Как сложить 2 отрицательных числа. Сложение отрицательных чисел

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели и задачи урока:

Обобщить и систематизировать знаний учащихся по данной теме.
Развивать предметные и общеучебные навыки и умения, умение использовать полученные знания для достижения поставленной цели; устанавливать закономерности многообразия связей для достижения уровня системности знаний.
Воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля; вырабатывать желания и потребности обобщать полученные факты; развивать самостоятельность, интерес к предмету.

План урока:

I. Вступительное слово учителя.

II. Проверка домашнего задания.

III. Повторение правил сложения и вычитания чисел с разными знаками. Актуализация знаний.

IV. Решение заданий по карточкам

V. Самостоятельная работа по вариантам.

VI. Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания.

Ход урока

I. Организационный момент

Ученики под руководством учителя проверяют наличие дневника, рабочей тетради, инструментов, отмечаются отсутствующие, проверяется готовность класса к уроку, учитель психологически настраивает детей на работу на уроке.

Народная мудрость гласит нам “повторенье – мать ученья”.

Сегодня мы с вами проведём заключительный урок по теме сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел.

Цель нашего урока - повторить материал по этой теме и подготовиться к контрольной работе.

И девизом нашего урока, я думаю, должно стать высказывание: “Складывать и вычитать мы научимся на “5”!”

II. Проверка домашнего задания

№1114. Заполните пустые места таблицы:

№1116. В альбоме 1105 марок, число иностранных марок составило 30% от числа российских марок. Сколько иностранных и сколько российских марок было в альбоме?

III. Повторение правил сложения и вычитания чисел с разными знаками. Актуализация знаний.

Учащиеся повторяют: правило сложения отрицательных чисел, правило сложения чисел с разными знаками, правило вычитания чисел с разными знаками. Затем решают примеры на применение каждого из этих правил. (Слайды 4-10)

Актуализация знаний учащихся по нахождению длины отрезка на координатной прямой по известным координатам его концов:

4) Задание “Отгадай слово”

На земном шаре живут птицы – безошибочные “составители” прогноза погоды на лето. Название этих птиц зашифровано в карточке.

Выполнив все задания, ученик получает ключевое слово, а ответы проверяются с помощью проектора.

Ключ ФЛАМИНГО строят гнезда в виде конуса: высокие – к дождливому лету; низкие – к сухому. (Показывается ученикам модель Слайды 14-16)

IV. Решение заданий по карточкам.

V. Самостоятельная работа по вариантам.

У каждого учащегося индивидуальная карточка.

Вариант 1.

Обязательная часть.

1. Сравните числа:

а) –24 и 15;

б) –2 и –6.

2. Запишите число, противоположное числу:

3. Выполните действия:

4. Найдите значение выражения:

VI. Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания.

Вопросы спроектированы на экран.

Число, которому соответствует точка на координатной прямой...
Из двух чисел на координатной прямой больше то число, которое расположено...
Число, не являющееся ни отрицательным, ни положительным...
Расстояние от числа до начала отсчета на числовой прямой...
Натуральные числа, им противоположные и нуль...

Постановка домашнего задания:

подготовиться к контрольной работе:
повторить правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел;
решить № 1096 (к,л,м) №1117

Итоги урока.

Шёл мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и каждому задал по вопросу. У первого спросил: “Что ты делал целый день?” И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. У второго мудрец спросил: “А Что ты делал целый день?”. А тот ответил: “А я добросовестно выполнял свою работу”. А третий улыбнулся,его лицо засветилось радостью и удовольствием: “А я принимал участие в строительстве храма”

Ребята! Давайте мы попробуем оценить каждый свою работу за урок.

Кто работал так, как первый человек, поднимает синие квадратики.

Кто работал добросовестно, поднимает зеленые квадратики.

Кто принимал участие в строительстве храма “Знаний”, поднимает красные квадратики.

Рефлексия - Соответствуют ли ваши знания и умения девизу урока?

Какие знания вам сегодня были необходимы?

Тема «Сложение отрицательных чисел» изучается в курсе математики 6 класса. К сожалению не всем обучающимся легко дается материал по данной теме. Чтобы улучшить восприятие и понимание, необходимо использовать различные способы и методы обучения. Видеоуроки являются эффективным средством обучения, особенно при изучении темы «Сложение отрицательных чисел».

Урок «Сложение отрицательных чисел» длится всего 3,5 минуты. Но за это время автор успевает полностью раскрыть тему. Обучающимся только останется закрепить полученную информацию как самостоятельно, так и с помощью учителя.

Начинается данный урок с рассмотрения частного случая, а именно, с иллюстрации того, как меняется температура. Первоначально температура воздуха была -6 градусов, после чего понизилась на 3 градуса. В результате значение температуры установилось на уровне -9 градусов. При этом автор записывает сумму отрицательных чисел (-6)+(-3), параллельно демонстрируя все на рисунке, изображающем термометры до и после понижения температуры. После этого автор предлагает найти значение суммы этих чисел с помощью координатной прямой. Это обучающиеся должны уже уметь с предыдущих уроков, которые, кстати, можно найти здесь, в базе видеоуроков. Автор показывает, как к числу прибавить отрицательное число, то есть от точки со значением -6 необходимо отсчитать 3 единицы влево, так как -3 число отрицательное. В результате получается новое значение температуры, равное -9. Таким образом получается, что (-6)+(-3)=-9. При этом, автор обращает внимание на то, что число 9 получается при сложении чисел 6 и 3. А, как известно, |-6|=6 и |-3|=3, получается, что для сложения чисел -6 и -3 необходимо найти их модули, сложить их и подставить знак «-».

Сложить их модули;
Поставить перед полученным числом знак «-».

Это правило закрепляется примером, который демонстрирует сумму чисел -8,7 и -3,5. Согласно только что озвученному правилу, необходимо сложить модули чисел, записав их в скобках, и поставить знак «-» перед скобками, чтобы результат не утратил свой смысл. В итоге получилось отрицательное число -12,2. При этом, автор отмечает, что таким способом можно складывать абсолютно любые отрицательные числа. Это он демонстрирует на примере сложения двух отрицательных дробей.

После того, как теория изучена, примеры рассмотрены, автор предлагает ответить на вопросы, которые относятся непосредственно к данной теме. Первый вопрос предлагает сформулировать правило сложения отрицательных чисел. Второй вопрос - провокационный, который заставляет обучающихся немного подумать, проанализировав полученную из урока информацию.

Урок будет полезен для учителей как на обычном уроке в курсе математики 6 класса, так и на дополнительных занятиях.

Положительные и отрицательные числа
Координатная прямая
Проведём прямую. Отметим на ней точку 0 (ноль) и примем эту точку за начало отсчёта.

Укажем стрелкой направление движения по прямой вправо от начала координат. В этом направлении от точки 0 будем откладывать положительные числа.

То есть положительными называют уже известные нам числа, кроме нуля.

Иногда положительные числа записывают со знаком «+». Например, «+8».

Для краткости записи знак «+» перед положительным числом обычно опускают и вместо «+8» пишут просто 8.

Поэтому «+3» и «3» - это одно и тоже число, только по разному обозначенное.

Выберем какой-либо отрезок, длину которого примем за единицу и отложим его несколько раз вправо от точки 0. В конце первого отрезка записывается число 1, в конце второго - число 2 и т.д.

Отложив единичный отрезок влево от начала отсчёта получим отрицательные числа: -1; -2; и т.д.

Отрицательные числа используют для обозначения различных величин, таких как: температура (ниже нуля), расход - то есть отрицательный доход, глубина - отрицательная высота и другие.

Как видно из рисунка, отрицательные числа - это уже известные нам числа, только со знаком «минус»: -8; -5,25 и т.д.

Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.

Числовую ось обычно располагают горизонтально или вертикально.

Если координатная прямая расположена вертикально, то направление вверх от начала отсчёта обычно считают положительным, а вниз от начала отсчёта - отрицательным.

Стрелкой указывают положительное направление.

Прямая, на которой отмечено:
. начало отсчёта (точка 0);
. единичный отрезок;
. стрелкой указано положительное направление;
называется координатной прямой или числовой осью.

Противоположные числа на координатной прямой
Отметим на координатной прямой две точки A и B, которые расположены на одинаковом расстоянии от точки 0 справа и слева соответственно.

В таком случае длины отрезков OA и OB одинаковы.

Значит, координаты точек A и B отличаются только знаком.

Также говорят, что точки A и B симметричны относительно начала координат.
Координата точки A положительная «+2», координата точки B имеет знак минус «-2».
A (+2), B (-2).

Числа, которые отличаются только знаком, называются противоположными числами. Соответствующие им точки числовой (координатной) оси симметричны относительны начала отсчёта.

Каждое число имеет единственное противоположное ему число . Только число 0 не имеет противоположного, но можно сказать, что оно противоположно самому себе.

Запись «-a» означает число, противоположное «a». Помните, что под буквой может скрываться как положительное число, так и отрицательное число.

Пример:
-3 - число противоположное числу 3.

Записываем в виде выражения:
-3 = -(+3)

Пример:
-(-6) - число противоположное отрицательному числу -6. Значит, -(-6) это положительное число 6.

Записываем в виде выражения:
-(-6) = 6

Сложение отрицательных чисел
Сложение положительных и отрицательных чисел можно разобрать с помощью числовой оси.

Сложение небольших по модулю чисел удобно выполнять на координатной прямой, мысленно представляя себе как точка, обозначающая число передвигается по числовой оси.

Возьмём какое-нибудь число, например, 3. Обозначим его на числовой оси точкой A.

Прибавим к числу положительное число 2. Это будет означать, что точку A надо переместить на два единичных отрезка в положительном направлении, то есть вправо . В результате мы получим точку B с координатой 5.
3 + (+ 2) = 5

Для того чтобы к положительному числу, например, к 3 прибавить отрицательное число (- 5), точку A надо переместить на 5 единиц длины в отрицательном направлении, то есть влево .

В этом случае координата точки B равна - 2.

Итак, порядок сложения рациональных чисел с помощью числовой оси будет следующим:
. отметить на координатной прямой точку A с координатой равной первому слагаемому;
. передвинуть её на расстояние, равное модулю второго слагаемого в направлении, которое соответствует знаку перед вторым числом (плюс - передвигаем вправо, минус - влево);
. полученная на оси точка B будет иметь координату, которая будет равна сумме данных чисел.

Пример.
- 2 + (- 6) =

Двигаясь от точки - 2 влево (так как перед 6 стоит знак минус), получим - 8.
- 2 + (- 6) = - 8

Сложение чисел с одинаковыми знаками
Складывать рациональные числа можно проще, если использовать понятие модуля.

Пускай нам нужно сложить числа, которые имеют одинаковые знаки.
Для этого, отбрасываем знаки чисел и берём модули этих чисел. Сложим модули и перед суммой поставим знак, который был общим у данных чисел.

Пример.

Пример сложения отрицательных чисел.
(- 3,2) + (- 4,3) = - (3,2 + 4,3) = - 7,5

Чтобы сложить числа одного знака надо сложить их модули и поставить перед суммой знак, который был перед слагаемыми.

Сложение чисел с разными знаками
Если числа имеют разные знаки, то действуем несколько по-иному, чем при сложении чисел с одинаковыми знаками.
. Отбрасываем знаки перед числами, то есть берём их модули.
. Из большего модуля вычитаем меньший.
. Перед разностью ставим тот знак, который был у числа с бóльшим модулем.

Пример сложения отрицательного и положительного числа.
0,3 + (- 0,8) = - (0,8 - 0,3) = - 0,5

Пример сложения смешанных чисел.

Чтобы сложить числа разного знака надо:
. из бóльшего модуля вычесть меньший модуль;
. перед полученной разностью поставить знак числа, имеющего больший модуль.

Вычитание отрицательных чисел
Как известно вычитание - это действие, противоположное сложению.
Если a и b - положительные числа, то вычесть из числа a число b, значит найти такое число c, которое при сложении с числом b даёт число a.
a - b = с или с + b = a

Определение вычитания сохраняется для всех рациональных чисел. То есть вычитание положительных и отрицательных чисел можно заменить сложением.

Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число противоположное вычитаемому.

Или по другому можно сказать, что вычитание числа b - это тоже самое сложение, но с числом противоположным числу b.
a - b = a + (- b)

Пример.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2

Пример.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2

Стоит запомнить выражения ниже.
0 - a = - a
a - 0 = a
a - a = 0

Правила вычитания отрицательных чисел
Как видно из примеров выше вычитание числа b - это сложение с числом противоположным числу b.
Это правило сохраняется не только при вычитании из бóльшего числа меньшего, но и позволяет из меньшего числа вычесть большее число, то есть всегда можно найти разность двух чисел.

Разность может быть положительным числом, отрицательным числом или числом ноль.

Примеры вычитания отрицательных и положительных чисел.
. - 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
. - 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
. 5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Удобно запомнить правило знаков, которое позволяет уменьшить количество скобок.
Знак «плюс» не изменяет знака числа, поэтому, если перед скобкой стоит плюс, то знак в скобках не меняется.
+ (+ a) = + a

+ (- a) = - a

Знак «минус» перед скобками меняет знак числа в скобках на противоположный.
- (+ a) = - a

- (- a) = + a

Из равенств видно, что если перед и внутри скобок стоят одинаковые знаки, то получаем «+», а если знаки разные, то получаем «-».
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0

Правило знаков сохраняется и в том случае, если в скобках не одно число, а алгебраическая сумма чисел.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n

Обратите внимание, если в скобках стоит несколько чисел и перед скобками стоит знак «минус», то должны меняться знаки перед всемичислами в этих скобках.

Чтобы запомнить правило знаков можно составить таблицу определения знаков числа.
Правило знаков для чисел

Или выучить простое правило.

Минус на минус даёт плюс,
Плюс на минус даёт минус.

Умножение отрицательных чисел
Используя понятие модуля числа, сформулируем правила умножения положительных и отрицательных чисел.

Умножение чисел с одинаковыми знаками
Первый случай, который может вам встретиться - это умножение чисел с одинаковыми знаками.
Чтобы умножить два числа с одинаковыми знаками надо:
. перемножить модули чисел;
. перед полученным произведением поставить знак «+» (при записи ответа знак «плюс» перед первым числом слева можно опускать).

Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.
. (- 3) . (- 6) = + 18 = 18
. 2 . 3 = 6

Умножение чисел с разными знаками
Второй возможный случай - это умножение чисел с разными знаками.
Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо:
. перемножить модули чисел;
. перед полученным произведением поставить знак «-».
Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.
. (- 0,3) . 0,5 = - 1,5
. 1,2 . (- 7) = - 8,4

Правила знаков для умножения
Запомнить правило знаков для умножения очень просто. Данное правило совпадает с правилом раскрытия скобок.

Минус на минус даёт плюс,
Плюс на минус даёт минус.

В «длинных» примерах, в которых есть только действие умножение, знак произведения можно определять по количеству отрицательных множителей.

При чётном числе отрицательных множителей результат будет положительным, а при нечётном количестве - отрицательным.
Пример.
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) =

В примере пять отрицательных множителей. Значит, знак результата будет «минус».
Теперь вычислим произведение модулей, не обращая внимание на знаки.
6 . 3 . 4 . 2 . 12 . 1 = 1728

Конечный результат умножения исходных чисел будет:
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) = - 1728

Умножение на ноль и единицу
Если среди множителей есть число ноль или положительная единица, то умножение выполняется по известным правилам.
. 0 . a = 0
. a . 0 = 0
. a . 1 = a
Примеры:
. 0 . (- 3) = 0
. 0,4 . 1 = 0,4
Особую роль при умножении рациональных чисел играет отрицательная единица (- 1).

При умножении на (- 1) число меняется на противоположное.

В буквенном выражении это свойство можно записать:
a . (- 1) = (- 1) . a = - a

При совместном выполнении сложения, вычитания и умножения рациональных чисел сохраняется порядок действий, установленный для положительных чисел и нуля.

Пример умножения отрицательных и положительных чисел.

Деление отрицательных чисел
Как выполнять деление отрицательных чисел легко понять, вспомнив, что деление - это действие, обратное умножению.

Если a и b положительные числа, то разделить число a на число b, значит найти такое число с, которое при умножении на b даёт число a.

Данное определение деления действует для любых рациональных чисел, если делители отличны от нуля.

Поэтому, например, разделить число (- 15) на число 5 - значит, найти такое число, которое при умножении на число 5 даёт число (- 15). Таким числом будет (- 3), так как
(- 3) . 5 = - 15

значит

(- 15) : 5 = - 3

Примеры деления рациональных чисел.
1. 10: 5 = 2, так как 2 . 5 = 10
2. (- 4) : (- 2) = 2, так как 2 . (- 2) = - 4
3. (- 18) : 3 = - 6, так как (- 6) . 3 = - 18
4. 12: (- 4) = - 3, так как (- 3) . (- 4) = 12

Из примеров видно, что частное двух чисел с одинаковыми знаками - число положительное (примеры 1, 2), а частное двух чисел с разными знаками - число отрицательное (примеры 3,4).

Правила деления отрицательных чисел
Чтобы найти модуль частного, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.
Итак, чтобы разделить два числа с одинаковыми знаками, надо:

. перед результатом поставить знак «+».
Примеры деления чисел с одинаковыми знаками:
. (- 9) : (- 3) = + 3
. 6: 3 = 2

Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо:
. модуль делимого разделить на модуль делителя;
. перед результатом поставить знак «-».
Примеры деления чисел с разными знаками:
. (- 5) : 2 = - 2,5
. 28: (- 2) = - 14
Для определения знака частного можно также пользоваться следующей таблицей.
Правило знаков при делении

При вычислении «длинных» выражений, в которых фигурируют только умножение и деление, пользоваться правилом знаков очень удобно. Например, для вычисления дроби

Можно обратить внимание, что в числителе 2 знака «минус», которые при умножении дадут «плюс». Также в знаменателе три знака «минус», которые при умножении дадут «минус». Поэтому в конце результат получится со знаком «минус».

Сокращение дроби (дальнейшие действия с модулями чисел) выполняется также, как и раньше:

Частное от деления нуля на число, отличное от нуля, равно нулю.
0: a = 0, a ≠ 0
Делить на ноль НЕЛЬЗЯ!

Все известные ранее правила деления на единицу действуют и на множество рациональных чисел.
. а: 1 = a
. а: (- 1) = - a
. а: a = 1
, где а - любое рациональное число.

Зависимости между результатами умножения и деления, известные для положительных чисел, сохраняются и для всех рациональных чисел (кроме числа нуль):
. если a . b = с; a = с: b; b = с: a;
. если a: b = с; a = с. b; b = a: c
Данные зависимости используются для нахождения неизвестного множителя, делимого и делителя (при решении уравнений), а также для проверки результатов умножения и деления.

Пример нахождения неизвестного.
x . (- 5) = 10

x = 10: (- 5)

x = - 2

Знак «минус» в дробях
Разделим число (- 5) на 6 и число 5 на (- 6).

Напоминаем, что черта в записи обыкновенной дроби - это тот же знак деления, и запишем частное каждого из этих действий в виде отрицательной дроби.

Таким образом знак "минус" в дроби может находиться:
. перед дробью;
. в числителе;
. в знаменателе.

При записи отрицательных дробей знак «минус» можно ставить перед дробью, переносить его из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель.

Это часто используется при выполнении действий с дробями, облегчая вычисления.

Пример. Обратите внимание, что после вынесения знака «минуса» перед скобкой мы из большего модуля вычитаем меньший по правилам сложения чисел с разными знаками.

Используя описанное свойство переноса знака в дроби, можно действовать, не выясняя, модуль какого из данных дробных чисел больше.

Правило сложения отрицательных чисел

Если вспомнить урок математики и тему «Сложение и вычитание чисел с разными знаками», то для сложения двух отрицательных чисел необходимо:

выполнить сложение их модулей;
дописать к полученной сумме знак «–».

Согласно правилу сложения можно записать:

$(−a)+(−b)=−(a+b)$.

Правило сложения отрицательных чисел применяется к отрицательным целым, рациональным и действительным числам.

Пример 1

Сложить отрицательные числа $−185$ и $−23 \ 789.$

Решение .

Воспользуемся правилом сложения отрицательных чисел.

Найдем модули данных чисел:

$|-23 \ 789|=23 \ 789$.

Выполним сложение полученных чисел:

$185+23 \ 789=23 \ 974$.

Поставим знак $«–»$ перед найденным числом и получим $−23 \ 974$.

Краткая запись решения: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.

Ответ : $−23 \ 974$.

При сложении отрицательных рациональных чисел их необходимо преобразовать к виду натуральных чисел, обыкновенных или десятичных дробей.

Пример 2

Сложить отрицательные числа $-\frac{1}{4}$ и $−7,15$.

Решение.

Согласно правилу сложения отрицательных чисел, сначала необходимо найти сумму модулей:

$|-\frac{1}{4}|=\frac{1}{4}$;

Полученные значения удобно свести к десятичным дробям и выполнить их сложение:

$\frac{1}{4}=0,25$;

$0,25+7,15=7,40$.

Поставим перед полученным значением знак $«–»$ и получим $–7,4$.

Краткая запись решения:

$(-\frac{1}{4})+(−7,15)=−(\frac{1}{4}+7,15)=–(0,25+7,15)=−7,4$.

Для сложения положительного и отрицательного числа необходимо:

вычислить модули чисел;

выполнить сравнение полученных чисел:

если они равны, то исходные числа являются противоположными и их сумма равна нулю;
если они не равны, то нужно запомнить знак числа, у которого модуль больше;

из большего модуля вычесть меньший;
перед полученным значением поставить знак того числа, у которого модуль больше.

Сложение чисел с противоположными знаками сводится к вычитанию из большего положительного числа меньшего отрицательного числа.

Правило сложения чисел с противоположными знаками выполняется для целых, рациональных и действительных чисел.

Пример 3

Сложить числа $4$ и $−8$.

Решение.

Требуется выполнить сложение чисел с противоположными знаками. Воспользуемся соответствующим правилом сложения.

Найдем модули данных чисел:

Модуль числа $−8$ больше модуля числа $4$, т.е. запомним знак $«–»$.

Поставим знак $«–»$, который запоминали, перед полученным числом, и получим $−4.$

Краткая запись решения:

$4+(–8) = –(8–4) = –4$.

Ответ : $4+(−8)=−4$.

Для сложения рациональных чисел с противоположными знаками их удобно представить в виде обыкновенных или десятичных дробей.

Вычитание чисел с разными и отрицательными знаками

Правило вычитания отрицательных чисел:

Для вычитания из числа $a$ отрицательного числа $b$ необходимо к уменьшаемому $a$ добавить число $−b$, которое является противоположным вычитаемому $b$.

Согласно правилу вычитания можно записать:

$a−b=a+(−b)$.

Данное правило справедливо для целых, рациональных и действительных чисел. Правило можно использовать при вычитании отрицательного числа из положительного числа, из отрицательного числа и из нуля.

Пример 4

Вычесть из отрицательного числа $−28$ отрицательное число $−5$.

Решение.

Противоположное число для числа $–5$ – это число $5$.

Согласно правилу вычитания отрицательных чисел получим:

$(−28)−(−5)=(−28)+5$.

Выполним сложение чисел с противоположными знаками:

$(−28)+5=−(28−5)=−23$.

Ответ : $(−28)−(−5)=−23$.

При вычитании отрицательных дробных чисел необходимо выполнить преобразование чисел к виду обыкновенных дробей, смешанных чисел или десятичных дробей.

Сложение и вычитание чисел с разными знаками

Правило вычитания чисел с противоположными знаками совпадает с правилом вычитания отрицательных чисел.

Пример 5

Вычесть положительное число $7$ из отрицательного числа $−11$.

Решение.

Противоположное число для числа $7$ – это число $–7$.

Согласно правилу вычитания чисел с противоположными знаками получим:

$(−11)−7=(–11)+(−7)$.

Выполним сложение отрицательных чисел:

$(−11)+(–7)=−(11+7)=−18$.

Краткая запись решения: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.

Ответ : $(−11)−7=−18$.

При вычитании дробных чисел с разными знаками необходимо выполнить преобразование чисел к виду обыкновенных или десятичных дробей.

В рамках этого материала мы затронем такую важную тему, как сложение отрицательных чисел. В первом параграфе мы расскажем основное правило для этого действия, а во втором – разберем конкретные примеры решения подобных задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Основное правило сложения натуральных чисел

Перед тем, как вывести правило, вспомним, что мы вообще знаем о положительных и отрицательных числах. Ранее мы условились, что отрицательные числа нужно воспринимать как долг, убыток. Модуль отрицательного числа выражает точные размеры этого убытка. Тогда сложение отрицательных чисел можно представить как сложение двух убытков.

Воспользовавшись этим рассуждением, сформулируем основное правило сложения отрицательных чисел.

Определение 1

Для того чтобы выполнить сложение отрицательных чисел , нужно сложить значения их модулей и поставить минус перед полученным результатом. В буквенном виде формула выглядит как (− a) + (− b) = − (a + b) .

Исходя из этого правила, можно сделать вывод, что сложение отрицательных чисел аналогично сложению положительных, только в итоге у нас обязательно должно получиться отрицательное число, ведь перед суммой модулей надо ставить знак минус.

Какие можно привести доказательства этого правила? Для этого нам потребуется вспомнить основные свойства действий с действительными числами (или с целыми, или с рациональными –они одинаковы для всех этих типов чисел). Для доказательства нам нужно всего лишь продемонстрировать, что разность левой и правой части равенства (− a) + (− b) = − (a + b) будет равна 0 .

Вычесть одно число из другого – это то же самое, что и прибавить к нему такое же противоположное число. Следовательно, (− a) + (− b) − (− (a + b)) = (− a) + (− b) + (a + b) . Вспомним, что числовые выражения со сложением обладают двумя основными свойствами – сочетательным и переместительным. Тогда мы можем сделать вывод, что (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) . Поскольку, сложив противоположные числа, мы всегда получаем 0 , то (− a + a) + (− b + b) = 0 + 0 , а 0 + 0 = 0 .Наше равенство можно считать доказанным, значит, и правило сложения отрицательных чисел мы тоже доказали.

Во втором параграфе мы возьмем конкретные задачи, где нужно складывать отрицательные числа, и попробуем применить в них изученное правило.

Пример 1

Найдите сумму двух отрицательных чисел - 304 и - 18 007 .

Решение

Выполним действия пошагово. Сначала нам надо найти модули складываемых чисел: - 304 = 304 , - 180007 = 180007 . Далее нам нужно выполнить действие сложения, для чего мы используем метод подсчета столбиком:

Все, что нам осталось, – это поставить минус перед результатом и получить - 18 311 .

Ответ: - - 18 311 .

От того, какие у нас числа, зависит, к чему мы можем свести действие сложения: к нахождению суммы натуральных чисел, к сложению обыкновенных или десятичных дробей. Разберем задачу с такими числами.

Пример N

Найдите сумму двух отрицательных чисел - 2 5 и − 4 , (12) .

Решение

Находим модули искомых чисел и получаем 2 5 и 4 , (12) . У нас получились две разные дроби. Сведем задачу к сложению двух обыкновенных дробей, для чего представим периодическую дробь в виде обыкновенной:

4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 - 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33

В итоге мы получили дробь, которую будет легко сложить с первым исходным слагаемым (если вы забыли, как правильно складывать дроби с разными знаменателями, повторите соответствующий материал).

2 5 + 136 33 = 2 · 33 5 · 33 + 136 · 5 33 · 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105

В итоге мы получили смешанное число, перед которым нам осталось только поставить минус. На этом расчеты завершены.

Ответ: - 4 86 105 .

Действительные отрицательные числа складываются аналогичным образом. Результат такого действия принято записывать числовым выражением. Его значение можно и не вычислять или ограничиться примерными расчетами. Так, к примеру, если нам надо найти сумму - 3 + (− 5) , то ответ мы записываем как - 3 − 5 . Сложению действительных чисел мы посвятили отдельный материал, в котором можно найти и другие примеры.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter