në fizikën mjekësore dhe biologjike

LEKTURA Nr. 1

FUNKSIONET DERIVATIV DHE DIFEENCIAL.

DERIVATET E PJESSHME.

1. Koncepti i derivatit, kuptimi i tij mekanik dhe gjeometrik.

A ) Rritja e argumentit dhe funksionit.

Le të jepet një funksion y=f(x), ku x është vlera e argumentit nga fusha e përcaktimit të funksionit. Nëse zgjidhni dy vlera të argumentit x o dhe x nga një interval i caktuar i domenit të përcaktimit të funksionit, atëherë ndryshimi midis dy vlerave të argumentit quhet rritja e argumentit: x - x o = ∆x.

Vlera e argumentit x mund të përcaktohet përmes x 0 dhe rritjes së tij: x = x o + ∆x.

Diferenca midis dy vlerave të funksionit quhet rritje e funksionit: ∆y =∆f = f(x o +∆x) – f(x o).

Rritja e një argumenti dhe një funksioni mund të paraqitet grafikisht (Fig. 1). Rritja e argumentit dhe rritja e funksionit mund të jenë pozitive ose negative. Siç del nga Fig. 1, gjeometrikisht, rritja e argumentit ∆х përfaqësohet nga rritja e abshisës, dhe rritja e funksionit ∆у nga rritja e ordinatës. Rritja e funksionit duhet të llogaritet në rendin e mëposhtëm:

i japim argumentit një rritje ∆x dhe marrim vlerën – x+Δx;

2) gjeni vlerën e funksionit për vlerën e argumentit (x+∆x) – f(x+∆x);

3) gjeni shtimin e funksionit ∆f=f(x + ∆x) - f(x).

Shembull: Përcaktoni rritjen e funksionit y=x 2 nëse argumenti ka ndryshuar nga x o =1 në x=3. Për pikën x o vlera e funksionit f(x o) = x² o; për pikën (x o +∆x) vlera e funksionit f(x o +∆x) = (x o +∆x) 2 = x² o +2x o ∆x+∆x 2, nga ku ∆f = f(x o + ∆x)–f(x o) = (x o +∆x) 2 –x² o = x² o +2x o ∆x+∆x 2 –x² o = 2x o ∆x+∆x 2; ∆f = 2x o ∆x+∆x 2 ; ∆х = 3–1 = 2; ∆f =2·1·2+4 = 8.

b)Problemet që çojnë në konceptin e derivatit. Përkufizimi i derivatit, kuptimi fizik i tij.

Koncepti i rritjes së argumentit dhe funksionit është i nevojshëm për të prezantuar konceptin e derivatit, i cili historikisht lindi bazuar në nevojën për të përcaktuar shpejtësinë e proceseve të caktuara.

Le të shqyrtojmë se si mund të përcaktoni shpejtësinë e lëvizjes drejtvizore. Lëreni trupin të lëvizë drejtvizor sipas ligjit: ∆S= ·∆t. Për lëvizje uniforme:= ∆S/∆t.

Për lëvizje të alternuara, vlera ∆Ѕ/∆t përcakton vlerën  mesatare. , d.m.th. mesatare. =∆S/∆t Por shpejtësia mesatare nuk bën të mundur pasqyrimin e veçorive të lëvizjes së trupit dhe të japë një ide të shpejtësisë së vërtetë në kohën t. Kur periudha kohore zvogëlohet, d.m.th. në ∆t→0 shpejtësia mesatare tenton në kufirin e saj - shpejtësia e menjëhershme:

 i menjëhershëm =
 mesatarisht. =
∆S/∆t.

Shpejtësia e menjëhershme e një reaksioni kimik përcaktohet në të njëjtën mënyrë:

 i menjëhershëm =
 mesatarisht. =
∆х/∆t,

ku x është sasia e substancës e formuar gjatë një reaksioni kimik gjatë kohës t. Probleme të ngjashme të përcaktimit të shpejtësisë së proceseve të ndryshme çuan në futjen në matematikë të konceptit të një funksioni derivat.

Le të jepet një funksion i vazhdueshëm f(x), i përcaktuar në intervalin ]a, në [dmth. shtimi i tij ∆f=f(x+∆x)–f(x).
është funksion i ∆x dhe shpreh shpejtësinë mesatare të ndryshimit të funksionit.

Kufiri i raportit , kur ∆х→0, me kusht që të ekzistojë ky kufi, quhet derivat i funksionit :

y" x =

.

Derivati ​​shënohet:
– (goditje ygree nga X); f " (x) – (eff prime në x) ; y" – (greqisht goditje); dy/dх – (de igrek nga de x); - (Greqishtja me pikë).

Bazuar në përkufizimin e derivatit, mund të themi se shpejtësia e menjëhershme e lëvizjes drejtvizore është derivati ​​kohor i shtegut:

 i menjëhershëm = S" t = f " (t).

Kështu, mund të konkludojmë se derivati ​​i një funksioni në lidhje me argumentin x është shpejtësia e menjëhershme e ndryshimit të funksionit f(x):

y" x =f " (x)= çastit.

Ky është kuptimi fizik i derivatit. Procesi i gjetjes së derivatit quhet diferencim, kështu që shprehja "diferenconi një funksion" është ekuivalente me shprehjen "gjeni derivatin e një funksioni".

V)Kuptimi gjeometrik i derivatit.

P
derivati ​​i funksionit y = f(x) ka një kuptim të thjeshtë gjeometrik të lidhur me konceptin e një tangjente në një vijë të lakuar në një pikë M. Në të njëjtën kohë, tangjente, d.m.th. një vijë e drejtë shprehet analitikisht si y = kx = tan· x, ku – këndi i prirjes së tangjentes (drejtëzës) me boshtin X. Le të imagjinojmë një kurbë të vazhdueshme si funksion y = f(x), të marrim një pikë M1 në kurbë dhe një pikë M1 afër saj dhe të vizatojmë një sekant përmes tyre. Pjerrësia e saj në sec =tg β = .Nëse pikën M 1 e afrojmë me M, atëherë rritja e argumentit ∆х do të priret në zero, dhe sekanti në β=α do të marrë pozicionin e një tangjente. Nga figura 2 rrjedh: tgα =
tgβ =
=y" x. Por tgα është e barabartë me pjerrësinë e tangjentes ndaj grafikut të funksionit:

k = tgα =
=y" x = f " (X). Pra, koeficienti këndor i një tangjente me grafikun e një funksioni në një pikë të caktuar është i barabartë me vlerën e derivatit të tij në pikën e tangjences. Ky është kuptimi gjeometrik i derivatit.

G)Rregulla e përgjithshme për gjetjen e derivatit.

Bazuar në përkufizimin e derivatit, procesi i diferencimit të një funksioni mund të përfaqësohet si më poshtë:

f(x+∆x) = f(x)+∆f;

gjeni shtimin e funksionit: ∆f= f(x + ∆x) - f(x);

formoni raportin e rritjes së funksionit me rritjen e argumentit:

;

Shembull: f(x)=x2; f " (x)=?.

Sidoqoftë, siç shihet edhe nga ky shembull i thjeshtë, përdorimi i sekuencës së specifikuar gjatë marrjes së derivateve është një proces intensiv dhe kompleks. Prandaj, për funksione të ndryshme prezantohen formula të përgjithshme të diferencimit, të cilat paraqiten në formën e një tabele të "Formulave bazë për diferencimin e funksioneve".

Në planin koordinativ xOy merrni parasysh grafikun e funksionit y=f(x). Le të rregullojmë pikën M(x 0 ; f (x 0)). Le të shtojmë një abshisë x 0 rritje Δх. Do të marrim një abscisë të re x 0 +Δx. Kjo është abscisa e pikës N, dhe ordinata do të jetë e barabartë f (x 0 +Δx). Ndryshimi në abscissa solli një ndryshim në ordinate. Ky ndryshim quhet rritje e funksionit dhe shënohet Δy.

Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Përmes pikave M Dhe N le të vizatojmë një sekant MN, e cila formon një kënd φ me drejtim të boshtit pozitiv Oh. Le të përcaktojmë tangjenten e këndit φ nga një trekëndësh kënddrejtë MPN.

Le Δх priret në zero. Pastaj sekanti MN do të priren të marrin një pozicion tangjent MT, dhe këndin φ do të bëhet një kënd α . Pra, tangjentja e këndit α është vlera kufizuese e tangjentes së këndit φ :

Kufiri i raportit të rritjes së një funksioni me rritjen e argumentit, kur ky i fundit tenton në zero, quhet derivat i funksionit në një pikë të caktuar:

Kuptimi gjeometrik i derivatit qëndron në faktin se derivati ​​numerik i funksionit në një pikë të caktuar është i barabartë me tangjenten e këndit të formuar nga tangjentja e tërhequr përmes kësaj pike me lakoren e dhënë dhe drejtimin pozitiv të boshtit. Oh:

Shembuj.

1. Gjeni shtimin e argumentit dhe shtimin e funksionit y= x 2, nëse vlera fillestare e argumentit ishte e barabartë me 4 , dhe e re - 4,01 .

Zgjidhje.

Vlera e re e argumentit x=x 0 +Δx. Le të zëvendësojmë të dhënat: 4.01=4+Δх, pra rritja e argumentit Δх=4,01-4=0,01. Rritja e një funksioni, sipas përkufizimit, është e barabartë me diferencën midis vlerave të reja dhe të mëparshme të funksionit, d.m.th. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Meqenëse kemi një funksion y=x2, Kjo Dy=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Përgjigje: rritje argumenti Δх=0,01; rritja e funksionit Dy=0,0801.

Rritja e funksionit mund të gjendet ndryshe: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.

2. Gjeni këndin e prirjes së tangjentes me grafikun e funksionit y=f(x) në pikën x 0, Nëse f "(x 0) = 1.

Zgjidhje.

Vlera e derivatit në pikën e tangjences x 0 dhe është vlera e tangjentës së këndit tangjent (kuptimi gjeometrik i derivatit). Ne kemi: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, sepse tg45°=1.

Përgjigje: tangjentja me grafikun e këtij funksioni formon një kënd me drejtim pozitiv të boshtit Ox të barabartë me 45°.

3. Nxjerr formulën për derivatin e funksionit y=xn.

Diferencimiështë veprimi i gjetjes së derivatit të një funksioni.

Kur gjeni derivatet, përdorni formulat që janë nxjerrë bazuar në përkufizimin e një derivati, në të njëjtën mënyrë siç kemi nxjerrë formulën për shkallën e derivatit: (x n)" = nx n-1.

Këto janë formulat.

Tabela e derivateve Do të jetë më e lehtë të mësosh përmendësh duke shqiptuar formulime verbale:

1. Derivati ​​i një sasie konstante është zero.

2. X i thjeshtë është i barabartë me një.

3. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e derivatit.

4. Derivati ​​i një shkalle është i barabartë me prodhimin e eksponentit të kësaj shkalle me një shkallë me të njëjtën bazë, por eksponenti është një më pak.

5. Derivati ​​i rrënjës është i barabartë me një të ndarë me dy rrënjë të barabarta.

6. Derivati ​​i një pjesëtuar me x është i barabartë me minus një pjesëtuar me x në katror.

7. Derivati ​​i sinusit është i barabartë me kosinusin.

8. Derivati ​​i kosinusit është i barabartë me minus sinus.

9. Derivati ​​i tangjentes është i barabartë me një pjesëtuar me katrorin e kosinusit.

10. Derivati ​​i kotangjentës është i barabartë me minus një pjesëtuar me katrorin e sinusit.

Ne mësojmë rregullat e diferencimit.

1. Derivati ​​i një shume algjebrike është i barabartë me shumën algjebrike të derivateve të termave.

2. Derivati ​​i një produkti është i barabartë me produktin e derivatit të faktorit të parë dhe të dytit plus produktin e faktorit të parë dhe derivatin e të dytit.

3. Derivati ​​i "y" i pjesëtuar me "ve" është i barabartë me një thyesë në të cilën numëruesi është "y i thjeshtë shumëzuar me "ve" minus "y i shumëzuar me ve të thjeshtë", dhe emëruesi është "ve në katror".

4. Një rast i veçantë i formulës 3.

Le të mësojmë së bashku!

Faqja 1 nga 1 1

Le X– argument (ndryshore e pavarur); y=y(x)– funksion.

Le të marrim një vlerë fikse të argumentit x=x 0 dhe llogaritni vlerën e funksionit y 0 =y(x 0 ) . Tani le të vendosim në mënyrë arbitrare rritje (ndryshimi) i argumentit dhe shënojeni atë  X ( X mund të jetë i çdo shenje).

Argumenti i rritjes është një pikë X 0 +  X. Le të themi se përmban gjithashtu një vlerë funksioni y=y(x 0 +  X)(shih foton).

Kështu, me një ndryshim arbitrar të vlerës së argumentit, fitohet një ndryshim në funksion, i cili quhet rritje vlerat e funksionit:

dhe nuk është arbitrare, por varet nga lloji i funksionit dhe vlerës
.

Rritjet e argumenteve dhe funksioneve mund të jenë përfundimtar, d.m.th. të shprehura si numra konstante, me ç'rast quhen ndonjëherë diferenca të fundme.

Në ekonomi, rritjet e fundme konsiderohen mjaft shpesh. Për shembull, tabela tregon të dhëna për gjatësinë e rrjetit hekurudhor të një shteti të caktuar. Natyrisht, rritja në gjatësinë e rrjetit llogaritet duke zbritur vlerën e mëparshme nga ajo e mëvonshme.

Si funksion do të konsiderojmë gjatësinë e rrjetit hekurudhor, argumenti i të cilit do të jetë koha (vitet).

Në vetvete, një rritje e një funksioni (në këtë rast, gjatësia e rrjetit hekurudhor) nuk e karakterizon mirë ndryshimin e funksionit. Në shembullin tonë, nga fakti se 2,5>0,9 nuk mund të konkludohet se rrjeti u rrit më shpejt 2000-2003 vjet sesa në 2004 g., sepse rritja 2,5 i referohet një periudhe trevjeçare, dhe 0,9 - në vetëm një vit. Prandaj, është krejt e natyrshme që një rritje në një funksion të çojë në një ndryshim të njësisë në argument. Rritja e argumentit këtu është periudha: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

Marrim atë që quhet në literaturën ekonomike rritje mesatare vjetore.

Ju mund të shmangni operacionin e zvogëlimit të rritjes në njësinë e ndryshimit të argumentit nëse merrni vlerat e funksionit për vlerat e argumenteve që ndryshojnë me një, gjë që nuk është gjithmonë e mundur.

Në analizën matematikore, veçanërisht në llogaritjen diferenciale, merren parasysh rritjet infinitimale (IM) të argumentit dhe funksionit.

Diferencimi i një funksioni të një ndryshoreje (derivative dhe diferenciale) Derivat i një funksioni

Rritjet e argumentit dhe funksionit në një pikë X 0 mund të konsiderohen si madhësi infiniteminale të krahasueshme (shih temën 4, krahasimi i BM), d.m.th. BM të të njëjtit rend.

Atëherë raporti i tyre do të ketë një kufi të fundëm, i cili përcaktohet si derivat i funksionit në t X 0 .

Kufiri i raportit të rritjes së një funksioni me rritjen BM të argumentit në një pikë x=x 0 thirrur derivatore funksionon në një pikë të caktuar.

Emërtimi simbolik i një derivati ​​me një goditje (ose më mirë, me numrin romak I) u prezantua nga Njutoni. Ju gjithashtu mund të përdorni një nënshkrim, i cili tregon se me cilën variabël llogaritet derivati, për shembull, . Një tjetër shënim i propozuar nga themeluesi i llogaritjes së derivateve, matematikani gjerman Leibniz, përdoret gjithashtu gjerësisht:
. Do të mësoni më shumë rreth origjinës së këtij përcaktimi në seksion Diferenciali i funksionit dhe diferenciali i argumentit.

Ky numër vlerësohet shpejtësia ndryshimet në funksionin që kalon nëpër një pikë
.

Le të instalojmë kuptimi gjeometrik derivat i një funksioni në një pikë. Për këtë qëllim, ne do të vizatojmë funksionin y=y(x) dhe shënoni mbi të pikat që përcaktojnë ndryshimin y(x) në të ndërmjetme

Tangjente me grafikun e një funksioni në një pikë M 0
do të shqyrtojmë pozicionin kufizues të sekantit M 0 M duke pasur parasysh se
(pika M rrëshqet përgjatë grafikut të një funksioni në një pikë M 0 ).

Le të shqyrtojmë
. Natyrisht,
.

Nëse pika M drejtojnë përgjatë grafikut të funksionit drejt pikës M 0 , pastaj vlera
do të priret në një kufi të caktuar, të cilin e shënojmë
. ku.

Kufizoni këndin  përkon me këndin e prirjes së tangjentes së tërhequr në grafikun e funksionit përfshirë. M 0 , pra derivati
numerikisht të barabartë pjerrësia tangjente në pikën e caktuar.

-

kuptimi gjeometrik i derivatit të një funksioni në një pikë.

Kështu, ne mund të shkruajmë ekuacionet tangjente dhe normale ( normale - kjo është një drejtëz pingul me tangjenten) me grafikun e funksionit në një pikë X 0 :

Tangjente - .

Normale -
.

Me interes janë rastet kur këto vija ndodhen horizontalisht ose vertikalisht (shih Temën 3, raste të veçanta të pozicionit të vijës në rrafsh). Pastaj,

Nëse
;

Nëse
.

Përkufizimi i derivatit quhet diferencimi funksione.

 Nëse funksioni në pikën X 0 ka një derivat të fundëm, atëherë quhet të diferencueshme në këtë pikë. Një funksion që është i diferencueshëm në të gjitha pikat e një intervali të caktuar quhet i diferencueshëm në këtë interval.

 Teorema . Nëse funksioni y=y(x) i diferencueshëm përfshirë. X 0 , atëherë është e vazhdueshme në këtë pikë.

Kështu, vazhdimësi– një kusht i domosdoshëm (por jo i mjaftueshëm) për diferencueshmërinë e një funksioni.

Niveli i parë

Derivat i një funksioni. Udhëzuesi i fundit (2019)

Le të imagjinojmë një rrugë të drejtë që kalon nëpër një zonë kodrinore. Kjo do të thotë, shkon lart e poshtë, por nuk kthehet djathtas ose majtas. Nëse aksi drejtohet horizontalisht përgjatë rrugës dhe vertikalisht, atëherë vija e rrugës do të jetë shumë e ngjashme me grafikun e ndonjë funksioni të vazhdueshëm:

Aksi është një nivel i caktuar i lartësisë zero; në jetë ne përdorim nivelin e detit si ai.

Ndërsa ecim përpara përgjatë një rruge të tillë, ne gjithashtu lëvizim lart ose poshtë. Mund të themi gjithashtu: kur ndryshon argumenti (lëvizja përgjatë boshtit të abshisës), vlera e funksionit ndryshon (lëvizja përgjatë boshtit të ordinatave). Tani le të mendojmë se si të përcaktojmë "pjerrësinë" e rrugës sonë? Çfarë lloj vlere mund të jetë kjo? Është shumë e thjeshtë: sa do të ndryshojë lartësia kur lëvizni përpara një distancë të caktuar. Në të vërtetë, në seksione të ndryshme të rrugës, duke lëvizur përpara (përgjatë boshtit x) me një kilometër, ne do të ngrihemi ose do të zbresim me një numër të ndryshëm metrash në krahasim me nivelin e detit (përgjatë boshtit y).

Le të shënojmë përparimin (lexoni "delta x").

Shkronja greke (delta) përdoret zakonisht në matematikë si parashtesë që do të thotë "ndryshim". Kjo është - ky është një ndryshim në sasi, - një ndryshim; atëherë çfarë është ajo? Kjo është e drejtë, një ndryshim në madhësi.

E rëndësishme: një shprehje është një tërësi e vetme, një ndryshore. Asnjëherë mos e ndani "deltën" nga "x" ose ndonjë shkronjë tjetër! Kjo është, për shembull,.

Pra, ne kemi ecur përpara, horizontalisht, nga. Nëse krahasojmë vijën e rrugës me grafikun e funksionit, atëherë si e shënojmë ngritjen? Sigurisht,. Domethënë, ndërsa ecim përpara, ngrihemi më lart.

Vlera është e lehtë për t'u llogaritur: nëse në fillim ishim në një lartësi, dhe pas lëvizjes e gjetëm veten në një lartësi, atëherë. Nëse pika e fundit është më e ulët se pika e fillimit, ajo do të jetë negative - kjo do të thotë që ne nuk jemi duke u ngjitur, por duke zbritur.

Le të kthehemi te "pjerrësia": kjo është një vlerë që tregon se sa (pjerrët) rritet lartësia kur lëvizni përpara një njësi distancë:

Le të supozojmë se në një pjesë të rrugës, kur ecim përpara me një kilometër, rruga ngrihet për një kilometër. Atëherë pjerrësia në këtë vend është e barabartë. Dhe nëse rruga, duke ecur përpara me m, ka rënë me km? Atëherë pjerrësia është e barabartë.

Tani le të shohim majën e një kodre. Nëse e merrni fillimin e seksionit gjysmë kilometër përpara majës, dhe fundin gjysmë kilometër pas tij, mund të shihni se lartësia është pothuajse e njëjtë.

Kjo do të thotë, sipas logjikës sonë, rezulton se pjerrësia këtu është pothuajse e barabartë me zero, gjë që nuk është qartë e vërtetë. Pak më shumë se një distancë prej kilometrash shumë mund të ndryshojnë. Është e nevojshme të merren parasysh zona më të vogla për një vlerësim më adekuat dhe më të saktë të pjerrësisë. Për shembull, nëse matni ndryshimin në lartësi ndërsa lëvizni një metër, rezultati do të jetë shumë më i saktë. Por edhe kjo saktësi mund të mos jetë e mjaftueshme për ne - në fund të fundit, nëse ka një shtyllë në mes të rrugës, ne thjesht mund ta kalojmë atë. Çfarë distancë duhet të zgjedhim atëherë? Centimetri? Milimetri? Më pak është më mirë!

Në jetën reale, matja e distancave në milimetrin më të afërt është më se e mjaftueshme. Por matematikanët gjithmonë përpiqen për përsosmëri. Prandaj, koncepti u shpik pafundësisht i vogël, domethënë, vlera absolute është më e vogël se çdo numër që mund të emërtojmë. Për shembull, ju thoni: një triliontë! Sa më pak? Dhe ju e ndani këtë numër me - dhe do të jetë edhe më pak. Dhe kështu me radhë. Nëse duam të shkruajmë se një sasi është e pafundme, shkruajmë kështu: (lexojmë “x tenton në zero”). Është shumë e rëndësishme të kuptohet se ky numër nuk është zero! Por shumë afër saj. Kjo do të thotë që ju mund të ndani me të.

Koncepti i kundërt me infinitimalin është pafundësisht i madh (). Me siguri e keni hasur tashmë kur po punonit për pabarazitë: ky numër është modulo më i madh se çdo numër që mund të mendoni. Nëse arrini numrin më të madh të mundshëm, thjesht shumëzojeni atë me dy dhe do të merrni një numër edhe më të madh. Dhe pafundësia është edhe më e madhe se ajo që ndodh. Në fakt, pafundësisht i madhi dhe pafundësisht i vogël janë anasjellta e njëra-tjetrës, pra në, dhe anasjelltas: në.

Tani le të kthehemi në rrugën tonë. Pjerrësia e llogaritur në mënyrë ideale është pjerrësia e llogaritur për një segment pafundësisht të vogël të shtegut, domethënë:

Vërej se me një zhvendosje pafundësisht, ndryshimi në lartësi do të jetë gjithashtu pafundësisht i vogël. Por më lejoni t'ju kujtoj se infinite vogël nuk do të thotë e barabartë me zero. Nëse ndani numra pafundësisht të vegjël me njëri-tjetrin, mund të merrni një numër krejtësisht të zakonshëm, për shembull, . Kjo do të thotë, një vlerë e vogël mund të jetë saktësisht herë më e madhe se një tjetër.

Për çfarë është e gjithë kjo? Rruga, pjerrësia... Ne nuk do të shkojmë në një miting makinash, por po mësojmë matematikë. Dhe në matematikë gjithçka është saktësisht e njëjtë, vetëm quhet ndryshe.

Koncepti i derivatit

Derivati ​​i një funksioni është raporti i rritjes së funksionit ndaj rritjes së argumentit për një rritje infiniteminale të argumentit.

Në mënyrë incrementale në matematikë e quajnë ndryshim. Shkalla në të cilën argumenti () ndryshon ndërsa lëviz përgjatë boshtit quhet rritje argumenti dhe është caktuar.Sa ka ndryshuar funksioni (lartësia) kur lëvizim përpara përgjatë boshtit me një distancë quhet rritja e funksionit dhe është caktuar.

Pra, derivati ​​i një funksioni është raporti me kur. Derivatin e shënojmë me të njëjtën shkronjë si funksioni, vetëm me një kryeministër lart djathtas: ose thjesht. Pra, le të shkruajmë formulën e derivatit duke përdorur këto shënime:

Ashtu si në analogjinë me rrugën, edhe këtu kur funksioni rritet, derivati ​​është pozitiv dhe kur zvogëlohet është negativ.

A mund të jetë derivati ​​i barabartë me zero? Sigurisht. Për shembull, nëse jemi duke vozitur në një rrugë të sheshtë horizontale, pjerrësia është zero. Dhe është e vërtetë, lartësia nuk ndryshon fare. Kështu është me derivatin: derivati ​​i një funksioni konstant (konstante) është i barabartë me zero:

pasi rritja e një funksioni të tillë është e barabartë me zero për çdo.

Le të kujtojmë shembullin në majë të kodrës. Doli se ishte e mundur të rregulloheshin skajet e segmentit në anët e kundërta të kulmit në atë mënyrë që lartësia në skajet të rezultojë e njëjtë, domethënë segmenti të jetë paralel me boshtin:

Por segmentet e mëdha janë një shenjë e matjes së pasaktë. Ne do ta ngremë segmentin tonë paralelisht me vetveten, atëherë gjatësia e tij do të ulet.

Përfundimisht, kur jemi pafundësisht afër majës, gjatësia e segmentit do të bëhet pafundësisht e vogël. Por në të njëjtën kohë, ai mbeti paralel me boshtin, domethënë, ndryshimi në lartësi në skajet e tij është i barabartë me zero (nuk ka tendencë, por është i barabartë me). Pra derivati

Kjo mund të kuptohet në këtë mënyrë: kur qëndrojmë në majë, një zhvendosje e vogël majtas ose djathtas ndryshon lartësinë tonë në mënyrë të papërfillshme.

Ekziston gjithashtu një shpjegim thjesht algjebrik: në të majtë të kulmit funksioni rritet, dhe në të djathtë zvogëlohet. Siç kuptuam më herët, kur një funksion rritet, derivati ​​është pozitiv, dhe kur zvogëlohet, është negativ. Por ndryshon pa probleme, pa kërcime (pasi rruga nuk e ndryshon ndjeshëm pjerrësinë askund). Prandaj, duhet të ketë midis vlerave negative dhe pozitive. Do të jetë aty ku funksioni as nuk rritet e as nuk zvogëlohet - në pikën e kulmit.

E njëjta gjë vlen edhe për luginën (zona ku funksioni në të majtë zvogëlohet dhe në të djathtë rritet):

Pak më shumë rreth rritjeve.

Pra, ne e ndryshojmë argumentin në madhësi. Nga çfarë vlere ndryshojmë? Çfarë është bërë (argumenti) tani? Ne mund të zgjedhim çdo pikë, dhe tani do të kërcejmë prej saj.

Konsideroni një pikë me një koordinatë. Vlera e funksionit në të është e barabartë. Pastaj bëjmë të njëjtën rritje: e rrisim koordinatën me. Cili është argumenti tani? Shumë e lehtë: . Cila është vlera e funksionit tani? Aty ku shkon argumenti, shkon edhe funksioni: . Po në lidhje me rritjen e funksionit? Asgjë e re: kjo është ende shuma me të cilën funksioni ka ndryshuar:

Praktikoni gjetjen e rritjeve:

1. Gjeni rritjen e funksionit në një pikë kur rritja e argumentit është e barabartë me.
2. E njëjta gjë vlen edhe për funksionin në një pikë.

Zgjidhjet:

Në pika të ndryshme me të njëjtin rritje argumenti, rritja e funksionit do të jetë e ndryshme. Kjo do të thotë që derivati ​​në secilën pikë është i ndryshëm (e diskutuam që në fillim - pjerrësia e rrugës është e ndryshme në pika të ndryshme). Prandaj, kur shkruajmë një derivat, duhet të tregojmë se në cilën pikë:

Funksioni i fuqisë.

Një funksion fuqie është një funksion ku argumenti është në një farë mase (logjik, apo jo?).

Për më tepër - në çdo masë: .

Rasti më i thjeshtë është kur eksponenti është:

Le të gjejmë derivatin e tij në një pikë. Le të kujtojmë përkufizimin e një derivati:

Pra, argumenti ndryshon nga në. Sa është rritja e funksionit?

Rritja është kjo. Por një funksion në çdo pikë është i barabartë me argumentin e tij. Kjo është arsyeja pse:

Derivati ​​është i barabartë me:

Derivati ​​i është i barabartë me:

b) Tani merrni parasysh funksionin kuadratik (): .

Tani le ta kujtojmë atë. Kjo do të thotë që vlera e rritjes mund të neglizhohet, pasi ajo është infinite e vogël, dhe për këtë arsye e parëndësishme në sfondin e termit tjetër:

Pra, ne dolëm me një rregull tjetër:

c) Vazhdojmë serinë logjike: .

Kjo shprehje mund të thjeshtohet në mënyra të ndryshme: hapni kllapin e parë duke përdorur formulën për shumëzimin e shkurtuar të kubit të shumës, ose faktorizoni të gjithë shprehjen duke përdorur formulën e diferencës së kubeve. Mundohuni ta bëni vetë duke përdorur ndonjë nga metodat e sugjeruara.

Pra, mora sa vijon:

Dhe përsëri le ta kujtojmë atë. Kjo do të thotë që ne mund të neglizhojmë të gjitha termat që përmbajnë:

Ne marrim:.

d) Rregulla të ngjashme mund të merren për fuqitë e mëdha:

e) Rezulton se ky rregull mund të përgjithësohet për një funksion fuqie me një eksponent arbitrar, madje as një numër të plotë:

Rregulli mund të formulohet me fjalët: "shkalla paraqitet si koeficient, dhe më pas zvogëlohet me ."

Këtë rregull do ta vërtetojmë më vonë (pothuajse në fund). Tani le të shohim disa shembuj. Gjeni derivatin e funksioneve:

1. (në dy mënyra: me formulë dhe duke përdorur përkufizimin e derivatit - duke llogaritur rritjen e funksionit);

1. . Besoni apo jo, ky është një funksion i fuqisë. Nëse keni pyetje si "Si është kjo? Ku është diploma?”, mbani mend temën “”!
   Po, po, edhe rrënja është shkallë, vetëm thyesore: .
   Kjo do të thotë që rrënja jonë katrore është vetëm një fuqi me një eksponent:
   .
   Ne kërkojmë derivatin duke përdorur formulën e mësuar së fundmi:

   Nëse në këtë pikë bëhet përsëri e paqartë, përsërisni temën ""!!! (rreth një shkallë me një eksponent negativ)

2. . Tani eksponenti:

   Dhe tani përmes përkufizimit (e keni harruar akoma?):
   ;
   .
   Tani, si zakonisht, ne e neglizhojmë termin që përmban:
   .

3. . Kombinimi i rasteve të mëparshme: .

Funksionet trigonometrike.

Këtu do të përdorim një fakt nga matematika e lartë:

Me shprehje.

Provën do ta mësoni në vitin e parë të institutit (dhe për të arritur atje, duhet të kaloni mirë Provimin e Shtetit të Unifikuar). Tani do ta tregoj vetëm grafikisht:

Ne shohim se kur funksioni nuk ekziston - pika në grafik është prerë. Por sa më afër vlerës, aq më afër është funksioni. Kjo është ajo që "synon".

Për më tepër, mund ta kontrolloni këtë rregull duke përdorur një kalkulator. Po, po, mos ki turp, merr një kalkulator, nuk jemi ende në Provimin e Unifikuar të Shtetit.

Pra, le të provojmë: ;

Mos harroni të kaloni kalkulatorin tuaj në modalitetin Radians!

etj. Shohim se sa më i vogël, aq më afër është vlera e raportit.

a) Merrni parasysh funksionin. Si zakonisht, le të gjejmë rritjen e tij:

Le ta kthejmë diferencën e sinuseve në produkt. Për ta bërë këtë, ne përdorim formulën (kujtoni temën ""): .

Tani derivati:

Le të bëjmë një zëvendësim: . Atëherë për infinitevogël është edhe infinite vogël: . Shprehja për merr formën:

Dhe tani e kujtojmë këtë me shprehjen. Dhe gjithashtu, çka nëse një sasi infinitimale mund të neglizhohet në shumë (që është, në).

Pra, marrim rregullin e mëposhtëm: derivati ​​i sinusit është i barabartë me kosinusin:

Këto janë derivate bazë ("tabelore"). Këtu ato janë në një listë:

Më vonë do t'u shtojmë disa të tjera, por këto janë më të rëndësishmet, pasi ato përdoren më shpesh.

Praktikoni:

1. Gjeni derivatin e funksionit në një pikë;
2. Gjeni derivatin e funksionit.

Zgjidhjet:

1. Së pari, le të gjejmë derivatin në formën e përgjithshme dhe më pas të zëvendësojmë vlerën e tij:
   ;
   .
2. Këtu kemi diçka të ngjashme me një funksion fuqie. Le të përpiqemi ta sjellim atë
   pamje normale:
   .
   E shkëlqyeshme, tani mund të përdorni formulën:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. cfare eshte kjo????

Mirë, ke të drejtë, ne nuk dimë ende si të gjejmë derivate të tillë. Këtu kemi një kombinim të disa llojeve të funksioneve. Për të punuar me ta, duhet të mësoni disa rregulla të tjera:

Logaritmi eksponent dhe natyror.

Ekziston një funksion në matematikë, derivati ​​i të cilit për çdo vlerë është i barabartë me vlerën e vetë funksionit në të njëjtën kohë. Ai quhet "eksponent" dhe është një funksion eksponencial

Baza e këtij funksioni - një konstante - është një thyesë dhjetore e pafundme, domethënë një numër irracional (si p.sh.). Quhet "numri Euler", prandaj shënohet me një shkronjë.

Pra, rregulli:

Shumë e lehtë për t'u mbajtur mend.

Epo, le të mos shkojmë larg, le të shqyrtojmë menjëherë funksionin e anasjelltë. Cili funksion është inversi i funksionit eksponencial? Logaritmi:

Në rastin tonë, baza është numri:

Një logaritëm i tillë (d.m.th., një logaritëm me bazë) quhet "natyror" dhe ne përdorim një shënim të veçantë për të: ne shkruajmë në vend të tij.

Me çfarë është e barabartë? Sigurisht, .

Derivati ​​i logaritmit natyror është gjithashtu shumë i thjeshtë:

Shembuj:

1. Gjeni derivatin e funksionit.
2. Cili është derivati ​​i funksionit?

Përgjigjet: Logaritmi eksponencial dhe natyror janë funksione unike të thjeshta nga një këndvështrim derivat. Funksionet eksponenciale dhe logaritmike me çdo bazë tjetër do të kenë një derivat të ndryshëm, të cilin do ta analizojmë më vonë, pasi të kalojmë rregullat e diferencimit.

Rregullat e diferencimit

Rregullat e çfarë? Sërish një mandat i ri, sërish?!...

Diferencimiështë procesi i gjetjes së derivatit.

Kjo eshte e gjitha. Çfarë tjetër mund ta quani këtë proces me një fjalë? Jo derivat... Matematikanët e quajnë diferencialin të njëjtën rritje të një funksioni në. Ky term vjen nga latinishtja diferencia - dallim. Këtu.

Kur nxjerrim të gjitha këto rregulla, ne do të përdorim dy funksione, për shembull, dhe. Do të na duhen gjithashtu formula për shtimet e tyre:

Gjithsej janë 5 rregulla.

Konstanta hiqet nga shenja derivatore.

Nëse - një numër konstant (konstant), atëherë.

Natyrisht, ky rregull funksionon edhe për ndryshimin: .

Le ta vërtetojmë. Le të jetë, ose më e thjeshtë.

Shembuj.

Gjeni derivatet e funksioneve:

1. në një pikë;
2. në një pikë;
3. në një pikë;
4. në pikën.

Zgjidhjet:

1. (derivati ​​është i njëjtë në të gjitha pikat, pasi është funksion linear, mbani mend?);

Derivat i produktit

Gjithçka është e ngjashme këtu: le të prezantojmë një funksion të ri dhe të gjejmë rritjen e tij:

Derivat:

Shembuj:

1. Gjeni derivatet e funksioneve dhe;
2. Gjeni derivatin e funksionit në një pikë.

Zgjidhjet:

Derivat i një funksioni eksponencial

Tani njohuritë tuaja janë të mjaftueshme për të mësuar se si të gjeni derivatin e çdo funksioni eksponencial, dhe jo vetëm eksponentë (e keni harruar akoma se çfarë është?).

Pra, ku është një numër.

Ne tashmë e dimë derivatin e funksionit, kështu që le të përpiqemi ta reduktojmë funksionin tonë në një bazë të re:

Për ta bërë këtë, ne do të përdorim një rregull të thjeshtë: . Pastaj:

Epo, funksionoi. Tani përpiquni të gjeni derivatin dhe mos harroni se ky funksion është kompleks.

Ka ndodhur?

Këtu, kontrolloni veten:

Formula doli të ishte shumë e ngjashme me derivatin e një eksponenti: siç ishte, ajo mbetet e njëjtë, u shfaq vetëm një faktor, i cili është vetëm një numër, por jo një ndryshore.

Shembuj:
Gjeni derivatet e funksioneve:

Përgjigjet:

Ky është vetëm një numër që nuk mund të llogaritet pa një kalkulator, domethënë nuk mund të shkruhet në një formë më të thjeshtë. Prandaj, e lëmë në këtë formë në përgjigje.

Derivat i një funksioni logaritmik

Është e ngjashme këtu: ju tashmë e dini derivatin e logaritmit natyror:

Prandaj, për të gjetur një logaritëm arbitrar me një bazë të ndryshme, për shembull:

Duhet ta zvogëlojmë këtë logaritëm në bazë. Si të ndryshoni bazën e një logaritmi? Shpresoj ta mbani mend këtë formulë:

Vetëm tani do të shkruajmë në vend të kësaj:

Emëruesi është thjesht një konstante (një numër konstant, pa një ndryshore). Derivati ​​merret shumë thjesht:

Derivatet e funksioneve eksponenciale dhe logaritmike nuk gjenden pothuajse kurrë në Provimin e Unifikuar të Shtetit, por nuk do të jetë e tepërt t'i njihni ato.

Derivat i një funksioni kompleks.

Çfarë është një "funksion kompleks"? Jo, ky nuk është një logaritëm dhe as një arktangjent. Këto funksione mund të jenë të vështira për t'u kuptuar (edhe pse nëse logaritmi ju duket i vështirë, lexoni temën "Logaritmet" dhe do të jeni mirë), por nga pikëpamja matematikore, fjala "kompleks" nuk do të thotë "e vështirë".

Imagjinoni një rrip të vogël transportues: dy persona janë ulur dhe bëjnë disa veprime me disa objekte. Për shembull, i pari mbështjell një çokollatë me një mbështjellës dhe i dyti e lidh me një fjongo. Rezultati është një objekt i përbërë: një çokollatë e mbështjellë dhe e lidhur me një fjongo. Për të ngrënë një çokollatë, duhet të bëni hapat e kundërt në rend të kundërt.

Le të krijojmë një tubacion të ngjashëm matematikor: së pari do të gjejmë kosinusin e një numri, dhe më pas do të vendosim në katror numrin që rezulton. Pra, na jepet një numër (çokollatë), unë gjej kosinusin e saj (mbështjellësin) dhe pastaj ju katrore atë që kam marrë (lidheni me një fjongo). Cfare ndodhi? Funksioni. Ky është një shembull i një funksioni kompleks: kur, për të gjetur vlerën e tij, ne kryejmë veprimin e parë drejtpërdrejt me variablin, dhe më pas një veprim të dytë me atë që rezultoi nga i pari.

Ne mund t'i bëjmë lehtësisht të njëjtat hapa në rend të kundërt: fillimisht ju e vendosni në katror dhe unë më pas kërkoj kosinusin e numrit që rezulton: . Është e lehtë të merret me mend se rezultati pothuajse gjithmonë do të jetë i ndryshëm. Një tipar i rëndësishëm i funksioneve komplekse: kur ndryshon rendi i veprimeve, funksioni ndryshon.

Me fjale te tjera, një funksion kompleks është një funksion, argumenti i të cilit është një funksion tjetër: .

Për shembullin e parë,.

Shembulli i dytë: (e njëjta gjë). .

Veprimi që bëjmë i fundit do të quhet funksioni "i jashtëm"., dhe veprimi i kryer së pari - në përputhje me rrethanat funksioni "i brendshëm".(këto janë emra joformalë, i përdor vetëm për të shpjeguar materialin në gjuhë të thjeshtë).

Mundohuni të përcaktoni vetë se cili funksion është i jashtëm dhe cili i brendshëm:

Përgjigjet: Ndarja e funksioneve të brendshme dhe të jashtme është shumë e ngjashme me ndryshimin e variablave: për shembull, në një funksion

1. Çfarë veprimi do të kryejmë së pari? Së pari, le të llogarisim sinusin, dhe vetëm pastaj ta kubikeojmë atë. Kjo do të thotë se është një funksion i brendshëm, por i jashtëm.
   Dhe funksioni origjinal është përbërja e tyre: .
2. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .
3. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .
4. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .
5. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .

Ne ndryshojmë variablat dhe marrim një funksion.

Epo, tani do të nxjerrim shiritin tonë të çokollatës dhe do të kërkojmë derivatin. Procedura është gjithmonë e kundërt: fillimisht kërkojmë derivatin e funksionit të jashtëm, pastaj shumëzojmë rezultatin me derivatin e funksionit të brendshëm. Në lidhje me shembullin origjinal, duket kështu:

Një shembull tjetër:

Pra, le të formulojmë më në fund rregullin zyrtar:

Algoritmi për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:

Duket e thjeshtë, apo jo?

Le të kontrollojmë me shembuj:

Zgjidhjet:

1) E brendshme: ;

E jashtme: ;

2) E brendshme: ;

(Vetëm mos u përpiqni ta shkurtoni deri tani! Asgjë nuk del nga kosinusi, mbani mend?)

3) E brendshme: ;

E jashtme: ;

Është menjëherë e qartë se ky është një funksion kompleks me tre nivele: në fund të fundit, ky tashmë është një funksion kompleks në vetvete, dhe ne gjithashtu nxjerrim rrënjën prej tij, domethënë kryejmë veprimin e tretë (e vendosim çokollatën në një mbështjellës dhe me një fjongo në çantë). Por nuk ka asnjë arsye për t'u frikësuar: ne ende do ta "zhpaketojmë" këtë funksion në të njëjtin rend si zakonisht: nga fundi.

Domethënë, së pari dallojmë rrënjën, pastaj kosinusin dhe vetëm më pas shprehjen në kllapa. Dhe pastaj ne i shumëzojmë të gjitha.

Në raste të tilla, është e përshtatshme të numërohen veprimet. Kjo do të thotë, le të imagjinojmë atë që dimë. Me çfarë radhe do të kryejmë veprimet për të llogaritur vlerën e kësaj shprehjeje? Le të shohim një shembull:

Sa më vonë të kryhet veprimi, aq më "i jashtëm" do të jetë funksioni përkatës. Sekuenca e veprimeve është e njëjtë si më parë:

Këtu foleja është përgjithësisht me 4 nivele. Le të përcaktojmë rrjedhën e veprimit.

1. Shprehje radikale. .

2. Rrënja. .

3. Sinus. .

4. Sheshi. .

5. Duke i bashkuar të gjitha:

DERIVATIV. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Derivat i një funksioni- raporti i rritjes së funksionit ndaj rritjes së argumentit për një rritje infinite të vogël të argumentit:

Derivatet bazë:

Rregullat e diferencimit:

Konstanta hiqet nga shenja derivatore:

Derivati ​​i shumës:

Derivati ​​i produktit:

Derivati ​​i herësit:

Derivati ​​i një funksioni kompleks:

Algoritmi për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:

1. Përcaktojmë funksionin "të brendshëm" dhe gjejmë derivatin e tij.
2. Përcaktojmë funksionin "të jashtëm" dhe gjejmë derivatin e tij.
3. Ne shumëzojmë rezultatet e pikës së parë dhe të dytë.

Synimi: Prezantoni konceptet e "rritjes së argumentit", "rritjes së funksionit" dhe mësoni studentët të gjejnë rritjen e një funksioni.

Metodat: histori.

Pajisjet: Dërrasë e zezë, karta detyrash, kompjuter (mundësisht).

Përkufizimet: Rritja e argumentit, rritja e funksionit.

Plani i mësimit:

1. Moment organizativ (1 minutë).

2. Prezantimi i materialit të ri (10 minuta).

3. Zgjidhja e ushtrimeve (10 minuta).

4. Punë e pavarur (20 minuta).

5. Përmbledhja e mësimit (3 minuta).

6. Detyrë shtëpie (1 minutë).

Shkarko:

Pamja paraprake:

Tema: Rritja e funksionit

Synimi: Prezantoni konceptet e "rritjes së argumentit", "rritjes së funksionit" dhe mësoni studentët të gjejnë rritjen e një funksioni.

Metodat: tregim.

Pajisjet: Dërrasë e zezë, karta detyrash, kompjuter (mundësisht).

Përkufizimet : Rritja e argumentit, rritja e funksionit.

Plani i mësimit:

1. Moment organizativ (1 minutë).

2. Prezantimi i materialit të ri (10 minuta).

3. Zgjidhja e ushtrimeve (10 minuta).

4. Punë e pavarur (20 minuta).

5. Përmbledhja e mësimit (3 minuta).

6. Detyrë shtëpie (1 minutë).

Gjatë orëve të mësimit:

1. Koha e organizimit.

Arritja e disiplinës në klasë. Kontrolloni gatishmërinë e nxënësve për mësimin dhe mobilizoni vëmendjen e tyre.

1. Prezantimi i materialit të ri.

Le të jetë y=f(x) një funksion, x dhe x 0 - dy vlera të ndryshores së pavarur nga D(f); atëherë diferenca x - x o quhet rritje e ndryshores së pavarur (ose rritje e argumentit) dhe shënohet∆ x (lexoni "delta x"). Kështu,∆ x = x - x o (1).

Nga barazia (1) del se x = x o + ∆x (2), d.m.th. kuptimi origjinalndryshorja mori një rritje∆x. Prandaj, vlera e funksionit do të ndryshojë me shumën

f (x) - f (x 0) = f (x 0 + ∆x) - f (x 0). (3)

Dallimi midis vlerës së funksionit të ri f (x 0 + ∆x) dhe kuptimin e tij origjinal f(x0) quhet rritja e një funksioni në një pikë x 0 dhe tregohet me simbolin∆ f (x 0) (lexohet “delta ef në pikën x 0 "), pra ∆ f (x 0) = f (x 0 + ∆x) - f (x 0). (4)

Rritja e funksionit f në një pikë të caktuar x 0 shënohet shkurt me∆f ose ∆y.

Shembull Për funksionin y = x 2, gjeni ∆y nëse x = 2,5, x 0 = 2.

Zgjidhje . Kemi ∆ y = y (x 0 + ∆x) - y (x 0) = y(2.5) - y(2) = 6.25 - 4 = 2.25.

1. Zgjidhja e ushtrimeve

1. Gjeni shtesat∆ x dhe ∆y në pikën x 0, nëse y = x 2, x 0 = 2 dhe

a) x = 1,9; b) x = 2.1. (Përgjigje: a) -0,39; b) 0,41)

2. Jepet funksioni y = x 2 + 2x – 4. Gjeni rritje∆y në x = 2 dhe ∆x = 0,5. (Përgjigje: 3.25)

3. Jepet funksioni y = 1/x . Gjeni rritje∆y në x = 1 dhe ∆x = 0,2. (Përgjigje: -1/6)

4. Brinjët e drejtkëndëshit janë 15 m dhe 20 m Gjeni shtesat e perimetrit dhe sipërfaqes së tij nëse: 1) brinja e tij më e vogël është rritur me 0,11 m; 2) ana e saj më e madhe u rrit me 0,2 m.

1. Punë e pavarur.

Puna e pavarur kryhet nga studentët në fletoret e punës në një version, detyra jepet në karta.

1. Jepet funksioni y=2x+5, gjeni:

1) x dhe ∆y, nëse x 0 = 3 dhe ∆x = 0,2; 2) x dhe ∆y, nëse x 0 = 4 dhe ∆x = 0,06; 3) ∆y, nëse x 0 = 4 dhe ∆x = 0,1; 4) ∆y, nëse x 0 = 7 dhe ∆x = 0,01.

Përgjigjet:

1.1)3,2; 0,4; 3) 0,2.

2.1) 0,5; 2,25; 2) 0,15; 1,1475; 4) -0,2; 1,04.

3.1) 3/7; -1/14; 3) -33/35.

4. 1) 0,135; 2) 0,06.

1. Duke përmbledhur mësimin.

Nxënësit shkëmbejnë fletore me shokët e tyre të punës dhe kontrollojnë zgjidhjet dhe kontrollojnë përgjigjen me mësuesin. Mësuesi mund t'i ketë vendosur tashmë përgjigjet e sakta në tabelë, por përkohësisht janë të fshehura nga nxënësit; ndoshta përgjigjet janë bërë publike duke përdorur multimedia (kompjuter).

Mësuesi dhe nxënësit diskutojnë për rezultatet e marra.

Pyetje vetë-testimi:

1) Çfarë quhet rritje argumenti?

2) Si quhet rritja e një funksioni?

Njihni nxënësit që u përfshinë aktivisht në mësim.

1. Detyre shtepie.

1. Gjeni shtimin e argumentit dhe funksionit nëse 1), x 0 = , x = ;

2), x 0 = 2,5, x = 2,6.

2 . a) Rrezja e rrethit është 2 cm Gjeni gabimin e bërë gjatë llogaritjes së sipërfaqes së tij nëse gabimi në matjen e gjatësisë së rrezes është: 1) 0,2 cm; 2)∆R ; 3) 0,1 cm; 4) h.

b) Buza e kubit x mori një rritje∆ x. Gjeni shtimin në sipërfaqen totale të kubit.

2) Dilni me veten tuaj dhe zgjidhni dy shembuj për këtë temë në fletoret tuaja të detyrave të shtëpisë dhe shkruani kushtet e shembujve në një copë letër.

3) Simulatori nr. 1 (shih.Shtojca e mësimit)

Shtojca e mësimit

Simulatori Nr. 1 LLOGARITJA E RRITJEVE TË NJË FUNKSIONI

1. Llogaritni rritjen e funksionit y=f(x) në intervalin:

1. Llogaritni rritjen e funksionit y=f(x) në intervalin [ x; x + ∆ x]: