Как выполнить умножение дробей правило. Умножение обыкновенной дроби на натуральное число. Умножение двух обыкновенных дробей

Умножение обыкновенных дробей

Рассмотрим пример.

Пусть на тарелке лежит $\frac{1}{3}$ часть яблока. Нужно найти $\frac{1}{2}$ часть от нее. Необходимая часть является результатом умножения дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$. Результат умножения двух обыкновенных дробей -- это обыкновенная дробь.

Умножение двух обыкновенных дробей

Правило умножения обыкновенных дробей:

Результатом умножения дроби на дробь является дробь, числитель которой равен произведению числителей умножаемых дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей:

Пример 1

Выполнить умножение обыкновенных дробей $\frac{3}{7}$ и $\frac{5}{11}$.

Решение.

Воспользуемся правилом умножения обыкновенных дробей:

\[\frac{3}{7}\cdot \frac{5}{11}=\frac{3\cdot 5}{7\cdot 11}=\frac{15}{77}\]

Ответ: $\frac{15}{77}$

Если в результате умножения дробей получается сократимая или неправильная дробь, то нужно ее упростить.

Пример 2

Выполнить умножение дробей $\frac{3}{8}$ и $\frac{1}{9}$.

Решение.

Используем правило умножения обыкновенных дробей:

\[\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{9}=\frac{3\cdot 1}{8\cdot 9}=\frac{3}{72}\]

В результате получили сократимую дробь (по признаку деления на $3$. Числитель и знаменатель дроби разделим на $3$, получим:

\[\frac{3}{72}=\frac{3:3}{72:3}=\frac{1}{24}\]

Краткое решение:

\[\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{9}=\frac{3\cdot 1}{8\cdot 9}=\frac{3}{72}=\frac{1}{24}\]

Ответ: $\frac{1}{24}.$

При умножении дробей сокращать числители и знаменатели можно до нахождения их произведения. При этом числитель и знаменатель дроби раскладывается на простые множители, после чего сокращаются повторяющиеся множители и находится результат.

Пример 3

Вычислить произведение дробей $\frac{6}{75}$ и $\frac{15}{24}$.

Решение.

Воспользуемся формулой умножения обыкновенных дробей:

\[\frac{6}{75}\cdot \frac{15}{24}=\frac{6\cdot 15}{75\cdot 24}\]

Очевидно, что в числителе и знаменателе есть числа, которые попарно можно сократить на числа $2$, $3$ и $5$. Разложим числитель и знаменатель на простые множители и произведем сокращение:

\[\frac{6\cdot 15}{75\cdot 24}=\frac{2\cdot 3\cdot 3\cdot 5}{3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3}=\frac{1}{5\cdot 2\cdot 2}=\frac{1}{20}\]

Ответ: $\frac{1}{20}.$

При умножении дробей можно применять переместительный закон:

Умножение обыкновенной дроби на натуральное число

Правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число:

Результатом умножения дроби на натуральное число является дробь, у которой числитель равен произведению числителя умножаемой дроби на натуральное число, а знаменатель равен знаменателю умножаемой дроби:

где $\frac{a}{b}$ -- обыкновенная дробь, $n$ -- натуральное число.

Пример 4

Выполнить умножение дроби $\frac{3}{17}$ на $4$.

Решение.

Воспользуемся правилом умножения обыкновенной дроби на натуральное число:

\[\frac{3}{17}\cdot 4=\frac{3\cdot 4}{17}=\frac{12}{17}\]

Ответ: $\frac{12}{17}.$

Не стоит забывать о проверке результата умножения на сократимость дроби или на неправильную дробь.

Пример 5

Умножить дробь $\frac{7}{15}$ на число $3$.

Решение.

Воспользуемся формулой умножения дроби на натуральное число:

\[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{21}{15}\]

По признаку деления на число $3$} можно определить, что полученную дробь можно сократить:

\[\frac{21}{15}=\frac{21:3}{15:3}=\frac{7}{5}\]

В результате получили неправильную дробь. Выделим целую часть:

\[\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

Краткое решение:

\[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{21}{15}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

Сократить дроби также можно было заменой чисел в числителе и знаменателе на их разложения на простые множители. В таком случае решение можно было записать так:

\[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{7\cdot 3}{3\cdot 5}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

Ответ: $1\frac{2}{5}.$

При умножении дроби на натуральное число можно использовать переместительный закон:

Деление обыкновенных дробей

Операция деления является обратной к умножению и результатом ее является дробь, на которую нужно умножить известную дробь чтобы получить известное произведение двух дробей.

Деление двух обыкновенных дробей

Правило деления обыкновенных дробей: Очевидно, что числитель и знаменатель полученной дроби можно разложить на простые множители и произвести сокращение:

\[\frac{8\cdot 35}{15\cdot 12}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7}{3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3}=\frac{2\cdot 7}{3\cdot 3}=\frac{14}{9}\]

В результате получили неправильную дробь, из которой выделим целую часть:

\[\frac{14}{9}=1\frac{5}{9}\]

Ответ: $1\frac{5}{9}.$

Умножение обыкновенных дробей рассмотрим в нескольких возможных вариантах.

Умножение обыкновенной дроби на дробь

Это наиболее простой случай, в котором нужно пользоваться следующими правилами умножения дробей .

Чтобы умножить дробь на дробь , надо:

  • числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби и их произведение записать в числитель новой дроби;
  • знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и их произведение записать в знаменатель новой дроби;

    • Прежде чем перемножать числители и знаменатели проверьте нельзя ли сократить дроби. Сокращение дробей при расчётах значительно облегчит ваши вычисления.

    Умножение дроби на натуральное число

    Чтобы дробь умножить на натуральное число нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель дроби оставить без изменения.

    Если в результате умножения получилась неправильная дробь, не забудьте превратить её в смешанное число, то есть выделить целую часть.

    Умножение смешанных чисел

    Чтобы перемножить смешанные числа, надо вначале превратить их в неправильные дроби и после этого умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

    Другой способ умножения дроби на натуральное число

    Иногда при расчётах удобнее воспользоваться другим способом умножения обыкновенной дроби на число.

    Чтобы умножить дробь на натуральное число нужно знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить прежним.

    Как видно из примера, этим вариантом правила удобнее пользоваться, если знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

    Действия с дробями

    Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

    Сложение дробей бывает двух видов:

  • Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
  • Сложение дробей с разными знаменателями

    • Сначала изучим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения. Например, сложим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:

    Пример 2. Сложить дроби и .

    Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

    В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко - два разделить на два равно единице:

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:

    Пример 3 . Сложить дроби и .

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:

    Пример 4. Найти значение выражения

    Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:

    Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.

    Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

  1. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателя, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним;
  2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.

    3. Сложение дробей с разными знаменателями

    Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

    Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.

    А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

    Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.

    Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью - НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.

    Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.

    Пример 1 . Сложим дроби и

    У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

    В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби - число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

    НОК (2 и 3) = 6

    Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.

    Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

    Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби - число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.

    Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

    Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:

    Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

    Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .

    Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:

    Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).

    Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).

    Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:

    Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.

    Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:

  3. Найти НОК знаменателей дробей;
  4. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
  5. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
  6. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели;
  7. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;

    8. Пример 2. Найти значение выражения .

    Воспользуемся схемой, которую мы привели выше.

    Шаг 1. Найти НОК для знаменателей дробей

    Находим НОК для знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4. Нужно найти НОК для этих чисел:

    Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби

    Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:

    Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:

    Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:

    Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители

    Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:

    Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели

    Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:

    Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.

    Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть

    У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:

    Получили ответ

    Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

    Вычитание дробей бывает двух видов:

  8. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
  9. Вычитание дробей с разными знаменателями

Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.

Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним. Так и сделаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения .

Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем прежним:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 3. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:

В ответе получилась неправильная дробь. Если пример завершен, то от неправильной дроби принято избавляться. Давайте и мы избавимся от неправильной дроби в ответе. Для этого выделим ее целую часть:

Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

  • Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним;
  • Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить её целую часть.

    • Вычитание дробей с разными знаменателями

    Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

    Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

    Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

    Пример 1. Найти значение выражения:

    Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби - число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

    НОК (3 и 4) = 12

    Теперь возвращаемся к дробям и

    Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби - число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

    Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби - число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

    Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

    Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

    Получили ответ

    Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы

    Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

    Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

    Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок - дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.

    Пример 2. Найти значение выражения

    У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

    Найдём НОК знаменателей этих дробей.

    Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

    НОК (10, 3, 5) = 30

    Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

    Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби - число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

    Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби - число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

    Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби - число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

    Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

    Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

    Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

    В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще и эстетичнее. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь. Напомним, что сокращением дроби называется деление числителя и знаменателя на наибольший общий делитель числителя и знаменателя.

    Чтобы грамотно сократить дробь нужно разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.

    Нельзя путать НОД с НОК. Самая распространённая ошибка многих новичков. НОД - это наибольший общий делитель. Его мы находим для сокращения дроби.

    А НОК - это наименьшее общее кратное. Его мы находим для того, чтобы привести дроби к одинаковому (общему) знаменателю.

    Сейчас мы будем находить наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.

    Итак, находим НОД для чисел 20 и 30:

    НОД (20 и 30) = 10

    Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на 10:

    Получили красивый ответ

    Умножение дроби на число

    Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.

    Пример 1 . Умножить дробь на число 1 .

    Умножим числитель дроби на число 1

    Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы

    Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:

    Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:

    Пример 2 . Найти значение выражения

    Умножим числитель дроби на 4

    Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы

    А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:

    Умножение дробей

    Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

    Пример 1. Найти значение выражения .

    Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

    Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим у нас есть половина пиццы:

    Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

    И взять от этих трех кусочков два:

    У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

    Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

    Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно

    Пример 2 . Найти значение выражения

    Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

    В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

    Пример 3. Найти значение выражения

    В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, её нужно разделить на НОД числителя и знаменателя. Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

    НОД для (105 и 150) равен 15

    Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД:

    Представление целого числа в виде дроби

    Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:

    Обратные числа

    Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

    Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

    Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

    Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

    Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

    Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменять местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножить дробь на саму себя, только перевёрнутую:

    Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

    Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.

    Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

    • обратным числа 3 является дробь
    • обратным числа 4 является дробь

      • Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.

    ) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

    Формула умножения дробей:

    Например:

    Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби . Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.

    Деление обыкновенной дроби на дробь.

    Деление дробей с участием натурального числа.

    Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением , переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

    Умножение смешанных дробей.

    Правила умножения дробей (смешанных):

    • преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
    • перемножаем числители и знаменатели дробей;
    • сокращаем дробь;
    • если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.

    Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

    Второй способ умножения дроби на натуральное число.

    Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

    Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.

    Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

    Многоэтажные дроби.

    В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

    Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

    Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

    Обратите внимание, например:

    При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

    Практические советы при умножении и делении дробей:

    1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.

    2. В заданиях с разными видами дробей - переходите к виду обыкновенных дробей.

    3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

    4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

    5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

    В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей »). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.

    Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.

    Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе - знаменателем.

    Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.

    Обозначение:

    Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.

    В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь - ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.

    По определению имеем:

    Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

    Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные - и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

    Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

    1. Плюс на минус дает минус;
    2. Минус на минус дает плюс.

    До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

    1. Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить - тот, которому не нашлось пары;
    2. Если минусов не осталось, операция выполнена - можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

    Задача. Найдите значение выражения:

    Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

    Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

    Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.

    Сокращение дробей «на лету»

    Умножение - весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей - это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:

    Задача. Найдите значение выражения:

    По определению имеем:

    Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

    Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.

    Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:

    Так делать нельзя!

    Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.

    Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

    Правильное решение:

    Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

    Обыкновенные дробные числа впервые встречают школьников в 5 классе и сопровождают их на протяжении всей жизни, так как в быту зачастую требуется рассматривать или использовать какой-то объект не целиком, а отдельными кусками. Начало изучения этой темы - доли. Доли - это равные части , на которые разделен тот или иной предмет. Ведь не всегда получается выразить, допустим, длину или цену товара целым числом, следует принять во внимание части или доли какой-либо меры. Образованное от глагола «дробить» - разделять на части, и имея арабские корни, в VIII веке возникло само слово «дробь» в русском языке.

    Дробные выражения продолжительное время считали самым сложным разделом математики. В XVII веке, при появлении первоучебников по математике, их называли «ломаные числа», что очень сложно отображалось в понимании людей.

    Современному виду простых дробных остатков, части которых разделены именно горизонтальной чертой, впервые поспособствовал Фибоначчи - Леонардо Пизанский. Его труды датированы в 1202 году. Но цель этой статьи - просто и понятно объяснить читателю, как происходит умножение смешанных дробей с разными знаменателями.

    Умножение дробей с разными знаменателями

    Изначально стоит определить разновидности дробей :

    • правильные;
    • неправильные;
    • смешанные.

    Далее нужно вспомнить, как происходит умножение дробных чисел с одинаковыми знаменателями. Само правило этого процесса несложно сформулировать самостоятельно: результатом умножения простых дробей с одинаковыми знаменателями является дробное выражение, числитель которой есть произведение числителей, а знаменатель - произведение знаменателей данных дробей. То есть, по сути, новый знаменатель есть квадрат одного из существующих изначально.

    При умножении простых дробей с разными знаменателями для двух и более множителей правило не меняется:

    a/ b * c/ d = a*c / b*d.

    Единственное отличие в том, что образованное число под дробной чертой будет произведением разных чисел и, естественно, квадратом одного числового выражения его назвать невозможно.

    Стоит рассмотреть умножение дробей с разными знаменателями на примерах:

    • 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
    • 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

    В примерах применяются способы сокращения дробных выражений. Можно сокращать только числа числителя с числами знаменателя, рядом стоящие множители над дробной чертой или под ней сокращать нельзя.

    Наряду с простыми дробными числами, существует понятие смешанных дробей. Смешанное число состоит из целого числа и дробной части, то есть является суммой этих чисел:

    1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

    Как происходит перемножение

    Предлагается несколько примеров для рассмотрения.

    2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

    В примере используется умножение числа на обыкновенную дробную часть , записать правило для этого действия можно формулой:

    a * b/ c = a*b / c.

    По сути, такое произведение есть сумма одинаковых дробных остатков, а количество слагаемых указывает это натуральное число. Частный случай:

    4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

    Существует еще один вариант решения умножения числа на дробный остаток. Стоит просто разделить знаменатель на это число:

    d * e/ f = e/ f: d.

    Этим приемом полезно пользоваться, когда знаменатель делится на натуральное число без остатка или, как говорится, нацело.

    Перевести смешанные числа в неправильные дроби и получить произведение ранее описанным способом:

    1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

    В этом примере участвует способ представления смешанной дроби в неправильную, его также можно представить в виде общей формулы:

    a b c = a * b + c / c, где знаменатель новой дроби образуется при умножении целой части со знаменателем и при сложении его с числителем исходного дробного остатка, а знаменатель остается прежним.

    Этот процесс работает и в обратную сторону. Для выделения целой части и дробного остатка нужно поделить числитель неправильной дроби на ее знаменатель «уголком».

    Умножение неправильных дробей производят общепринятым способом. Когда запись идет под единой дробной чертой, по мере необходимости нужно сделать сокращение дробей, чтобы уменьшить таким методом числа и проще посчитать результат.

    В интернете существует множество помощников, чтобы решать даже сложные математические задачи в различных вариациях программ. Достаточное количество таких сервисов предлагают свою помощь при счете умножения дробей с разными числами в знаменателях - так называемые онлайн-калькуляторы для расчета дробей. Они способны не только умножить, но и произвести все остальные простейшие арифметические операции с обыкновенными дробями и смешанными числами. Работать с ним несложно, на странице сайта заполняются соответствующие поля, выбирается знак математического действия и нажимается «вычислить». Программа считает автоматически.

    Тема арифметических действий с дробными числами актуальна на всем протяжении обучения школьников среднего и старшего звена. В старших классах рассматривают уже не простейшие виды, а целые дробные выражения , но знания правил по преобразованию и расчетам, полученные ранее, применяются в первозданном виде. Хорошо усвоенные базовые знания дают полную уверенность в удачном решении наиболее сложных задач.

    В заключение имеет смысл привести слова Льва Николаевича Толстого, который писал: «Человек есть дробь. Увеличить своего числителя - свои достоинства, - не во власти человека, но всякий может уменьшить своего знаменателя - своё мнение о самом себе, и этим уменьшением приблизиться к своему совершенству».