Производной функции f (x) в точке х0 называется предел (если он существует) отношения приращения функции в точке х0 к приращению аргумента Δх, если прирост аргумента стремится к нулю и обозначается f ‘(x0). Действие нахождения производной функции называется дифференцированием.
Производная функции имеет такой физический смысл: производная функции в заданной точке - скорость изменения функции в заданной точке.
Геометрический смысл производной . Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке.
Физический смысл производной. Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки:
Понятие дифференциала, его свойства. Правила дифференцирования. Примеры.
Определение. Дифференциалом функции в некоторой точке x называется главная, линейная часть приращения функции.Дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной x (аргумента).
Это записывается так:
или
Или же
Свойства дифференциала
Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной:
К основным правилам дифференцирования
относят:
1) вынесение постоянного множителя за знак производной
2) производная суммы, производная разности
3) производная произведения функций
4) производная частного двух функций (производная дроби)
Примеры.
Докажем формулу: По определению производной имеем:
Произвольный множитель можно выносить за знак предельного перехода (это известно из свойств предела), поэтому
Например:
Найти производную функции
Решение:
Воспользуемся правилом вынесения множителя за знак производной:
Достаточно часто приходится сначала упрощать вид дифференцируемой функции, чтобы, воспользоваться таблицей производных и правилами нахождения производных. Следующие примеры это наглядно подтверждают.
Формулы дифференцирования. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Примеры.
Применение дифференциала в приближенных вычислениях позволяет использовать дифференциал для приближенных вычислений значений функции.
Примеры
.
С помощью дифференциала вычислить приближенно
Для вычисления данного значения применим формулу из теории
Введем в рассмотрение функцию а заданную величину представим в виде
тогда Вычислим 
Подставляя все в формулу, окончательно получим
Ответ: 
16. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида 0/0 Или ∞/∞. Примеры.
Предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных. 
1) 
17. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремум. Примеры .
Функция возрастает на интервале, если для любых двух точек этого интервала, связанных отношением , справедливо неравенство . То есть, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и её график идёт «снизу вверх». Демонстрационная функция растёт на интервале
Аналогично, функция убывает
на интервале, если для любых двух точек данного интервала, таких, что , справедливо неравенство . То есть, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, и её график идёт «сверху вниз». Наша убывает на интервалах убывает на интервалах 
.
Экстремумы
Точку называют точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции
и обозначают .
Точку называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции
и обозначают .
Под окрестностью точки понимают интервал 
, где - достаточно малое положительное число.
Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции
.
Чтобы исследовать функцию на монотонность
, воспользуйтесь следующей схеме:
- Найдите область определения функции;
- Найдите производную функции и область определения производной;
- Найдите нули производной, т.е. значение аргумента, при которых производная равна нулю;
- На числовом лучи отметьте общую часть области определения функции и области определения ее производной, а на ней - нули производной;
- Определите знаки производной на каждом из полученных промежутков;
- По знакам производной определите, на которых промежутках функция возрастает, а на каких спадает;
- Запишите соответствующие промежутки через точку с запятой.
Алгоритм исследования непрерывной функции y = f(x) на монотонность и экстремумы
:
1) Найти производную f ′(x).
2) Найти стационарные (f ′(x) = 0) и критические (f ′(x) не существует) точки функции y = f(x).
3) Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.
4) Сделать выводы о монотонности функции и ее точках экстремума.
18. Выпуклость функции. Точки перегиба. Алгоритм исследования функции на выпуклость (Вогнутость) Примеры .
выпуклой вниз на интервале Х, если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х.
Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х, если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х.
Точка формула называется точкой перегиба графика
функции y=f(x), если в данной точке существует касательная к графику функции (она может быть параллельна оси Оу) и существует такая окрестность точки формула, в пределах которой слева и справа от точки М график функции имеет разные направления выпуклости.
Нахождение интервалов на выпуклость:
Если функция y=f(x) имеет конечную вторую производную на интервале Х и если выполняется неравенство 
(), то график функции имеет выпуклость направленную вниз (вверх) на Х.
Эта теорема позволяет находитьть промежутки вогнутости и выпуклости функции, нужно лишь на области определения исходной функции решить неравенства и соответственно.
Пример
: Выяснить промежутки, на которых график функцииВыяснить промежутки, на которых график функции 
имеет выпуклость направленную вверх и выпуклость направленную вниз. имеет выпуклость направленную вверх и выпуклость направленную вниз.
Решение:
Областью определения этой функции является все множество действительных чисел.
Найдем вторую производную.
Область определения второй производной совпадает с областью определения исходной функции, поэтому, чтобы выяснить интервалы вогнутости и выпуклости, достаточно решить и соответственно. 
Следовательно, функция выпуклая вниз на интервале формула и выпуклая вверх на интервале формула.
19) Асимптоты функции. Примеры.
Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или .
Замечание. Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.
Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно .
Замечание. График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую.
Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , если
ПРИМЕР:
Задание.
Найти асимптоты графика функции 
Решение. Область определения функции:
а) вертикальные асимптоты: прямая - вертикальная асимптота, так как
б) горизонтальные асимптоты: находим предел функции на бесконечности:
то есть, горизонтальных асимптот нет.
в) наклонные асимптоты :
Таким образом, наклонная асимптота: .
Ответ. Вертикальная асимптота - прямая .
Наклонная асимптота - прямая .
20) Общая схема исследования функции и построение графика. Пример.
a.
Найти ОДЗ и точки разрыва функции.
b. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
2. Провести исследование функции с помощью первой производной, то есть найти точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания.
3. Исследовать функцию с помощью производной второго порядка, то есть найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.
4. Найти асимптоты графика функции: а) вертикальные, b) наклонные.
5. На основании проведенного исследования построить график функции.
Заметим, что перед построением графика полезно установить, не является ли данная функция четной или нечетной.
Вспомним, что функция называется четной, если при изменении знака аргумента значение функции не меняется: f(-x) = f(x) и функция называется нечетной, если f(-x) = -f(x) .
В этом случае достаточно исследовать функцию и построить её график при положительных значениях аргумента, принадлежащих ОДЗ. При отрицательных значениях аргумента график достраивается на том основании, что для четной функции он симметричен относительно оси Oy , а для нечетной относительно начала координат.
Примеры. Исследовать функции и построить их графики.
Область определения функции D(у)= (–∞; +∞). Точек разрыва нет.
Пересечение с осью Ox : x = 0,у= 0.
Функция нечетная, следовательно, можно исследовать ее только на промежутке
Ускорение – [м/с 2 ]
Сила – [Н]
Энергия – [Дж]
Задание 1 группе
Точка движется по закону s(t)=2t³-3t (s – путь в метрах, t – время в секундах). Вычислите скорость движения точки, ее ускорение в момент времени 2с
Задание 2 группе
Маховик вращается вокруг оси по закону φ(t)= t 4 -5t. Найдите его угловую скорость ω в момент времени 2с (φ – угол вращения в радианах, ω – угловая скорость рад/с)
Задание 3 группе
Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону х(t)=2-3t+2t²
Найдите скорость тела и его кинетическую энергию через 3с после начала движения. Какая сила действует на тело в этот момент времени? (t измеряется в секундах, х – в метрах)
Задание 4
Точка совершает колебательные движения по закону х(t)=2sin3t. Докажите, что ускорение пропорционально координате х.
IV. Самостоятельное решение задач №272, 274, 275, 277
[А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов и др. «Алгебра и начала анализа10-11 класс»] 12 мин
| Дано: | Решение: |
| x(t)=- ______________ t=? υ(t)=? |
υ(t)=х’(t); υ(t)= (-)’=·3t²+6t= +6t; a(t)=υ’(t) a(t)=( +6t)’=·2t+6=-t+6; a(t)=0; -t+6=0; t=6; υ(6)=+6·6=-18+36=18м/с Ответ: t=6c; υ(6)= 18м/с |
Физический смысл производной. В состав ЕГЭ по математике входит группа задач для решения которых необходимо знание и понимание физического смысла производной. В частности, есть задачи, где дан закон движения определённой точки (объекта), выраженный уравнением и требуется найти его скорость в определённый момент времени движения, либо время, через которое объект приобретёт определённую заданную скорость. Задачи очень простые, решаются они в одно действие. Итак:
Пусть задан закон движения материальной точки x (t) вдоль координатной оси, где x координата движущейся точки, t – время.
Скорость в определённый момент времени – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной.
Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:
Таким образом, физический смысл производной это скорость. Это может быть скорость движения, скорость изменения какого-либо процесса (например роста бактерий), скорость совершения работы (и так далее, прикладных задач множество).
Кроме того, необходимо знать таблицу производных (знать её нужно также, как таблицу умножения) и правила дифференцирования. Если конкретно, то для решения оговоренных задач необходимо знание первых шести производных (см. таблицу):
Рассмотрим задачи:
x (t) = t 2 – 7t – 20
где x t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 5 c.
Физический смысл производной это скорость (скорость движения, скорость изменения процесса, скорость работы и т.д.)
Найдем закон изменения скорости: v (t) = x′(t) = 2t – 7 м/с.
При t = 5 имеем:
Ответ: 3
Решить самостоятельно:
Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 6t 2 – 48t + 17, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 9 c.
Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, где x t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6 с.
Материальная точка движется прямолинейно по закону
x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23
где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3 с.
Материальная точка движется прямолинейно по закону
x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28
где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 6 м/с?
Найдем закон изменения скорости:
Для того, чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 3 м/с, необходимо решить уравнение:
Ответ: 3
Решите самостоятельно:
Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = t 2 – 13t + 23, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?
Материальная точка движется прямолинейно по закону
x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3
где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?
Отмечу, что ориентироваться только на такой тип задач на ЕГЭ не стоит. Могут совершенно неожиданно ввести задачи обратные представленным. Когда дан закон изменения скорости и будет стоять вопрос о нахождении закона движения.
Подсказка: в этом случае необходимо найти интеграл от функции скорости (это так же задачи в одно действие). Если потребуется найти пройденное расстояние за определённый момент времени, то необходимо подставить время в полученное уравнение и вычислить расстояние. Впрочем, мы такие задачи тоже будем разбирать, не пропустите! Успехов вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Иногда в задаче B9 из ЕГЭ по математике вместо всеми любимых графиков функции или производной дается просто уравнение расстояния от точки до начала координат. Что делать в этом случае? Как по расстоянию найти скорость или ускорение.
На самом деле все просто. Скорость — это производная от расстояния, а ускорение — это производная скорости (или, что то же самое, вторая производная от расстояния). В этом коротком видео вы убедитесь, что такие задачи решаются ничуть не сложнее «классических» B9.
Сегодня мы разберем две задачи на физический смысл производных из ЕГЭ по математике. Эти задания встречаются в части Bи существенно отличаются от тех, что большинство учеников привыкло видеть на пробниках и экзаменах. Все дело в том, что они требуют понимать физический смысл производной функции. В данных задачах речь пойдет о функциях, выражающих расстояния.
Если $S=x\left(t \right)$, то $v$ мы можем посчитать следующим образом:
Эти три формулы – все, что вам потребуется для решения таких примеров на физический смысл производной. Просто запомните, что $v$ — это производная от расстояния, а ускорение — это производная от скорости.
Давайте посмотрим, как это работает при решении реальных задач.
Пример № 1
где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите скорость точки (в м/с) в момент времени $t=2c$.
Это означает, что у нас есть функция, задающая расстояние, а нужно посчитать скорость в момент времени $t=2c$. Другими словами, нам нужно найти $v$, т.е.
Вот и все, что нам нужно было выяснить из условия: во-первых, как выглядит функция, а во-вторых, что от нас требуется найти.
Давайте решать. В первую очередь, посчитаем производную:
\[{x}"\left(t \right)=-\frac{1}{5}\cdot 5{{t}^{4}}+4{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+5\]
\[{x}"\left(t \right)=-{{t}^{4}}+4{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+5\]
Нам требуется найти производную в точке 2. Давайте подставим:
\[{x}"\left(2 \right)=-{{2}^{4}}+4\cdot {{2}^{3}}-3\cdot {{2}^{2}}+5=\]
\[=-16+32-12+5=9\]
Вот и все, мы нашли окончательный ответ. Итого, скорость нашей материальной точки в момент времени $t=2c$ составит 9 м/с.
Пример № 2
Материальная точка движется по закону:
где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени ее скорость была равна 3 м/с?
Взгляните, в прошлый раз от нас требовалось найти $v$ в момент времени 2 с, а в этот раз от нас требуется найти тот самый момент, когда эта скорость будет равна 3 м/с. Можно сказать, что нам известно конечное значение, а по этому конечному значению нам требуется найти исходное.
В первую очередь, вновь ищем производную:
\[{x}"\left(t \right)=\frac{1}{3}\cdot 3{{t}^{2}}-4\cdot 2t+19\]
\[{x}"\left(t \right)={{t}^{2}}-8t+19\]
От нас просят найти, в какой момент времени скорость будет равна 3 м/с. Составляем и решаем уравнение, чтобы найти физический смысл производной:
\[{{t}^{2}}-8t+19=3\]
\[{{t}^{2}}-8t+16=0\]
\[{{\left(t-4 \right)}^{2}}=0\]
Полученное число означает, что в момент времени 4 с $v$ материальной точки, движущейся по выше описанному закону, как раз и будет равна 3 м/с.
Ключевые моменты
В заключении давайте еще раз пробежимся по самому главному моменту сегодняшней задачи, а именно, по правилу преобразования расстояние в скорость и ускорение. Итак, если нам в задаче прямо описан закон, прямо указывающий расстояние от материальной точки до точки отсчета, то через эту формулу мы можем найти любую мгновенную скорость (это просто производная). И более того, мы можем найти еще и ускорение. Ускорение, в свою очередь, равно производной от скорости, т.е. второй производной от расстояния. Такие задачи встречаются довольно редко, поэтому сегодня мы их не разбирали. Но если вы увидите в условии слово «ускорение», пусть оно вас не пугает, достаточно просто найти еще одну производную.
Надеюсь, этот урок поможет вам подготовиться к ЕГЭ по математике.