Здесь разберём примеры связанные с понятием объёма. Для решения подобных заданий обязательно нужно знать формулу объёма пирамиды:
S
h – высота пирамиды
Основанием может быть любой многоугольник. Но в большинстве задач на ЕГЭ речь в условии, как правило, идёт о правильных пирамидах. Напомню одно из её свойств:
Вершина правильной пирамиды проецируется в центр её основания
Посмотрите на проекцию правильной треугольной, четырёхугольной и шестиугольной пирамид (ВИД СВЕРХУ):
Можете на блоге, где разбирались задачи связанные с нахождением объёма пирамиды. Рассмотрим задачи:
27087. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна корню из трёх.
S – площадь основания пирамиды
h – высота пирамиды
Найдём площадь основания пирамиды, это правильный треугольник. Воспользуемся формулой – площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними, значит:
Ответ: 0,25
27088. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен корню из трёх.
Такие понятия как высота пирамиды и характеристики её основания связаны формулой объёма:
S – площадь основания пирамиды
h – высота пирамиды
Сам объём нам известен, площадь основания можем найти, так как известны стороны треугольника, который является основанием. Зная указанные величины без труда найдём высоту.
Для нахождения площади основания воспользуемся формулой – площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними, значит:
Таким образом, подставив данные значения в формулу объема можем вычислить высоту пирамиды:
Высота равна трём.
Ответ: 3
27109. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.
Объём пирамиды вычисляется по формуле:
S – площадь основания пирамиды
h – высота пирамиды
Высота нам известна. Необходимо найти площадь основания. Напомню, что вершина правильной пирамиды проецируется в центр её основания. Основанием правильной четырёхугольной пирамиды является квадрат. Мы можем найти его диагональ. Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен синим):
Отрезок соединяющий центр квадрата с точкой В это катет, который равен половине диагонали квадрата. Этот катет можем вычислить по теореме Пифагора:
Значит BD = 16. Вычислим площадь квадрата воспользовавшись формулой площади четырёхугольника:
Следовательно:
Таким образом, объём пирамиды равен:
Ответ: 256
27178. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.
Высота пирамиды и её и объём известны, значит можем найти площадь квадрата, который является основанием. Зная площадь квадрата, мы сможем найти его диагональ. Далее рассмотрев прямоугольный треугольник по теореме Пифагора вычислим боковое ребро:
Найдём площадь квадрата (основания пирамиды):
Вычислим диагональ квадрата. Так как его площадь равна 50, то сторона будет равна корню из пятидесяти и по теореме Пифагора:
Точка О делит диагональ BD пополам, значит катет прямоугольного треугольника ОВ = 5.
Таким образом, можем вычислить чему равно боковое ребро пирамиды:
Ответ: 13
245353. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.
Как уже неоднократно было сказано – объём пирамиды вычисляется по формуле:
S – площадь основания пирамиды
h – высота пирамиды
Боковое ребро перпендикулярное основанию равно трём, это означает, что высота пирамиды равна трём. Основания пирамиды – это многоугольник, площадь которого равна:
Таким образом:
Ответ: 27
27086. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.
На этом всё. Успеха Вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Главной характеристикой любой геометрической фигуры в пространстве является ее объем. В данной статье рассмотрим, что собой представляет пирамида с треугольником в основании, а также покажем, как находить объем треугольной пирамиды - правильной полной и усеченной.
Что это - треугольная пирамида?
Каждый слышал о древних египетских пирамидах, тем не менее они являются четырехугольными правильными, а не треугольными. Объясним, как получить треугольную пирамиду.
Возьмем произвольный треугольник и соединим все его вершины с некоторой одной точкой, расположенной вне плоскости этого треугольника. Образованная фигура будет называться треугольной пирамидой. Она показана на рисунке ниже.
Как видно, рассматриваемая фигура образована четырьмя треугольниками, которые в общем случае являются разными. Каждый треугольник - это стороны пирамиды или ее грань. Эту пирамиду часто называют тетраэдром, то есть четырехгранной объемной фигурой.
Помимо сторон, пирамида также обладает ребрами (их у нее 6) и вершинами (их 4).
с треугольным основанием
Фигура, которая получена с использованием произвольного треугольника и точки в пространстве, будет неправильной наклонной пирамидой в общем случае. Теперь представим, что исходный треугольник имеет одинаковые стороны, а точка пространства расположена точно над его геометрическим центром на расстоянии h от плоскости треугольника. Построенная с использованием этих исходных данных пирамида будет правильной.
Очевидно, что число ребер, сторон и вершин у правильной треугольной пирамиды будет таким же, как у пирамиды, построенной из произвольного треугольника.
Однако правильная фигура обладает некоторыми отличительными чертами:
- ее высота, проведенная из вершины, точно пересечет основание в геометрическом центре (точка пересечения медиан);
- боковая поверхность такой пирамиды образована тремя одинаковыми треугольниками, которые являются равнобедренными или равносторонними.
Правильная треугольная пирамида является не только чисто теоретическим геометрическим объектом. Некоторые структуры в природе имеют ее форму, например кристаллическая решетка алмаза, где атом углерода соединен с четырьмя такими же атомами ковалентными связями, или молекула метана, где вершины пирамиды образованы атомами водорода.
треугольной пирамиды
Определить объем совершенно любой пирамиды с произвольным n-угольником в основании можно с помощью следующего выражения:
Здесь символ S o обозначает площадь основания, h - это высота фигуры, проведенная к отмеченному основанию из вершины пирамиды.
Поскольку площадь произвольного треугольника равна половине произведения длины его стороны a на апофему h a , опущенную на эту сторону, то формула объема треугольной пирамиды может быть записана в следующем виде:
V = 1/6 × a × h a × h
Для общего типа определение высоты является непростой задачей. Для ее решения проще всего воспользоваться формулой расстояния между точкой (вершиной) и плоскостью (треугольным основанием), представленной уравнением общего вида.
Для правильной имеет конкретный вид. Площадь основания (равностороннего треугольника) для нее равна:
Подставляем ее в общее выражение для V, получаем:
V = √3/12 × a 2 × h
Частным случаем является ситуация, когда у тетраэдра все стороны оказываются одинаковыми равносторонними треугольниками. В этом случае определить его объем можно, только исходя из знания параметра его ребра a. Соответствующее выражение имеет вид:
Усеченная пирамида
Если верхнюю часть, содержащую вершину, отсечь у правильной треугольной пирамиды, то получится усеченная фигура. В отличие от исходной она будет состоять из двух равносторонних треугольных оснований и трех равнобедренных трапеций.
Ниже на фото показано, как выглядит правильная усеченная пирамида треугольная, изготовленная из бумаги.
Для определения объема треугольной пирамиды усеченной необходимо знать три ее линейных характеристики: каждую из сторон оснований и высоту фигуры, равную расстоянию между верхним и нижним основаниями. Соответствующая формула для объема записывается так:
V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)
Здесь h - высота фигуры, A и a - длины сторон большого (нижнего) и малого (верхнего) равносторонних треугольников соответственно.
Решение задачи
Чтобы приведенная информация в статье была понятнее для читателя, покажем на наглядном примере, как пользоваться некоторыми из записанных формул.
Пусть объем треугольной пирамиды равен 15 см 3 . Известно, что фигура является правильной. Следует найти апофему a b бокового ребра, если известно, что высота пирамиды составляет 4 см.
Поскольку известны объем и высота фигуры, то можно воспользоваться соответствующей формулой для вычисления длины стороны ее основания. Имеем:
V = √3/12 × a 2 × h =>
a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 см
a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √(16 + 25,98 2 / 12) = 8,5 см
Рассчитанная длина апофемы фигуры получилась больше ее высоты, что справедливо для пирамиды любого типа.
Четырехугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит квадрат, а все боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками.
У данного многогранника есть множество различных свойств:
- Его боковые ребра и прилегающие к ним двугранные углы равны между собой;
- Площади боковых граней одинаковы;
- В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат;
- Высота, опущенная из вершины пирамиды, пересекается с точкой пересечения диагоналей основания.
Все эти свойства помогают легко находить . Однако довольно часто помимо нее требуется рассчитать объем многогранника. Для этого применяется формула объема четырехугольной пирамиды:
То есть объем пирамиды равен одной третьей произведения высоты пирамиды на площадь основания. Так как равна произведению его равных сторон, то мы сразу вписываем в выражение объема формулу площади квадрата.
Рассмотрим пример расчета объема четырехугольной пирамиды.
Пусть дана четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат со стороной a
= 6 см. Боковая грань пирамиды равна b
= 8 см. Найдите объем пирамиды.
Чтобы найти объем заданного многогранника, нам потребуется длина его высоты. Поэтому мы найдем ее, применив теорему Пифагора. Для начала рассчитаем длину диагонали. В синем треугольнике она будет гипотенузой. Стоит также помнить, что диагонали квадрата равны между собой и в точке пересечения делятся пополам:
Теперь из красного треугольника найдем необходимую нам высоту h
. Она будет равна:
Подставим необходимые значения и найдем высоту пирамиды:
Теперь, зная высоту, можем подставлять все значения в формулу объема пирамиды и рассчитывать необходимую величину:
Вот таким образом, зная несколько простых формул, мы смогли рассчитать объем правильной четырехугольной пирамиды. Не забывайте, что данная величина измеряется в кубических единицах.
Слово «пирамида» невольно ассоциируется с величественными великанами в Египте, верно хранящими покой фараонов. Может быть поэтому пирамиду как безошибочно узнают все, даже дети.
Тем не менее, попробуем дать ей геометрическое определение. Представим на плоскости несколько точек (А1,А2,..., Ап) и еще одну (Е), не принадлежайшую ей. Так вот, если точку Е (вершину) соединить с вершинами многоугольника, образованного точками А1,А2,..., Ап (основание), получится многогранник, который и называют пирамидой. Очевидно, что вершин у многоугольника в основании пирамиды может быть сколько угодно, и в зависимости от их количества пирамиду можно назвать треугольной и четырехугольной, пятиугольной и т.д.
Если внимательно присмотреться к пирамиде, то станет ясно, почему ее определяют еще и по-другому - как геометрическую фигуру, имеющую в основании многоугольник, а в качестве боковых граней - треугольники, объединенные общей вершиной.
Поскольку пирамида - пространственная фигура, то и у нее есть такая количественная характеристика, как вычисляют по хорошо известной равного трети произведения основания пирамиды на ее высоту:
Объем пирамиды при выводе формулы первоначально рассчитывается для треугольной, взяв за основу постоянное соотношение, связывающее эту величину с объемом треугольной призмы, имеющей то же основание и высоту, которая, как оказывается, в три раза превышает этот объем.
А поскольку любая пирамида разбивается на треугольные, и ее объем не зависит от выполняемых при доказательстве построений, правомерность приведенной формулы объема - очевидна.
Особняком среди всех пирамид стоят правильные, у которых в основании лежит Что же касается , то она должна «оканчиваться» в центре основания.
В случае неправильного многоугольника в основании для вычисления площади основания потребуется:
- разбить его на треугольники и квадраты;
- подсчитать площадь каждого из них;
- сложить полученные данные.
В случае правильного многоугольника в основании пирамиды, его площадь рассчитывают по готовым формулам, поэтому объем правильной пирамиды вычисляется совсем просто.
Например, чтобы вычислить объем четырехугольной пирамиды, если она правильная, возводят длину стороны правильного четырехугольника (квадрата) в основании в квадрат и, умножив на высоту пирамиды, делят полученное произведение на три.
Объем пирамиды можно вычислить, используя и другие параметры:
- как треть произведения радиуса шара, вписанного в пирамиду, на площадь ее полной поверхности;
- как две трети произведения расстояния между двумя произвольно взятыми скрещивающимися ребрами и площади параллелограмма, который образуют середины оставшихся четырех ребер.
Объем пирамиды вычисляется просто и в случае, когда его высота совпадает с одним из боковых ребер, то есть в случае прямоугольной пирамиды.
Говоря о пирамидах, нельзя обойти вниманием также усеченные пирамиды, полученные сечением пирамиды параллельной основанию плоскостью. Их объем практически равен разности объемов целой пирамиды и отсеченной вершины.
Первым объем пирамиды, правда не совсем в его современном виде, однако равным 1/3 объема известной нам призмы, нашел Демокрит. Его метод подсчета Архимед назвал «без доказательства», поскольку Демокрит подходил к пирамиде, как к фигуре, сложенной из бесконечно тонких, подобных пластинок.
К вопросу нахождения объема пирамиды «обратилась» и векторная алгебра, используя для этого координаты ее вершин. Пирамида, построенная на тройке векторов a,b,c, равна одной шестой от модуля смешанного произведения заданных векторов.