, благодаря своим работам положили знания в основу возникновения такой отрасли математики, как теория чисел.

С ростом демократического движения по всей Греции школа Пифагора попадает под немилость народа. В результате этого философ вынужден покинуть Коротон и поселится в Метапонте.

Личная жизнь Пифагора

Пифагор, как и большинство граждан Греции, имел семью, состоящую из жены Феаны и двух детей, дочери и сына.

Смерть Пифагора

В результате демократического движения в местечке, где жил ученый, произошло восстание. Стычки прокатились по всему Метапонту. В одной из них и погиб, по некоторым данным, в девяностолетнем возрасте Пифагор. Его смерть в прекратила и существование образованной им школы.

После своей смерти великий философ оставил огромное количество знаний, которые впоследствии легли в основу некоторых научных достижений и работ. Так, например, Эвклид использовал наработки Пифагора в своих трудах. Его труды в своей деятельности также использовал Сократ и его знаменитые последователи Платон и Аристотель. Также многие труды Пифагора оказались ошибочными, что еще раз подтверждает его способность к развитию мысли и предположений, а значит, и в способности обоснования любого проявления природы и человеческой деятельности.