Дать определение многочлена привести пример. Многочлен, его стандартный вид, степень и коэффициенты членов

На данном уроке мы вспомним основные определения данной темы и рассмотрим некоторые типовые задачи, а именно приведение многочлена к стандартному виду и вычисление численного значения при заданных значениях переменных. Мы решим несколько примеров, в которых будет применяться приведение к стандартному виду для решения разного рода задач.

Тема: Многочлены. Арифметические операции над одночленами

Урок: Приведение многочлена к стандартному виду. Типовые задачи

Напомним основное определение: многочлен - это сумма одночленов. Каждый одночлен, входящий в состав многочлена как слагаемое называется его членом. Например:

Двучлен;

Многочлен;

Двучлен;

Поскольку многочлен состоит из одночленов, то первое действие с многочленом следует отсюда - нужно привести все одночлены к стандартному виду. Напомним, что для этого нужно перемножить все численные множители - получить численный коэффициент, и перемножить соответствующие степени - получить буквенную часть. Кроме того, обратим внимание на теорему о произведении степеней: при умножении степеней показатели их складываются.

Рассмотрим важную операцию - приведение многочлена к стандартному виду. Пример:

Комментарий: чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно привести к стандартному виду все одночлены, входящие в его состав, после этого, если есть подобные одночлены - а это одночлены с одинаковой буквенной частью - выполнить действия с ними.

Итак, мы рассмотрели первую типовую задачу - приведение многочлена к стандартному виду.

Следующая типовая задача - вычисление конкретного значения многочлена при заданных численных значениях входящих в него переменных. Продолжим рассматривать предыдущий пример и зададим значения переменных:

Комментарий: напомним, что единица в любой натуральной степени равна единице, а ноль в любой натуральной степени равен нулю, кроме того, напомним, что при умножении любого числа на ноль получаем ноль.

Рассмотрим ряд примеров на типовые операции приведения многочлена к стандартному виду и вычисление его значения:

Пример 1 - привести к стандартному виду:

Комментарий: первое действие - приводим одночлены к стандартному виду, нужно привести первый, второй и шестой; второе действие - приводим подобные члены, то есть выполняем над ними заданные арифметические действия: первый складываем с пятым, второй с третьим, остальные переписываем без изменений, так как у них нет подобных.

Пример 2 - вычислить значение многочлена из примера 1 при заданных значениях переменных:

Комментарий: при вычислении следует вспомнить, что единица в любой натуральной степени это единица, при затруднении вычислений степеней двойки можно воспользоваться таблицей степеней.

Пример 3 - вместо звездочки поставить такой одночлен, чтобы результат не содержал переменной :

Комментарий: независимо от поставленной задачи, первое действие всегда одинаково - привести многочлен к стандартному виду. В нашем примере это действие сводится к приведению подобных членов. После этого следует еще раз внимательно прочитать условие и подумать, каким образом мы можем избавиться от одночлена . очевидно, что для этого нужно к нему прибавить такой же одночлен, но с противоположным знаком - . далее заменяем звездочку этим одночленом и убеждаемся в правильности нашего решения.

Урок на тему: "Понятие и определение многочлена. Стандартный вид многочлена"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 7 класса
Электронное учебное пособие по учебнику Ю.Н. Макарычева
Электронное учебное пособие по учебнику Ш.А. Алимова

Ребята, вы уже изучали одночлены в теме: Стандартный вид одночлена. Определения. Примеры. Давайте повторим основные определения.

Одночлен – выражение, состоящие из произведения чисел и переменных. Переменные могут быть возведены в натуральную степень. Одночлен не содержит ни каких других действий, кроме умножения.

Стандартный вид одночлена – такой вид, когда на первом месте стоит коэффициент (числовой множитель), а за ним степени различных переменных.

Подобные одночлены – это либо одинаковые одночлены, либо одночлены, которые отличаются друг от друга на коэффициент.

Понятие многочлена

Определение многочлена

Одночлены, входящие в состав многочлена, называются членами многочлена . Если слагаемых два, то мы имеем дело с двучленом, еcли три, то с трехчленом. Если слагаемых больше говорят - многочлен.

Примеры многочленов.

1) 2аb + 4сd (двучлен);

2) 4аb + 3сd + 4x (трехчлен);

3) 4а 2 b 4 + 4с 8 d 9 + 2xу 3 ;

3с 7 d 8 - 2b 6 c 2 d + 7xу - 5xy 2 .

Запишем выражение а + b - с (договоримся, что а ≥ 0, b ≥ 0 и с ≥0 ) и ответим на вопрос: это сумма или разность? Сложно сказать.
Действительно, если переписать выражение, как а + b + (-с) , мы получим сумму двух положительных и одного отрицательного слагаемых.
Если посмотреть на наш пример, то мы имеем дело именно с суммой одночленов с коэффициентами: 3, - 2, 7, -5. В математике есть термин "алгебраическая сумма". Таким образом, в определении многочлена имеется в виду "алгебраическая сумма".

А вот запись вида 3а: b + 7с многочленом не является потому, что 3а: b не является одночленом.
Не является многочленом и запись вида 3b + 2а * (с 2 + d), так как 2а * (с 2 + d) - не одночлен. Если раскрыть скобки, то полученное выражение будет являться многочленом.
3b + 2а * (с 2 + d) = 3b + 2ас 2 + 2аd.

Степенью многочлена является наивысшая степень его членов.
Многочлен а 3 b 2 +а 4 имеет пятую степень, так как степень одночлена а 3 b 2 равна 2 + 3= 5, а степень одночлена а 4 равна 4.

Стандартный вид многочлена

Многочлен приводят к стандартному виду, что бы убрать излишнюю громоздкость написания и упростить дальнейшие действия с ним.

Действительно, зачем к примеру писать длинное выражение 2b 2 + 3b 2 + 4b 2 + 2а 2 + а 2 + 4 + 4, когда его можно записать короче 9b 2 + 3а 2 + 8 .

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, надо:
1. привести все его члены к стандартному виду,
2. сложить подобные (одинаковые или с разным числовым коэффициентом) члены. Данная процедура часто называется приведением подобных .

Пример.
Привести многочлен аba + 2у 2 х 4 х + у 2 х 3 х 2 + 4 + 10а 2 b + 10 к стандартному виду.

Решение.

а 2 b + 2 х 5 у 2 + х 5 у 2 + 10а 2 b + 14= 11а 2 b + 3 х 5 у 2 + 14.

Определим степени одночленов, входящих в состав выражения, и расставим их в порядке убывания.
11а 2 b имеет третью степень, 3 х 5 у 2 имеет седьмую степень, 14 – нулевую степень.
Значит, на первое место мы поставим 3 х 5 у 2 (7 степень), на второе - 12а 2 b (3 степень) и на третье - 14 (нулевая степень).
В итоге получим многочлен стандартного вида 3х 5 у 2 + 11а 2 b + 14.

Примеры для самостоятельного решения

1) 4b 3 аa - 5х 2 у + 6ас - 2b 3 а 2 - 56 + ас + х 2 у + 50 * (2 а 2 b 3 - 4х 2 у + 7ас - 6);

2) 6а 5 b + 3х 2 у + 45 + х 2 у + аb - 40 * (6а 5 b + 4ху + аb + 5);

3) 4ах 2 + 5bс - 6а - 24bс + хаx 4 x (5ах 6 - 19bс - 6а);

4) 7аbс 2 + 5асbс + 7аb 2 - 6bаb + 2саbс (14аbс 2 + аb 2).

После изучения одночленов переходим к многочленам. Данная статья расскажет о всех необходимых сведениях, необходимых для выполнения действий над ними. Мы определим многочлен с сопутствующими определениями члена многочлена, то есть свободный и подобный, рассмотрим многочлен стандартного вида, введем степень и научимся ее находить, поработаем с его коэффициентами.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Многочлен и его члены – определения и примеры

Определение многочлена было надо еще в 7 классе после изучения одночленов. Рассмотрим его полное определение.

Определение 1

Многочленом считается сумма одночленов, причем сам одночлен – это частный случай многочлена.

Из определения следует, что примеры многочленов могут быть различными: 5 , 0 , − 1 , x , 5 · a · b 3 , x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z и так далее. Из определения имеем, что 1 + x , a 2 + b 2 и выражение x 2 - 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5 , 2 · y · x являются многочленами.

Рассмотрим еще определения.

Определение 2

Членами многочлена называются его составляющие одночлены.

Рассмотрим такой пример, где имеем многочлен 3 · x 4 − 2 · x · y + 3 − y 3 , состоящий из 4 членов: 3 · x 4 , − 2 · x · y , 3 и − y 3 . Такой одночлен можно считать многочленом, который состоит из одного члена.

Определение 3

Многочлены, которые имеют в своем составе 2 , 3 трехчлена имеют соответственное название – двучлен и трехчлен .

Отсюда следует, что выражение вида x + y – является двучленом, а выражение 2 · x 3 · q − q · x · x + 7 · b – трехчленом.

По школьной программе работали с линейным двучленом вида a · x + b , где а и b являются некоторыми числами, а х – переменной. Рассмотрим примеры линейных двучленов вида: x + 1 , x · 7 , 2 − 4 с примерами квадратных трехчленов x 2 + 3 · x − 5 и 2 5 · x 2 - 3 x + 11 .

Для преобразования и решения необходимо находить и приводить подобные слагаемые. Например, многочлен вида 1 + 5 · x − 3 + y + 2 · x имеет подобные слагаемые 1 и - 3 , 5 х и 2 х. Их подразделяют в особую группу под названием подобных членов многочлена.

Определение 4

Подобные члены многочлена – это подобные слагаемые, находящиеся в многочлене.

В примере, приведенном выше, имеем, что 1 и - 3 , 5 х и 2 х являются подобными членами многочлена или подобными слагаемыми. Для того, что бы упростить выражение, применяют нахождение и приведение подобных слагаемых.

Многочлен стандартного вида

У всех одночленов и многочленов имеются свои определенные названия.

Определение 5

Многочленом стандартного вида называют многочлен, у которого каждый входящий в него член имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.

Из определения видно, что возможно приведение многочленов стандартного вида, например, 3 · x 2 − x · y + 1 и __formula__, причем запись в стандартном виде. Выражения 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z и 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z многочленами стандартного вида не является, так как первый из них имеет подобные слагаемые в виде 3 · x 2 и − x 2 , а второй содержит одночлен вида x · y 3 · x · z 2 , отличающийся от стандартного многочлена.

Если того требуют обстоятельства, иногда многочлен приводится к стандартному виду. Многочленом стандартного вида считается и понятие свободного члена многочлена.

Определение 6

Свободным членом многочлена является многочлен стандартного вида, не имеющий буквенной части.

Иначе говоря, когда запись многочлена в стандартном виде имеет число, его называют свободным членом. Тогда число 5 является свободным членом многочлена x 2 · z + 5 , а многочлен 7 · a + 4 · a · b + b 3 свободного члена не имеет.

Степень многочлена – как ее найти?

Определение самой степени многочлена базируется на определении многочлена стандартного вида и на степенях одночленов, которые являются его составляющими.

Определение 7

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в его запись.

Рассмотрим на примере. Степень многочлена 5 · x 3 − 4 равняется 3 , потому как одночлены, входящие в его состав, имеют степени 3 и 0 , а большее из них 3 соответственно. Определение степени из многочлена 4 · x 2 · y 3 − 5 · x 4 · y + 6 · x равняется наибольшему из чисел, то есть 2 + 3 = 5 , 4 + 1 = 5 и 1 , значит 5 .

Следует выяснить, каким образом находится сама степень.

Определение 8

Степень многочлена произвольного числа - это степень соответствующего ему многочлена в стандартном виде.

Когда многочлен записан не в стандартном виде, но нужно найти его степень, необходимо приведение к стандартному, после чего находить искомую степень.

Пример 1

Найти степень многочлена 3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 .

Решение

Для начала представим многочлен в стандартном виде. Получим выражение вида:

3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 = = (3 · a 12 − 2 · a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

При получении многочлена стандартного вида получаем, что отчетливо выделяются два из них − 2 · a 2 · b 2 · c 2 и y 2 · z 2 . Для нахождения степеней посчитаем и получим, что 2 + 2 + 2 = 6 и 2 + 2 = 4 . Видно, что наибольшая из них равняется 6 . Из определения следует, что именно 6 является степенью многочлена − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 , следовательно и исходного значения.

Ответ : 6 .

Коэффициенты членов многочлена

Когда все члены многочлена являются одночленами стандартного вида, то в таком случаем они имеют название коэффициентов членов многочлена. Иначе говоря, их можно называть коэффициентами многочлена.

При рассмотрении примера видно, что многочлен вида 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 имеет в своем составе 4 многочлена: 2 · x , − 0 , 5 · x · y , 3 · x и 7 с соответствующими их коэффициентами 2 , − 0 , 5 , 3 и 7 . Значит, 2 , − 0 , 5 , 3 и 7 считаются коэффициентами членов заданного многочлена вида 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 . При преобразовании важно обращать внимание на коэффициенты, стоящие перед переменными.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Например, выражения:

a - b + c , x 2 - y 2 , 5x - 3y - z - многочлены

Одночлены, входящие в состав многочлена, называются членами многочлена . Рассмотрим многочлен:

7a + 2b - 3c - 11

выражения: 7a , 2b , -3c и -11 - это члены многочлена. Обратите внимание на член -11 он не содержит переменной, такие члены, состоящие только из числа, называются свободными .

Принято считать, что любой одночлен это частный случай многочлена, состоящий из одно члена. В этом случае одночлен является названием для многочлена с одним членом. Для многочленов, состоящих из двух и трёх членов, тоже есть специальные названия - двучлен и трёхчлен соответственно:

7a - одночлен

7a + 2b - двучлен

7a + 2b - 3c - трёхчлен

Подобные члены

Подобные члены - одночлены, входящие в многочлен, которые отличаются друг от друга только коэффициентом , знаком или совсем не отличаются (противоположные одночлены тоже можно назвать подобными). Например, в многочлене:

члены 3a 2 b , 2a 2 b и -2a 2 b , так же как и члены 5abc 2 и -7abc 2 - это подобные члены.

Приведение подобных членов

Если многочлен содержит подобные члены, то его можно привести к более простому виду путём соединения подобных членов в один. Такое действие называется приведением подобных членов . Первым делом заключим в скобки отдельно все подобные члены:

(3a 2 b + 2a 2 b - 2a 2 b ) + (5abc 2 - 7abc 2)

Чтобы соединить несколько подобных одночленов в один, надо сложить их коэффициенты, а буквенные множители оставить без изменений:

((3 + 2 - 2)a 2 b ) + ((5 - 7)abc 2) = (3a 2 b ) + (-2abc 2) = 3a 2 b - 2abc 2

Приведение подобных членов - это операция замены алгебраической суммы нескольких подобных одночленов одним одночленом.

Многочлен стандартного вида

Многочлен стандартного вида - это многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, среди которых нет подобных членов.

Чтобы привести многочлен к стандартному виду достаточно сделать приведение подобных членов. Например, представьте в виде многочлена стандартного вида выражение:

3xy + x 3 - 2xy - y + 2x 3

Сначала найдём подобные члены:

Если все члены многочлена стандартного вида содержат одну и ту же переменную, то его члены принято располагать от большей степени к меньшей. Свободный член многочлена, если он есть, ставится на последнее место - справа.

Например, многочлен

3x + x 3 - 2x 2 - 7

должен быть записан так:

x 3 - 2x 2 + 3x - 7

Члены многочлена являются базовыми единицами многих алгебраических структур. По своему определению, мономы - это либо натуральные числовые значения, либо некие переменные (группы умноженных друг на друга переменных).

Одним из главных математических действий над многочленом является приведение подобных слагаемых. В этом видеоуроке мы рассмотрим более подробно, что собой представляют операции над многочленом.

Так как все члены полинома между собой связаны посредством алгебраического суммирования, то все они именуются слагаемыми. Подобными же являются мономы, имеющие одинаковую буквенную часть, т.е. состоящие из одинаковых переменных. При этом переменные обязательно должны быть в одинаковой степени и при равном числовом коэффициенте. А отдельные числовые значения в многочленах считаются приравненными к подобным слагаемым сами по себе.

Приведение подобных слагаемых подразумевает группирование мономов многочлена так, чтобы получились отдельные части, состоящие полностью из подобных слагаемых. К примеру, рассмотрим данный многочлен:

3а 2 + 2ab 2 - 6 - 3с 3 + 6а 2 - 7ab 2 + 7

Подобными слагаемыми, в данном случае, являются:

1. Все свободные числовые значения: -6, +7;
2. Мономы с основанием а в квадрате: +3а 2 , +6а 2 ;
3. Мономы с основанием аb в квадрате: 2ab 2 , -7ab 2 ;
4. Мономы с основанием с в кубе: -3с 3 ;

Последняя группа состоит из одного лишь одночлена, не имеющего подобного себе во всем полиноме.

Зачем нужны такие преобразования? Приведение подобных слагаемых помогает упростить многочлен, привести его к элементарному виду, который состоит из меньшего количества мономов. Это легко сделать, сгруппировав те члены, между которыми совершаются алгебраические действия. Главными операциями тут становится вычитание и сложение - они же оказывают эффект перегруппировки и позволяют свободно перемещать одночлены внутри полинома. Поэтому вполне по правилам будет преобразовать вышеуказанный пример так:

6 +7 + 3а 2 +6а 2 + 2ab 2 +(-7ab 2) + (-3с 3) =

9а 2 - 5ab 2 - 3с 3 - 1

Реализовав стандартное вычитание и сложение, получаем упрощенный многочлен. Если первоначальный вариант насчитывал 7 одночленов, то текущий имеет всего 4 члена. Однако возникает закономерный вопрос, что является точным критерием «простоты» многочлена?
С точки зрения алгебраических правил, элементарным, а точнее - стандартным многочленом считается такой полином, у которого все основания одночленов разные, и не являются подобными друг другу. Наш пример:

9а 2 - 5ab 2 - 3с 3 - 1

Состоит из мономов с основаниями а 2 , ab 2 , с 3 , а также, из одного числового значения. Ни один из вышеперечисленных элементов не может быть суммирован или вычтен из другого. Перед нами - стандартный полином, состоящий из четырех членов.

У любого многочлена есть такой критерий, как степень. Степенью полинома, в общем отношении, называется наибольшая степень одночлена в данном многочлене. Стоит усвоить важную деталь - степени многобуквенных (многопеременных) выражений суммируются. Поэтому, общая степень ab 2 равна трем (а в первой степени, b в квадрате). А многочлен вида:

9а 2 - 5ab 2 - 3с 3 - 1

имеет степень, равную трем, так как один из одночленов находится в наибольшей кубической степени.

Степень полиномов принято определять только для стандартного вида. Если многочлен имеет подобные слагаемые, то его сначала приводят к упрощенному виду, а потом вычисляют итоговую степень.

Если многочлен состоит только из одних числовых одночленов, то его стандартная форма приобретает вид единственного числа, являющегося алгебраической суммой всех мономов. Степень данного числа, как многочлена, равна нулю. Если же само число, будучи стандартным видом полинома, приобретает значение «ноль», то его степень считается неопределенной, а сам «нулевой» многочлен называется нуль-полиномом.

На представленном видео также заметно, что любой многочлен имеет, помимо всего прочего, старший коэффициент и свободный член. Старшим коэффициентом называют числовое значение, стоящие перед переменной с наибольшей степенью (той самой, которая задает разряд самому многочлену). А свободный член - это итоговая сумма всех числовых значений многочлена. Если подобных значений в полиноме нет, либо же если они полностью сокращаются, то свободный член принимают равным 0. В примере:

7а 4 - 2в 2 + 5с 3 + 3

старшим коэффициентом является число 7, потому что оно стоит перед переменной, имеющей наибольшую степень (четвертую - и, вместе с тем, весь многочлен имеет четвертую степень). Свободный член, в данном примере, равен 3.