문제를 해결할 때 우리는 추출해야 할 많은 숫자에 직면하는 경우가 많습니다. 제곱근. 많은 학생들은 이것이 실수라고 판단하고 전체 예제를 다시 풀기 시작합니다. 어떤 경우에도 이렇게 해서는 안 됩니다! 여기에는 두 가지 이유가 있습니다.
- 문제에는 큰 숫자의 루트가 나타납니다. 특히 텍스트의 경우;
- 이러한 근을 거의 구두로 계산하는 알고리즘이 있습니다.
오늘 우리는 이 알고리즘을 고려해 보겠습니다. 아마도 어떤 것들은 당신에게 이해하기 어려운 것처럼 보일 것입니다. 하지만 이 교훈에 주의를 기울이면, 당신은 이에 맞서는 강력한 무기를 얻게 될 것입니다. 제곱근.
따라서 알고리즘은 다음과 같습니다.
- 위와 아래에 필요한 루트를 10의 배수로 제한합니다. 따라서 검색 범위를 10개의 숫자로 줄입니다.
- 이 10개의 숫자 중에서 뿌리가 될 수 없는 숫자를 제거하세요. 결과적으로 1~2개의 숫자가 남게 됩니다.
- 이 1-2 숫자를 제곱하세요. 제곱이 원래 숫자와 같은 것이 루트가 됩니다.
이 알고리즘을 실제로 적용하기 전에 각 단계를 살펴보겠습니다.
루트 제한
우선, 우리의 루트가 어느 숫자 사이에 있는지 알아내야 합니다. 숫자가 10의 배수인 것이 매우 바람직합니다.
10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.
일련의 숫자를 얻습니다.
100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.
이 숫자는 우리에게 무엇을 말해주는가? 간단합니다. 우리는 경계를 얻습니다. 예를 들어 숫자 1296을 생각해 보십시오. 이 숫자는 900에서 1600 사이에 있습니다. 따라서 루트는 30보다 작거나 40보다 클 수 없습니다.
[사진 캡션]
제곱근을 찾을 수 있는 다른 숫자에도 동일한 내용이 적용됩니다. 예를 들어, 3364:
[사진 캡션]따라서 이해할 수 없는 숫자 대신 원래 근이 있는 매우 구체적인 범위를 얻습니다. 검색 영역을 더 좁히려면 두 번째 단계로 이동하세요.
명백히 불필요한 숫자 제거
따라서 우리는 루트 후보인 10개의 숫자를 갖게 됩니다. 우리는 한 열에서 복잡한 사고와 곱셈 없이 그것들을 매우 빨리 얻었습니다. 이제 계속 나아갈 시간입니다.
믿거나 말거나, 이제 복잡한 계산 없이 후보 수를 2개로 줄이겠습니다! 특별한 규칙을 아는 것으로 충분합니다. 여기있어:
정사각형의 마지막 숫자는 마지막 숫자에만 의존합니다 원래 번호.
즉, 사각형의 마지막 숫자만 보면 원래 숫자가 끝나는 위치를 즉시 이해할 수 있습니다.
마지막 자리에 올 수 있는 숫자는 10개뿐입니다. 제곱하면 무엇이 변하는지 알아봅시다. 표를 살펴보십시오.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
| 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 |
이 표는 근을 계산하기 위한 또 다른 단계입니다. 보시다시피, 두 번째 줄의 숫자는 5에 대해 대칭인 것으로 나타났습니다. 예를 들어:
2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.
보시다시피 두 경우 모두 마지막 숫자는 동일합니다. 이는 예를 들어 3364의 루트가 2 또는 8로 끝나야 함을 의미합니다. 반면에 이전 단락의 제한 사항을 기억합니다. 우리는 다음을 얻습니다:
[사진 캡션] 빨간색 사각형은 우리가 아직 이 수치를 모른다는 것을 나타냅니다. 그러나 근은 50에서 60 사이의 범위에 있으며 2와 8로 끝나는 숫자는 두 개뿐입니다.
[사진 캡션]그게 다야! 가능한 모든 뿌리 중에서 우리는 두 가지 옵션만 남겼습니다! 그리고 이것은 가장 어려운 경우입니다. 왜냐하면 마지막 숫자는 5 또는 0이 될 수 있기 때문입니다. 그러면 근에 대한 후보는 단 하나만 있을 것입니다!
최종 계산
그럼 후보번호는 2개 남았습니다. 어느 것이 루트인지 어떻게 알 수 있나요? 대답은 분명합니다. 두 숫자를 모두 제곱하면 됩니다. 원래 숫자를 제곱한 것이 루트가 됩니다.
예를 들어 숫자 3364에 대해 우리는 52와 58이라는 두 개의 후보 숫자를 찾았습니다. 이를 제곱해 보겠습니다.
52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.
그게 다야! 루트는 58이라는 것이 밝혀졌습니다! 동시에 계산을 단순화하기 위해 합과 차이의 제곱 공식을 사용했습니다. 덕분에 숫자를 열에 곱할 필요도 없었어요! 이는 또 다른 수준의 계산 최적화이지만 물론 완전히 선택 사항입니다. :)
근 계산의 예
물론 이론은 좋습니다. 하지만 실제로 확인해 보겠습니다.
[사진 캡션]
먼저 숫자 576이 어느 숫자 사이에 있는지 알아 보겠습니다.
400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2
이제 마지막 숫자를 살펴보겠습니다. 6과 같습니다. 언제 이런 일이 발생합니까? 루트가 4 또는 6으로 끝나는 경우에만 두 개의 숫자를 얻습니다.
남은 것은 각 숫자를 제곱하여 원본과 비교하는 것입니다.
24 2 = (20 + 4) 2 = 576
엄청난! 첫 번째 사각형은 원래 숫자와 동일한 것으로 나타났습니다. 그래서 이것이 루트입니다.
일. 제곱근을 계산합니다.
[사진 캡션]
900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;
마지막 숫자를 살펴 보겠습니다.
1369 → 9;
33; 37.
제곱하세요:
33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.
답은 다음과 같습니다: 37.
일. 제곱근을 계산합니다.
[사진 캡션]
우리는 숫자를 제한합니다:
2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;
마지막 숫자를 살펴 보겠습니다.
2704 → 4;
52; 58.
제곱하세요:
52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
우리는 52라는 답을 받았습니다. 두 번째 숫자는 더 이상 제곱할 필요가 없습니다.
일. 제곱근을 계산합니다.
[사진 캡션]
우리는 숫자를 제한합니다:
3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;
마지막 숫자를 살펴 보겠습니다.
4225 → 5;
65.
보시다시피, 두 번째 단계 후에는 단 하나의 옵션만 남습니다: 65. 이것이 원하는 루트입니다. 하지만 여전히 제곱하여 확인해 보겠습니다.
65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;
모든 것이 정확합니다. 우리는 답을 적습니다.
결론
아아, 더 좋지는 않습니다. 이유를 살펴 보겠습니다. 그 중 두 가지가 있습니다.
- 주 시험이든 통합 주 시험이든 일반적인 수학 시험에서는 계산기 사용이 금지됩니다. 그리고 계산기를 수업에 가져오면 시험에서 쉽게 쫓겨날 수 있습니다.
- 멍청한 미국인처럼 굴지 마세요. 뿌리와는 다릅니다. 두 개의 소수를 더할 수 없습니다. 그리고 분수를 보면 일반적으로 히스테리 상태가 됩니다.
열이 더 높으며 15자 이상이 필요한 경우 계산기가 있는 컴퓨터와 휴대폰이 가장 자주 중단됩니다. 기술 설명에 4~5,000자가 소요되는지 확인하는 것이 남아 있습니다.
임의의 숫자를 숫자로 표시합니다. 소수점부터 오른쪽과 왼쪽의 숫자 쌍을 계산합니다.
예: 1234567890.098765432100
한 쌍의 숫자는 두 자리 숫자와 같습니다. 두 자리 수의 근은 한 자리 수입니다. 첫 번째 숫자 쌍보다 제곱이 작은 한 숫자를 선택합니다. 우리의 경우에는 3입니다.
열로 나눌 때와 마찬가지로 이 사각형을 첫 번째 쌍 아래에 쓰고 첫 번째 쌍에서 뺍니다. 결과에 밑줄이 그어져 있습니다. 12 - 9 = 3. 이 차이에 두 번째 숫자 쌍을 더합니다(334가 됩니다). 둔턱 수의 왼쪽에는 이미 발견된 결과 부분의 이중 값에 숫자(2 * 6 = 6이 있음)가 추가되어 획득되지 않은 숫자를 곱하면 다음과 같습니다. 두 번째 숫자 쌍의 숫자를 초과할 수 없습니다. 발견된 숫자는 5라는 것을 알 수 있습니다. 우리는 다시 차이(9)를 찾고, 다음 숫자 쌍을 추가하여 956을 얻은 다음, 결과의 두 배 부분(70)을 다시 쓰고, 다시 원하는 숫자로 보충하는 식으로 멈출 때까지 계속합니다. 또는 필요한 계산 정확도.
첫째, 제곱근을 계산하기 위해서는 구구단을 잘 알아야 합니다. 가장 간단한 예는 25(5 x 5 = 25) 등입니다. 더 복잡한 숫자를 사용하는 경우 수평선이 단위이고 수직선이 10인 이 표를 사용할 수 있습니다.
계산기의 도움 없이 숫자의 근을 찾는 좋은 방법이 있습니다. 이렇게하려면 눈금자와 나침반이 필요합니다. 요점은 루트 아래에 있는 값을 눈금자에서 찾는 것입니다. 예를 들어 9 옆에 표시를 하십시오. 귀하의 임무는 이 숫자를 동일한 수의 세그먼트, 즉 각각 4.5cm의 두 줄과 짝수 세그먼트로 나누는 것입니다. 결국에는 각각 3cm의 3개 세그먼트를 얻게 될 것이라고 추측하기 쉽습니다.
이 방법은 쉽지 않고 큰 숫자에는 적합하지 않지만 계산기 없이도 계산할 수 있습니다.
계산기의 도움 없이 제곱근을 추출하는 방법은 소비에트 시대 8학년 학교에서 가르쳤습니다.
이렇게 하려면 여러 자리 숫자를 오른쪽에서 왼쪽으로 2자리 가장자리로 나누어야 합니다. :
근의 첫 번째 숫자는 좌변의 전체 근이며, 이 경우에는 5입니다.
31에서 5의 제곱을 빼면 31-25 = 6이고 그 다음 변을 6에 더하면 678이 됩니다.
다음 숫자 x는 이중 5와 일치하므로
10xx*x가 최대값이지만 678 미만입니다.
x=6, 106*6 = 636이므로,
이제 678 - 636 = 42를 계산하고 다음 모서리 92를 추가하면 4292가 됩니다.
다시 우리는 112x*x lt; 4292.
답: 루트는 563입니다.
필요한 만큼 이 방법을 계속할 수 있습니다.
어떤 경우에는 근수를 두 개 이상의 제곱 인수로 분해해 볼 수 있습니다.
10에서 99까지의 자연수의 제곱인 표(또는 적어도 일부)를 기억하는 것도 유용합니다.
나는 열의 제곱근을 추출하기 위해 내가 발명한 버전을 제안합니다. 숫자 선택을 제외하면 일반적으로 알려진 것과 다릅니다. 그런데 나중에 알고 보니 이 방법은 제가 태어나기 수년 전부터 이미 존재하고 있었습니다. 위대한 아이작 뉴턴은 그의 저서 General Arithmetic이나 산술 종합 및 분석에 관한 책에서 이를 설명했습니다. 그래서 여기서는 뉴턴 방법의 알고리즘에 대한 나의 비전과 이론적 근거를 제시합니다. 알고리즘을 외울 필요가 없습니다. 필요한 경우 그림의 다이어그램을 시각적 보조 자료로 사용할 수 있습니다.
표를 사용하면 계산할 수 없지만 표에 있는 숫자의 제곱근을 찾을 수 있습니다. 제곱근뿐만 아니라 다른 각도도 계산하는 가장 쉬운 방법은 연속 근사법을 사용하는 것입니다. 예를 들어, 10739의 제곱근을 계산하고 마지막 세 자리 숫자를 0으로 바꾸고 10000의 근을 추출하면 단점이 있는 100을 얻습니다. 따라서 숫자 102를 제곱하여 10404를 얻습니다. 이 역시 더 작습니다. 주어진 것보다 103*103=10609를 다시 가져오는데 단점이 있습니다. 103.5*103.5=10712.25를 취하고, 더 많은 103.6*103.6=10732를 취하고, 103.7*103.7=10753.69를 가져가는데, 이는 이미 초과입니다. 10739의 근은 대략 103.6과 같을 수 있습니다. 더 정확하게는 10739=103.629... . . 마찬가지로, 세제곱근을 계산합니다. 먼저 10000에서 약 25*25*25=15625를 얻습니다. 이는 초과이며, 22*22*22=10.648을 취하고, 22.06*22.06*22.06=10735보다 조금 더 많은 것을 취합니다. , 이는 주어진 것과 매우 가깝습니다.
제곱근을 계산(또는 추출)하는 방법은 여러 가지가 있지만 모두 그리 간단하지는 않습니다. 물론 계산기를 사용하는 것이 더 쉽습니다. 그러나 이것이 가능하지 않은 경우(또는 제곱근의 본질을 이해하려는 경우) 다음과 같은 방법으로 가라고 조언할 수 있습니다. 해당 알고리즘은 다음과 같습니다.
그렇게 긴 계산을 수행할 힘, 욕구 또는 인내심이 없다면 대략적인 선택에 의지할 수 있습니다. 그 장점은 엄청나게 빠르고 적절한 독창성을 갖춘 정확하다는 것입니다. 예:
제가 학교에 다닐 때(60년대 초반), 우리는 어떤 숫자의 제곱근을 취하는 법을 배웠습니다. 이 기술은 간단하고 겉보기에는 장분할과 유사하지만 여기에 제시하려면 30분의 시간과 4~5,000자의 텍스트가 필요합니다. 그런데 이게 왜 필요한 걸까요? 당신은 전화나 다른 장치를 가지고 있고, nm에는 계산기가 있습니다. 모든 컴퓨터에는 계산기가 있습니다. 개인적으로 저는 이러한 유형의 계산을 Excel에서 수행하는 것을 선호합니다.
학교에서는 종종 다른 숫자의 제곱근을 찾아야 합니다. 그러나 우리가 이것을 위해 지속적으로 계산기를 사용하는 데 익숙하다면 시험에서는 이것이 불가능하므로 계산기의 도움없이 루트를 찾는 방법을 배워야합니다. 그리고 이는 원칙적으로는 가능하다.
알고리즘은 다음과 같습니다.
먼저 전화번호의 마지막 숫자를 살펴보세요.
예를 들어,
이제 가장 왼쪽 그룹의 루트 값을 대략적으로 결정해야 합니다.
숫자에 세 개 이상의 그룹이 있는 경우 다음과 같이 근을 찾아야 합니다.
하지만 다음 숫자는 가장 커야 합니다. 다음과 같이 선택해야 합니다.
이제 위에서 얻은 나머지에 다음 그룹을 추가하여 새로운 숫자 A를 형성해야 합니다.
우리의 예에서는:
루트 공식. 제곱근의 속성.
주목!
추가사항이 있습니다
특별 조항 555의 자료.
매우 "별로..."인 사람들을 위해
그리고 "아주 많이…"라고 하시는 분들을 위해)
이전 강의에서 우리는 제곱근이 무엇인지 알아냈습니다. 이제 어떤 것이 존재하는지 알아낼 때입니다. 뿌리에 대한 공식무엇인가 뿌리의 성질, 그리고 이 모든 것을 가지고 무엇을 할 수 있는지.
뿌리의 공식, 뿌리의 속성 및 뿌리 작업 규칙- 이것은 본질적으로 같은 것입니다. 놀랍게도 제곱근에 대한 공식은 거의 없습니다. 그것은 확실히 나를 행복하게 만듭니다! 또는 오히려 다양한 공식을 작성할 수 있지만 실용적이고 자신감 있는 작업을 위해서는 세 가지만 있으면 충분합니다. 다른 모든 것은 이 세 가지로부터 흘러나옵니다. 많은 사람들이 세 가지 근본 공식을 혼동하지만 그렇습니다.
가장 간단한 것부터 시작해 보겠습니다. 여기 그녀가 있습니다:
이 사이트가 마음에 드신다면...
그건 그렇고, 당신을 위한 몇 가지 흥미로운 사이트가 더 있습니다.)
예제 풀이를 연습하고 자신의 레벨을 알아볼 수 있습니다. 즉시 검증으로 테스트합니다. 배우자 - 관심을 가지고!)
함수와 파생물에 대해 알아볼 수 있습니다.
학생들은 항상 “수학 시험에서 왜 계산기를 사용할 수 없나요?”라고 묻습니다. 계산기 없이 숫자의 제곱근을 추출하는 방법은 무엇입니까? 이 질문에 답해 봅시다.
계산기의 도움 없이 숫자의 제곱근을 추출하는 방법은 무엇입니까?
행동 제곱근제곱 동작과 반대입니다.
√81= 9 9 2 =81
양수의 제곱근을 취하여 그 결과를 제곱하면 같은 수를 얻게 됩니다.
자연수의 정확한 제곱인 작은 숫자(예: 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100)에서 구두로 제곱근을 추출할 수 있습니다. 보통 학교에서는 최대 20까지의 자연수 제곱표를 가르칩니다. 이 표를 알면 숫자 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400에서 제곱근을 쉽게 추출할 수 있습니다. 400보다 큰 숫자에서는 몇 가지 팁을 사용하여 선택 방법을 사용하여 추출할 수 있습니다. 예를 들어 이 방법을 살펴보겠습니다.
예: 숫자 676의 근을 추출하세요.
20 2 = 400, 30 2 = 900, 즉 20을 의미합니다.< √676 < 900.
자연수의 정확한 제곱은 0으로 끝납니다. 1; 4; 5; 6; 9.
숫자 6은 4 2 와 6 2 로 표현됩니다.
즉, 676에서 근을 취하면 24 또는 26이 됩니다.
확인해야 할 사항은 24 2 = 576, 26 2 = 676입니다.
답변: √676 = 26 .
더 예: √6889 .
80 2 = 6400이고 90 2 = 8100이므로 80< √6889 < 90.
숫자 9는 3 2와 7 2로 주어지며, √6889는 83 또는 87과 같습니다.
확인해 봅시다: 83 2 = 6889.
답변: √6889 = 83 .
선택방법을 사용하여 해결하기 어렵다면, 급진적 표현을 인수분해할 수 있습니다.
예를 들어, √893025 찾기.
숫자 893025를 인수분해해 봅시다. 당신이 6학년 때 이 일을 했다는 것을 기억하십시오.
결과는 다음과 같습니다: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.
더 예: √20736. 숫자 20736을 인수분해해 보겠습니다.
√20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144를 얻습니다.
물론 인수분해에는 나눗셈 기호에 대한 지식과 인수분해 기술이 필요합니다.
그리고 마지막으로, 제곱근 추출 규칙. 예제를 통해 이 규칙을 알아봅시다.
√279841을 계산하세요.
여러 자리 정수의 근을 추출하려면 오른쪽에서 왼쪽으로 2개의 숫자를 포함하는 면으로 나눕니다(가장 왼쪽 가장자리에는 1개의 숫자가 포함될 수 있음). 다음과 같이 씁니다: 27'98'41
근의 첫 번째 자릿수(5)를 얻으려면 왼쪽 첫 번째 면(27)에 포함된 가장 큰 완전제곱근의 제곱근을 구합니다.
그런 다음 근의 첫 번째 숫자의 제곱(25)을 첫 번째 면에서 빼고 다음 면(98)을 그 차이에 더합니다(빼기).
결과 숫자 298의 왼쪽에 근의 두 자리 숫자(10)를 쓰고, 이전에 얻은 숫자(29/2 ≒ 2)의 모든 10의 수로 나누고, 몫(102 ∙ 2 = 204)을 테스트합니다. 298 이하여야 함) 루트의 첫 번째 숫자 뒤에 (2)를 씁니다.
그런 다음 결과 몫(204)을 298에서 빼고 다음 에지(41)를 차이(94)에 추가합니다.
결과 숫자 9441의 왼쪽에 근의 숫자의 이중 곱(52 ∙2 = 104)을 쓰고 숫자 9441(944/104 ≒ 9)의 모든 십의 수를 이 곱으로 나누고 다음을 테스트합니다. 몫(1049 ∙9 = 9441)은 9441이 되어야 하며 근의 두 번째 자리 뒤에 (9)를 적습니다.
우리는 √279841 = 529라는 답을 받았습니다.
유사하게 추출 소수 분수의 근. 면 사이에 쉼표가 있도록 근수만 면으로 나누어야 합니다.
예. √0.00956484 값을 찾으세요.
소수점 이하 자릿수가 홀수이면 그 자리에서 제곱근을 구할 수 없다는 점을 기억하세요.
이제 루트를 추출하는 세 가지 방법을 살펴보았습니다. 자신에게 가장 적합한 것을 선택하고 연습하세요. 문제 해결 방법을 배우려면 문제를 해결해야 합니다. 질문이 있으시면 .
blog.site에서 자료의 전체 또는 일부를 복사하는 경우 원본 소스에 대한 링크가 필요합니다.
이제 정리할 시간이다 뿌리 추출 방법. 이는 근의 속성, 특히 음수가 아닌 모든 숫자에 적용되는 동등성에 기반합니다. b.
아래에서는 뿌리를 추출하는 주요 방법을 하나씩 살펴보겠습니다.
가장 간단한 경우부터 시작해 보겠습니다. 제곱표, 큐브 표 등을 사용하여 자연수에서 근을 추출하는 것입니다.
정사각형, 큐브 등의 테이블인 경우 그것을 가지고 있지 않다면 근수를 소인수로 분해하는 근을 추출하는 방법을 사용하는 것이 논리적입니다.
홀수 지수를 갖는 근에 대해 가능한 것이 무엇인지 특별히 언급할 가치가 있습니다.
마지막으로 근값의 자릿수를 순차적으로 찾을 수 있는 방법을 생각해 보자.
시작하자.
정사각형 표, 큐브 표 등을 사용합니다.
가장 간단한 경우에는 정사각형, 큐브 등의 표를 사용하여 근을 추출할 수 있습니다. 이 테이블은 무엇입니까?
0부터 99까지의 정수 제곱 표(아래 표시)는 두 개의 영역으로 구성됩니다. 테이블의 첫 번째 영역은 회색 배경에 위치하며, 특정 행과 특정 열을 선택하여 0부터 99까지의 숫자를 구성할 수 있습니다. 예를 들어, 8개의 10으로 구성된 행과 3개의 단위로 구성된 열을 선택하면 숫자 83이 고정됩니다. 두 번째 영역은 테이블의 나머지 부분을 차지합니다. 각 셀은 특정 행과 특정 열의 교차점에 위치하며 0부터 99까지 해당 숫자의 제곱을 포함합니다. 우리가 선택한 10의 8행과 1의 3열의 교차점에는 숫자 83의 제곱인 6,889라는 숫자가 있는 셀이 있습니다.
큐브 표, 0에서 99까지의 숫자의 4제곱 표 등은 제곱 표와 유사하지만 두 번째 영역에는 큐브, 4제곱 등이 포함되어 있습니다. 해당 숫자.
정사각형, 큐브, 4승 등의 표 제곱근, 세제곱근, 4차근 등을 추출할 수 있습니다. 따라서 이 표의 숫자에 따라 결정됩니다. 뿌리를 추출할 때 사용 원리를 설명하겠습니다.
숫자 a의 n제곱근을 추출해야 하고 숫자 a는 n제곱표에 포함되어 있다고 가정해 보겠습니다. 이 표를 사용하여 a=bn이 되는 숫자 b를 찾습니다. 그 다음에 
, 따라서 숫자 b는 원하는 n차 근이 됩니다.
예를 들어, 큐브 테이블을 사용하여 19,683의 큐브 루트를 추출하는 방법을 보여드리겠습니다. 우리는 큐브 표에서 숫자 19,683을 찾았습니다. 이 숫자는 숫자 27의 큐브라는 것을 알 수 있습니다. 
.
n제곱 테이블이 근을 추출하는 데 매우 편리하다는 것은 분명합니다. 그러나 가까이에 있지 않은 경우가 많으며 컴파일하는 데 시간이 걸립니다. 게다가, 해당 테이블에 포함되지 않은 숫자로부터 근을 추출해야 하는 경우도 종종 있습니다. 이런 경우에는 다른 뿌리 추출 방법을 사용해야 합니다.
근수를 소인수로 인수분해하기
자연수의 근을 추출하는 매우 편리한 방법(물론 근이 추출되는 경우)은 근수를 소인수로 분해하는 것입니다. 그의 요점은 이것이다: 그 후에는 원하는 지수를 갖는 거듭제곱으로 표현하는 것이 매우 쉽습니다. 이를 통해 근의 값을 얻을 수 있습니다. 이 점을 명확히 하자.
자연수 a의 n제곱근을 취하고 그 값을 b와 같다고 가정합니다. 이 경우 평등 a=bn은 참입니다. 숫자 b는 모든 자연수와 마찬가지로 모든 소인수 p 1 , p 2 , …, p m 의 곱으로 표현될 수 있으며, 이 경우 근수 a는 p 1 ·p 2 ·...·p m 형식입니다. 는 (p 1 ·p 2 ·…·p m) n 으로 표현됩니다. 숫자를 소인수로 분해하는 것은 고유한 일이므로 근수 a를 소인수로 분해하면 (p 1 ·p 2 ·...·p m) n 형식을 가지게 되며, 이는 근의 값을 계산할 수 있게 해줍니다. 처럼.
근수 a의 소인수 분해가 (p 1 ·p 2 ·...·p m) n 형식으로 표시될 수 없는 경우 해당 숫자 a의 n제곱근은 완전히 추출되지 않습니다.
예제를 풀 때 이것을 알아 봅시다.
예.
144의 제곱근을 구합니다.
해결책.
이전 단락에 제공된 제곱표를 보면 144 = 12 2라는 것을 분명히 볼 수 있으며, 이를 통해 144의 제곱근이 12와 같다는 것이 분명해집니다.
그러나 이러한 점에 비추어 우리는 근수 144를 소인수로 분해하여 근을 추출하는 방법에 관심이 있습니다. 이 솔루션을 살펴보겠습니다.
분해하자 144를 소인수로:
즉 144=2·2·2·2·3·3이다. 결과 분해를 기반으로 다음과 같은 변환을 수행할 수 있습니다. 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. 따라서, 
.
차수의 속성과 근의 속성을 사용하여 솔루션을 약간 다르게 공식화할 수 있습니다.
답변:
자료를 통합하려면 두 가지 예에 대한 솔루션을 더 고려하십시오.
예.
루트의 값을 계산합니다.
해결책.
근수 243의 소인수분해는 243=3 5 형식을 갖습니다. 따라서, 
.
답변:
예.
루트 값은 정수입니까?
해결책.
이 질문에 답하기 위해 근수를 소인수로 인수분해하고 그것이 정수의 세제곱으로 표현될 수 있는지 살펴보겠습니다.
285 768=2 3 ·3 6 ·7 2가 있습니다. 소인수 7의 거듭제곱은 3의 배수가 아니기 때문에 결과 전개는 정수의 세제곱으로 표현될 수 없습니다. 따라서 285,768의 세제곱근을 완전히 추출할 수는 없습니다.
답변:
아니요.
분수에서 근 추출하기
분수의 근을 추출하는 방법을 알아낼 때입니다. 분수 근수를 p/q로 쓰겠습니다. 몫의 근의 속성에 따르면 다음과 같은 등식이 성립합니다. 이 평등으로부터 다음과 같은 결과가 나옵니다. 분수의 근을 추출하는 규칙: 분수의 근은 분자의 근을 분모의 근으로 나눈 몫과 같습니다.
분수에서 근을 추출하는 예를 살펴보겠습니다.
예.
공통 분수 25/169의 제곱근은 얼마입니까?
해결책.
제곱표를 사용하면 원래 분수의 분자의 제곱근이 5이고 분모의 제곱근이 13이라는 것을 알 수 있습니다. 그 다음에 
. 이것으로 공통 분수 25/169의 근 추출이 완료됩니다.
답변:
소수 또는 대분수의 근은 근수를 일반 분수로 대체한 후 추출됩니다.
예.
소수 474.552의 세제곱근을 구합니다.
해결책.
원래 소수를 일반 분수로 상상해 봅시다: 474.552=474552/1000. 그 다음에 
. 결과 분수의 분자와 분모에 있는 세제곱근을 추출하는 일이 남아 있습니다. 왜냐하면 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 및 1 000 = 10 3, 그러면 
그리고 
. 남은 것은 계산을 완료하는 것뿐이다. 
.
답변:
.
음수의 근을 취하기
음수에서 근을 추출하는 것에 대해 깊이 생각해 볼 가치가 있습니다. 근을 연구할 때 근 지수가 홀수이면 근 기호 아래에 음수가 있을 수 있다고 말했습니다. 우리는 이 항목에 다음과 같은 의미를 부여했습니다: 음수 −a 및 근 2n−1의 홀수 지수에 대해, 
. 이 평등은 음수에서 홀수 근을 추출하는 규칙: 음수의 근을 추출하려면 반대쪽 양수의 근을 구하고 결과 앞에 빼기 기호를 넣어야 합니다.
예제 솔루션을 살펴보겠습니다.
예.
루트의 값을 찾으십시오.
해결책.
루트 기호 아래에 양수가 있도록 원래 표현식을 변환해 보겠습니다. 
. 이제 대분수를 일반 분수로 바꿉니다. 
. 일반 분수의 근을 추출하는 규칙을 적용합니다. 
. 결과 분수의 분자와 분모의 근을 계산하는 것이 남아 있습니다. 
.
다음은 솔루션에 대한 간략한 요약입니다. 
.
답변:
.
루트 값의 비트 단위 결정
일반적인 경우, 루트 아래에는 위에서 설명한 기술을 사용하여 어떤 숫자의 n제곱으로도 표현할 수 없는 숫자가 있습니다. 그러나 이 경우에는 적어도 특정 기호까지 주어진 어근의 의미를 알아야 합니다. 이 경우 근을 추출하기 위해서는 원하는 숫자의 충분한 수의 자릿수 값을 순차적으로 얻을 수 있는 알고리즘을 사용할 수 있다.
이 알고리즘의 첫 번째 단계는 루트 값의 최상위 비트가 무엇인지 알아내는 것입니다. 이를 위해 숫자가 근수를 초과하는 순간이 얻어질 때까지 숫자 0, 10, 100, ...을 순차적으로 n의 거듭제곱으로 올립니다. 그런 다음 이전 단계에서 n 제곱한 숫자가 해당 최대 유효 숫자를 나타냅니다.
예를 들어, 5의 제곱근을 추출할 때 알고리즘의 이 단계를 고려하십시오. 0, 10, 100, ...이라는 숫자를 5보다 큰 숫자가 나올 때까지 제곱하세요. 우리는 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5는 가장 중요한 숫자가 1의 숫자가 됨을 의미합니다. 이 비트의 값은 낮은 비트와 마찬가지로 루트 추출 알고리즘의 다음 단계에서 발견됩니다.
알고리즘의 모든 후속 단계는 가장 높은 것부터 시작하여 가장 낮은 것까지 이동하면서 원하는 루트 값의 다음 비트 값을 찾아 루트 값을 순차적으로 명확하게 하는 것을 목표로 합니다. 예를 들어 첫 번째 단계의 루트 값은 2, 두 번째 단계에서는 2.2, 세 번째 단계에서는 2.23 등으로 2.236067977… 숫자의 값을 찾는 방법을 설명하겠습니다.
숫자는 가능한 값 0, 1, 2, ..., 9를 검색하여 찾습니다. 이 경우 해당 숫자의 n제곱을 병렬로 계산하여 근수와 비교합니다. 어떤 단계에서 차수 값이 근수를 초과하면 이전 값에 해당하는 숫자 값이 발견된 것으로 간주되고 근 추출 알고리즘의 다음 단계로 전환됩니다. 그러면 이 숫자의 값은 9입니다.
이러한 점을 5의 제곱근을 추출하는 동일한 예를 사용하여 설명하겠습니다.
먼저 단위 숫자의 값을 찾습니다. 근수 5보다 큰 값을 얻을 때까지 각각 0 2, 1 2, ..., 9 2를 계산하여 0, 1, 2, ..., 9 값을 살펴보겠습니다. 이러한 모든 계산을 표 형식으로 표시하는 것이 편리합니다. 
따라서 단위 숫자의 값은 2입니다(2 2이므로).<5
, а 2 3 >5). 10번째 자리의 값을 찾는 것으로 넘어가겠습니다. 이 경우 숫자 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9를 제곱하여 결과 값을 근수 5와 비교합니다. 
2.2 2부터<5
, а 2,3 2 >5이면 10번째 자리의 값은 2입니다. 백분의 일 자리의 값을 찾는 작업을 진행할 수 있습니다. 
이것이 5의 근의 다음 값이 발견된 방법이며 2.23과 같습니다. 따라서 계속해서 값을 찾을 수 있습니다. 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
자료를 통합하기 위해 고려된 알고리즘을 사용하여 100분의 1의 정확도로 뿌리 추출을 분석합니다.
먼저 가장 중요한 숫자를 결정합니다. 이를 위해 숫자 0, 10, 100 등을 큐브로 만듭니다. 2,151,186보다 큰 숫자를 얻을 때까지. 우리는 0 3 =0을 가지고 있습니다<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 이므로 최상위 숫자는 십의 자리입니다.
그 가치를 결정합시다. 
10 3 이후<2 151,186
, а 20 3 >2 151.186이면 십의 자리 값은 1입니다. 단위로 넘어 갑시다. 
따라서 일의 자리의 값은 2입니다. 10분의 1로 넘어가겠습니다. 
12.9 3도 근수 2 151.186보다 작으므로 소수 자리 값은 9입니다. 알고리즘의 마지막 단계를 수행하는 것이 남아 있으며 필요한 정확도로 루트 값을 제공합니다. 
이 단계에서는 근의 값이 100분의 1까지 정확한 것으로 확인됩니다. 
.
이 글을 마무리하면서 뿌리를 추출하는 방법은 이 외에도 많다는 점을 말씀드리고 싶습니다. 그러나 대부분의 작업에서는 위에서 연구한 것만으로도 충분합니다.
서지.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. 대수학: 8학년 교과서. 교육 기관.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. 및 기타 대수학 및 분석의 시작: 일반 교육 기관의 10~11학년을 위한 교과서.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. 수학(전문학교 입학을 위한 매뉴얼).