§ 87. Сложение дробей.
Сложение дробей имеет много сходства со сложением целых чисел. Сложение дробей есть действие, состоящее в том, что несколько данных чисел (слагаемых) соединяются в одно число (сумму), содержащее в себе все единицы и доли единиц слагаемых.
Мы последовательно рассмотрим три случая:
1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.
2. Сложение дробей с разными знаменателями.
3. Сложение смешанных чисел.
1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.
Рассмотрим пример: 1 / 5 + 2 / 5 .
Возьмём отрезок АВ (рис. 17), примем его за единицу и разделим на 5 равных частей, тогда часть АС этого отрезка будет равна 1 / 5 отрезка АВ, а часть того же отрезка CD будет равна 2 / 5 АВ.
Из чертежа видно, что если взять отрезок AD, то он будет равен 3 / 5 АВ; но отрезок AD как раз и есть сумма отрезков АС и CD. Значит, можно записать:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Рассматривая данные слагаемые и полученную сумму, мы видим, что числитель суммы получился от сложения числителей слагаемых, а знаменатель остался без изменения.
Отсюда получаем следующее правило: чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители и оставить тот же знаменатель.
Рассмотрим пример:
2. Сложение дробей с разными знаменателями.
Сложим дроби: 3 / 4 + 3 / 8 Предварительно их нужно привести к наименьшему общему знаменателю:
Промежуточное звено 6 / 8 + 3 / 8 можно было бы и не писать; мы написали его здесь для большей ясности.
Таким образом, чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно предварительно привести их к наименьшему общему знаменателю, сложить их числители и подписать общий знаменатель.
Рассмотрим пример (дополнительные множители будем писать над соответствующими дробями):
3. Сложение смешанных чисел.
Сложим числа: 2 3 / 8 + 3 5 / 6 .
Приведём сначала дробные части наших чисел к общему знаменателю и снова их перепишем:
Теперь сложим последовательно целые и дробные части:
§ 88. Вычитание дробей.
Вычитание дробей определяется так же, как и вычитание целых чисел. Это есть действие, с помощью которого по данной сумме двух слагаемых и одному из них отыскивается другое слагаемое. Рассмотрим последовательно три случая:
1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
2. Вычитание дробей с разными знаменателями.
3. Вычитание смешанных чисел.
1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
Рассмотрим пример:
13 / 15 - 4 / 15
Возьмём отрезок АВ (рис. 18), примем его за единицу и разделим на 15 равных частей; тогда часть АС этого отрезка будет представлять собой 1 / 15 от АВ, а часть AD того же отрезка будет соответствовать 13 / 15 AB. Отложим ещё отрезок ED, равный 4 / 15 АВ.
Нам требуется вычесть из 13 / 15 дробь 4 / 15 . На чертеже это значит, что от отрезка AD нужно отнять отрезок ED. В результате останется отрезок AЕ, который составляет 9 / 15 отрезка АВ. Значит, мы можем написать:
Сделанный нами пример показывает, что числитель разности получился от вычитания числителей, а знаменатель остался тот же самый.
Следовательно, чтобы сделать вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, нужновычесть числитель вычитаемого из числителя уменьшаемого и оставить прежний знаменатель.
2. Вычитание дробей с разными знаменателями.
Пример. 3 / 4 - 5 / 8
Предварительно приведём эти дроби к наименьшему общему знаменателю:
Промежуточное звено 6 / 8 - 5 / 8 написано здесь для большей ясности, но его можно в дальнейшем пропускать.
Таким образом, чтобы вычесть дробь из дроби, нужно предварительно привести их к наименьшему общему знаменателю, затем из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого и под их разностью подписать общий знаменатель.
Рассмотрим пример:
3. Вычитание смешанных чисел.
Пример. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .
Приведём дробные части уменьшаемого и вычитаемого к наименьшему общему знаменателю:
Мы вычли целое из целого и дробь из дроби. Но бывают случаи, когда дробная часть вычитаемого больше дробной части уменьшаемого. В таких случаях нужно взять одну единицу из целой части уменьшаемого, раздробить её в те доли, в каких выражена дробная часть, и прибавить к дробной части уменьшаемого. А затем вычитание будет выполняться так же, как и в предыдущем примере:
§ 89. Умножение дробей.
При изучении умножения дробей мы будем рассматривать следующие вопросы:
1. Умножение дроби на целое число.
2. Нахождение дроби данного числа.
3. Умножение целого числа на дробь.
4. Умножение дроби на дробь.
5. Умножение смешанных чисел.
6. Понятие о проценте.
7. Нахождение процентов данного числа. Рассмотрим их последовательно.
1. Умножение дроби на целое число.
Умножение дроби на целое число имеет тот же смысл, что и умножение целого числа на целое. Умножить дробь (множимое) на целое число (множитель) - значит составить сумму одинаковых слагаемых, в которой каждое слагаемое равно множимому, а число слагаемых равно множителю.
Значит, если нужно 1 / 9 умножить на 7, то это можно выполнить так:
Мы легко получили результат, так как действие свелось к сложению дробей с одинаковыми знаменателями. Следовательно,
Рассмотрение этого действия показывает, что умножение дроби на целое число равносильно увеличению этой дроби во столько раз, сколько единиц содержится в целом числе. А так как увеличение дроби достигается или путём увеличения её числителя
или путём уменьшения её знаменателя 
,то мы можем либо умножить числитель на целое, либо разделить на него знаменатель, если такое деление возможно.
Отсюда получаем правило:
Чтобы умножить дробь на целое число, нужно умножить на это целое число числитель и оставить тот же знаменатель или, если возможно, разделить на это число знаменатель, оставив без изменения числитель.
При умножении возможны сокращения, например:
2. Нахождение дроби данного числа. Существует множество задач, при решении которых приходится находить, или вычислять, часть данного числа. Отличие этих задач от прочих состоит в том, что в них даётся число каких-нибудь предметов или единиц измерения и требуется найти часть этого числа, которая здесь же указывается определённой дробью. Для облегчения понимания мы сначала приведём примеры таких задач, а потом познакомим со способом их решения.
Задача 1. У меня было 60 руб.; 1 / 3 этих денег я израсходовал на покупку книг. Сколько стоили книги?
Задача 2. Поезд должен пройти расстояние между городами А и В, равное 300 км. Он уже прошёл 2 / 3 этого расстояния. Сколько это составляет километров?
Задача 3. В селе 400 домов, из них 3 / 4 кирпичных, остальные деревянные. Сколько всего кирпичных домов?
Вот некоторые из тех многочисленных задач на нахождение части от данного числа, с которыми нам приходится встречаться. Их обычно называют задачами на нахождение дроби данного числа.
Решение задачи 1. Из 60 руб. я израсходовал на книги 1 / 3 ; Значит, для нахождения стоимости книг нужно число 60 разделить на 3:
Решение задачи 2. Смысл задачи заключается в том, что нужно найти 2 / 3 от 300 км. Вычислим сначала 1 / 3 от 300; это достигается при помощи деления 300 км на 3:
300: 3 = 100 (это 1 / 3 от 300).
Для нахождения двух третей от 300 нужно полученное частное увеличить вдвое, т. е. умножить на 2:
100 х 2 = 200 (это 2 / 3 от 300).
Решение задачи 3. Здесь нужно определить число кирпичных домов, которые составляют 3 / 4 от 400. Найдём сначала 1 / 4 от 400,
400: 4 = 100 (это 1 / 4 от 400).
Для вычисления трёх четвертей от 400 полученное частное нужно увеличить втрое, т. е. умножить на 3:
100 х 3 = 300 (это 3 / 4 от 400).
На основании решения этих задач мы можем вывести следующее правило:
Чтобы найти величину дроби от данного числа, нужно разделить это число на знаменатель дроби и полученное частное умножить на её числитель.
3. Умножение целого числа на дробь.
Ранее (§ 26) было установлено, что умножение целых чисел нужно понимать, как сложение одинаковых слагаемых (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). В настоящем параграфе (пункт 1) было установлено, что умножить дробь на целое число - это значит найти сумму одинаковых слагаемых, равных этой дроби.
В обоих случаях умножение состояло в нахождении суммы одинаковых слагаемых.
Теперь мы переходим к умножению целого числа на дробь. Здесь мы встретимся с таким, например, умножением: 9 2 / 3 . Совершенно очевидно, что прежнее определение умножения не подходит к данному случаю. Это видно из того, что мы не можем такое умножение заменить сложением равных между собой чисел.
В силу этого нам придётся дать новое определение умножения, т. е., иными словами, ответить на вопрос, что следует разуметь под умножением на дробь, как нужно понимать это действие.
Смысл умножения целого числа на дробь выясняется из следующего определения: умножить целое число (множимое) на дробь (множитель) - значит найти эту дробь множимого.
Именно, умножить 9 на 2 / 3 - значит найти 2 / 3 от девяти единиц. В предыдущем пункте решались такие задачи; поэтому легко сообразить, что у нас в результате получится 6.
Но теперь возникает интересный и важный вопрос: почему такие на первый взгляд различные действия, как нахождение суммы равных чисел и нахождение дроби числа, в арифметике называются одним и тем же словом «умножение»?
Происходит это потому, что прежнее действие (повторение числа слагаемым несколько раз) и новое действие (нахождение дроби числа) дают ответ на однородные вопросы. Значит, мы исходим здесь из тех соображений, что однородные вопросы или задачи решаются одним и тем же действием.
Чтобы это понять, рассмотрим следующую задачу: «1 м сукна стоит 50 руб. Сколько будет стоить 4 м такого сукна?»
Эта задача решается умножением числа рублей (50) на число метров (4), т. е. 50 x 4 = 200 (руб.).
Возьмём такую же задачу, но в ней количество сукна будет выражено дробным числом: «1 м сукна стоит 50 руб. Сколько будет стоить 3 / 4 м такого сукна?»
Эту задачу тоже нужно решать умножением числа рублей (50) на число метров (3 / 4) .
Можно и ещё несколько раз, не меняя смысла задачи, изменить в ней числа, например взять 9 / 10 м или 2 3 / 10 м и т. д.
Так как эти задачи имеют одно и то же содержание и отличаются только числами, то мы называем действия, применяемые при их решении, одним и тем же словом - умножение.
Как выполняется умножение целого числа на дробь?
Возьмём числа, встретившиеся в последней задаче:
Согласно определению мы должны найти 3 / 4 от 50. Найдём сначала 1 / 4 от 50, а затем 3 / 4 .
1 / 4 числа 50 составляет 50 / 4 ;
3 / 4 числа 50 составляют .
Следовательно.
Рассмотрим ещё один пример: 12 5 / 8 = ?
1 / 8 числа 12 составляет 12 / 8 ,
5 / 8 числа 12 составляют .
Следовательно,
Отсюда получаем правило:
Чтобы умножить целое число на дробь, надо умножить целое число на числитель дроби и это произведение сделать числителем, а знаменателем подписать знаменатель данной дроби.
Запишем это правило с помощью букв:
Чтобы это правило стало совершенно понятным, следует помнить, что дробь можно рассматривать как частное. Поэтому найденное правило полезно сравнить с правилом умножения числа на частное, которое было изложено в § 38
Необходимо помнить, что прежде чем выполнять умножение, следует делать (если возможно) сокращения , например:
4. Умножение дроби на дробь. Умножение дроби на дробь имеет тот же смысл, что и умножение целого числа на дробь, т. е. при умножении дроби на дробь нужно от первой дроби (множимого) найти дробь, стоящую во множителе.
Именно, умножить 3 / 4 на 1 / 2 (половину) - это значит найти половину от 3 / 4 .
Как выполняется умножение дроби на дробь?
Возьмём пример: 3 / 4 умножить на 5 / 7 . Это значит, что нужно найти 5 / 7 от 3 / 4 . Найдем сначала 1 / 7 от 3 / 4 , а потом 5 / 7
1 / 7 числа 3 / 4 выразится так:
5 / 7 числа 3 / 4 выразятся так:
Таким образом,
Еще пример: 5 / 8 умножить на 4 / 9 .
1 / 9 числа 5 / 8 составляет ,
4 / 9 числа 5 / 8 составляют .
Таким образом, 
Из рассмотрения этих примеров можно вывести следующее правило:
Чтобы умножить дробь на дробь, нужно умножить числитель на числитель, а знаменатель - на знаменатель и первое произведение сделать числителем, а второе - знаменателем произведения.
Это правило в общем виде можно записать так:
При умножении необходимо делать (если возможно) сокращения. Рассмотрим примеры:
5. Умножение смешанных чисел. Так как смешанные числа легко могут быть заменены неправильными дробями, то этим обстоятельством обычно пользуются при умножении смешанных чисел. Это значит, что в тех случаях, когда множимое, или множитель, или оба сомножителя выражены смешанными числами, то их заменяют неправильными дробями. Перемножим, например, смешанные числа: 2 1 / 2 и 3 1 / 5 . Обратим каждое из них в неправильную дробь и потом будем перемножать полученные дроби по правилу умножения дроби на дробь:
Правило. Чтобы перемножить смешанные числа, нужно предварительно обратить их в неправильные дроби и потом перемножить по правилу умножения дроби на дробь.
Примечание. Если один из сомножителей - целое число, то умножение может быть выполнено на основании распределительного закона так:
6. Понятие о проценте. При решении задач и при выполнении различных практических расчётов мы пользуемся всевозможными дробями. Но нужно иметь в виду, что многие величины допускают не любые, а естественные для них подразделения. Например, можно взять одну сотую (1 / 100) рубля, это будет копейка, две сотых - это 2 коп., три сотых - 3 коп. Можно взять 1 / 10 рубля, это будет"10 коп., или гривенник. Можно взять четверть рубля, т. е. 25 коп., половину рубля, т. е. 50 коп. (полтинник). Но практически не берут, например, 2 / 7 рубля потому, что рубль на седьмые доли не делится.
Единица измерения веса, т. е. килограмм, допускает прежде всего десятичные подразделения, например 1 / 10 кг, или 100 г. А такие доли килограмма, как 1 / 6 , 1 / 11 , 1 / 13 неупотребительны.
Вообще наши (метрические) меры являются десятичными и допускают десятичные подразделения.
Однако надо заметить, что крайне полезно и удобно в самых разнообразных случаях пользоваться одинаковым (однообразным) способом подразделения величин. Многолетний опыт показал, что таким хорошо оправдавшим себя делением является «сотенное» деление. Рассмотрим несколько примеров, относящихся к самым разнообразным областям человеческой практики.
1. Цена на книги понизилась на 12 / 100 прежней цены.
Пример. Прежняя цена книги 10 руб. Она понизилась на 1 рубль. 20 коп.
2. Сберегательные кассы выплачивают в течение года вкладчикам 2 / 100 суммы, которая положена на сбережение.
Пример. В кассу положено 500 руб., доход с этой суммы за год составляет 10 руб.
3. Число выпускников одной школы составило 5 / 100 от общего числа учащихся.
П р и м е р. В школе обучалось всего 1 200 учащихся, из них окончили школу 60 человек.
Сотая часть числа называется процентом .
Слово «процент» заимствовано из латинского языка и его корень «цент» означает сто. Вместе с предлогом (pro centum) это слово обозначает «за сотню». Смысл такого выражения вытекает из того обстоятельства, что первоначально в древнем Риме процентами назывались деньги, которые платил должник заимодавцу «за каждую сотню». Слово «цент» слышится в таких всем знакомых словах: центнер (сто килограммов), центиметр (говорится сантиметр).
Например, вместо того чтобы говорить, что завод за истекший месяц дал брака 1 / 100 от всей выработанной им продукции, мы будем говорить так: завод за истекший месяц дал один процент брака. Вместо того чтобы говорить: завод выработал продукции на 4 / 100 больше установленного плана, мы будем говорить: завод перевыполнил план на 4 процента.
Изложенные выше примеры можно высказать иначе:
1. Цена на книги понизилась на 12 процентов прежней цены.
2. Сберегательные кассы выплачивают вкладчикам за год 2 процента с суммы, положенной на сбережение.
3. Число выпускников одной школы составляло 5 процентов числа всех учащихся школы.
Для сокращения письма принято вместо слова «процент» писать значок %.
Однако нужно помнить, что в вычислениях значок % обычно не пишется, он может быть записан в условии задачи и в окончательном результате. При выполнении же вычислений нужно писать дробь со знаменателем 100 вместо целого числа с этим значком.
Нужно уметь заменять целое число с указанным значком дробью с знаменателем 100:
Обратно, нужно привыкнуть вместо дроби с знаменателем 100 писать целое число с указанным значком:
7. Нахождение процентов данного числа.
Задача 1. Школа получила 200 куб. м дров, причём берёзовые дрова составляли 30%. Сколько было берёзовых дров?
Смысл этой задачи состоит в том, что берёзовые дрова составляли лишь часть тех дров, которые были доставлены в школу, и эта часть выражается дробью 30 / 100 . Значит, перед нами задача на нахождение дроби от числа. Для её решения мы должны 200 умножить на 30 / 100 (задачи на нахождение дроби числа решаются умножением числа на дробь.).
Значит, 30% от 200 равняются 60.
Дробь 30 / 100 , встречавшаяся в этой задаче, допускает сокращение на 10. Можно было бы с самого начала выполнить это сокращение; решение задачи от этого не изменилось бы.
Задача 2. В лагере было 300 детей различных возрастов. Дети 11 лет составляли 21%, дети 12 лет составляли 61% и, наконец, 13-летних детей было 18%. Сколько было детей каждого возраста в лагере?
В этой задаче нужно выполнить три вычисления, т. е. последовательно найти число детей 11 лет, потом 12 лет и, наконец, 13 лет.
Значит, здесь нужно будет три раза отыскать дробь от числа. Сделаем это:
1) Сколько было детей 11-летнего возраста?
2) Сколько было детей 12-летнего возраста?
3) Сколько было детей 13-летнего возраста?
После решения задачи полезно сложить найденные числа; сумма их должна составить 300:
63 + 183 + 54 = 300
Следует также обратить внимание на то, что сумма процентов, данных в условии задачи, составляет 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Это говорит о том, что общее число детей, находившихся в лагере, было принято за 100%.
3 а д а ч а 3. Рабочий получил за месяц 1 200 руб. Из них 65% он израсходовал на питание, 6% - на квартиру и отопление, 4% - на газ, электричество и радио, 10% - на культурные нужды и 15% - сберёг. Сколько денег израсходовано на указанные в задаче нужды?
Для решения этой задачи нужно 5 раз найти дробь от числа 1 200. Сделаем это.
1) Сколько денег израсходовано на питание? В задаче сказано, что этот расход составляет 65% от всего заработка, т. е. 65 / 100 от числа 1 200. Сделаем вычисление:
2) Сколько денег уплачено за квартиру с отоплением? Рассуждая подобно предыдущему, мы придём к следующему вычислению:
3) Сколько денег уплатили за газ, электричество и радио?
4) Сколько денег израсходовано на культурные нужды?
5) Сколько денег рабочий сберёг?
Для проверки полезно сложить числа, найденные в этих 5 вопросах. Сумма должна составить 1 200 руб. Весь заработок принят за 100%, что легко проверить, сложив числа процентов, данные в условии задачи.
Мы решили три задачи. Несмотря на то, что в этих задачах речь шла о различных вещах (доставка дров для школы, число детей различных возрастов, расходы рабочего), они решались одним и тем же способом. Это произошло потому, что во всех задачах нужно было найти несколько процентов от данных чисел.
§ 90. Деление дробей.
При изучении деления дробей мы будем рассматривать следующие вопросы:
1. Деление целого числа на целое.
2. Деление дроби на целое число
3. Деление целого числа на дробь.
4. Деление дроби на дробь.
5. Деление смешанных чисел.
6. Нахождение числа по данной его дроби.
7. Нахождение числа по его процентам.
Рассмотрим их последовательно.
1. Деление целого числа на целое.
Как было указано в отделе целых чисел, делением называется действие, состоящее в том, что по данному произведению двух сомножителей (делимому) и одному из этих сомножителей (делителю) отыскивается другой сомножитель.
Деление целого числа на целое мы рассматривали в отделе целых чисел. Мы встретили там два случая деления: деление без остатка, или «нацело» (150: 10 = 15), и деление с остатком (100: 9 = 11 и 1 в остатке). Мы можем, следовательно, сказать, что в области целых чисел точное деление не всегда возможно, потому что делимое не всегда является произведением делителя на целое число. После введения умножения на дробь мы можем всякий случай деления целых чисел считать возможным (исключается только деление на нуль).
Например, разделить 7 на 12 -это значит найти такое число, произведение которого на 12 было бы равно 7. Таким числом является дробь 7 / 12 потому что 7 / 12 12 =7. Ещё пример: 14: 25 = 14 / 25 , потому что 14 / 25 25 = 14.
Таким образом, чтобы разделить целое число на целое, нужно составить дробь, числитель которой равен делимому, а знаменатель - делителю.
2. Деление дроби на целое число.
Разделить дробь 6 / 7 на 3. Согласно данному выше определению деления мы имеем здесь произведение (6 / 7) и один из сомножителей (3); требуется найти такой второй сомножитель, который от умножения на 3 дал бы данное произведение 6 / 7 . Очевидно, он должен быть втрое меньше этого произведения. Значит, поставленная перед нами задача состояла в том, чтобы дробь 6 / 7 уменьшить в 3 раза.
Мы уже знаем, что уменьшение дроби можно выполнить или путём уменьшения её числителя, или путём увеличения её знаменателя. Поэтому можно написать:
В данном случае числитель 6 делится на 3, поэтому следует уменьшить в 3 раза числитель.
Возьмём другой пример: 5 / 8 разделить на 2. Здесь числитель 5 не делится нацело на 2, значит, на это число придётся умножить знаменатель:
На основании этого можно высказать правило: чтобы разделить дробь на целое число, нужно разделить на это целое число числитель дроби (если это возможно), оставив тот же знаменатель, или умножить на это число знаменатель дроби, оставив тот же числитель.
3. Деление целого числа на дробь.
Пусть требуется разделить 5 на 1 / 2 , т. е. найти такое число, которое после умножения на 1 / 2 даст произведение 5. Очевидно, это число должно быть больше 5, так как 1 / 2 есть правильная дробь, а при умножении числа на правильную дробь произведение должно быть меньше множимого. Чтобы это было понятнее, запишем наши действия следующим образом: 5: 1 / 2 = х , значит, х 1 / 2 = 5.
Мы должны найти такое число х , которое, будучи умножено на 1 / 2 дало бы 5. Так как умножить некоторое число на 1 / 2 - это значит найти 1 / 2 этого числа, то, следовательно, 1 / 2 неизвестного числа х равна 5, а всё число х вдвое больше, т. е. 5 2 = 10.
Таким образом, 5: 1 / 2 = 5 2 = 10
Проверим: 
Рассмотрим ещё один пример. Пусть требуется разделить 6 на 2 / 3 . Попробуем сначала найти искомый результат с помощью чертежа (рис. 19).
Рис.19
Изобразим отрезок АВ, равный 6 каким-нибудь единицам, и разделим каждую единицу на 3 равные части. В каждой единице три трети (3 / 3) во всём отрезке АВ в 6 раз больше,т. е. 18 / 3 . Соединим при помощи маленьких скобочек 18 полученных отрезков по 2; получится всего 9 отрезков. Значит дробь 2 / 3 содержится в б единицах 9 раз, или, иными словами, дробь 2 / 3 в 9 раз меньше 6 целых единиц. Следовательно,
Каким образом получить этот результат без чертежа при помощи одних только вычислений? Будем рассуждать так: требуется 6 разделить на 2 / 3 , т. е. требуется ответить на вопрос, сколько раз 2 / 3 содержатся в 6. Узнаем сначала: сколько раз 1 / 3 содержится в 6? В целой единице - 3 трети, а в 6 единицах - в 6 раз больше, т. е. 18 третей; для нахождения этого числа мы должны 6 умножить на 3. Значит, 1 / 3 содержится в б единицах 18 раз, а 2 / 3 содержатся в б не 18 раз, а вдвое меньше раз, т. е. 18: 2 = 9. Следовательно, при делении 6 на 2 / 3 мы выполнили следующие действия:
Отсюда получаем правило деления целого числа на дробь. Чтобы разделить целое число на дробь, надо это целое число умножить на знаменатель данной дроби и, сделав это произведение числителем, разделить его на числитель данной дроби.
Запишем правило при помощи букв:
Чтобы это правило стало совершенно понятным, следует помнить, что дробь можно рассматривать как частное. Поэтому найденное правило полезно сравнить с правилом деления числа на частное, которое было изложено в § 38 . Обратите внимание на то, что там была получена такая же формула.
При делении возможны сокращения, например:
4. Деление дроби на дробь.
Пусть требуется разделить 3 / 4 на 3 / 8 . Что будет обозначать число, которое получится в результате деления? Оно будет давать ответ на вопрос, сколько раз дробь 3 / 8 содержится в дроби 3 / 4 . Чтобы разобраться в этом вопросе, сделаем чертёж (рис. 20).
Возьмём отрезок АВ, примем его за единицу, разделим на 4 равные части и отметим 3 такие части. Отрезок АС будет равен 3 / 4 отрезка АВ. Разделим теперь каждый из четырёх первоначальных отрезков пополам, тогда отрезок АВ разделится на 8 равных частей и каждая такая часть будет равна 1 / 8 отрезка АВ. Соединим дугами по 3 таких отрезка, тогда каждый из отрезков AD и DC будет равен 3 / 8 отрезка АВ. Чертёж показывает, что отрезок, равный 3 / 8 , содержится в отрезке, равном 3 / 4 , ровно 2 раза; значит, результат деления можно записать так:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Рассмотрим ещё один пример. Пусть требуется разделить 15 / 16 на 3 / 32:
Мы можем рассуждать так: нужно найти такое число, которое после умножения на 3 / 32 Даст произведение, равное 15 / 16 . Запишем вычисления так:
15 / 16: 3 / 32 = х
3 / 32 х = 15 / 16
3 / 32 неизвестного числа х составляют 15 / 16
1 / 32 неизвестного числа х составляет ,
32 / 32 числа х составляют .
Следовательно,
Таким образом, чтобы разделить дробь на дробь, нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой дроби умножить на числитель второй и первое произведение сделать числителем, а второе - знаменателем.
Запишем правило с помощью букв:
При делении возможны сокращения, например:
5. Деление смешанных чисел.
При делении смешанных чисел их нужно предварительно обращать в неправильные дроби,а затем производить деление полученных дробей по правилам деления дробных чисел. Рассмотрим пример:
Обратим смешанные числа в неправильные дроби:
Теперь разделим:
Таким образом, чтобы разделить смешанные числа, нужно обратить их в неправильные дроби и затем разделить по правилу деления дробей.
6. Нахождение числа по данной его дроби.
Среди различных задач на дроби иногда встречаются такие, в которых даётся величина какой-нибудь дроби неизвестного числа и требуется найти это число. Этого типа задачи будут обратными по отношению к задачам на нахождение дроби данного числа; там давалось число и требовалось найти некоторую дробь от этого числа, здесь даётся дробь от числа и требуется найти само это число. Эта мысль станет ещё яснее, если мы обратимся к решению такого типа задач.
Задача 1. В первый день стекольщики остеклили 50 окон, что составляет 1 / 3 всех окон построенного дома. Сколько всего окон в этом доме?
Решение. В задаче сказано, что остеклённые 50 окон составляют 1 / 3 всех окон дома, значит, всего окон в 3 раза больше, т. е.
В доме было 150 окон.
Задача 2. Магазин продал 1 500 кг муки, что составляет 3 / 8 всего запаса муки, имевшегося в магазине. Каков был первоначальный запас муки в магазине?
Решение. Из условия задачи видно, что проданные 1 500 кг муки составляют 3 / 8 всего запаса; значит, 1 / 8 этого запаса будет в 3 раза меньше, т. е. для её вычисления нужно 1500 уменьшить в 3 раза:
1 500: 3 = 500 (это 1 / 8 запаса).
Очевидно, весь запас будет в 8 раз больше. Следовательно,
500 8 = 4 000 (кг).
Первоначальный запас муки в магазине был равен 4 000 кг.
Из рассмотрения этой задачи можно вывести следующее правило.
Чтобы найти, число по данной величине его дроби, достаточно разделить эту величину на числитель дроби и результат умножить на знаменатель дроби.
Мы решили две задачи на нахождение числа по данной его дроби. Такие задачи, как это особенно хорошо видно из последней, решаются двумя действиями: делением (когда находят одну часть) и умножением (когда находят всё число).
Однако после того как мы изучили деление дробей, указанные выше задачи можно решать одним действием, а именно: делением на дробь.
Например, последняя задача может быть решена одним действием так:
В дальнейшем задачи на нахождение числа по его дроби мы будем решать одним действием - делением.
7. Нахождение числа по его процентам.
В этих задачах нужно будет найти число, зная несколько процентов этого числа.
Задача 1. В начале текущего года я получил в сберегательной кассе 60 руб. дохода с суммы, положенной мной на сбережение год назад. Сколько денег я положил в сберегательную кассу? (Кассы дают вкладчикам 2% дохода в год.)
Смысл задачи состоит в том, что некоторая сумма денег была положена мной в сберегательную кассу и пролежала там год. По прошествии года я получил с неё 60 руб. дохода, что составляет 2 / 100 тех денег, которые я положил. Сколько же денег я положил?
Следовательно, зная часть этих денег, выраженную двумя способами (в рублях и дробью), мы должны найти всю, пока неизвестную, сумму. Это обыкновенная задача на нахождение числа по данной его дроби. Решаются такие задачи делением:
Значит, в сберегательную кассу было положено 3000 руб.
Задача 2. Рыболовы за две недели выполнили месячный план на 64%, заготовив 512 т рыбы. Какой у них был план?
Из условия задачи известно, что рыболовы выполнили часть плана. Эта часть равна 512 т, что составляет 64% плана. Сколько тонн рыбы нужно заготовить по плану, нам неизвестно. В нахождении этого числа и будет состоять решение задачи.
Такие задачи решаются делением:
Значит, по плану нужно заготовить 800 т рыбы.
Задача 3. Поезд шёл из Риги в Москву. Когда он миновал 276-й километр, один из пассажиров спросил проходящего кондуктора, какую часть пути они уже проехали. На это кондуктор ответил: «Проехали уже 30% всего пути». Каково расстояние от Риги до Москвы?
Из условия задачи видно, что 30% пути от Риги до Москвы составляют 276 км. Нам нужно найти всё расстояние между этими городами, т. е. по данной части найти целое:
§ 91. Взаимно обратные числа. Замена деления умножением.
Возьмём дробь 2 / 3 и переставим числитель на место знаменателя, получится 3 / 2 . Мы получили дробь, обратную данной.
Для того чтобы получить дробь, обратную данной, нужно её числитель поставить на место знаменателя, а знаменатель - на место числителя. Этим способом мы можем получить дробь, обратную любой дроби. Например:
3 / 4 , обратная 4 / 3 ; 5 / 6 , обратная 6 / 5
Две дроби, обладающие тем свойством, что числитель первой является знаменателем второй, а знаменатель первой является числителем второй, называются взаимно обратными.
Теперь подумаем, какая дробь будет обратной для 1 / 2 . Очевидно, это будет 2 / 1 , или просто 2. Отыскивая дробь, обратную данной, мы получили целое число. И этот случай не единичный; напротив, для всех дробей с числителем 1 (единица) обратными будут целые числа, например:
1 / 3 , обратная 3; 1 / 5 , обратная 5
Так как при отыскании обратных дробей мы встретились и с целыми числами, то в дальнейшем мы будем говорить не об обратных дробях, а об обратных числах.
Выясним, как написать число, обратное целому числу. Для дробей это решается просто: нужно знаменатель поставить на место числителя. Этим же способом можно получить обратное число и для целого числа, так как у любого целого числа можно подразумевать знаменатель 1. Значит, число, обратное 7, будет 1 / 7 , потому что 7 = 7 / 1 ; для числа 10 обратное будет 1 / 10 , так как 10 = 10 / 1
Эту мысль можно выразить иначе: число, обратное данному числу, получается от деления единицы на данное число . Такое утверждение справедливо не только для целых чисел, но и для дробей. В самом деле, если требуется написать число, обратное дроби 5 / 9 , то мы можем взять 1 и разделить ее на 5 / 9 , т. е.
Теперь укажем одно свойство взаимно обратных чисел, которое будет нам полезно: произведение взаимно обратных чисел равно единице. В самом деле:
Пользуясь этим свойством, мы можем находить обратные числа следующим путём. Пусть нужно найти число, обратное 8.
Обозначим его буквой х , тогда 8 х = 1, отсюда х = 1 / 8 . Найдём ещё число, обратное 7 / 12 обозначим его буквой х , тогда 7 / 12 х = 1, отсюда х = 1: 7 / 12 или х = 12 / 7 .
Мы ввели здесь понятие о взаимно обратных числах для того, чтобы немного дополнить сведения о делении дробей.
Когда мы делим число 6 на 3 / 5 , то мы выполняем следующие действия:
Обратите особое внимание на выражение и сравните его с заданным: .
Если взять выражение отдельно, без связи с предыдущим, то нельзя решить вопрос, откуда оно возникло: от деления 6 на 3 / 5 или от умножения 6 на 5 / 3 . В обоих случаях получается одно и то же. Поэтому мы можем сказать, что деление одного числа на другое можно заменить умножением делимого на число, обратное делителю.
Примеры, которые мы даём ниже, вполне подтверждают этот вывод.
Разные действия с дробями можно выполнять, например, сложение дробей. Сложение дробей можно разделить на несколько видов. В каждом виде сложения дробей свои правила и алгоритм действий. Рассмотрим подробно каждый вид сложения.
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.
На примере посмотрим, как складывать дроби с общим знаменателем.
Туристы пошли в поход из точки A в точку E. В первый день они прошли от точки A до B или \(\frac{1}{5}\) от всего пути. Во второй день они прошли от точки B до D или \(\frac{2}{5}\) от всего пути. Какое расстояние они прошли от начала пути до точки D?
Чтобы найти расстояние от точки A до точки D нужно сложить дроби \(\frac{1}{5} + \frac{2}{5}\).
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями заключается в том, что нужно числители этих дробей сложить, а знаменатель останется прежний.
\(\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{1 + 2}{5} = \frac{3}{5}\)
В буквенном виде сумма дробей с одинаковыми знаменателями будет выглядеть так:
\(\bf \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}\)
Ответ: туристы прошли \(\frac{3}{5}\) всего пути.
Сложение дробей с разными знаменателями.
Рассмотрим пример:
Нужно сложить две дроби \(\frac{3}{4}\) и \(\frac{2}{7}\).
Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно сначала найти , а потом воспользоваться правилом сложения дробей с одинаковыми знаменателями.
Для знаменателей 4 и 7 общим знаменателем будет число 28. Первую дробь \(\frac{3}{4}\) нужно умножить на 7. Вторую дробь \(\frac{2}{7}\) нужно умножить на 4.
\(\frac{3}{4} + \frac{2}{7} = \frac{3 \times \color{red} {7} + 2 \times \color{red} {4}}{4 \times \color{red} {7}} = \frac{21 + 8}{28} = \frac{29}{28} = 1\frac{1}{28}\)
В буквенном виде получаем такую формулу:
\(\bf \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}\)
Сложение смешанных чисел или смешанных дробей.
Сложение происходит по закону сложения.
У смешанных дробей складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.
Если дробные части смешанных чисел имеют одинаковые знаменатели, то числители складываем, а знаменатель остается тот же.
Сложим смешанные числа \(3\frac{6}{11}\) и \(1\frac{3}{11}\).
\(3\frac{6}{11} + 1\frac{3}{11} = (\color{red} {3} + \color{blue} {\frac{6}{11}}) + (\color{red} {1} + \color{blue} {\frac{3}{11}}) = (\color{red} {3} + \color{red} {1}) + (\color{blue} {\frac{6}{11}} + \color{blue} {\frac{3}{11}}) = \color{red}{4} + (\color{blue} {\frac{6 + 3}{11}}) = \color{red}{4} + \color{blue} {\frac{9}{11}} = \color{red}{4} \color{blue} {\frac{9}{11}}\)
Если дробные части смешанных чисел имею разные знаменатели, то находим общий знаменатель.
Выполним сложение смешанных чисел \(7\frac{1}{8}\) и \(2\frac{1}{6}\).
Знаменатель разный, поэтому нужно найти общий знаменатель, он равен 24. Умножим первую дробь \(7\frac{1}{8}\) на дополнительный множитель 3, а вторую дробь \(2\frac{1}{6}\) на 4.
\(7\frac{1}{8} + 2\frac{1}{6} = 7\frac{1 \times \color{red} {3}}{8 \times \color{red} {3}} = 2\frac{1 \times \color{red} {4}}{6 \times \color{red} {4}} =7\frac{3}{24} + 2\frac{4}{24} = 9\frac{7}{24}\)
Вопросы по теме:
Как складывать дроби?
Ответ: сначала надо определиться к какому типу относиться выражение: у дробей одинаковые знаменатели, разные знаменатели или смешанные дроби. В зависимости от типа выражения переходим к алгоритму решения.
Как решать дроби с разными знаменателями?
Ответ: необходимо найти общий знаменатель, а дальше по правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями.
Как решать смешанные дроби?
Ответ: складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.
Пример №1:
Может ли сумма двух в результате получить правильную дробь? Неправильную дробь? Приведите примеры.
\(\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2 + 3}{7} = \frac{5}{7}\)
Дробь \(\frac{5}{7}\) это правильная дробь, она является результатом суммы двух правильных дробей \(\frac{2}{7}\) и \(\frac{3}{7}\).
\(\frac{2}{5} + \frac{8}{9} = \frac{2 \times 9 + 8 \times 5}{5 \times 9} =\frac{18 + 40}{45} = \frac{58}{45}\)
Дробь \(\frac{58}{45}\) является неправильной дроби, она получилась в результате суммы правильных дробей \(\frac{2}{5}\) и \(\frac{8}{9}\).
Ответ: на оба вопроса ответ да.
Пример №2:
Сложите дроби: а) \(\frac{3}{11} + \frac{5}{11}\) б) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{9}\).
а) \(\frac{3}{11} + \frac{5}{11} = \frac{3 + 5}{11} = \frac{8}{11}\)
б) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{1 \times \color{red} {3}}{3 \times \color{red} {3}} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9}\)
Пример №3:
Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби: а) \(1\frac{9}{47}\) б) \(5\frac{1}{3}\)
а) \(1\frac{9}{47} = 1 + \frac{9}{47}\)
б) \(5\frac{1}{3} = 5 + \frac{1}{3}\)
Пример №4:
Вычислите сумму: а) \(8\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7}\) б) \(2\frac{9}{13} + \frac{2}{13}\) в) \(7\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15}\)
а) \(8\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7} = (8 + 2) + (\frac{5}{7} + \frac{1}{7}) = 10 + \frac{6}{7} = 10\frac{6}{7}\)
б) \(2\frac{9}{13} + \frac{2}{13} = 2 + (\frac{9}{13} + \frac{2}{13}) = 2\frac{11}{13} \)
в) \(7\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15} = 7\frac{2 \times 3}{5 \times 3} + 3\frac{4}{15} = 7\frac{6}{15} + 3\frac{4}{15} = (7 + 3)+(\frac{6}{15} + \frac{4}{15}) = 10 + \frac{10}{15} = 10\frac{10}{15} = 10\frac{2}{3}\)
Задача №1:
За обедам съели \(\frac{8}{11}\) от торта, а вечером за ужином съели \(\frac{3}{11}\). Как вы думаете торт полностью съели или нет?
Решение:
Знаменатель дроби равен 11, он указывает на сколько частей разделили торт. В обед съели 8 кусочков торта из 11. За ужином съели 3 кусочка торта из 11. Сложим 8 + 3 = 11, съели кусочков торта из 11, то есть весь торт.
\(\frac{8}{11} + \frac{3}{11} = \frac{11}{11} = 1\)
Ответ: весь торт съели.
Примеры с дробями – один из основных элементов математики. Существует много разных типов уравнений с дробями. Ниже приведена подробная инструкция по решению примеров такого типа.
Как решать примеры с дробями – общие правила
Для решения примеров с дробями любых типов, будь то сложение, вычитание, умножение или деление, необходимо знать основные правила:
- Для того чтобы сложить дробные выражения с одинаковым знаменателем (знаменатель – число, находящееся в нижней части дроби, числитель – в верхней), нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.
- Для того чтобы вычесть от одного дробного выражения второе (с одинаковым знаменателем), нужно вычесть их числители, а знаменатель оставить тем же.
- Для того чтобы сложить или вычесть дробные выражения с разными знаменателями, нужно найти наименьший общий знаменатель.
- Для того чтобы найти дробное произведение, нужно перемножить числители и знаменатели, при этом, если есть возможность, сократить.
- Для того чтобы разделить дробь на дробь, нужно умножить первую дробь на перевернутую вторую.
Как решать примеры с дробями – практика
Правило 1, пример 1:
Вычислить 3/4 +1/4.
Согласно правилу 1, если у дробей двух (или больше) одинаковый знаменатель, нужно просто сложить их числители. Получим: 3/4 + 1/4 = 4/4. Если у дроби числитель и знаменатель одинаковы, такая дробь будет равна 1.
Ответ: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.
Правило 2, пример 1:
Вычислить: 3/4 – 1/4
Пользуясь правилом номер 2, для решения этого уравнения нужно от 3 отнять 1, а знаменатель оставить тем же. Получаем 2/4. Так как два 2 и 4 можно сократить, сокращаем и получаем 1/2.
Ответ: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.
Правило 3, Пример 1
Вычислить: 3/4 + 1/6
Решение: Пользуясь 3-м правилом, находим наименьший общий знаменатель. Наименьшим общим знаменателем называется такое число, которое делится на знаменатели всех дробных выражений примера. Таким образом, нам нужно найти такое минимальное число, которое будет делиться и на 4, и на 6. Таким числом является 12. Записываем в качестве знаменателя 12. 12 делим на знаменатель первой дроби, получаем 3, умножаем на 3, записываем в числителе 3*3 и знак +. 12 делим на знаменатель второй дроби, получаем 2, 2 умножаем на 1, записываем в числителе 2*1. Итак, получилась новая дробь со знаменателем, равным 12 и числителем, равным 3*3+2*1=11. 11/12.
Ответ: 11/12
Правило 3, Пример 2:
Вычислить 3/4 – 1/6. Этот пример очень схож с предыдущим. Проделываем все те же действия, но в числителе вместо знака +, пишем знак минус. Получаем: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.
Ответ: 7/12
Правило 4, Пример 1:
Вычислить: 3/4 * 1/4
Пользуясь четвертым правилом, умножаем знаменатель первой дроби на знаменатель второй и числитель первой дроби на числитель второй. 3*1/4*4 = 3/16.
Ответ: 3/16
Правило 4, Пример 2:
Вычислить 2/5 * 10/4.
Данную дробь можно сократить. В случае произведения сокращаются числитель первой дроби и знаменатель второй и числитель второй дроби и знаменатель первой.
2 сокращается с 4. 10 сокращается с 5. получаем 1 * 2/2 = 1*1 = 1.
Ответ: 2/5 * 10/4 = 1
Правило 5, Пример 1:
Вычислить: 3/4: 5/6
Пользуясь 5-м правилом, получим: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Сокращаем дробь по принципу предыдущего примера и получаем 9/10.
Ответ: 9/10.
Как решать примеры с дробями – дробные уравнения
Дробными уравнениями называются примеры, где в знаменателе есть неизвестное. Для того чтобы решить такое уравнение нужно пользоваться определенными правилами.
Рассмотрим пример:
Решить уравнение 15/3x+5 = 3
Вспомним, нельзя делить на ноль, т.е. значение знаменателя не должно равняться нулю. При решении таких примеров, это нужно обязательно указывать. Для этого существует ОДЗ (область допустимых значений).
Таким образом, 3x+5 ≠ 0.
Отсюда: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3
При x = 5/3 уравнение просто не имеет решения.
Указав ОДЗ, наилучшим способом решить данное уравнение будет избавиться от дробей. Для это сначала представим все не дробные значения в виде дроби, в данном случае число 3. Получим: 15/(3x+5) = 3/1. Чтобы избавиться от дроби нужно умножить каждую из них на наименьший общий знаменатель. В данном случае таковым будет (3x+5)*1. Последовательность действий:
- Умножаем 15/(3x+5) на (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
- Раскрываем скобки: 15*(3x+5) = 45x + 75.
- То же самое проделываем с правой частью уравнения: 3*(3x+5) = 9x + 15.
- Приравниваем левую и правую часть: 45x + 75 = 9x +15
- Переносим иксы влево, числа вправо: 36x = – 50
- Находим x: x = -50/36.
- Сокращаем: -50/36 = -25/18
Ответ: ОДЗ x ≠ 5/3 . x = -25/18.
Как решать примеры с дробями – дробные неравенства
Дробные неравенства по типу (3x-5)/(2-x)≥0 решаются при помощи числовой оси. Рассмотрим данный пример.
Последовательность действий:
- Приравниваем числитель и знаменатель к нулю: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
2. 2-x=0 => x=2 - Чертим числовую ось, расписывая на ней получившиеся значения.
- Под значение рисуем кружок. Кружок бывает двух типов – заполненный и пустой. Заполненный кружок означает, что данное значение входит в ареал решений. Пустой круг говорит о том, что данное значение не входит в ареал решений.
- Так как знаменатель не может быть равным нулю, под 2-ой будет пустой круг.
- Чтобы определить знаки, подставляем в уравнение любое число больше двух, например 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. значение отрицательное, значит над областью после двойки пишем минус. Затем подставляем вместо икса любое значение интервала от 5/3 до 2, например 1. Значение опять отрицательное. Пишем минус. То же самое повторяем с областью, находящейся до 5/3. Подставляем любое число, меньшее чем 5/3, например 1. Опять минус.
- Так как нас интересуют значения икса, при котором выражение будет больше или равно 0, а таких значений нет (везде минусы), это неравенство не имеет решения, то есть x = Ø (пустое множество).
Ответ: x = Ø
В данном уроке будет рассмотрено сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Мы уже знаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями. Оказывается, что алгебраические дроби подчиняются тем же самым правилам. Умение работать с дробями с одинаковыми знаменателями является одним из краеугольных камней в изучении правил работы с алгебраическими дробями. В частности, понимание данной темы позволит легко освоить более сложную тему - сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. В рамках урока мы изучим правила сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, а также разберём целый ряд типовых примеров
Правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями
Сфор-му-ли-ру-ем пра-ви-ло сло-же-ния (вы-чи-та-ния) ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми (оно сов-па-да-ет с ана-ло-гич-ным пра-ви-лом для обык-но-вен-ных дро-бей): То есть для сло-же-ния или вы-чи-та-ния ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми необ-хо-ди-мо со-ста-вить со-от-вет-ству-ю-щую ал-геб-ра-и-че-скую сумму чис-ли-те-лей, а зна-ме-на-тель оста-вить без из-ме-не-ний.
Это пра-ви-ло мы раз-бе-рём и на при-ме-ре обык-но-вен-ных дро-бей, и на при-ме-ре ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей.
Примеры применения правила для обыкновенных дробей
При-мер 1. Сло-жить дроби: .
Ре-ше-ние
Сло-жим чис-ли-те-ли дро-бей, а зна-ме-на-тель оста-вим таким же. После этого раз-ло-жим чис-ли-тель и зна-ме-на-тель на про-стые мно-жи-те-ли и со-кра-тим. По-лу-чим: 
.
При-ме-ча-ние: стан-дарт-ная ошиб-ка, ко-то-рую до-пус-ка-ют при ре-ше-нии по-доб-но-го рода при-ме-ров, за-клю-ча-ет-ся в сле-ду-ю-щем спо-со-бе ре-ше-ния: 
. Это гру-бей-шая ошиб-ка, по-сколь-ку зна-ме-на-тель оста-ёт-ся таким же, каким был в ис-ход-ных дро-бях.
При-мер 2. Сло-жить дроби: .
Ре-ше-ние
Дан-ная за-да-ча ничем не от-ли-ча-ет-ся от преды-ду-щей: .
Примеры применения правила для алгебраических дробей
От обык-но-вен-ных дро-бей пе-рей-дём к ал-геб-ра-и-че-ским.
При-мер 3. Сло-жить дроби: .
Ре-ше-ние:как уже го-во-ри-лось выше, сло-же-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей ничем не от-ли-ча-ет-ся от сло-же-ния обык-но-вен-ных дро-бей. По-это-му метод ре-ше-ния такой же: .
При-мер 4. Вы-честь дроби: .
Ре-ше-ние
Вы-чи-та-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей от-ли-ча-ет-ся от сло-же-ния толь-ко тем, что в чис-ли-тель за-пи-сы-ва-ет-ся раз-ность чис-ли-те-лей ис-ход-ных дро-бей. По-это-му .
При-мер 5. Вы-честь дроби: .
Ре-ше-ние: .
При-мер 6. Упро-стить: .
Ре-ше-ние: .
Примеры применения правила с последующим сокращением
В дроби, ко-то-рая по-лу-ча-ет-ся в ре-зуль-та-те сло-же-ния или вы-чи-та-ния, воз-мож-ны со-кра-ще-ния. Кроме того, не стоит за-бы-вать об ОДЗ ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей.
При-мер 7. Упро-стить: .
Ре-ше-ние: .
При этом . Во-об-ще, если ОДЗ ис-ход-ных дро-бей сов-па-да-ет с ОДЗ ито-го-вой, то его можно не ука-зы-вать (ведь дробь, по-лу-чен-ная в от-ве-те, также не будет су-ще-ство-вать при со-от-вет-ству-ю-щих зна-че-ни-ях пе-ре-мен-ных). А вот если ОДЗ ис-ход-ных дро-бей и от-ве-та не сов-па-да-ет, то ОДЗ ука-зы-вать необ-хо-ди-мо.
При-мер 8. Упро-стить: .
Ре-ше-ние: . При этом y (ОДЗ ис-ход-ных дро-бей не сов-па-да-ет с ОДЗ ре-зуль-та-та).
Сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями
Чтобы скла-ды-вать и вы-чи-тать ал-геб-ра-и-че-ские дроби с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми, про-ве-дём ана-ло-гию с обык-но-вен-ны-ми дро-бя-ми и пе-ре-не-сём её на ал-геб-ра-и-че-ские дроби.
Рас-смот-рим про-стей-ший при-мер для обык-но-вен-ных дро-бей.
При-мер 1. Сло-жить дроби: .
Ре-ше-ние:
Вспом-ним пра-ви-ло сло-же-ния дро-бей. Для на-ча-ла дроби необ-хо-ди-мо при-ве-сти к об-ще-му зна-ме-на-те-лю. В роли об-ще-го зна-ме-на-те-ля для обык-но-вен-ных дро-бей вы-сту-па-ет наи-мень-шее общее крат-ное (НОК) ис-ход-ных зна-ме-на-те-лей.
Опре-де-ле-ние
Наи-мень-шее на-ту-раль-ное число, ко-то-рое де-лит-ся од-но-вре-мен-но на числа и .
Для на-хож-де-ния НОК необ-хо-ди-мо раз-ло-жить зна-ме-на-те-ли на про-стые мно-жи-те-ли, а затем вы-брать все про-стые мно-жи-те-ли, ко-то-рые вхо-дят в раз-ло-же-ние обоих зна-ме-на-те-лей.
; . Тогда в НОК чисел долж-ны вхо-дить две двой-ки и две трой-ки: .
После на-хож-де-ния об-ще-го зна-ме-на-те-ля, необ-хо-ди-мо для каж-дой из дро-бей найти до-пол-ни-тель-ный мно-жи-тель (фак-ти-че-ски, по-де-лить общий зна-ме-на-тель на зна-ме-на-тель со-от-вет-ству-ю-щей дроби).
Затем каж-дая дробь умно-жа-ет-ся на по-лу-чен-ный до-пол-ни-тель-ный мно-жи-тель. По-лу-ча-ют-ся дроби с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми, скла-ды-вать и вы-чи-тать ко-то-рые мы на-учи-лись на про-шлых уро-ках.
По-лу-ча-ем: 
.
Ответ: .
Рас-смот-рим те-перь сло-же-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми. Сна-ча-ла рас-смот-рим дроби, зна-ме-на-те-ли ко-то-рых яв-ля-ют-ся чис-ла-ми.
Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями
При-мер 2. Сло-жить дроби: .
Ре-ше-ние:
Ал-го-ритм ре-ше-ния аб-со-лют-но ана-ло-ги-чен преды-ду-ще-му при-ме-ру. Легко по-до-брать общий зна-ме-на-тель дан-ных дро-бей: и до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли для каж-дой из них.
.
Ответ: .
Итак, сфор-му-ли-ру-ем ал-го-ритм сло-же-ния и вы-чи-та-ния ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми :
1. Найти наи-мень-ший общий зна-ме-на-тель дро-бей.
2. Найти до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли для каж-дой из дро-бей (по-де-лив общий зна-ме-на-тель на зна-ме-на-тель дан-ной дроби).
3. До-мно-жить чис-ли-те-ли на со-от-вет-ству-ю-щие до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли.
4. Сло-жить или вы-честь дроби, поль-зу-ясь пра-ви-ла-ми сло-же-ния и вы-чи-та-ния дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми.
Рас-смот-рим те-перь при-мер с дро-бя-ми, в зна-ме-на-те-ле ко-то-рых при-сут-ству-ют бук-вен-ные вы-ра-же-ния.
Ваш ребенок принес домашнее задание из школы, и вы не знаете как его решить? Тогда этот мини урок для вас!
Как складывать десятичные дроби
Десятичные дроби удобнее складывать в столбик. Чтобы выполнить сложение десятичных дробей, надо придерживаться одного простого правила:
- Разряд должен находиться под разрядом, запятая под запятой.
Как вы видите на примере, целые единицы находятся друг под другом, разряд десятых и сотых находится друг под другом. Теперь складываем числа, не обращая внимания на запятую. Что же делать с запятой? Запятая переносится на то место, где стояла в разряде целых.
Сложение дробей с равными знаменателями
Чтобы выполнить сложение с общим знаменателем, надо сохранить знаменатель без изменения, найти сумму числителей и получим дробь, которая будет являться общей суммой.
Сложение дробей с разными знаменателями методом нахождения общего кратного
Первое, на что надо обратить внимание – это на знаменатели. Знаменатели разные, не делятся ли одно на другое, являются ли простыми числами. Для начала надо привести к одному общему знаменателю, для этого существует несколько способов:
- 1/3 + 3/4 = 13/12, для решения этого примера нам надо найти наименьшее общее кратное число (НОК), которое будет делиться на 2 знаменателя. Для обозначения наименьшего кратного чисел a и b – НОК (а;b). В данном примере НОК (3;4)=12. Проверяем: 12:3=4; 12:4=3.
- Перемножаем множители и выполняем сложение полученных чисел, получаем 13/12 – неправильную дробь.
- Для того чтобы перевести неправильную дробь в правильную, разделим числитель на знаменатель, получим целое число 1, остаток 1 – числитель и 12 – знаменатель.
Сложение дробей методом умножения крест на крест
Для складывания дробей с разными знаменателями существует еще один способ по формуле “крест на крест”. Это гарантированный способ уровнять знаменатели, для этого вам надо числители перемножить со знаменателем одной дроби и обратно. Если вы только на начальном этапе изучения дробей, то этот способ самый простой и точный, как получить верный результат при сложении дробей с разными знаменателями.