Для практических расчетов электрических цепей разработаны методы, позволяющие уменьшить количество решаемых уравнений в сравнении с системой уравнений по законам Кирхгофа. Рассмотрим эти методы.
а) Метод узловых потенциалов. Метод двух узлов.
Количество уравнений по методу узловых потенциалов определяется количеством уравнений по первому закону Кирхгофа для рассматриваемой электрической цепи. В соответствии с данным методом, необходимо сначала определить потенциалы всех узлов электрической цепи, а затем с помощью закона Ома определить токи в ветвях. При этом один из узлов электрической схемы, который называют опорным , заземляется, его потенциал становится равен нулю. Узел для заземления выбирается произвольно. Удобно заземлять узел, номер которого имеет наибольшее значение в заданной электрической цепи.
Система уравнений по методу узловых потенциалов в виде матрицы будет иметь столько строк и столбцов, столько уравнений необходимо записать по первому закону Кирхгофа для рассматриваемой электрической цепи. Если в электрической цепи имеется ветвь содержащая только идеальный источник ЭДС. Тогда удобно пронумеровать узлы электрической цепи так, чтобы номер узла с наибольшим значения в заданной электрической цепи, оказался в узле от которого отходит источник ЭДС. Этот узел принимают за опорный и заземляют. Тогда потенциал узла, в который входит источник ЭДС, будет известным и равным величине ЭДС источника.
Рассмотрим использование метода узловых потенциалов на примере.
Пример.
Метод узловых потенциалов целесообразно применять, когда количество уравнений по первому закону Кирхгофа для электрической цепи получается меньше чем по второму. На рисунке 2.1 представлена электрическая цепь, отвечающая указанным требованиям.
Рисунок 2.1 – Схема электрической цепи для расчета по методу узловых потенциалов
Представленная схема содержит 8 ветвей, 2 из которых содержат источники тока, следовательно, количество уравнений по второму закону Кирхгофа равно: 8 – 2 – 3 = 3 уравнения.
В заданной цепи четыре узла, следовательно, по первому закону Кирхгофа необходимо записать 4 – 1 = 3 уравнения, причем имеется ветвь, содержащая только идеальный источник ЭДС . В этом случае узел, от которого отходит источник ЭДС , пронумеруем цифрой 4 и примем его за опорный, потенциал которого равен нулю . Обозначим заземление у φ 4 на расчетной схеме. Потенциал узла, в который входит источник ЭДС , будет известным и равным величине ЭДС источника .
Таким образом, остается два неизвестных потенциала и , для их нахождения используем систему из двух уравнений:
где – собственные проводимости узлов 1, 2, …, S , соответственно, которые определяются как сумма проводимостей ветвей, присоединенных к соответствующему узлу. Для рассматриваемой цепи ; . В системе уравнений (2.1) у собственных проводимостей узлов по главной диагонали матрицы будут всегда стоять знаки «плюс». Если будет задана такая электрическая цепь, для которой по первому закону Кирхгофа необходимо будет записать другое количество уравнений, то система уравнений (2.1) должна состоять из строк и столбцов, количество которых определяется количеством уравнений по первому закону Кирхгофа.
– сумма проводимостей ветвей, соединяющих узел S с узлом N , всегда в системе уравнений (2.1) берется со знаком «минус». Для рассматриваемой цепи сумма проводимостей ветвей между узлами 1 и 2, а, следовательно, 2 и 1, является . Сумма проводимостей ветвей между узлами 1 и 3, равна нулю, следовательно . Сумма проводимостей ветвей между узлами 2 и 3 .
Где – алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей, примыкающих к узлу S , на их проводимости; при этом со знаком «плюс» берутся те произведения, в ветвях которых ЭДС действуют в направлении узла S , и со знаком «минус», – в направлении от узла S ;
– алгебраическая сумма источников тока, присоединенных к узлу S , знак перед определяется согласно правилу, указанному выше. В нашем случае , .
Таким образом, в новых обозначениях система уравнений 2.1 примет следующий вид
Решив полученную систему (2.2) относительно и , считая известным , найдем токи в ветвях электрической цепи.
Токи в ветвях электрической цепи определяются по закону Ома через полученные при решении системы (2.2) потенциалы:
Метод двух узлов (частный случай метода узловых потенциалов).
Встречаются электрические цепи у которых всего два узла рисунок 2.2. Для расчета токов в такой цепи наиболее рациональным методом расчета является метод двух узлов.
Рисунке 2.2 – Схема электрической цепи, содержащей два узла
Рассмотрим использование метода двух узлов на примере.
Пример .
Для электрической цепи (рисунок 2.2) по методу узловых потенциалов запишем следующее выражение:
Запишем получившееся выражение для напряжения :
Выражение (2.3) принято называть методом двух узлов .
Токи в ветвях электрической цепи, определяются по закону Ома следующим образом:
б) Метод контурных токов и эквивалентного генератора.
Метод контурных токов также позволяет уменьшить количество решаемых уравнений в сравнении с системой уравнений по законам Кирхгофа. Количество уравнений по методу контурных токов определяется числом уравнений по второму закону Кирхгофа для рассматриваемой электрической цепи. Метод основывается на том свойстве, что ток в любой ветви может быть представлен в виде алгебраической суммы независимых контурных токов, протекающих по этой ветви. В соответствии с данным методом необходимо выбрать контурные токи таким образом, чтобы каждый из них проходил через один источник тока, а оставшиеся контурные токи выбирать проходящими по ветвям, не содержащим источники тока.
Система уравнений по методу контурных токов в виде матрицы будет иметь столько строк и столбцов, столько уравнений необходимо записать по второму закону Кирхгофа для рассматриваемой электрической цепи. Если в электрической цепи имеется источник тока, то добавится столбец в систему уравнений, если два, то два столбца и т.д.
Рассмотрим использование метода контурных токов на примере.
Пример.
Метод контурных токов целесообразно применять, когда в количество уравнений по второму закону Кирхгофа для электрической цепи получается меньше чем по первому. На рисунке 2.3 представлена электрическая цепь, отвечающая указанным требованиям.
Рисунок 2.3 – Схема электрической цепи для расчета по методу контурных токов
Решение.
В этой цепи четыре узла, следовательно, по первому закону Кирхгофа необходимо записать 4 – 1 = 3 уравнения. Рассматриваемая схема содержит семь ветвей, две из которых с источниками тока, следовательно, по второму закону Кирхгофа количество уравнений равно: 7 – 2 – 3 = 2. Для заданной схемы направления обхода контурных токов , , , взяты по часовой стрелке, причем , т.к. обход контура не совпадает с направлением тока источника тока; , т.к. обход контура совпадает с направлением тока источника тока. Таким образом, контурные токи и считаются известными. Следовательно, остается два неизвестных контурных тока ( и ), для их нахождения используем систему из двух уравнений:
где – собственное сопротивление контура m (сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в контур m ). Для рассматриваемой цепи ; . В системе уравнений (2.4) у собственных сопротивлений контуров по главной диагонали матрицы будут всегда стоять знаки «плюс». Если будет задана такая электрическая цепь, для которой по второму закону Кирхгофа необходимо будет записать другое количество уравнений, тогда и количество уравнений в системе (2.4) изменится. Количество строк в системе (2.4) определяется количеством уравнений по второму закону Кирхгофа, а количество столбцов равно сумме числа уравнений по второму закону Кирхгофа и числа источников тока.
– общее сопротивление контуров m и l , берется со знаком «плюс», если направления контурных токов в данной ветви совпадают, в обратном случае – берется знак «минус». В рассматриваемой схеме общим сопротивлением между контурами 1 и 2, а, следовательно, 2 и 1, является . Направление контурных токов в данной ветви не совпадают, следовательно, сопротивление войдет в уравнение со знаком «минус». Сопротивления между контурами 1 и 3, а также 1 и 4 равны нулю, следовательно, и . Сопротивление между контурами 2 и 3 . Направление контурных токов в данной ветви не совпадают, следовательно, сопротивление войдет в уравнение со знаком «минус». Сопротивление между контурами 2 и 4 . Направление контурных токов в данной ветви совпадают, следовательно, сопротивление войдет в уравнение со знаком «плюс».
– алгебраическая сумма ЭДС, входящих в контур m. Для данной схемы , .
Таким образом, в новых обозначениях система уравнений 2.4 примет следующий вид
Решив полученную систему (2.5) относительно и , считая и известными, найдем токи в ветвях электрической цепи.
Токи в ветвях электрической цепи, через контурные токи определяются следующим образом:
Метод эквивалентного генератора в отличие от представленных выше позволяет определить ток, только в одной выбранной ветви, путем упрощения оставшейся части электрической цепи в одноконтурную неразветвленную цепь. По отношению к выделенной ветви остальную часть цепи заменяют эквивалентным источником ЭДС – генератором. ЭДС этого генератора равна напряжению холостого хода на зажимах выделенной части цепи, к которым будет подключаться ветвь с определяемым током. Внутреннее сопротивление генератора будет равна входному сопротивлению по отношению к зажимам выделенной ветви.
Последовательность расчета по методу эквивалентного генератора.
1. Выделить в расчетной цепи ветвь, ток которой необходимо определить. Остальную часть схемы представить в виде источника ЭДС и внутреннего сопротивления. Выбрать положительное направление тока в ветви.
2. Отсоединив выделенную ветвь, определить любым из ранее изученных методов напряжение на зажимах оставшейся части схемы, к которым будет подключаться ветвь с определяемым током.
3. Определить эквивалентное входное сопротивление по отношению к зажимам выделенной ветви. При этом источники энергии заменить их внутренними сопротивлениями и считать сопротивления источников ЭДС равными нулю, а сопротивления источников тока равными бесконечности.
4. Определить по закону Ома ток в полученной неразветвленной цепи:
где , – параметры ветви с искомым током.
Пример.
Рассмотрим использование метода эквивалентного генератора для электрической цепи, представленной на рисунке 2.4.
Рисунок 2.4 – Схема электрической цепи для расчета по методу эквивалентного генератора
При расчетах необходимо определить ток в третьей ветви. Все параметры элементов электрической цепи, и ее топология считаются известными.
Решение.
1. Выделим в расчетной цепи ветвь с током , который будем определять. Остальную часть схемы представим в виде источника ЭДС напряжением и внутренним сопротивлением (рисунок 2.5). Выберем положительное направление тока в третьей ветви.
Рисунок 2.5 – Эквивалентная схема замещения
3. Отсоединим третью ветвь и определим любым из ранее изученных методов напряжение на зажимах оставшейся части схемы (рисунок 2.6).
Рисунок 2.6 – Схема электрической цепи для расчета по методу эквивалентного генератора
После отключения третьей ветви три электрическая цепь распадается на две независимые. Одна с источником ЭДС , другая источником тока . В таком случае найти напряжение можно по закону Ома. Условно заземлим узел 3, тогда .
Найдем потенциал точки 1 через потенциал узла 3
Потенциал точки 2 через потенциал точки 3
Таким образом,
4. Определим эквивалентное входное сопротивление по отношению к зажимам выделенной ветви. При этом источники энергии заменим их внутренними сопротивлениями и считаем сопротивления источников ЭДС равными нулю, а сопротивления источников тока равными бесконечности
5. Определим по закону Ома ток в третьей ветви:
в) Метод наложения.
Метод наложения применим только для расчета линейных цепей, параметры элементов которых не зависят от значений протекающего тока или приложенного напряжения. Для расчетов цепей методом наложения составляют столько частных схем, сколько независимых источников энергии имеет исходная цепь. В частной схеме оставляется только один источник, все остальные заменяют их внутренними сопротивлениями. Результирующий ток ветви равен алгебраической сумме частных токов, вызванных действием каждого источника в отдельности. При исключении идеальных источников напряжения вместо источника ставится короткозамкнутая перемычка, что соответствует ЭДС, равной нулю при нулевом внутреннем сопротивлении. Ветвь с источником тока, наоборот, размыкается, что соответствует нулевому току при нулевой проводимости.
При расчете частных схем токи, протекающие в ветвях, обозначают двумя индексами. Нижний индекс показывает номер ветви, в которой определяют ток, а верхний – номер источника, действием которого вызывается ток. Например, − ток первой ветви, вызываемый действием второго источника. При расчете частных схем часто приходится рассчитывать токи в параллельных ветвях и (см. практическое занятие 1).
Рассмотрим использование метода наложения на примере.
Пример.
Методом наложения целесообразно пользоваться при расчетах электрической цепи, в которой содержащих один или два, в крайнем случае, три источника электрической энергии. На рисунке 2.7 представлена электрическая цепь с двумя источниками энергии, отвечающая указанным требованиям.
Рисунок 2.7 – Схема электрической цепи для расчета по методу наложения
Для нахождения токов в схеме рисунка 2.7 методом наложения определяют токи в частных схемах, приведенных на рисунках 2.8 и 2.9.
Рисунок 2.8 Рисунок 2.9
Для схемы рисунка 2.8:
Для схемы рисунка 2.9:
Следует отметить, что при действии в электрической схеме одного источника электрической энергии, как показано рисунках 2.8 и 2.9, в ветвях схемы текут частичные токи. Их направление обусловлено направлением действующего в электрической цепи источника электрической энергии. Так, на рисунке 2.8 направление тока обусловлено направлением источника ЭДС . Из рисунка 2.8 видно, что ток подтекает к узлу 1, в котором он разделяется на ток и ток , после чего эти токи подтекают к узлу 2, где они снова объединяются в ток . На рисунке 2.9 направление токов , , , обусловлено направлением источника тока .
Таким образом, токи в исходной электрической цепи, определятся на основе частичных токов следующим образом:
Знак «минус» стоит у первого и третьего тока, так как их частичные токи при действии двух источников энергии имеют разные направления. Частичные токи второго и четвертого тока имеют одинаковые направления, поэтому в уравнениях результирующего тока стоит знак «плюс».
Выводы по лекции
Для расчета токов ветвях электрицеской цепи кроме законов Кирхгофа можно применять метод узловых потенциалов, метод контурных токов, метод наложения, метод эквивалентного генератора. Число уравнений для метода узловых потенциалов такое же как по первому закону Кирхгофа, если схема содержит всего два узла можно применять метод двух узлов. Число уравнений для метода контурных токов такое же как по второму закону Кирхгофа. Метод наложения целесообразно использовать, когда в электрической цепи содержится не более трех источников электрической энергии. Если необходимо рассчитать ток в одной ветви можно использовать метод эквивалентного генератора.
Вопросы для самопроверки
1. Сформулировать основные принципы метода узловых потенциалов.
2. Каковы особенности применения метода узловых потенциалов для схем, содержащих только идеальный источник ЭДС в любой из ветвей?
3. Как найти токи в ветвях по методу двух узлов?
4. Охарактеризуйте основные этапы метода контурных токов.
5. Каковы особенности применения метода контурных токов для схем, содержащих источник тока?
6. В чем преимущества и недостатки метода наложения?
7. Изложите суть метода эквивалентного генератора?
Расчет неразветвленных цепей
Основой расчета одноконтурных (неразветвленных) электрических цепей, содержащих источники обоих видов и потребители, служат законы Ома и Кирхгофа.
Если в цепи параметры потребителей (R) и источников напряжения (Е ) заданы, то задача обычно состоит в определении тока контура. Положительное направление искомого тока выбирается произвольно и составляется уравнение:
При этом необходимо помнить, что со знаком «+» берутся ЭДС источников, которые действуют в направлении выбранного тока.
Расчет разветвленных цепей с одним источником
Разветвленную цепь с одним источником обычно упрощают, преобразуя в неразветвленную.
Смешанное соединение приемников энергии представляет собой сочетание последовательного и параллельного соединений. Общей формулы для расчета эквивалентного соединения нет, так как существует множество разнообразных схем соединения. При расчете нужно выделить в схеме участки, соединенные последовательно или параллельно и определить их эквивалентное сопротивление. Цепь постепенно упрощают, приводя к простейшему виду, и определяют токи участков с помощью закона Ома.
Пример 2
В цепи на рисунке 4 известны следующие величины:
R1 =3Ом; R2 =2Ом; R3 =24Ом; R4 =12Ом; R5 =10Ом; R6 =2Ом;
Определить эквивалентное сопротивление и токи всех участков.
Рисунок 4
Сопротивления R3 и R4 соединены параллельно. Найдем эквивалентное сопротивление и упростим схему (См. рисунок 5)
Рисунок 5
Сопротивления R2 и R3,4 соединены последовательно. Найдем эквивалентное сопротивление и упростим схему
(См.рисунок 6)
Рисунок 6
Сопротивления R2,3,4 и R5 соединены параллельно. Найдем эквивалентное сопротивление и упростим схему.
(См.рисунок 7)
Рисунок 7
Сопротивления R1,R6 и R2,3,4,5 соединены последовательно. Найдем эквивалентное сопротивление и упростим схему.
(См. рисунок 8)
Найдем силу тока в неразветвленном участке цепи
с помощью закона Ома.
Рисунок 8
Для определения токов на всех участках удобно рассмотреть схемы в обратном порядке.
Заметим, что
Найдем напряжения на этих последовательно соединенных резисторах.
Определим токи на этих участках.
Найдем напряжение на участке R3.4
Напряжения на третьем и четвертом резисторах одинаковы и равны 9,6В(участки параллельны)
Эквивалентное преобразование треугольника и звезды сопротивлений
В области электротехнических измерений широко применяется электрическая цепь с одним источником питания схема, которой представлена на рисунке 9.Особенностью этой цепи является наличие в ней соединений, называемых треугольником и звездой.
Треугольником сопротивлений называют соединение трех ветвей, образующих замкнутый контур с тремя узлами. В схеме (рисунок 9а) имеется два треугольника с сопротивлениями R1 ,R2 ,R3 и R3, R4, R5.
Звездой сопротивлений называют соединение трех ветвей, имеющих общий узел. Звезду сопротивлений образуют ветви с сопротивлениями R2 ,R3 ,R5 и R1, R3, R4.
(См. рисунок 9а)
Любой треугольник сопротивлений можно заменить эквивалентной звездой
(См. рисунок 9б). Для перехода от треугольника сопротивлений к эквивалентной звезде пользуются формулами:
В некоторых электрических цепях расчет упрощается после замены трехлучевой звезды в эквивалентный треугольник сопротивлений. При этом применяют формулы обратного преобразования:
Рисунок 9
Рисунок 9
Расчет разветвленных цепей с несколькими источниками
Если известна конфигурация сложной электрической цепи и заданы свойства всех составляющих ее элементов, то расчет такой цепи обычно сводится к определению токов в ветвях и потенциалов узлов. В отличие от рассмотренных выше случаев, разветвленная цепь с несколькими источниками требует специальных методов расчета. Следует отметить, что разветвленные цепи с одним источником так же можно рассчитывать рассмотренными ниже методами.
Метод уравнений Кирхгофа
Отыскание неизвестных величин связано с составлением и совместным решением системы уравнений, записанных по I и II законам Кирхгофа.
Алгоритм расчета.
1.Определить число узлов, ветвей и независимых контуров электрической цепи.
2.Обозначить токи ветвей и произвольно выбрать их положительное направление.
3. Для узлов составить уравнения по I закону Кирхгофа. Таких уравнений должно быть (n – 1). n-количество узлов.
4. Для каждого выбранного контура составить уравнения по II закону Кирхгофа. Таких уравнений должно быть p . р - число независимых контуров, р=m-(n-1)
5. Решить систему m уравнений (количество уравнений в системе должно совпадать с числом ветвей).
6. Проверить правильность расчета с помощью баланса мощности.
Пример3.
Определить токи в отдельных участках цепи, изображенной
на рисунке 10.
Е 1=95В, r1=1Ом,Е 2 =69В, r2=2Ом, R1=20Ом, R2 =10Ом, R3 =29Ом, R4 =5Ом, R5 =1Ом.
Решение:
1.Цепь сложная содержит два узла В и Е (n=2), три ветви ВЕ, ВБАЕ, ВГДЕ(m=3), три контура(АБВЕА, ВГДЕВ, АБВГДЕА)
Рисунок 10
2.Произвольно обозначим направление токов ветвей и направление обхода контуров.(См. рисунок 11)
3. Составим одно уравнение по I закону Кирхгофа для узла В: I1 +I2 =I3
4. Составим два уравнения по II закону Кирхгофа, т.к.р=3-(2-1).
Контур АБВЕА: Е 1- Е 2 = I1(r1 +R1 + R3)- I2(r2+R2)
Контур ВГДЕВ: Е 2 = I2(r2+R2)+ I3(R4 + R5)
5. Решим систему уравнений:
Рисунок 11
Метод контурных токов
Метод уравнений Кирхгофа (узловых и контурных уравнений) в ряде случаев приводит к сложным вычислениям. Например, при расчете цепи, содержащей пять ветвей, необходимо составить пять уравнений. Число уравнений системы можно уменьшить, применив метод контурных токов.
Метод контурных токов является одним из основных методов расчета сложных электрических цепей, которым широко пользуются на практике.
Алгоритм расчета
1 Обозначить все токи ветвей и их положительное направление.
2 Разбить схему сложной цепи на отдельные контуры- ячейки.
3 Каждому контуру приписать произвольно направленный контурный ток, одинаковый для всех участков данного контура. (Лучше выбрать всем контурным токам одно положительное направление).
4 Составить уравнения по второму закону Кирхгофа, число уравнений должно быть равно числу контурных токов.
5 Решить полученную систему уравнений относительно контурных токов, используя математические методы (метод Крамера, Гаусса и др.)
6 Определить токи ветвей через контурные токи по I закону Кирхгофа.
7 В случае необходимости, с помощью обобщенного закона Ома определить потенциалы узлов.
8 
Проверить правильность расчетов при помощи баланса мощности.
Пример 4. Рассмотрим решение предыдущей задачи методом контурных токов.
1.Выбрали направление токов ветвей
2.В данной схеме можно определить два
контура-ячейки АБВЕА, ВГДЕВ.
3.Контуру АБВЕА припишем контурный ток II , положительное направление которого совпадает с
контуру ВГДЕВ-III ,положительное направление - по часовой стрелке.
4. Составим уравнения по II закону Кирхгофа:
5.Решим систему уравнений:
Токи в крайних ветвях электрической цепи совпадают с контурными токами
I 1=I I=1А, I 3=I II=3А. Ток во внутренней ветке определим по I закону Кирхгофа
I2 = I 3 -I 1=2А
Результаты решения задачи совпали с ответом, полученным решением методом уравнений Кирхгофа.
Метод узловых потенциалов
Ток в любой ветви схемы можно найти по обобщенному закону Ома. Для того чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать значение потенциалов узлов схемы. Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов. Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по I закону Кирхгофа. Метод узловых потенциалов, как и метод контурных токов, – один из основных расчетных методов. В том случае, когда п- 1 < p (n – количество узлов, p – количество независимых контуров), данный метод более экономичен, чем метод контурных токов.
Алгоритм расчета
1. Обозначить все токи ветвей и их положительное направление.
2. Произвольно выбрать опорный узел (потенциал этого узла условно считаем равным нулю) и пронумеровать все остальные (n- 1)-e узлы.
3. Определить собственные и общие проводимости узлов, а также узловые токи, т.е. рассчитать коэффициенты в системе уравнений. Собственная проводимость узла (G ii ) представляет собой арифметическую сумму проводимостей всех ветвей, соединенных в i -ом узле.
Общая проводимость i-ого и j-ого узлов (G ij = G ji ) представляет собой взятую со знаком «–» сумму проводимостей ветвей, присоединенных одновременно к i- ому и j- ому узлам.
Проводимости ветвей с источниками тока полагаются равными нулю и в собственные и общие проводимости не входят!
Узловой ток (J ii ) состоит из двух алгебраических сумм: первая содержит токи источников тока, содержащиеся в ветвях, соединенных в i - ом узле; вторая представляет собой произведение ЭДС источников напряжения на проводимости соответствующих ветвей, соединенных в i - ом узле. Со знаком «+» в эту сумму входят E и J источников, действие которых направлено к узлу, со знаком «–» остальные.
4.Записать систему уравнений в виде
В этой системе каждому узлу соответствует отдельное уравнение.
5.Полученную систему уравнений решить относительно неизвестных (n – 1) потенциалов.
7.Проверить правильность расчетов при помощи баланса мощности.
Порядок расчета не зависит от вида источников, действующих в цепи. Но расчет упрощается в случае, когда между одной или несколькими парами узлов включены идеализированные источники ЭДС. Тогда напряжения между этими парами узлов становятся известными величинами, определенными условиями задачи. Для успешного решения подобных задач необходимо правильно обозначить опорный узел, в качестве которого может быть выбран только один из узлов, к которым присоединена ветвь с идеализированным источником ЭДС.
Если таких ветвей q , то количество уравнений в системе сократится до
k = n – 1 – q .
Пример 5. Рассчитаем электрическую цепь методом потенциалов. (См. рисунок 13)
Рисунок 13
Метод наложения
Метод наложения опирается на принцип наложения и заключается в следующем: ток или напряжение произвольной ветви или участка разветвленной электрической цепи постоянного тока определяется как алгебраическая сумма токов или напряжений, вызванных каждым из источников в отдельности.
При использовании этого метода задача расчета разветвленной электрической цепи с n источниками сводится к совместному решению n цепей с одним источником.
Алгоритм решения
1. Исходную цепь, содержащую n источников, преобразовать в n подсхем, каждая из которых содержит только один из источников, прочие источники исключаются следующим образом: источники напряжения замыкаются накоротко, а ветви с источниками тока обрываются. Внутренние сопротивления реальных источников играют роль потребителей и поэтому они должны оставаться в подсхемах.
2. Определить токи каждой из подсхем, задавшись их направлением в соответствии с полярностью источника. Расчет ведется по закону Ома с использованием метода эквивалентных преобразований пассивных цепей.
3. Полный ток в любой ветви исходной цепи определяется как алгебраическая сумма токов вспомогательных подсхем, причем при суммировании со знаком «+» берутся токи подсхем, направление которых совпадает с направлением тока в исходной цепи, со знаком «–» – остальные.
К достоинствам метода относят то обстоятельство, что расчет производится по частям, где составляющие тока и напряжения определяются довольно просто. Метод рекомендуется применять для схем, содержащих 2-3 источника.
Схема электрической цепи исходной задачи содержит два источника ЭДС, поэтому данную задачу можно решить и методом наложения токов.
1. Преобразуем схему (см. рисунок 14) так, чтобы в схеме остался один первый источник, второй источник не является идеальным, поэтому его заменяем резистором сопротивлением r2 (см. рисунок 15).
Найдем частичные токи.
Рисунок 14
Рисунок 15
2.Преобразуем схему (см. рисунок 14) так, чтобы в схеме остался один второй источник, первый источник не является идеальным, поэтому его заменяем резистором сопротивлением r1 (см. рисунок 16).
Найдем частичные токи.
Рисунок 16
Определим истинные токи:
Метод узлового напряжения
Потребители электрической энергии соединяются параллельно. Часто общая мощность включенных приемников становится больше той, которую может отдать в сеть источник энергии. В таких случаях при неизменном напряжении источники энергии включают параллельно. При этом получается цепь, которая содержит два узла. Напряжение между узлами А и Б называют узловым. Такую цепь удобно рассчитать методом узлового напряжения.
Алгоритм расчета
1. Указать направление токов на схеме (Направление токов выбрать в сторону одного из узлов).
3. Определить узловое напряжение: 
Если направление ЭДС противоположно направлению тока в ветви, она войдет в формулу со знаком минус.
4. Найти ток в ветвях:
Пример7
Задачу, рассмотренную ранее, можно решить и методом узлового напряжения.
1.Обозначим узлы А и Б на схеме. Укажем направление токов.(См. рисунок 17)
2. Рассчитаем проводимости каждой ветви:
Рисунок 17
3.Определим узловое напряжение:
4. Найдем токи ветвей:
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионально образования Пензенской области
Никольский технологический колледж имени А.Д. Оболенского
По дисциплине: «Электротехника»
На тему: «Методы расчета линейных электрических цепей постоянного тока»
Выполнил
студент 1 курса
Алехин Андрей Александрович
Никольск 2014
Введение
Общая задача анализа электрической цепи состоит в том, что по заданным параметрам (ЭДС, ТДС, сопротивлениям) необходимо рассчитать токи, мощность, напряжение на отдельных участках.
Рассмотрим более подробно методы расчета электрических цепей.
1. Метод уравнений Кирхгофа
Этот метод является наиболее общим методом решения задачи анализа электрической цепи. Он основан на решении системы уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа относительно реальных токов в ветвях рассматриваемой цепи. Следовательно, общее число уравнений равно числу ветвей с неизвестными токами. Часть этих уравнений составляется по первому закону Кирхгофа, остальные - по второму закону Кирхгофа. В схеме содержащей q узлов, по первому закону Кирхгофа можно составить q уравнений. Однако, одно из них (любое) является суммой всех остальных. Следовательно, независимых уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, будет.
По второму закону Кирхгофа должны быть составлены недостающие m уравнений, число которых равно.
Для записи уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо выбрать m контуров так, чтобы в них вошли в итоге все ветви схемы.
Рассмотрим данный метод на примере конкретной схемы (рис. 1).
Прежде всего, выбираем и указываем на схеме положительные направления токов в ветвях и определяем их число p . Для рассматриваемой схемы p = 6. Следует отметить, что направления токов в ветвях выбираются произвольно. Если принятое направление какого-либо тока не соответствует действительному, то числовое значение данного тока получается отрицательным.
Следовательно, число уравнений по первому закону Кирхгофа равно q - 1 = 3.
Число уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа
m = p - (q - 1) = 3.
Выбираем узлы и контуры, для которых будем составлять уравнения, и обозначаем их на схеме электрической цепи.
Уравнения по первому закону Кирхгофа:
Уравнения по второму закону Кирхгофа:
Решая полученную систему уравнений, определяем токи ветвей. Расчет электрической цепи не обязательно заключается в вычислении токов по заданным ЭДС источников напряжения. Возможна и другая постановка задачи - вычисление ЭДС источников по заданным токам в ветвях схемы. Задача может иметь и смешанный характер - заданы токи в некоторых ветвях и ЭДС некоторых источников. Нужно найти токи в других ветвях и ЭДС других источников. Во всех случаях число составленных уравнений должно быть равно числу неизвестных величин. В состав схемы могут входить и источники энергии, заданные в виде источников тока. При этом ток источника тока учитывается как ток ветви при составлении уравнений по первому закону Кирхгофа.
Контуры для составления уравнений по второму закону Кирхгофа должны быть выбраны так, чтобы ни один расчетный контур не проходил через источник тока.
Рассмотрим схему электрической цепи, представленную на рис. 2.
Выбираем положительные направления токов и наносим их на схему. Общее число ветвей схемы равно пяти. Если считать ток источника тока J известной величиной, то число ветвей с неизвестными токами p = 4.
Схема содержит три узла (q = 3). Следовательно, по первому закону Кирхгофа необходимо составитьq - 1 = 2 уравнения. Обозначим узлы на схеме. Число уравнений составленных по второму закону Кирхгофа m = p - (q - 1) =2.
Выбираем контуры таким образом, чтобы ни один из них не проходил через источник тока, и обозначаем их на схеме.
Система уравнений, составленная по законам Кирхгофа, имеет вид:
Решая полученную систему уравнений, найдем токи в ветвях. Метод уравнений Кирхгофа применим для расчета сложных как линейных, так и нелинейных цепей, и в этом его достоинство. Недостаток метода состоит в том, что при расчете сложных цепей необходимо составлять и решать число уравнений, равное числу ветвей p .
Заключительный этап расчета - проверка решения, которая может быть выполнена путем составления уравнения баланса мощности.
Под балансом мощностей электрической цепи понимается равенство мощностей, развиваемой всеми источниками энергии данной цепи, и мощности, потребляемой всеми приемниками той же цепи (закон сохранения энергии).
Если на участке цепи ab имеется источник энергии с ЭДС и по этому участку протекает ток, то мощность, развиваемая этим источником, определяется произведением.
Каждый из множителей этого произведения может иметь положительный или отрицательный знак относительно направления ab. Произведение будет иметь положительный знак, если знаки расчетных величин и совпадают (мощность, развиваемая данным источником, отдается приемникам цепи). Произведение будет иметь отрицательный знак если знаки и противоположны (источник потребляет мощность, развиваемую другими источниками). Примером может служить аккумулятор, находящийся в режиме зарядки. В этом случае мощность данного источника (слагаемое) входит в алгебраическую сумму мощностей, развиваемых всеми источниками цепи, с отрицательным знаком. Аналогично определяется величина и знак мощности, развиваемой источником тока. Если на участке цепи mn имеется идеальный источник тока с током, то мощность развиваемая этим источником, определяется произведением. Как и в источнике ЭДС знак произведения определяется знаками множителей.
Теперь можно записать общий вид уравнения баланса мощностей
Для цепи, представленной на рис2.2 уравнение баланса мощности имеет вид
2. Метод контурных токов
Метод контурных токов сводится к составлению уравнений только по второму закону Кирхгофа. Число этих уравнений, равное, на уравнений меньше числа уравнений, необходимых для расчета электрических цепей по методу законов Кирхгофа.
При этом предполагаем, что в каждом выбранном контуре протекает независимые друг от друга расчетные токи, называемые контурными. Ток каждой ветви определяется как алгебраическая сумма контурных токов, замыкающихся через эту ветвь, с учетом принятых направлений контурных токов и знаков их величин.
Число контурных токов равно числу «ячеек» (элементарных контуров) схемы электрической цепи. Если рассматриваемая схема содержит источник тока, то независимые контуры необходимо выбирать так, чтобы ветвь с источником тока входила только в один контур. Для этого контура расчетное уравнение не составляется, так как контурный ток равен току источника.
Каноническая форма записи уравнений контурных токов для n независимых контуров имеет вид
Контурный ток n-го контура;
Алгебраическая сумма ЭДС, действующих в n-ом контуре, называемая контурная ЭДС;
Собственное сопротивление n-го контура, равная сумме всех сопротивлений, входящих в рассматриваемый контур;
Сопротивление принадлежащие одновременно двум контурам (в данном случае контуром n и i) и называемое общим или взаимным сопротивлением этих контуров. Первым ставится индекс контура, для которого составляется уравнение. Из определения взаимного сопротивления следует, что сопротивления, отличающиеся порядком индексов, равны, т.е. .
Взаимным сопротивлением приписывается знак плюс, если протекающие по ним контурные токи и имеют одинаковые направления, и знак минус, если их направления противоположны.
Таким образом, составление уравнений контурных токов может быть сведено к записи симметричной матрицы сопротивлений
и вектора контурных ЭДС
При введении вектора искомых контурных токов || уравнения (5) можно записать в матричной форме
Решение системы линейных уравнений алгебраических уравнений (5) для тока n-го контура может быть найдено по правилу Крамера
где - главный определитель системы уравнений, соответствующий матрице контурных сопротивлений
Определитель получаем из главного определителя путем замены n-го столбца сопротивлений на столбец (вектор) контурных ЭДС.
Рассмотрим метод контурных токов на примере конкретной схемы электрической цепи (рис. 3).
Схема состоит из 3-х элементарных контуров (ячеек). Следовательно, независимых контурных токов три. Выбираем произвольно направление контурных токов и наносим их на схему. Контуры можно выбирать и не по ячейкам, но их обязательно должно быть три (для данной схемы) и все ветви схемы должны войти в состав выбранных контуров.
Для 3-х контурной схемы уравнение контурных токов в канонической форме имеют вид:
Находим собственные и взаимные сопротивления и контурные ЭДС.
Собственные сопротивления контуров
Напомним, что собственные сопротивления всегда положительные.
Определим взаимные сопротивления, т.е. сопротивления, общие для двух контуров.
Отрицательный знак взаимных сопротивлений обусловлен тем, что контурные токи, протекающие по этим сопротивлениям, противоположно направлены.
Контурные ЭДС
Подставляем значения коэффициентов (сопротивлений) в уравнения:
Решая систему уравнений (7), определяем контурные токи.
Для однозначного определения токов ветвей выбираем их положительные направления и указываем на схеме (рис. 3).
Токи ветвей
3. Метод узловых напряжений (потенциалов)
Сущность метода заключается в том, что в качестве неизвестных принимаются узловые напряжения (потенциалы) независимых узлов цепи относительно одного узла, выбранного в качестве опорного или базисного. Потенциал базисного узла принимается равным нулю, и расчет сводится к определению (q-1) узловых напряжений, существующих между остальными узлами и базисным.
Уравнения узловых напряжений в канонической форме при числе независимых узлов n=q-1 имеют вид
Коэффициент называется собственной проводимостью n-го узла. Собственная проводимость равна сумме проводимостей всех ветвей, присоединенных к узлу n .
Коэффициент
называется взаимной или межузловой проводимостью. Она равна взятой со знаком «минус» сумме проводимостей всех ветвей, соединяющих напрямую узлы i и n .
Правая часть уравнений (9) называется узловым током, Узловой ток равен алгебраической сумме всех источников тока, подключенных к рассматриваемому узлу, плюс алгебраическая сумма произведений ЭДС источников на проводимость ветви с ЭДС
При этом со знаком «плюс» слагаемые записываются в том случае, если ток источника тока и ЭДС источника напряжения направлены к узлу, для которого составляется уравнение.
Приведенная закономерность определения коэффициентов существенно упрощает составление уравнений, которое сводится к записи симметричной матрицы узловых параметров
и вектора узловых токов источников
Уравнения узловых напряжений можно записать в матричной форме
Если в какой-либо ветви заданной схемы содержатся только идеальный источник ЭДС (сопротивление этой ветви равно нулю, т.е. проводимость ветви равна бесконечности), целесообразно в качестве базисного выбрать один из двух узлов, между которыми включена эта ветвь. Тогда потенциал второго узла становится также известным и равным по величине ЭДС (с учетом знака). В этом случае для узла с известным узловым напряжением (потенциалом) уравнение составлять не следует и общее число уравнений системы уменьшается на единицу.
Решая систему уравнений (9), определяем узловые напряжения, а затем по закону Ома определяем токи в ветвях. Так для ветви, включенной между узлами m и n ток равен
При этом с положительным знаком записываются те величины (напряжения, ЭДС), направление которых совпадает с выбранным координатным направлением. В нашем случае (11) - от узла m к узлу n. Напряжение между узлами определяется через узловые напряжения
Рассмотрим метод узловых напряжений на примере электрической цепи, схема которой представлена на рис. 4.
Определяем число узлов (в данном примере число узлов q=4) и обозначаем их на схеме.
Так как схема не содержит идеальных источников напряжения, то в качестве базисного может быть выбран любой узел, например узел 4.
При этом.
Для остальных независимых узлов схемы (q-1=3) составляем уравнения узловых напряжений в канонической форме.
Определяем коэффициенты уравнений.
Собственные проводимости узлов
Взаимные (межузловые) проводимости
Определяем узловые токи.
Для 1-го узла
Для 2-го узла
Для 3-го узла
Подставив значения коэффициентов (проводимостей) и узловых токов в уравнения (12), определяем узловые напряжения
Прежде чем перейти к определению токов ветвей, задаемся их положительным направлением и наносим на схему (рис. 5).
Токи определяем по закону Ома. Так, например, ток направлен от узла 3 к узлу 1. Так же направлена и ЭДС этой ветви. Следовательно
Токи остальных ветвей определяем по тому же принципу
Так как то
4. Принцип и метод наложения
Принцип наложения (суперпозиции) является выражением одного из основных свойств линейных систем любой физической природы и применительно к линейным электрическим цепям формулируется следующим образом: ток в какой-либо ветви сложной электрической цепи равен алгебраической сумме частичных токов, вызванных каждым действующим в цепи источником электрической энергии в отдельности.
Использование принципа наложения позволяет во многих схемах упростить задачу расчета сложной цепи, так как она заменяется несколькими относительно простыми цепями, в каждой из которых действует один источник энергии.
Из принципа наложения следует метод наложения, применяемый для расчета электрических цепей.
При этом метод наложения можно применять не только к токам, но и к напряжениям на отдельных участках электрической цепи, линейно связанных с токами.
Принцип наложения нельзя применять для мощностей, т.к. они являются не линейными, а квадратичными функциями тока (напряжения).
Принцип наложения не применим и к нелинейным цепям.
Рассмотрим порядок расчета методом наложения на примере определения токов в схеме рис. 5.
Выбираем произвольно направление токов и наносим их на схему (рис. 5).
Если бы предлагаемая задача решалась любым из методов (МЗК, МКТ, МУН), то необходимо было бы составлять систему уравнений. Метод наложения позволяет упростить решение задачи, сведя его фактически к решению по закону Ома.
Разбиваем данную схему на две подсхемы (по количеству ветвей с источниками).
В первой подсхеме (рис. 6) считаем что действует только источник напряжения, а ток источника тока J=0 (это соответствует разрыву ветви с источником тока).
Во второй подсхеме (рис. 7) действует только источник тока. ЭДС источника напряжения принимаем равной нулю E=0 (это соответствует закорачиванию источника напряжения).
Указываем направление токов на подсхемах. При этом следует обратить внимание на следующие: все токи, указанные на исходной схеме, должны быть указанны и на подсхемах. Например, в подсхеме рис.6 сопротивления и включены последовательно и по ним протекает один и тот же ток. Однако на схеме необходимо указывать токи и.
Расчет для схемы (рис. 6) можно выполнить по закону Ома.
Токи в параллельных ветвях определяем по формуле разброса
Определяем токи в подсхеме, представленной на рис.7. Заменив предварительно параллельно соединенные сопротивления и эквивалентным
получим схему (рис. 8).
По формуле разброса определяем токи и
По частичным токам подсхем (рис. 2.6 и 2.7) определяем токи исходной схемы (рис. 5) как алгебраическую сумму частичных токов.
При этом ток записывается со знаком «минус», т.к. его направление на подсхеме противоположно направлению тока в исходной схеме
электрическая цепь ток кирхгоф
Направления токов и на подсхемах совпадают с направлением тока исходной схемы. Аналогично определяем остальные токи.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Ознакомление с основами метода уравнений Кирхгофа и метода контурных токов линейных электрических цепей. Составление уравнения баланса электрической мощности. Определение тока любой ветви электрической цепи методом эквивалентного источника напряжения.
курсовая работа , добавлен 11.12.2014
Метод уравнений Кирхгофа. Баланс мощностей электрической цепи. Сущность метода контурных токов. Каноническая форма записи уравнений контурных токов. Метод узловых напряжений (потенциалов). Матричная форма узловых напряжений. Определение токов ветвей.
реферат , добавлен 11.11.2010
Применение методов наложения, узловых и контурных уравнений для расчета линейных электрических цепей постоянного тока. Построение потенциальной диаграммы. Определение реактивных сопротивлений и составление баланса мощностей для цепей переменного тока.
курсовая работа , добавлен 29.07.2013
Определение напряжения в узлах электрической цепи. Получение тока ветвей цепи и их фазы методами контурных токов, узловых потенциалов и эквивалентного генератора. Теорема об эквивалентном источнике напряжения. Применение первого и второго закона Кирхгофа.
курсовая работа , добавлен 18.11.2014
Свойства резистора. Расчет резистивной цепи постоянного тока методом эквивалентного генератора. Изучение методов уравнений Кирхгофа, контурных токов, узловых потенциалов, наложения и двух узлов. Расчет тока в электрических цепях и баланса мощностей.
контрольная работа , добавлен 07.04.2015
Основные понятия, определения и законы в электротехнике. Расчет линейных электрических цепей постоянного тока с использованием законов Ома и Кирхгофа. Сущность методов контурных токов, узловых потенциалов и эквивалентного генератора, их применение.
реферат , добавлен 27.03.2009
Понятие и общая характеристика сложных цепей постоянного тока, их отличительные признаки и свойства, сущность и содержание универсального метода анализа и расчета параметров. Метод уравнений Кирхгофа, узловых потенциалов, контурных токов, наложения.
контрольная работа , добавлен 22.09.2013
Порядок расчета цепи постоянного тока. Расчет токов в ветвях с использованием законов Кирхгофа, методов контурных токов, узловых потенциалов, эквивалентного генератора. Составление баланса мощностей и потенциальной диаграммы, схемы преобразования.
курсовая работа , добавлен 17.10.2009
Расчет линейных электрических цепей постоянного тока, определение токов во всех ветвях методов контурных токов, наложения, свертывания. Нелинейные электрические цепи постоянного тока. Анализ электрического состояния линейных цепей переменного тока.
курсовая работа , добавлен 10.05.2013
Исследование основных особенностей электромагнитных процессов в цепях переменного тока. Характеристика электрических однофазных цепей синусоидального тока. Расчет сложной электрической цепи постоянного тока. Составление полной системы уравнений Кирхгофа.
Задание
Для электрической цепи выполнить следующее:
1) составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для оп ределения токов во всех ветвях схемы;
2) определить токи во всех ветвях схемы, используя метод контурных токов;
3) определить токи во всех ветвях схемы на основании метода наложения;
4) составить баланс мощностей для заданной схемы;
5) результаты расчетов токов по пунктам 2 и 3 представить в виде таблицы и сравнить;
6) определить ток во второй ветви методом эквивалентного генератора;
7 ) построить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, включающего обе ЭДС.
1.1.1 Составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для определения токов во всех ветвях схемы
Метод узловых и контурных уравнений основан на применении первого и второго законов Кирхгофа. Он не требует никаких преобразований схемы и пригоден для расчета любой цепи.
При расчете данным методом произвольно задаем направление токов в ветвях
Составляем систему уравнений. В системе должно быть столько уравнений, сколько в цепи ветвей (неизвестных токов).
В заданной цепи 6 ветвей, значит, в системе должно быть 6 уравнений (т = 6). Сначала составляем уравнения для узлов по первому закону Кирхгофа. Для цепи с п узлами можно составить (n-1) независимых уравнений. В нашей цепи 4 узла (А, В, С,D), значит, число уравнений: n-1=4-1=3. Составляем 3 уравнения для любых 3-х узлов, например, для узлов А, В,C
Всего в системе должно быть пять уравнений. Два уже есть. Три недостающих составляем для линейно независимых контуров. Чтобы они были независимыми, в каждый следующий контур надо включить хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие.
Задаемся обходом каждого контура и составляем уравнения по второму закону Кирхгофа.
А: I 3 =I 2 + I 1
B: I 1 =I 4 + I 6
C: I 3 =I 4 + I 5
Контур АВCА - обход по часовой стрелке
Контур ADCA - обход против часовой стрелки
Контур DCBD - обход по часовой стрелке
Мы получили систему из 6 уравнений с 6 неизвестными:
1.1.2 Определить токи во всех ветвях схемы, используя метод контурных токов
Метод контурных токов основан на использовании только второго закона Кирхгофа. Это позволяет уменьшить число уравнений в системе на n-1 .
Достигается это разделением схемы на ячейки (независимые контуры) и введением для каждого контура-ячейки своего тока - контурного тока, являющегося расчетной величиной.
В заданной можно рассмотреть три контура-ячейки (ABCA, ADCА, DCBD) и ввести для них контурные токи I k1 , I k2 , I k3 .
Ветви, принадлежащие двум смежным контурам, называются смежными ветвями. В них действительный ток равен алгебраической сумме контурных токов смежных контуров, с учетом их направления.
При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа в левой части равенства алгебраически суммируются ЭДС источников, входящих в контур-ячейку, в правой части равенства алгебраически суммируются напряжения на сопротивлениях, входящих в этот контур, а также учитывается падение напряжения на сопротивлениях смежной ветви, определяемое по контурному току соседнего контура.
На основании вышеизложенного порядок расчета цепи методом контурных токов будет следующим:
стрелками указываем выбранные направления контурных токов I k1 , I k2 , I k3 в контурах-ячейках. Направление обхода контуров принимаем таким же;
составляем уравнения и решаем систему уравнений или методом
подстановки, или с помощью определителей.
Подставляем в уравнение численные значения ЭДС и сопротивлений.
Решим систему с помощью определителей. Вычислим определитель системы ∆ и частные определители ∆ 1 , ∆ 2 , ∆ 3
Вычисляем контурные токи:
Действительные токи ветвей:
