Thjeshtoni shprehjen duke përdorur formulën. Problemet për zgjidhje të pavarur. Nxjerrja e shumëzuesit nga kllapat

Thjeshtimi i shprehjeve algjebrike është një nga çelësat për të mësuar algjebër dhe është një aftësi jashtëzakonisht e dobishme për të gjithë matematikanët. Thjeshtimi ju lejon të reduktoni një shprehje komplekse ose të gjatë në një shprehje të thjeshtë me të cilën është e lehtë të punohet. Aftësitë bazë të thjeshtimit janë të mira edhe për ata që nuk janë entuziastë për matematikën. Duke ndjekur disa rregulla të thjeshta, ju mund të thjeshtoni shumë nga llojet më të zakonshme të shprehjeve algjebrike pa ndonjë njohuri të veçantë matematikore.

Hapat

Përkufizime të rëndësishme

1. Anëtarë të ngjashëm. Këta janë anëtarë me një ndryshore të rendit të njëjtë, anëtarë me të njëjtat variabla ose anëtarë të lirë (anëtarë që nuk përmbajnë një ndryshore). Me fjalë të tjera, termat e ngjashëm përfshijnë të njëjtën variabël në të njëjtën shkallë, përfshijnë disa nga të njëjtat variabla ose nuk përfshijnë fare një ndryshore. Rendi i termave në shprehje nuk ka rëndësi.

   • Për shembull, 3x 2 dhe 4x 2 janë terma të ngjashëm sepse përmbajnë një ndryshore të rendit të dytë (në fuqinë e dytë) "x". Megjithatë, x dhe x2 nuk janë terma të ngjashëm, pasi përmbajnë variablin "x" të rendit të ndryshëm (i pari dhe i dyti). Po kështu, -3yx dhe 5xz nuk janë terma të ngjashëm sepse përmbajnë variabla të ndryshëm.

2. Faktorizimi. Ky është gjetja e numrave, produkti i të cilëve çon në numrin origjinal. Çdo numër origjinal mund të ketë disa faktorë. Për shembull, numri 12 mund të faktorizohet në seritë e mëposhtme të faktorëve: 1 × 12, 2 × 6 dhe 3 × 4, kështu që mund të themi se numrat 1, 2, 3, 4, 6 dhe 12 janë faktorë të numri 12. Faktorët janë të njëjtë me faktorët, pra numrat me të cilët ndahet numri origjinal.

   • Për shembull, nëse dëshironi të faktorizoni numrin 20, shkruajeni kështu: 4×5.
   • Vini re se gjatë faktorizimit, ndryshorja merret parasysh. Për shembull, 20x = 4 (5x).
   • Numrat e thjeshtë nuk mund të faktorizohen sepse ata janë të pjesëtueshëm vetëm me veten dhe 1.

3. Mbani mend dhe ndiqni rendin e veprimeve për të shmangur gabimet.

   • Kllapa
   • Diplomë
   • Shumëzimi
   • Divizioni
   • Shtesa
   • Zbritja

   Sjellja e anëtarëve të ngjashëm

   1. Shkruani shprehjen. Shprehjet e thjeshta algjebrike (ato që nuk përmbajnë thyesa, rrënjë, etj.) mund të zgjidhen (thjeshtohen) në vetëm disa hapa.

      • Për shembull, thjeshtoni shprehjen 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Përcaktoni terma të ngjashëm ( terma me një ndryshore të të njëjtit rend, terma me të njëjtat variabla ose terma të lirë).

      • Gjeni terma të ngjashëm në këtë shprehje. Termat 2x dhe 4x përmbajnë një variabël të të njëjtit rend (i pari). Gjithashtu, 1 dhe -3 janë terma të lirë (nuk përmbajnë një ndryshore). Kështu, në këtë shprehje termat 2x dhe 4x janë të ngjashëm, dhe anëtarët 1 dhe -3 janë gjithashtu të ngjashme.

   3. Jepni terma të ngjashëm. Kjo do të thotë shtimi ose zbritja e tyre dhe thjeshtimi i shprehjes.

      • 2x + 4x = 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Rishkruaj shprehjen duke marrë parasysh termat e dhëna. Do të merrni një shprehje të thjeshtë me më pak terma. Shprehja e re është e barabartë me atë origjinale.

      • Në shembullin tonë: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, domethënë shprehja origjinale është e thjeshtuar dhe më e lehtë për t'u punuar.

   5. Ndiqni rendin e veprimeve kur sillni anëtarë të ngjashëm. Në shembullin tonë, ishte e lehtë të jepeshin terma të ngjashëm. Megjithatë, në rastin e shprehjeve komplekse në të cilat termat janë të mbyllura në kllapa dhe janë të pranishme thyesat dhe rrënjët, nuk është aq e lehtë të sjellësh terma të tillë. Në këto raste, ndiqni rendin e veprimeve.

      • Për shembull, merrni parasysh shprehjen 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Këtu do të ishte gabim që menjëherë t'i përkufizonim 3x dhe 2x si terma të ngjashëm dhe t'i paraqisni ato, sepse është e nevojshme që fillimisht të hapen kllapat. Prandaj, kryeni veprimet sipas rendit të tyre.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Tani, kur shprehja përmban vetëm veprime të mbledhjes dhe zbritjes, mund të sillni terma të ngjashëm.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Nxjerrja e shumëzuesit nga kllapat

   1. Gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët (GCD) të të gjithë koeficientëve të shprehjes. GCD është numri më i madh me të cilin ndahen të gjithë koeficientët e shprehjes.

      • Për shembull, merrni parasysh ekuacionin 9x 2 + 27x - 3. Në këtë rast, GCD = 3, pasi çdo koeficient i kësaj shprehjeje është i pjesëtueshëm me 3.

   2. Ndani çdo term të shprehjes me gcd. Termat që rezultojnë do të përmbajnë koeficientë më të vegjël se në shprehjen origjinale.

      • Në shembullin tonë, ndani çdo term në shprehje me 3.
        • 9x 2/3 = 3x 2
        • 27x/3 = 9x
        • -3/3 = -1
        • Rezultati ishte një shprehje 3x 2 + 9x - 1. Nuk është e barabartë me shprehjen origjinale.

   3. Shkruani shprehjen origjinale si të barabartë me produktin e gcd dhe shprehjen që rezulton. Kjo do të thotë, mbyllni shprehjen që rezulton në kllapa dhe hiqni gcd nga kllapat.

      • Në shembullin tonë: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)

   4. Thjeshtimi i shprehjeve thyesore duke e nxjerrë faktorin jashtë kllapave. Pse thjesht ta vendosni shumëzuesin jashtë kllapave, siç u bë më parë? Më pas, për të mësuar se si të thjeshtohen shprehjet komplekse, siç janë shprehjet thyesore. Në këtë rast, vendosja e faktorit jashtë kllapave mund të ndihmojë në heqjen e fraksionit (nga emëruesi).

      • Për shembull, merrni parasysh shprehjen thyesore (9x 2 + 27x - 3)/3. Përdorni faktorizimin për të thjeshtuar këtë shprehje.
        • Vendos faktorin 3 jashtë kllapave (siç bëtë më parë): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Vini re se tani ka një 3 si në numërues ashtu edhe në emërues. Kjo mund të reduktohet për të dhënë shprehjen: (3x 2 + 9x - 1)/1
        • Meqenëse çdo thyesë që ka numrin 1 në emërues është thjesht e barabartë me numëruesin, shprehja origjinale e thyesës thjeshtohet në: 3x 2 + 9x - 1.

   Metoda shtesë të thjeshtimit

4. Le të shohim një shembull të thjeshtë: √(90). Numri 90 mund të faktorizohet në faktorët e mëposhtëm: 9 dhe 10, dhe nga 9 mund të marrim rrënjën katrore (3) dhe të nxjerrim 3 nga poshtë rrënjës.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Thjeshtimi i shprehjeve me fuqi. Disa shprehje përmbajnë veprime të shumëzimit ose pjesëtimit të termave me fuqi. Në rastin e shumëzimit të termave me të njëjtën bazë, fuqitë e tyre shtohen; në rastin e pjesëtimit të termave me bazë të njëjtë, shkallët e tyre zbriten.

   • Për shembull, merrni parasysh shprehjen 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). Në rastin e shumëzimit, mblidhni fuqitë dhe në rastin e pjesëtimit, zbritni ato.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x 7 + x 2
   • Më poshtë jepet një shpjegim i rregullave për shumëzimin dhe pjesëtimin e termave me fuqi.
     • Shumëzimi i termave me fuqi është i barabartë me shumëzimin e termave në vetvete. Për shembull, meqenëse x 3 = x × x × x dhe x 5 = x × x × x × x × x, atëherë x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), ose x 8 .
     • Po kështu, ndarja e termave me gradë është e barabartë me ndarjen e termave nga vetvetja. x 5 / x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x x x). Meqenëse termat e ngjashëm që gjenden si në numërues ashtu edhe në emërues mund të reduktohen, prodhimi i dy "x", ose x 2, mbetet në numërues.

• Gjithmonë mbani mend shenjat (plus ose minus) përpara termave të shprehjes, pasi shumë njerëz e kanë të vështirë të zgjedhin shenjën e duhur.
• Kërkoni ndihmë nëse është e nevojshme!
• Thjeshtimi i shprehjeve algjebrike nuk është i lehtë, por pasi të keni marrë vesh, është një aftësi që mund ta përdorni për pjesën tjetër të jetës.

Ndër shprehjet e ndryshme që konsiderohen në algjebër, një vend të rëndësishëm zënë shumat e monomëve. Këtu janë shembuj të shprehjeve të tilla:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Shuma e monomëve quhet polinom. Termat në një polinom quhen terma të polinomit. Monomet gjithashtu klasifikohen si polinome, duke e konsideruar një monom si një polinom të përbërë nga një anëtar.

Për shembull, një polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
mund të thjeshtohet.

Le t'i paraqesim të gjithë termat në formën e monomëve të formës standarde:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Le të paraqesim terma të ngjashëm në polinomin që rezulton:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultati është një polinom, të gjithë termat e të cilit janë monome të formës standarde, dhe midis tyre nuk ka të ngjashëm. Polinome të tilla quhen polinomet e formës standarde.

Mbrapa shkalla e polinomit të një forme standarde marrin kompetencat më të larta të anëtarëve të saj. Kështu, binomi \(12a^2b - 7b\) ka shkallën e tretë, dhe trinomi \(2b^2 -7b + 6\) ka të dytën.

Në mënyrë tipike, termat e polinomeve të formës standarde që përmbajnë një ndryshore renditen në rend zbritës të eksponentëve. Për shembull:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Shuma e disa polinomeve mund të shndërrohet (thjeshtohet) në një polinom të formës standarde.

Ndonjëherë termat e një polinomi duhet të ndahen në grupe, duke e mbyllur secilin grup në kllapa. Meqenëse mbyllja e kllapave është transformimi i anasjelltë i kllapave hapëse, është e lehtë të formulohet Rregullat për hapjen e kllapave:

Nëse një shenjë "+" vendoset para kllapave, atëherë termat e mbyllur në kllapa shkruhen me të njëjtat shenja.

Nëse një shenjë "-" vendoset para kllapave, atëherë termat e mbyllur në kllapa shkruhen me shenja të kundërta.

Shndërrimi (thjeshtimi) i prodhimit të një monomi dhe një polinomi

Duke përdorur vetinë shpërndarëse të shumëzimit, ju mund të transformoni (thjeshtoni) produktin e një monomi dhe një polinomi në një polinom. Për shembull:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Prodhimi i një monomi dhe i një polinomi është identikisht i barabartë me shumën e produkteve të këtij monomi dhe secilit prej termave të polinomit.

Ky rezultat zakonisht formulohet si rregull.

Për të shumëzuar një monom me një polinom, duhet ta shumëzoni atë monom me secilin prej termave të polinomit.

Ne e kemi përdorur tashmë këtë rregull disa herë për të shumëzuar me një shumë.

Prodhimi i polinomeve. Shndërrimi (thjeshtimi) i prodhimit të dy polinomeve

Në përgjithësi, prodhimi i dy polinomeve është identikisht i barabartë me shumën e prodhimit të secilit term të një polinomi dhe secilit anëtar të tjetrit.

Zakonisht përdoret rregulli i mëposhtëm.

Për të shumëzuar një polinom me një polinom, duhet të shumëzoni çdo term të një polinomi me secilin term të tjetrit dhe të shtoni produktet që rezultojnë.

Formulat e shkurtuara të shumëzimit. Shuma e katrorëve, dallimet dhe diferenca e katrorëve

Ju duhet të merreni me disa shprehje në transformimet algjebrike më shpesh se të tjerat. Ndoshta shprehjet më të zakonshme janë \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) dhe \(a^2 - b^2 \), pra katrori i shumës, katrori i ndryshimi dhe ndryshimi i katrorëve. Ju vutë re se emrat e këtyre shprehjeve duken të paplota, për shembull, \((a + b)^2 \) është, natyrisht, jo vetëm katrori i shumës, por katrori i shumës së a dhe b . Sidoqoftë, katrori i shumës së a dhe b nuk ndodh shumë shpesh; si rregull, në vend të shkronjave a dhe b, ai përmban shprehje të ndryshme, ndonjëherë mjaft komplekse.

Shprehjet \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) mund të shndërrohen lehtësisht (thjeshtohen) në polinome të formës standarde; në fakt, ju tashmë e keni hasur këtë detyrë kur shumëzoni polinomet:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Është e dobishme të mbani mend identitetet që rezultojnë dhe t'i zbatoni ato pa llogaritje të ndërmjetme. Formulimet e shkurtra verbale e ndihmojnë këtë.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - katrori i shumës është i barabartë me shumën e katrorëve dhe produktit të dyfishtë.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - katrori i diferencës është i barabartë me shumën e katrorëve pa produktin e dyfishuar.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - diferenca e katrorëve është e barabartë me produktin e diferencës dhe shumës.

Këto tre identitete lejojnë që njeriu të zëvendësojë pjesët e tij të majta me ato të djathta në transformime dhe anasjelltas - pjesët e djathta me ato të majta. Gjëja më e vështirë është të shohësh shprehjet përkatëse dhe të kuptosh se si zëvendësohen ndryshoret a dhe b në to. Le të shohim disa shembuj të përdorimit të formulave të shkurtuara të shumëzimit.

Dihet se në matematikë nuk ka si të bëhet pa thjeshtuar shprehjet. Kjo është e nevojshme për zgjidhjen e saktë dhe të shpejtë të një sërë problemesh, si dhe lloje të ndryshme ekuacionesh. Thjeshtimi i diskutuar këtu nënkupton një reduktim të numrit të veprimeve të nevojshme për të arritur një qëllim. Si rezultat, llogaritjet thjeshtohen dukshëm dhe koha kursehet ndjeshëm. Por si ta thjeshtojmë shprehjen? Për këtë, përdoren marrëdhëniet e vendosura matematikore, të quajtura shpesh formula ose ligje, të cilat lejojnë që shprehjet të bëhen shumë më të shkurtra, duke thjeshtuar kështu llogaritjet.

Nuk është sekret që sot nuk është e vështirë të thjeshtosh shprehjen në internet. Këtu janë lidhjet me disa nga më të njohurat:

Megjithatë, kjo nuk është e mundur me çdo shprehje. Prandaj, le të hedhim një vështrim më të afërt në metodat më tradicionale.

Nxjerrja e pjesëtuesit të përbashkët

Në rastin kur një shprehje përmban monomë që kanë faktorë të njëjtë, mund të gjeni shumën e koeficientëve të tyre dhe më pas të shumëzoni me faktorin e përbashkët për ta. Ky operacion quhet edhe "heqja e pjesëtuesit të përbashkët". Duke përdorur vazhdimisht këtë metodë, ndonjëherë ju mund ta thjeshtoni ndjeshëm shprehjen. Në fund të fundit, algjebra në përgjithësi, në tërësi, është e ndërtuar mbi grupimin dhe riorganizimin e faktorëve dhe pjesëtuesve.

Formulat më të thjeshta për shumëzim të shkurtuar

Një nga pasojat e metodës së përshkruar më parë janë formulat e shkurtuara të shumëzimit. Si të thjeshtohen shprehjet me ndihmën e tyre është shumë më e qartë për ata që as nuk i kanë mësuar përmendësh këto formula, por e dinë se si rrjedhin, domethënë nga vijnë dhe, në përputhje me rrethanat, natyrën e tyre matematikore. Në parim, pohimi i mëparshëm mbetet i vlefshëm në të gjithë matematikën moderne, që nga klasa e parë deri në kurset e larta të fakulteteve mekanike dhe matematikore. Diferenca e katrorëve, katrori i diferencës dhe shuma, shuma dhe diferenca e kubeve - të gjitha këto formula përdoren gjerësisht në matematikën elementare dhe më të lartë në rastet kur është e nevojshme të thjeshtohet shprehja për zgjidhjen e problemeve. Shembuj të këtyre transformimeve mund të gjenden lehtësisht në çdo libër shkollor të algjebrës, ose, edhe më lehtë, në World Wide Web.

Rrënjët e shkallës

Matematika elementare, nëse e shikon në tërësi, nuk ka shumë mënyra për të thjeshtuar një shprehje. Diplomat dhe operacionet me to, si rregull, janë relativisht të lehta për shumicën e studentëve. Por shumë nxënës dhe studentë modernë kanë vështirësi të konsiderueshme kur është e nevojshme të thjeshtohet një shprehje me rrënjë. Dhe kjo është plotësisht e pabazë. Sepse natyra matematikore e rrënjëve nuk ndryshon nga natyra e të njëjtave shkallë, me të cilat, si rregull, ka shumë më pak vështirësi. Dihet se rrënja katrore e një numri, ndryshore ose shprehje nuk është gjë tjetër veçse i njëjti numër, ndryshore ose shprehje në fuqinë e gjysmës, rrënja kubike është e njëjtë me fuqinë e një të tretës, etj. sipas korrespondencës.

Thjeshtimi i shprehjeve me thyesa

Le të shohim gjithashtu një shembull të zakonshëm se si të thjeshtojmë një shprehje me thyesa. Në rastet kur shprehjet janë thyesa natyrore, duhet të izoloni faktorin e përbashkët nga emëruesi dhe numëruesi dhe më pas të zvogëloni thyesën me të. Kur monomët kanë faktorë identikë të ngritur në fuqi, është e nevojshme të sigurohet që fuqitë të jenë të barabarta gjatë përmbledhjes së tyre.

Thjeshtimi i shprehjeve bazë trigonometrike

Ajo që bie në sy për disa është biseda se si të thjeshtohet një shprehje trigonometrike. Dega më e gjerë e trigonometrisë është ndoshta faza e parë në të cilën studentët e matematikës do të ndeshen me koncepte, probleme dhe metoda disi abstrakte për zgjidhjen e tyre. Këtu ka formula përkatëse, e para prej të cilave është identiteti bazë trigonometrik. Duke pasur një mendje të mjaftueshme matematikore, ju mund të gjurmoni derivimin sistematik nga ky identitet i të gjitha identiteteve dhe formulave bazë trigonometrike, duke përfshirë formulat e dallimeve dhe shumat e argumenteve, argumentet e dyfishta, të trefishta, formulat e reduktimit dhe shumë të tjera. Sigurisht, këtu nuk duhen harruar metodat e para, si shtimi i një faktori të përbashkët, të cilat përdoren plotësisht së bashku me metodat dhe formulat e reja.

Për ta përmbledhur, ne do t'i ofrojmë lexuesit disa këshilla të përgjithshme:

• Polinomet duhet të faktorizohen, d.m.th., ato duhet të përfaqësohen në formën e një produkti të një numri të caktuar faktorësh - monomë dhe polinom. Nëse ekziston një mundësi e tillë, është e nevojshme të hiqet faktori i përbashkët nga kllapat.
• Është më mirë të mësoni përmendësh të gjitha formulat e shkurtuara të shumëzimit pa përjashtim. Nuk ka aq shumë prej tyre, por ato janë baza për thjeshtimin e shprehjeve matematikore. Gjithashtu nuk duhet të harrojmë metodën e izolimit të katrorëve të përsosur në trinom, që është veprimi i anasjelltë i njërës prej formulave të shkurtuara të shumëzimit.
• Të gjitha fraksionet e pranishme në shprehje duhet të reduktohen sa më shpesh të jetë e mundur. Sidoqoftë, mos harroni se vetëm shumëzuesit janë zvogëluar. Kur emëruesi dhe numëruesi i thyesave algjebrike shumëzohen me të njëjtin numër, i cili është i ndryshëm nga zero, kuptimet e thyesave nuk ndryshojnë.
• Në përgjithësi, të gjitha shprehjet mund të transformohen me veprime, ose në një zinxhir. Metoda e parë është më e preferueshme, sepse rezultatet e veprimeve të ndërmjetme janë më të lehta për t'u verifikuar.
• Shumë shpesh në shprehjet matematikore duhet të nxjerrim rrënjë. Duhet mbajtur mend se rrënjët e fuqive çift mund të nxirren vetëm nga një numër ose shprehje jo negative, dhe rrënjët e fuqive tek mund të nxirren nga absolutisht çdo shprehje ose numër.

Shpresojmë se artikulli ynë do t'ju ndihmojë në të ardhmen të kuptoni formulat matematikore dhe t'ju mësojë se si t'i zbatoni ato në praktikë.

Le të shqyrtojmë temën e transformimit të shprehjeve me fuqi, por së pari le të ndalemi në një numër transformimesh që mund të kryhen me çdo shprehje, përfshirë ato të fuqisë. Do të mësojmë se si të hapim kllapa, të shtojmë terma të ngjashëm, të punojmë me baza dhe eksponentë dhe të përdorim vetitë e fuqive.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Cilat janë shprehjet e fuqisë?

Në kurset shkollore, pak njerëz përdorin shprehjen "shprehje të fuqishme", por ky term gjendet vazhdimisht në koleksionet për përgatitjen për Provimin e Unifikuar të Shtetit. Në shumicën e rasteve, një frazë tregon shprehje që përmbajnë shkallë në hyrjet e tyre. Kjo është ajo që ne do të pasqyrojmë në përkufizimin tonë.

Përkufizimi 1

Shprehja e fuqisëështë një shprehje që përmban fuqi.

Le të japim disa shembuj të shprehjeve të fuqisë, duke filluar me një fuqi me një eksponent natyror dhe duke përfunduar me një fuqi me një eksponent real.

Shprehjet më të thjeshta të fuqisë mund të konsiderohen fuqitë e një numri me një eksponent natyror: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1 , (a 2) 3 . Dhe gjithashtu fuqitë me eksponent zero: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. Dhe fuqitë me fuqi të plota negative: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

Është pak më e vështirë të punosh me një shkallë që ka eksponentë racionalë dhe irracionalë: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Treguesi mund të jetë ndryshorja 3 x - 54 - 7 3 x - 58 ose logaritmi x 2 · l g x − 5 · x l g x.

Jemi marrë me çështjen se çfarë janë shprehjet e pushtetit. Tani le të fillojmë konvertimin e tyre.

Llojet kryesore të shndërrimeve të shprehjeve të fuqisë

Para së gjithash, do të shikojmë transformimet themelore të identitetit të shprehjeve që mund të kryhen me shprehje fuqie.

Shembulli 1

Llogaritni vlerën e një shprehje fuqie 2 3 (4 2 − 12).

Zgjidhje

Ne do t'i kryejmë të gjitha transformimet në përputhje me rendin e veprimeve. Në këtë rast, do të fillojmë duke kryer veprimet në kllapa: do të zëvendësojmë shkallën me një vlerë dixhitale dhe do të llogarisim diferencën e dy numrave. Ne kemi 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Gjithçka që duhet të bëjmë është të zëvendësojmë gradën 2 3 kuptimin e saj 8 dhe llogarisni produktin 8 4 = 32. Këtu është përgjigja jonë.

Përgjigje: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

Shembulli 2

Thjeshtoni shprehjen me fuqi 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Zgjidhje

Shprehja që na është dhënë në deklaratën e problemit përmban terma të ngjashëm që mund të japim: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Përgjigje: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

Shembulli 3

Shprehni shprehjen me fuqitë 9 - b 3 · π - 1 2 si prodhim.

Zgjidhje

Le të imagjinojmë numrin 9 si një fuqi 3 2 dhe aplikoni formulën e shkurtuar të shumëzimit:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Përgjigje: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

Tani le të kalojmë në analizën e transformimeve të identitetit që mund të zbatohen në mënyrë specifike për shprehjet e pushtetit.

Puna me bazën dhe eksponentin

Shkalla në bazë ose në eksponent mund të ketë numra, variabla dhe disa shprehje. Për shembull, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 Dhe . Puna me të dhëna të tilla është e vështirë. Është shumë më e lehtë të zëvendësohet shprehja në bazën e shkallës ose shprehja në eksponent me një shprehje identike të barabartë.

Transformimet e shkallës dhe eksponentit kryhen sipas rregullave të njohura për ne veçmas nga njëri-tjetri. Gjëja më e rëndësishme është se transformimi rezulton në një shprehje identike me atë origjinale.

Qëllimi i transformimeve është të thjeshtojë shprehjen origjinale ose të marrë një zgjidhje për problemin. Për shembull, në shembullin që dhamë më sipër, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 mund të ndiqni hapat për të shkuar në shkallë 4 , 1 1 , 3 . Duke hapur kllapat, mund të paraqesim terma të ngjashëm me bazën e fuqisë (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1) dhe merrni një shprehje fuqie të një forme më të thjeshtë a 2 (x + 1).

Përdorimi i vetive të diplomës

Vetitë e pushteteve, të shkruara në formën e barazive, janë një nga mjetet kryesore për shndërrimin e shprehjeve me fuqi. Këtu paraqesim ato kryesore, duke marrë parasysh këtë a Dhe b janë ndonjë numër pozitiv, dhe r Dhe s- numra realë arbitrarë:

Përkufizimi 2

• a r · a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a · b) r = a r · b r ;
• (a: b) r = a r: b r;
• (a r) s = a r · s .

Në rastet kur kemi të bëjmë me eksponentë natyrorë, të plotë, pozitivë, kufizimet në numrat a dhe b mund të jenë shumë më pak strikte. Kështu, për shembull, nëse marrim parasysh barazinë a m · a n = a m + n, Ku m Dhe n janë numra natyrorë, atëherë do të jetë e vërtetë për çdo vlerë të a-së, pozitive dhe negative, si dhe për a = 0.

Vetitë e fuqive mund të përdoren pa kufizime në rastet kur bazat e fuqive janë pozitive ose përmbajnë variabla, diapazoni i vlerave të lejueshme të të cilave është i tillë që bazat marrin vetëm vlera pozitive mbi të. Në fakt, në programin shkollor të matematikës, detyra e nxënësit është të zgjedhë një veçori të përshtatshme dhe ta zbatojë atë drejt.

Kur përgatiteni për të hyrë në universitete, mund të hasni probleme në të cilat aplikimi i pasaktë i vetive do të çojë në një ngushtim të DL dhe vështirësi të tjera në zgjidhje. Në këtë pjesë do të shqyrtojmë vetëm dy raste të tilla. Më shumë informacion mbi këtë temë mund të gjeni në temën "Konvertimi i shprehjeve duke përdorur vetitë e fuqive".

Shembulli 4

Imagjinoni shprehjen a 2, 5 (a 2) − 3: a − 5, 5 në formën e një fuqie me një bazë a.

Zgjidhje

Së pari, ne përdorim vetinë e fuqisë dhe transformojmë faktorin e dytë duke përdorur atë (a 2) - 3. Pastaj përdorim vetitë e shumëzimit dhe pjesëtimit të fuqive me të njëjtën bazë:

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a 2 .

Përgjigje: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.

Shndërrimi i shprehjeve të fuqisë sipas vetive të fuqive mund të bëhet si nga e majta në të djathtë ashtu edhe në drejtim të kundërt.

Shembulli 5

Gjeni vlerën e shprehjes së fuqisë 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Zgjidhje

Nëse zbatojmë barazinë (a · b) r = a r · b r, nga e djathta në të majtë, marrim një prodhim të formës 3 · 7 1 3 · 21 2 3 dhe më pas 21 1 3 · 21 2 3 . Le të mbledhim eksponentët kur shumëzojmë fuqitë me baza të njëjta: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Ekziston një mënyrë tjetër për të kryer transformimin:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Përgjigje: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Shembulli 6

Jepet një shprehje fuqie a 1, 5 − a 0, 5 − 6, futni një ndryshore të re t = a 0,5.

Zgjidhje

Le të imagjinojmë shkallën një 1, 5 Si a 0.5 3. Përdorimi i vetive të shkallëve në shkallë (a r) s = a r · s nga e djathta në të majtë dhe marrim (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. Mund të futni lehtësisht një ndryshore të re në shprehjen që rezulton t = a 0,5: marrim t 3 − t − 6.

Përgjigje: t 3 − t − 6 .

Shndërrimi i thyesave që përmbajnë fuqi

Zakonisht kemi të bëjmë me dy versione të shprehjeve të fuqisë me thyesa: shprehja përfaqëson një thyesë me një fuqi ose përmban një thyesë të tillë. Të gjitha transformimet bazë të thyesave janë të zbatueshme për shprehje të tilla pa kufizime. Ato mund të reduktohen, të sillen në një emërues të ri ose të punohen veçmas me numëruesin dhe emëruesin. Le ta ilustrojmë këtë me shembuj.

Shembulli 7

Thjeshtoni shprehjen e fuqisë 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Zgjidhje

Kemi të bëjmë me një thyesë, kështu që do të kryejmë transformime si në numërues ashtu edhe në emërues:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Vendosni një shenjë minus përpara thyesës për të ndryshuar shenjën e emëruesit: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Përgjigje: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Thyesat që përmbajnë fuqi reduktohen në një emërues të ri në të njëjtën mënyrë si thyesat racionale. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni një faktor shtesë dhe të shumëzoni numëruesin dhe emëruesin e fraksionit me të. Është e nevojshme të zgjidhni një faktor shtesë në mënyrë të tillë që të mos shkojë në zero për asnjë vlerë të variablave nga variablat ODZ për shprehjen origjinale.

Shembulli 8

Reduktoni thyesat në një emërues të ri: a) a + 1 a 0, 7 në emërues a, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 te emëruesi x + 8 · y 1 2 .

Zgjidhje

a) Le të zgjedhim një faktor që do të na lejojë të reduktojmë në një emërues të ri. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, prandaj si faktor shtesë do të marrim a 0, 3. Gama e vlerave të lejuara të ndryshores a përfshin grupin e të gjithë numrave realë pozitivë. Diplomë në këtë fushë a 0, 3 nuk shkon në zero.

Le të shumëzojmë me numëruesin dhe emëruesin e një thyese a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Le t'i kushtojmë vëmendje emëruesit:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Le ta shumëzojmë këtë shprehje me x 1 3 + 2 · y 1 6, marrim shumën e kubeve x 1 3 dhe 2 · y 1 6, d.m.th. x + 8 · y 1 2 . Ky është emëruesi ynë i ri tek i cili duhet të zvogëlojmë thyesën origjinale.

Kështu gjetëm faktorin shtesë x 1 3 + 2 · y 1 6 . Në gamën e vlerave të lejuara të variablave x Dhe y shprehja x 1 3 + 2 y 1 6 nuk zhduket, prandaj, ne mund të shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës me të:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Përgjigje: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

Shembulli 9

Zvogëlo fraksionin: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Zgjidhje

a) Ne përdorim emëruesin më të madh të përbashkët (GCD), me të cilin mund të zvogëlojmë numëruesin dhe emëruesin. Për numrat 30 dhe 45 është 15. Ne gjithashtu mund të bëjmë një ulje me x0,5+1 dhe në x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

Ne marrim:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Këtu prania e faktorëve identikë nuk është e dukshme. Ju do të duhet të kryeni disa transformime në mënyrë që të merrni të njëjtët faktorë në numërues dhe emërues. Për ta bërë këtë, ne zgjerojmë emëruesin duke përdorur formulën e diferencës së katrorëve:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Përgjigje: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Veprimet bazë me thyesat përfshijnë konvertimin e thyesave në një emërues të ri dhe reduktimin e thyesave. Të dy veprimet kryhen në përputhje me një sërë rregullash. Kur mblidhen dhe zbriten thyesat, fillimisht thyesat reduktohen në një emërues të përbashkët, pas së cilës kryhen veprimet (mbledhja ose zbritja) me numëruesit. Emëruesi mbetet i njëjtë. Rezultati i veprimeve tona është një thyesë e re, numëruesi i së cilës është prodhimi i numëruesve, dhe emëruesi është prodhimi i emëruesve.

Shembulli 10

Kryeni hapat x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Zgjidhje

Le të fillojmë duke zbritur thyesat që janë në kllapa. Le t'i sjellim ato në një emërues të përbashkët:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Le të zbresim numëruesit:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Tani shumëzojmë thyesat:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Le të reduktojmë me një fuqi x 1 2, marrim 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

Për më tepër, mund të thjeshtoni shprehjen e fuqisë në emërues duke përdorur formulën e ndryshimit të katrorëve: katrorë: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Përgjigje: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Shembulli 11

Thjeshtoni shprehjen e ligjit të fuqisë x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Zgjidhje

Mund ta zvogëlojmë thyesën me (x 2 , 7 + 1) 2. Marrim thyesën x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Le të vazhdojmë të transformojmë fuqitë e x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. Tani mund të përdorni vetinë e pjesëtimit të fuqive me të njëjtat baza: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Ne kalojmë nga produkti i fundit në fraksionin x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Përgjigje: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Në shumicën e rasteve, është më i përshtatshëm transferimi i faktorëve me eksponentë negativ nga numëruesi në emërues dhe mbrapa, duke ndryshuar shenjën e eksponentit. Ky veprim ju lejon të thjeshtoni vendimin e mëtejshëm. Le të japim një shembull: shprehja e fuqisë (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 mund të zëvendësohet me x 3 · (x + 1) 0, 2.

Shndërrimi i shprehjeve me rrënjë dhe fuqi

Në problema ka shprehje fuqie që përmbajnë jo vetëm fuqi me eksponentë thyesorë, por edhe rrënjë. Këshillohet që shprehjet e tilla të reduktohen vetëm në rrënjë ose vetëm në fuqi. Preferohet të shkosh për diploma pasi është më e lehtë të punosh me to. Ky tranzicion preferohet veçanërisht kur ODZ e variablave për shprehjen origjinale ju lejon të zëvendësoni rrënjët me fuqi pa pasur nevojë të aksesoni modulin ose të ndani ODZ në disa intervale.

Shembulli 12

Shprehni shprehjen x 1 9 · x · x 3 6 si fuqi.

Zgjidhje

Gama e vlerave të variablave të lejueshme x përkufizohet nga dy pabarazi x ≥ 0 dhe x x 3 ≥ 0, të cilat përcaktojnë bashkësinë [ 0 , + ∞) .

Në këtë grup ne kemi të drejtë të kalojmë nga rrënjët në fuqi:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Duke përdorur vetitë e fuqive, ne thjeshtojmë shprehjen e fuqisë që rezulton.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Përgjigje: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Shndërrimi i fuqive me variabla në eksponent

Këto transformime janë mjaft të lehta për t'u bërë nëse përdorni saktë vetitë e shkallës. Për shembull, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Mund ta zëvendësojmë me produktin e fuqive, eksponentët e të cilave janë shuma e disa ndryshoreve dhe një numri. Në anën e majtë, kjo mund të bëhet me termat e parë dhe të fundit të anës së majtë të shprehjes:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Tani le t'i ndajmë të dyja anët e barazisë me 7 2 x. Kjo shprehje për ndryshoren x merr vetëm vlera pozitive:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Le të zvogëlojmë thyesat me fuqi, marrim: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Së fundi, raporti i fuqive me të njëjtët eksponentë zëvendësohet me fuqitë e raporteve, duke rezultuar në ekuacionin 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, i cili është i barabartë me 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0.

Le të prezantojmë një ndryshore të re t = 5 7 x, e cila redukton zgjidhjen e ekuacionit origjinal eksponencial në zgjidhjen e ekuacionit kuadratik 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0.

Shndërrimi i shprehjeve me fuqi dhe logaritme

Shprehjet që përmbajnë fuqi dhe logaritme gjenden gjithashtu në problema. Një shembull i shprehjeve të tilla është: 1 4 1 - 5 · log 2 3 ose log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Transformimi i shprehjeve të tilla kryhet duke përdorur qasjet dhe vetitë e logaritmeve të diskutuara më sipër, të cilat i diskutuam në detaje në temën "Transformimi i shprehjeve logaritmike".

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Vetëm disa shembuj algjebrikë mund t'i tmerrojnë nxënësit e shkollës. Shprehjet e gjata jo vetëm që janë frikësuese, por edhe i vështirësojnë shumë llogaritjet. Duke u përpjekur të kuptoni menjëherë se çfarë pason, nuk do të duhet shumë kohë për t'u hutuar. Është për këtë arsye që matematikanët përpiqen gjithmonë të thjeshtojnë një problem "të tmerrshëm" sa më shumë që të jetë e mundur dhe vetëm atëherë fillojnë ta zgjidhin atë. Mjaft e çuditshme, ky truk përshpejton ndjeshëm procesin e punës.

Thjeshtimi është një nga pikat themelore në algjebër. Nëse ende mund të bëni pa të në probleme të thjeshta, atëherë shembujt më të vështirë për t'u llogaritur mund të rezultojnë të jenë shumë të vështira. Këtu janë të dobishme këto aftësi! Për më tepër, njohuri komplekse matematikore nuk kërkohet: do të jetë e mjaftueshme vetëm të mbani mend dhe të mësoni të zbatoni në praktikë disa teknika dhe formula themelore.

Pavarësisht nga kompleksiteti i llogaritjeve, kur zgjidhet ndonjë shprehje është e rëndësishme ndiqni rendin e kryerjes së veprimeve me numra:

1. kllapa;
2. fuqizim;
3. shumëzimi;
4. ndarje;
5. shtesë;
6. zbritje.

Dy pikat e fundit mund të ndërrohen lehtësisht dhe kjo nuk do të ndikojë në asnjë mënyrë rezultatin. Por shtimi i dy numrave ngjitur kur ka një shenjë shumëzimi pranë njërit prej tyre është absolutisht e ndaluar! Përgjigja, nëse ka, është e pasaktë. Prandaj, duhet të mbani mend sekuencën.

Përdorimi i të tilla

Elementë të tillë përfshijnë numra me një ndryshore të të njëjtit rend ose të së njëjtës shkallë. Ekzistojnë gjithashtu të ashtuquajturat terma të lirë që nuk kanë një përcaktim shkronjash për të panjohurën pranë tyre.

Çështja është se në mungesë të kllapave ju mund ta thjeshtoni shprehjen duke shtuar ose zbritur të ngjashme.

Disa shembuj ilustrues:

• 8x 2 dhe 3x 2 - të dy numrat kanë të njëjtën ndryshore të rendit të dytë, pra janë të ngjashëm dhe kur shtohen thjeshtohen në (8+3)x 2 =11x 2, ndërsa kur zbriten marrin (8-3)x 2 =5x. 2 ;
• 4x 3 dhe 6x - dhe këtu "x" ka shkallë të ndryshme;
• 2y 7 dhe 33x 7 - përmbajnë variabla të ndryshëm, prandaj, si në rastin e mëparshëm, ato nuk janë të ngjashme.

Faktorimi i një numri

Ky truk i vogël matematikor, nëse mësoni ta përdorni siç duhet, do t'ju ndihmojë më shumë se një herë të përballeni me një problem të ndërlikuar në të ardhmen. Dhe nuk është e vështirë të kuptosh se si funksionon "sistemi": zbërthimi është produkt i disa elementeve, llogaritja e të cilëve jep vlerën origjinale. Pra, 20 mund të përfaqësohet si 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2, ose në ndonjë mënyrë tjetër.

Në një shënim: Faktorët janë gjithmonë të njëjtë me pjesëtuesit. Kështu që ju duhet të kërkoni një "çift" pune për zbërthim midis numrave në të cilët origjinali është i ndashëm pa mbetje.

Ky operacion mund të kryhet si me terma të lirë ashtu edhe me numra në një ndryshore. Gjëja kryesore është të mos e humbni këtë të fundit gjatë llogaritjeve - madje pas dekompozimit, e panjohura thjesht nuk mund të "shkojë askund". Mbetet në një nga shumëzuesit:

• 15x=3(5x);
• 60y 2 = (15y 2)4.

Numrat e thjeshtë që mund të ndahen vetëm me vetveten ose 1 nuk zgjerohen kurrë - nuk ka kuptim.

Metodat themelore të thjeshtimit

Gjëja e parë që ju bie në sy:

• prania e kllapave;
• fraksione;
• rrënjët.

Shembujt algjebrikë në kurrikulën e shkollës shpesh shkruhen me idenë se mund të thjeshtohen bukur.

Llogaritjet në kllapa

Kushtojini vëmendje shenjës përpara kllapave! Shumëzimi ose pjesëtimi zbatohet për çdo element brenda, dhe një shenjë minus ndryshon shenjat ekzistuese "+" ose "-".

Kllapat llogariten sipas rregullave ose duke përdorur formula të shkurtuara të shumëzimit, pas së cilës jepen të ngjashme.

Thyesat reduktuese

Zvogëloni thyesatËshtë gjithashtu e lehtë. Ata vetë "ikin me dëshirë" herë pas here, sapo kryhen operacione për të sjellë anëtarë të tillë. Por ju mund ta thjeshtoni shembullin edhe më parë: kushtojini vëmendje numëruesit dhe emëruesit. Ato shpesh përmbajnë elemente të qarta ose të fshehura që mund të reduktohen reciprokisht. Vërtetë, nëse në rastin e parë thjesht duhet të kaloni të panevojshmen, në të dytën do të duhet të mendoni, duke sjellë një pjesë të shprehjes në formë për thjeshtim. Metodat e përdorura:

• kërkimi dhe vendosja në kllapa e pjesëtuesit më të madh të përbashkët të numëruesit dhe emëruesit;
• duke e ndarë çdo element të sipërm me emëruesin.

Kur një shprehje ose pjesë e saj është nën rrënjë, detyra kryesore e thjeshtimit është pothuajse e ngjashme me rastin me thyesat. Është e nevojshme të kërkoni mënyra për ta hequr qafe plotësisht atë ose, nëse kjo nuk është e mundur, për të minimizuar shenjën që ndërhyn në llogaritjet. Për shembull, deri në √(3) ose √(7) pa vëmendje.

Një mënyrë e sigurt për të thjeshtuar një shprehje radikale është të përpiqeni ta faktorizoni atë, disa prej të cilave shtrihen përtej shenjës. Një shembull ilustrues: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

Truke dhe nuanca të tjera të vogla:

• ky operacion thjeshtimi mund të kryhet me thyesa, duke e nxjerrë atë nga shenja si në tërësi ashtu edhe veçmas si numërues ose emërues;
• Një pjesë e shumës ose diferencës nuk mund të zgjerohet dhe të merret përtej rrënjës;
• kur punoni me ndryshore, sigurohuni që të merrni parasysh shkallën e saj, ajo duhet të jetë e barabartë ose një shumëfish i rrënjës që të mund të hiqet: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3 )=√(x 2 ×x)=x√( x);
• ndonjëherë është e mundur të heqësh qafe ndryshoren radikale duke e ngritur atë në një fuqi thyesore: √(y 3)=y 3/2.

Thjeshtimi i një shprehje fuqie

Nëse në rastin e llogaritjeve të thjeshta me minus ose plus, shembujt thjeshtohen duke përmendur të ngjashëm, atëherë çfarë ndodh kur shumëzoni ose pjesëtoni ndryshore me fuqi të ndryshme? Ato mund të thjeshtohen lehtësisht duke kujtuar dy pika kryesore:

1. Nëse ka një shenjë shumëzimi midis variablave, fuqitë mblidhen.
2. Kur ato ndahen me njëri-tjetrin, fuqia e numëruesit i zbritet e njëjta fuqi e emëruesit.

Kushti i vetëm për një thjeshtësim të tillë është që të dy termat të kenë të njëjtën bazë. Shembuj për qartësi:

• 5x 2 ×4x 7 +(y 13 /y 11)=(5×4)x 2+7 +y 13- 11 =20x 9 +y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

Vëmë re se operacionet me vlera numerike përpara variablave ndodhin sipas rregullave të zakonshme matematikore. Dhe nëse shikoni nga afër, bëhet e qartë se elementët e fuqisë së shprehjes "punojnë" në mënyrë të ngjashme:

• ngritja e një termi në një fuqi do të thotë ta shumëzosh atë në vetvete një numër të caktuar herë, p.sh. x 2 =x×x;
• ndarja është e ngjashme: nëse zgjeroni fuqitë e numëruesit dhe emëruesit, atëherë disa nga variablat do të anulohen, ndërsa ato të mbetura "mbledhen", që është ekuivalente me zbritjen.

Si me çdo gjë, thjeshtimi i shprehjeve algjebrike kërkon jo vetëm njohuri të bazave, por edhe praktikë. Pas vetëm disa mësimeve, shembujt që dikur dukeshin të ndërlikuar do të reduktohen pa shumë vështirësi, duke u kthyer në të shkurtër dhe lehtësisht të zgjidhur.

Video

Kjo video do t'ju ndihmojë të kuptoni dhe mbani mend se si thjeshtohen shprehjet.

Nuk morët përgjigje për pyetjen tuaj? Sugjeroni një temë për autorët.