Для решения задач по геометрии, связанных с треугольниками, важно усвоить одну простую, но важную истину. Существует третий признак равенства треугольников («по трем сторонам»), из которого следует, что не существует двух различных треугольников с одинаковыми сторонами. Следовательно, зная длины всех сторон треугольника, можно узнать об этом треугольнике все, что нужно. В том числе длины его медиан, биссектрис и высот. Разберем более подробно, каким образом это можно сделать.

Теорема о длине высоты треугольника

Для нахождения длины высоты треугольника можно расписать его площадь двумя способами. Во-первых, используя формулу Герона, во-вторых, как половину произведения высоты на основание, к которому проведена данная высота.

здесь — полупериметр треугольника.

Из сравнения данных формул находим:

Отметим, что это лишь один из способов нахождения длины высоты треугольника по его сторонам, который удобен далеко не всегда. Существует огромное множество альтернативных способов, с которыми читатель может ознакомиться в предыдущих уроках.

Решение. Треугольник BOA на рисунке является равнобедренным, поэтому ∠ OAH = ∠ OBH = 30° (катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы). Тогда ∠ BOA и соответствующая дуга окружности, на которую он опирается, равны по 120°. Тогда дуга, на которую опирается ∠ BCA, равна 240°, а значит сам угол ∠ BCA = 120°.

Площадь треугольника ABC находим по формуле: Длину стороны AB находим по теореме косинусов для треугольника ABC , она равна . С другой стороны, площадь треугольника есть половина произведения высоты на основание, к которому данная высота проведена. Отсюда выражаем требуемую длину высоты что меньше Случай с остроугольным треугольником ABC не подходит. Проверьте самостоятельно.

Задача для самостоятельного решения №1. В остроугольном треугольнике ABC BC = a , AC = b , ∠ ACB равен α . Найти высоту CD и ∠ ABC .

Ответ:

Теорема о длине медианы треугольника

Медиана треугольника определяется через три его стороны по формуле:

где a , b , c — стороны треугольника, m a — медиана, проведенная к a . С доказательством этого утверждения интересующийся читатель может ознакомиться в видеоуроке.

Решение. Из анализа условия задачи делаем вывод, что ∠ A — тупой. Действительно, ведь сумма всех углов в треугольнике равна 180°. Находим по теореме Пифагора длину HA = 1. Далее по теореме Пифагора находим длину HM = 2. Следовательно, AM = HM — HA = 1. При этом AM = MC = 1 (т. к. BM — медиана). Итак, HC = HA + AM + MC = 3. Следовательно, по теореме Пифагора BC = . Прямой подстановкой убеждаемся в справедливости ранее полученной формулы для длины медианы треугольника.

Задача для самостоятельного решения №2. В треугольнике ABC медианы, проведенные к сторонам AC и BC , пересекаются под прямым углом. Известно, что AC = b , BC = a . Найдите длину стороны AB .

Ответ:

Теорема о длине биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы треугольника определяется по следующей формуле: где — биссектриса, проведенная к стороне — отрезки, на которые биссектриса делит сторону прилежащую к сторонам и соответственно. С доказательством этого утверждения интересующийся читатель может ознакомиться в видеоуроке.

Решение. Найдем сперва длины отрезков CL и LA . Используем для этого свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса треугольника разбивает противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. То есть CL : CB = LA : BA или CL : 4 = LA : 8. Учитывая также, что CL + LA = 9, получаем, что CL = 3, LA = 6. По доказанной ранее теореме, длину биссектрисы BL можно найти по следующей формуле: BL 2 = CB · BA — CL · LA = 4·8 — 3·6 = 14. Итак, BL =

Задача для самостоятельного решения №3. В треугольнике ABC сторона AB равна 21, биссектриса BD равна а отрезок DC равен 8. Найти периметр треугольника ABC .

Если выпускник планирует сдавать ЕГЭ по математике базового уровня и при этом стремится получить конкурентные баллы, ему непременно следует научиться решать задачи, в которых требуется найти высоту треугольника. Подобные планиметрические задания из года в год встречаются в аттестационном испытании. Это означает, что справляться с задачами ЕГЭ, в которых искомой величиной является высота треугольника, должны школьники с любым уровнем подготовки.

Полезная информация

Задачи ЕГЭ, требующие найти угол между высотой и медианой или другую величину треугольника, зачастую можно решить, вспомнив основные понятия из базового школьного курса. При этом рекомендуется следовать определенному алгоритму. Вначале сделайте чертеж. Затем нанесите на него все известные данные согласно условию. После этого стоит определить все геометрические понятия (биссектриса, медиана треугольника и т. д.), которые известны и которые необходимо найти в задании ЕГЭ. Выполнив это, вспомните относящиеся к ним теоремы и отразите на чертеже все соотношения между элементами, которые из них следуют логически. Приведем пример. Если в задаче ЕГЭ встречается понятие «биссектриса угла треугольника», стоит вспомнить его определение и основные свойства, после чего найти и отразить на сделанном чертеже равные или пропорциональные отрезки и углы.

Как подготовиться к экзамену?

Задания в ЕГЭ на нахождение угла между биссектрисами треугольника, а также на вычисление вызывают у вас затруднения? Образовательный портал «Школково» поможет вам в решении этой проблемы. С нами вы сможете повторить материал по темам, которые являются для вас сложными. Наши специалисты собрали и изложили всю теоретическую информацию в максимально доступной и понятной форме.

Для каждого задания на портале вы найдете правильный ответ и описание алгоритма решения. Практиковаться можно как с простыми упражнениями, так и с более сложными. Тренироваться в решении задач на нахождение угла между биссектрисой и медианой треугольника, которые встречаются в ЕГЭ, выпускники могут в режиме онлайн, находясь в любом регионе России. Справившись в заданием, учащиеся имеют возможность сохранить его в разделе «Избранное», а затем при необходимости обсудить его с преподавателем в школе или репетитором.

Теорема о биссектрисе треугольника:
Биссектриса треугольника делит его сторону на
части, пропорциональные двум другим сторонам
А
1
В
ДС
ВД
=
АС
АВ
2
D
С
)

Свойство медианы, которое существенно облегчит решение многих задач, заключается в следующем: если в треугольнике провести медианы из каждого угла, то все они, пересекаясь в одной точке, будет делиться в соотношении 2:1. Соотношение следует отсчитывать от вершины угла.

Медиана имеет свойство разделять все поровну. Например, любая медиана делит треугольник на два других, равных по своей площади. А если провести все три медианы, то в большом треугольнике получится 6 маленьких, также равных по площади. Такие фигуры (с одинаковой площадью) называются равновеликими.

Биссектриса

В треугольнике биссектрисой называют отрезок, который лежит на луче биссектрисы угла и соединяет вершину с противолежащей стороной. Точка пересечения со стороной делит ее на отрезки, отношение которых равно отношению прилежащих к ним сторонам.

Если в треугольник вписать окружность, то ее центр будет совпадать с точкой пересечения всех биссектрис данного треугольника. Это свойство имеет отражение и в стереометрии - там роль треугольника играет пирамида, а окружности - шар.

Высота

Если высота проведена в прямоугольном треугольнике, то, касаясь противоположной стороны, она делит весь треугольник на два других, которые в свою очередь подобны первому.

Нередко понятие перпендикуляра применяется в стереометрии, чтобы определить взаиморасположения прямых в разных плоскостях и расстояние между ними. В этом случае отрезок, выполняющий функцию перпендикуляра, должен иметь прямой угол с обеими прямыми. Тогда числовое значение данного отрезка будет показывать расстояние между двумя фигурами.

Треугольник – многоугольник с тремя сторонами, или замкнутая ломаная линия с тремя звеньями, или фигура, образованная тремя отрезками, соединяющими три точки, не лежащие на одной прямой (см. рис. 1).

Основные элементы треугольника abc

Вершины – точки A, B, и C;

Стороны – отрезки a = BC, b = AC и c = AB, соединяющие вершины;

Углы – α , β, γ образованные тремя парами сторон. Углы часто обозначают так же, как и вершины, – буквами A, B и C.

Угол, образованный сторонами треугольника и лежащий в его внутренней области, называется внутренним углом, а смежный к нему является смежным углом треугольника (2, стр. 534).

Высоты, медианы, биссектрисы и средние линии треугольника

Кроме основных элементов в треугольнике рассматривают и другие отрезки, обладающие интересными свойствами: высоты, медианы, биссектрисы исредние линии.

Высота

Высоты треугольника – это перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника на противоположные стороны.

Для построения высоты необходимо выполнить следующие действия:

1) провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника (в случае, если проводится высота из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике);

2) из вершины, лежащей напротив проведенной прямой, провести отрезок из точки к этой прямой, составляющий с ней угол 90 градусов.

Точка пересечения высоты со стороной треугольника называется основанием высоты (см. рис. 2).

Свойства высот треугольника

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному треугольнику.

В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.

Если треугольник остроугольный, то все основания высот принадлежат сторонам треугольника, а у тупоугольного треугольника две высоты попадают на продолжение сторон.

Три высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке и эту точку называют ортоцентром треугольника.

Медиана

Медианы (от лат. mediana– «средняя») – это отрезки, соединяющие вершины треугольника с серединами противолежащих сторон (см. рис. 3).

Для построения медианы необходимо выполнить следующие действия:

1) найти середину стороны;

2)соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком.

Свойства медиан треугольника

Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.

Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Биссектриса

Биссектрисами (от лат. bis – дважды» и seko – рассекаю) называют заключенные внутри треугольника отрезки прямых, которые делят пополам его углы (см. рис. 4).

Для построения биссектрисы необходимо выполнить следующие действия:

1) построить луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части (биссектрису угла);

2) найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной;

3) выделить отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне.

Свойства биссектрис треугольника

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.

Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Это точка называется центром вписанной окружности.

Биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны.

Если биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противолежащей стороны, то ADBD=ACBC.

Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка - центр одной из трех вневписанных окружностей этого треугольника.

Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника.

Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой.