Делимость целых чисел и остатки - спиши у антошки. Александр домогаров сообщил, что уходит из театра Известно что 45 числа а на 7

Один из самых харизматичных и заметных артистов российского кино в последнее время будто бы исчез из поля зрения публики. Об Александре Домогарове так мало слышно, что его многочисленные поклонники могли бы решить, что актер затворился от мира. Однако он регулярно напоминает о себе в соцсетях, где и появился несколько часов назад тревожный пост.

Напомним, что 53-летний народный артист России помимо съемок кино с удовольствием и гордостью играет в театре. С 1995 года Домогаров служит в столичном Театре имени Моссовета , где исполнял роли во множестве спектаклей, три из которых в текущем репертуаре. Актер считается звездой этого театра, фотографии с Домогаровым на сцене украшают вход, многие поклонники идут именно на постановки с его участием.

Но в своей публикации в Александр Юрьевич сообщил, что его «сняли со спектаклей» и «это очень серьезно».

Сняли со спектаклей! Так выдерживайте! Чувствую себя спокойнее, чем входить и здороваться с «коллегами», которые плюют в спину! - пишет артист. - Не позволю больше по каким-то желаниям увольнять и назначать, снимать и возвращать, давать на гастроли или не давать. ...Но как меня сняли со всех спектаклей, на радость моим «коллегам», было написано заявление. Написано 9 января. Оно пока не подписано. Но, уважаемые коллеги, оно будет подписано, даже чисто юридически. Все наши договоренности с театром с моей стороны будут выполнены, так что иногда вам придется меня потерпеть «коллеги», когда мне придется забрать свои вещи в гримерке, а в дальнейшем театр забудет, как и вы забыли спектакли, которые шли по 10-12 лет, собирая залы, и вы забудете, как разрушали их. Живите, Бог вам судья. Прощайте «коллеги».

Мы дозвонились до Александра Домогарова с просьбой прокомментировать ситуацию.

Вы не читайте мои посты, потому что в них есть доля правды и только доля. Но в принципе она соответствует действительности, - ответил Александр Домогаров и положил трубку.

Напомним, Александр Домогаров был трижды официально женат. Первая жена Наталья Сагоян родила ему сына Дмитрия. 10 лет назад первенец актера погиб в ДТП . От второй жены Ирины Гуненковой у актера есть сын Александр Домогаров, он тоже стал актером. Третья жена актриса Наталья Громушкина прожила с ним в браке 4 года. Три года назад актер заявил в : «У меня убили сына в автокатастрофе, я не нашел концов, но не озлобился на Страну! Во всем мире так - есть сильные и есть неуязвимые. Но я буду решать и решаю свою проблему сам. И я ее решу, а тявкать на силу и власть имущих не буду. Буду решать и решу. И страна дает мне эту возможность».

Вариант № 4557112

При выполнении заданий с кратким ответом впишите в поле для ответа цифру, которая соответствует номеру правильного ответа, или число, слово, последовательность букв (слов) или цифр. Ответ следует записывать без пробелов и каких-либо дополнительных символов. Дробную часть отделяйте от целой десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.

Если вариант задан учителем, вы можете вписать или загрузить в систему ответы к заданиям с развернутым ответом. Учитель увидит результаты выполнения заданий с кратким ответом и сможет оценить загруженные ответы к заданиям с развернутым ответом. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.

Версия для печати и копирования в MS Word

В ряд выписаны числа: , , …, , Между ними произвольным образом расставляют знаки «+» и «−» и находят получившуюся сумму.

Может ли такая сумма равняться:

а) −4, если ?

б) 0, если ?

в) 0, если ?

г) −3, если ?

Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 200. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n n – также натуральное число.

n >100.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n , выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n , а остальные числа, равные n , стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10.

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?

в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.

Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 4000. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n % от длины другой стороны, где n ― также натуральное число.

а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?

б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?

в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n

Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

а) На доске выписан набор −11, −7, −5, −4, −1, 2, 6. Какие числа были задуманы?

б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 4 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?

в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

Перед каждым из чисел 14, 15, . . ., 20 и 4, 5, . . ., 8 прозвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 35 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел:

Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному из чисел:

−11, 12, 13, −14, −15, 17, −18, 19.

После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 117?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Число таково, что для любого представления в виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит

а) Может ли число быть равным

б) Может ли число быть больше

в) Найдите максимально возможное значение

Дана арифметическая прогрессия (с разностью, отлично от нуля), составленная из натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит цифры 9.

а) Может ли в такой прогрессии быть десять членов?

б) Докажите, что число её членов меньше 100.

в) Докажите, что число членов всякой такой прогрессии не больше 72.

г) Приведите пример такой прогрессии с 72 членами

Каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5 , 7, −8, 9 по одному записывают на 8 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5 , 7, −8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате

получиться?

На доске написано число 7. Раз в минуту Вася дописывает на доску одно число: либо вдвое большее какого-то из чисел на доске, либо равное сумме каких-то двух чисел, написанных на доске (таким образом, через одну минуту на доске появится второе число, через две ― третье и т.д.).

а) Может ли в какой-то момент на доске оказаться число 2012?

б) Может ли в какой-то момент сумма всех чисел на доске равняться 63?

в) Через какое наименьшее время на доске может появиться число 784?

Найдите все простые числа b , для каждого из которых существует такое целое число а , что дробь можно сократить на b .

Натуральные числа от 1 до 20 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?

Перед каждым из чисел 3, 4, 5, . . . 11 и 14, 15, . . . 18 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 45 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю сумму и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

По кругу в некотором порядке по одному разу написаны числа от 10 до 21. Для каждой из двенадцати пар соседних чисел нашли их наибольший общий делитель.

а) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители равны 1?

б) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители попарно различны?

в) Какое наибольшее количество попарно различных наибольших общих делителей могло при этом получиться?

Каждое из чисел 5, 6, . . ., 9 умножают на каждое из чисел 12, 13, . . ., 17 и перед каждым произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 30 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю сумму и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

На окружности некоторым способом расставили натуральные числа от 1 до 21 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.

а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 11?

б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 10?

в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стояших через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k ?

а) На доске выписан набор −6, −2, 1, 4, 5, 7, 11. Какие числа были задуманы?

б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 7 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?

n n n

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8.

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22?

в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52.

Найдите несократимую дробь такую, что

а) Чему равно число способов записать число 1292 в виде где числа — целые,

б) Существуют ли 10 различных чисел таких, что их можно представить в виде где числа — целые, ровно 130 способами?

в) Сколько существует чисел N таких, что их можно представить в виде где числа — целые, ровно 130 способами?

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22?

в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41.

Коля множил некоторое натуральное число на соседнее натуральное число, и получил произведение, равное m . Вова умножил некоторое четное натуральное число на соседнее четное натуральное число и получил произведение, равное n .

m и n равняться 6?

m и n равняться 13?

m и n ?

Среди обыкновенных дробей с положительными знаменателями, расположенных между числами и найдите такую, знаменатель которой минимален.

Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

б) Какое наибольшее количество мальчиков МОГЛО быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 82?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 83?

в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

В стране Дельфиния установлена следующая система подоходного налога (денежная единица Дельфинии ― золотые):

а) Два брата заработали в сумме 1000 золотых. Как им выгоднее всего распределить эти деньги между собой, чтобы в семье осталось как можно больше денег после налогообложения? При дележе каждый получает целое число золотых.

б) Как выгоднее всего распределить те же 1000 золотых между тремя братьями, при условии, что каждый также получит целое число золотых?

Петя умножил некоторое натуральное число на соседнее натуральное число, и получил произведение, равное а . Вася умножил некоторое четное натуральное число на соседнее четное натуральное число и получил произведение, равное b .

а) Может ли модуль разности чисел a и b равняться 8?

б) Может ли модуль разности чисел a и b равняться 11?

в) Какие значения может принимать модуль разности чисел a и b ?

Найдите все такие пары натуральных чисел и , что если к десятичной записи числа приписать справа десятичную запись числа , то получится число, большее произведения чисел и на

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1 000 кг и 60 штук по 1 500 кг (раскалывать глыбы нельзя).

а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 60 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

в) Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?

в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?

б) Каково наибольшее значение n , если сумма всех данных чисел меньше 900?

в) Найдите все возможные значения n , если сумма всех данных чисел равна 123.

Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 1512 и

б) четыре;

из них образуют геометрическую прогрессию?

Найдите все простые числа , для каждого из которых существует такое целое число , что дробь сократима на

Дана последовательность натуральных чисел, причём каждый следующий член отличается от предыдущего либо на 10, либо в 6 раз. Сумма всех членов последовательности равна 257.

а) Какое наименьшее число членов может быть в этой последовательности?

б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой последовательности?

Если два числа а и b при делении на число m дают одинаковые остатки, то говорят, что а сравнимо с b по модулю m. Записывают это так а ≡ b (mod m)

Если a > b , то наибольший общий делитель a и b равен наибольшему общему делителю a – b и b .

Рассмотрим эти свойства при решении задач:

1. Сколько существует натуральных чисел, меньших 1000, которые не делятся ни на 5, ни на 7?

Решение: Вычёркиваем из 999 чисел, меньших 1000, числа, кратные 5: их 199 (999/5 = 199). Далее вычёркиваем числа, кратные 7: их 142 (999/7 = 142). Но среди чисел, кратных 7, имеется 28 (999/35 = 28) чисел, одновременно кратных 5; они будут вычеркнуты дважды. Итого, нами должно быть вычеркнуто 199 + 142 – 28 = 313 чисел.

Остаётся 999 – 313 = 686. Ответ: 686 чисел.

2. Найдите остаток от деления 2009⋅2010⋅2011+2012 2 на 7.

Решение задачи

Учитывая, что 2009⋮7, то остаток будет равен 2012 2 ≡ 3 2 ≡ 2(mod7)

3. Известно, что остаток от деления числа aa на 19 равен 7, а числа b на 19 - равен 11. Найдите остаток от деления на 19 числа ab(a+b)(a−b).

Решение задачи

Заметим, что ab(a+b)(a−b)≡ 7⋅11⋅18⋅(−1) ≡ 7⋅(−8)⋅(−1)⋅(−4) =−224 = −228+4 ≡ 4(mod19)

4. Докажите, что сумма квадратов трёх целых чисел не может при делении на 8 дать в остатке 7.

Решение

Любое целое число при делении на 8 имеет остатком одно из следующих восьми чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, поэтому квадрат целого числа имеет остатком при делении на 8 одно из трёх чисел 0, 1, 4. Чтобы при делении на 8 сумма квадратов трёх чисел имела остаток 7, необходимо, чтобы выполнялся один из двух случаев: либо один из квадратов, либо все три при делении на 8 имеют нечётные остатки.

В первом случае нечётный остаток есть 1, а сумма двух чётных остатков равна 0, 2, 4, то есть сумма всех остатков равна 1, 3, 5. Остатка 7 в этом случае получить нельзя. Во втором случае три нечётных остатка это три 1, и остаток всей суммы равен 3. Итак, 7 не может быть остатком при делении на 8 суммы квадратов трёх целых чисел.

5. Существуют ли такие натуральные nn, что n 2 +n+1 делится на 2014?

Решение задачи

Заметим, что n 2 + n = n(n+1) делится на 2, поскольку является произведением двух подряд идущих чисел, а значит n 2 +n+1 всегда нечетно (также это можно было заметить, используя малую теорему Ферма: n 2 + n + 1 ≡ n + n+1 = 2n + 1 ≡1 (mod 2).

Поскольку число 2014 четное, то не существует таких n, что число n 2 +n+1 делится на 2014 (если бы такие n существовали, то это бы противоречило тому, что n 2 +n+1 - нечетное).

6. Существует ли десятизначное число, делящееся на 11, в записи которого каждая цифра встречается по одному разу?

I способ. Выписывая трёхзначные числа, делящиеся на 11, можно среди них найти три числа, в записи которых участвуют все цифры от 0 до 9. Например, 275, 396,418. С их помощью можно составить десятизначное число, делящееся на 11. Например:

2753964180 = 275·107 + 396·107 + 418·10 = 11·(25·107 + 36·104 + 38·10).

II способ. Для нахождения требуемого числа воспользуемся признаком делимости на 11, согласно которому числа n = a 1 a 2 a 3 …a 10 (в данном случае а i не множители, а цифры в записи числа n) и S(n) = a 1 –a 2 +a 3 –…–a 10 одновременно делятся на 11.

Пусть А – сумма цифр, входящая в S(n) со знаком «+», В – сумма цифр, входящая в S(n) со знаком «–». Число А–В, согласно условию задачи, должно делиться на 11. Положим В – А = 11, кроме того, очевидно, А + В = 1+2+3+…+9 = 45. Решая полученную систему В – А =11, А + В = 45, находим, А =17, В = 28. Подберём группу из пяти различных цифр с суммой 17. Например, 1+2+3+5+6 = 17. Эти цифры возьмём в качестве цифр с нечётными номерами. В качестве цифр с чётными номерами возьмём оставшиеся – 4, 7, 8, 9, 0.

Мы видим, что условию задачи удовлетворяет, например, число 1427385960.

7. Найдите наименьшее натуральное число, дающее такой же остаток при делении на 25, какой дает число 1234.

Решение

Рассмотрим остаток при делении числа 1234 на 25. Все числа, меньшие, чем он, дают другие остатки, поскольку сами являются своими остатками. Остаток при делении 1234 на 25 это 9, так как 1234=49⋅25+9, это и будет ответом.

8. Получив двойку по географии, Вася решил порвать географическую карту в клочья. Каждый попавший ему в руки клочок он рвет на четыре части. Может ли он когда-нибудь получить ровно 2012 кусков? 2013 кусков? 2014 кусков? 2015 кусков?

Решение задачи

Заметим, что каждый раз Вася увеличивает число кусков на 3, так как он один кусок превращает в четыре. Поэтому он будет получать числа вида 1+3N, где N - количество кусков, которые он рвал на части. Число 2014 имеет такой вид, поэтому 2014 кусков у него получится, а другие не представимы в таком виде (у них остатки при делении на 3 равны 0 или 2).

9. Найдите наименьшее натуральное число, дающее следующие остатки: 1 - при делении на 2, 2 - при делении на 3, 3 - при делении на 4, 4 - при делении на 5, 5 - при делении на 6.

Решение задачи

Рассмотрим искомое число, увеличенное на единицу. Оно делится на 2,3,4,5,6, т.к. оно дает остатки, меньшие на единицу, чем сами делители. Нам необходимо найти минимальное такое число, следовательно, искомое число есть наименьшее общее кратное чисел 2,3,4,5,6 минус 1. Наименьшее общее кратное 2,3,4,5,6 равно 2 2 ⋅3⋅5=60 , т.к. в числах 2,3,4,5,6 есть только 3 простых делителя, тройка и пятерка входят максимум в первой степени, а двойка во второй (в числе 4). Значит, искомое число равно 60−1 = 59.

Это утверждение представляет собой признак делимости на числа, которые можно представить в виде произведения двух взаимно простых чисел.

Например, так как 6 = 2∙3 и D (2, 3) = 1, то получаем признак делимости на 6. Для того, что бы натуральное число делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось и на 2 и на 3.

Заметим, что данный признак можно применять многократно.

в) Частные, получаемые при делении двух данных чисел и
их наибольший общий делитель, являются взаимно простыми
числами.

Этим свойством можно пользоваться при проверке правильности найденного наибольшего общего делителя данных чисел. Например, проверим, является ли число 12 наибольшим общим делителем чисел 24 и 36. Для этого, согласно последнему утверждению, разделим 24 и 36 на 12. Получим соответственно числа 2 и 3, которые являются взаимно простыми. Следовательно,

D (24, 36) = 12.

Упражнения

1. Даны числа 36 и 45.

а) Найдите все общие делители этих чисел.

б) Можно ли назвать все их общие кратные?

в) Найдите три трехзначных числа, которые являются общими кратными данных чисел.

г) Чему равны D(36, 45) и K(36, 45)? Как проверить правильность полученных ответов?

2. Верны ли записи:

а) D(32, 8) = 8 и K(32,8) = 32;

б) D(17,35)= 1 и K(17,35) = 595;

в) D(255,306) = 17 и K(255,306),= 78030,

3. Найдите К(а, b), если известно, что:

а) а = 47,b=105 и D(47,105)= 1;

б) а = 315,b = 385 и D (315,385) = 35.

4. Сформулируйте признаки делимости на 12,15,18,36,45,75.

5. Из множества чисел 1032, 2964,5604,8910, 7008 выпишите те, которые делятся на 12.

6. Делятся ли на 18 числа 548 и 942?

7. К числу 15 припишите слева и справа по; одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

8. Найдите цифры а и 6 числа 72, если известно, что это число, делится на 45.

9 Не выполняя умножения и деления уголком, установите, какие из следующих произведений делятся на 30:

а) 105∙20; 6)47∙12∙5; в) 85∙33∙7.

10. Не выполняя сложения или вычитания, установите, значения каких выражений, делятся на 36.

а) 72 + 180 + 252; в) 180 + 252 + 100;

б) 612-432; г) 180 + 250 + 200.

91. Простые числа

Простые числа играют большую роль в математике - по существу они являются «кирпичами», из которых строятся составные начала. Это утверждается в теореме, называемой основной теоремой арифметики натуральных чисел, которая приводится без доказательства:

Теорема: Любое составное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей.

Например, запись 110 = 2∙5∙11 есть представление числа 110 в виде произведения простых множителей или разложение его на простые множители.

Два разложения числа на простые множители считают одинаковым и, если они отличаются друг от друга лишь порядком множителей. Поэтому представление числа 110 в виде произведения 2∙5∙11 или произведения 5∙2∙11 есть, по существу, одно и то же разложение числа 110 на простые множители.

Раскладывая числа на простые множители, используют признаки делимости на 2, 3, 5 и др. Напомним один из способов записи разложения чисел на простые множители. Разложим, например, на множители число 90. Число 90 делится на 2. Значит, 2 есть один из простых множителей в разложении числа 90. Разделим 90 на 2. Число 2 запишем справа от знака равенства, а частное 45 - под числом 90. Число 45 делим на простое число 3, получаем 15. Делим 15 на 3, получаем 5. Число 5 - простое, при делении его на 5 получаем 1. Разложение на множители закончено.

90 = 2∙3∙3∙5

При разложении числа на простые множители произведение одинаковыx множителей представляют в виде степени: 90 = 2∙3 2 ∙5; 60 = 2 2 ∙3∙5; 72 = 2 3 ∙3 2 . Такое разложение числа на простые множители называют каноническим.

В связи с возможностью представлять любое составное число в виде произведения простых множителей возникает необходимость определять, является данное число простым или составным. Эту задачу умели решать еще древнегреческие математики, которым были известны многие свойства простых чисел. Так, Эратосфеном (III в. до н.э.) был придуман способ получения простых чисел, не превышающих натурального числа а. Воспользуемся им для поиска всех простых чисел до 50.

Выпишем все натуральные числа от 1 до 50 и зачеркнем число 1 - оно не является простым. Число 2- простое, обведем его кружком. После этого зачеркиваем каждое второе число, стоящее после 2, т.е. числа 4,6,8,...

Первое не зачеркнутое число 3 является простым, обведем его кружком. И вычеркнем каждое третье число, стоящее после 3, т.е. числа 9, 15,... (числа 6,12 и др. зачеркнуты раньше).

Первое не зачеркнутое число 5 является простым, его также обведем кружком. Зачеркнем каждое пятое число после 5 и т.д

1 23 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Те числа, которые останутся после четырех вычеркиваний (исключая числа 2,3,5 и 7), не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7. В арифметике доказано, что если натуральное число а, большее единицы, не делится ни на одно из простых чисел, квадрат которых не превосходит о, то а число простое. Поскольку 7 2 = 49, а 49 < 50, то все оставшиеся числа - простые.

Итак, простыми числами, не превосходящими 50, являются 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Описанный способ получения простых чисел называется решетом Эратосфена, так как позволяет отсеивать одно за другим составные числа.

С помощью метода, предложенного Эратосфеном, можно отыскивать все простые числа, не превосходящие заданного числа а. Но он не дает ответа на вопрос, конечно или нет множество простых чисел, - ведь могло бы оказаться, что все числа, начиная с некоторого, составные и множество простых чисел конечно. Решением этой проблемы занимался другой греческий математик - Евклид. Он доказал, что множество простых чисел бесконечно.

Действительно, предположим, что множество простых чисел конечное и исчерпывается числами 2, 3, 5, 7, 7 - самое большое простое число. Перемножим все простые числа и их произведение обозначим через а. Прибавим к этому числу 1. Каким будет полученное число

а + 1 - простым или составным?

Простым число а +1 быть не может, потому что оно больше самого большого простого числа, а по предположению таких чисел не существует. Но составным оно тоже быть не может: если а + 1 .составное, то оно должно иметь хотя бы один простой делитель q . Так как число

а = 2∙3∙5∙...∙р также делится на это простое число q, то и разность (а + 1) - а , т.е. число 1, делится на q, что невозможно.

Итак, число а не является ни простым, ни составным, но этого тоже не может быть - всякое число, отличное от 1, либо простое, либо составное. Следовательно, наше предложение о том, что множество простых чисел конечное и есть самое большое простое число, неверно, и значит, множество простых чисел бесконечное.

Упражнения

1. Из множества чисел 13, 27, 29, 51, 67 выпишите простые
числа, а составные разложите на простые множители.

2. Докажите, что число 819 не является простым числом.

3. Разложите на простые множители числа 124,588,2700,3780.

4. Какое число имеет разложение:

а) 2 3 ∙ 3 2 7 ∙ 13; б) 2 2 ∙ 3∙5 3 ?