Точка, линия, прямая, луч, отрезок, ломанная. Построение параллельных прямых Как провести прямую параллельную данной

Доброго времени суток, уважаемые читатели моего блога. Казалось бы, чего стоит нарисовать прямую линию в фотошопе? Зажал Shift и вот тебе, пожалуйста. А тем не менее сделать это можно аж тремя способами. Результат каждого будет отличаться.

Из этой статьи вы узнаете три способа как провести прямую линию в фотошопе. Какой фильтр применить, чтобы создать волну. Как это сделать при помощи другого интересного инструмента. Я покажу как добиться пунктира и рисовать под определенным углом.

Вас ждет масса информации. Приступим?

Инструмент «Линия»

Для начала я покажу вам как пользоваться инструментом, который предназначен для создания ровных линий. На этом месте у вас может располагаться прямоугольник, овал, эллипс или многоугольник. Просто на несколько секунд удержите на кнопке зажатую левую кнопку мыши, чтобы открыть меню с дополнительными инструментами.

Сперва о важном. Один из самых важных параметров – толщина. Благодаря линии вы можете рисовать даже прямоугольники. Просто надо сделать ее пожирнее.

Далее идет «Заливка» и «Обводка». Щелкаете по плашке с цветом слева от надписей и выбираете оттенок. Если хотите выполнить обводку, вписываете ее ширину. Сейчас, на моем скриншоте показан вариант без нее. Иконка отсутствия цвета выглядит именно так. Серая линия перечеркнутая красным.

Можете посмотреть настройки и результат на этом скриншоте. Не очень видно, но толщина здесь 30 пикселей. На большой картинке 30 пикселей могут выглядеть как скромная полоска. Все нужно подстраивать под свои собственные размеры.

Вот так будет выглядеть линия, если выбрать красный цвет для обводки.

Следующая кнопка позволит вам сделать пунктирную обводку.

Если уменьшить толщину и убрать заливку, вы получите просто пунктир.

Здесь же вы можете выровнять обводку по внутреннему краю, внешнему или центру вашего контура.

И закруглить углы. Правда, это будет не так уж заметно.

Если в тот момент, когда вы ведете линию, нажать Shift, то Photoshop автоматически создаст ровную линию. Горизонтальную или вертикальную. В зависимости от того, куда вы ее ведете.

Если вам нужна линия под определенным углом, то проще всего посмотреть что показывает окно информации и подкорректировать его вручную, направляя в определенную сторону.

Ну а сейчас покажу другой.

Инструмент «Кисть»

Эти прямоугольники я нарисовал при помощи линий, нарисованных кистью.

Выбираете тип и размер, подходящей для линии кисти.

Ставите точку в предполагаемом начале линии, зажимаете Shift и щелкаете левой кнопкой мыши там, где полоска должна закончиться.

Перед вами две линии. Желтая нарисовала при помощи инструмента «Линия», лиловая кистью.

Как сделать волну

Не важно каким инструментом вы пользовались, делать волнистую линию проще всего при помощи фильтра. Заходите в эту категорию, находите «Искажение» и выбираете «Волна».

Ориентируясь по картинке с предварительным показом вы быстро поймете что к чему и как его настроить. Амплитуда должна быть примерно одинаковой. Если не получается, можете просто жать на «Рандомизировать» пока не появится подходящий.

К последнему применяемому фильтру всегда есть быстрый доступ. Применяю его к слою с желтой полоской, нарисованной инструментом.

Вот такой результат я получил. Как вы можете заметить, он отличается.

Инструмент «Перо»

Признаться честно, до сих пор у меня не получается профессионально пользоваться пером. Знаю, что им можно рисовать все что угодно: ровно, быстро, весело и классно, но у меня уходит очень много времени и результат не всегда на том уровне, которого я ожидал. И тем не менее прямые линии нарисовать пером могу даже. С кривыми хуже, но я попробую. Выбираю «Перо».

Ставлю точку, затем вторую. Пока я не отпустил кнопку мыши настраиваю плавность.

То же самое вытворяю с каждой новой точкой.

После того, как все манипуляции завершены жму правой кнопкой мыши и в появившемся меню выбираю «Выполнить обводку контура».

Можно выбрать несколько инструментов: карандаш, кисть, штамп, узор и так далее. Сейчас пусть этот будет кисть.

Снова жму на правую клавишу мыши и выбираю «Удалить контур».

Вот такой результат у меня получился.

Ну и не забывайте, что вы всегда можете воспользоваться навыками создания коллажей. Прочитайте статью о том, и сможете взять линию из любой картинки и вставить ее в свое изображение.

Если вам хочется научиться профессионально пользоваться пером и другими инструментами, которые есть в фотошопе. Могу предложить вам курс «Фотошоп для начинающих в видео формате ».

Уроки, созданные профессионалами научат вас всему, что вы должны знать об этой программе. Вы сэкономите кучу времени на поиски ответов на тот или иной вопрос. В вашей голове сами собой будут появляться идеи о том, как выполнить задачу.

Кстати, знаете как сделать, чтобы перед вами всегда возникали интересные потребности связанные с фотошопом? Это может вывести ваши отношения с этой программой на новый уровень. Все что вам нужно – это увлечься веб-дизайном. Люди этой профессии никогда не сидят без дела. Всегда находятся клиенты, проекты и новые задачи.

Работа найдется для каждого, а вы сможете заниматься тем, что вам действительно нравится и приносит неплохие деньги. Прочитайте статью о том, или . Хватит придумывать себе задачи, пусть за ваше время кто-то другой платит деньги.

Не знаете с чего начать? Пройдите курс «Основы коммерческого веб-дизайна ». Попробуйте несколько бесплатных уроков, это поможет вам разобраться в себе и понять, готовы ли вы освоить новые горизонты.

Ну вот и все. Осталось дело за вами. Решайте когда вы будете готовы и приступайте к завоеванию новых вершин. Если вам понравилась эта статья – подписывайтесь на рассылку и каждый день на шаг приближайтесь к заветной цели.

Узнавайте как можно больше о интернете, пишите свою историю успеха, прекратите сидеть в ожидании. Действуйте. Вашу мечту каждый день воплощают другие. Сегодня они делают то, чего вы уже так много времени хотите. Думают ли они о готовности? Подходящий момент настал прямо сейчас. Не упустите его. У вас есть на это силы.

Я желаю вам удачи. До новых встреч.

Даны окружность с центром О и точка А вне окружности. а) Проведен диаметр окружности. Пользуясь только линейкой*, опустите перпендикуляр из точки А на этот диаметр. б) Через точку А проведена прямая, не имеющая общих точек с окружностью. Пользуясь только линейкой, опустите перпендикуляр из точки О на эту прямую.

*Примечание. Под «линейкой» в задачах на построение всегда подразумевается не измерительный инструмент, а геометрический - с его помощью можно только проводить прямые (через две имеющиеся точки), но не измерять расстояние между точками. Кроме того, геометрическая линейка считается односторонней - с ее помощью нельзя провести параллельную прямую, просто приложив одну сторону линейки к двум точкам и проведя линию вдоль другой стороны.

Подсказка 1

Используйте концы диаметра, а не центр окружности.

Подсказка 2

Угол с вершиной на окружности, опирающийся на ее диаметр, - прямой. Зная это, вы можете построить две высоты в треугольнике, образованном концами диаметра и точкой А .

Подсказка 3

Попробуйте решить сначала более простой случай, чем заданный в пункте б) , - когда данная прямая пересекает окружность.

Решение

а) Пусть ВС - данный диаметр (рис. 1). Для решения задачи просто вспомним первые две подсказки: если провести прямые AВ и АC , а затем соединить точки их пересечения с окружностью с нужными вершинами треугольника ABC , то получатся две высоты этого треугольника. А так как высоты треугольника пересекаются в одной точке, то прямая CH будет третьей высотой, то есть искомым перпендикуляром из А к диаметру ВС .

б) Решение этого пункта, однако, даже в том случае, который дан в третьей подсказке, не кажется более простым: да, мы можем провести диаметры, соединить их концы и получить прямоугольник ABCD (рис. 2, на котором, для простоты, точка А отмечена на окружности), но как это приближает нас к построению перпендикуляра из центра окружности?

А вот как: так как треугольник AOB равнобедренный, то перпендикуляр (высота) OK пройдет через середину K стороны AB . А значит, задача свелась к нахождению середины этой стороны. Как ни удивительно, но окружность больше нам совсем не нужна, да и точка D тоже, в общем, «лишняя». А вот отрезок CD - не лишний, но на нем нам потребуется не какая-то конкретная точка, а совершенно произвольная точка E ! Если обозначить за L точку пересечения BE и AC (рис. 3), а затем продлить AE до пересечения с продолжением BC в точке M , то прямая LM - это решение всех наших забот и проблем!

Правда, очень похоже , что LM пересекает AB посередине? Это и правда так. Попробуйте доказать это. Мы же отложим доказательство до конца решения задачи.

Итак, мы научились находить середину отрезка AB , а значит, научились опускать перпендикуляр на AB из центра окружности. Но что делать с исходной задачей, в которой данная прямая не пересекает окружность, как на рис. 4?

Постараемся свести задачу к уже решенной. Это можно сделать, например, так.

Сначала построим прямую, симметричную данной относительно центра окружности. Построение понятно из рис. 5, на котором данная прямая - горизонтальная под окружностью, а построенная симметричная ей - выделена красным (две синие точки могут быть взяты на окружности совершенно произвольно). Заодно проведем через центр О еще одну прямую, перпендикулярную к одной из сторон получившегося в окружности прямоугольника, чтобы получить на данной прямой два равных по длине отрезка.

Имея две параллельные прямые, на одной из которых уже отмечены два конца и середина отрезка, возьмем произвольную точку T (например, на окружности) и построим такую точку S , что прямая TS будет параллельна имеющимся двум прямым. Это построение показано на рис. 6.

Тем самым мы получили хорду окружности, параллельную данной прямой, то есть свели задачу к решенной ранее версии, ведь к такой хорде проводить перпендикуляр из центра окружности мы уже умеем.

Осталось привести доказательство факта, который мы использовали выше.

Четырехугольник ABCE на рис. 3 - трапеция, L - точка пересечения ее диагоналей, а M - точка пересечения продолжений ее боковых сторон. По известному свойству трапеции (его еще называют замечательным свойством трапеции ; можно посмотреть, как оно доказывается) прямая ML проходит через середины оснований трапеции.

Собственно, еще раз мы фактически опирались на эту же теорему уже в последней подзадаче, когда проводили третью параллельную прямую.

Послесловие

Теория геометрических построений одной линейкой, когда задана вспомогательная окружность с центром, разработана замечательным немецким геометром XIX века Якобом Штейнером (правильнее произносить его фамилию Steiner как «Штайнер», но в отечественной литературе уже давно закрепилось написание с двумя «е»). О его математических достижениях мы уже однажды рассказывали в задаче «Короче, Склифосовский» . В книге «Геометрические построения, выполняемые с помощью прямой линии и неподвижного круга» Штейнер доказал теорему, согласно которой любое построение, которое может быть выполнено с помощью циркуля и линейки, может быть выполнено и без циркуля, если задана всего одна окружность и отмечен ее центр. Доказательство Штейнера сводится к демонстрации возможности осуществления базовых построений, обычно выполняемых с помощью циркуля, - в частности, к проведению параллельных и перпендикулярных прямых. Наша задача, как легко видеть, является частным случаем этой демонстрации.

Впрочем, к некоторым задачам Штейнер привел не единственный способ решения. Приведем второй способ и мы.

Возьмем на данной прямой две произвольные точки A и B (рис. 7). Сначала строим перпендикуляр из A на (синюю) прямую BO - это фактически решение нашей первой задачи, потому что эта прямая содержит диаметр окружности; все соответствующие построения на рис. 7 выполнены синим цветом. Затем строим перпендикуляр из B на (зеленую) прямую AO - это точно такое же решение точно такой же задачи, построения выполнены зеленым цветом. Тем самым мы получили две высоты треугольника AOB . Третья высота этого треугольника проходит через центр O и точку пересечения двух других высот. Она и является искомым перпендикуляром к прямой AB .

Но и это еще не все. Несмотря на всю (относительную) простоту второго способа, он «избыточно длинный». Это означает, что существует другой способ построения, требующий меньшего числа операций (в задачах на построение каждая линия, проведенная циркулем или линейкой, считается как одна операция). Построения, требующие минимального среди известных количества операций, французский математик Эмиль Лемуан (Émile Lemoine , 1840–1912) назвал геометрографическими (см.: Geometrography).

Итак, вашему вниманию предлагается геометрографическое решение пункта б) . Оно требует всего 10 шагов, при этом шесть первых - «естественные», а следующие три - «удивительные». Самый последний шаг, проведение перпендикуляра, пожалуй, тоже следует назвать естественным.

Мы хотим провести красный пунктирный перпендикуляр (рис. 8), для этого нам нужно отыскать на нем какую-нибудь точку, отличную от О . Поехали.

1) Пусть A - произвольная точка на прямой, а C - произвольная точка на окружности. Проводим прямую AC .

2)–3) Проводим диаметр OC (вторично пересекающий окружность в точке D ) и прямую AD . Отмечаем вторые точки пересечения прямых AC и AD с окружностью - B и E , соответственно.

4)–6) Проводим BE , BD и CE . Прямые CD и BE пересеклись в точке H , а BD и CE - в точке G (рис. 9).

Кстати, а могло ли случиться так, что BE оказалось бы параллельно CD ? Да, безусловно. В случае, когда диаметр CD перпендикулярен AO , то именно так и случается: BE и CD параллельны, а точки A , O и G лежат на одной прямой. Но возможность брать точку C произвольно предполагает наше умение выбрать ее так, чтобы CO и AO не были перпендикулярны!

И вот теперь обещанные удивительные шаги построения:

7) Проводим GH до пересечения с данной прямой в точке I .
8) Проводим CI до пересечения с окружностью в точке J .
9) Проводим BJ , которая пересекается с GH ... где? Правильно, в красной точке, которая находится на вертикальном диаметре окружности (рис. 10).

10) Проводим вертикальный диаметр.

Вместо шага 8 можно было бы провести прямую DI , а затем на шаге 9 соединить вторую точку ее пересечения с окружностью с точкой E . Результат был бы той же самой красной точкой. Правда, это удивительно? Причем, даже неясно, что удивляет сильнее - то, что красная точка оказывается одной и той же для двух способов построения, или то, что она лежит на искомом перпендикуляре. Впрочем, геометрия - это ведь не «искусство факта», а «искусство доказательства». Так что постарайтесь доказать это.

В основе способов построения параллельных прямых с помощью различных инструментов лежат признаки параллельности прямых.

Построение параллельных прямых с помощью циркуля и линейки

Рассмотрим принцип построения параллельной прямой, проходящей через заданную точку , с помощью циркуля и линейки.

Пусть дана прямая и некоторая точка А, которая не принадлежит данной прямой.

Необходимо построить прямую, проходящую через заданную точку $А$ параллельно данной прямой.

На практике зачастую требуется построить две или более параллельных прямых без данной прямой и точки. В таком случае необходимо начертить прямую произвольно и отметить любую точку, которая не будет лежать на данной прямой.

Рассмотрим этапы построения параллельной прямой :

На практике также применяют метод построения параллельных прямых с помощью чертежного угольника и линейки.

Построение параллельных прямых с помощью угольника и линейки

Для построения прямой, которая будет проходить через точку М параллельно данной прямой а , необходимо:

1. Угольник приложить к прямой $а$ диагональю (смотрите рисунок), а к его большему катету приложить линейку.
2. Передвинуть угольник по линейке до тех пор, пока данная точка $М$ не окажется на диагонали угольника.
3. Провести через точку $М$ искомую прямую $b$.

Мы получили прямую, проходящую через заданную точку $М$, параллельную данной прямой $а$:

$a \parallel b$, т. $M \in b$.

Параллельность прямых $а$ и $b$ видна из равности соответственных углов, которые отмечены на рисунке буквами $\alpha$ и $\beta$.

Построение параллельной прямой, отстоящей на заданное расстояние от данной прямой

В случае необходимости построения прямой, параллельной заданной прямой и отстоящей от нее на заданном расстоянии можно воспользоваться линейкой и угольником.

Пусть дана прямая $MN$ и расстояние $а$.

1. Отметим на заданной прямой $MN$ произвольную точку и назовем ее $В$.
2. Через точку $В$ проведем прямую, перпендикулярную к прямой $MN$, и назовем ее $АВ$.
3. На прямой $АВ$ от точки $В$ отложим отрезок $ВС=а$.
4. С помощью угольника и линейки проведем прямую $CD$ через точку $С$, которая и будет параллельной заданной прямой $АВ$.

Если отложить на прямой $АВ$ от точки $В$ отрезок $ВС=а$ в другую сторону, то получим еще одну параллельную прямую к заданной, отстоящую от нее на заданное расстояние $а$.

Другие способы построения параллельных прямых

Еще одним способом построения параллельных прямых является построение с помощью рейсшины. Чаще всего данный способ используют в чертежной практике.

При выполнении столярных работ для разметки и построения параллельных прямых, используется специальный чертежный инструмент – малка – две деревянные планки, которые скрепляются шарниром.

Точка — это абстрактный объект, который не имеет измерительных характеристик: ни высоты, ни длины, ни радиуса. В рамках задачи важно только его местоположение

Точка обозначается цифрой или заглавной (большой) латинской буквой. Несколько точек — разными цифрами или разными буквами, чтобы их можно было различать

точка A, точка B, точка C

точка 1, точка 2, точка 3

Можно нарисовать на листке бумаги три точки "А" и предложить ребёнку провести линию через две точки "А". Но как понять через какие? A A A

Линия — это множество точек. У неё измеряют только длину. Ширины и толщины она не имеет

Обозначается строчными (маленькими) латинскими буквами

линия a, линия b, линия c

Линия может быть

1. замкнутой, если её начало и конец находятся в одной точке,
2. разомкнутой, если её начало и конец не соединены

замкнутые линии

разомкнутые линии

1. самопересекающейся
2. без самопересечений

самопересекающиеся линии

линии без самопересечений

1. прямой
2. ломанной
3. кривой

прямые линии

ломанные линии

кривые линии

Прямая линия — это линия которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны

Даже когда виден небольшой участок прямой, предполагается, что она бесконечно продолжается в обе стороны

Обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами — точками, лежащими на прямой

прямая линия a

прямая линия AB

Прямые могут быть

1. пересекающимися, если имеют общую точку. Две прямые могут пересекаться только в одной точке.
   • перпендикулярными, если пересекаются под прямым углом (90°).
2. параллельными, если не пересекаются, не имеют общей точки.

параллельные линии

пересекающиеся линии

перпендикулярные линии

Луч — это часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца, её можно бесконечно продолжать только в одну сторону

У луча света на картинке начальной точкой является солнце

солнышко

Точка разделяет прямую на две части — два луча A A

Луч обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается луч, а вторая — точка, лежащая на луче

луч a

луч AB

Лучи совпадают, если

1. расположены на одной и той же прямой,
2. начинаются в одной точке,
3. направлены в одну сторону

лучи AB и AC совпадают

лучи CB и CA совпадают

Отрезок — это часть прямой, которая ограничена двумя точками, то есть она имеет и начало и конец, а значит можно измерить её длину. Длина отрезка — это расстояние между его начальной и конечной точками

Через одну точку можно провести любое число линий, в том числе прямых

Через две точки — неограниченное количество кривых, но только одну прямую

кривые линии, проходящие через две точки

прямая линия AB

От прямой «отрезали» кусочек и остался отрезок. Из примера выше видно, что его длина — наикратчайшее расстояние между двумя точками. ✂ B A ✂

Отрезок обозначается двумя заглавными(большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается отрезок, а вторая — точка, которой заканчивается отрезок

отрезок AB

Задача: где прямая , луч , отрезок , кривая ?

Ломанная линия — это линия, состоящая из последовательно соединённых отрезков не под углом 180°

Длинный отрезок «поломали» на несколько коротких

Звенья ломаной (похожи на звенья цепи) — это отрезки, из которых состоит ломанная. Смежные звенья — это звенья, у которых конец одного звена является началом другого. Смежные звенья не должны лежать на одной прямой.

Вершины ломаной (похожи на вершины гор) — это точка, с которой начинается ломанная, точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную, точка, которой заканчивается ломанная.

Обозначается ломанная перечислением всех её вершин.

ломанная линия ABCDE

вершина ломанной A, вершина ломанной B, вершина ломанной C, вершина ломанной D, вершина ломанной E

звено ломанной AB, звено ломанной BC, звено ломанной CD, звено ломанной DE

звено AB и звено BC являются смежными

звено BC и звено CD являются смежными

звено CD и звено DE являются смежными

Длина ломанной — это сумма длин её звеньев: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Задача: какая ломанная длиннее , а у какой больше вершин ? У первой линии все звенья одинаковой длины, а именно по 13см. У второй линии все звенья одинаковой длины, а именно по 49см. У третьей линии все звенья одинаковой длины, а именно по 41см.

Многоугольник — это замкнутая ломанная линия

Стороны многоугольника (помогут запомнить выражения: "пойти на все четыре стороны", "бежать в сторону дома", "с какой стороны стола сядешь?") — это звенья ломанной. Смежные стороны многоугольника — это смежные звенья ломанной.

Вершины многоугольника — это вершины ломанной. Соседние вершины — это точки концов одной стороны многоугольника.

Обозначается многоугольник перечислением всех его вершин.

замкнутая ломанная линия, не имеющая самопересечения, ABCDEF

многоугольник ABCDEF

вершина многоугольника A, вершина многоугольника B, вершина многоугольника C, вершина многоугольника D, вершина многоугольника E, вершина многоугольника F

вершина A и вершина B являются соседними

вершина B и вершина C являются соседними

вершина C и вершина D являются соседними

вершина D и вершина E являются соседними

вершина E и вершина F являются соседними

вершина F и вершина A являются соседними

сторона многоугольника AB, сторона многоугольника BC, сторона многоугольника CD, сторона многоугольника DE, сторона многоугольника EF

сторона AB и сторона BC являются смежными

сторона BC и сторона CD являются смежными

сторона CD и сторона DE являются смежными

сторона DE и сторона EF являются смежными

сторона EF и сторона FA являются смежными

Периметр многоугольника — это длина ломанной: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т.д.