Co to jest model analityczny funkcji liniowej. Funkcja liniowa. Szczegółowa teoria z przykładami (2019). Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Instrukcje

Aby znaleźć współrzędne punktu na linii, zaznacz go na linii i narysuj linie prostopadłe na osi współrzędnych. Określ, jakiej liczbie odpowiada punkt przecięcia, przecięcie z osią x to wartość odciętej, czyli x1, przecięcie z osią y to rzędna, y1.

Spróbuj wybrać punkt, którego współrzędne można określić bez wartości ułamkowych, dla wygody i dokładności obliczeń. Do skonstruowania równania potrzebne są co najmniej dwa punkty. Znajdź współrzędne innego punktu należącego do tej prostej (x2, y2).

Podstaw wartości współrzędnych do równania prostej o ogólnej postaci y=kx+b. Otrzymasz układ dwóch równań y1=kx1+b i y2=kx2+b. Rozwiąż ten układ na przykład w następujący sposób.

Wyraź b z pierwszego równania i podstaw do drugiego, znajdź k, podstaw do dowolnego równania i znajdź b. Przykładowo rozwiązanie układu 1=2k+b i 3=5k+b będzie wyglądać następująco: b=1-2k, 3=5k+(1-2k); 3k=2, k=1,5, b=1-2*1,5=-2. Zatem równanie prostej wynosi y=1,5x-2.

Znając dwa punkty należące do prostej, spróbuj zastosować równanie kanoniczne prostej, wygląda to tak: (x - x1)/(x2 - x1) = (y - y1)/(y2 - y1). Zastąp wartości (x1;y1) i (x2;y2), uprość. Przykładowo punkty (2;3) i (-1;5) należą do linii prostej (x-2)/(-1-2)=(y-3)/(5-3); -3(x-2)=2(y-3); -3x+6=2y-6; 2y=12-3x lub y=6-1,5x.

Aby znaleźć równanie funkcji o wykresie nieliniowym, wykonaj następujące czynności. Wyświetl wszystkie standardowe wykresy y=x^2, y=x^3, y=√x, y=sinx, y=cosx, y=tgx itp. Jeśli któryś z nich przypomina Ci o Twoim harmonogramie, użyj go jako podstawy.

Narysuj standardowy wykres funkcji bazowej na tej samej osi współrzędnych i znajdź go na swoim wykresie. Jeśli przesuniemy wykres o kilka jednostek w górę lub w dół, oznacza to, że liczba ta została dodana do funkcji (np. y=sinx+4). Jeśli przesuniemy wykres w prawo lub w lewo, oznacza to, że do argumentu została dodana liczba (np. y=sin (x+P/2).

Wydłużony wykres wysokości wskazuje, że funkcja argumentu jest mnożona przez pewną liczbę (na przykład y=2sinx). Jeśli natomiast wykres zostanie zmniejszony, oznacza to, że liczba przed funkcją jest mniejsza niż 1.

Porównaj wykres funkcji bazowej i swojej funkcji według szerokości. Jeśli jest węższy, to x jest poprzedzone liczbą większą niż 1, szerokie - liczbą mniejszą niż 1 (na przykład y=sin0,5x).

notatka

Być może wykres odpowiada znalezionemu równaniu tylko na pewnym odcinku. W takim przypadku wskaż, dla jakich wartości x zachodzi uzyskana równość.

Linia prosta jest linią algebraiczną pierwszego rzędu. W kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie równanie prostej wyraża się równaniem pierwszego stopnia.

Będziesz potrzebować

• Znajomość geometrii analitycznej. Podstawowa znajomość algebry.

Instrukcje

Równanie jest dane przez dwa, po których musi przechodzić ta prosta. Zróbmy stosunek współrzędnych tych punktów. Niech pierwszy punkt będzie miał współrzędne (x1,y1), a drugi (x2,y2), wtedy równanie prostej zapiszemy następująco: (x-x1)/(x2-x1) = (y-y1 )(y2-y1).

Przekształćmy otrzymane równanie linii prostej i wyrażmy y jawnie w postaci x. Po tej operacji równanie prostej przyjmie ostateczną postać: y=(x-x1)/((x2-x1)*(y2-y1))+y1.

Wideo na ten temat

notatka

Jeżeli jedna z liczb w mianowniku wynosi zero, oznacza to, że linia jest równoległa do jednej z osi współrzędnych.

Pomocna rada

Po zapisaniu równania prostej sprawdź jego poprawność. Aby to zrobić, zamień współrzędne punktów zamiast odpowiednich współrzędnych i upewnij się, że równość jest spełniona.

Często wiadomo, że y zależy liniowo od x i podany jest wykres tej zależności. W takim przypadku można znaleźć równanie linii. Najpierw musisz wybrać dwa punkty na linii prostej.

Instrukcje

Znajdź wybrane punkty. Aby to zrobić, opuść prostopadłe z punktów na osi współrzędnych i zapisz liczby ze skali. Zatem dla punktu B z naszego przykładu współrzędna x wynosi -2, a współrzędna y wynosi 0. Podobnie dla punktu A współrzędne będą wynosić (2;3).

Wiadomo, że prosta ma postać y = kx + b. Podstawiamy współrzędne wybranych punktów do równania w postaci ogólnej, wówczas dla punktu A otrzymujemy równanie: 3 = 2k + b. Dla punktu B otrzymujemy kolejne równanie: 0 = -2k + b. Oczywiście mamy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi: k i b.

Następnie rozwiązujemy układ w dowolny dogodny sposób. W naszym przypadku możliwe jest dodanie równań układu, ponieważ niewiadoma k jest uwzględniona w obu równaniach ze współczynnikami o identycznej wielkości, ale o przeciwnym znaku. Wtedy otrzymujemy 3 + 0 = 2k - 2k + b + b, czyli co to samo: 3 = 2b. Zatem b = 3/2. Podstaw znalezioną wartość b do dowolnego równania, aby znaleźć k. Wtedy 0 = -2k + 3/2, k = 3/4.

Podstawiamy znalezione k i b do równania ogólnego i otrzymujemy pożądane równanie prostej: y = 3x/4 + 3/2.

Wideo na ten temat

notatka

Współczynnik k nazywany jest nachyleniem linii i jest równy tangensowi kąta między linią a osią x.

Linię prostą można poprowadzić z dwóch punktów. Współrzędne tych punktów są „ukryte” w równaniu prostej. Równanie powie ci wszystkie sekrety dotyczące linii: jak jest obracana, po której stronie płaszczyzny współrzędnych się znajduje itp.

Instrukcje

Częściej wymagane jest budowanie w samolocie. Każdy punkt będzie miał dwie współrzędne: x, y. Zwróć uwagę na równanie, ma ono ogólną postać: y=k*x ±b, gdzie k, b są liczbami wolnymi, a y, x są takimi samymi współrzędnymi wszystkich punktów na prostej. znajdź współrzędną y, którą musisz znać współrzędną x Najciekawsze jest to, że możesz wybrać dowolną wartość współrzędnej x: z całej nieskończoności znanych liczb. Następnie podstaw x do równania i rozwiąż je, aby znaleźć y. Przykład. Niech będzie dane równanie: y=4x-3. Wymyśl dowolne dwie wartości współrzędnych dwóch punktów. Na przykład x1 = 1, x2 = 5. Podstaw te wartości do równań, aby znaleźć współrzędne y. y1 = 4*1 – 3 = 1. y2 = 4*5 – 3 = 17. Otrzymujemy dwa punkty A i B, A (1; 1) i B (5; 17).

Należy nanieść znalezione punkty na oś współrzędnych, połączyć je i zobaczyć bardzo prostą linię opisaną równaniem. Aby skonstruować linię prostą, musisz pracować w kartezjańskim układzie współrzędnych. Narysuj osie X i Y. Ustaw wartość na „zero” w punkcie przecięcia. Narysuj liczby na osiach.

W skonstruowanym układzie zaznacz dwa punkty znalezione w kroku 1. Zasada wyznaczania wskazanych punktów: punkt A ma współrzędne x1 = 1, y1 = 1; na osi X wybierz liczbę 1, na osi Y – liczbę 1. W tym punkcie znajduje się punkt A. Punkt B ma wartości x2 = 5, y2 = 17. Analogicznie znajdź punkt B na wykresie. Połącz punkty A i B, aby utworzyć linię prostą.

Wideo na ten temat

Termin rozwiązywanie funkcji jako takiej nie jest używany w matematyce. Przez to sformułowanie należy rozumieć wykonanie określonych działań na danej funkcji w celu znalezienia określonej cechy, a także znalezienie danych niezbędnych do zbudowania wykresu funkcji.

Instrukcje

Można rozważyć przybliżony diagram, według którego zachowanie funkcji jest właściwe i zbudować jej wykres.
Znajdź dziedzinę funkcji. Określ, czy funkcja jest parzysta czy nieparzysta. Jeśli znajdziesz żądaną odpowiedź, kontynuuj tylko na wymaganej półosi. Określ, czy funkcja jest okresowa. Jeśli odpowiedź jest pozytywna, kontynuuj badanie tylko przez jeden okres. Znajdź punkty i określ jego zachowanie w pobliżu tych punktów.

Znajdź punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami współrzędnych. Znajdź je, jeśli istnieją. Użyj pierwszej pochodnej, aby sprawdzić funkcję dla ekstremów i przedziałów monotoniczności. Przeprowadź także badanie wykorzystując drugą pochodną dla wypukłości, wklęsłości i punktów przegięcia. Wybierz punkty, aby zawęzić funkcję i obliczyć przy nich wartości funkcji. Skonstruuj wykres funkcji, biorąc pod uwagę wyniki uzyskane ze wszystkich przeprowadzonych badań.

Na osi 0X należy zidentyfikować punkty charakterystyczne: punkty nieciągłości, x = 0, zera funkcji, punkty ekstremów, punkty przegięcia. Te asymptoty dadzą szkic wykresu funkcji.

Zatem korzystając z konkretnego przykładu funkcji y=((x^2)+1)/(x-1) przeprowadź badanie wykorzystując pierwszą pochodną. Przepisz funkcję jako y=x+1+2/(x-1). Pierwsza pochodna będzie równa y’=1-2/((x-1)^2).
Znajdź punkty krytyczne pierwszego rodzaju: y’=0, (x-1)^2=2, wynikiem będą dwa punkty: x1=1-sqrt2, x2=1+sqrt2. Uzyskane wartości zaznacz w dziedzinie definicji funkcji (ryc. 1).
Wyznacz znak pochodnej na każdym z przedziałów. Bazując na zasadzie naprzemiennych znaków od „+” do „-” i od „-” do „+”, otrzymujemy, że maksymalny punkt funkcji wynosi x1=1-sqrt2, a minimalny punkt to x2=1+ sqrt2. Ten sam wniosek można wyciągnąć ze znaku drugiej pochodnej.

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

• Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z przepisami prawa, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Masłowa Angelina

Praca naukowa z matematyki. Angelina opracowała komputerowy model funkcji liniowej, na podstawie którego przeprowadziła badania.

Pobierać:

Zapowiedź:

Miejska autonomiczna placówka oświatowa szkoła średnia nr 8 rejonu miejskiego Bor, obwód Niżny Nowogród

Praca naukowa z zakresu informatyki i matematyki

Ukończyła uczennica klasy 7A, Angelina Maslova

Kierownik: nauczyciel informatyki, Voronina Anna Alekseevna.

Dzielnica Miejska Bor - 2015

Wstęp

1. Odkrywanie funkcji liniowych w arkuszach kalkulacyjnych

Wniosek

Bibliografia

Wstęp

W tym roku na lekcjach algebry zapoznaliśmy się z funkcjami liniowymi. Nauczyliśmy się budować wykres funkcji liniowej, ustaliliśmy jak powinien zachowywać się wykres funkcji w zależności od jej współczynników. Nieco później na lekcji informatyki dowiedzieliśmy się, że działania te można uznać za modelowanie matematyczne. Postanowiłem sprawdzić, czy możliwe jest zbadanie funkcji liniowej za pomocą arkuszy kalkulacyjnych.

Cel pracy: eksploruj funkcje liniowe w arkuszach kalkulacyjnych

Cele badań:

• znajdować i badać informacje na temat funkcji liniowej;
• zbudować model matematyczny funkcji liniowej w arkuszu kalkulacyjnym;
• zbadać funkcję liniową za pomocą skonstruowanego modelu.

Przedmiot badań:modelowanie matematyczne.

Przedmiot badań:model matematyczny funkcji liniowej.

Modelowanie jako metoda poznania

Człowiek doświadcza świata niemal od urodzenia. Aby to zrobić, osoba korzysta z modeli, które mogą być bardzo różnorodne.

Model to nowy obiekt, który odzwierciedla pewne istotne właściwości obiektu rzeczywistego.

Modele rzeczywistych obiektów wykorzystywane są w różnych sytuacjach:

1. Gdy obiekt jest bardzo duży (na przykład Ziemia jest modelem: globusem lub mapą) lub odwrotnie, zbyt mały (komórka biologiczna).
2. Gdy obiekt ma bardzo złożoną konstrukcję (samochód – model: samochód dziecięcy).
3. Kiedy obiekt jest niebezpieczny do badania (wulkan).
4. Gdy obiekt jest bardzo daleko.

Modelowanie to proces tworzenia i badania modelu.

Modele tworzymy i wykorzystujemy sami, czasami nawet o tym nie myśląc. Na przykład robimy zdjęcia jakiegoś wydarzenia z naszego życia, a następnie pokazujemy je naszym przyjaciołom.

Ze względu na rodzaj informacji wszystkie modele można podzielić na kilka grup:

1. Modele werbalne. Modele te mogą występować w formie ustnej lub pisemnej. Może to być po prostu słowny opis przedmiotu lub wiersz, może to być artykuł w gazecie lub esej – wszystko to są modele werbalne.
2. Modele graficzne. Są to nasze rysunki, fotografie, diagramy i wykresy.
3. Ikoniczne modele. Są to modele zapisane w jakimś symbolicznym języku: notatki, wzory matematyczne, fizyczne lub chemiczne.

Funkcja liniowa i jej własności

Funkcja liniowanazywamy funkcją formy

Wykres funkcji liniowej jest linią prostą.

1 . Aby wykreślić funkcję, potrzebujemy współrzędnych dwóch punktów należących do wykresu funkcji. Aby je znaleźć, musisz wziąć dwie wartości x, podstawić je do równania funkcji i użyć ich do obliczenia odpowiednich wartości y.

Na przykład, aby wykreślić funkcję, wygodny do podjęcia i , to rzędne tych punktów będą równe I .

Otrzymujemy punkty A(0;2) i B(3;3). Połączmy je i otrzymamy wykres funkcji:

2 . W równaniu funkcji y=kx+b współczynnik k odpowiada za nachylenie wykresu funkcji:

Współczynnik b odpowiada za przesunięcie wykresu wzdłuż osi OY:

Poniższy rysunek przedstawia wykresy funkcji; ;

Należy pamiętać, że we wszystkich tych funkcjach współczynnik większy od zera w prawo . Co więcej, im większa wartość, tym bardziej stroma jest linia prosta.

We wszystkich funkcjach– i widzimy, że wszystkie wykresy przecinają oś OY w punkcie (0;3)

Przyjrzyjmy się teraz wykresom funkcji; ;

Tym razem we wszystkich funkcjach współczynnika mniej niż zero , a wszystkie wykresy funkcji są nachylone lewy . Współczynnik b jest taki sam, b=3, a wykresy tak jak w poprzednim przypadku przecinają oś OY w punkcie (0;3)

Spójrzmy na wykresy funkcji; ;

Teraz we wszystkich równaniach funkcyjnych współczynnikisą równe. I mamy trzy równoległe linie.

Ale współczynniki b są różne i te wykresy przecinają oś OY w różnych punktach:

Wykres funkcji (b=3) przecina oś OY w punkcie (0;3)

Wykres funkcji (b=0) przecina oś OY w punkcie (0;0) - początek.

Wykres funkcji (b=-2) przecina oś OY w punkcie (0;-2)

Jeśli więc znamy znaki współczynników k i b, to od razu możemy sobie wyobrazić, jak wygląda wykres funkcji.

Jeśli k 0, następnie wykres funkcji ma postać:

Jeśli k>0 i b>0 , następnie wykres funkcji ma postać:

Jeśli k > 0 i b , następnie wykres funkcji ma postać:

Jeśli k, następnie wykres funkcji ma postać:

Jeśli k=0 , to funkcja zamienia się w funkcjęa jego wykres wygląda następująco:

Współrzędne wszystkich punktów na wykresie funkcji równy

Jeśli b=0 , a następnie wykres funkcjiprzechodzi przez początek:

4. Warunek równoległości dwóch prostych:

Wykres funkcji równolegle do wykresu funkcji, Jeśli

5. Warunek prostopadłości dwóch prostych:

Wykres funkcji prostopadle do wykresu funkcji, jeśli lub

6 . Punkty przecięcia wykresu funkcjiz osiami współrzędnych.

Z osią OY. Odcięta dowolnego punktu należącego do osi OY jest równa zeru. Dlatego, aby znaleźć punkt przecięcia z osią OY, należy w równaniu funkcji zamiast x zastąpić zero. Otrzymujemy y=b. Oznacza to, że punkt przecięcia z osią OY ma współrzędne (0; b).

Z osią OX: Współrzędna dowolnego punktu należącego do osi OX jest równa zeru. Dlatego, aby znaleźć punkt przecięcia z osią OX, należy w równaniu funkcji zastąpić zero zamiast y. Otrzymujemy 0=kx+b. Stąd. Oznacza to, że punkt przecięcia z osią OX ma współrzędne (;0):

Odkrywanie funkcji liniowych w arkuszach kalkulacyjnych

Aby zbadać funkcję liniową w środowisku arkusza kalkulacyjnego, skompilowałem następujący algorytm:

1. Zbuduj model matematyczny funkcji liniowej w arkuszu kalkulacyjnym.
2. Wypełnij tabelę śledzenia wartości argumentów i funkcji.
3. Wykreśl funkcję liniową za pomocą Kreatora wykresów.
4. Poznaj funkcję liniową w zależności od wartości współczynników.

Do badania funkcji liniowej użyłem programu Microsoft Office Excel 2007. Do zestawiania tabel wartości argumentów i funkcji wykorzystałem formuły. Otrzymałem następującą tabelę wartości:

Korzystając z takiego modelu matematycznego, można łatwo monitorować zmiany na wykresie funkcji liniowej, zmieniając wartości współczynników w tabeli.

Korzystając z arkuszy kalkulacyjnych, postanowiłem także monitorować, jak zmienia się względne położenie wykresów dwóch funkcji liniowych. Po zbudowaniu nowego modelu matematycznego w arkuszu kalkulacyjnym otrzymałem następujący wynik:

Zmieniając współczynniki dwóch funkcji liniowych, utwierdziłem się w przekonaniu o słuszności poznanych informacji o właściwościach funkcji liniowych.

Wniosek

Funkcja liniowa w algebrze jest uważana za najprostszą. Ale jednocześnie ma wiele właściwości, które nie są od razu jasne. Po zbudowaniu modelu matematycznego funkcji liniowej w arkuszach kalkulacyjnych i zbadaniu go, właściwości funkcji liniowej stały się dla mnie bardziej jasne. Wyraźnie widziałem, jak zmienia się wykres, gdy zmieniają się współczynniki funkcji.

Myślę, że zbudowany przeze mnie model matematyczny pomoże uczniom siódmej klasy samodzielnie zbadać funkcję liniową i lepiej ją zrozumieć.

Bibliografia

1. Podręcznik do algebry dla klasy 7.
2. Podręcznik do informatyki dla klasy 7
3. Wikipedia.org

Zapowiedź:

Aby skorzystać z podglądu prezentacji utwórz konto Google i zaloguj się na nie: https://accounts.google.com

Podpisy slajdów:

Przedmiot badań: funkcja liniowa. Przedmiot badań: model matematyczny funkcji liniowej.

Cel pracy: badanie funkcji liniowej w arkuszach kalkulacyjnych Cele badawcze: wyszukiwanie i badanie informacji o funkcji liniowej; zbudować model matematyczny funkcji liniowej w arkuszu kalkulacyjnym; zbadać funkcję liniową za pomocą skonstruowanego modelu.

Funkcja liniowa jest funkcją w postaci y= k x+ b, gdzie x jest argumentem, a k i b to liczby (współczynniki).Wykres funkcji liniowej jest linią prostą.

Rozważmy funkcję y=kx+b taką, że k 0 , b=0 . Widok: y=kx W jednym układzie współrzędnych skonstruujemy wykresy tych funkcji: y=3x y=x y=-7x Każdy wykres skonstruujemy odpowiednim kolorem x 0 1 y 0 3 x 0 1 y 0 1 x 0 1 0 7

Wykres funkcji liniowej postaci y = k x przechodzi przez początek. y=x y=3x y=-7x y x

Wniosek: Wykres funkcji liniowej postaci y = kx + b przecina oś O Y w punkcie (0; b).

Rozważmy funkcję y=kx+b, gdzie k=0. Widok: y=b W jednym układzie współrzędnych konstruujemy wykresy funkcji: y=4 y=-3 y=0 Każdy wykres konstruujemy odpowiednim kolorem

Wykres funkcji liniowej postaci y = b przebiega równolegle do osi OX i przecina oś O Y w punkcie (0; b). y=4 y=-3 y=0 y x

W jednym układzie współrzędnych konstruujemy wykresy funkcji: Y=2x Y=2x+ 3 Y=2x-4 Każdy wykres konstruujemy odpowiednim kolorem x 0 1 y 0 2 x 0 1 y 3 5 x 0 1 y -4 -2

Wykresy funkcji liniowych postaci y=kx+b są równoległe, jeśli współczynniki x są takie same. y =2x+ 3 y =2x y =2x-4 y x

W jednym układzie współrzędnych skonstruujemy wykresy funkcji: y=3x+4 Y= - 2x+4 Skonstruujemy wykresy o odpowiednim kolorze x 0 1 y 4 7 x 0 1 y 4 2

Wykresy dwóch funkcji liniowych postaci y=kx+b przecinają się, jeśli współczynniki x są różne. y x

W jednym układzie współrzędnych skonstruujemy wykresy funkcji: y=0, 5x-2 y=-2x-4 y= 4 x-1 y=- 0, 2 5 x- 3 x 0 4 y x 0 -2 y -4 0 x 0 4 lata -2 0 x 0 1 lata -1 3 x 0 - 4 lata -3 -2

y=0, 5x-2 y=-2x-4 y= 4 x-1 y=- 0, 2 5 x- 3 Wykresy dwóch funkcji liniowych postaci y=kx+b są wzajemnie prostopadłe, jeśli iloczyn współczynniki x wynoszą „-1”.

Dlatego współczynnik k nazywamy nachyleniem prostej – wykresem funkcji y=kx+ b. Jeżeli k 0, to kąt nachylenia wykresu do osi O X jest ostry. Funkcja wzrasta. y x y x

Arkusz

Arkusz

Równania liniowe Warunek algebraiczny Wyprowadzenie geometryczne y = k 1 x+ b 1 k 1 = k 2, b 1 ≠ b 2 y = k 2 x+ b 2 k 1 = k 2, b 1 = b 2 k 1 ≠ k 2 k 1 * do 2 = -1 Linie są równoległe Linie są zbieżne Linie są prostopadłe Linie przecinają się

Zbudowany przeze mnie model matematyczny pomoże uczniom siódmej klasy samodzielnie zbadać funkcję liniową i lepiej ją zrozumieć.

Klasa: 7

Funkcja zajmuje jedno z czołowych miejsc w szkolnym kursie algebry i ma liczne zastosowania w innych naukach. Na początku badania, dla motywacji i aktualizacji pytania, informuję, że bez pełnego opisu matematycznego nie da się zbadać ani jednego zjawiska, ani jednego procesu w przyrodzie, żadnej maszyny nie da się zbudować, a następnie działać. . Jednym z narzędzi do tego jest funkcja. Jego nauka rozpoczyna się w siódmej klasie, z reguły dzieci nie zagłębiają się w definicję. Szczególnie trudno dostępnymi pojęciami są dziedzina definicji i dziedzina znaczenia. Wykorzystując znane powiązania między wielkościami w zagadnieniach ruchu i wartości, przekładam je na język funkcji, zachowując związek z jej definicją. W ten sposób uczniowie rozwijają koncepcję funkcji na poziomie świadomym. Na tym samym etapie trwają żmudne prace nad nowymi pojęciami: dziedzina definicji, dziedzina wartości, argument, wartość funkcji. Wykorzystuję naukę zaawansowaną: wprowadzam notację D(y), E(y), wprowadzam pojęcie zera funkcji (analitycznie i graficznie), przy rozwiązywaniu ćwiczeń z polami stałego znaku. Im wcześniej i częściej uczniowie spotykają się z trudnymi pojęciami, tym lepiej stają się ich świadomi na poziomie pamięci długotrwałej. Przy badaniu funkcji liniowej wskazane jest wykazanie powiązania z rozwiązaniem równań i układów liniowych, a później z rozwiązaniem nierówności liniowych i ich układów. Na wykładzie studenci otrzymują duży blok (moduł) nowych informacji, dlatego pod koniec wykładu materiał jest „wykręcany” i sporządzane jest podsumowanie, które studenci muszą znać. Umiejętności praktyczne rozwijane są w procesie wykonywania ćwiczeń różnymi metodami, które opierają się na indywidualnej i samodzielnej pracy.

Funkcja liniowa jest bardzo często spotykana w praktyce. Długość pręta jest liniową funkcją temperatury. Długość szyn i mostów jest również liniową funkcją temperatury. Odległość przebyta przez pieszego, pociąg lub samochód ze stałą prędkością jest liniową funkcją czasu podróży.

Funkcja liniowa opisuje szereg zależności i praw fizycznych. Przyjrzyjmy się niektórym z nich.

1) l = l о (1+at) – rozszerzalność liniowa ciał stałych.

2) v = v о (1+bt) – rozszerzalność objętościowa ciał stałych.

3) p=p o (1+at) – zależność rezystywności przewodników stałych od temperatury.

4) v = v o + at – prędkość ruchu jednostajnie przyspieszonego.

5) x= x o + vt – współrzędna ruchu jednostajnego.

Zadanie 1. Wyznacz funkcję liniową na podstawie danych tabelarycznych:

Rozwiązanie. y= kx+b, problem sprowadza się do rozwiązania układu równań: 1=k 1+b i 3=k 3 + b

Odpowiedź: y = 2x – 3.

Zadanie 2. Ciało poruszając się ruchem jednostajnym i prostoliniowym przeszło 14 m w ciągu pierwszych 8 s i 12 m w ciągu kolejnych 4 s. Na podstawie tych danych utwórz równanie ruchu.

Rozwiązanie. Zgodnie z warunkami zadania mamy dwa równania: 14 = x o +8 v o i 26 = x o +12 v o, rozwiązując układ równań, otrzymujemy v = 3, x o = -10.

Odpowiedź: x = -10 + 3t.

Zadanie 3. Samochód wyjechał z miasta jadąc z prędkością 80 km/h. Po 1,5 godzinie podjechał za nim motocykl, który jechał z prędkością 100 km/h. Po jakim czasie motocykl go dogoni? W jakiej odległości od miasta to się stanie?

Odpowiedź: 7,5 godziny, 600 km.

Zadanie 4. Odległość pomiędzy dwoma punktami w momencie początkowym wynosi 300m. Punkty zbliżają się do siebie z prędkościami 1,5 m/s i 3,5 m/s. Kiedy się spotkają? Gdzie to się stanie?

Odpowiedź: 60 s, 90 m.

Zadanie 5. Miedziana linijka w temperaturze 0 o C ma długość 1 m. Znajdź przyrost jego długości, gdy jego temperatura wzrośnie o 35 o, o 1000 o C (temperatura topnienia miedzi wynosi 1083 o C)

Odpowiedź: 0,6 mm.

Wiele praw fizyki wyraża się poprzez bezpośrednią proporcjonalność. W większości przypadków do napisania tych praw używa się modelu

w niektórych przypadkach -

Podajmy kilka przykładów.

1. S = v t (v – stała)

2. v = a t (a – stała, a – przyspieszenie).

3. F = kx (prawo Hooke’a: F – siła, k – sztywność (const), x – wydłużenie).

4. E= F/q (E to natężenie pola elektrycznego w danym punkcie, E to stała, F to siła działająca na ładunek, q to wielkość ładunku).

Jako model matematyczny bezpośredniej proporcjonalności można wykorzystać podobieństwo trójkątów lub proporcjonalność odcinków (twierdzenie Talesa).

Zadanie 1. Pociąg minął sygnalizację świetlną w ciągu 5 s, a peron o długości 150 m w ciągu 15 s. Jaka jest długość pociągu i jego prędkość?

Rozwiązanie. Niech x będzie długością pociągu, x+150 będzie całkowitą długością pociągu i peronu. W tym zadaniu prędkość jest stała, a czas jest proporcjonalny do długości.

Mamy proporcję: (x+150):15 = x:5.

Gdzie x = 75, v = 15.

Odpowiedź. 75 m, 15 m/s.

Zadanie 2. Łódź w pewnym czasie przepłynęła 90 km w dół rzeki. W tym samym czasie przepłynąłby 70 km pod prąd. Jaką odległość przepłynie tratwa w tym czasie?

Odpowiedź. 10 km.

Zadanie 3. Jaka była początkowa temperatura powietrza, jeżeli po podgrzaniu o 3 stopnie jego objętość wzrosła o 1% w stosunku do pierwotnej?

Odpowiedź. 300 K (Kelwin) lub 27 0 C.

Wykład na temat „Funkcja liniowa”.

Algebra, klasa 7

1. Rozważ przykłady problemów, korzystając ze znanych formuł:

S = v t (wzór na ścieżkę), (1)

C = ck (wzór wartości). (2)

Zadanie 1. Samochód przejechał 20 km od punktu A i kontynuował podróż z prędkością 62 km/h. W jakiej odległości od punktu A znajdzie się samochód po t godzinach? Utwórz wyrażenie problemu, oznaczające odległość S, znajdź ją w t = 1 godzina, 2,5 godziny, 4 godziny.

1) Korzystając ze wzoru (1) wyznaczamy drogę przebytą przez samochód z prędkością 62 km/h w czasie t, S 1 = 62t;
2) Następnie od punktu A po t godzinach samochód będzie w odległości S = S 1 + 20 lub S = 62t + 20, znajdźmy wartość S:

w t = 1, S = 62*1 + 20, S = 82;
przy t = 2,5, S = 62*2,5 + 20, S = 175;
w t = 4, S = 62*4+ 20, S = 268.

Zauważmy, że przy znajdywaniu S zmienia się tylko wartość t i S, tj. t i S są zmiennymi, a S zależy od t, każda wartość t odpowiada pojedynczej wartości S. Oznaczając zmienną S przez Y, a t przez x, otrzymujemy wzór na rozwiązanie tego problemu:

Y= 62x + 20. (3)

Zadanie 2. W sklepie kupiliśmy podręcznik za 150 rubli i 15 zeszytów po n rubli każdy. Ile pieniędzy zapłaciłeś za zakup? Ułóż wyrażenie problemu, oznaczające koszt C, znajdź go dla n = 5,8,16.

1) Korzystając ze wzoru (2) znajdujemy koszt notebooków C 1 = 15n;
2) Wtedy koszt całego zakupu wynosi C = C 1 +150 lub C = 15n+150, znajdźmy wartość C:

gdzie n = 5, C = 15 · 5 + 150, C = 225;
gdzie n = 8, C = 15 · 8 + 150, C = 270;
gdzie n = 16, C = 15 16+ 150, C = 390.

Podobnie zauważamy, że C i n są zmiennymi, każdej wartości n odpowiada pojedyncza wartość C. Oznaczając zmienną C jako Y, a n jako x, otrzymujemy wzór na rozwiązanie problemu 2:

Y= 15x + 150. (4)

Porównując wzory (3) i (4) jesteśmy przekonani, że zmienną Y można znaleźć poprzez zmienną x, stosując ten sam algorytm. Rozważaliśmy tylko dwa różne problemy, które opisują zjawiska, które nas otaczają na co dzień. Tak naprawdę istnieje wiele procesów, które zmieniają się zgodnie z uzyskanymi prawami, więc taka zależność między zmiennymi zasługuje na zbadanie.

Rozwiązania problemów pokazują, że wartości zmiennej x dobierane są arbitralnie, spełniając warunki problemów (dodatnie w zadaniu 1 i naturalne w zadaniu 2), czyli x jest zmienną niezależną (nazywa się to argumentem), a Y jest zmienną zależną i istnieje między nimi zgodność jeden do jednego i z definicji taka zależność jest funkcją. Dlatego oznaczając współczynnik x literą k, a wyraz wolny literą b, otrzymujemy wzór

Y= kx + b.

Definicja: Funkcja formy y= kx + b, gdzie k, b to pewne liczby, x to argument, y to wartość funkcji, zwanej funkcją liniową.

Aby zbadać właściwości funkcji liniowej, wprowadzamy definicje.

Definicja 1. Zbiór dopuszczalnych wartości zmiennej niezależnej nazywany jest dziedziną definicji funkcji (dopuszczalne - oznacza to te wartości liczbowe x, dla których przeprowadza się obliczenia y) i oznacza się D(y).

Definicja 2. Zbiór wartości zmiennej zależnej nazywa się dziedziną funkcji (są to wartości liczbowe, które przyjmuje y) i oznacza się E(y).

Definicja 3. Wykres funkcji to zbiór punktów na płaszczyźnie współrzędnych, których współrzędne zamieniają wzór na prawdziwą równość.

Definicja 4. Współczynnik k x nazywa się nachyleniem.

Rozważmy właściwości funkcji liniowej.

1. D(y) – wszystkie liczby (mnożenie definiuje się na zbiorze wszystkich liczb).
2. E(y) – wszystkie liczby.
3. Jeżeli y = 0, to x = -b/k, punkt (-b/k;0) – punkt przecięcia z osią Ox, nazywany jest zerem funkcji.
4. Jeżeli x = 0, to y = b, punkt (0; b) jest punktem przecięcia z osią Oy.
5. Dowiedzmy się, w której linii funkcja liniowa na płaszczyźnie współrzędnych zrówna punkty, czyli: który jest wykresem funkcji. Aby to zrobić, rozważ funkcje

1) y= 2x + 3, 2) y= -3x – 2.

Dla każdej funkcji utworzymy tabelę wartości. Ustawmy dowolne wartości zmiennej x i obliczmy odpowiadające im wartości zmiennej Y.

Po skonstruowaniu powstałych par (x;y) na płaszczyźnie współrzędnych i połączeniu ich dla każdej funkcji z osobna (wartości x przyjęliśmy z krokiem 1, jeśli zmniejszymy krok, punkty będą częściej się pokrywać, a jeśli krok będzie bliski zeru, wówczas punkty połączą się w linię ciągłą), zauważamy, że punkty układają się w linię prostą w przypadku 1) i w przypadku 2). Z uwagi na to, że funkcje są dobrane dowolnie (skonstruuj własne wykresy y= 0,5x – 4, y= x + 5), wnioskujemy, że że wykres funkcji liniowej jest linią prostą. Korzystając z własności linii prostej: przez dwa punkty przechodzi tylko jedna prosta, wystarczy wziąć dwa punkty, aby zbudować linię prostą.

6. Z geometrii wiadomo, że proste mogą się przecinać lub być równoległe. Przeanalizujmy względne położenie wykresów kilku funkcji.

1) y= -x + 5, y= -x + 3, y= -x – 4; 2) y= 2x + 2, y= x + 2, y= -0,5x + 2.

Zbudujmy grupy wykresów 1) i 2) i wyciągnijmy wnioski.

Wykresy funkcji 1) są ułożone równolegle, badając wzory, zauważamy, że wszystkie funkcje mają te same współczynniki dla x.

Wykresy funkcji 2) przecinają się w jednym punkcie (0;2). Analizując wzory zauważamy, że współczynniki są różne, a liczba b = 2.

Dodatkowo łatwo zauważyć, że linie proste określone funkcjami liniowymi z k > 0 tworzą kąt ostry z dodatnim kierunkiem osi Ox, a kąt rozwarty z k ‹ 0. Dlatego współczynnik k nazywany jest współczynnikiem nachylenia.

7. Rozważmy szczególne przypadki funkcji liniowej w zależności od współczynników.

1) Jeżeli b=0, to funkcja ma postać y= kx, to k = y/x (stosunek pokazuje, ile razy różnica lub jaka część y jest od x).

Funkcję w postaci Y= kx nazywamy proporcjonalnością bezpośrednią. Funkcja ta ma wszystkie właściwości funkcji liniowej, jej osobliwością jest to, że dla x=0 y=0. Wykres bezpośredniej proporcjonalności przechodzi przez punkt początkowy (0;0).

2) Jeżeli k = 0, to funkcja ma postać y = b, co oznacza, że ​​dla dowolnej wartości x funkcja przyjmuje tę samą wartość.

Funkcję w postaci y = b nazywamy stałą. Wykres funkcji jest linią prostą przechodzącą przez punkt (0;b) równoległy do ​​osi Wół, przy b=0 wykres funkcji stałej pokrywa się z osią odciętych.

Abstrakcyjny

1. Definicja Funkcję w postaci Y = kx + b, gdzie k, b to pewne liczby, x to argument, Y to wartość funkcji, nazywa się funkcją liniową.

D(y) – wszystkie liczby.

E(y) – wszystkie liczby.

Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta przechodząca przez punkt (0;b).

2. Jeżeli b=0, to funkcja przyjmuje postać y= kx, co nazywa się bezpośrednią proporcjonalnością. Wykres bezpośredniej proporcjonalności przechodzi przez początek.

3. Jeżeli k = 0, to funkcja ma postać y = b i nazywana jest stałą. Wykres funkcji stałej przechodzi przez punkt (0;b), równolegle do osi odciętych.

4. Wzajemne ustawienie wykresów funkcji liniowych.

Podane są funkcje y= k 1 x + b 1 i y= k 2 x + b 2.

Jeżeli k 1 = k 2, to wykresy są równoległe;

Jeśli k 1 i k 2 nie są równe, wówczas wykresy przecinają się.

5. Zobacz powyżej przykłady wykresów funkcji liniowych.

Literatura.

1. Podręcznik Yu.N. Makaryczew, N.G. Mindyuk, K.I. Nieszkow i inni. „Algebra, 8.”
2. Materiały dydaktyczne z algebry dla klasy 8/V.I. Żochow, Yu.N. Makaryczew, N.G. Mindyuk. – M.: Edukacja, 2006. – 144 s.
3. Dodatek do gazety 1 września „Matematyka”, 2001, nr 2, nr 4.

Podsumować i usystematyzować wiedzę na temat „Funkcja liniowa”:

• utrwalić umiejętność czytania i budowania wykresów funkcji podanych wzorami y = kx+b, y = kx;
• utrwalić umiejętność określania względnego położenia wykresów funkcji liniowych;
• rozwinąć umiejętności pracy z wykresami funkcji liniowych.

Rozwijać umiejętność analizowania, porównywania, wyciągania wniosków. Rozwój zainteresowań poznawczych matematyką, kompetentna ustna mowa matematyczna, dokładność i precyzja konstrukcji.

Wychowanie uważność, samodzielność w pracy, umiejętność pracy w parach.

Wyposażenie: linijka, ołówek, karty zadań, kredki.

Typ lekcji: lekcja utrwalenia zdobytego materiału.

Plan lekcji:

1. Organizowanie czasu.
2. Praca ustna. Dyktando matematyczne z samotestem i samooceną. Wycieczka historyczna.
3. Ćwiczenia szkoleniowe.
4. Niezależna praca.
5. Podsumowanie lekcji.
6. Praca domowa.

Podczas zajęć

1. Podaj cel lekcji.

Celem lekcji jest podsumowanie i usystematyzowanie wiedzy na temat „Funkcja liniowa”.

2. Zacznijmy od sprawdzenia Twojej wiedzy teoretycznej.

– Zdefiniuj funkcję. Co to jest zmienna niezależna? Zmienna zależna?

– Zdefiniować wykres funkcji.

– Sformułuj definicję funkcji liniowej.

– Czym jest wykres funkcji liniowej?

– Jak wykreślić funkcję liniową?

– Sformułuj definicję bezpośredniej proporcjonalności. Co to jest wykres? Jak zbudować wykres? Jak przebiega wykres funkcji y = kx w płaszczyźnie współrzędnych dla k > 0 i dla k< 0?

Dyktando matematyczne z samotestem i samooceną.

Spójrz na obrazek i odpowiedz na pytania.

1) Wykres której funkcji jest zbędny?

2) Który rysunek przedstawia wykres bezpośredniej proporcjonalności?

3) Na którym rysunku wykres funkcji liniowej ma nachylenie ujemne?

4) Określ znak liczby b. (Zapisz odpowiedź jako nierówność)

Sprawdzanie pracy. Ocena.

Pracujcie w parach.

Odszyfruj nazwisko matematyka, który jako pierwszy użył terminu funkcja. W tym celu wpisz w kratki literę odpowiadającą wykresowi danej funkcji. W pozostały kwadrat wpisz literę C. Uzupełnij rysunek wykresem funkcji odpowiadającej tej literze.

Obrazek 1

Rysunek 2

Rysunek 3

Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716, niemiecki filozof, matematyk, fizyk i językoznawca. On i angielski naukowiec I. Newton stworzyli (niezależnie od siebie) podstawy ważnej gałęzi matematyki - analizy matematycznej. Leibniz wprowadził wiele pojęć i symboli, które są nadal używane w matematyce.

3. 1. Biorąc pod uwagę funkcje określone wzorami: y = x-5; y = 0,5x; y = – 2x; y = 4.

Nazwij funkcje. Wskaż wykresy, która z tych funkcji przejdzie przez punkt M (8;4). Pokaż schematycznie, jak będzie wyglądał rysunek, jeśli przedstawisz na nim wykresy funkcji przechodzących przez punkt M.

2. Wykres bezpośredniej proporcjonalności przechodzi przez punkt C (2;1). Utwórz formułę określającą bezpośrednią proporcjonalność. Przy jakiej wartości m wykres przejdzie przez punkt B (-4;m).

3. Zrób wykres funkcji podanej przez y=1/2X. Jak z wykresu danej funkcji otrzymać wykres funkcji określonej wzorem y=1/2X – 4 i y = 1/2X+3. Przeanalizuj powstałe wykresy.

4. Funkcje wyrażają się wzorami:

1) y= 4x+9 i y= 6x-5;
2) y=1/2x-3 i y=0,5x+2;
3) y= x i y= -5x+2,4;
4) y= 3x+6 i y= -2,5x+6.

Jakie jest względne położenie wykresów funkcji? Nie wykonując żadnej konstrukcji, znajdź współrzędne punktu przecięcia pierwszej pary wykresów. (Autotest)

4. Samodzielna praca w parach. (wykonywane na papierze ml). Komunikacja interdyscyplinarna.

Należy skonstruować wykresy funkcji i wybrać tę jego część dla punktów, w których zachodzi odpowiednia nierówność:

y = x + 6,	4 < X < 6;
y = -x + 6,	-6 < X < -4;
y = – 1/3 x + 10,	-6 < X < -3;
y = 1/3 x +10,	3 < X < 6;
y = -x + 14,	0 < X < 3;
y = x + 14,	-3 < X < 0;
y = 9x – 18,	2 < X < 4;
y = – 9x – 18	-4 < X < -2;
y = 0,	-2 < X < 2.

Jaki rysunek otrzymałeś? ( Tulipan.)

Trochę o tulipanach:

Znanych jest około 120 gatunków tulipanów, występujących głównie w Azji Środkowej, Wschodniej i Południowej oraz w Europie Południowej. Botanicy uważają, że kultura tulipanów powstała w Turcji w XII w. Roślina zyskała światową sławę daleko od swojej ojczyzny, w Holandii, słusznie zwanej Krainą Tulipanów.

Oto legenda o tulipanie. Szczęście zawarte było w złotym pąku żółtego tulipana. Tego szczęścia nikt nie mógł osiągnąć, bo nie było takiej siły, która mogłaby otworzyć jego pączek. Ale pewnego dnia po łące spacerowała kobieta z dzieckiem. Chłopiec wyrwał się z objęć matki, podbiegł do kwiatu z dźwięcznym śmiechem, a złoty pączek się otworzył. Beztroski śmiech dzieci dokonał tego, czego nie mogła dokonać żadna siła. Od tego czasu stało się zwyczajem dawanie tulipanów tylko tym, którzy czują się szczęśliwi.

Twórcze zadanie domowe. Utwórz rysunek w prostokątnym układzie współrzędnych składającym się z segmentów i utwórz jego model analityczny.

6. Samodzielna praca. Zadanie zróżnicowane (w dwóch wersjach)

Opcja I:

Naszkicuj wykresy funkcji:

Opcja II:

Narysuj schematycznie wykresy funkcji, dla których spełnione są następujące warunki:

7. Podsumowanie lekcji

Analiza wykonanej pracy. Cieniowanie.