Фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений. Как найти нетривиальное и фундаментальное решение системы линейных однородных уравнений

Однородная система линейных уравнений над полем

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Фундаментальной системой решений системы уравнений (1) называется непустая линейно независимая система ее решений, линейная оболочка которой совпадает с множеством всех решений системы (1).

Отметим, что однородная система линейных уравнений, имеющая только нулевое решение, не имеет фундаментальной системы решений.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.11. Любые две фундаментальные системы решений однородной системы линейных уравнений состоят из одинакового числа решений.

Доказательство. В самом деле, любые две фундаментальные системы решений однородной системы уравнений (1) эквивалентны и линейно независимы. Поэтому в силу предложения 1.12 их ранги равны. Следовательно, число решений, входящих в одну фундаментальную систему, равно числу решений, входящих в любую другую фундаментальную систему решений.

Если основная матрица А однородной системы уравнений (1) нулевая, то любой вектор из является решением системы (1); в этом случае любая совокупность линейно независимых векторов из является фундаментальной системой решений. Если же столбцовый ранг матрицы А равен , то система (1) имеет только одно решение - нулевое; следовательно, в этом случае система уравнений (1) не обладает фундаментальной системой решений.

ТЕОРЕМА 3.12. Если ранг основной матрицы однородной системы линейных уравнений (1) меньше числа переменных , то система (1) обладает фундаментальной системой решений, состоящей из решений.

Доказательство. Если ранг основной матрицы А однородной системы (1) равен нулю или , то выше было показано, что теорема верна. Поэтому ниже предполагается, что Полагая , будем считать, что первые столбцов матрицы А линейно независимы. В этом случае матрица А строчечно эквивалентна приведенной ступенчатой матрице, а система (1) равносильна следующей приведенной ступенчатой системе уравнений:

Легко проверить, что любой системе значений свободных переменных системы (2) соответствует одно и только одно решение системы (2) и, значит, системы (1). В частности, системе нулевых значений соответствует только нулевое решение системы (2) и системы (1).

Будем в системе (2) придавать одному из свободных переменных значение, равное 1, а остальным переменным - нулевые значения. В результате получим решений системы уравнений (2), которые запишем в виде строк следующей матрицы С:

Система строк этой матрицы линейно независима. В самом деле, для любых скаляров из равенства

следует равенство

и, значит, равенства

Докажем, что линейная оболочка системы строк матрицы С совпадает с множеством всех решений системы (1).

Произвольное решение системы (1). Тогда вектор

также является решением системы (1), причем

Решение находим с помощью калькулятора . Алгоритм решения такой же, как и для систем линейных неоднородных уравнений.
Оперируя только со строками, находим ранг матрицы, базисный минор; объявляем зависимые и свободные неизвестные и находим общее решение.

Пример 2 . Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы
Решение.



,
отсюда следует, что ранг матрицы равен 3 и равен числу неизвестных. Значит, система не имеет свободных неизвестных, а поэтому имеет единственное решение – тривиальное.

Задание . Исследовать и решить систему линейных уравнений.
Пример 4

Задание . Найти общее и частное решения каждой системы.
Решение. Выпишем основную матрицу системы:

Задача . Найти фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений.

Однородная система всегда совместна и имеет тривиальное решение
. Для существования нетривиального решения необходимо, чтобы ранг матрицыбыл меньше числа неизвестных:

.

Фундаментальной системой решений однородной системы
называют систему решений в виде векторов-столбцов
, которые соответствуют каноническому базису, т.е. базису, в котором произвольные постоянные
поочередно полагаются равными единице, тогда как остальные приравниваются нулю.

Тогда общее решение однородной системы имеет вид:

где
- произвольные постоянные. Другими словами, общее решение есть линейная комбинация фундаментальной системы решений.

Таким образом, базисные решения могут быть получены из общего решения, если свободным неизвестным поочередно придавать значение единицы, полагая все остальные равные нулю.

Пример . Найдем решение системы

Примем , тогда получим решение в виде:

Построим теперь фундаментальную систему решений:

.

Общее решение запишется в виде:

Решения системы однородных линейных уравнений имеют свойства:

Другими словами, любая линейная комбинация решений однородной системы есть опять решение.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Решение систем линейных уравнений интересует математиков несколько столетий. Первые результаты были получены в XVIII веке. В 1750 г. Г.Крамер (1704 –1752) опубликовал свои труды по детерминантам квадратных матриц и предложил алгоритм нахождения обратной матрицы. В 1809 г. Гаусс изложил новый метод решения, известный как метод исключения.

Метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных, заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида. Такие системы позволяют последовательно находить все неизвестные в определенном порядке.

Предположим, что в системе (1)
(что всегда возможно).

(1)

Умножая поочередно первое уравнение на так называемые подходящие числа

и складывая результат умножения с соответствующими уравнениями системы, мы получим эквивалентную систему, в которой во всех уравнениях, кроме первого, будет отсутствовать неизвестная х 1

(2)

Умножим теперь второе уравнение системы (2) на подходящие числа, полагая, что

,

и складывая его с нижестоящими, исключим переменную из всех уравнений, начиная с третьего.

Продолжая этот процесс, после
шага мы получим:

(3)

Если хотя бы одно из чисел
не равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво и система (1) несовместна. Обратно, для любой совместной системы числа
равны нулю. Число- это ни что иное, как ранг матрицы системы (1).

Переход от системы (1) к (3) называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение неизвестных из (3) – обратным ходом .

Замечание : Преобразования удобнее производить не с самими уравнениями, а с расширенной матрицей системы (1).

Пример . Найдем решение системы

.

Запишем расширенную матрицу системы:

.

Прибавим к строкам 2,3,4 первую, умноженную на (-2), (-3), (-2) соответственно:

.

Поменяем строки 2 и 3 местами, затем в получившейся матрице добавим к строке 4 строку 2, умноженную на :

.

Прибавим к строке 4 строку 3, умноженную на
:

.

Очевидно, что
, следовательно, система совместна. Из полученной системы уравнений

находим решение обратной подстановкой:

,
,
,
.

Пример 2. Найти решение системы:

.

Очевидно, что система несовместна, т.к.
, а
.

Достоинства метода Гаусса :

Менее трудоемкий, чем метод Крамера.

Однозначно устанавливает совместность системы и позволяет найти решение.

Дает возможность определить ранг любых матриц.

Метод Гаусса имеет ряд недостатков: нельзя узнать, совместна система или нет, пока не будут проведены все преобразования, необходимые в методе Гаусса; метод Гаусса не пригоден для систем с буквенными коэффициентами.

Рассмотрим другие методы решения систем линейных уравнений. Эти методы используют понятие ранга матрицы и сводят решение любой совместной системы к решению системы, к которой применимо правило Крамера.

Пример 1. Найти общее решение следующей системы линейных уравнений с помощью фундаментальной системы решений приведенной однородной системы и частного решения неоднородной системы.

1. Составляем матрицу A и расширенную матрицу системы (1)

2. Исследуем систему (1) на совместность. Для этого находим ранги матриц A и https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Если окажется, что , то система (1) несовместна. Если же получим, что , то эта система совместна и мы ее будем решать. (Исследование на совместность основано на теореме Кронекера-Капелли).

a. Находим rA .

Чтобы найти rA , будем рассматривать последовательно отличные от нуля миноры первого, второго и т. д. порядков матрицы A и окаймляющие их миноры.

М1 =1≠0 (1 берем из левого верхнего угла матрицы А ).

Окаймляем М1 второй строкой и вторым столбцом этой матрицы. . Продолжаем окаймлять М1 второй строкой и третьим столбцом..gif" width="37" height="20 src=">. Теперь окаймляем отличный от нуля минор М2′ второго порядка.

Имеем: (т. к. два первых столбца одинаковые)

(т. к. вторая и третья строки пропорциональны).

Мы видим, что rA=2 , а - базисный минор матрицы A .

b. Находим .

Достаточно базисный минор М2′ матрицы A окаймить столбцом свободных членов и всеми строками (у нас только последней строкой).

. Отсюда следует, что и М3′′ остается базисным минором матрицы https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75">(2)

Так как М2′ - базисный минор матрицы A системы (2) , то эта система эквивалентна системе (3) , состоящей из первых двух уравнений системы (2) (ибо М2′ находится в первых двух строках матрицы A).

(3)

Так как базисный минор https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51">(4)

В этой системе два свободных неизвестных (x2 и x4 ). Поэтому ФСР системы (4) состоит из двух решений. Чтобы их найти, придадим свободным неизвестным в (4) сначала значения x2=1 , x4=0 , а затем – x2=0 , x4=1 .

При x2=1 , x4=0 получим:

.

Эта система уже имеет единственное решение (его можно найти по правилу Крамера или любым другим способом). Вычитая из второго уравнения первое, получим:

Ее решением будет x1= -1 , x3=0 . Учитывая значения x2 и x4 , которые мы придали, получаем первое фундаментальное решение системы (2) : .

Теперь полагаем в (4) x2=0 , x4=1 . Получим:

.

Решаем эту систему по теореме Крамера:

.

Получаем второе фундаментальное решение системы (2) : .

Решения β1 , β2 и составляют ФСР системы (2) . Тогда ее общим решением будет

γ= С1β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Здесь С1 , С2 – произвольные постоянные.

4. Найдем одно частное решение неоднородной системы (1) . Как и в пункте 3 , вместо системы (1) рассмотрим эквивалентную ей систему (5) , состоящую из первых двух уравнений системы (1) .

(5)

Перенесем в правые части свободные неизвестные x2 и x4 .

(6)

Придадим свободным неизвестным x2 и x4 произвольные значения, например, x2=2 , x4=1 и подставим их в (6) . Получим систему

Эта система имеет единственное решение (т. к. ее определитель М2′0 ). Решая ее (по теореме Крамера или методом Гаусса), получим x1=3 , x3=3 . Учитывая значения свободных неизвестных x2 и x4 , получим частное решение неоднородной системы (1) α1=(3,2,3,1).

5. Теперь осталось записать общее решение α неоднородной системы (1) : оно равно сумме частного решения этой системы и общего решения ее приведенной однородной системы (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Это значит: (7)

6. Проверка. Чтобы проверить, правильно ли вы решили систему (1) , надо общее решение (7) подставить в (1) . Если каждое уравнение обратится в тождество (С1 и С2 должны уничтожиться), то решение найдено верно.

Мы подставим (7) для примера только в последнее уравнение системы (1) (x 1 + x 2 + x 3 ‑9 x 4 =‑1) .

Получим: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Откуда –1=–1. Получили тождество. Так поступаем со всеми остальными уравнениями системы (1) .

Замечание. Проверка обычно довольно громоздкая. Можно рекомендовать следующую «частичную проверку»: в общем решении системы (1) произвольным постоянным придать некоторые значения и подставить полученное частное решение только в отброшенные уравнения (т. е. в те уравнения из (1) , которые не вошли в (5) ). Если получите тождества, то, скорее всего , решение системы (1) найдено правильно (но полной гарантии правильности такая проверка не дает!). Например, если в (7) положить С2= - 1 , С1=1 , то получим: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Подставляя в последнее уравнение системы (1), имеем: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , т. е. –1=–1. Получили тождество.

Пример 2. Найти общее решение системы линейных уравнений (1) , выразив основные неизвестные через свободные.

Решение. Как и в примере 1 , составляем матрицы A и https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> этих матриц. Оставляем теперь только те уравнения системы (1) , коэффициенты из которых входят в этот базисный минор (т. е. у нас – первые два уравнения) и рассматриваем состоящую из них систему, эквивалентную системе (1).

Перенесем в правые части этих уравнений свободные неизвестные.

Систему (9) решаем методом Гаусса, считая правые части свободными членами.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Вариант 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Вариант 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Вариант 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Вариант 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">