Показательные уравнения. Как известно — в состав ЕГЭ входят простые уравнения. Некоторые мы уже рассмотрели – это логарифмические, тригонометрические, рациональные. Здесь представлены показательные уравнения.
В недавней статье мы поработали с показательными выражениями, будет полезно. Сами уравнения решаются просто и быстро. Требуется лишь знать свойства показателей степени и... Об этом далее.
Перечислим свойства показателей степени:
Нулевая степень любого числа равна единице.
Следствие из данного свойства:
Ещё немного теории.
Показательным уравнением называется уравнение содержащее переменную в показателе, то есть это уравнение вида:
f (x ) выражение, которое содержит переменную
Методы решения показательных уравнений
1. В результате преобразований уравнение можно привести к виду:
Тогда применяем свойство:
2. При получении уравнения вида a f ( x ) = b используется определение логарифма, получим:
3. В результате преобразований можно получить уравнение вида:
Применяется логарифмирование:
Выражаем и находим х.
В задачах вариантов ЕГЭ достаточно будет использовать первый способ.
То есть, необходимо представить левую и правую части в виде степеней с одинаковым основанием, а далее приравниваем показатели и решаем обычное линейное уравнение.
Рассмотрим уравнения:
Найдите корень уравнения 4 1–2х = 64.
Необходимо сделать так, чтобы в левой и правой частях были показательные выражения с одним основанием. 64 мы можем представить как 4 в степени 3. Получим:
4 1–2х = 4 3
1 – 2х = 3
– 2х = 2
х = – 1
Проверка:
4 1–2 (–1) = 64
4 1 + 2 = 64
4 3 = 64
64 = 64
Ответ: –1
Найдите корень уравнения 3 х–18 = 1/9.
Известно, что
Значит 3 х-18 = 3 -2
Основания равны, можем приравнять показатели:
х – 18 = – 2
х = 16
Проверка:
3 16–18 = 1/9
3 –2 = 1/9
1/9 = 1/9
Ответ: 16
Найдите корень уравнения:
Представим дробь 1/64 как одну четвёртую в третьей степени:
2х – 19 = 3
2х = 22
х = 11
Проверка:
Ответ: 11
Найдите корень уравнения:
Представим 1/3 как 3 –1 , а 9 как 3 в квадрате, получим:
(3 –1) 8–2х = 3 2
3 –1∙(8–2х) = 3 2
3 –8+2х = 3 2
Теперь можем приравнять показатели:
– 8+2х = 2
2х = 10
х = 5
Проверка:
Ответ: 5
26654. Найдите корень уравнения:
Решение:
Ответ: 8,75
Действительно, в какую бы степень мы не возвели положительное число a, мы никак не можем получить число отрицательное.
Любое показательное уравнение после соответствующих преобразований сводится к решению одного или нескольких простейших. В данной рубрике мы ещё рассмотрим решение некоторых уравнений, не пропустите! На этом всё. Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
На канал на youtube нашего сайта сайт, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.
Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.
Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n /a m = a n — m
Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.
Примеры показательных уравнений:
В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.
Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0
Теперь разберем как решаются показательные уравнения?
Возьмем простое уравнение:
2 х = 2 3
Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:
2 х = 2 3
х = 3
Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.
Теперь подведем итоги нашего решения.
Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые
ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем
степени и решаем полученное новое уравнение.
Теперь прорешаем несколько примеров:
Начнем с простого.
Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.
x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2
В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.
3 3х — 9 х+8 = 0
Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:
Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n) m = a nm .
3 3х = (3 2) х+8
Получим 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16
3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.
3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.
Смотрим следующий пример:
2 2х+4 — 10 4 х = 2 4
В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n) m = a nm .
4 х = (2 2) х = 2 2х
И еще используем одну формулу a n a m = a n + m:
2 2х+4 = 2 2х 2 4
Добавляем в уравнение:
2 2х 2 4 — 10 2 2х = 24
Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:
2 2х (2 4 — 10) = 24
Посчитаем выражение в скобках:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Все уравнение делим на 6:
Представим 4=2 2:
2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.
Решим уравнение:
9 х – 12*3 х +27= 0
Преобразуем:
9 х = (3 2) х = 3 2х
Получаем уравнение:
3 2х — 12 3 х +27 = 0
Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены . Число с наименьшей степенью заменяем:
Тогда 3 2х = (3 х) 2 = t 2
Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:
t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3
Возвращаемся к переменной x .
Берем t 1:
t 1 = 9 = 3 х
Стало быть,
3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2
Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Ответ: х 1 = 2; х 2 = 1.
На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.
Вступайте в группу
Так называются уравнения вида, где неизвестное находится и в показателе и в основании степени.
Можно указать совершенно четкий алгоритм решения уравнении вида. Для этого надо обратить внимание на то, что при а(х) не равном нулю, единице и минус единице равенство степеней с одинаковыми основаниями (будь-то положительными или отрицательными) возможно лишь при условии равенства показателей То - есть все корни уравнения будут корнями уравнения f(x) = g(x) Обратное же утверждение неверно, при а(х) < 0 и дробных значениях f(x) и g(x) выражения а(х) f(x) и
а(х) g(x) теряют смысл. То - есть при переходе от к f(x) = g(x) (при и могут появиться посторонние корни, которые нужно исключить проверкой по исходному уравнению. А случаи а = 0, а = 1, а =-1 надо рассмотреть отдельно.
Итак, для полного решения уравнения рассматриваем случаи:
а(х) = О f(x) и g{x) будут положительными числами, то это решение. В противном случае, нет
а(х) = 1 . Корни этого уравнения являются корнями и исходного уравнения.
а(х) = -1 . Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и g(x) являются целыми числами одинаковой четности (либо оба четные, либо оба нечетные) , то это решение. В противном случае, нет
При и решаем уравнение f(x)= g(x) и подстановкой полученных результатов в исходное уравнение отсекаем посторонние корни.
Примеры решения показательно-степенных уравнений.
Пример №1.
1) x - 3 = 0, x = 3. т.к. 3 > 0, и 3 2 > 0, то x 1 = 3 - это решение.
2) x - 3 = 1, x 2 = 4.
3) x - 3 = -1, x = 2. Оба показателя четные. Это решение x 3 = 1.
4) x - 3 ? 0 и x ? ± 1. x = x 2 , x = 0 или x = 1. При x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 -верно это решение x 4 = 0. При x = 1, (-2) 1 = (-2) 1 - верно это решение x 5 = 1.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.
Пример №2.
По определению арифметического квадратного корня: x - 1 ? 0, x ? 1.
1) x - 1 = 0 или x = 1, = 0, 0 0 это не решение.
2) x - 1 = 1 x 1 = 2.
3) x - 1 = -1 x 2 = 0 не подходит в ОДЗ.
Д = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - корней нет.
Примеры:
\(4^x=32\)
\(5^{2x-1}-5^{2x-3}=4,8\)
\((\sqrt{7})^{2x+2}-50\cdot(\sqrt{7})^{x}+7=0\)
Как решать показательные уравнения
При решении любое показательное уравнение мы стремимся привести к виду \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\), а затем сделать переход к равенству показателей, то есть:
\(a^{f(x)}=a^{g(x)}\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)
Например: \(2^{x+1}=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)
Важно! Из той же логики следуют два требования для такого перехода:
- число в
слева и справа должно быть одинаковым;
- степени слева и справа должны быть «чистыми»
, то есть не должно быть никаких , умножений, делений и т.д.
Например:
Для привидения уравнения к виду \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\) применяются и .
Пример
. Решить показательное уравнение \(\sqrt{27}·3^{x-1}={(\frac{1}{3})}^{2x}\)
Решение:
\(\sqrt{27}·3^{x-1}={(\frac{1}{3})}^{2x}\) |
Мы знаем, что \(27 = 3^3\). С учетом этого преобразуем уравнение. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(\sqrt{3^3}·3^{x-1}={(\frac{1}{3})}^{2x}\) |
По свойству корня \(\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\) получим, что \(\sqrt{3^3}=({3^3})^{\frac{1}{2}}\). Далее, используя свойство степени \((a^b)^c=a^{bc}\), получаем \({(3^3)}^{\frac{1}{2}}=3^{3 \cdot \frac{1}{2}}=3^{\frac{3}{2}}\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(3^{\frac{3}{2}}\cdot 3^{x-1}=(\frac{1}{3})^{2x}\) |
Также мы знаем, что \(a^b·a^c=a^{b+c}\). Применив это к левой части, получим: \(3^{\frac{3}{2}}·3^{x-1}=3^{\frac{3}{2}+ x-1}=3^{1,5 + x-1}=3^{x+0,5}\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(3^{x+0,5}=(\frac{1}{3})^{2x}\) |
Теперь вспомним, что: \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\). Эту формулу можно использовать и в обратную сторону: \(\frac{1}{a^n} =a^{-n}\). Тогда \(\frac{1}{3}=\frac{1}{3^1} =3^{-1}\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(3^{x+0,5}=(3^{-1})^{2x}\) |
Применив свойство \((a^b)^c=a^{bc}\) к правой части, получим: \((3^{-1})^{2x}=3^{(-1)·2x}=3^{-2x}\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(3^{x+0,5}=3^{-2x}\) |
И вот теперь у нас основания равны и нет никаких мешающих коэффициентов и т.д. Значит, можем делать переход. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример
. Решить показательное уравнение \(4^{x+0,5}-5·2^x+2=0\)
Ответ : \(-1; 1\). Остается вопрос - как понять, когда какой метод применять? Это приходит с опытом. А пока вы его не наработали, пользуйтесь общей рекомендацией для решения сложных задач – «не знаешь, что делать – делай, что можешь». То есть, ищите как вы можете преобразовать уравнение в принципе, и пробуйте это делать – вдруг чего и выйдет? Главное при этом делать только математически обоснованные преобразования. Показательные уравнения, не имеющие решенийРазберем еще две ситуации, которые часто ставят в тупик учеников: Давайте попробуем решить перебором. Если икс - положительное число, то с ростом икса вся степень \(2^x\) будет только расти: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=0\); \(2^0=1\) Тоже мимо. Остаются отрицательные иксы. Вспомнив свойство \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\), проверяем: \(x=-1\); \(2^{-1}=\frac{1}{2^1} =\frac{1}{2}\) Несмотря на то, что число с каждым шагом становится меньше, до нуля оно не дойдет никогда. Так что и отрицательная степень нас не спасла. Приходим к логичному выводу: Положительное число в любой степени останется положительным числом.Таким образом, оба уравнения выше не имеют решений. Показательные уравнения с разными основаниямиВ практике порой встречаются показательные уравнения с разными основаниями, не сводимыми к друг к другу, и при этом с одинаковыми показателями степени. Выглядят они так: \(a^{f(x)}=b^{f(x)}\), где \(a\) и \(b\) – положительные числа. Например: \(7^{x}=11^{x}\) Такие уравнения легко можно решить делением на любую из частей уравнения (обычно делят на правую часть, то есть на \(b^{f(x)}\). Так делить можно, потому что положительное число в любой степени положительно (то есть, мы не делим на ноль). Получаем: \(\frac{a^{f(x)}}{b^{f(x)}}\) \(=1\) Пример
. Решить показательное уравнение \(5^{x+7}=3^{x+7}\)
Ответ : \(-7\). Иногда «одинаковость» показателей степени не очевидна, но умелое использование свойств степени решает этот вопрос. Пример
. Решить показательное уравнение \(7^{ 2x-4}=(\frac{1}{3})^{-x+2}\)
Ответ : \(2\). |
На этапе подготовки к заключительному тестированию учащимся старших классов необходимо подтянуть знания по теме «Показательные уравнения». Опыт прошлых лет свидетельствует о том, что подобные задания вызывают у школьников определенные затруднения. Поэтому старшеклассникам, независимо от уровня их подготовки, необходимо тщательно усвоить теорию, запомнить формулы и понять принцип решения таких уравнений. Научившись справляться с данным видом задач, выпускники смогут рассчитывать на высокие баллы при сдаче ЕГЭ по математике.
Готовьтесь к экзаменационному тестированию вместе со «Школково»!
При повторении пройденных материалов многие учащиеся сталкиваются с проблемой поиска нужных для решения уравнений формул. Школьный учебник не всегда находится под рукой, а отбор необходимой информации по теме в Интернете занимает долгое время.
Образовательный портал «Школково» предлагает ученикам воспользоваться нашей базой знаний. Мы реализуем совершенно новый метод подготовки к итоговому тестированию. Занимаясь на нашем сайте, вы сможете выявить пробелы в знаниях и уделить внимание именно тем заданиям, которые вызывают наибольшие затруднения.
Преподаватели «Школково» собрали, систематизировали и изложили весь необходимый для успешной сдачи ЕГЭ материал в максимально простой и доступной форме.
Основные определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».
Для лучшего усвоения материала рекомендуем попрактиковаться в выполнении заданий. Внимательно просмотрите представленные на данной странице примеры показательных уравнений с решением, чтобы понять алгоритм вычисления. После этого приступайте к выполнению задач в разделе «Каталоги». Вы можете начать с самых легких заданий или сразу перейти к решению сложных показательных уравнений с несколькими неизвестными или . База упражнений на нашем сайте постоянно дополняется и обновляется.
Те примеры с показателями, которые вызвали у вас затруднения, можно добавить в «Избранное». Так вы можете быстро найти их и обсудить решение с преподавателем.
Чтобы успешно сдать ЕГЭ, занимайтесь на портале «Школково» каждый день!